Introducción a las Funciones

Comencemos con un ejemplo

Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde

se para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo

camino que había elegido para la ida.

Observando atentamente la gráfica podemos averiguar muchas cosas del paseo que dio el ciclista: distancia más lejana a la que

llegó, kilómetros recorridos, tiempo que estuvo fuera, momento en que come...

La gráfica representa la relación entre dos variables: el tiempo que transcurre desde que parte el ciclista de su casa y la

distancia a la que se encuentra de su casa en cada momento.

Cada punto de la gráfica representa un tiempo y una distancia, y significa que el ciclista está a esa distancia cuando

haya transcurrido ese tiempo desde el momento en que partió.

Analizando la gráfica apreciamos las franjas de tiempo en que el ciclista está avanzando o está quieto, las franjas en

las que vuelve frente a las de ida, e incluso las franjas en las que el ciclista pedalea a mayor o menor velocidad (quizás

inducida por la pendiente menor o mayor del terreno durante esa zona de tiempo).

Además las escalas de cada eje son diferentes:

En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora.

En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms.

Estas escalas nos permiten cuantificar la ruta (no sólo describirla cualitativamente). Por ejemplo: el punto más lejano

al que llegó el ciclista estaba a 80 kms. de su casa, y allí llega a las 6 horas de haber salido.

Vemos que la gráfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista.

El intervalo [0, 8'5] se llama dominio de definición de la función.

ACTIVIDADES:

Observando la gráfica anterior, responde:

¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer?

¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada?

¿Cuánto tiempo ha estado comiendo?

¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar?

¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada?

¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista?

¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?

Definición

Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.

“x” es la variable independiente (en el ejemplo del ciclista, el tiempo); “y” es la variable dependiente (en el ejemplo, es la

distancia respecto al punto de partida).

La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo que se escribe ( )y f x

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar

relaciones matemáticas:

La distancia recorrida por un móvil al transcurrir el tiempo.

El volumen de un líquido al aumentar la temperatura.

El impuesto de circulación que paga un vehículo en una ciudad según la cilindrada del motor del mismo.

El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma.

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y.

El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función.

Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos

variables.

¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?

De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. Observa:

En ésta a cada valor de x de la variable independiente (eje de abscisas) le corresponde un único

valor imagen y de la variable dependiente (ordenadas).

En ésta hay algunos valores de la variable independiente x a los

que corresponden más de un valor de la dependiente, lo que

contradice la definición de función.

ACTIVIDADES:

1. Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que sí lo sean, indica cuál

representa la variable independiente y cuál la dependiente.

A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente.

A todo número natural se le asocian sus divisores.

A cada día del año se le asocia la cotización del euro frente al dólar.

A todo número fraccionario se le asocia su inverso.

A todo número se le asocia su raíz cuadrada.

A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase.

A todo número se le asocia su doble más siete.

2. ¿Cuáles de éstas gráficas no corresponden a una función? ¿Por qué?

¿Cómo se nos presentan?

Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con funciones. Se nos presentan de

diferentes maneras:

1. Mediante su representación gráfica.

La cotización en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 días en que se sacó a bolsa es la función representada

en la imagen anterior.

Como mejor podemos apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica, por eso,

siempre nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya representada.

La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización del producto en miles de

euros.

2. Mediante una tabla de valores.

Observa los siguientes datos que se dan en una tabla:

x (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y (miles) 3 6 12 24 48 96 192 384 768

Corresponden al número aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas. La variable independiente es el tiempo medido en horas y la dependiente el número de bacterias en miles.

Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en un sistema cartesiano y con ello conseguir, al menos de forma

aproximada, la gráfica de la función que mide los miles de bacterias en cada hora.

3. Mediante su expresión analítica o fórmula.

El área de un círculo es función de su radio y se calcula a través de la expresión 2.A r La variable independiente es la

medida del radio (aquí se usa la letra r para esta variable) y la dependiente es la medida del correspondiente área que aquí se

representa por la letra A.

La expresión analítica es la forma más precisa y manejable de dar una función, pero a partir de ella el estudio posterior y la

obtención de la gráfica es una tarea minuciosa si se quiere obtener una gráfica lo suficientemente real de la función. Siempre es

posible dar a la variable independiente valores y conseguir los correspondientes de la variable dependiente con los que

construir una tabla y conseguir una gráfica aproximada.

4. Mediante un enunciado.

"Un padre que estuvo observando desde el balcón a su hijo Alberto como iba al colegio:

De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato

sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya

estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco;

volvió corriendo, la recogió y llegó a la escuela a las 9 en punto."

Este enunciado representa una función que describe la distancia a la que se encuentra Alberto según el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la mañana, y su gráfica aproximada es la representada a la derecha.

ACTIVIDADES:

1. Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en España en un día promedio del año 1993. El porcentaje se

refiere a toda la población española de 14 años o más.

¿Entre qué horas se realiza la medida?

¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que

escuchan la radio? ¿Cuándo disminuye?

¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de

oyentes?

¿Cuál es el máximo de la tarde? ¿Y de la noche?

¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana? ¿Y a las

9 de la noche?

2. La siguiente tabla muéstralos datos recogidos respecto a la longitud del feto durante el embarazo según las semanas de

gestación:

x y

5 1

10 7

15 15

20 25

25 35

30 42

35 48

40 52

Usando la tabla de valores, representa gráficamente la función.

Señala cuál es la variable independiente y cuál la dependiente y en qué se mide cada

una.

Durante las primeras dos o tres semanas de gestación el feto es casi microscópico.

¿Cuánto medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y media.

¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer?

Si la expresión P = 0'025·l3 nos da de forma aproximada el peso del feto en gramos

según su longitud l en centímetros. Construye la correspondiente tabla y diguja la

gráfica de la función que representa el peso en gramos del feto según la semana de

gestación.

3. Un remonte de una pista de montaña funciona de 9 de la mañana a 4 de la tarde y su recorrido es el siguiente:

Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10

minutos. Está parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido.

Dibuja la gráfica que representa el recorrido del remonte.

¿Cuál es la posición del remonte a las 12 h 30 min? ¿Y a las 12 h 20 min?

¿Observas alguna característica especial en la gráfica? Coméntala.

Dominio

En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.

Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.

Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

1. Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.

Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio. En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas). En este caso tenemos que Dom f = (- , 2) U (2, 7]

De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastamos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.

2. Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.

Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:

FUNCIONES POLINÓMICAS:

Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3x5- 8x + 1; D(f) = R

g(x)= 2x + 3; D(g) = R

h(x)=½ ; D(h) = R

FUNCIONES RACIONALES:

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:

Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.

Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.

Por lo tanto D(f) = R.

FUNCIONES IRRACIONALES:

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:

Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1;

x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, + ).

Por lo tanto D(f) = [-1, + ).

Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo.

Por lo tanto D(g) = (- , -5] U [+5, + )

Resolvemos la inecuación x2- 2x - 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x - 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.

¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.

R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: D(h) = (- , -2) U (+4, + ) (observa los extremos excluidos).

ACTIVIDADES:

Obtén el dominio de definición de las funciones que se dan representadas gráficamente en la página

que encuentras.

Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuación:

Variaciones de una función. Crecimiento-Decrecimiento de la función y máximos y mínimos.

1. Crecimiento y Decrecimiento.

Un determinado parásito se reproduce dividiéndose en dos cada segundo. La función que

determina el número de parásitos que hay en cada segundo de tiempo que transcurre es la

representada a la derecha, y por el sistema de reproducción del parásito es obvio que a medida

que pasa el tiempo hay mayor número de ellos.

Es decir, al aumentar el valor de la variable x, también aumenta el valor de la variable y. Esto es

que la función es estrictamente creciente.

Si x1<x2 => f(x1)<f(x2)

(Se mantiene entre los valores de la variable dependiente la desigualdad que existía entre los valores de la

dependiente).

Al aumentar la altura por encima del nivel del mar a la que nos encontremos,

la presión atmosférica va disminuyendo, además no uniformemente, sino que

al principio disminuye más rápidamente que después.

Es decir, al aumentar el valor de la variable x, ahora disminuye el valor de la

variable y o imagen. Esto es que la función es estrictamente decreciente.

Si x1<x2 => f(x1)>f(x2)

(ahora, entre las imágenes, se invierte la desigualdad que existía entre los valores

de la variable independiente)

Pero la mayoría de las funciones no van a ser siempre creciente o siempre

decreciente, sino todo lo contrario, es decir, que se presentarán como la

que se muestra en la gráfica de la derecha, que tiene trozos en los que su

comportamiento es creciente, y trozos en los que su comportamiento es

decreciente.

El estudio del crecimiento-decrecimiento de una función lo haremos por

intervalos del dominio, indicando en cuáles es creciente y en cuáles

decreciente.

A partir de la gráfica se ve claro el crecimiento-decrecimiento de una

manera intuitiva, pero siempre mirándola de izquierda a derecha que es

como va aumentando la variable independiente x.

2. Máximos y mínimos relativos.

Debido precisamente a esos cambios que vemos en algunas funciones, que en determinados puntos del eje de abscisas pasan

de crecer a decrecer o viceversa nos aparecen los extremos relativos (máximos relativos y mínimos relativos).

Una función f tiene un máximo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser creciente a la izquierda de x0

a ser decreciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un máximo relativo si f(x0) > f(x) para cualquier x de un entorno

cercano a x0.

Sería el caso de la función representada aquí, tendría en 2 un máximo relativo.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x0 del eje de abscisas si la función pasa de ser decreciente a la izquierda de x0 a ser creciente a la derecha de x0. Es decir, f tiene en x0 un mínimo relativo si f(x0) < f(x) para cualquier x de un entorno cercano a x0.

Aquí vemos que en x=2 hay un mínimo relativo, la función pasa de ser decreciente a

creciente.

Una función puede tener varios extremos relativos, de entre ellos, si existe, llamaremos

máximo absoluto al valor x0 que cumpla f(x0) > f(x) para cualquier x del dominio, y

análogamente llamaremos mínimo absoluto, si existe, al valor x0 que cumpla f(x0) <

f(x) para cualquier x del dominio.

Para ver el estudio de máximos y mínimos en la gráfica en que viste crecimiento y

decrecimiento vuelve a pulsar aquí y señalando sobre los puntos correspondientes de la

gráfica y pulsando te aparecerá el dato de máximo o mínimo.

ACTIVIDADES:

1. Estudia el crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de las funciones que se dan en esta página.

2. Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana.

¿El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8?

Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente.

¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros? ¿Cómo dirías que es la función en ese tramo?

¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros?

3. La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad:

¿Cuándo crece el nivel de ruido? ¿Cuándo decrece?

Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima

Simetrías

Observa la gráfica de la derecha. La parte de la curva a la izquierda del eje Oy es la imagen reflejada de la que está a la derecha del eje. Esto es que la función es simétrica respecto del eje Oy o simétrica par.

Una función es simétrica respecto al eje Oy (eje de ordenadas) si cumple que f(x) = f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría par de la función f.

La función aquí representada es y = x2. Es obvio que x2 = (-x)2.

En cambio ésta otra de la izquierda muestra como la rama de la izquierda del eje vertical es el reflejo de la de la derecha, pero no respecto a este eje, sino respecto al origen de coordenadas. Ahora la función es simétrica respecto al origen, o sea, simetría impar.

Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si cumple que f(x) = - f(-x) para cualquier x del dominio. Esto se conoce como simetría impar de la función f.

Ahora la función representada es y = x3+x; (-x)3+(-x) = - x3-x

Las simetrías arriba descritas no son características que se den muy a menudo en las funciones, pero algunas, por su expresión algebraica sí que las presentan.

ACTIVIDADES: 1. Analiza la simetría de estas funciones:

o y = x o y = x4

y = 2x + 1

y = x3

2. Indica si alguna de las funciones que se presentan aquí representadas son simétricas de alguno de los dos tipos.

Continuidad

Para que nos hagamos una idea, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo la dibujada a continuación:

Pero la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continua sólo en algunos "trozos" de su

dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades.

Veamos algunos tipos de discontinuidades que pueden presentarse:

Discontinuidad de salto finito.

Se presentará una discontinuidad de salto finito en un valor x = a cuando en la gráfica observemos una separación o salto entre dos trozos de la función que pueda medirse. Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha.

En la gráfica representada a la derecha observamos lo indicado.

Discontinuidad de salto infinito.

Cuando en un punto de la curva observamos que la tendencia a la izquierda o a la derecha (o

ambas) es a alejarse al infinito (más infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con

una discontinuidad de salto infinito en el punto a.

· Discontinuidad evitable.

Si nos encontramos que la continuidad de la gráfica se interrumpe en un punto donde no hay imagen, o la imagen está desplazada del resto de la gráfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto a.

Aquí la tendencia de la función a la izquierda de a y a la derecha de a sí coincide, sin embargo es f(a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe.

ACTIVIDADES:

Estudia la continuidad en las funciones que se te presentan.

Otras características de las funciones.

Concavidad-convexidad.

Diremos que una función es CÓNCAVA si su gráfica queda por encima de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos.

La situación correspondería a esta imagen de la derecha:

Diremos que una función es CONVEXA si su gráfica queda por debajo de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos.

Ahora la situación sería la dibujada aquí en esta otra gráfica:

Pero las funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino que tendrán tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde se produzcan esos cambios de concavidad a convexidad o viceversa serán los que llamaremos PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Periodicidad.

Observa la siguiente gráfica:

Como puedes comprobar, la curva se repite cada cierto intervalo del eje de abscisas, a esto llamamos periodicidad.

Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período, es decir, f(x) = f(x+T) = f(x+2T) =..., siendo T el valor del período.

ACTIVIDADES:

Estudia los intervalos en los que la siguiente función es cóncava o es convexa. Encuentra los puntos de inflexión:

De las siguientes funciones indica cuál es periódica y cuál no. En la que sí lo sea intenta hallar el período:

¿Evaluamos lo aprendido? Principio del formulario Ahora puedes realizar este test que te servirá para evaluar lo aprendido:

En una función, ¿le pueden corresponder a la variable independiente más de

un valor de la variable dependiente?

Si No

El conjunto de valores de la variable independiente a los que siempre le

corresponden valores de la dependiente se llama:

Ordenada Campo de continuidad Dominio

¿Representa la imagen de la izquierda una función?

Si No

Señala entre las siguientes características las que presenta la

función de la izquierda:

convexa decreciente simétrica par periódica

continua

El dominio de esta función es:

[-6,+infinito)

En el punto x=-3 la función tiene una discontinuidad de tipo:

salto infinito

En el punto x=1 la función tiene una discontinuidad de tipo:

salto infinito

En x=3 la discontinuidad es del tipo:

salto infinito

Escribe la zona de crecimiento:

Escribe la zona de decrecimiento:

Escribe la zona de concavidad:

Escribe la zona de convexidad:

Máximos relativos:

Mínimos relativos:

La función con simetría par es:

La Nº1