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7/27/2019 GuiaUnidad1EDO-P43 (1)

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ECUACIONES DIFERENCIALES NIVEL 4 GUIA UNIDAD 1

GUA DE APRENDIZAJEUNIDAD 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Objetivos especficos : Comprender cmo las tasas de cambio pueden ser modelados usando la primera y segunda derivada Expresar y comprender la definicin de ecuacin diferencial. Clasificar las ecuaciones diferenciales Comprender el significado de solucin de una ecuacin diferencial dada Encontrar el intervalo de existencia de una solucin Distinguir entre familia de soluciones y solucin particular

Reconocer cuando una ecuacin diferencial de primer orden puede ser resuelta por separacin devariables

Resolver ecuaciones diferenciales lineales usando factores de integracin Comprender el trmino de "ecuacin exacta" Obtener la solucin general de una ecuacin exacta Comprender cmo los mtodos de sustitucin pueden ser usados para simplificar las ecuaciones

diferenciales de primer orden

Resolver problemas planteados desde fsica que puedan ser modelados por ecuaciones diferencialesde primer orden

Interpretar la solucin y sus partes constituyentes en trminos del problema fsico Usar un paquete de software apropiado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden

1. PREREQUISITOSLos temas necesarios para esta unidad son :

Dominio de funciones de una variable Conocimiento de reglas y mtodos de derivacin e integracin. Derivada como una razn de cambio La primera derivada como pendiente de recta tangente Notaciones de la derivada Primera derivada y crecimiento/decrecimiento Manejo de diferenciales Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

2. MATERIAL DE APOYO AUTOR: ZILL DENNIS G,; CULLEN, MICHAEL R.TITULO: Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera / Cengage Learning.

Mexico 7ma. edicin . 2009.

Tabla de integrales y frmulas extrada del texto Software matemtico Calculadora con CAS


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ECUACIONES DIFERENCIALES NIVEL 4 GUA UNIDAD 1

y

3. ACTIVIDADES ESPECFICAS Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. Elaboracin grupal de las respuestas del cuestionario, justificacin de cada etapa del desarrollo

de ejercicios. Discusin grupal sobre procedimientos, resultados. Anlisis crtico de los ejercicios desarrollados.

4. METODOLOGADE TRABAJO El docente durante la clase definir los conceptos necesarios para el desarrollo de la gua. Para lo

cual es imprescindible que el estudiante analice la teora con anterioridad para facilitar el proceso

enseanza-aprendizaje.

En clase los estudiantes organizan equipos (dependiendo del nmero de estudiantes por curso) paradesarrollar las actividades de la gua propuesta

El docente realiza el control de actividades y desarrollo de gua5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)Para reforzar los prerrequisitos resolver los siguientes problemas

5.1 Determinar las siguientes derivadas : cos|| || cos

5.2 Familia de curvasObtenga la familia de curvas para los valores de k= 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3.Siendo f(x)=x sen(x)+k, grafquelas con algn software matemtico en una ventana que contenga el dominio

D:{x/ 3


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3


5.4 Un avin que vuela horizontalmente a una altitud de 1milla y a una rapidez de pasadirectamente sobre una estacin de radar. Calcule la rapidez a la cual la distancia desde el avin a la estacinse incrementa cuando est a 2 millas de la estacin.

6. REVISIN DE CONCEPTOS6.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGASUna ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes con una o ms variablesindependientes se le conoce como una ecuacin diferencial.

La ecuacin planteada (1) es una ecuacin diferencial

(1)Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo: tipo, orden, linealidad.

Ejemplo1 : Ecuaciones diferenciales (2), (3) y (4):

(2) (3) (4)

6.2 TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALESSegn el Tipo:Si una ecuacin solo contiene derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una

sola variable independiente, entonces se dice q es una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) , como se puede

observar en el ejemplo 2 :

(5)Una ecuacin que contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes, respecto a dos o msvariables independientes se llama ecuacin diferencial en derivadas parciales (EDP), como podemos

observar en el ejemplo 3 :

(6)Segn el Orden:El orden de una ecuacin diferencial (ya sea ordinaria o en derivadas parciales) se lo puede ver por la

derivada de mayor orden en la ecuacin como por ejemplo 4 :

, es una EDO de 3Orden (7)Segn la Linealidad:Para que una ecuacin diferencial sea Lineal, debe cumplir con dos criterios.


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4


Es aquella en que la variable dependiente y sus derivadas solo aparecen en combinaciones aditivasde sus primeras potencias (o de grado uno), normalmente tienen el siguiente formato (8).

(8)

Donde , dependen solo del variable independientex

. lascombinaciones aditivas pueden tener coeficientes que dependen de x sin que haya restricciones

sobre la naturaleza de esta dependencia de x. si una ecuacin diferencial ordinaria no es lineal,entonces se conoce como no lineal. Por ejemplo :

(9) (10)

6.3 SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL E INTERVALO DE DEFINICION6.3.1 Solucin de una ED

Una funcin f, definida en algn intervalo I, es solucin de una ecuacin diferencial en dicho

intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad.

6.3.2 Intervalo de definicinEl intervalo I en el cual existe o es vlida la solucin de una ecuacin diferencial se llama intervalo dedefinicin o intervalo de existencia.

Esto implica que debe conocerse el dominio de la solucin de la ED.

Ejemplo 2 : se pide demostrar que es una solucin de=0

Las funciones , y estn definidas para toda

Al sustituir en vez de y en la ecuacin se tiene)=0

Como esto es vlido para cualquier , la funcin es una solucin .

6.3.3 Curva SolucinLa grfica de una solucin de una ecuacin diferencial se conoce como curva solucin, la cual ser vlida solo

en el intervalo de definicin (dominio).

Ejemplo 3 :


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5


Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explcitaso implcitas.

6.3.4 Solucin ExplcitaUna funcin y = h(x) tal que al sustituirla en vez de y en la ecuacin diferencial, satisface la ecuacin paratoda x en el intervalo I es una solucin explicita de la ecuacin en I.

Ejemplo 4 se pide demostrar que y(x) = cos(4x) + sen(4x) es una solucin explicita de (11), (11)

Procedemos a derivar y(x) para verificar que sea solucin de (11),

cos (12)Al sustituir (12) en (11) tenemos,

(13)Como esto es vlido para cualquier, la funcin es una solucin explicita.

6.3.5 Solucin ImplcitaSe dice que una relacin G(x, y)=0 es una solucin implcita de la ecuacin diferencial en el intervalo I sidefine una o ms explicitas en I.

Ejemplo5 mostrar que (14) es una solucin implcita de (15):

(14) (15)Al derivar (14) en forma implcita tenemos,

(16)

Como se aprecia en (16) derivando (14) en forma implcita, obtenemos una ecuacin que es idntica a (15).

As (14) es una solucin implcita dentro del intervalo I .

x

y


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6


6.4 FAMILIA DE SOLUCIONES SOLUCION PARTICULAR Y SINGULARUna ED tiene, generalmente, un nmero infinito de soluciones o ms bien una familia n-paramtrica desoluciones.

El nmero de paramtros, n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores especficos a los paramtros

arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numricos a los paramtros, se obtiene una solucin

particular de la ED.

En algunas ocasiones se tiene una solucin que no pertenece a la familia n-paramtrica, a tales soluciones seles llama singulares.

Ejemplo 6 La ecuacin diferencial Familia de soluciones

6.5 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Si el lado derecho de la ecuacin

Se puede expresar con una funcin g(x)que solo depende de x, por una funcinp (y)que solo depende dey,

entonces la ecuacin diferencial es separable.

De tal manera que la nueva ecuacin se la pueda escribir de la siguiente forma:

6.5.1 Mtodo para la resolucin de Ecuaciones de Variables SeparablesPara resolver la ecuacin:

x

y

c=0

c=0.5

c=1

c=2


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7


Multiplicamos por dx y por h (y) =1/p(y) para obtener :

Luego se integra a los dos lados:

Con los cual nos queda una ecuacin que proporciona una solucin implcita de la ecuacin diferencial:

Ejemplo 7-1 COS(x)y SIN(x)dx = 0

dy COS(x) = - SIN(x)dx ydy COS(x) = - SIN(x)dx2

y

-2 COS(x)y dy = - SIN(x)dx

-2 COS(x)

y dy = - SIN(x) dx

1 COS(x)- = + C

y

1 COS(x) SOLVE - + C, y y

1y = -

COS(x)+ C

Ejemplo 8 ( con valor inicial)dy = 2(y + 1)COS(x)dx

Valor Inicial:


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8


dy = COS(x)dx2(y + 1)

1 dy = COS(x) dx 2(y + 1)

(y + 1) = SIN(x)

Reemplazamos el valor inicial:

C = 1

1/2(y + 1) = SIN(x) + 1

1/2SOLVE((y + 1) = SIN(x) + 1, y)

2

y = SIN(x) + 2SIN(x)

Ejemplo 9 :Suponga que una solucin salina con 3kg de sal por litro se introduce en un tanque que contena

originalmente 400 litros de agua y 20kg de sal. Si la solucin entra a razn de 10 litros/minuto, la mezcla se

mantiene uniforme revolvindola, y la mezcla sale con la misma razn, determine la masa de sal en el tanquedespus de 10 minutos.

Sugerencia : sea A el nmero de kilogramos de sal en el tanque, t minutos despus de iniciar el proceso yaplique el siguiente planteamiento


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9


Razn de incremento A = razn de entrada razn de salida

A(t) es el nmero de kilogramos de sal en el tanque

Entonces tenemos:

dA(t) = proporcin de sal ingreso - proporcin sal que saledt

L 3(t) kg 30 Kg

proporcin sal ingreso = 10 = min L minDesde que el tanque guarda uniformemente, A(t)/400 es la masa de sal por litro que est fluyendo fueradel tanque en el tiempo t.

L A(t) kg A(t) Kgproporcin sal fuera = 10 =

min 400 L 40 min

entonces:

dA(t) A 1200 - A = 30 - = dt 40 40

dA(t) 1200 - A = dt 40

40dA(t) = dt1200 - A

40 dA = 1 dt 1200 - A

- 40LN(A - 1200) = t + C

t CLN(A - 1200) = -

-40 40

-C/40 l dejamos solamente como C


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10


Aplicamos exponencial:

- t/40-A + 120

- t/40- 1200

Hay 20 kg de sal inicialmente en el tanque, as A(0) = 20. Usando esta condicin inicial, nosotrosencontramos:

0/4020 - 1200

0/40SOLVE(20 0, C)

C = 1180

Substituimos en la solucin:

- t/40A = - 1180 0

- 10/40A(10) = - 1180 0 = 281kg

6.6 ECUACIONES CONVERTIBLES (SUSTITUCIONES)Las ecuaciones diferenciales que son ms fciles de poder resolver mediante la conversin a variables

separables son fciles de reconocer ya que estas son ecuaciones diferenciales homogneas, existen varias

formas de definir este tipo de ecuaciones para lo cual tenemos:

6.6.1 Definicin de Ecuacin Diferencial HomogneaUna Ecuacin Diferencial Ordinaria de Primer Orden de la forma:


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Se dice que es homognea si al hacer el cambio de variable , donde es una nueva funcion incgnita,en la expresin de es posible, mediante algebra, eliminar todos los trminos en , es decir:

Para poder reconocer estas ecuaciones se debe tener en cuenta:

Tanto en el numerador como el denominador de el grado de los trminos deben ser el mismo.6.6.2 Resolucin de ecuaciones homogneasUna ecuacin diferencial ordinaria homognea puede resolverse usando la siguiente estrategia:

Se cambia: a en la ecuacin diferencial. Se simplifica y despeja : la nueva ecuacin diferencial debe ser de variables separables Se resuelve la nueva ecuacin diferencial para (por variables separables).

En la solucin se cambia porEjemplo 10 :

- ydx + (x + (xy))dy = 0

y x

y = ux

dy = d(ux)dy = dux + udx

y x xy - dy = 0

x x 2 x se sustituye los valores de y/x con u y dy = dux + udx

- udx + (1 + u)dy = 0

- udx + (1 + u)(dux + udx) = 0

3/2x(u + 1)du = u dx

u + 1 dx 3/2 x

u

3/2 1 1 u du + -


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12


u x

5/22u - LN(x) + C

5

y 5/22 y x LN - LN(x) + C x 5

6.6.3 Ecuaciones de la Forma Cuando al lado derecho de la ecuacin

se puede expresar como una funcin de la combinacin de donde ay bson constantes, es decir, Entonces la sustitucin es: transforma la ecuacin en una ecuacin separable.

Ejemplo 11dy 2

(x - y + 5)dxse realiza el siguiente cambio de variable:

z = x - y

dz dy 1 - dx dxd dz 1 - dx dx

Se reemplaza en la ecuacion anterior:

dy 2 - y) + 5]dx

dz 21 -

dx

dz 2-

5) - 1

dx


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13


dz 2 - (z + 5)dx

1- dz = 1 dx

2

(z + 5)

1 = x + Cz + 5

1 = x + Cx - y + 5

6.6 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS6.7.1 Definicin de Ecuacin ExactaUna ecuacin diferencial es exacta si existe una funcin , llamada funcinpotencial de la ecuacin diferencial, cuya diferencial coincide con , es decir:

y Si son continas en un rectngulo Rde plano,Entonces es exacta en Rsi y solo si

6.7.2 Mtodo para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas Si es exacta, entonces Se integra esta ltima ecuacin con respecto a xpara obtener:

Si es exacta, entonces Se integra esta ltima ecuacin con respecto a ypara obtener: Se compara (1) y (2) para determinar g(y) , y h(x) La solucin de esta dada de manera implcita por:

Ejemplo 12 :

(COS(x)COS(y) + 2x)dx - (SIN(x)SIN(y) + 2y)dy = 0


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14


F = (COS(x)COS(y) + 2x) dx

F = COS(y) COS(x) dx + 2x dx

2F = SIN(x)COS(y) + x + g(y)

F = (SIN(x)SIN(y) + 2y) dy

F = SIN(x) SIN(y) dy + 2y dy

2F = y - SIN(x)COS(y) + h(x)

2 2y - SIN(x)COS(y) + x = C

Ejemplo 13 :

1 2 2 + 2y x dx + (2yx - COS(y))dy = 0 x

My = 4xy Nx = 4xy , por lo tanto es una EDO exacta .

1 2 F =

dx

x 2 2F = LN(x) + x y + g(y)

2F = (2yx - COS(y)) dy

2 2F = x y - SIN(y) + h(x)

Comparando las dos funciones solucin queda :

2 2x y - SIN(y) + LN(x) = C

Remplazando valor inicial

2 2-

2


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15


2 2 2x y -

6.7.3 FACTORES DE INTEGRACINDefinicin

Se denomina factor integrante a cualquier funcin tal que multiplicando por ella la ecuacin

diferencial ordinaria de la forma se obtiene la ecuacin diferencial exacta:

En general la expresin de un factor integrante se obtiene resolviendo la ecuacin

en derivadas parciales:

Casos Particulares

Caso en el que el factor integrante depende de una expresin conocida z(x,y)

En este caso el factor integrante se obtiene mediante:

Caso en el que el factor integrante solo depende de la variable independiente x



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16


Caso en el que factor integrante solo depende la variable dependientey


La ecuacin diferencial no lineal de primer orden:

No es exacta, si definimos a , se determinan las derivadas parciales y . Como podemos observar no es exacta, para poder convertir se utiliza cualquiera de las siguientesformulas dependiendo del factor que se desee encontrar:

Para nuestro caso utilizaremos la frmula (2) ya que el factor que vamos a encontrar no debe quedar en

funcin de y :

Entonces el factor que encontramos es Una vez encontrado el factor se lo multiplica a toda la ecuacin por el dicho factor:

Despus de haber multiplicado se debe comprobar que se transformo a una ecuacin exacta.

Ejemplo 142 2

2xydx + (y + 3x )dy = 0

d (2xy)dy

d d 2 2 (2xy) (y + 3x )dy dx

2x 6x

La EDO no es exacta y se la debe multiplicar por un factor integrante :

((Nx - My)/m)

(6x - 2x)/(2xy) dy


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17


4x/(2xy) dy

2/y dy

2

u = y

se multiplica el factor encontrado por toda la ecuacin :

3 4 2 22xy dx + (y + 3x y )dy = 0

d 3 d 4 2 2 (2xy ) = (y + 3x y )dy dx

2 2

6xy = 6xy

Una vez que ya se haya multiplicado por el factor integrante encontrado la ecuacin diferencial seconvierte en Exacta y se continua con el proceso normal para resolver una ecuacin diferencial exacta.

3 4 2 2(2xy )dx + (y + 3x y )dy = 0

3F = 2xy dx

2 3

F = x y + g(x) 4 2 2

F = (y + 3x y ) dy = 0

5y 2 3 x y + h(y)5

5y 2 3

- x y = c

5

6.8 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDENUna ecuacin diferencial ordinaria de primer orden en una ecuacin diferencial ordinaria donde intervienenderivadas de primer orden respecto a una variable independiente.

Tiene la siguiente forma:


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Donde solo dependen de la varibale independiente x, no asi de y.La cual se escribir en la forma canonca dividiendo por , como:

Si b(x)es igual a 0, la ecuacin diferencial se la denominara como ecuacin diferencial lineal de primer orden

homognea

Si b(x)es diferente de 0, la ecuacin ser denominada como Ecuacin Diferencial lineal de primer orden

completa.

6.8.1 Factor IntegranteA partir de la siguiente ecuacin:

Se quiere determinar de modo que el lado derecho de la ecuacin multiplicada

Es claro que para esto debe satisfacer Para hallar tal funcin, reconocemos que la ecuacin es una ecuacin diferencial separable, quepodemos escribir como

. Al integrar ambos lados obtenemos:

6.8.2 Mtodo para resolver ecuaciones lineales Escriba la ecuacin en forma cannica Calcule el factor integrante mediante la frmula

Multiplique la ecuacin en forma cannica por y, recordando que el lado izquierdo esprecisamente , obtenga:

Integre la ultima ecuacin y determine y dividiendo entre para obtener

{ }


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19


Ejemplo 15 :dy 3x -dx

P(x) = 1

Utilizamos la frmula de factor integrante

(-

-

Multiplicamos toda la ecuacin por el factor integrante

-x dy -x -x 3x

-

dx

-x dy -x 2x -

dx

Procedemos a integrar

-xe y

d -x 2x

(e y) = e dx d -x 2x (e y) dx = e dx dx

-x 2xye - y = e dx

2x-x e

ye = + C2 2x -x e SOLVE y e = + C,y 2

3xe x y = + C e

2


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20


Ejemplo 16 :dy y x - dx x

y(1) = e - 1

Sacamos el factor integrante mediante la formula1

P(x) = - x

(- 1/xdx) = e

1

-

dx

x

- LN(x)

- LN(x) = e

-1 = x

1 =

x1 dy y x - x dx 2

x

Procedemos a Integrar

d y x dx x

y x d = x

y x x

y x SOLVE

x

x


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Aplicamos el valor inicial y(1)=e-1

e -

SOLVE(e -

C = -1

x- x

6.9 VARIACIN DE PARMETROSEste mtodo es de gran utilidad para resolver ecuaciones lineales de orden superior, este se basa en la idea de

conocer tan solo la formade la solucin, podemos sustituirla en la ecuacin dada y hallar el valor de todas lasincgnitas, aqu se ilustra el mtodo para las ecuaciones de primer orden:

La solucin general de

Tiene la forma

Donde es una solucin homognea de la ecuacin (1) cuando , y la solucin particular para una funcin adecuada .


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Al conocer la forma de la solucin homognea , podemos determinar la funcin incgnita resolviendo unaecuacin separable. Despus, una sustitucin directa en la ecuacin original dar una ecuacin sencilla dondepuede hallarse .Aplique este procedimiento para determinar la solucin general de:

Completando los siguientes pasos:a) Determine una solucin no trivial de la ecuacin separable

b) Suponiendo que (2) tiene una solucin de la forma , sustituya esto en la ecuacin(2) y simplifique para obtener .c) Ahora, se integra para obtener v(x).d) Verifique que es una solucin general de (2)6.9.1 Ecuacin de BernoulliLa Ecuacin de Bernoulli es una ecuacin de primer orden la misma que se puede escribir en la forma:

Donde P(x)y Q(x)son continuas en un intervalo (a,b) y nes un numero real, es una ecuacin de Bernoulli.

En el caso de que n=0 o 1, la ecuacin de Bernoulli es una ecuacin lineal la misma q se puede resolvermediante la sustitucin para todos los valores de n, la sustitucin

Esto hace que ecuacin de Bernoulli se transforme en una de ecuacin lineal como se puede demostrar en la

siguiente ecuacin:

Al hacer y usar la regla de la cadena vemos que

De modo que la ecuacin (1) se convierte en:

Como 1/(1-n) es solo una constante, la ultima ecuacin obtenida realmente es lineal.

Ejemplo 17dy 3


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- 1)dx

4y' = xy - y

4

y' + y = xy

n = 4

-3v = y

-4v' = - 3y y'

-4 -4 4- 3y (y' + y) = (- 3y )xy

-4 -3- 3y y' - 3y = - 3x

v' - 3v = - 3x

se obtiene una ecuacin lineal en v y se resuelve con factor integrante

z = EXP( -3 dx)

- 3x

- 3x - 3x- - 3x)

- 3x - 3x- 3v) = -

d - 3x - 3x -dx

- 3x - 3x -

- 3x- 3x -

3

- 3x - 3x - SOLVE 3

3x 1

3


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24


-3 3x 1 3

1 3x 1

3 3y

6.10 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOSNormalmente en las ramas de la ingeniera, se desarrollan modelos matemticos para comprender mejor losfenmenos fsicos. Normalmente estos fenmenos producen un modelo matemtico que se traduce en una

Ecuacin Diferencial.

Siempre que un modelo matemtico implique la razn de cambio de una variable con respecto a otra, es

probable que aparezca una ecuacin diferencial. Las ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de

reas del conocimiento, no solo en las ciencias fsicas, sino tambin en campos de ndole diversa, como laeconoma, la medicina, la psicologa, y la investigacin de operaciones a continuacin se muestran algunos

ejemplos de modelos matemticos.

6.10.1 Enfriamiento de un metal :Un metal C se calienta hasta alcanzar una temperatura de 118 C luego de ello se lo coloca en un cuarto cuyatemperatura es de 29 C, luego de haber transcurrido tres minutos una segunda medicin da una temperatura

de 99 C cunto tiempo le tomara al metal llegar a la temperatura del medio?

El modelo matemtico a usarse es la ley de enfriamiento de newton

Cundo , como menciona que luego de tres minutos la temperatura es entonces laecuacin diferencial queda expresada como:

Como se puede observar la ecuacin es una EDO lineal que se puede resolver por medio del mtodo devariables separables ya que hay un producto en dicha ecuacin , tambin se debe mencionar que laVD es la temperatura, y la VI es el tiempo.

Luego de reconocer la ecuacin resolvemos:

ln


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25


ln l n

ln l n

Como en la ecuacin diferencial no es posible determinar el tiempo exacto en el que se enfra ya que adespejar el tiempo nos queda un logaritmo de un nmero negativo por lo cual nos guiamos por medio de latabla para determinar el tiempo de enfriamiento

6.10.2 Circuito serie RLCDado el circuito serie RLC, si aplicamos la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK), a la malla de la figura 1,tenemos:

Figura 1: Circuito Serie RLC


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Dado que i=dq/dt , obtenemos una EDO de 2Orden Lineal, cuya solucin indica cmo se comporta la cargadel circuito, y al derivar esta ecuacin tambin se obtiene la corriente que circula por cada elemento.

6.10.3 Cada libre de un cuerpoSupongamos que un cuerpo de masa m se deja caer libremente desde una altura h, en la figura 2 sepresenta el diagrama de cuerpo libre, donde hay dos fuerzas presentes la F que es de rozamiento con el aire yes proporcional a la velocidad, k es una constante, y W que es el peso de la partcula, entonces aplicando lasegunda ley de Newton, obtenemos:

Figura 2: Diagrama de Cuerpo Libre

Como observamos haciendo los reemplazos de las razones de cambio se tiene una EDO de 1 Orden Lineal.

6.10.4 Concentracin en la mezcla de fludosSupongamos que una solucin salina con 3kg de sal por litro se introduce en un tanque que contena

originalmente 400 litros de agua y 20kg de sal. Si la solucin entra a razn de 10 litros/minuto, la mezcla se

mantiene uniforme revolvindola, y la mezcla sale con la misma razn ver figura 3.


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Figura 3: Diagrama representativo en la mezcla de fluidosSi consideramos A(t) , es el nmero de kilogramos de sal en el tanque por lo tanto:

dA(t)/dt = proporcin de sal dentro (Ri) proporcin sal fuera (Ro)Dado que la solucin que ingresa sale con la misma velocidad, la cantidad de litros de solucin salina para

cualquier tiempo t en el tanque es constante e igual a 400 litros, por ende, la concentracin de la sal en elrecipiente y en la salida es, A(t)/400, y esto representa la masa de sal por litro que est fluyendo.

La ltima expresin representa una EDO de 1 Orden Lineal, que est sometida a una condicin inicial, dada

por las circunstancias del problema.

7. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS PROPUESTOS7.1 En la siguiente tabla, clasifique la Ecuacin Diferencial, por los criterios de Tipo, Orden, Linealidad,Homognea o No Homognea, en la ltima columna indique la funcin incgnita, aclarando adems cul es la

variable dependiente y la o las variables independientes en esta funcin:

ECUACINDIFERENCIAL TIPO ORDEN LINEALIDAD(SI) O (NO)HOMOGNEAMARQUECON UNA (X)

NOHOMOGNEAMARQUE CONUNA (X)FUNCIN V.D.V.I.

7.2 En cada uno de los problemas, verifique que la funcin o funciones que se dan son una solucin de laecuacin diferencial:

a) b)

7.3 Dada la EDO de segundo orden : a) Comprobar que la solucin es cos


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28


b) Como sera la solucin particular, si se tienen las condiciones iniciales, (0)=0 y (0)=1,c) Ayudarse de software para graficar la solucin para el intervalo 0


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29


d) Resp :

7.11 Escoger la opcin que contiene la solucin particular de la ecuacin diferencial dada, justifique surespuesta:

( ) a) b) c) No puede usarse cambio de variabled) No se puede integrar por los mtodos directos.

7.12 Resuelva la ecuacin utilizando el mtodo de Bernoulli

7.13 Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela donde hay 1000estudiantes. si se supone que la rapidez con que se propaga el virus es proporcional , no solo a la cantidad x

de alumnos infectados sino tambin a la cantidad de alumnos no infectados , determine la cantidad de

alumnos infectados seis das despus si se observa que a los cuatro das x(4)=50Resp : x(6)=276 alumnos

7.14 Un barco que pesa 48.000 toneladas parte del reposo bajo el impulso de una fuerza propulsoraconstante de lb Asumir que tonlb

a) Hallar su velocidad como una funcin del tiempo t, sabiendo que la resistencia en libras es de

estando velocidad medida en piessegundoResp : b) Hallar la velocidad Terminal (esto es v cuando t en fts2.(Tmese g = 32 pies/seg2)

Resp : 7.15 Un tanque contiene originalmente 400 lit. de agua limpia. Entonces se vierte en el tanque agua quecontiene 0.05 kg de sal por litro a una velocidad de 8 lit. por minuto y se deja que la mezcla salga bien

homogenizada con la misma rapidez .

Resuelva la ecuacin diferencial que describe el modelo y grafique la solucin

7.16 Un asado de 4 libras inicialmente a 50F se coloca en un horno a 375F a las 5 P.M despus de 75 minutosse observa que la temperatura del asado es 125F


7.17 Justo antes del medioda se encuentra el cuerpo de una vctima de un presunto homicidio dentro de uncuarto que se conserva a una temperatura constante de 70F. A las 12 del da la temperatura del cuerpo es de

80F y a la 1 P.M es de 75F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6F y que este se haenfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton.



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