7/26/2019 Guia de Deriparcial

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Gua de repaso 0

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas

parciales de una funcin de varias variables de rdenes segundos, terceros y

superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de

orden superior por su orden de derivacin. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas

de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se

debe observar que hay tipos de notacin para las derivadas parciales cruzadas,

segn convenio se utilice para indicar el orden de derivacin. As, la parcial

Orden de derecha a izquierda

Indica que la primera derivacin es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

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Indica que la primera derivacin es con respecto a y. Observar que con ambas

notaciones se deriva primero respecto de la variable que est ms cercana a f.

Ejemplo 3.4

Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular

el valor de fxy(-1,2)

Solucin

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede

frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1

Si f es una funcin de x e y tal que f, fx, fy, fxyy fyxson continuas en la reginabierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la funcin

Solucin

Las parciales primeras son,

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Y las parciales cruzadas son,

Ejercicios

Ejercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ejercicio 3.2

Evaluar fxy fyen el punto que se indica

1. , (2,-2)

2. , (1,0)

3. , (2,-2)

4. , (1,0)

Ejercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales fxx, fyy, f xy yfyx

1.

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2.

3.

4.

Ejercicio 3.4

Demostrar que fxy=fyx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio 3.5

Verificar que la funcin satisface la ecuacin de Laplace

Ejercicio 3.6

Utilizar la definicin mediante lmites de las derivadas parciales para encontrar

fx(x,y) y fy(x,y)

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Evaluacin

1) Se N el nmero de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentacin y

alojamiento y t el precio de la matrcula. Supongamos que N es una funcin de p y

de t talque Np