“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

Guía-6 de Matemáticas 1º Medios – 2015

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Unidad 2: Ecuaciones lineales o de 1er grado. Objetivos:

- Definir conceptos básicos de potencia- Valorar potencias de base entera y fraccionaria- Aplicar propiedades de las potencias - Ejercitar con problemas de aplicación

Contenidos: - Conceptos básicos de potencia- Valoración de potencias - Propiedades de las potencias

Ejercicios de aplicación

Ecuación: Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas donde aparecen una o más incógnitas o valores desconocidos; estas dos expresiones algebraicas, son denominadas miembros de la ecuación, y en ellos aparecen valores conocidos o datos, y valores desconocidos o incógnitas, que están relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes (parámetros).

Por ejemplo, en la ecuación:

la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Ejemplos:

: ecuación lineal o de 1er grado, con una incógnita

: ecuación cuadrática o de 2º grado, con una incógnita

: ecuación lineal, con tres incógnitas

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

: ecuación cúbica o de 3er grado, con dos incógnitas

: ecuación lineal, con seis incógnitas

: ecuación de 5to grado, con una incógnita

En general las incógnitas o valores desconocidos de la ecuación se representan con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, u, v, w,….).

En tanto que los valores desconocidos pero constantes, que aparecen en la ecuación, se llaman parámetros, y se representan por las letras iniciales del alfabeto (a, b ,c, d, e,….).

Ecuación lineal o de 1er grado: las ecuaciones más sencillas, son las lineales o de primer grado, con una incógnita. Se llaman de primer grado, porque la incógnita (x) aparece elevada al exponente uno (1); o también se llaman lineales, porque si se representan o grafican como funciones, estas ecuaciones representan líneas rectas:

Podemos dividir o clasificar a las ecuaciones lineales en dos tipos:

- ecuaciones numéricas

- ecuaciones literales

En las ecuaciones numéricas, sólo aparece la incógnita y los valores numéricos. En las ecuaciones literales, aparecen parámetros o valores desconocidos representados por letras.

Ejem:

: ecuación numérica

: ecuación numérica

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

: ecuación numérica

: ecuación literal

:ecuación literal

: ecuación literal

Resolver una ecuación, significa encontrar el valor de x, o la incógnita, tal que, al reemplazarla en la ecuación, se consigue la igualdad, es decir, hace que esta igualdad sea verdadera. En términos más generales, resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de todos los valores de la o las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que puede ocurrir, que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble, o no tiene solución. De igual modo, puede tener un único valor, o varios valores, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si para cualquier valor de la incógnita se cumple la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad. Para resolver una ecuación, se utilizan ciertas propiedades que presenta la igualdad.

Propiedades de la igualdad:

Si se tiene una igualdad entre dos valores: a = b

Siempre se cumple que, al sumar (o restar ) un mismo valor a ambos lados de la igualdad, esta se mantiene:

a + c = b + c

a - c = b - c

También ocurre lo mismo con las operaciones de multiplicación o división:

a·c = b·c

a/c = b/c

Aplicando estas propiedades es posible despejar la incógnita en una ecuación, y encontrar su valor.

Ejercicios resueltos.

I.- Ecuaciones numéricas

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein) 1) 5x – 2 = 13

Solución: Sumando 2, a ambos lados de la ecuación para eliminar el – 2 del primer miembro de la ecuación:

5x – 2 + 2 = 13 + 2

5x = 15

Dividiendo por 5, a ambos lados de la ecuación para eliminar el 5 que está multiplicando en el primer miembro:

x = 15/5

El resultado final es:

x = 3

En forma similar, hacemos:

2) 3x + 15 = 45

Solución: Sumando – 15 a ambos para eliminar el 15 del primer miembro de la ecuación

3x + 15 – 15 = 45 – 15

3x = 30

Dividiendo por 3 para eliminar el 3 que multiplica a x en el primer miembro de la ecuación:

x = 30/3

x = 10

Y de manera análoga los demás:

3) 2x – 5 = 0

Solución:

2x – 5 + 5 = 0 + 5

2x = 5

x = 5/2

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

4) 2·(5x – 3) = 3·(2x + 2)

Solución: Multiplicando en ambos miembros de la ecuación:

10x – 6 = 6x + 6

Reordenando los números y las x, se tiene:

10x – 6x = 6 + 6

4x = 12

Dividiendo:

x = 12/4

x = 3

Por último tenemos:

5)

Solución: multiplicando cruzado, ya que es una igualdad entre dos fracciones:

5·(5x – 2) = 3·(2x + 1)

25x – 10 = 6x + 3

Reordenando:

25x – 6x = 3 + 10

19x = 13

x = 13/19

II.- Ecuaciones literales

6) 5ax + b = 2b + c

Solución:

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

7) (a2 + b2)x + 1 = 2abc – 5

Solución:

8) 3ax + 5bx + 7cx = a + b + c

Solución:

9) ( a + b + c )x = 1

Solución:

10) 3bc2x – 3b2cx = 3abc

Solución:

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

Ejercicios propuestos.

I. – Ecuaciones numéricas

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein) 13)

14)

15)

II. – Ecuaciones literales

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” (Albert Einstein)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39) (x + a)(x – b) – x(x + a) = 0

40) a(x + 1) + 5a(x - 1) = 2(3b - 2a)