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Liceo Manuel Barros Borgoño Departamento de Matemática

Profesores.

B. Morales-M. Bustamante-F. Jorquera

GUIA DE EJERCICIOS TIPO PSU

ECUACIONES Y FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO MATEMÁTICA COMÚN

1) El vértice de la parábola 58²)( xxxf corresponde al par ordenado:

a) (4,11) b) (4, −11) c) (−8,5) d) (−4,11) e) (8,5)

2) Las coordenadas del punto en que la parábola asociada a la función 975)( 2 xxxf , intersecta con el eje

Y son: a) ( -9 , 0 ) b) ( 0 , -9 ) c) ( 9 , 0 ) d) ( 0 , 9 ) e) no se puede determinar

3) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = –x2 + 2 ?

a) b) c)

d) e)

4) Las coordenadas del punto en que la parábola asociada a la función 975)( 2 xxxf , intersecta con el

𝑒𝑗𝑒 𝑦 son: a) ( -9 , 0 ) b) ( 0 , -9 ) c) ( 9 , 0 ) d) ( 0 , 9 ) e) no se puede determinar

5) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de segundo grado? a) 𝑥2 – 2𝑥 = 0 b) (𝑥 + 1) 𝑥 + 2 = 0 c) (2𝑥 + 1)2 = 4 𝑥2 d) (𝑥 + 3) (𝑥 − 3) = 2𝑥 e) 𝑥2 – 5𝑥 = 𝑥

6) ¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación 𝑥2 + 6𝑥 – 16 = 0? a) 4 𝑦 − 4 b) 8 𝑦 − 2 c) −4 𝑦 − 4 d) 16 𝑦 − 16 e) 8 𝑦 − 8

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x


Profesores.


7) ¿Cuál es el producto de las soluciones (o raíces) de la ecuación 5𝑥2 – 6𝑥 + 1 = 0?

a) −3

5

b) −1

5

c) 1

5

d) 3

5

e) 6

5

8) Una ecuación de segundo grado cuyas raíces, 𝑥1 y 𝑥2, satisfacen las igualdades (𝑥1 + 𝑥2) = −2 y 𝑥1 · 𝑥2 = 5 es

a) 𝑥2 – 2𝑥 – 5 = 0 b) 𝑥2 – 2𝑥 + 5 = 0 c) 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 d) 𝑥2 + 2𝑥 – 5 = 0 e) 𝑥2 – 5𝑥 – 2 = 0

9) La suma de las soluciones de la ecuación 𝑥2 = 64 es a) 64 b) 16 c) 8 d) 0 e) −8

10) ¿Qué valor debe tener 𝑘 en la ecuación 3𝑥2 – 5𝑘𝑥 – 2 = 0, para que una de sus raíces sea −2? a) 0 b) 1 c) -1 d) -20 e) -4

11) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 5𝑥 + 6?

12) El punto que no pertenece a la función 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 es: a) (1,4) b) (−1,0) c) (0,1) d) (2,9) e) (1,1)


Profesores.


13) En la función 𝑦 = 4𝑥2 + 2 𝑥 + 1 , las coordenadas de su vértice son:

a) (1,4) b) (−1,0) c) (0,1) d) (2,9)

e) (1,1)

14) El recorrido de la función del ejercicio anterior es: a) [4, +∞[ b) ] − ∞, −4] c) ] − ∞, 4] d) [− 4, +∞[ e) N.A

15) Dada la función 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 13, el menor valor perteneciente al recorrido es

a) −2 b) 3 c) −3 d) 4 e) -4

16) La gráfica de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3) × (𝑥 + 2) corta al eje 𝑥 en

a) 3 𝑦 2 b) – 3 𝑦 2 c) 3 𝑦 – 2 d) – 3 𝑦 – 2 e) – 1 𝑦 – 6

1

a) (0,1) b) (1,0) c) (−1,0) d) ( 2 , −1) e) (1,1)

18) Las coordenadas del vértice del gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 1 son a) (−1, 4) b) (1, 2) c) (−1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0)


Profesores.


19) ¿Cuál de las siguientes figuras representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1? 20) La figura representa el gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Se verifica que: a) a<0; c<0 b) a<0; c>0 c) a>0; c>0 d) a>0; c<0 e) Falta información 21) Si 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2 + 2𝑥 + 3 si 𝑘 > 0. Entonces la gráfica que corresponde a esta función es:

22. ¿Cuál de las siguientes funciones puede representar la parábola de la figura? a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2


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23) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función 𝑓(𝑥) − 𝑥2 − 4?

24) Si en la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, 𝑎 𝑦 𝑏 son no nulos y de signos opuestos, entonces ¿cuál(es) de los siguientes gráficos puede(n) representar la función 𝑓(𝑥)? I) II) III) IV)

a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y III d) Sólo I y IV e) Sólo I, III y IV 25) La parábola de la figura, es la representación gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑐 + 𝑏𝑥 – 𝑎𝑥2 Del gráfico se puede deducir que a) 𝑎 < 0 𝑦 𝑏2 – 4𝑎𝑐 = 0 b) 𝑎 > 0 𝑦 𝑏2– 4𝑎𝑐 = 0 c) 𝑎 < 0 𝑦 𝑏2– 4𝑎𝑐 > 0 d) 𝑎 > 0 𝑦 𝑏2– 4𝑎𝑐 < 0 e) Nada se puede deducir 26) La intersección de la parábola 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 12 con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 es en los puntos: a) (6,0) y (2,0) b) (−6,0)𝑦 (−2,0) c) (−6,0)𝑦 (2,0) d) (0,6) 𝑦 (0, −2) e) (6,0) 𝑦 (−2,0) 27) La intersección de la parábola con el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 es en el punto: a) (− 3,0) b) (0,3) c) (0, −3) d) (3,0) e) No se puede determinar


Profesores.


28) La función que representa la curva dada es: a) 𝑦 = 𝑥2 + 4 b) 𝑦 = 𝑥2 − 4 c) 𝑦 = −𝑥2 − 4 d) 𝑥 = 𝑦2 − 4 e) 𝑥 = 𝑦2 + 4 29) La función cuya gráfica es la dada en la figura cumple las siguientes condiciones: A) Δ > 0 ; 𝑎 < 0 B) Δ = 0 ; 𝑎 > 0 C) Δ = 0 ; 𝑎 < 0 D) Δ < 0 ; 𝑎 > 0 E) Δ > 0 ; 𝑎 > 0 30) La gráfica que representa mejor a la función 𝑓(𝑥) =

(𝑥 – 2)2es:

31) El recorrido de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 9 =0 es: a) [-2,∞] b) [2,∞] c) 0 d) R (números reales) e) N.A.

32) La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑦 en el punto: a) (2 , 0)

b) (4 , 0) c) (0 , 8) d) (8 , 0) e) (2 , 0) 𝑦 (4 , 0)

33) La función f(x)= x2-3x-10 intersecta el eje x en los puntos: a) (0 , −10) b) (−10 , 0) c) (−2,0) 𝑦 (5,0) d) (0 , 2) 𝑦 (0 , −5) e) (0 , 0)

34) La ecuación de segundo grado 12𝑥2 – 4𝑥 + 7 = 0, tiene:


Profesores.


a) Dos soluciones reales, iguales b) Dos soluciones reales, distintas c) Dos soluciones complejas d) Una solución real y una compleja e) No tiene solución

35) El eje de simetría de la función 6𝑥2 + 10𝑥 − 9 es:

a) 𝑥 =5

3

b) 𝑥 =3

5

c) 𝑥 = −5

6

d) 𝑥 = −6

5

e) 𝑥 = −9

6

36) ¿Cuál(es) de las siguientes parábolas ubicadas en un plano cartesiano corresponde(n) a la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 > 0, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 𝑦 𝑐 > 0?

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo II y III e) Ninguna de ellas

37) ¿En qué punto se encuentra el vértice de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 8?

a) (2, 4) b) (4, 2) c) (2, 2) d) (2, 8) e) (4, 4)

38) ¿Cuál es el punto mínimo de la parábola: 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 5? a) (−2, −9) b) (2, 9) c) (−2, 9) d) (2, −9) e) (−2,18)

39) ¿Cuál es el punto máximo de la parábola: 𝑦 = − 2𝑥2 + 8𝑥 − 10?

a) (−2, −2) b) (2, 2) c) (−2, 2) d) (2, −2) e) (−2,4)


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40) ¿En qué puntos se intersectan la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 6 y la recta 𝑦 = −2?

a) (−2, 2) 𝑦 (−4, 2) b) (−2, −2) 𝑦 (−4, −2) c) (2, −2) 𝑦 (4, −2) d) (−4, 2) 𝑦 (4, 2) e) (2, 2) 𝑦 (−4, 2)

41) ¿En qué puntos se intersectan las parábolas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 y 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 8?

a) (−4, 0) 𝑦 (2, 0) b) (4, 0) 𝑦 (−2, 0) c) (−8, 0) 𝑦 (4, 0) d) (−4, 2) 𝑦 (2, 2) e) No se intersectan

42) Dada una ecuación cuadrática cuyo discriminante es uno, siempre se puede determinar que:

a) No tiene raíces reales. b) Tiene dos raíces reales y distintas. c) Tiene dos raíces reales e iguales. d) Tiene sólo una raíz real. e) Las dos raíces siempre son positivas.

43) Dada la parábola: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, ¿en qué puntos intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥?

a) (−1, 0) 𝑦 (−3, 0) b) (0, 1) 𝑦 (0, 3) c) (−1, 0) 𝑦 (3, 0) d) (1, 0) 𝑦 (3, 0) e) (0, −1) 𝑦 (0, −3)

44) Si el discriminante de la ecuación de segundo grado asociada a una función cuadrática es 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)?

I. La parábola es tangente al 𝑒𝑗𝑒 𝑥. II. El vértice está ubicado en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. III. Las raíces de la ecuación de segundo grado asociada a la función son reales e iguales.

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguna de ellas.

45) Determine cuál de las siguientes parábolas corta al 𝑒𝑗𝑒 𝑋.

a) 𝑦 = 𝑥2 + 9𝑥 + 18 b) 𝑦 = − 𝑥2 − 8𝑥 + 20 c) 𝑦 = 𝑥2 − 15𝑥 + 54 d) 𝑦 = 2𝑥2 + 8𝑥 + 7 E) Todas cortan al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.

46) Para que la ecuación 5𝑥(𝑥 + 2) = 𝑘 carezca de raíces reales, deberá cumplirse que:

a) 𝑘 < −5 b) 𝑘 > −5 c) 𝑘 ≤ 5 d) 𝑘 < 5 e) 𝑘 > 5

47) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 32, entonces, el mínimo valor que toma la función es :


Profesores.


a) – 36 b) – 28 c) – 20 d) – 2 e) 2

48) ¿Para qué valor de 𝑘, la parábola 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 𝑘 intersecta en un punto al 𝑒𝑗𝑒 𝑥?

a) 1

3

b) – 3

c) 1

3

d) 3 e) Ninguno de ellos

49) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 21, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El gráfico de la función intersecta al eje X en 2 puntos II) 𝑓 (−2) > 0 III) Su valor mínimo es −4

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) I, II y III

50) Sea 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 32, entonces, el máximo valor que toma la función es: a) 36 b) 28 c) 20 d) 2 e) – 2

51) La intersección de la parábola cuya ecuación es 𝑦 = 2 𝑥2 + 3 𝑥 − 2 con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 es en los puntos

a) (1

2, −2)

b) (1

2, 0) y (2,0)

c) (0,1

2)

d) (1

2, −2)

e) (1

2, 0) 𝑦 (−2,0)

52) El vértice de la parábola cuya ecuación es 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 24 tiene por coordenadas

a) (1, −25) b) (1 , 25) c) (−1 , 25) d) (−1, −25) e) (0 , −24)

53) ¿Qué valor debe tener k en la función 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑘 − 1 − para que el punto (0,0) pertenezca a ella ? a) 0 b) 1 c) -1

d) 3

2

e) −1

2


Profesores.


54) La función que representa la curva dada es:

a) 𝑦 = 𝑥2 + 2 b) 𝑦 = 𝑥2 − 2 c) 𝑥 = 𝑦2 + 2 d) 𝑥 = 𝑦2 − 2 e) 𝑦 = −𝑥2 − 2

55) A partir del siguiente gráfico podemos afirmar que la ecuación cuadrática asociada a la curva del gráfico.

a) Tiene solución imaginaria b) Tiene una raíz negativa c) Tiene raíces reales e iguales d) Tiene raíces reales y distintas e) No tiene solución

56) La gráfica de la ecuación cuadrática 𝑦 = 3 𝑥2 − 2𝑥 − 5 intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑦 en el punto:

a)(5

3, 1)

b) (5

3, 0)

c) (0, −1) d) (0, −5) e) (−5,0)

57) La función asociada al gráfico es:

a) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 b) 𝑦 = − 𝑥2 − 2 𝑥 – 3 c) 𝑦 = − 𝑥 + 2𝑥 + 3 d) 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 – 3 e) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3

58) La gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 − 3 intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 en:

a) 3 𝑦 −1

3

b) −3 𝑦 1

3

c) −3 𝑦 1

3

d) 3 𝑦 1

3

e) 3 𝑦 − 3


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59) La función cuya gráfica es la dada en la figura cumple las siguientes condiciones: A) 𝐷 > 0; 𝑎 > 0 B) 𝐷 = 0; 𝑎 < 0 C) 𝐷 > 0; 𝑎 < 0 D) 𝐷 < 0; 𝑎 < 0 E) 𝐷 = 0; 𝑎 > 0 60) La función cuya gráfica es la dada en la figura cumple las siguientes condiciones: a) D = 0 ; a > 0 b) D = 0 ; a < 0 c) D = 0 ; a = 0 d) D > 0 ; a > 0 e) D < 0 ; a < 0 61) La gráfica de la función 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 en: A) 0 𝑦 2 B) 0 𝑦 3

C) 0 y 2

3

d) 0 𝑦3

2

e) 0 𝑦 −2

3

62) La gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 1 intersecta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 en: a) 𝑥 = 1 b) 𝑥 = 0 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = −2 e) No lo intersecta 63) Las coordenadas del vértice de la parábola cuya función es 𝑦 = 9𝑥2 + 6𝑥 − 8 son:

a) (1

3, 9)

b) (−1

3, 9)

c) (1

3, −9)

d) (−1

3, −9)

e) (− 3,−9) 64) El recorrido de la función 𝑦 = 16𝑥2 − 1 es: a) ] − ∞, 1[ b) ] − ∞, −1[ c) ] − ∞, 1[ d) ]1, +∞[ e) [−1,1] 65) El recorrido de la función 𝑦 = − 𝑥2 + 2𝑥 + 15 es: a) ]16, +∞[ b) ]-16,+∞[ c) ] − ∞, −16] d) ] − ∞, 16] e) [−16,17]


Profesores.


66) La función asociada al gráfico es: a) 𝑦 = −4𝑥2 + 4𝑥 − 3 b) 𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 − 3 c) 𝑦 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 3 d) 𝑦 = −4𝑥2 − 4𝑥 + 3 e) 𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 3 67) El vértice de la parábola representado por la función 𝑦 = 2𝑥2 − 1 es: a) (0,0) b) (0, −1) c) (0,1) d) (0,2) e) (0, −2) 68) las coordenadas del punto en que la parábola asociada a la función 𝑦 = 5𝑥2 − 7𝑥 + 9 intersecta al eje Y son: a) (-9,0) b) (0,-9) c) (9,0) d) (0,9) e) No se puede determinar 69) Los ceros de la función 𝑦 = 8 + 2𝑥 − 𝑥2 son: a) 2 y 4 b) 4 y 0 c) 2 y -4 d) 0 e) -2 y 4 70) En la función 𝑦 = 4𝑥2 − 4𝑥 − 3 las coordenadas de su vértice son:

a) (−1

2, 4)

b) (2,-4)

c) (1

2, −4)

d) (2,4)

e) (−2,1

4)

71) El punto mínimo de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 1 es: a) (−37,7)

b) (7

6, −

37

12)

c) (7, −37)

d) (−7

6,

37

12)

e) (6,12) 72) Dadas las funciones 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3 se afirma que: a) Todas tienen su vértice en el punto (0,0) b) Todas tienen su concavidad positiva y eje de simetría cuya ecuación es 𝑥 = 0 c) Todas tienen igual eje de simetría d) Todas tienen concavidad positiva e intersectan al eje y en el mismo punto e) todas las afirmaciones anteriores son falsas


Profesores.


73) La función 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 15 alcanza su máximo valor para: a) 𝑥 = 5 b) 𝑥 = −3 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 1 e) 𝑥 = −5 74) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9𝑥 + 14 . Determina en qué puntos el gráfico de la función corta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 . a) -2 y -7 b) c) 9 y -14 d) 7 y 2 e) No corta el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 . 75) Se puede determinar el eje de simetría de la parábola cuya función es 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 si:

(1) 𝑏 = − 4 (2) 𝑐 = − 5

a) (1) por sí sola. b) (2) por sí sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por sí sola. e) Se requiere información adicional. 76) Se puede determinar que la representación gráfica de la función 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 intersecta en un punto al eje X si:

(1) 𝑏 = −8 (2) 𝑐 = 20

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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