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Ingreso a la Universidad Seminario Universitario Taller de Matemtica

Ejercicios 2015

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Ejercitacin: TRIGONOMETRA I Sistemas de medicin de ngulo. Relaciones trigonomtricas. Resolucin de tringulos.

1. Expresar la medida en radianes de los ngulos que en grados miden :

a) 30 b) 37 20 c) 25 36 48

2. Expresar la medida en grados, minutos y segundos de los siguientes ngulos medidos en radianes:

a) 1 b) 4

c) 3

2

3. Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justificar en cada caso.

a) = b) 2 0.909297 c) = 0 d) 60 =

e) = 180 f) x tal que = 2 h) 0 cos 1para todo x.

4. Indicar en qu cuadrante (o cuadrantes) queda localizado el (o los) ngulos para que se

satisfagan las siguientes condiciones: a) tg () > 0 y sen() < 0. b) tg() y cos() tienen el mismo signo. c) sen() y cos() tienen el mismo signo. d) Todas las funciones trigonomtricas tienen el mismo signo.

5. Mediante la utilizacin de la circunferencia trigonomtrica (centrada en el origen y radio 1),

deducir las siguientes relaciones a) ' = cos' b) 180 ' = ' c) 180 + ' = '

6. La distancia entre los edificios A y B es de 120 m. Si el

edificio A mide 98 m. de altura y el ngulo de elevacin desde el punto ms alto del edificio A al punto ms alto del edificio B es de 31, hallar la altura del edificio B.

7. Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que el alambrado que lo atraviesa diagonalmente mide 649 m. y forma con uno de los lados limtrofes un ngulo de 3726. 8. Hallar el ancho CD del ro, si = 20, = 51, AB = 30m.

31 120m A=98m B


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9. Hallar sabiendo que:

a) tg = 1 y sen > 0

b) tg = 13

y cos < 0

c) tg = 2 y que est comprendido entre 0 y 360

10. La altura de la torre de la figura es de 35,083 m. Calcular la distancia BD entre las dos posiciones sucesivas de un observador, si: = 5012 y = 3254.

Respuestas

1. a) ) b) 0,652 c) 0,447

2. a) 57 17 44 b) 45 c) 270

3. a) Falso: = *+, b) Verdadero c) Falso: - no existe d) Verdadero e) Falso: cos = f) Falso: 1 1 g) Verdadero h) Falso: 1 1

4. a) III cuadrante b) I o II cuadrante c) I o III cuadrante d) I cuadrante

6. El edificio B tiene una altura de 170,1 metros.

7. La superficie del campo es de 203297,07 m2.

8. El ancho del ro es de 26,13 m.

9. a) = 45 b) = 210 c) 1 = 63 26 5 ; 2 = 243 26 5

10. La distancia BD es de 25 metros.

h

D B M


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Ejercitacin: TRIGONOMETRA II Relaciones trigonomtricas de un mismo ngulo. Ecuaciones trigonomtricas.

1. a) Utilizando la Relacin Pitagrica,' + ' = 1

- Expresar el ' en funcin del ' - Expresar el 'en funcin del '

b) Expresar',',',' en funcin del ' y del ', segn

sea cada caso

2. Calcular las relaciones trigonomtricas, en forma exacta, en cada caso siguiente: a) ' = 23 y ' > 0 b) ' = -3 y ' est en el

3er. Cuadrante.

c) ' = 35 , 0 '

d) ' = 3) 4to. Cuadrante.

3. Probar las siguientes identidades.

a) 6789:67*+6: =

;: b) cos' . '. ' = 1

c)*+,


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Respuestas 1. a)

sen' = G1 ' cos' = G1 '

b)

tg' = *+,:67*: cosec' = *+,: cotg' = 67*:*+,: sec' = 67*:

2. a) ' = -3;' =2- ; ' =

3- ; ' =

32 ; ' =

-2

b)' = 3;' =- ; ' =

3- ; ' =

3; ' =

-

c) ' = -3K ;' =

K ; ' =

K-3 ; ' = 9; ' =

53

d) ' = 3);' =

3 ; ' =

)

; ' = 5; ' =

)

4. a) b)) ;

3) ;

2) ;

) c)0, , 2 d)

M ;

3M ;

KM ;

M

e)0; ; ;3

;

;

2

; 2 f)

;

2) ;

) g)

) ;

3) ;

2) ;

)

5. a)2N + d)2N +M ; 2N +

3M ; 2N +

KM ; 2N +

M

g)2N +) ; 2N +3) ; 2N +

2) ; 2N +

)

6. 2' = 2' cos'

2' = ' sen' ' + C = ' cosC + Ccos'cos' cosC sen'C

' + C = ' + C1 'C

2' = 2'1 '

7. a) Reemplazamos en la ecuacin ' + C = ' cosC sen' C , con C = ;

' + = cos' cos '

Pero cos = 0O = 1

' + = '


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Prctica Integradora Trigonometra

1. El ancho de una calle es de 20 m y ubicndome en el centro de la misma, puedo ver 2 edificios

de ambos lados. Mido los ngulos que forman las visuales con los puntos ms altos de los edificios y la horizontal, los cuales resultan ser de 60 y de 45 respectivamente. Cunto mide cada edificio? Realizar una figura de anlisis.

2. Hallar sabiendo que sen() = - y cos() < 0.

3. Determinar el permetro del parque cuyos datos se consignan en el

siguiente croquis. Datos: A = 11 m, B = 26 m, D = 9 m, = 110. 4. Verificar la identidad )(cos)(sec)(cos).(sec 2222 xecxxecx += 5. Para conocer la altura de una torre hemos medido el ngulo que

forma la visual al punto ms alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34. Al acercarnos 15 m hacia la torre, obtenemos un nuevo ngulo de 57 Cul es la altura de la torre?

6. Una rampa de 4 m est apoyada sobre una pared de 2 m de altura sobre un piso horizontal. Si

una persona camina sobre la rampa 2 m. A qu altura del suelo se encuentra? Qu inclinacin tiene la rampa?

7. Resolver senx = 2cosx, x [0; 2]. 8. Hallar el permetro del tringulo ABCU que tiene lados ABVVVV = 3cm; ACVVVV = 4cm y el ngulo en el

vrtice A es tal que cosAY = 1 3Z . 9. Resolver en [0; 2] la ecuacin sen2x = cosx. Sabiendo que sen+ = sen cos + sencos.

10. Se divide un cuadrado de 16 cm2 de superficie en dos figuras trazando una recta paralela a una diagonal del cuadrado, formando un tringulo y un pentgono, el que tiene el doble del rea del tringulo. Se pide: a) Graficar las figuras involucradas. b) Calcular la hipotenusa del tringulo. c) Determinar el o los lados ms cortos del pentgono.

11. Un tringulo rectngulo issceles tiene 16 cm2 de superficie. Se pide graficar la figura de

anlisis y calcular la hipotenusa del tringulo. 12. Cul es el valor de la tangente del ngulo tal que sen() = 0,4 y 90 < < 180?

13. La longitud de arco S distendido entre los lados de un ngulo que mide

) rad. vale -) cm, si el

valor del radio de la circunferencia a la que pertenece es de 4 cm, VERDADERO O FALSO?


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14. Para construir un tnel en una montaa que une las localidades P y T se desea determinar su longitud. Para ello se elige un punto C desde donde puede verse ambas localidades, midindose TCVVVV = 370m, PCVVVV = 442m y el ngulo TCPU = 108. Hallar la longitud del tnel. Graficar.

Respuestas

1- h1 = 10 3 m, h2 = 10 m.

2- 2286.

3- P 35,32 m.

4- VERDADERO

5- h 18,01 m.

6- hpers = 1 m, = 30.

7- x1 = 45, x2 = 135.

8- Permetro = 7 + 33 .

9-

=

2

3,

6

5,

2,

6

CS

10- b) H 4,6 cm.

c) L 0,74 cm.

11- H = 8 cm.

12- tan() -0,44

13- VERDADERO

14- LT 658,3 m.

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