guiaunidad2-cvectorial-p43

8/19/2019 GuiaUnidad2-Cvectorial-P43

1/14

1

GUIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 2 : FUNCIONES VECTORIALES Y SUS APLICACIONES

Objetivos espe!"os

Describir curvas en R3 Conceptualizar funciones vectoriales y curvas. Calcular ecuación de recta tangente , plano normal a una curva Calcular la curvatura de una curva Determinar la ecuación del círculo de curvatura.

#$ PRERE%UISITOS :

Los temas necesarios para esta unidad son

!unciones de una variable.

"ra#ca de curvas param$tricas en %D.

&uper#cies

'ectores en R % y en R

3

Derivación e integración de funciones de una variable

2$ &ATERIAL DE APOYO

Libro de te(to &)*+R), -. C/lculo de varias variables 0,&e(ta edición2. Cengage

Learning. %4.

)abla de integrales y fórmulas e(traída del te(to

&oft5are matem/tico Calculadora con C&

'$ ACTIVIDADES ESPEC(FICAS

6na lectura compresiva de las de#niciones, enunciados, y e7emplos desarrollados enclase.

*laboración grupal de las respuestas del cuestionario, 7usti#cación de cada etapadel desarrollo de e7ercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados.

n/lisis crítico de los e7ercicios desarrollados.

)$ &ETODOLOG(A DE TRA*AJO *l docente durante la clase de#nir/ los conceptos necesarios para el desarrollo de la

guía. 8ara lo cual es imprescindible 9ue el estudiante analice la teoría con anterioridad

para facilitar el proceso ense:anza;aprendiza7e. *n clase los estudiantes organizan e9uipos dependiendo del n


2/14

%

.$ ACTIVIDADES PREVIAS/ e0t,1-1se

*sta tarea e(traclase ser/ evaluada con el #n de medir el nivel de conocimientos de los temasnecesarios como prerre9uisitos de la 3+i414 2.

.$# Determinar varios puntos de la gra#ca correspondiente a las ecuaciones param$tricas

x=√

t , y=t +1 para trazar la curva, luego determinar la ecuación rectangular de la curva.

.$2 8ara la siguiente curva, Aallar ecuaciones param$tricas, de acuerdo al sentido deorientación 9ue se recorre la curva arco de par/bola2.

1 2 3 4

−

−2

−1

x

y

.$' 6tilizando ecuaciones param$tricas, dibu7ar una circunferencia de centro C %,%2 y radio %.

.$) 6tilizando ecuaciones param$tricas, dibu7ar una semielipse con a B , b B 1, centro C%,%2y el e7e mayor Aorizontal.

.$.*ncontrar la ecuación de la recta tangente y la normal en el punto 81,32 y trazarlas en la

misma gr/#ca de la curva.

−2 −1 1 2

1

2

3

4

x

y

.$5 allar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de ,# 6,2 , con ,# B %EFG %E7 H IEJ, ,2 B EF G %E7 G 3EJ

.$7allar el /ngulo formado por los vectores B %EF G %E7 H EJ, K B EF H 3E7 G %EJ.

CLC6L= '*C)=R>L ? @>'*L 3 "6> %


3/14

3

.$8 *l dominio de la función √ 2− x es

a2 ;M,%N b2 ;M,;%N c2 O%,G M2 d2 O;%, M2

Demuestre su respuesta

.$9 "ra#car el sólido limitado arriba por el cono z=√ x2+ y2 y deba7o de la esfera

x2+ y2+ z2=1 8royecte Aacia el plano (y0 y dibu7e la región de intersección

.$# >denti#car las super#cies

5$ REVISI;N DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE

5$#ALGUNOS CUESTIONA&IENTOS PREVIOSa2 PCómo podemos e(presar matem/ticamente una curva en el espacioQ

b2 P*s posible calcular su longitudQ

c2 P8odemos determinar la curvatura de la mismaQ

d2 P8uede describir alg


4/14

l responder las preguntas anteriores comenzamos a ver la importancia de las funciones convalores

Vectoriales.

*n general, una función es una regla 9ue asigna a cada elemento del dominio un elemento delrango. 6na función vectorial es simplemente una función cuyo dominio es un con7unto den


5/14

I

x

y

(x,y,z) = (1,-1,-1/2)

5$'L(&ITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES

5$)$# L!


6/14

r (t )=i+¿ 1

2k =(1,0, 12 )

limt → 0

¿

5$)$2 Co+ti+3i414 4e =3+io+es veto,i1-es

6na función vectorial r es continua en a si

limt → a

r (t )=r (a)

6sando otra notación

limt →t 0

F (t )= F (t 0)

EjeL ? @>'*L 3 "6> %


7/14

S

x

y

(x,y,z) = (1,2,-1)

(x,y,z) = (2,7,5)

Eje


8/14

4

dr

dt =r ' (t )=lim

h →0

r (t +h )−r (t )h

La recta tangente a C en 8 se de#ne como la recta 9ue pasa por 8 y 9ue es paralela al vector

tangente r' (t ) .

*l vector unitario tangente ser/

T (t )= r

' (t )

|r ' (t )|

Teo,e donde f, g, A son funciones derivables,entonces

r'

( t )= ⟨ f '

(t ) , g'

(t ) , h'

(t )⟩=f '

(t ) i+g'

(t ) j+h'

(t )k

EjeL ? @>'*L 3 "6> %


9/14

T

x

y

(x,y,z) = (1,0,0)

x = 1; y = t; z = 2*t

5$5INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

La integral de#nida de una función vectorial continua r t2 se puede de#nir casi de la misma

manera 9ue para las funciones de valores reales, e(cepto 9ue la integral es un vector. 8ero

entonces puede e(presar la integral de r en t$rminos de las integrales i de sus funciones

componentes f , g , h como sigue.

∫a

b

r (t )dt =(∫a

b

f (t ) dt )i+(∫a

b

g (t ) dt ) j+(∫a

b

h (t ) dt )k

*sto 9uiere decir 9ue se puede evaluar una integral de una función vectorial integrando cadafunción componente.

*s posible generalizar el teorema fundamental del c/lculo para funciones vectoriales continuas

como se se:ala a continuación

∫a

b

r (t )dt = R(t )] ba= R (b )− R (a)

Donde R es una anti derivada de r, es decir, RU t2 B r t2.

Eje


10/14

1

∫0

π /2

r ( t ) dt =2 sent ] π /20

i−cost ] π /20

j+ t 2 ] π /20

k

∫0

π /2

r ( t ) dt =2 i−0 j+π

2

4

k

5$5$# Lo+it34 4e 1,o

&uponga 9ue la curva tiene la ecuación vectorial r (t )=⟨ f ( t ) , g (t ) , h(t ) ⟩ ,a≤b≤b o bien, demanera e9uivalente, as ecuaciones param$tricas

x=f (t ) y=g (t ) z=h( t )

Donde fU, gU y AU son continuas. &i la curva se recorre e(actamente una vez cuando t se

incrementa desde a Aasta b, entonces se puede demostrar 9ue su longitud es

L=∫a

b

√ [ f ' (t )]2+ [g ' (t )]

2+ [h ' (t ) ]

2dt =∫

a

b

√(dx

dt )2

+( dydt )2

+( dzdt )2

dt

Las cuales se pueden e(presar de una manera m/s compacta.

r' ( t )= ⟨ f ' (t ) , g' (t ) , h' (t )⟩=f ' (t ) i+g' (t ) j+h' (t )k

Donde |r' (t )|=|f ' (t )i+g' (t ) j+h ' ( t )k |=√ [ f ' (t )]

2+[ g' (t ) ]

2+[ h ' ( t )]

2

Eje


11/14

11

|r' (t )|=√ ( sen2t +cos2 t )+1

|r' (t )|=√ 1+1

|r ' (t )|=√ 2

8or tanto

L=∫0

2π

|r ' ( t )|dt =∫0

2π

√ 2dt =2√ 2π

5$7CURVATURA

&i C es una curva suave de#nida por la función vectorial ,, recuerde 9ue el vector unitariotangente Tt2 esta de#nido por

T (t )= r

' (t )

|r ' (t )|

La curvatura de C en un punto dado es una medida de 9ue tan r/pido cambia la curva dedirección en ese punto. *specí#camente se de#ne como la magnitud de la tasa de cambio delvector unitario tangente con respecto a la longitud del arco.

La curvatura de una curva es

Donde T es un vector unitario tangente.

La cual se puede traducir como

7$ EJERCICIOS PROPUESTOS

7$# 8ara la función vectorial ,t2 B O t3, ln3;t2, t VN

a) >ndi9ue las funciones componentes.b) "ra#9ue el dominio de ,.

7$2 >denti#9ue y gra#9ue la curva representada por

1 2 1 2 1 2%B% Gcosr t sen t i t j para ?W Xt X W

CLC6L= '*C)=R>L ? @>'*L 3 "6> %

k =

|d T

ds

|

k ( t )=|T ' ( t )||r ' (t )|


12/14

1%

7$' Dibu7e 3 gr/#cas soft5are2 de la función vectorial

1 2 B , ,%r t t t vista desde los puntos

dados

a2 ,,%2 b2 1,,2 c2 I,I,I2

7$) *ncontrar el límite

a2

sen (t ) ,t 2

[¿+1,−2cos ( t )]limt →0

¿

b2

sen (t ) , t 2

[¿+1, sen(t ) /t ]limt →0

¿

7$. >ndi9ue el con7unto de valores de t para los cuales ,/t B O eIt, ln1G t2, cos t N es continua

7$5 Describa soft5are2 mediante una función vectorial

a2 La recta 9ue pasa por los puntos 1,%,;12 y 3,1%,112

b2 La curva intersección del cilindro (% G y% B y el cilindro parabólico z B ( %

S.S *ncuentre y gra#9uesoft5are2 la curva de intersección entre las super#cies % %B G z x y

,

G B x y

7$8 alle el vector tangente y el vector normal a la función paro el valor del par/metrosugerido

1 2 1 2 1 2BC G3cos G3r t ti t j sen t k r

Y en tBWZ%

CLC6L= '*C)=R>L ? @>'*L 3 "6> %


13/14

13

7$9 Dada la curva representada por la función vectorial

1 2 1 2 1 2%B cos , ,1t

r t e t sen t r

a2 'eri#car 9ue la curva se encuentra sobre una cu/drica e identifí9uela.

b allar la ecuación de la recta tangente en el punto 1,,12

'eri#car las gr/#cas soft5are2

Resp: a2 (%Gy%Bz% doble cono circular, b2 (;1ByZ%Bz;1

7$# allar la función vectorial1 2r t

primitiva2, dadas las condiciones.

1 2 1 2 1 2 %

1[ Bcos % ; % G

1Gr t t i sen t j k

t

rr rr

con

1 2 B3 ; % Gr i j k

7$## Calcule la longitud de arco de la curva dada

1 23 %

%C

B , ,3 %

t r t t t r

desde ,,2 Aasta

2,

3

28,2

7$#2 Dada la curva representada por la función vectorial

1 2 1 2 1 2B3 cos G3 GCr t t t i tsen t j tk

a2 Demuestre 9ue la curva est/ sobre una cu/drica e identi#9ue la super#cie.

b2 "ra#9ue la curva soft5are2 en el intervalo

[ ]π ,0.

c2 Calcule la longitud de la curva desde el punto ,,2 Aasta el punto ;3W,,W2

7$#' Determine la longitud de la curva de intersección de las super#cies %yB(% y zB(3.Desde ( B Aasta (B . Dibu7e las super#cies y la intersecciónsoft5are2 .

7$#) Calcule la curvatura de la par/bola y B ( ? .%I(% en el punto de abcisa (B% y dibu7ar elcírculo de curvatura soft5are2

7$#. *ncontrar los puntos donde la curvatura es m/(ima para la curva dada . 'eri#car congr/#ca soft5are2

1 23

%B% G ;3

t r t ti t j k

rr rr

7$#5 Cuanto menor sea la curvatura de una carretera m/s deprisa podr/n recorrerla losautomóviles. &upongamos 9ue la m/(ima velocidad en una curva es inversamente proporcional a

la raíz cuadrada de la curvatura. 6n automóvil 9ue via7a por la trayectoria B1Z32\ 3 donde \ y

est/n medidos en millas2 puede ir sin riesgo a 3 millasZAora en el punto 1,1Z32 Pa 9ue velocidad

podr/ circular por el punto 3Z%,TZ42Q . 'eri#car con gr/#ca soft5are2

CLC6L= '*C)=R>L ? @>'*L 3 "6> %


14/14

1

7$#7 *n el instante t0 un astronauta tiene como vector posición la función

1 2 B 13 2 G 1 2 Gcos1% 2r t sen t i tg t j t k r

*n t B WZ apaga su coAete y continua a lo largo de la recta tangente a la trayectoria. PDónde el

astronauta encontrar/ al plano \ G % G 3 ] B 1Q . 'eri#car con gr/#ca soft5are2

Resp: I.S4% , ;.%14 , S.%142

7$#8 6n ob7eto parte del reposo desde el punto , %2 y se mueve con una aceleración

⃗a=i+2 j , donde $sta se mide en piesZseg%. allar la posición del ob7eto despu$s de dos

segundos. =btener la gr/#casoft5are2 del movimiento.

8$ O*SERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al 'C. Desarrollar todas las actividades, los e7ercicios propuestos en esta guía y los

recomendados por el docente. Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de % o 3 estudiantes

6tilice soft5are matem/tico para ayuda con las gr/#cas de algunos e7ercicios. nte cual9uier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías

CLC6L= '*C)=R>L ? @>'*L 3 "6> %

guiaunidad2-cvectorial-p43

Documents