guía acadèmica matemàtica i manuel buenaño

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACION A DISTANCIA

ING. MANUEL BUENAÑO MBA.

GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE PARA EL MODULO DE

MATEMATICA 1CARRERA INGENIERIA DE EMPRESAS Y RECURSOS

HUMANOS

Publicaciones de la Universidad Tecnológica EquinoccialSept 2012 –feb 2013QUITO- ECUADOR

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1. BIENVENIDA

Quienes formamos parte de la Universidad Tecnológica Equinoccial, y en especial la carrera de Administración de Empresas y Recursos Humanos

de la Modalidad de Educación a Distancia queremos darle una cordial bienvenida y felicitarle por

el avance de sus estudios en esta modalidad, en la cual me será muy grato

apoyarle en calidad de TUTOR, en la materia de MATEMATICAS 1.

Anhelo brindarle asesoramiento grupal e

individual, trabajo conjunto en el cual aspiro que Ud. exponga sus inquietudes,

podamos intercambiar ideas, reflexionar, comparar y construir una respuesta

que le permita poner en juego su creatividad, imaginación,habilidades y destrezas y así,

desarrollar un método de aprendizaje que

facilite el cumplimiento de nuestros objetivos.

2. PRESENTACION DEL TUTOR

. PERMITAME PRESENTARME, soy Manuel Buenaño, su TUTOR, Una breve reseña de mi actividad docente y profesional es la siguiente:

EXPERIENCIA DOCENTE:

28 años como Profesor en las modalidades Presencial y Educación a Distancia Además Director de Tesis y Miembro de Tribunales de Grado, en:* Escuela Politécnica del Ejército, Facultades de Ingeniería Comercial y Administración de Empresas,. * Universidad Central del Ecuador, Facultad de Ciencias Administrativas. * Universidad Tecnológica Equinoccial –UTE, Escuela de Contabilidad y Auditoría, Y Carrera de Turismo y Preservación Ambiental, Hotelería y Gastronomía..

EXPERIENCIA PROFESIONAL:

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Consultor en Empresas Públicas y Privadas.Auditor Técnico de la Contraloría General Del Estado en el Municipio de Quito. Director de Planificación en INAMHI y Ministerio de Trabajo y Empleo, Asesor de La Dirección General del IESS; Director de Recursos Humanos en la DINSE.Puede contactarse conmigo a través del celular 093 321 607, y al correo electrónico [email protected].

El HORARIO DE ATENCION ES: LUNES DE 17HOO A 18H00 Y LOS SABADOS DE 7H00 A 9H00. LE AGRADECERE CUMPLIR CON ESTE HORARIO.

3. INTRODUCCIÓN

La Asignatura desarrolla las técnicas matemáticas, que le sean útiles al futuro profesional formado en el sector de las empresas y los recursos humanos, para la toma de decisiones relativas a la optimización de recursos escasos, en el marco de la búsqueda permanente de las mejores alternativas en los diferentes problemas matemáticos empresariales, coordinando a futuro con los conocimientos específicos de otras ciencias como: estadística, administración, finanzas, talento humano, mercadeo, etc; lo cual le permitirá tener éxitos en el manejo gerencial de los negocios, en un marco de principios técnicos y éticos,

La materia tiene por objetivo desarrollar la capacidad del estudiante para analizar, comparar y resolver problemas matemáticos, utilizando técnicas y procedimientos de resolución sobre la base de conocimientos sólidos, en un marco de lógica, sentido común y razonamiento práctico.

La METODOLOGIA a aplicar se fundamenta en el APRENDER HACIENDO, para lo cual el estudiante debe establecer una autodisciplina de estudio y desarrollar la lectura comprensiva.

Por su parte la UTE, que mantiene un programa académico en constante evolución y actualización a las necesidades modernas de la profesión, a implementado esta asignatura enfocada en forma práctica, por ello la Matemática que se imparte es de aplicación directa en la gestión gerencial. Se refuerza la enseñanza con materiales documentales y audiovisuales, junto con las tutorías virtuales mediante videoconferencias.

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mailto:[email protected]

PRODUCTOS ESPERADOS.-

Reforzar los conocimientos matemáticos adquiridos por el alumno en el bachillerato e incorporar nuevas tendencias pedagógicas: aprendizaje activo, participativo y colaborativo, uso del software matemático, el trabajo en equipo y el manejo de técnicas profesionales.

De modo que al concluir el nivel, el alumno esté capacitado para:

1. Desarrollar el Pensamiento analítico para Identificar y analizar los factores que intervienen en los problemas empresariales, y poder aplicar conceptos y técnicas matemáticas al mundo de los negocios.

2. Determinar y aplicar los marcos conceptuales relevantes y técnicas adecuadas para abordar problemas en el marco de la gestión empresarial mediante conocimientos de matemáticas unidos al de otras ciencias.

3. Desarrollar habilidades de pensamiento global crítico y sano juicio empresarial, logradas al experimentar un autoaprendizaje orientado y sostenido.

4. CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

UNIDAD Nº 1 FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA(CAPITULO 0 DEL TEXTO)

1. Los números reales2. Exponentes y radicales3. Operaciones con expresiones

algebraicas4. Factorización y fracciones5. Ecuaciones lineales6. Ecuaciones cuadráticas

Para entender la aplicación de las matemáticas a los negocios y a las ciencias sociales es vital saber Algebra, cuyo contenido que corresponde a simplificación de expresiones algebraicas, fracciones, monomios, polinomios, etc. es parte del conocimiento fundamental de la materia.Empiece por los objetivos y trate de comprender el por qué el conocimiento del álgebra básica es importante para los administradores, revise con detenimiento el estudio relacionado con el campo de los números reales (recuerde que no necesita memorizar), luego prosiga con el brevísimo repaso de Aritmética (recuerde que el álgebra se fundamente en estos conocimientos elementales). Después continúe con los conocimientos básicos del álgebra. Continúe con el tema de la división, note que se fundamenta en conocimientos de la escuela ya adquiridos por usted.Finalmente tratará las expresiones racionales y la teoría de exponentes junto con los radicales.UNIDAD Nº 2 DESIGUALDADES LINEALES Y

VALOR ABSOLUTO(CAPITULO 1 DEL TEXTO)

1. Desigualdades lineales y aplicaciones

2. Valor absoluto y Notación de sumatoria.

La solución de muchos problemas de aplicación empresarial abarca el tema de la línea recta, fundamentados en las ecuaciones con una variable, y posteriormente, en base a dichos conocimientos es factible resolver las

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desigualdades Con estas herramientas el futuro profesional podrá atender positivamente la resolución de situaciones especiales en el manejo de los recursos empresariales.

UNIDAD Nº 3 FUNCIONES Y GRAFICAS(CAPITULO 2 DEL TEXTO)

1. Funciones 2. Funciones especiales3. Gráficas

Las funciones le permitirán al profesional, a futuro, resolver temas de ingreso y de mercado; las funciones definidas por expresiones polinomiales o racionales son de uso cotidiano en los negocios y, en especial en la matemática aplicada, asì se demuestra la importancia de estos temas avanzados de matemáticas 1.

UNIDAD

Nº 4

UNIDAD No. 5

RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES(CAPITULO 3 DEL TEXTO)

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS(CAPITULO 4 DEL TEXTO)

1. Rectas y aplicaciones de funciones lineales

2. Funciones cuadráticas3. Sistemas de ecuaciones lineales

- Funciones exponenciales, y logarítmicas

- Ecuaciones logarítmicasy exponenciales.

Este tipo de funciones juegan un papel clave en Administración, Economía y Ciencias Sociales, ya que se usan para estudiar el crecimiento del dinero y de las organizaciones, curvas de aprendizaje, crecimiento poblacional, etc. Lo cual permite que el futuro profesional vaya ingresando a un mundo diferente del conocimiento apoyado en los números.

4. BIBLIOGRAFIA

TEXTO GUIA: HAEUSSLER,JR. Ernest, RICHARD Paul y RICHARD Wood, Matemáticas para Administración y Economía, décimo segunda edición, Editorial PEARSON – PRENTICE HALL. 2008.

Es altamente recomendable que el estudiante tenga el texto, ya que el proceso de enseñanza lo requiere.

Adicionalmente en este archivo de la GUIA ACADEMICA, que consta en la plataforma WEB de la UTE, se han incluido resúmenes de la teoría, pastillas prácticas (orientaciones especificas de uso práctico) y ejercicios tipo resueltos

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acompañados de explicaciones didácticas. Pero en ningún caso estos apuntes reemplazan al material del texto guía.

5. LO QUE EL ESTUDIANTE DEBE SABER SOBRE LA EDUCACION A DISTANCIA

Es una modalidad educativa que mediante diferentes métodos, técnicas, estrategias y medios, en una situación en que tutores y estudiantes se encuentran separados físicamente y solo se relacionan de manera presencial ocasionalmente. Por tanto la posibilidad de enseñanza SE BASA EN LA COMUNICACIÓN NO PRESENCIAL.

Estudiar a distancia supone autodidaxia., es decir el estudio por uno mismo, el estudio independiente, sin asistir a clases presénciales. Así, la mayor responsabilidad del aprendizaje recae en el estudiante, quien debe organizarse adecuadamente para cumplir con éxito su objetivo.

EL SISTEMA PEDAGÓGICO de la Universidad Tecnológica Equinoccial se ajusta a las modernas técnicas de enseñanza a distancia, haciendo que sus educandos a distancia disfruten del aprendizaje de las diversas materias de la carrera seleccionada, garantizando el éxito para aquellos estudiantes que estén dispuestos

a mantener un proceso eficiente de auto educación, con disciplina, autodominio de estudio y organización de actividades.

CÓMO ESTUDIAR A DISTANCIA?

SI USTED DESEA TENER ÉXITO EN SU ESTUDIO, ES IMPORTANTE QUE, DURANTE EL DESARROLLO DE LAS GUÍAS Y EXÁMENES DEL TRIMESTRE, TOME EN CONSIDERACION LAS SIGUIENTES INSTRUCCIONES:

Nuestro mayor interés es, que usted desarrolle una LECTURA COMPRENSIVA, sin olvidar que, el avance

en dicha lectura se consigue reflexionando sobre el contenido conceptual y de cada ejemplo, comprendiendo el por qué, razonando los cálculos y analizando los resultados.

Para tener éxito en su lectura siga las siguientes pautas:

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No inicie la lectura señalada sin saber cuáles son las actividades que se le proponen en relación con ésta.

Revise brevemente los temas propuestos en el capítulo para que se entere de qué se trata su estudio.

Lea con detenimiento marcando el texto y registrando las dudas o las reflexiones que le vayan surgiendo. Le serán útiles en la instancia tutorial donde podrá aclarar los puntos confusos.

En ningún momento intente aprender de memoria conceptos o definiciones; por el contrario haga lo posible por comprender el significado. Elabore cuadros sinópticos o esquemas que orienten su

aprendizaje sobre los temas y contenidos, los mismos que a futuro le servirán como material de consulta rápida.

El avance en el conocimiento tiene necesariamente que ser gradual y disciplinado para lograr el éxito deseado. Trate de evitar cualquier retraso, por causas justificadas o no, ya que ello ocasionará un aprovechamiento insuficiente de la materia y posiblemente un cambio en sus planes de estudio.

Como alumno, usted deberá cumplir con las disposiciones reglamentarias establecidas por la modalidad. No olvide que, desde las más sencillas hasta las más complejas, han sido diseñadas para favorecer su proceso de aprendizaje.

Asista a las instancias tutoriales, en la medida de sus

posibilidades ya que NO ES OBLIGATORIO, con todas sus dudas y reflexiones anotadas.

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COMO UTILIZAR EL TEXTO GUIA (UNIDAD DIDACTICA DE

ESTUDIOS) ?El estudiante tiene que fundamentar su estudio en su TEXTO GUIA,

para lo cual seguirà la programación sesión por sesión establecida en el archivo del SILABO de la materia.

Si alguna parte de su estudio no está claro, trate de resolver sus dudas por usted mismo mediante una lectura más detenida, comparando contenidos y ejemplos.

Con los conocimientos adquiridos, Ud. estimado estudiante estará en condiciones de resolver las actividades solicitadas en cada una de sus Unidades de Aprendizaje y cada mes en la GUÍA que se le entrega el momento de la matrícula.

QUÉ ES LA GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE?

LA GUÍA ha sido diseñada estrictamente con apego al perfil del profesional en Administraciòn de Empresas y Recursos Humanos. Se divide en dos unidades de estudio elaboradas para desarrollarlas una en cada BIMESTRE. Cada UNIDAD contiene:

1) Asesorías Didácticas, que son orientaciones pedagógicas para guiar el estudio del alumno, y

2) Las respectivas Actividades de Aprendizaje, que se deberán desarrollar al finalizar la lectura señalada (de preferencia en cada semana para mantener un estudio permanente y ordenado). Las actividades de aprendizaje le permiten poner en práctica los conocimientos obtenidos con la lectura comprensiva del material sugerido en cada unidad. Contiene preguntas de reflexión,

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ejercicios de análisis, síntesis y de aporte personal asi como la aplicación práctica.

Si no puede resolver una actividad, revise los conceptos teóricos en que se fundamenta el tema tratado, procurando realizar un meticuloso análisis y sistemático razonamiento; es conveniente que intercambie criterios con algunos compañeros de estudio para aclarar sus dudas. Finalmente, usted puede consultar con su Tutor.

El estudiante deberá entregar este material debidamente resuelto, para que sea evaluado por su Tutor en la Universidad Tecnológica Equinoccial, en la fecha y de conformidad al horario señalado en el cronograma de actividades estudiantiles que se le entrega el momento de la matrícula.

PARA RECORDAR:

AREA: CIENCIAS EXACTASPERIODO: septiembre 2012 a febrero 2013ASIGNATURA: MATEMATICAS 1TUTOR Ing. Manuel Buenaño MBA.

la aprobación de la asignatura, representa cuatro (4) créditos en su carrera.

Ud. debe programar su estudio de la materia en forma rigurosa..Permítame sugerirle invertir su tiempo con meticuloso orden y obteniendo el máximo provecho posible, para lo cual debe señalar un horario conveniente y permanente.. El silabo le ayuda en ese sentido ya que tiene ordenado el estudio en cada sesión y sujeto a un cronograma.

Finalmente, es oportuno mencionarle que para estudiar a distancia es muy importante, además de generar hábitos de estudio, adquirir un gran sentido de responsabilidad, mantener orden y disciplina férrea.

RECUERDE QUE LA TAREA DE SU TUTOR, EN LA TUTORÍA INDIVIDUAL O GRUPAL DE CADA SEMANA, ES FACILITARLE EL CAMINO......SOLVENTANDO DUDAS SOBRE parte o todo DE UN TEMA ESTUDIADO POR USTED

PUEDE TRABAJAR CON SUS COMPAÑEROS?

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Si tiene la oportunidad de reunirse con otros compañeros para estudiar, le recomendamos que no deje de aprovecharla. Confrontar nuestros puntos de vista con los de otro siempre resulta positivo en el proceso de aprendizaje. Así, podemos escuchar, argumentar y muchas veces modificar nuestras opiniones iniciales.

Aprenda a “trabajar en grupos o equipos”, sin que esto signifique dedicarse solamente a copiar trabajos.

Recuerde que las guías entregadas por usted y que sean consideradas como copias (por ser iguales o muy similares a las guías de otros alumnos) serán sancionadas con la calificación de CERO puntos. Por tanto, la resolución de las Actividades de Aprendizaje deberá mantener su propia “identidad” en la presentación, contenidos, desarrollo paso a paso de ejercicios, interpretación de resultados, etc.

QUÉ ASPECTOS DEBE OBSERVAR PARA LA ELABORACIÓN DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE?

Usted puede presentar sus guías realizadas a letra manuscrita (o

sea manualmente) con esferográfica o tinta, o computadora, pero nunca a lápiz.

La resolución de ejercicios o problemas numéricos que se incluyan en la guía, que usted envía para la evaluación correspondiente, deberá contener TODO EL PROCESO DE CALCULO

QUE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

Haber realizado sus trabajos con responsabilidad.

Estar seguro de haber asimilado los conocimientos teóricos y prácticos.

Revisar las guías, chequear su solución correcta.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, portando su documento personal de identificación (cédula o

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carné), hoja de papel ministro. Concurrir con anticipación de por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula asignada.

Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una calculadora.

Recuerde que, el examen presencial es con Libro abierto y con consulta al material didáctico. Por tanto no es necesario que Ud. memorice conceptos sino que esté en capacidad de aplicarlos.

QUÉ COMPROMISO ADQUIERE COMO ESTUDIANTE A DISTANCIA?

Ponga en práctica su propio CODIGO DE HONOR, que considera:

La disciplina en el aprendizaje y la presentación oportuna de trabajos y exámenes.

La legalidad en el cumplimiento de su tarea. La fidelidad a principios morales y éticos.

El fiel cumplimiento de los reglamentos y disposiciones establecidos por la modalidad y la Institución Educativa.

6. CALENDARIO DE TUTORIAS

CUÁNDO SOLICITAR LAS TUTORIAS?

Al estudiar, haga todo lo posible por entender la teoría y siempre revise con gran detenimiento los problemas resueltos de ilustración que trae el Texto Guía, procurando entender el por qué de los aspectos utilizados, el cómo de su uso, el por qué de la secuencia metodológica, etc.

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Procure discutir los temas claves o de duda razonable con otros compañeros de asignatura. Si después de ello aún tiene dudas, solicite ayuda, telefónica o presencial, a su TUTOR.

CALENDARIO DE TUTORÍAS Asignatura: MATEMATICAS 1 Carrera: ADMINISTRACION DE. EMPRESAS Y R.H.Docente tutor: ING. MANUEL BUENAÑO TELF. 093 321 607

TUTORIA SEPT 2012 OCT NOV DIC 2012 ENERO y FEB 2013

POR CORREO SABADOS DE 7H15 A 8H00 POR VIDEO CONFERENCIASABADOS DE 8H15 A 9H00, CADA 15 DIAS

15 22 29 6 13 20 Y 27

3 10 17 24 1 8 15 22 29 5

2 feb

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9 feb

19 y 26en

TUTORIA INDIVIDUAL PRESENCIAL LUNES DE 17H15 A 18H00IMPORTANTE: CADA ESTUDIANTE TIENE LA OBLIGACION DE RESPETAR EL PRESENTE HORARIO DE TUTORIAS, LO CUAL FACILITARÀ LA APROPIADA ORGANIZACIÓN DE LA ASESORIA QUE EL TUTOR BRINDA A TODOS LOS ESTUDIANTES DEL CURSO.

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AHORA SÍ, EN LA PROYECCIÓN DE NUESTROS MUTUOS

IDEALES DE EXCELENCIA, LO INVITAMOS A INICIAR EL ESTUDIO DE MATEMATICAS 1 A DISTANCIA

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7. ORIENTACIONES PEDAGOGICAS PARA DESARROLLAR LA GUIA ACADEMICA DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

EDUCATIVO

Evidenciar el dominio científico-técnico de la materia en el contexto de las actividades socio-económicas que desarrolla la empresa, con solvencia para identificar y proponer alternativas de solución a problemas relacionados con el ejercicio de su función, con criterio profesional, manifestando ética y demostrando capacidad comunicativa y liderazgo.

INSTRUCTIVOManejar adecuadamente los diferentes conceptos y técnicas fundamentales de Matemáticas 1. Conocer el procedimiento de análisis y resolución de aquellos procesos técnicos vinculados con las diversas aplicaciones de la matemática, para garantizar el uso correcto de esta herramienta en el proceso administrativo y la toma de decisiones internas y externas, en el marco del desarrollo de su profesión.

DE MANERA ESPECÌFICA el estudiante, al terminar el estudio de la presente guía estará capacitado para:

Fortalecer los conocimientos adquiridos en el bachillerato, en el campo de las matemáticas.

Comprender el papel que desempeña la información generada por la Matemática 1, con la finalidad que en una empresa la toma de decisiones sea competitiva dentro de la globalización.

Identificar con eficiencia el tipo de función, y su procedimiento de resolución.

Resolver con solvencia ejercicios, mediante anàlisis numérico o gráfico. Desarrollar habilidades y destrezas para solucionar problemas

empresariales que requieren conocimientos matemáticos.

Indicaciones generales sobre este material de estudio.-

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En este archivo de la GUIA ACADEMICA, que también consta en la plataforma WEB de la UTE, se han incluido resúmenes DE ALGUNOS TEMAS QUE FORMAN PARTE DE TODO EL MATERIAL DE ESTUDIO QUE CONSTA EN EL TEXTO GUIA.Este material sintetizado, NO REEMPLAZA AL TEXTO GUIA, pero reúne un conjunto de “ pastillas prácticas” (orientaciones especificas de uso práctico) y ejercicios tipo resueltos acompañados de explicaciones didácticas, que le serán de gran utilidad al estudiante.

ASESORÍA DIDÀCTICA No. 1

La asesoría didáctica constituye las orientaciones que el estudiante debe considerar para estudiar el TEXTO GUIA.

Un estudio serio demanda de usted una o dos horas diarias, una lectura comprensiva de los contenidos ayudará de una manera positiva a entender mejor lo que está estudiando. Recuerde que “la constancia vence lo que el tiempo no alcanza”.

Inicie su lectura comprensiva y reflexiva del capítulo cero en la página 1 del Texto, de la lectura de este capítulo dependerá que Usted aprecie el verdadero aporte del algebra en la resolución de problemas matemáticos, con lo cual ampliará sus conocimientos y campo de acción. Lea con detenimiento, procure elaborar un resumen de lo más importante, mediante esquemas o si lo prefiere una síntesis muy concreta de los aspectos más fundamentales como conceptos, reglas básicas y pasos para resolver ejercicios.

En este capítulo se tratan los temas de números reales, ecuaciones de grado 1, polinomios, factorización, expresiones racionales, exponentes y radicales. EN CONCLUSIÓN DEBE ESTUDIAR DESDE LA PÁGINA 1 HASTA LA PÁGINA 45.

VEAMOS UN PEQUEÑO RESUMEN DE LA TEORIA DE RADICALES.- este es un material de refuerzo para el capitulo cero del texto guía.

Recuerde que, la radicación es la operación inversa de la potenciación. ESTO SIGNIFICA QUE UN EJERCICIO DE RADICACION SE PUEDE RESOLVER COMO POTENCIACION Y VICEVERSA.

Revise la siguiente información, que se ha tomado de la guía de estudios del profesor Fernando Osorio, prestigioso colega de la materia de Matemáticas.

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“Llamamos raíz enésima de un número dado a al número b que elevado a la n nos da …..

Potencias de exponente fraccionario.

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical.

4.1 Operaciones. Producto de radicales del mismo índicePara multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los

radicandos.

n√a n√b=n√a.b

División de radicales del mismo índice:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

n√an√b

=n√ ab

Potencia de radical

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

( n√a )x=n√ax

Radical de radical

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

m√n√a=mn√a

4.2 Extracción de factores.

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Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

4√ x2=x2

4.3 Suma y resta de radicales.

Para sumar (restar) radicales es necesario que tengan el mismo índice y el mismo radicando, cuando esto ocurre se suman (restan) los coeficientes y se deja el radical.

c n√a+d n√a=(c+d ) n√a

c n√a−d n√a=(c−d )n√a

4.4 Producto de radicales de distinto índice.

Para multiplicar radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican los radicandos.

n = m.c.m (n1,n2)

4.5 Cociente de radicales de distinto índice

Para dividir radicales de distinto índice, primero se reduce a índice común y luego se dividen los radicandos.

n = m.c.m (n1,n2)

4.6 Racionalización

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Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.

Ejemplo.Racionalizar la expresión.

5 x

√3 x−2√ x

=5 x (√3 x+2√ x )

(√3 x−2√x ) (√3x+2√ x )=

5 x (√3 x+2√x )3 x−4 x

=−5 (√3 x+2√x )

PASTILLAS PRACTICAS.-

Las Pastillas Prácticas son consejos didácticos de aplicación práctica, QUE LE DA SU TUTOR PARA APOYAR SU ESTUDIO.

Cuando usted vaya adquiriendo capacidad de análisis y de interpretación, estará en capacidad de sintetizar algunas “pastillas prácticas”, obtenidas del estudio de los temas que le he mencionado.

Diferencie entre variable y constante: la primera toma varios valores, la segunda un solo valor.

Usualmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto, esto es x, y, z; en cambio las constantes se simbolizan con las letras iniciales a, b, c.

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En una expresión algebraica los términos están separados por el signo más o el signo menos.

Un término tiene cuatro elementos: signo, número o coeficiente, letra y exponente.

Toda expresión incluida en un radical puede convertirse en potencia, para lo cual la expresión incluida en el radical se escribirá elevada al exponente ½.

Si bien existen 3 signos de agrupación , paréntesis, corchete y llaves, en la práctica se acostumbra a usar sólo el paréntesis. Se controlará que la misma cantidad de paréntesis que se abran, se deberán cerrar.

La división se puede resolver como multiplicación, así: 3 / b2 equivale la siguiente expresión 3 . b –2

Antes de dividir 2 polinomios controle que el polinomio del dividendo (numerador) sea de mayor o igual grado que el polinomio del divisor (denominador). Si esto no se cumple, usted no puede realizar la división. Este criterio lo reforzaremos en un próximo capítulo.

En la resolución de fracciones algebraicas incluidas como una división, siempre cuide que la recta de operación principal (la raya que delimita que es el numerador y cual es el denominador) coincida con el signo igual. Esto le evitará confusiones operativas.

Recuerde que el producto de extremos se escribe en el numerador, y el producto de medios en el denominador.

Siga con el mismo interés,

el éxito será su recompensa

EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS de otros temas del capítulo cero del texto guía.

Son ejercicios resueltos, desarrollados por su Tutor, que le permitirán comprender mejor la teoría del texto guía.

A. Simplificar por medio de la suma

(5x + 6x - 6) – ( -x –x +4) El signo menos antes del paréntesis, hace que cambien los signos de los términos contenidos en dicho paréntesis 11x - 6 + x + x - 4 13x – 10

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( x -7x -1) + ( -7x -4x +6)

El signo más antes del paréntesis, hace que se mantengan los signos de los términos contenidos en dicho paréntesis

- 6x -1 -11x + 6 -17x + 5

(9x -9x +3) – (-5x(-2) +7x -1)

Primero se resuelve las operaciones dentro del paréntesis 3 – ( +10x + 7x – 1) 3 – 10x - 7x + 1 -17x +4

B. Indicar la operación que debe realizar en cada situación.

Pepe tiene una tarjeta de crédito con saldo a favor de $299. pagó con la tarjeta $ 269, luego $103 y posteriormente $76. Como había gastado mucho, depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora?

Nótese que los pagos son gastos que se pueden sumar299 – (269 +103 +76) +130

299 – 348 +130-48 +130 = $82

C. Indique si es verdadero o falso.

7/6 es un número racional ( verdadero )

4/2 no es un entero positivo ( verdadero )

Todo entero es positivo e negativo ( verdadero )

D. Simplifica cada expresión

( ½ + x )²(1/2 + X) (1/2 +X)¼ + ½ x + ½ x +x ²X ² + x + ¼

Si deseamos obtener el valor de la variable X , igualamos a cero

X ² + x + 1/4 = 0 (x + 1/2) (x + ½)

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Cada uno se iguala a cero y se obtienen los dos resultados similares que equivalen a un solo resultado.

X + ½ = 0 entonces X = - 1/2

((2 – y )²)² ((2 – y ) (2 – y))² (4 – 2y – 2y + y²))² (4 – 4y + y²))² (4 – 4y + y²) (4 – 4y + y²) 16 – 16y + 4y² -16y +16y² - 4y3 + 4y2 – 4y3 + y4

16 -32y + 24y2 -8y3 +y4

E. Resuelva las siguientes expresiones

( x – 2 )² = 0(x – 2) (x – 2) =0

X = 2 ; X = 2

³ 2bx² 3y6

Al resolver el numerador 8 b ³ (x ²)³ el paréntesis significa por =8b³ X2x3

=8b³ X6

Al resolver el denominador 27 (y6 )³ =27 y6x3 =27 y18

³ 2bx² 3y6

= 8b³ X6 / 27 y18

² 4bw ² ³

5yˆ6

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El exponente se puede dividir(4bw -2)^0.67 2.53 b^0.67 (w-²) ^0.67 = 2.53 b^0.67 w^-1.34

(5y^6 )^0.67 5^0.67 (y^6) ^0.67 = 3.35 y ^4.02

Finalmente: 2.53 b^0.67 w^-1.34 / 3.35 y ^4.02

F. Efectué los siguientes productos

(2x -1) (3x +2) = 06x2 + 4x – 3x -2 = 0

6x2 +x -2 =o

(a ³ -8) (a4 +3a ² +4)

a3a4 al tener las mismas bases, se suman los exponentes a3+4 a7

a7 + 3 a5 + 4a ³ - 8 a4 – 24a ² - 32 (c² -2c -6) (2c + 5)

2c3 + 5c ² - 4c2 -10c – 12c - 30 2c3 + c2 - 22c - 30

Realice las siguientes divisiones.

Dividir el polinomio -2x ² + 3x ³ - 4x - 4 entre el binomio -3 + X

Solución: se escribe en orden descendente

(3x ³ - 2x ² - 4x - 4) / (X -3) o sea

3x ³ -2x ² - 4x - 4 X -3

3x ³ - 2x ² - 4x – 4 X - 3

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-3X3 + 9X2 3X2 + 7X + 17 inicio con 3X3 / X = 3X2

Nótese que al retornar cambia de signo Es el caso de - 3X3, y de + 9X2 7X2 - 4X - 4 -7X2 + 21X

17X - 4 -17X - 51

- 55

La respuesta es (3X2 + 7X + 17) + (X – 3) / - 55

Dividir el polinomio 5x – 7x ² +12x ³ - 9 entre 3x ² -1 +2x .

(5x – 7x ² +12x ³ - 9) / (3x ² -1 +2x) ordeno descendentemente

12x ³ – 7x ² + 5x – 9 3x ² +2x -1 -12X3 – 8X2 + 4X 4X - 5

-15X2 + 9X – 9 +15X2 +10X - 5

19X – 14 nótese que 19X ya no es divisible para 3X2

La respuesta es (3x ² +2x -1) + (19X – 14) / 4X - 5

G. simplifique las siguientes expresiones. 5

a^5b^7c^9 2 b (a ^5 )^5 (b ^7) ^5 (c ^9) ^5 25 b5

= a ^25 b ^35 c ^45 32 b5

= a25 b35 b-5 c45 / 32

= a25 b35 - 5 c45 / 32 = a25 b30 c45 / 32

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4 - 27 (2 x^8 y ^12 z)² 8 3

- 27 (22 X8(2) Y12(2) Z2 8

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- (1/ 24) ( 4 X16 Y24 Z2 ) Máximo común divisor MCD

Es el mayor número común entre los números dados y tiene el menor exponente.

Recuerde que, “Factorizar un número natural significa expresarlo como producto de otros números naturales.Un número primo es un número natural mayor que 1, cuyos únicos factores son el 1 y él mismo. También podemos decir que un número primo es divisible para si mismo y para la unidad.

Ejemplo 1.- Encontrar los factores comunes de 50 y 80

50 = 1 * 2 * 5 *5

80 = 1*24

*5

El MCD es 5 porque es el mayor número común entre las dos descomposiciones y tiene el menor exponente.”1

Ejemplo 2.- Encontrar los factores primos de 650, todos sus factores y escribirlo como producto de potencias de primos.

Solución. 650 = 2 * 5 * 5 *13

Su factorización en producto de potencias de primos es:

650 = 2 * 52

* 13OTROS EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS, pero de un nivel más avanzado.

1 Oteyza Lam Hernández Carrillo., Álgebra, México, Pearson Educación, Segunda, Cáp. 3, pág. 58,59, año 2003

24

A) ECUACIONES LINEALES

Las ecuaciones con una incógnita es cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x + 1 = x + 4 Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2 ; 3x = 2x - 9.

Pero si está elevada al exponente 2 es de segundo grado, ejemplo:

x2 + 1 = x + 4

B) METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dado 2x – 10 + 16x = 2 hallar el valor de x

1) ANALITICO.-

2x – 10 + 16x = 2 se acostumbra dejar la incógnita en el lado izquierdo

2x + 16x = 2 + 10 18x = 12 la incógnita X debe quedar sola, el 18 le está multiplicando, entonces pasa al otro miembro dividiendo a todo lo que esté allí.

X = 12 / 18

2) GRAFICOUna vez resuelto analíticamente procedo a graficar solo en el eje de las X, es decir en el eje horizontal.

X = 12 / 18X = 4 / 6 = 2/3 = 0,66

-2 -1 0 1 2 0,66

C) IDENTIDADES O ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES

25

Resolver: 2x-1 = 3x + 3 - x - 4

2x – 3x + x = 3 – 4 +1

0 = 0

¿qué significa?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se ha eliminado la incógnita x. ¿Cuál es la solución?.

Significa que la igualdad es cierta para cualquier valor de x.

Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.

D) PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ejercicio.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 10 años más que el segundo y este 8 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 80 años ¿qué edad tiene cada hermano ?

Solución.- Nótese que la edad del hermano menor determinará la edad de los otros dos hermanos, por lo tanto:Hermano menor = X Luego el segundo hermano tiene 8 años más que el hermano menor Hermano segundo o intermedio = X + 8

Finalmente el hermano mayor tiene 10 años más que el segundo hermanoHermano mayor = (X + 8) + 10

Ahora, entre todos tienen la edad del padre:

X + X + 8 + (X + 8) + 10 = 803X + 26 = 803X = 80 – 26 3X = 54 X = 54 / 3 = 18

RESPUESTAS : HERMANO MENOR X = 18HERMANO INTERMEDIO x + 8 = 18 + 8 = 26HERMANO MAYOR (X+8) + 10 = 18+8+10 = 36SUMA 80

26

E) EJERCICIOS CON SIGNOS DE AGRUPACION

Resolver 2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)

Primero se realizan las operaciones más interiores2x -[x -x +50] = x - 800 +3x2x -[50] = 4x – 8002X – 50 = 4X – 800 se ubican las incógnitas en el primer miembro2X – 4X = -800 + 50 - 2X = - 750 se despeja la X X = - 750 / - 2 nótese que el signo es del número 2, por lo tanto se va con el. X = 325

F) GRAFICAR UNA FUNCIÓN LINEAL.

Dado, y – 2x = - 3

Paso 1: Despeje la variable Y de la ecuación original. y = 2x - 3

Paso 2: tabla de valores Asigne valores a X en la ecuación, para obtener los valores de Y.

X Y0 -31 -1-1 -5

Pero lo más fácil es dar el valor de cero tanto a X como a YX Y0 -31,5 0

Al ser la ecuación lineal su gráfico es una recta que solo requiere dos puntos.

Paso 3) Ubique los puntos en el plano cartesiano.

27

1.4 GLOSARIO.-

Variable durante el ejercicio toma cualquier valor.constante durante el ejercicio toma un valor fijo.Polinomio expresión algebraica que tiene signo, número, letra y exponenteMétodo de solución técnica para resolver ejercicios o problemas

1.5 AUTOEVALUACION.-

El estudiante deberá realizar la siguiente autoevaluación que le permitirá evaluar su nivel de avance en los conocimientos adquiridos. Cada pregunta debe ser contestada y su puntaje parcial es de dos puntos. Si obtiene un mínimo de siete puede proseguir con el siguiente CAPITULO. Caso contario se aconseja revisar nuevamente este capìtulo.

PREGUNTAS:1 La variable toma un solo valor? SI NO2 La constante puede ser una letra? SI NO3 El cero es un número real? SI NO4 El número 0,233333 es número real? SI NO5 El dato X-3 es polinomio? SI NO6 Resuelva 5 ejercicios de diferentes temas de la materia, y califíquese.

28

A continuación le presento el SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN

TEMA 1

PREGUNTAS RESPUESTA1 NO2 SI3 SI4 SI5 SI6 usted debe calificarse…

Ahora sí usted está listo para realizar su ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 1

LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDEN A LA TAREA O TRABAJO, CONTIENEN LOS EJERCICIOS O PROBLEMAS QUE USTED DEBE RESOLVER.

TODO ESTE MATERIAL RESUELTO DEBE ENVIAR COMO TRABAJO A SU TUTOR PARA QUE ÈL LE CALIFIQUE.

LA TAREA A DESARROLLAR ES LA SIGUIENTE:

SI EL NUMERO DE LETRAS DE SU PRIMER APELLIDO ES IMPAR, por ejemplo CHIRIBOGA …tiene 9 letras , es número IMPAR.

ENTONCES DEL CAPITULO CERO, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS O.1 de la página 3; PROBLEMAS 0.2 de la página 8; PROBLEMAS O.3 de la página 14; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:

INICIE CON EL 1, LUEGO 1 + 8, SIGA AUMENTANDO DE 8 EN 8 UNIDADES. ES DECIR, RESUELVA LOS EJERCICIOS 1 , 9 , 17, 25 , ETC…

SI EL NUMERO DE LETRAS DE SU PRIMER APELLIDO ES PAR, por ejemplo CARRASCO…. Tiene 8 letras, es número PAR.

29

ENTONCES DEL CAPITULO CERO EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS O.1 de la página 3; PROBLEMAS 0.2 de la página 8; PROBLEMAS O.3 de la página 14; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:

INICIE CON EL 2, LUEGO 2 + 8, SIGA AUMENTANDO DE 8 EN 8 UNIDADES. ES DECIR, RESUELVA LOS EJERCICIOS 2,10, 18, 26 , ETC…

EN EL TEXTO GUIA SE ENCUENTRA TODO EL MATERIAL QUE USTED PRECISA PARA CUMPLIR CON SU OBJETIVO DE APRENDIZAJE.

EL MATERIAL DE APOYO INCLUIDO EN ESTA GUIA ACADEMICA LE SIRVE DE ORIENTACION Y REFERENCIA PARA SU ESTUDIO, PERO NO

REEMPLAZA AL TEXTO GUIA.

ASESORÍA DIDÁCTICA Nº 2

Luego de haber realizado su primera Actividad de Aprendizaje, continúe con la lectura del capítulo 1, inicie la misma con la pagina 46, aquí Ud. podrá revisar DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO.

Lea con detenimiento las paginas siguientes de todo el capitulo, en ellas Ud. encontrará una detallada explicación de la teoría y de los ejercicios resueltos, es importante que Ud. vaya resaltando las partes más importantes. Fíjese muy bien en las representaciones gráficas.

30

Es importante que comprenda y diferencie cada tema y seleccione los ejercicios TIPO, determine en qué circunstancias procede la aplicación particular de cada uno de ellos.

Para apoyar su estudio SIEMPRE analice con detenimiento y revisando la teoría, los ejercicios resueltos del Texto Guía.

ALGUNOS “EJERCICIOS TIPO” DE INECUACIONES Y DESIGUALDADES

Problema 1

31

Problema 2

Problema 3

32

Problema 4

Problema 5

Problema 6

33

Problema 7

Problema 8

34

Problema 9

35

Problema 10

Problema 11

36

Problema 12

37

Problema 13

Problema 14

38

Problema 15

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

39

El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:

Problema 16

40

Problema 17

41

Problema 18

42

Problema 19

43

Problema 20

44

Problema 21

45

Problema 22

46

Problema 23

a) b)

48

Problema 24

Problema 25

49


LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDE A LA TAREA O TRABAJO, CONTIENEN LOS EJERCICIOS O PROBLEMAS QUE USTED DEBE RESOLVER.




ENTONCES DEL CAPITULO UNO, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 1.1 de la página 51; PROBLEMAS 1.2 de la página 58; PROBLEMAS 1.3 de la página 60; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:



ENTONCES DEL CAPITULO 1 EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 1.1 de la página 51; PROBLEMAS 1.2 de la página 58; PROBLEMAS 1.3 de la página 60; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:


TODOS PODEMOS APROBAR UNA MATERIA,

SOLO SE NECESITA

51

CONSTANCIAASESORÍA DIDÁCTICA Nº 3

Inicie la lectura de este capítulo DOS a partir de la pagina 74. Lea detenidamente sobre los MÈTODOS APLICABLES para resolver analítica o gráficamente las funciones de cualquier tipo: cuadráticas, polinomiales, racionales, por partes.

Continuando con la lectura usted deberá poner mucha atención a la graficaciòn, ya que este es un recurso matemático de enorme utilidad en el mundo de los negocios, siendo una herramienta que facilita el proceso de toma de decisiones y el diseño de estrategias de la empresa debido a que ofrece información más exacta y confiable

Para apoyar su estudio revise con detenimiento los ejercicios RESUELTOS del Texto Guía.

Le presento un resumen de conocimientos y aplicaciones para resolver y graficar funciones de diferentes tipo. Este material, unido al del texto, le será de gran utilidad práctica.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.-

Resolver las siguientes ecuaciones con radicales

Ejercicio 1

√2x+1+√ x−4=3

Solución

Distribuimos los radicales

√2x+1=3−√ x−4

Elevamos al cuadrado para eliminar el radical

(√2 x+1 )2=(3−√ x−4 )2

2 x+1=9−6√x−4+ (√x−4 )2

2 x+1=9−6√x−4+ x−4

2 x+1−x+4−9=−6√ x−4

52

x−4=−6√x−4


( x−4 )2=(−6 √x−4 )2

x2−8 x+16=36 ( x−4 )

x2−8 x+16=36 x−144

x2−8 x+16−36 x−144=0

x2−44 x+160=0

( x−40 ) (x−4 )=0

( x−40 )=0

x=40

( x−4 )=0

x=4

Reemplazamos los valores encontrados en la ecuación original

Para x=40

√2 (40 )+1+√40−4=3

√81+√36=39+6=3

15≠3 No comprueba el valor x = 40

Para x=4

√2 (4 )+1+√4−4=3

√9+√0=33+0=3

3=3 Comprueba el valor x = 4

Respuesta x=3

53

Ejercicio 2

√2 x−2+2√2 x−5+1

=2

Solución

Simplificamos la ecuación y distribuimos los radicales

√2x−2+2=2(√2x−5+1)

√2x−2=2√2 x−5+2−2

√2x−2=2√2 x−5


(√2 x−2 )2=(2√2 x−5 )2

2 x−2=4 (2 x−5 )

2 x−2=8 x−20

6 x=18

x=3

D) Resolver algebraicamente los siguientes SISTEMAS DE ECUACIONES

CUADRATICAS

Ejercicio 3

a) 2 x2−5 y2=27

b) 2 x−5 y=−3

Solución

Despejamos el valor de x de la ecuación b)

2 x=−3+57

x=−3+5 y2

54

Reemplazamos el valor de x en la ecuación a)

2(−3+5 y2 )

2

−5 y2−27=0

2( 9−30 y+25 y2

4 )−5 y2−27=0

(25 y2−30 y+92 )−5 y2−27=0

25 y2−30 y+9−10 y2−54=0

15 y2−30 y−45=0

Dividimos para 15

y2−2 y−3=0

( y−3 ) ( y+1 )=0

( y−3 )=0

y=3

( y+1 )=0

y=−1

Reemplazamos los valores encontrados en la ecuación original

Para y=3

2 x−5(3 )=−3

2 x=−3+15

2 x=12

x=6

Para y=-1

2 x−5(−1)=−3

2 x+5=−3

2 x=−8

55

x=−4

P1 (6 , 3 )

P2 ( −4 ,−1 )

Ejercicio ESPECIAL con incógnitas xy

a) 2 xy−5 y=6

b) 3 xy+2 x− y=−2

Solución

Despejamos el valor de y de la ecuación a)

y (2 x−5)=6

y= 62 x−5

Reemplazamos el valor de x en la ecuación b)

3 x ( 62x−5 )+2 x−( 6

2 x−5 )=−2

18 x2 x−5

+2 x− 62 x−5

=−2

18 x+2 x (2 x−5)−62 x−5

=−2

18 x+4 x2−10 x−6=−4 x+10

18 x+4 x2−10 x−6+4 x−10=0

4 x2+12x−16=0

Dividimos para 4

x2+3 x−4=0

( x+4 ) (x−1 )=0

( x+4 )=0

x=−4

56

( x+−1 )=0

x=1

Reemplazamos los valores obtenidos de x y encontramos y

y= 62 x−5

Para x=-4

y= 62(−4 )−5

y= 6−13

y=− 613

Para x=1

y= 62(1)−5

y= 62−5

y= 6−3

y=−2

P1 (−4 ,− 613 )

P2 (1 ,−2 )

E) Resolver gráficamente los siguientes sistemas

Ejercicio 4

2 x2+ y2=11

57

9 x2+4 y2=−27

Solución GRAFICA

Asignamos valores para x y obtenemos y para las dos ecuaciones y

procedemos a graficar

x y x y-2 1,73 -3 5,20-1 3,00 -2 3,970 3,32 -1 3,001 3,00 0 2,602 1,73 1 3,00

2 3,973 5,20

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

METODO GRAFICO

2x^2 + y^2 = 11 9x^2 -4y^2=-27

X

Y

P4(-1,3) P1(1,3)

P3(-1,-3) P2(1,-3)

Ejercicio 5

y− x2

4=0

58

x+2 y=2

Solución GRAFICA



x y x y-6 9,00 -6 4,00-5 6,25 -5 3,50-4 4,00 -5 3,50-3 2,25 -3 2,50-2 1,00 -2 2,00-1 0,25 -1 1,500 0,00 0 1,001 0,25 1 0,502 1,00 2 0,003 2,25 3 -0,504 4,00 4 -1,005 6,25 5 -1,506 9,00 6 -2,00

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

METODO GRAFICO

y - x^2/4=0x + 2y = 2

X

Y

P1(-3.2,-2.6)

P2(1.2,0.4)

LAS FUNCIONES POLINOMIALES, son polinomios de grado n.

59

Si n es 1, entonces son polinomiales lineales.

Si n es 2, entonces son polinomiales cuadráticas; y asi el valor de n puede ir creciendo.En el texto se estudia hasta el grado 4 como valor de n, ver pagina 169.

LAS FUNCIONES RACIONALES, son el cociente de dos polinomios, es decir es una división de polinomios. En el texto se presentan ejercicios de diferentes combinaciones, por ejemplo, en el numerador y/ o denominador puede haber polinomio lineal o cuadrático.

PASTILLAS PRACTICAS (son consejos didácticos, de aplicación práctica)

Para graficar una ecuación lineal con dos variables, lo mejor es obtener los puntos de corte en los ejes coordenados, para lo cual haga x = 0, obtenga el valor de y; posteriormente haga y = 0, obtenga el valor de x. De esta manera ha obtenido dos puntos de corte:

P1 = (0 ; valor de Y) P2 = (valor de X ; 0)La gráfica corresponderá a una línea recta.

Las escalas en los ejes coordenados X, Y, no necesariamente serán las mismas.

La GRAFICA DE UNA FUNCION, es un tema de gran aplicación en economía y finanzas, por lo tanto será un gran pilar en su futura profesión. Estudie con gran interés.

Recuerde: para graficar una recta se necesitan dos puntos; para graficar una curva (parábola) se requieren mínimo tres puntos, lo ideal cinco.

En toda ecuación las incógnitas usualmente son las últimas letras del alfabeto: x,y,z; en cambio si hay otras letras como a,b,c, estas son constantes, significa que las raíces o respuestas de la ecuación (valores para x,y,z) pueden obtenerse en términos de dichas constantes.

Ahora usted está listo para realizar su ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 3

60

Vamos, siga adelante, la meta está muy próxima!

LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE CORRESPONDE A LAS TAREAS, CONTIENEN LOS EJERCICIOS O PROBLEMAS QUE USTED DEBE RESOLVER.


LA TAREA A DESARROLLAR ES LA SIGUIENTE


ENTONCES DEL CAPITULO DOS, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 2.1 de la página 81; PROBLEMAS 2.2 de la página 85; PROBLEMAS 2.3 de la página 90; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:



ENTONCES DEL CAPITULO DOS EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 2.1 de la página 81; PROBLEMAS 2.2 de la página 85; PROBLEMAS 2.3 de la página 90; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:


¿QUÉ DEBE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

Haber realizado sus trabajos con plena conciencia de responsabilidad hacia

usted mismo.

61


Revisar la guía, chequear los ejercicios TIPO y su solución correcta.

Realizar un resumen o síntesis de cada uno de los temas estudiados , incluyendo

las fórmulas y procedimientos utilizados. Haber realizado o por lo menos revisado los ejercicios resueltos

que vienen en cada capítulo.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, llevar su cédula

o carné para verificar su identificación. Concurrir con una anticipación de

por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula asignada.

Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una

calculadora. Asistir con una hoja de papel ministro a

cuadros para resolver el examen. Portar consigo la cédula de ciudadanía y el carné estudiantil.

Y bien ha concluido el estudio del primer hemisemestre de MATEMATICA 1.

62

SEGUNDO HEMISEMESTRE

ASESORIA DIDACTICA No. 4

Continuaremos el estudio de matemática 1 con la revisión de las rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones, Inicie en la pagina 116 del texto guía.

A CONTINUACION SE DESARROLLAN ALGUNOS EJEMPLOS TIPO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, FUNCIONES O ECUACIONES CUADRATICAS, PRINCIPALMENTE,

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.-

Ejercicio 1

Aplique todos los cinco métodos

a) 8 x+12 y=20

b) 6 x−16 y=10

Método de igualación

Solución

Despejamos x de ecuación a)

63

8 x+12 y=208 x=20−12 y

x=20−12 y8

Despejamos x de ecuación b)

6 x−16 y=106 x=10+16 y

x=10+16 y6

Igualamos los valores obtenidos de x

20−12 y8

=10+16 y6

Resolvemos la ecuación

6 (20−12 y )=8 (10+16 y )120−72 y=80+128 y120−80=128 y+72 y40=200 y

y=40200

=15

y=15

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a) para obtener el valor de x

8 x+12 y=20

8 x+12(15 )=20

5 (8 x )+12=5 (20 )40 x+12=10040 x=100−1240 x=88

x=8840

=2210

=115

x=115

64

Método de sustitución

a) 8 x+12 y=20

b) 6 x−16 y=10

Solución

Despejamos x de la ecuación a)

8 x+12 y=208 x=20−12 y

x=20−12 y8

Reemplazamos el valor de x en la ecuación b)

6 x−16 y=10

6(20−12 y8 )−16 y=10

6 (20−12 y )−8(16 y )=8 (10 )

120−72 y−128 y=80

120−80=72 y+128 y

40=200 y

y=40200

y=15

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a) para obtener el valor de x

65

8 x+12 y=20

8 x+12(15 )=20

5 (8 x )+12=5 (20 )40 x+12=10040 x=100−1240 x=88

x=8840

=2210

=115

x=115

Método de reducción o suma y resta

a) 8 x+12 y=20

b) 6 x−16 y=10

Solución

Eliminamos la variable x de las dos ecuaciones.

m.c.m de 6 y 8 es 24 ecuación a) multiplicamos por 3 y ecuación b)

multiplicamos por 4

*3 8 x+12 y=20

3(8 x )+3 (12 y )=3(20 )

24 x+36 y=60

*4 6 x−16 y=10

4 (6 x )−4 (16 y )=4(10 )

24 x−64 y=40

Restamos las ecuaciones obtenidas

24 x+36 y=60

66

−24 x+64 y=−40

100 y=20

y=20100

y=15

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a)

8 x+12 y=20

8 x+12(15 )=20

5 (8 x )+12=5 (20 )40 x+12=10040 x=100−1240 x=88

x=8840

=2210

=115

x=115

Método gráfico

a) 8 x+12 y=20

b) 6 x−16 y=10

Solución



x y x y0 1,67 0 -0,631 1,00 1 -0,252 0,33 2 0,133 -0,33 3 0,504 -1,00 4 0,885 -1,67 5 1,256 -2,33 6 1,637 -3,00 7 2,008 -3,67 8 2,38

67

9 -4,33 9 2,7510 -5,00 10 3,13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

METODO GRAFICO

8x + 12y = 206x - 16y = 10

X

Y

P3(2.2,0.2)

Método de determinantes

a) 8 x+12 y=20

b) 6 x−16 y=10

Solución

x= ¿ | 20| 16

¿12|−16

¿

| 8| 6

¿

12|−16

¿¿¿ =

20(−16 )−10(12 )8(16 )−6(12 )

= −320−120−128−72

= −440−200

= 2210

= 115

¿

68

y=

| 8| 6

¿20|10¿

| 8| 6

¿

12|−16

¿¿ =

8 (10 )−6 (20)8 (16)−6(12)

= 80−120−128−72

= −40−200

= 15¿

Ejercicio 2

Aplique el método grafico

a) 6 x+14 y=20

b) 8 x−6 y=10

Solución



x y x y0 1,43 0 -1,671 1,00 1 -0,332 0,57 2 1,003 0,14 3 2,334 -0,29 4 3,675 -0,71 5 5,006 -1,14 6 6,337 -1,57 7 7,678 -2,00 8 9,009 -2,43 9 10,33

10 -2,86 10 11,67

69

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

METODO GRAFICO

6x + 14y = 20

8x - 6y = 10

X

Y

P1(1.8, 0.7)

Ejercicio 3

Aplique el método de determinantes

a) 5 x+12 y=40

b) 3 x−16 y=30

x= ¿ | 40| 30

¿12|−16

¿

| 5| 3

¿

12|−16

¿ ¿¿ =

40(−16 )−30(12)5(−16 )−3(12)

= −640−360−80−36

= −1000−116

= 50058

= 25029

¿

y= ¿ | 5| 3

¿40|30¿

| 5| 3

¿

12|−16

¿¿¿ =

5(30)−3(40 )5(−16 )−3(12 )

= 150−120−80−36

= 30−116

= −1558

¿

Ejercicio 4

70

Ejercicio a libre elección

a) 11 x−13 y=−163

b) −8 x+7 y=94

Método de sustitución

Solución

−8 x+7 y=94

8 x=7 y−94

x=7 y−948

Reemplazamos el valor de y en la ecuación a)

11( 7 y−948 )−13 y=−163

77 y−10348

−13 y=−163

77 y−1034−8 (13 y )=8 (−163 )

−27 y+270=0

−27 y=−270

y=27027

y=10

Reemplazamos el valor obtenido de y para obtener el valor de x

x=7 y−948

x=7(10 )−94

8

x=70−948

x=−3

71

Ejercicio 5


a)

x6+ y

4= x+ y−1

3

b)

2 x− y8

+ 32= x+2 y

2

Solución

Simplificamos ecuación a)

x6+ y

4= x+ y−1

3

m.c.m 12

2 x+3 y12

= x+ y−13

3(2 x+3 y )=12( x+ y−1 )

6 x+9 y−12 x+12 y−12=0

−6 x−3 y+12=0Dividimos para 3

−2 x− y+4=0

Simplificamos ecuación b)

2 x− y−128

= x+2 y2

4 x−2 y−24=8 x+16 y

4 x−2 y−24−8 x−16 y=0

−4 x−18 y−24=0

Dividimos para 2

−2 x−9 y−12=0

−2 x− y+4=0

72

−2 x−9 y−12=0Método de reducción

−2 x− y+4=0

2 x+9 y+12=0

8 y+16=0

8 y=−16

y=−168

y=−2

Reemplazamos el valor de y para obtener x

−2 x− y+4=0

04)2(2 x

0422 x

62 x

x=62

x=3

Ejercicio 6


a) 9 x+20 y=33

b) 8 x+15 y=21

Método de reducción

Solución

m.c.m de 20 y 15 es 60 ecuación a) multiplicamos por 3 y ecuación b)

multiplicamos por 4

*3 9 x+20 y=33

73

*4 8 x+15 y=21

27 x+60 y=99

32 x+60 y=84

Restamos las ecuaciones obtenidas

27 x+60 y=99

−32 x−60 y=−84

−5 x=15

x=−155

x=−3

Reemplazamos el valor obtenido para hallar y

9 x+20 y=33

9(−3 )+20 y=33

−27+20 y=33

20 y=33+27

20 y=60

y=3

Recuerde que le conviene seguir con detalle los procedimientos planteados en los problemas resueltos del texto por usted elegido. Usted comprobará que se requiere de mucha

concentración, orden y gran lógica para resolver los ejercicios y problemas. Siempre trabaje con mucha paciencia, sin apuros, cuidando cada detalle operativo.

No reniegue de sus errores, piense que así se aprende, en base a los errores.Lo importante es asimilar los errores, entender por qué se cometieron y hallar su solución

para no volver a cometerlos.

SIGA CON EL MISMO ENTUSIASMO. ¡ ANIMO ¡

ECUACIONES CUADRATICAS

74

A) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado

Ejercicio 1 USO DE LA FORMULA

15 x2+9 x+1=0

Solución

a=15

b=9

c=1

x=−b±√b2−4 ac

2 a

Reemplazamos en la formula los valores

x=−9±√ (−9 )2−4 (15 ) (1 )

2 (15 )

x=−9±√81−6030

x=−9±√2130

Ejercicio 2

abx 2−a2 x+b2 x−ab=0

abx 2−x (a2−b2 )−ab=0

Solución

a=ab

b=−( a2−b2 )

c=−ab

75

x=−b±√b2−4 ac

2 a

x=−(−( a2−b2 )±√(−(a2−b2 ))2−4( ab)(−ab )

2(ab )

x=(a2−b2 )±√a4−2a2 b2+b4+4 a2 b2

2ab

x=(a2−b2 )±√a4+2a2 b2+b4

2ab

a4+2 a2b2+b4=(a2+b2)2

x=(a2−b2 )±√( a2+b2 )2

2 ab

x=(a2−b2 )±(a2+b2 )

2ab

x=(a2−b2 )±(a2+b2 )

2ab

x1=(a2−b2 )+( a2+b2 )

2ab

x1=2a2

2ab

x1=a2

ab

x1=ab

x2=(a2−b2 )−(a2+b2 )

2ab

x2=−2b2

2ab

x2=−b2

ab

76

x2=−ba

B) Resolver por la forma cuadrática las siguientes ecuaciones de grado superior

Ejercicio 3 RESOLUCION POR FACTOREO

x8+16=17 x4

Solución

x8−17 x4+16=0

( x4−16 )( x4−1)=0

( x4−16 )=0

x4=16

x=4√16

x=4√24

x=2

( x4−1 )=0

x4=1

x=4√1

x=1

Ejercicio 4 RESOLUCIÒN USANDO ARTIFICIO MATEMÀTICO

( x2−2)2−9( x2−2)+14=0

Solución

Artificio

u2=( x2−2)2

u=( x2−2)

77

u2−9u+14=0

(u−7 )(u−2)=0

(u−7 )=0

u=7

(u−2)=0

u=2

Reemplazamos los valores de u2 y u

u=( x2−2)

( x2−2)=7

x2=9

x=±√9x=±3

u=( x2−2)

( x2−2)=2

x2=4

x=±√4

x=±2


78





ENTONCES DEL CAPITULO TRES, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 3.1 de la página 123; PROBLEMAS 3.2 de la página 129; PROBLEMAS 3.3 de la página 136; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:



ENTONCES DEL CAPITULO TRES EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 3.1 de la página 123; PROBLEMAS 3.2 de la página 129; PROBLEMAS 3.3 de la página 136; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:


ASESORIA DIDACTICA No. 5

79

Concluiremos el estudio de matemática 1 con la revisión de Las funciones exponenciales y logarítmicas. Inicie en la pagina 162 del texto guía, que corresponde al capítulo 4.

Las funciones exponenciales SE BASAN EN LA TEORIA DE LOS EXPONENTES y su aplicación es la POTENCIACION.

Veamos una pequeña síntesis de los logaritmos aplicando su teoría a ejercicios.

PARTE I, LOGARITMOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

80

PROBLEMA 9.- en la hoja siguiente12

log2 x+ log2 y=1

12

( log2 x . y )=1

log2(( xy )12 )=1

log2( x12 y

12 )=1

2=x12 y

12

22=( x12 )2( y

12 )2

22=xy

x=22

y

x=4y

x=4¿30 ¿

x=215

¿

¿ ¿¿

Problema 10

81

2x=55log 2x=log55x log 2=log 55

x= log55log2

x=1 .74036 ¿0 . 30103 ¿x=5 . 7814 ¿

¿

Problema 11

log (x2−1)−log( x+1)=65

log(x2−1)(x+1 )

=65

log(x+1 )(x−1)(x+1 )

=65

log (x−1)=65x−1=1065

x=1065+1

Problema 12log( x+1)−log( x−1)=1.38021

log( x+1)( x−1 )

=1 .38021

( x+1)( x−1)

=24

( x+1)=24 ( x−1 )25=23 xx=25/23

Problema 13

82

log (2 x )=32 x=103

2 x=1000x=500

Problema 14log ( x−5 )+ log ( x+4 )=1log ( x−5 )( x+4 )=1x2−x−20=10( x−6 )( x+5)=0x=0 y x=−5

Problema 15

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

Problema 20

Problema 21

Problema 22

Problema 23

83

Problema 24



84




ENTONCES DEL CAPITULO CUATRO, EN TODOS LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 4.1 de la página 173; PROBLEMAS 4.2 de la página 180; PROBLEMAS 4.3 de la página 185; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS IMPARES:



ENTONCES DEL CAPITULO 4 EN TODOS LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL TEXTO GUIA ( por ejemplo, PROBLEMAS 4.1 de la página 173; PROBLEMAS 4.2 de la página 180; PROBLEMAS 4.3 de la página 185; así sucesivamente hasta el final del capítulo). RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PARES:


8. SISTEMA DE EVALUACION

Qué factores de valoración cuantitativa debe considerar?

Para aprobar la materia en un semestre académico, debe satisfacer el cumplimiento de las siguientes actividades:

Dos Trabajos a distancia, a ser entregados de acuerdo a los plazos y fechas establecidas en los calendarios respectivos. Cada uno de los trabajos es calificado cuantitativamente sobre veinte (20) puntos, Por tanto siendo dos trabajos, la suma de los dos tienen un peso del 40% en la nota final.

85

El mínimo puntaje para acreditar la aprobación en trabajos es de veinte y ocho sobre cuarenta (28/40). En caso de no hacerlo, el estudiante REPRUEBA LA CÁTEDRA. No hay examen de recuperación por trabajos.

Dos exámenes presenciales, a rendir en la Universidad en los días y horas definidas en el calendario respectivo, socializado con antelación.Cada uno de los exámenes presenciales es calificado cuantitativamente sobre treinta (30) puntos, Por tanto siendo dos exámenes, la suma de los dos tienen un peso del 60% en la nota final.

El puntaje mínimo para acreditar la aprobación por exámenes es de cuarenta y dos sobre sesenta (42/60). En caso de no hacerlo y contar con un mínimo de DOCE puntos en una de sus dos notas, de examen, el estudiante puede someterse a un examen SUPLETORIO sobre treinta puntos, para reemplazar la calificación más baja, en forma tal que pueda acumular el mínimo de 42 puntos requeridos.

PRIMERA EVALUACIÓN

SEGUNDA EVALUACIÓN

TOTAL

VALOR % VALOR %

Actividad de Aprendizaje Nº 1

6 12% 6 12%


6 12% 7 12%


8 16% 7 16%

Total GUIAS 20 40% 20 40% 40/40

EXAMEN 30 60% 30 60% 60/60

TOTAL 50/50 100% 50/50 100% 100/100

¿QUÉ DEBE HACER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN PRESENCIAL?

86

Haber realizado sus trabajos con plena conciencia de responsabilidad hacia

usted mismo.


Revisar la guía, chequear los ejercicios TIPO y su solución correcta.

Realizar un resumen o síntesis de cada uno de los temas estudiados , incluyendo

las fórmulas y procedimientos utilizados. Haber realizado o por lo menos revisado los ejercicios resueltos

que vienen en cada capítulo.

Presentarse al examen en la fecha prevista en el calendario, llevar su cédula

o carné para verificar su identificación. Concurrir con una anticipación de

por lo menos quince minutos para ubicar con tranquilidad el aula asignada.

Portar consigo el material necesario para consulta en el examen, incluida una

calculadora. Asistir con una hoja de papel ministro a cuadros para resolver el

examen. Portar consigo la cédula de ciudadanía y el carné estudiantil.

Y BIEN HA CONCLUIDO EL ESTUDIO DE MATEMATICA 1, LE DESEO ÉXITOS

EN SU EXAMEN FINAL.

87

guía acadèmica matemàtica i manuel buenaño

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