INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MÉRIDA

ASIGNATURA: RESISTENCIA Y ENSAYO DE MATERIALESPROFESOR: ING. DOUGLAS GARCÍA

GUÍA TEÓRICAESFUERZO COMBINADO Y CIRCUNFERENCIA DE MOHR

Elemento Sometido a Esfuerzo

En general, esfuerzo combinado se refiere a los casos en que dos o mas tipos de esfuerzos actúan en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzos componentes pueden ser normales (es decir, de tensión o compresión) o esfuerzos cortantes. Cuando un miembro de carga se somete a dos o más clases diferentes de esfuerzos la primera tarea es calcular el esfuerzo provocado por cada componente. A se continuación se toma una decisión sobre qué punto del miembro soporta la combinación de esfuerzos más elevada y se completa el análisis del esfuerzo combinado en dicho punto. En algunos casos especiales, se desea conocer la condición de esfuerzo dado sin cuidado de si es o no es el punto de esfuerzo máximo. Ejemplos serían los puntos cerca de soldaduras en una estructura fabricada, a lo largo de la veta de un miembro de madera, o cerca de un punto de conexión entre miembros. Con el punto de interés identificado, se determina, de ser posible, la condición de esfuerzo en dicho punto con las relaciones clásicas para el análisis de esfuerzo. En ocasiones, por la complejidad de la geometría del miembro o el patrón de carga, no se puede realizar un análisis de esfuerzo confiable completo por medio de cálculos. En esos casos puede utilizarse un análisis de esfuerzo experimental en el que medidores de deformación, modelos fotoelásticos o revestimientos sensibles a la deformación dan datos de manera experimental. Asimismo, con la ayuda de técnicas de análisis de esfuerzo por elemento finito basadas en la computadora. Se puede determinar la condición de esfuerzo.

Luego de usar uno de estos métodos, se tendrá la información requerida para construir el elemento sometido a esfuerzo inicial, corno se muestra en la Figura 01. Se supone que el elemento es infinitesimalmente pequeño y que está alineado con las direcciones conocidas en el miembro que se va analizar. El elemento completo, como se muestra, podría tener un esfuerzo normal (de tensión o compresión) actuando en cada par de caras orientadas en direcciones mutuamente perpendiculares, generalmente designadas como ejes x y y.

Tal como el nombre esfuerzo normal lo dice, esos esfuerzos actúan normales (perpendiculares) a las caras. Y tal como se indica, σ x está alineado con el eje x y es un esfuerzo de tensión que tiende jalar al elemento. Recuérdese que los esfuerzos de tensión se consideran positivos. Por tanto, σ y es de compresión, puesto que tiende a aplastar al elemento. Los esfuerzos de compresión se consideran negativos. Además, puede haber esfuerzos cortantes actuando a lo largo de las caras del elemento como si cada una estuviera siendo desprendida del material adyacente. Recuérdese que cuando se analizaron los esfuerzos cortantes se vio que en cualquier elemento en equilibrio existen cuatro cortantes, de magnitud igual En dos caras opuestas cualesquiera los esfuerzos cortantes actúan en direcciones opuestas, por lo que se crea un par que tiende a girar el elemento. Por tanto, debe existir un par de esfuerzos cortantes en las caras adyacentes que producen un par opuestamente dirigido para que el elemento esté en equilibrio.

Cada par de cortantes se designará con una notación de subíndice doble, Por ejemplo, τ xy se refiere al esfuerzo cortante que actúa perpendicular al eje x y paralelo al eje y. Por otra parte, τ yx actúa perpendicular al eje y y paralelo al eje x. En lugar de establecer una convención para los signos de los esfuerzos cortantes, se hará referencia a citas como horarios (H) (el sentido del movimiento de las manecillas del reloj) o antihorarios (AH) (el sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj), según el sentido en que tiendan a girar al elemento sometido a esfuerzo.

Figura 01. Elemento Sometido a Esfuerzo Completo.

Tabla 01. Distribución del esfuerzo creada por esfuerzos básicos

Tipo de Esfuerzo

Fórmula para Calcularlo

Distribución del esfuerzo en el miembro Elemento Sometido al Esfuerzo

Tensión Directa

σ=P/ A

Uniforme en toda el área

Compresión Directa

σ=−P/ A

Uniforme en toda el áreaProducido por Flexión

Esfuerzo máximo en superficies externas

σ máx=±Mc / I

Esfuerzo flexionante en cualquier punto y

σ=±My / I

Cortante Directo

τ=P/A

Uniforme en toda el áreaCortante Torsional

Máximo en la superficie externa

τ máx=Tc /J

Esfuerzo cortante en cualquier radio

τ=Tr /J

Cortante en Vigas

τ=VQ /¿

Elemento Sometido a Esfuerzo Inicial

Un objetivo importante del diseño es desarrollar relaciones con las que se puedan determinar los esfuerzos principales máximos y el esfuerzo cortante máximo. Antes de que esto se pueda hacer, es necesario conocer el estado de esfuerzo en un punto de interés en alguna orientación. Así pues conocido o deducido un elemento de un cuerpo donde se combinen esfuerzo en sus máximos valores, hablamos de un punto de estudio del cual debemos conocer los esfuerzos iniciales a los cuales está sometido.

Se pueden usar ecuaciones para determinar los esfuerzos en cualquier dirección, que se conocen como ecuaciones directas para el esfuerzo normal en la dirección u, σ u y el esfuerzo cortante τuv que actúa paralelo al plano de corte, de ellos se obtienen los esfuerzos principales, un detalle con estas ecuaciones es su complejidad por los distintos casos que se pueden presentar en la combinación de signos con las distintas variables que se tienen, lo cual presenta dificultades. Afortunadamente, existe un auxiliar gráfico, llamado circulo de Mohr, que puede ayudar a resolver estos problemas.

Circunferencia de Mohr para el Esfuerzo

Su uso debe proporcionarle a usted una mejor comprensión del caso general de esfuerzo en un punto.

Se puede demostrar que las dos ecuaciones, de los esfuerzos normal y cortante en un punto en cualquier dirección se pueden combinar y ordenar en la forma de la ecuación de un círculo, Presentado por primera vez por Otto Mohr en 1895, el círculo permite un cálculo rápido y exacto de: 1. Los esfuerzos principales máximo y mínimo. 2. El esfuerzo cortante máximo. 3. Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.4. El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. 5. La condición de esfuerzo en cualquier orientación del elemento sometido a esfuerzo.

El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante τ , marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal σ en el eje horizontal, como se muestra en la Figura 02.

Convenciones de signos: 1. Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha. 2. Los esfuerzos normales negativos (de compresión) actúan hacia la izquierda. 3. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido horario (SH) se trazan hacia arriba en el eje τ . 4. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzo en sentido antihorario (SAH) se trazan hacia abajo.

Figura 02. Pasos 1 al 7 del procedimiento de construcción del círculo de Mohr.

Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr

1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como el elemento

sometido a esfuerzo inicial como se muestra en la Figura 01.

2. La combinación de σ x y τ xy se marca como punto 1 en el plano σ−τ .

3. La combinación de σ y y τ yx se marca entonces como punto 2. Observe que τ xy y τ yx siempre

actúan en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marcará arriba del eje σ y el otro

debajo.

4. Trace una línea recta entre los dos puntos.

5. Esta línea cruza el eje a en el centro del círculo de Mohr, el cual también es el valor del esfuerzo

normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. La localización del centro se

puede observar con los datos utilizados para trazar los puntos o se puede calcular con la ecuación:

σ prom=12

(σ x+σ y )

Por conveniencia, designe el centro como O.

6. Identifique la línea que parte de O y pasa por el punto 1 de (σ x , τ xy) como eje x.

Esta línea corresponde al eje x original y es esencial que se correlacionen los datos del círculo de

Mohr con las direcciones originales x y y.

7. Los puntos O, σ x y el punto 1 forman un importante triángulo rectángulo porque la distancia de O al

punto 1, la hipotenusa del triángulo, es igual al radio del círculo R. Si los otros dos lados se designan

a y b, se pueden hacerlos cálculos siguientes:

a=12

(σ x−σ y )

b=τ xy

R=√a2+b2=√[ 12 (σ x−σ y )]2

+τ xy2

Observe que la ecuación de R da el máximo esfuerzo cortante en el elemento. Por tanto:

La longitud del radio del círculo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante máximo.

Esfuerzo Cortante Máximo

τ max=R

En la Figura 03 se muestran los pasos 8—11.

Figura 03. Círculo de Mohr Terminado.

8. Dibuje el círculo completo con el centro en O y el radio R.

9. Trace el diámetro vertical del círculo. El punto en la parte superior del círculo tiene las

coordenadas (σ prom , τ máx) donde el esfuerzo cortante tiene la dirección horaria (SH). El punto en la

parte inferior del círculo representa (σ prom , τ máx), donde el esfuerzo cortante tiene la dirección

antihoraria (SAH).

10. Identifique los puntos en el eje σ en los extremos del diámetro horizontal como σ 1, a la derecha

(el esfuerzo principal máximo) y σ 2 a la izquierda (el esfuerzo principal mínimo). Observe que el

esfuerzo cortante es cero en esos puntos.

11. Calcule los valores de σ 1, y σ 2 con:

Esfuerzo Principal Máximo

σ 1=O+R=σ prom+τmax

Esfuerzo Principal Mínimo

σ 2=O−R=σ prom−τmax

Donde “O” representa la coordenada del centro del círculo σ prom, y R el radio. Los pasos que siguen

determinan los ángulos de orientación del elemento sometido a esfuerzo principal y del elemento

sometido a esfuerzo cortante máximo. Un concepto importante a recordar es que los ángulos

obtenidos con el círculo de Mohr son el doble de los ángulos reales. La razón de esto es que las

ecuaciones en las que se basa son funciones de 2∅.

12. La orientación del elemento sometido a esfuerzo principal se determina calculando el ángulo del

eje x al eje σ 1, designado como 2∅ en la Figura 03. Con los datos que hay en el círculo se puede ver

que:

2∅=tan−1 ba

(SH)

Los problemas con signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del eje x al

eje σ 1, como horaria en este ejemplo. Luego, el elemento sometido a esfuerzo principal se hace girar

en la misma dirección a partir del eje x en una cantidad ∅ para localizar la cara en la que actúa el

esfuerzo principal máximo σ 1.

13. Dibuje el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación adecuada determinada con el

paso 12 con los dos esfuerzos principales σ 1, y σ 2 mostrados [véase la Figura 04(a) y (b)].

14. La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se determina con el ángulo del

eje x al eje τ max designado 2∅ ' en la Figura 03. En este ejemplo:

2∅ '=90−2∅ (SAH)

Con trigonometría se puede demostrar que esto equivale a determinar la tangente inversa deab

, el

recíproco del argumento usado para determinar 2∅.

De nuevo, los problemas con signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del

eje x al eje τ max en el círculo, como antihoraria en este ejemplo. Por tanto, el elemento sometido a

máximo esfuerzo cortante se hace girar en la misma dirección a partir del eje x una cantidad ∅ ' para

localizar la cara en la que actúa el esfuerzo cortante máximo.

15. Dibuje el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo en su orientación apropiada

determinada con el paso 14 con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal promedio actuando en

las cuatro caras [véase la Figura 04(c)]. En general, la Figura 04 es el resultado deseado de un

análisis con el círculo de Mohr. Se muestran el elemento sometido a esfuerzo inicial que establece

los ejes x y y, el elemento sometido a esfuerzo principal dibujado con su rotación apropiada con

respecto al eje x y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo también dibujado con su

rotación apropiada con respecto al eje x.

Figura 04. Forma general de los resultados finales del análisis con el círculo de Mohr.

Caso Especial en el cual los dos Esfuerzos Principales tienen el mismo Signo

Este resumen concierne a la situación en la que el análisis con el círculo de Mohr de un elemento

sometido a esfuerzo plano (esfuerzos aplicados sólo en dos dimensiones) produce el resultado de

que ambos esfuerzos principales (σ 1, y σ 2) son del mismo signo; es decir, ambos son de tensión o

ambos son de compresión. En esos casos, se deberá completar los pasos siguientes para obtener

una imagen real de la condición de esfuerzo en el elemento tridimensional.

A. Dibuje el círculo de Mohr completo para la condición de esfuerzo plano, e identifique los esfuerzos

principales σ 1, y σ 2.

B. Si los dos esfuerzos principales son de tensión (positivos):

1. Considere que el esfuerzo cero que actúa en la dirección perpendicular al elemento sometido a esfuerzo inicial es el esfuerzo principal mínimo real. Entonces, es necesario definir tres esfuerzos principales como sigue:σ 1; = Esfuerzo principal máximo del primer círculo de Mohr.σ 2 = Esfuerzo principal mínimo del primer círculo de Mohr.σ 3 = Cero (esfuerzo principal mínimo real).2. Dibuje un círculo de Mohr secundario cuyo diámetro abarque de σ 1, a σ 3 en el eje σ . El

centro del círculo quedará en el promedio de σ 1 y σ 2, (σ1−σ3 )2

. Pero, como σ 3=0, el promedio

es σ12

.

3. El esfuerzo cortante máximo se localiza en la parte superior del segundo círculo y su valor

también es σ12

.

C. Si los dos esfuerzos principales son de compresión (negativos):

1. Considere que el esfuerzo cero que actúa en la dirección perpendicular al elemento sometido a esfuerzo inicial es el esfuerzo principal máximo real. Entonces, es necesario definir tres esfuerzos principales como sigue:σ 1 = Cero (esfuerzo principal máximo real)σ 2 = Esfuerzo principal máximo del primer círculo de Mohr.σ 3 = Esfuerzo principal mínimo del primer círculo de Mohr.2. Dibuje un círculo de Mohr secundario cuyo diámetro abarque de σ 1, a σ 3 en el eje σ . El

centro del círculo quedará en el promedio de σ 1 y σ 2, (σ1−σ3 )2

. Pero, como σ 1=0, el promedio

es σ32

.

3. El esfuerzo cortante máximo se localiza en la parte superior del círculo secundario y su

magnitud es también σ32

.