guía 1 - funciones trigonometricas r

7/17/2019 Guía 1 - Funciones Trigonometricas R

http://slidepdf.com/reader/full/guia-1-funciones-trigonometricas-r 1/13

Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó IV Bim. / TRIGONOMETRÍA / 5TO. AÑO

221

Línea de Tiempo: Leonhard Euler

Revolución deTúpac Amaru.

Terremoto enLima y Callaoel 28 de octubreseguido de un

t su n a m i d e17 metros dealtura.

1707

Virrey del Perú,

Miguel Núñezde Sanabria(Oidor decanod e l a R e a lAudiencia deLima).

Nace en Basilea, SuizaLeonhard Euler.

1746

1748

Publica Introductio inAnalysis Infinitorum.

1755

Virrey del Perú,Antonio Mansode Velasco (1745- 1761).

1768

1794

1780

Publica InstitutionesCalculi Integralis.

Publica InstitutionesCalculi Differentialis.

Francisco Gil de Taboada y Lemos es elvirrey del Perú.

Fallece, LeonhardEuler.

1783



La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE

IV Bim. / TRIGONOMETRÍA / 5TO. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

222

Funciones TrigonométricasReales I

Objetivos

Estudiar el dominio, rangoy gráfica de las funcionestrigonométricas básicas para apartir de ellas analizar a otrasmás complejas.

Reconocer gráficamente alas funciones trigonométricasb á s i c a s y s o b r e e l l a sresolver cualquier situaciónproblemática.

DEFINICIONES PREVIAS

1. Función Creciente

Una función "f" es creciente en unintervalo I, si para todo x

1, x

2 ∈ I se

cumple que:

Si x1< x

2 ∈ f(x

1) < f(x

2)

f(x2)

f(x1)

x1

x2

x

y

I

y = f(x)

2. Función Decreciente

Una función "f" es decreciente en un

intervalo I, si para todo x1, x2 ∈ I secumple que:

Si x1

< x2 ∈ f(x

1) > f(x

2)

f(x2)

f(x1)

x1

x2

x

y

I

y = f(x)

3. Función Continua

Sean "f" y "g" dos funciones realesdefinidas en un mismo intervalo,

pero cuyas gráficas se representan delsiguiente modo.

g(a)

a x

y

y=g(x)

Notará que en las cercanías dex=a, el comportamiento de "f" es

ininterrumpido y "continuo"; mientrasque el de "g" presenta una ruptura, un"salto",... una "discontinuidad" en elpunto x=a.

Una función se llama continua en unpunto x=a de su dominio si en lasproximidades de "a", f(x) está próximode f(a). Gráficamente, en el punto x=ano deben existir "rupturas" ni "saltos"en la curva que lo representa.

∈f(a)

∈

∈ a ∈ x

y

y=f(x)

"f" continua en x=a

f(a)

a x

y

y = f(x)





223

"f" discontinua en x=a

Matemáticamente, se usa el conceptodel límite de una función así: "f" escontinua en x=a si:

i) f(a) existeii) Lim f(x) existe

x∈ aiii) Lim f(x) = f(a)

x∈ a

Entendiéndose el Lim f(x); x∈ acomo el valor hacia el cual tiende f(x)cuando x tiende a "a", cuando x seaproxima a "a".

Esta aproximación a "a" puede hacersecon valores mayores que "a" a lo cualse dice aproximación para la derechade "a" (x∈ a+); o puede hacerse convalores menores que "a", a lo cual sedice aproximación por la izquierda de"a" (x∈ a¯), verificándose que:

Lim f(x) existe, si y solo si: x∈ a

Lim f(x) = Lim f(x)x∈ a+ x∈ a¯

Además que: Lim {f(x)± g(x)} = Lim f(x)± Lim g(x) x∈ a x∈ a x∈ a

Lim {kf(x)} = k . Lim f(x)

x∈ a x∈ a

Lim {f(x)g(x)} = Lim f(x). Lim g(x) x∈ a x∈ a x∈ a

Limx∈ a

Lim {k} = k; k: cte. x∈ a

{ f(x)g(x)} =

Lim f(x)x∈ aLim g(x)x∈ a

2) Lim g(x); si g(x) =x∈ 3

Tendremos, al evaluar x=3: g(3) = =

Pero: Lim g(x) = Lim = Limx∈ 3 x∈ 3 x∈ 3

= Lim = = ∈ Lim g(x) =x∈ 3 x∈ 3

x2 - 9x2 - 2x - 3

32 - 932 - 2(3) - 3

00

{ }( )x2 - 9x2 - 2x - 3 { }(x+3)(x - 3)

(x - 3)(x+1)

( )x+3x + 1

64

32

32

∈

f(a)∈

∈ a ∈ x

y

y=f(x)

Debiendo tener en cuenta que en el cálculo de algunos límites llegaremos a formarindeterminadas del tipo 0/0; ∞/∞; etc.; que tendremos que ir levantando. Porejemplo, calculemos:

1) Lim f(x); si f(x) = x∈ 2

Tendremos, al evaluar x=2 : f(2) = =

Pero: Lim f(x) = Lim = Limx∈ 2 x∈ 2 x∈ 2

= Lim (x+2) ∈ Lim f(x) = 4 x∈ 2 x∈ 2

22- 42 - 2

00

{ x2-4x - 2 }( ) { (x+2)(x - 2)

(x - 2) }

x2- 4x - 2

3) Lim h(x); si h(x) =x∈

Tendremos, al evaluar x = : h( ) = = =

Pero: Lim h(x) = Lim = Limx∈ x∈ x∈

= Limx∈

= Lim (1 + senx) = 1 + sen ∈ Lim h(x) = 2x∈ x∈

π2

cos2x1 - senx

π2

π2

cos2 π/21 - sen π/2

01-1

00

π2

π2

{ }( )cos2x1 - senx { }( )1 - sen2x

1 - senx

{ }(1+ senx)(1

- senx)(1 - senx)π2

π2

π2

π2

π2





224

A h o r a b i e n , l o s p u n t o s d ediscontinuidad son aquellos valoresde x que indeterminan la función. Porejemplo en la función:

y = f(x) =

los puntos de discontinuidad sepresentan cuando:

x2 - 3x - 4 = 0(x - 4)(x+1) = 0 ∈ x=4 x=-1

También, una función es continua enun intervalo I cuando lo es para cada

a ∈I.

{

{

x2- 4x2+x- 6

45

; x ∈<0;2>

; x ≥ 2

45

45 } 4

5

{ x2- 4x2+x- 6 } { (x+2)(x - 2)

(x - 2)(x+3) }

( )x+2x + 3

45

45

45

x - 1x2 - 3x - 4

4. Función Par

Una función "f" se llama par si:

“x” y “-x” ∈ Df; además :f(-x) = f(x); ∈ x ∈ Df

Su gráfica es simétrica respecto al eje"y".

x

y

5. Función Impar

Una función "f" se llama impar si:

“x” y “-x” ∈ Df; además :f(-x) = -f(x)

Su gráfica es simétrica respecto alorigen del sistema cartesiano.

• Ahora comprobemos si la función: f(x) =

es continua en x = 2

i) Notamos que f(2) existe y es f(2) =

ii) Calculamos: Lim f(x) x∈ 2

• Lim f(x) = Lim =x ∈ 2+ x ∈ 2+

• Lim f(x) = Lim = Limx ∈ 2¯ x ∈ 2¯ x ∈ 2¯

= Lim =x ∈ 2¯

Notamos que: Lim f(x) = Lim f(x) = ∈ Lim f(x) = x ∈ 2+ x ∈ 2¯ x ∈ 2

iii) Verificamos: f(2) = Lim f(x) = ∈ "f" es continua en x=2 x ∈ 2

45

}

• Comprobemos ahora si la función: h(x) =

es continua en x =

i) Notamos que h( ) existe y es h( ) = 2

ii) Calculamos: Lim h(x) x∈

• Lim h(x) = Lim { 2} = 2x ∈ + x ∈ +

• Lim h(x) = Lim = Limx ∈ ¯ x ∈ ¯ x ∈ ¯

= Limx ∈ ¯

= Lim (cosx +senx) = cos + senx ∈ ¯

= + = 2

Notamos que: Lim h(x) = Lim h(x) = 2 ∈ Lim h(x) = 2x ∈ + x ∈ ¯ x ∈

iii) Verificamos que: h( ) = Lim h(x) ∈ "h" es continua en x = x ∈

{

cos2xcosx - senx

π4

; 0 ≤ x <

2 ; ≤ x ≤

{ cos2xcosx - senx}

π4 π2π4

π4

π4

π4

π

4

π

4

π4

π4

π4

{ cos2x - sen2xcosx - senx

π4

{ (cosx + senx)(cosx - senx)(cosx - senx) }

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4 π

4

π4

22

22





225

x

y

Por ejemplo la función: y = f(x) = x4

con x ∈R , cumple que:f(-x)=(-x)4

f(-x)= x4 = f(x) ∈ f(-x)=f(x)

∈ "f" es par.

Mientras que la función:y = f(x)= x|x| con x ∈R , cumpleque:f(-x)= -x|-x|f(-x)= -x|x|= -f(x) ∈ f(-x)= -f(x) f(x)∈ "f" es impar.

Ahora la función:

y = g(x) = (ex

+e¯x

)1n |x|,con x ∈R - {0}, cumple que: g (-x)= (e¯x+e¯(¯x))1n|-x| g (-x)= (e¯x+ex)1n|x|=g(x)

∈ g(-x)= g(x)∈ "g" es par.

g(x)

6. Función Periódica

Una función "f" se llama periódicacuando existe un número real "T"

(T≠0), tal que ∈ x ∈ Df; se cumple:

(x+T) ∈ Df y f(x+T) = f(x)

El número "T" se denomina un períodode "f". El menor valor positivo de "T"se llamará período principal o períodomínimo o período de "f". Cumpliéndoseque todo múltiplo kT, k ∈ Z -{0} estambién período de "f", pero no esperíodo principal o mínimo.

Las gráficas de estas funciones, muestranla repetición de un tramo a lo largo detodo su dominio, por ejemplo en lossiguientes esquemas:

x

y

40-4

2

T=4

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Esta definición requerirá de algunosconceptos vistos en circunferenciatrigonométrica, para su real análisis.

Por ejemplo las representaciones de laslíneas trigonométricas y sus variacionesson:

F.T.={(x; y) / y =R.T.(x); x DF.T.

}

T=2

2

1 2 543-1-2-3-4-5

-2

y

x

A' A

q B

B'

x

y

senq

C.T.

M

senq: Existe ∈ θ ∈R

-1≤ senq ≤ 1

1) L.T. seno

2) L.T. coseno

-1≤ cosq ≤ 1

B

B'

y

A' Ax

C.T.

cosqM

q

cosq: Existe ∈ θ ∈R

B

B'

y

A' Ax

M

q

C.T.

cscq

C

cscq: ∈θ ∈R -{n π; n∈Z }

-∞<cscq ≤-1 ∈ 1≤ cscq <+∞

6) L.T. cosecante

B

B'

y

A' Ax

M

q

C.T.

ctgq

C

ctgq: ∈θ ∈R -{n π; n∈Z}

-∞< ctgq < +∞

4) L.T. cotangente

3) L.T. tangente

B

B'

y

A' Ax

M

q

C.T.

tgq

-∞< tgq < +∞

tgq: ∈θ ∈R - (2n+1) ; n∈Zπ2

}{

5) L.T. secante

B

B'

y

S Ax

Mq

C.T.

secq

-∞<secq ≤-1 ∈ 1≤ secq <+∞

secq: ∈θ ∈R - (2n+1) ; n∈Zπ2 }{





226

B

B'

y

A' Ax

C.T.

R=1

Ya que esto será de una vital importancia para la determinación de dominios,como se verá más adelante. No olvide tampoco el comportamiento de cada razóntrigonométrica en cada cuadrante.

senq cosq tgq ctgq secq cscqR.T.q

0 ∈ 1 1 ∈ 0 0 ∈ +∞ +∞ ∈ 0 1 ∈ +∞ +∞ ∈ 1(crece) (decrece) (crece) (decrece) (crece) (decrece)

1 ∈ 0 0∈ -1 -∞ ∈ 0 0∈ -∞ -∞∈-1 1∈+∞(decrece) (decrece) (crece) (decrece) (crece) (crece)

0∈ -1 -1∈ 0 0 ∈ +∞ +∞∈ 0 -1∈-∞ -∞∈-1(decrece) (crece) (crece) (decrece) (decrece) (crece)

-1∈ 0 0 ∈ 1 -∞ ∈ 0 0∈ -∞ +∞∈ 1 -1∈-∞(crece) (crece) (crece) (decrece) (decrece) (decrece)

IC 0 ∈ π/2

IICπ/2 ∈ π

IIICπ∈ 3π/2

IVC3π/2∈2π

ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. F.T. Seno

y = f(x) = senx

Su representación gráfica es:

{Df : R

Rf : [-1;1]

y

-1

0-π π 2π 3π x-π2

π2

3π2

5π2

sinusoide

De donde podemos establecer:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función continua en R.iii. Es una función impar: sen(-x) =-senxiv. Es una función periódica: T=2π ∈ sen(x+2π)= senx

La trigonometríadesarrollada por árabes

A finales del siglo VIII losastrónomos árabes, que habíanrecibido la herencia de lastradiciones de Grecia y de laIndia, prefirieron trabajar conla función seno. En las últimasdécadas del siglo X ya habían

completado la función senoy las otras cinco funciones yhabían descubierto y demostradovarios teoremas fundamentalesde la trigonometría tanto paratriángulos planos como esféricos.Varios matemáticos sugirieronel uso del valor r = 1 en vez der = 60, lo que produjo los valoresmodernos de las funcionestrigonométricas. Los árabes

calcularon tablas precisas endivisión sexagesimal; entre ellosdestacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997)por las divisiones en cuartogrado, con cuatro posicionessexagesimales. Por otra parte,este matemático, introdujo, conotro nombre, la tangente y lasecante al lado del seno. Tratadodel cuadrilátero de Nasir al - Dinal - Tusi (1201 - 1274).

T

No olvidemos además; que todo arco con extremo en:

A : es de la forma ∈ 2nπA' : es de la forma ∈ (2n+1)π

A o A' : es de la forma ∈ nπB : es de la forma ∈ (4n+1)π/2B' : es de la forma ∈ (4n+3)π/2B o B' : es de la forma ∈ (2n+1)π/2A, B, A' o B': es de la forma ∈ nπ/2 }

n∈Z

1





227

2. F.T. Coseno

y = f(x) = cosx


{Df : R

Rf: [-1;1]

y

-1

0-π π 2π 3π x-π2

π2

3π2

5π2

cosinusoide

De donde podemos establecer:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función continua en R.iii. Es una función par: cos(-x) = cosxiv. Es una función periódica: T=2π ∈ cos(x+2π)= cosx

3. F.T. Tangente

y = f(x) = tgx

Su representación gráfica es:{

Df : R - {(2n+1) ; n ∈ Z}

Rf: R

T

π2

tangentoide

0 π

23π2

π 2π 3π5π

27π2

y

x-π

2

T

asíntotas

De donde podemos afirmar que:i. Es una función creciente en cada cuadrante.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar: tg(-x) = -tgxiv. Es una función periódica: T=π ∈ tg(x+π)= tgx

Leonhard Euler Leonhard Euler nació el 15 de

abril de 1707 en Basilea, Suiza.Murió el 18 de septiembre de1783 en San Petersburgo, Rusia.Vivió en Rusia la mayor parte desu vida. Probablemente fue uno delos más grandes matemáticos dela historia, comparable a Gauss,Newton o Arquímedes.Fue discípulo de Jean Bernoulli,pero superó rápidamente elnotable talento matemático de sumaestro. Su carrera profesionalse circunscribió a las Academiasde Ciencias de Berlín y SanPetersburgo, y la mayor parte de sutrabajo se publicó en los anuales deciencias de estas instituciones. Fueprotegido de Federico el Grande, encuya corte protagonizó discusionesmetafísicas con Voltaire, de lasque solía retirarse enfurecido porsu incapacidad en la Retórica y laMetafísica.

Perdió la vista de un ojo duranteun experimento en óptica, y en1766 la vista del otro, ya de mayorpasó los últimos años de su vidaciego, pero siguió trabajando.Muchos trabajos se los dictóa su hijo mayor. Posiblementees el matemático más prolíficode la historia. Su actividad depublicación fue incesante (unpromedio de 800 páginas deartículos al año en su época demayor producción, entre 1727 y1783), la mayor parte de su obracompleta está sin publicar. Lalabor de recopilación y publicacióncompleta de sus trabajos comenzóen 1911 y no hay indicios de quese complete. El proyecto inicialplaneaba el trabajo sobre 887títulos en 72 volúmenes, peroen la actualidad se supone quealcanzará los 200 con facilidad.

Se le considera el ser humanocon mayor número de trabajos yartículos en cualquier campo delsaber, sólo equiparable a Gauss.

1

7π2





228

4. F.T. Cotangente

y = f(x) = ctgx


{Df : R - {n π; n ∈ Z }

Rf: R

cotangentoide

0 π2

3π2

-π 2π 5π2

7π2

y

-π2

T

asíntotasDe donde podemos afirmar que:i. Es una función decreciente en cada cuadrante.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar : ctg(-x) = -ctgx

iv. Es una función periódica: T=π ∈ ctg(x+π)= ctgx

π 3π x

5. F.T. Secante

y = f(x) = secx


{ Rf: <-∞; -1] ∈ [1; +∞>

Df : R - {(2n+1) ; n ∈ Z }π2

secantoide

0 π2

3π2

π 2π 3π5π2

7π2

y

x-π2

T

asíntotas

1

De donde podemos establecer que:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función par: sec(-x) = secxiv. Es una función periódica: T=2π ∈ sec(x+2π)= secx

-π

-1

Hiparco de Nicea

• Fundador de la trigonometría,

autor del primer catálogo deestrellas, que incluía la posiciónde 1026 aparte de proponer unaclasificación de dichos objetos endiversas clases de acuerdo con subrillo. Sus teorías sobre la Lunay el Sol fueron reasumidas, talcual, por Tolomeo. Determinó ladistancia y tamaño tanto del Solcomo de la Luna. Comparandosus estudios sobre el cielo con

los de los primeros astrónomos,Hiparco descubrió la precisión delos equinoccios .Sus cálculos delaño tropical, duración del añodeterminada por las estaciones,tenían un margen de error de6,5 minutos con respecto a lasmediciones modernas. Tambiéninventó un método para localizarposiciones geográficas por mediode latitudes y longitudes.

La palabra tr igonometríaproviene de tres palabras griegasque significa "tres-ángulo-medida" e indica que, cuando seadoptó el nombre, el tema queprincipalmente trataba estabarelacionado con las medidas deun triángulo.

Se dice que los elementos y fuentesde donde surgen laTrigonometríason las sombras y las cuerdasde arco. La observación desombra proyectadas por postes yárboles condujo al estudio de los

triángulos semejantes.





229

6. F.T. Cosecante

y = f(x) = cscx


{ Rf: <-∞; -1] ∈ [1; +∞>

De donde podemos afirmar que:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar: csc(-x) = -cscxiv. Es una función periódica: T=2π ∈ csc(x+2π)= cscx

Df : R - {nπ; n ∈ Z }

cosecantoide

0 π2

3π2

π 2π 3π5π2

7π2

y

x-π2

T asíntotas

1

-π

-1

Cuando desarrollábamos la teoría de función continua, nos adelantamos un pocoy comenzamos a trabajar con funciones que contenían razones trigonométricas,con la intención de notar que los procedimientos son muy similares al aplicado enfunciones racionales fraccionarias o polinomiales. Vamos a enriquecer ese puntocon algunas propiedades adicionales de límites trigonométricos.

Limx ∈ 0 {senx

x } = 1Limx ∈ 0 { tgx

x } = 1 Limx ∈ 0

(cosx)= 1

De donde:

1. Señala el dominio de la función: y= f(x) =

Resolución:

En la función: y= f(x) =

Tenemos que: senx-1 ≠ 0 ∈ senx ≠ 1

∈ x ≠ (4n+1) ; n ∈Z

∈ Df: R - {(4n + 1) ; n ∈Z}

2cosx-1senx-1

2cosx-1senx-1

en la C.T., no puede estar suextremo en B.π

2

π2

2. Señala el dominio de la función:y= f(x) = 3senx+1

cosx-1

Resolución:

En la función: y=f(x)=

Tenemos que:cosx-1 ≠ 0 ∈ cosx ≠ 1

∈ x ≠ 2nπ; n ∈Z

∈ Df: R - {2nπ; n ∈Z }

en la C.T., nopuede estar suextremo en A.

3senx+1cosx-1

3. Señala el dominio de la función:y= f(x) =5secx + 3cscx

Resolución:

En la función:y= f(x) =5secx + 3cscx

y= f(x) =5. + 3.

Tenemos que: cosx ≠ 0

senx ≠ 0

x ≠ n ; n ∈Z

∈ Df: R - {n ; n ∈Z }

Su extremo no puedeestar en B ni en B'.

1cosx

1senx

Su extremo no puedeestar en A ni en A'.

π2

π2

4. Señala el rango de la función: y= f(x) =2sen2x + 5cos2x; Df: R

Resolución:

En la función:y= f(x) =2sen2x + 5cos2x

y=2(1 - cos2x)+5cos2x y=2 - 2cos2x+5cos2x ∈ y=2+3cos2x

Pero:

0 ≤ cos2x ≤ 1 0 ≤ 3cos2x ≤ 3 2 ≤ 2+3cos2x ≤ 5

2≤y ≤ 5 ∈ Df: [2; 5]y

Lim

x ∈ 0

Lim

x ∈ 0 {tgax

bx } =

a

b

Lim

x ∈ 0 {

senax

bx } =

a

b

(cosax)= 1





230

5. Señala el rango de la función: y=f(x)=5sen(x+37°)+cosx; x ∈R

Resolución:

6. Dada la función

y=f(x)=

¿es continua en x = ?{

sen2xcosx

; 0≤ x <

2; ≤ x ≤ π

π2

π

2 π2

Resolución:

Recuerda que para que sea continuaen x = π/2 debe cumplirse quef(π/2) existe;

Lim f(x) existe y f( ) = Lim f(x) x ∈ x ∈

π2 π

2

i) f( ) =2

ii) Lim f(x) = Lim 2 = 2 x ∈ + x ∈ +

Lim f(x) = Lim = x ∈ - x ∈ -

Lim = x ∈ -

Lim {2senx} = 2sen = 2 x ∈ -

π2

π2

π2

π2

π2

{ sen2xcosx }

π2{ 2senxcosx

cosx }

π2

π

2

Notamos que:Lim f(x) = Lim f(x) = 2

x ∈ + x ∈ -

∈ Lim f(x) = 2 x ∈

iii) Verificamos también que: f( ) = Lim f(x) = 2 x ∈

∈ "f" es continua es x =

π2

π2

π2

π2 π

2π2

7. Calcula "a" para que la función:

f(x)=

sea continua es x=0{senax +tg3x

x; - < x <0

5 ; 0≤ x <

π6

π6

Resolución:

Como debe de ser continua en x=0,entonces:

f(0) = Lim f(x) x ∈ 0

i) f(0) =5

ii) Lim f(x) = Lim (5) = 5 x ∈ 0+ x ∈ 0+

Lim f(x) = Limx ∈ 0 - x ∈ 0 -

Lim + = x ∈ 0 -

Lim + Limx ∈ 0 - x ∈ 0 -

Lim f(x) = a + 3

x ∈ 0 -

Se debe cumplir que: Lim f(x) = Lim f(x) = f (0)

x ∈ 0 - x ∈ 0 +

a + 3 = 5

∈ a = 2

{ senax +tg3xx }

{ senaxx }tg3x

x

{senax

x

} {tg3x

x }

Nivel I

1) Señala el dominio de la función:

f(x)=

a) R - {nπ; n ∈Z}b) R - {nπ/2; n ∈Z}c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z}

d) R - {2nπ; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

2senx + 1cosx - 1


f(x)=

a) R - {nπ; n ∈Z}b) R - {nπ/2; n ∈Z}c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z}

d) R - {2nπ; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

senx + 2cosx + 1


f(x)=

a) R - {nπ/2; n ∈Z}b) R - {nπ; n ∈Z}c) R - {2nπ; n ∈Z}

d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z}

e) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z}

2cosx + 1senx + 1


f(x)=


d) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

e) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z}

4cosx - 1senx - 1

π2

45

35

En la función:y=5sen(x+37°)+cosx

y=5(senx.cos37°+sen37°.cosx)+cosx

y=5( senx+ cosx) + cosx

y=4senx+3cosx+cosx y=4(senx+cosx)

Sabemos que:

- 2 ≤ senx+cosx ≤ 2

- 4 2 ≤ 4(senx+cosx) ≤ 4 2

- 4 2 ≤ y ≤ 4 2

∈ Rf: [- 4 2; 4 2]

y





231

Nivel II

5) Señala el dominio de la función: f(x)= 2tgx + 1

a) R - {nπ/2; n ∈Z}

b) R - {nπ; n ∈Z}c) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

6) Señala el dominio de la función:f(x)= 3 + 4tg2x


d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z}

e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

7) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 4ctg2x+1

a) R - {nπ/2; n ∈Z}b) R - {2nπ; n ∈Z}c) R - {nπ; n ∈Z}

d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

8) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 3+2ctgx

a) R - {nπ; n ∈Z}b) R - {2nπ; n ∈Z}c) R - {nπ/2; n ∈Z}

d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

9) Señala el rango de la función: y = f(x)= 3+4cosx; Df: R

a) [3; 4] d) [-1; 7]b) [1; 4] e) [-1; 3]c) [-1; 4]

10) Señala el rango de la función: y = f(x)= 5 - 4senx; Df: R

a) [-4; 5] d) [-4; 9] b) [4; 5] e) [1; 9] c) [1; 5]

11) Señala el rango de la función: y=f(x)=2sen2x+7cos2x; Df: R

a) [2; 5] d) [5; 7] b) [3; 7] e) [0; 2] c) [2; 7]

12) Señala el rango de la función: y=f(x)=3sen2x - 2cos2x.

a) [2; 3] d) [0; 5]

b) [-2; 3] e) [-2; 5] c) [0; 2]

13) Señala el rango de la función: y=f(x)=2(sen2x+1)+3(cos2x+1)

a) [2; 3] d) [6; 7] b) [3; 4] e) [7; 8] c) [5; 6]

14) Señala el rango de la función: y=f(x)=3(sen2x+2)+4(cos2x+1)

a) [8; 9] d) [13; 14] b) [10; 11] e) [14; 15] c) [11; 12]

15) Señala el rango de la función: y=f(x)=(senx+2cosx)2 +

(3senx - cosx)2 + (senx+cosx)2

a) [6; 11] d) [7; 12] b) [5; 10] e) [6; 13]

c) [5; 9]

16) Señala el dominio de la función: y=f(x)=3secx+2cscx

a) R - {nπ; n ∈Z}b) R - {nπ/2; n ∈Z}c) R - {2nπ; n ∈Z}

d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z}

e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

17) Señala el dominio de la función: y=f(x)=2tgx+3ctgx

a) R - {nπ; n ∈Z}b) R - {nπ/2; n ∈Z}c) R - {2nπ; n ∈Z}

d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z}

18) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+ctgx; Df: <0; >

a) R+ d) [1; +∞> b) <2; +∞> e) <0; +∞> c) [2; +∞>

π2

19) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+ctgx; Df: < ; π>

a) R- d) <-∞; -1]

b) <-∞; -2> e) <-∞; 0> c) <-∞; -2]

π2

20) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+4ctgx; Df: <0; >

a) R+ d) <4; +∞> b) <2; +∞> e) [4; +∞> c) [2; +∞>

π2

21) Señala el rango de la función: y=f(x)=4tgx+9ctgx; Df:<0; >

a) R+ d) [6; +∞> b) [2; +∞> e) [12; +∞> c) [4; +∞>

π2

24) Señala si la función:

y=f(x)=

es continua en x =

{tgxcosx; 0≤ x <

1 ; ≤ x ≤ π

π2

π2

π

2

22) Señala el rango de la función: y=f(x)= (tgx -2ctgx)2 + (3tgx

+ctgx)2 ; Df: R - {n ; n ∈Z}

a) [5 2; +∞>b) [5 2 + 2; +∞>c) [10 2; +∞>

d) [10 2 + 2; +∞> e) [12; +∞>

π2

23) Señala el rango de la función: y=f(x)=(3tgx - 2ctgx)2+ (tgx +ctgx)2

a) [5 2 - 2; +∞>

b) [5 2 + 2; +∞>c) [10 2 - 2; +∞>

d) [10 2 + 2; +∞> e) [10 2 - 10; +∞>





232


y=f(x)=

es continua en x =π

{ctgxsenx; ≤ x <π

1 ; π≤ x ≤5

π4

π4


y=f(x)=

es continua en x =0

{sen2xcscx; 0< x ≤

-2 ; - ≤ x ≤0

π2

π2


y=f(x)=

es continua en x =

{sen2xsecx; 0≤x<

2 ; ≤ x ≤π

π2

π2

π2


y=f(x)=


{sen3xcscx; 0<x≤

3 ;- ≤ x ≤0

π2

π2


y=f(x)=

es continua en x =

{cos3xsecx; 0≤x<

-3 ; ≤ x ≤π

π2

π2

π2


y=f(x)=


{ 4 ; - ≤ x ≤0

π16

sen2x+tg4xx

; 0< x ≤

π16

Nivel III

31) Dada la función:

y=f(x)=4sec2

x+9csc2

x, ¿cuál essu mínimo valor?

a) 15 d) 30 b) 20 e) 35 c) 25

33) Señala elvalormínimodela función:y=f(x)=senx(senx+1).

a) 0 d) -1/2 b)1/4 e) -1/4 c) 1/2

34) Señala el valor máximo de la

función: y=h(x)=cosx(1- cosx)

a) 0 d) 1/4 b)1/2 e) -1/4 c) 2

37) Señala el rango de la función:

y=f(x)=

a) [ ; 2] d) [ ; ] b) [ ; 1] e) [ 2; 3]

c) [ 1; 2]

sen2x+2cos2x+3

1212

12

32


y=g(x)=

a) [ ; ] d) [ ; 3]

b) [ ; ] e) [ ; ] c) [ ; ]

3+sen2x3+cos2x

2334

13

3243

45

54

23

43

39) Suma el máximo valor de: y=f(x) = sen4x+cos4x; con el

mínimo valor de:y=h(x)= sen6x + cos6x.

a) 0,75 d) 1,75 b) 1,15 e) 2

c) 1,25


y=f(x)=

a) [ 1; 2 ] d) [ ; ]

b) [ ; 2] e) [ ; ]

c) [ ; ]

sen4x+cos4xsen6x+cos6x

12

12

23

32

34

43

32

32) Señala el valor mínimo de lafunción: y=f(x)=sec2x+2csc2x.

a) 2+1 d) 2 2+3

b) 2 2+1 e) 2 2+4 c) 2 2+2

35) Señala el valor máximo de lafunción:y=g(x)=(1+senx) (1+cosx)

a) d)

b) e)

c)

2 + 2

23 + 2

2

3 +2 22

3 +2 24

1 +2 2

2

36) Señala el valor mínimo de lafunción: y=f(x)=covxversx

a) d)

b) e) 0

c)

1 - 22

3 + 22

1 - 2 22

3 - 2 22





233

43) Dadas las funciones: y=f(x)=2cosx +1;

y = g(x)=|senx|+1;con el dominio [0; 2π]; susgráficas se intersectan en ........puntos. (completa).

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0 c) 3

44) Las gráficas de las funciones: y = f(x)=2senx+1; y =g(x)=|cosx|+1 en

[0; 2π], tienen ......... puntos deintersección. (completa)

a) 1 d) 4 b) 2 e) 0

c) 3

45) Señala el dominio de la función: y= f(x) = senx - cosx, definida

sobre [0; 2π].

a) [ 0; π]

b) [ ;3 ]

c) [ ;5 ]

d) [ ; ] ∈ [ π; 5 ]

e) [ ;3 ] ∈ [ 5 ; 2π]

π4

π4

π4

π4

π4

π2

π4

π4

π4

π4


y= f(x) =

definida sobre [0; 2π]. a) [ 0; >

b) < ; 3 >

c) < 5 ;2π]

d) [ 0; ] ∈ [ 5 ; 2π]

e) [ 0; > ∈ <5 ; 2π]

π4

π4

π4π4

π4

π4

π4

senx + cosx

cosx - senx

π4

48) De acuerdo al gráfico, calcula:C= sec2q + cos2q

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

y=senx

y=ctgx

q x

y

y1

49) En la definición, calcula "k" paraque la función:

y=f(x)=

sea continua en x = 0.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 8 c) 3

{; - ≤ x <0

k ; 0≤ x ≤

π2

π2

sen23x-sen2xx2

50) Determina "k"; para que lafunción

y=f(x)=

sea continua en x = 0.

a) 1 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4

{; - ≤ x <0

k ; 0≤ x ≤

π

8 π8

tg2x+sen2x

x3

Si bien se considera a Hiparcoel "Padre de la Trigonometría"y fue Ptolomeo quien dio unpaso gigante para su desarrollocon su obra el Almagesto, sin losElementosdeEuclidesestosavancesseguramente habrían tenido queesperar mucho tiempo.

La obra de Euclides contienealgunas proposiciones que hansido fundamentales para laconstrucción de las tablas decuerdas, que marcaron los iniciosde la trigonometría sistemática.También contiene el Teoremade coseno que hoy utilizamosen clase para la resolución detriángulos,aunqueenlosElementosel enunciado es geométrico y

distingue entre triángulosobtusángulos (Euclides II, 12) yacutángulos (Euclides II, 13).

41) Dada la función: y = f(x) =2sen2x+senx, ¿cuál es su

valor mínimo?

a) 2 d)

b) e) 1

c) 4 2

1 2

14

2

42) Dada la función: y=f(x)=2cos 2x-senx, ¿cuál es su

valor máximo?

a) 4 2 d) 2 2

b) 2 e) 2 c) 2 4 2

y=tgx

y=cosx

a x

y

y1

47) De acuerdo al gráfico, calcula:C= sena + sen2a

a) 1 d) 5 b) 1/2 e) 2/3 c) 5/2

guía 1 - funciones trigonometricas r

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