guia 1 numeros reales

Gua 1 Nmeros Reales Matemtica CBC - Exapuni Primera gua resulta de Matemtica para el CBC.

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1

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3

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4

Nmeros Reales

a)

El ejercicio plantea:

( )

La funcin est compuesta por dos trminos: y . Con que cualquiera de los dos valga se

cumple la igualdad. Por lo tanto:

( )

Los nmeros reales que satisfacen la ecuacin son: y .

Los representamos en la recta:

b)


Despejamos la :

| |



c)

Ejercicio 1: Representar en una

5

Notar que cambia la manera de expresar la frase Todos los nmeros reales por

( pertenece a los reales). Ambas expresiones son equivalentes.


( )( )



d)


( )( )

| |

En este ejercicio se obtienen 3 valores como posibles soluciones que satisfacen la igualdad.


e)


( )( )

6

| |

El resultado de la ecuacin | | es indeterminado en los nmeros reales . Para

obtener los posibles valores de se debe recurrir a los nmeros complejos. Sin embargo el

enunciado nos restringe a los nmeros reales. Por lo tanto es indeterminado, no existe ( ), para

los reales. Por lo tanto puede tomar un nico valor que satisface la ecuacin en reales.

Lo representamos en la recta:

f)


( )( )( )

En este ejercicio se puede ver que existen 3 trminos:


g)


( )

Lo cual es lo mismo que:

( )( )

( ) ( )

7

Ambas ecuaciones son iguales.


h)


Lo cual es igual a:

( )

Lo cual es lo mismo que:

( )( )

( ) ( )

Ambas ecuaciones son iguales.


i)


Realizamos factor comn para simplificar los clculos:

8

( )

La expresin es la misma que la del ejercicio anterior, el resultado es

. Por lo tanto como resultado obtenemos:


j)


Aplicamos factor comn de

( )

| |


a)

i)

Reemplazamos en la inecuacin:

Ejercicio 2: Decidir si los nmeros

9

( )

Falso. Por lo tanto no pertenece al conjunto planteado.


( )

Verdadero. pertenece al conjunto planteado.

ii)





iii)




10


iv)




( ) ( )


v)


( )

( )



( )

( )


vi)

11





b)

i)

Dos nmeros que pertenecen al conjunto son y .

Dos nmeros que no pertenecen al conjunto son y .

ii)

Dos nmeros que pertenecen al conjunto son y .

Dos nmeros que no pertenecen al conjunto son y .

a)

( )

b)

Ejercicio 3: Escribir como un intervalo

12

)

c)

(

d)

)

e)

( )

f)

)

g)

( ) ( )

a)


13

(

)

b)

(

)

c)

(

d)

14

Falso. Debido a que no es correcto el resultado es el conjunto vacio ( ).

e)

Verdadero. Debido a que es correcto el resultado son todos los reales ( ).

f)

(

) ( )

Notar que cambia el signo de la inecuacin, esto se da siempre que se pase multiplicando o

dividiendo un nmero negativo. No olvidar esto que es importante.

( )

g)

15

(

h)

(

Dinero Inicial:

Gastos:

Reserva:

Expresamos los nmeros en forma de ecuacin:

Juan puede comprar como mximo 5 cuadernos.

Ejercicio 5: Juan sali de su casa con


16

a)

( )

El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades.

El smbolo se interpreta como interseccin.

El smbolo representa unin.

Por lo tanto el conjunto solucin es:

( ) ( )

b)

( )( )

El producto debe dar negativo, para que esto suceda existen dos posibilidades.

De la primera posibilidad, se puede ver que no existe interseccin, por lo tanto la solucin

es el conjunto vacio.

De la segunda posibilidad se obtiene la interseccin ( )


( )

c)

Realizamos factor comn

17

( )

Como se puede apreciar nos queda una ecuacin similar a la del tem a.

El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades.


( )

d)

Lo representamos con sus races para simplificar la solucin.

( )( )

El ejercicio es similar al tem b.

El producto debe dar negativo, para que esto suceda existen dos posibilidades.

De la primera posibilidad se puede ver que no existe interseccin, por lo tanto la solucin es el

conjunto vacio.

De la segunda posibilidad se obtiene la interseccin


a)


18

Es importante destacar que no se puede pasar el termino multiplicando ya que no

sabemos el valor de , el mismo puede ser tanto negativo como positivo y eso afecta el sentido del

signo de la inecuacin.

Por lo tanto tenemos que descomponer en posibilidades para resolver la inecuacin.

Para que

sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga el

mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:


( ) ( )

b)

El ejercicio es similar al tem anterior.

Para que

sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga el

mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:

En el primer caso existe una interseccin en el intervalo (

), en el segundo caso la

interseccin es el conjunto vaco.

Por lo tanto:

(

)

19

c)

Para que

sea menor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga

signos diferentes. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera:

Del primer caso se obtiene el intervalo (

), del segundo caso se obtiene el intervalo ( )


( ) (

)

d)

Escribimos las diferentes posibilidades:

En el primer caso, no hay interseccin, por lo tanto, la solucin es el conjunto vaco. En

cambio en el segundo caso existe una interseccin en ( )

Por lo tanto:

( )

e)

20


Del primer caso se obtiene el intervalo ( ), del segundo caso se obtiene el intervalo

(

)


( ) (

)

f)


Del primer caso, se obtiene el intervalo ( ), en el segundo caso no hay interseccin por

lo tanto el resultado es el vaco.

Por lo tanto:

( )

g)

21


Del primer caso se obtiene el intervalo ( ), del segundo caso se obtiene el intervalo

( ).


( ) ( )

h)

(Se multiplica ambos miembros por

para llegar a la expresin)

Notar que x debe ser menor a 0 para que se satisfaga la inecuacin. No puede tomar el

valor 0 ya que se produce una indeterminacin.

Por lo tanto:

( )

22

i)

( )


En el primer caso no hay interseccin, del segundo caso se obtiene el intervalo ( )


( )

j)

Obtenemos las soluciones de la inecuacin:

Por lo tanto:

( )

23

k)


En el primer caso, no hay interseccin, del segundo caso se obtiene el intervalo ( ).


( )

l)

24


En el primer caso, hay una interseccin en el intervalo En el segundo caso no hay

interseccin. Es importante tener en cuenta que la funcin no puede tomar el valor . Ya que

en ese valor se anula el denominador. Es por ese motivo que el intervalo en el valor es

abierto.

)

a)

Para representar lo que indica el enunciado se utiliza la siguiente notacin:

{ | |

tiene dos soluciones posibles en este caso para que al aplicar el valor absoluta se obtenga como

resultado .

Estos son los dos nmeros que cumplen con lo que solicita el enunciado (todos los nmeros reales

que estn a distancia del )

Los representamos en la recta.

b)

Se representa:

{ | | , lo cual tambin se puede expresar como:

Ejercicio 8: Representar en la recta

25

c)

Se representa:

{ | | , lo cual tambin se puede expresar como:

d)

tiene dos soluciones posibles en este caso para que al aplicar el valor absoluta se obtenga como

resultado .

Los representamos en la recta.

e)

Se puede expresar como

Y el grafico correspondiente es:

f)

No importa que valor tome , no existe ningn nmero real que al aplicarle valor absoluto

de como resultado un nmero negativo. Por lo tanto la solucin es el conjunto vaco.

g)

{ | |

Se representa:


( )

26

h)

{ | |

En este caso cualquier valor que tome va a cumplir con la inecuacin. Ya que se

encuentra dentro de un mdulo el resultado siempre ser positivo. Por lo tanto el conjunto

solucin es todos los reales.

a)

Representamos todos los puntos del enunciado en el plano:

b)

i)

Un punto ( ) simtrico, respecto del eje , es un punto que est en espejo

respecto del eje ( )

Vamos a obtener los puntos simtricos de los puntos planteados por el enunciado:

( )

Ejercicio 9: Representar en el plano

27

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

Los graficamos:

ii)

Un punto ( ) simtrico, respecto del eje , es un punto que est en espejo respecto del

eje ( )

Vamos a obtener los puntos simtricos de los puntos planteados por el enunciado:

( )

( )

( )

28

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

Los graficamos:

Si despus de hacer este ejercicio, te quedaste con dudas, consult a travs del foro de la materia

en el post del ejercicio:

Ejercicio 10:

http://www.exapuni.com/for

os/mpost/80/350/Gu%C3%A

Da%20N%C2%BA1:%20Ejercic

io%2010

http://www.exapuni.com/foros/mpost/80/350/Gu%C3%ADa%20N%C2%BA1:%20Ejercicio%2010http://www.exapuni.com/foros/mpost/80/350/Gu%C3%ADa%20N%C2%BA1:%20Ejercicio%2010http://www.exapuni.com/foros/mpost/80/350/Gu%C3%ADa%20N%C2%BA1:%20Ejercicio%2010http://www.exapuni.com/foros/mpost/80/350/Gu%C3%ADa%20N%C2%BA1:%20Ejercicio%2010

29

a)

Para resolver este tipo de ejercicio se recurre a la frmula de distancia, la distancia de

( ) y ( ) se obtiene con la formula:

( ) ( ) ( )

Ahora vamos a aplicar la formula a los ejercicios planteados.

i)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

ii)

( ) ( ( )) ( )

( )

( )

iii)

( ) ( ) ( ( ))

( )

( )

( )

b)

El permetro es la suma de los lados, es por eso que vamos a utilizar la frmula de

distancia aplicada a los vrtices para obtener los lados y as obtener el permetro.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

30

( ) ( ( )) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ( ))

( )

( )

( )

( ) ( ( )) ( )

( )

( )

( )

c)

En este caso nos dan la distancia y un punto. Debemos obtener posibles puntos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

La funcin resultante es una superficie que tiene el nombre de circunferencia. La misma se

detecta por la forma de la ecuacin.

31

En el centro de la circunferencia se encuentra el punto ( ), los puntos que se

encuentran en el borde de la circunferencia son los que se encuentra a distancia . Estos puntos

son infinitos. El enunciado nos pide 5 puntos.

Para calcularlos de forma sencilla despejamos una variable de la ecuacin:

( ) ( )

( ) ( )

( ) | |

( ) ( )

( ) ( )

Reemplazamos el valor 3 (se puede tomar cualquier valor) en las ecuaciones:

( )

Un punto es ( )

( )

Un punto es ( )

Reemplazamos el valor 1 en las ecuaciones:

( )

Un punto es ( )

( )

Un punto es ( )

32

Reemplazamos el valor 2 en las ecuaciones:

( )

Un punto es ( )

( )

Un punto es ( )

d)

El ejercicio es muy similar al anterior:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Como hicimos anteriormente graficamos:

e)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Para que pase por el eje x, debe ser igual a 0.

( ) ( )

33

( )

( )

Debido a que en los reales no existe la raz cuadrada de un nmero negativo ningn punto

a distancia de pasa por el eje .

f)

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

( )

( )

| |

g)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

h)

34

El lugar geomtrico de los puntos que equidistan de dos puntos dados es la mediatriz del

segmento que tiene a los puntos dados por extremos, es decir la perpendicular al segmento que

pasa por el punto medio de stos.

Por lo tanto primero obtenemos el punto medio:

(

)

(

)

( )

Este es un punto equidistante a los puntos y , sin embargo existen infinitos puntos que

se encuentran en esta condicin. Los mismos estn dados por una recta que pasa por este punto y

es perpendicular a la recta que se forma entre los puntos y . Vamos a obtener esta recta,

debido a que en ambos puntos la coordenada , sabemos que esa es su recta. Ahora bien,

sabemos que los puntos equidistantes a y son perpendiculares a la recta y pasan por el punto

. Por lo tanto los mismos se encuentra en . Graficamos:

i)

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

( )

( )

35

( )

Si te quedaste con dudas sobre esta gua, cre un post en el foro de Matemtica ingresando

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