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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
1- Régime sinusoïdal
II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
2- Intro
II.1. Résolution de l’équationII.1.a. Introduction
On va travailler en régime harmonique, c’est à dire avec une seule fréquence fixe f.On génère donc une onde sinusoïdale en régime permanent.On peut revenir à ce modèle de base pour toute autre forme d’onde que l’on peut décomposer en série de Fourier.
v(x,t)=V(x).cos(t+v(x))
i(x,t) = I(x).cos(t+i(x))
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
3- Complexe
II.1. Résolution de l’équation
v(x,t)=V(x).cos(t+(x))i(x,t) = I(x).cos(t+(x))
amplitude en x fréquence et déphasage
notations complexes
propriété : v(x,t)=Real(v(x,t))
v x t V x e
i x t I x e
j t
j t
,
,
avec
V x V x e
I x I x e
j x
j x
v
i
( )
( )
jωt
séparation des termes en x et en t
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II.1.b. Télégraphistes sous forme complexe
4- télégraphistes
II.1. Résolution de l’équation
Vx
R jL I
Ix
G jC V
1 1
1 1
2
2 1 1 1 1
2
2 1 1 1 1
V
xR jL G jC V
I
xR jL G jC I
on note : 1111 jCGjLRj
2
22V
xV
2
22I
xI
Equations variationnelles complexes :
(constante de propagation)
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5- Impédance
II.1. Résolution de l’équation
V x V e V e
I x I e I e
ix
rx
ix
rx
Comme précédemment on obtient la somme de 2 ondes, l’onde incidente et l’onde réfléchie
VI
VI
R jLG jC
i
i
r
r
1 1
1 1
Impédance caractéristiquede la ligne
Zc
Constante de propagation 1111 jCGjLRj
Vx
R jL I
Ix
G jC V
1 1
1 1
On avait
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6- onde progressive
II.1. Résolution de l’équationII.1.c. Onde progressive
est de la forme : + j
v x t V e e V e eix j t x
rx j t x, ( ) ( )
V V ei ij i V V er r
j r
v x t V e e
v x t V e e
i ix j t x
r rx j t x
i
r
,
,
( )
( )
Expression des ondes de propagation
module phase
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
7- module phase
II.1. Résolution de l’équation
)()(, xtjxr
xtjxi eeIeeItxi
ijii eII rj
rr eII
)(
)(
,
,xtjx
rr
xtjxii
r
i
eeItxi
eeItxi
Expression des ondes de propagation
module phase
De même
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8- caractéristiques
II.2. Paramètres fondamentaux
)(, xtjxii eeVtxv
II.2.a. Caractéristiques de ces ondes
Soit l’onde de tension incidente
ji eV On pose de forme complexe
)cos(, xteVtxv xii
On a alors
En x donné, la tension est une fonction sinusoïdale du temps de périodicité :
2T
2
En t donné, la tension est une fonction sinusoïdale de x de périodicité :
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9- vitesse de phase
II.2. Paramètres fondamentaux
Vitesse de phase : dt
dxvp
cstext Solution de :
De même, la tension réfléchie possède la même décroissance exponentielle de l’amplitude suivant x (mais ici du récepteur vers le générateur), les même périodicité en temps et en abscisse, et la même vitesse de phase mais dans le sens inverse.
Ondes progressives amorties
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10- ondes progressives
II.2. Paramètres fondamentaux
Ondes progressives amorties
t0 t2ns
t4ns
amp
litu
de
arb
itra
ire
0 5 10 15 20 25 30
profondeur (m)
2
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11- constante propagation
II.2. Paramètres fondamentauxII.2.b. La constante de propagation
1111 jCGjLRj
Paramètre d’affaiblissement ou atténuation en Nepers par mètre
(1dB=0.1151 Np)
Paramètre de phase exprimé en radians par mètre (1rad=57.3°)
Lignes sans pertes : 0 LC
LCvp
1
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12- constantes secondaires
II.2. Paramètres fondamentauxII.2.c. Constantes secondaires
C
Gtan Tangente de pertes, pertes dans le diélectrique
L
RtanPar analogie, on définit
2tan
On trouve alors
tangente de pertes dans les conducteurs
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13- sans pertes
II.3. Cas particuliersII.3.a. Ligne sans pertes
Sans pertes R=0G=0
=0=0
0
LC
LCvp
1
pas d’atténuation
x
C
LZc Impédance caractéristique
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14- faibles pertes
II.3. Cas particuliersII.3.b. Ligne faibles pertes
R et G faibles et sont faibles également
LCvp
1 pas de dispersion car indépendant de
tan
tan
LC
revient à : LR CG et
on trouve alors :
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15- dispersion
II.3. Cas particuliers
RcG
Rc
R
C
G
L
RLC
2
1
2
1
jXcRcL
R
C
Gj
C
LZc
21
Si G#0 (souvent le cas)LR
CLjRcZc
2
Constante de propagation
Si BF et G faible: indépendant de , donc pas de dispersion (amplitude)
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
16- ligne téléphonique
II.3. Cas particuliersII.3.c. Ligne téléphonique
G négligeableC importantL faible
2
LG << RC
L/R << C/G
<<
L << R
2
tan
LRLCLCLC
vp21
tan2
tan2
tantan2
tan22
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
17- ligne téléphonique
II.3. Cas particuliers
RCvp
22 dépendant de donc dispersion en phase
2
RC
4
j
eC
G
G
RZc
4sin
j
eG
RZc
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
18- ligne bifilaire
II.3. Cas particuliersII.3.d. Ligne bifilaire
D
dtan
117
r
m1065.5
2/d3D
mm2dmm5.0
2
0r
11
1131
km.µF05.0C
0km.10G
tan1C
G
1
1
Pertes actives dans le diélectrique négligeables
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
19- ligne bifilaire
II.3. Cas particuliers
BF :R1>>L1 HF :R1<<L1
1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz1
10
100
1k
10k
100k
/km R1
L1
f
Paramètres primaires
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
20- ligne bifilaire BF
II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en BF (fréquences vocales)
D
dtan
Paramètres primaires : m/HLLL iHF1
m/
dD2
ln
tgf2G 12
1
m/F
dD2
lnC1
m/)0f(RR MHz11 1
1 km100R
km/mH6.0L1
111 m.0G
km/µF051.0C1
R1>>L1 faibles pertes diélectriques : <<
tanφ2
tan2.
LC
1v2
p
L
R
RC
2
2tan
RC
2v2
p
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
21- ligne bifilaire BF
II.3. Cas particuliers
km/dBf034.0
s/kmf1570vp
Impédance :
21
4j
1
1
1
1C f17600e
C
R
jC
RZ
à 1kHz
49000km/s
1dB/km
556 (-45°)
Propagation
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22- distorsion
II.3. Cas particuliersVitesse, impédance et atténuation varient avec la fréquence distorsion d’amplitude et de phase.
0.1 1 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(kHz)
Vitessede phase
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23- étalement
II.3. Cas particuliers
f (KHz)0.1 1 10
-30
-20
-10
0Perte de gain (dB)
10km
5km
1km
0.1km
0.1 1 100
0. 1
0.2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
Etalement temporel (ms)
f (KHz)0.1km
1km
5km
10km (0.03ms)
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
24- Heaviside
II.3. Cas particuliersCondition de Heaviside
0α2dL
dPour que soit minimum, il faut :
022
222
222
CLLR
CGCela donne la relation :
D’où l’on déduit la condition de Heaviside :
L G =R C
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
25- pupinisation
II.3. Cas particuliers
C
G
L
R
L
CR
LC
1v,LC p
C
LRZ CC
Problème :
C
G
L
R
Solution :augmenter artificiellement L (la self linéique)= charger la ligne tout les km
‘ pupinisation ’, Procédé Pupin (1899)
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26- ligne bifilaire HF
II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en HF (Ethernet, xDSL)
D
dtan
mHd
DL /
2ln0
1
mCG /)tan(2 1211
mF
dD
C /2
ln1
m
Dd
d
fR /
1
12
01
Paramètres primaires :
d
DZc
2ln
1 0
Zc = 100
2 à 10 /km
2 mH/km
5 nF/km
10 -5 S/km
= 1 à 5 mN/km
vp= 2.8 à 2.9. 108 m/s
Faibles pertes
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
27- ligne bifilaire HF
II.3. Cas particuliers
2tan1
1 2 LC
vp dépend de la fréquence, donc la
vitesse également!!!!
2tan
v
f2
p
L’affaiblissement dépend de la fréquence !!!!
La qualité de la ligne bifilaire en HF dépend surtout de la qualité du diélectrique
Conséquences : faibles pertes ohmiques, mais limite vers les HF >10kHz :
- l ’atténuation- l ’impédance caractéristique varie (ADSL => filtrage adaptatif)
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
28- ADSL
II.3. Cas particuliersPrincipe de la technologie ADSL :
Utiliser les fréquences inutilisées par la voix.A=asymétrique
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
29- DMT
II.3. Cas particuliersModulation DMT sur la bande 26kHz-1.1MHz
1) Division de la bande de fréquences en bandes de 4kHz (256).2) Chaque sous-bande =4000 canaux de 1Hz.3) Chaque canal code jusqu’à 8 bits (256 niveaux)
1
2
3
4
5
-1
0
1
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
30- portée ADSL
II.3. Cas particuliersConclusion
Adapter le nombre de bit par canal en fonction
-de l’affaiblissement (donc de la distance parcourue)
exemples ADSL 1: - 6km 1,5 Mb/s- 4.8km 2,0 Mb/s- 4km 6,3 Mb/s- 3km 8,5 Mb/s
-du bruit tenir compte des parasites dus aux ondes
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
31- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliersII.3.e. Ligne coaxiale
mHd
dL /ln
2 1
201
mdd
tgfG /
ln
4 1
1
2
21
mF
dd
C /
ln
2
1
2
1
mdd
fR /
11
21
01
10 à 70 /km
280 H/km
50 nF/km
10 -5 S/km
1
2ln2
1
d
dZc
GZcZc
R
2
1
Faibles pertes
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
32- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliers
100 1 10 100 1 10 100
1
10
102
103
104
105
106
f
/k
m
MHzkHzHz
L1
R1
Variation des pertes électriques avec la fréquence
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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
33- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliersHypothèse des faibles pertes
1
11
1
11 C
LG
L
CR
2
1
11
pCL
1v
1
1
1
1
1
1C
1
1C
L
R
C
G
C
L
2
1X
C
LR
Zc
11CL
On note 0=c0/f
0
r2
r
0
r
0gp
cvv
Si l’hypothèse des faibles pertes est vérifiée, la ligne coaxialeest exempte de distorsion de phase.
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34- ligne coaxiale
II.3. Cas particuliers
0
1
221
tgf
dd
ln
1
d
1
d
1f
cd
À minimiser en choisissant d1 et d2
Affaiblissement
1 2 3 4 5 61
1.4
1.8
2.2
2.6 Minimisation de c d2/d1=3,6
d2/d1
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35- télévision
II.3. Cas particuliersExemple de la télévision
Zr Zc=50
d2=9.5d1=2.6
r=2.3
Zc=75
r=1
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36- vitesse de groupe
II.3. Cas particuliers
cos(2fi t +)
modulation
fi0 f-fi f0 0 f0-f f0+f
V t V t eij t
0 00( ) cos ( )
II.3.f. Vitesse de groupe
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37- vitesse de groupe
II.3. Cas particuliersPropagation de la porteuse modulée par une sinusoïde
notons : i et
L’équation de propagation de l’onde est donnée par :
v x t V e t x ex j t x, cos ( ) 0
0 0
vitesse de phase :
vitesse de groupe :
vp
0
0
v g
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38- modulation
II.3. Cas particuliersSignification de la vitesse de groupe
paquet d’ondes se déplaçantà la vitesse / .
onde se déplaçant àla vitesse
1 noeud est tel que V=I=0 (pas de transfert d’énergie possible)
l’énergie se déplace avec la vitesse de l’enveloppevg= vitesse de propagation de l’énergie