7/24/2019 Gua N10 Problemas de Optimizacin

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Profesor Jonathan Rojas 1

Gua 10: Problemas de Optimizacion.Mat 188-03

1. Sean a,b,k constantes reales positivas. Cual es el mnimo valor que toma la funcionf(x) =aekx +bekx?

2. Sea f(x) = a+x

4 +x2. Sabiendo que la grafica de la funcion tiene un maximo local en el

punto de abscisa x= 2, determine el valor de a.

3. Determine los maximos y mnimos de f(x) =x7

x3

en el dominio D= [1, 2].

4. Halle los maximos y mnimos de la funcion f(x) = |x|

1 x2 .

5. Encuentre dos numeros no negativos tales que su suma sea 1 y la suma de sus cuadradossea maxima.

6. Un grupo de fsicos se encuentra en la estacion espacial chilena Volantn estudiando laorbita de un cometa. Ellos han determinado que esta orbita es parabolica de ecuacion

y=

1

4 x2

,

tomando el origen en Volantny midiendo las longitudes en Unidades Astronomicas Apro-piadas (UAA). En este mismo sistema, el sol est a en la posicion S= (1, 2). Se sabe quepor su composicion qumica, el cometa explotara si su distancia al sol fuera menor o iguala 1 UAA. Explotara el cometa?

7. De las tangentes a la curva y = e1x en el primer cuadrante, determine aquella que conlos ejes coordenados forman un triangulo de area maxima.

8. Cuales son las dimensiones del rectangulo de area maxima que tiene su base en el eje de

las abscisas y sus otros dos vertices sobre la curva parabolica y= 16 x2

?

9. Demuestre que el rectangulo de area maxima que puede ser inscrito en una circunferenciade radio R, es un cuadrado.

10. Sia, b >0,demuestre que el maximo valor de la funcionf(x) =a sin x+cos xes

a2 +b2.

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11. Resuelva el siguiente ejercicio sabiendo que si en un cilindro el radio basal es de rmetrosy la altura mide h metros, entonces su volumen esta dado por r2h [m3] y el area por2rh + 2r2 [m2].

Para almacenar cierto producto, se desea fabricar un tarro cilndrico que contengap [m3].

El material para construir las tapas y el costado cuestan $ay $bpor metro cuadrado res-pectivamente. Determine, en terminos de a, b, plas dimensiones del tarro mas economico.

12. Se va a confeccionar una caja rectangular con tapa a partir de un trozo de carton rectan-gular de 30 [cm] de longitud y 15 [cm] de ancho. Para ello se corta un cuadrado en dosextremos del carton y un rectangulo en cada esquina del otro extremo, como se muestraen la figura. Encuentre las dimensiones de la caja con que se obtiene el volumen m aximo.

13. El abrevadero de la figura se debe construir con las dimensiones que se indican en la figura.Solo se puede variar el angulo . Que valor de maximizara el volumen del abrevadero?

14. Se desea que las pagina de un libro tengan un area de 900 [cm2] con margenes de 2,5 [cm]abajo y a los lados, y 1,5 [cm] arriba. Determina las dimensiones de la pagina que daranmayor area posible para el texto.

15. En que punto la tangente a la curvay = 2x3

3x2 + 6xtiene la pendiente mas pequena?

Cual es la pendiente de la tangente en ese punto?

16. Encuentre la ecuacion de la recta tangente L a la grafica de la funcion f(x) = 1x2 en elpunto (x0, y0) tal que el triangulo en el primer cuadrante, acotado por los ejes coordenadosy la recta L, tenga area mnima.

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