gui as cal culo multivariable

UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER GUA DE ESTUDIO No. 1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS II - 2014

UNIDAD ACADMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: CALCULO MULTIVARIABLE. UNIDAD TEMTICA DEFINICON, LMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN.

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Aplicar los conceptos y propiedades de derivacin a funciones de varias variables, en la solucin de problemas del campo de ingeniera o contexto profesional.

Determina los elementos bsicos de una funcin de varias variables: Dominio, rango y grfica.

Determina el conjunto en donde una funcin es continua utilizando el

concepto de lmites de funciones varias variables.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Realizar las actividades que a continuacin se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente. ACTIVIDAD 1: Resolver cada uno de los siguientes ejercicios que a continuacin se enuncian, recuerda utilizar los apuntes del docente y los conceptos estudiados en clase.

a. Sea la funcin (, ) = ( + 1). Evaluar la funcin en el punto dado: 1. (1, 1) 2. (, 1) 3. (3, 1) 4. (4, 0)

b. Sea la funcin (, ) = 4 2 42 . Determinar:

1. El Domino y Rango de . 3. Las curvas de nivel y el mapa de contorno si = 0,1

2, 1,2.

2. Grfica en 3D de .

c. Grafique el domino y el rango de las siguientes funciones:

1. (, ) = 10 2 2 2. (, ) = ln(4 2 42) 3. (, ) = +

4. (, ) = +

5. (, ) =

1

+ 6. (, ) =

d. Describe las curvas o superficies de las siguientes funciones; segn corresponda:

1. (, ) = cos (2 + 2 ) 2. (, , ) = 92 42 2 3. (, , ) = ln(2+2 + 2)

e. Trazar las grficas en 3D, de cada una de las siguientes funciones: (Calculo Walter mora Pg. 61)

1. + = 2 2. + = 3 3. 4 4 + 2 = 4 4. (, ) = 2 + 2 9

5. ( 2)2 + ( 2)2 = 4 6. = 2 cos + 2 7. = 2 2.

f. Construir las regiones del espacio delimitada por las grficas: (Walter Mora pg. 81, 89.)

1. 2 + 2 = 9; = 5; .

2. = 4 2

4; + = 6; .

3. 2 + 2 = 4; = 2; = 5, .



4. = 1 2; 2 = 0; = 0; = 0; .

5. 2 + 2 = 4; + = 2; = 4, = 0; = 0 ; .

ACTIVIDAD 2: Determinar el lmite de la funcin indicada. No olvide las propiedades de los lmites empleados en los lmites de funciones de una variable.

. lim(,)(0,0)

32 2 + 5

2 + 2 + 2 . lim

(,)(0,0)

cos()

. lim

(,)(1,1) 2 2

. lim(,)(2,1)

+

2 2 . lim

(,)(1,1)

2 2 + 2

. lim

(,)(2,4)

+ 4

2 + 42 4

. lim(,)(0,0)

sin()

2 + 1 . lim

(,)(0,0)

+ 2 2

. lim

(,)(0,0) 2

2 + 4

. lim(,)(0,0)

sin(3 + 3)

2 + 2 . lim

(,)(0,0)

2 2

2 + 2 . lim

(,)(0,0) 1 cos(2 + 2)

2 + 2

. lim(,)(2,2)

sin( + )

+ . lim

(,)(0,0)

2

2 + 2 . lim

(,)(0,0) 22

4 + 4

. lim(,)(0,1)

+

. lim

(,)(0,0)

+

cos() + sin() . lim

(,)(0,0)

. lim(,)(0,0)

3

3

. lim

(,)(0,0)

6

2 + 2

ACTIVIDAD 3: Determinar el mayor conjunto donde la funcin indica es continua.

1. (, ) = tan1( + ) 2. (, ) = ln(2 + 3) 3. (, , ) =

2 + 2

4. (, ) = 1

2 5. (, ) =

{

23

22 + 2; (, ) (0,0)

5. 1; (, ) = (0,0)

6. (, ) = {

2 + + 2; (, ) (0,0)

5. 0; (, ) = (0,0)

ACTIVIDAD 4: Determinar si la funcin es continua en los conjuntos indicados.

. (, ) = { + ; 2 ; < 2

. (, ) =

2 + 2 25

1. 2 + 2 < 1 2. 0 3. > 1. 3 2. || + || < 1 3. ( 2)2 + 2 < 1

EVALUACIN

1. Grafique el dominio, el rango de la funcin y construya su respectiva grafica en 3D.

(, ) = ln(4 2 42)



2. Construir las regiones del espacio delimitada por las grficas.

= 1 2; 2 = 0; = 0; = 0; .

3. Determinar el mayor conjunto donde la funcin indica es continua.

(, ) =

{

23

22 + 2; (, ) (0,0)

5. 1; (, ) = (0,0)

BIBLIOGRAFA

APUNTES DEL DOCENTE

LARSON /HOSTETLER, Algebra, Mxico, Mc Graw Hill, 1999

ZILL, Dennis G. Algebra y trigonometra, 2da edicin, Mc. Graw Hill, 1996.

Morantes M Graciela, Clculo Multivariable; Universidad Pontificia Bolivariana, 2011

ZILL, Dennis G. Clculo Trascendentes Tempranas; Cuarta edicin, Mc. Graw Hill, 2011.

Leithold, Louis. Clculo Con Geometra Analtica. Cuarta edicin. Mxico. 1982.




ASIGNATURA: CALCULO MULTIVARIABLE.

UNIDAD TEMTICA DERIVADAS PARCIALES


Aplicar los conceptos y propiedades de derivacin a funciones de varias variables en la solucin de problemas del campo de ingeniera o contexto profesional.

Calcula las derivadas parciales de una funcin de varias variables. Determina derivadas parciales mediante derivacin implcita. Determina la derivada direccional de una funcin de varias variables. Encuentra los extremos relativos de una funcin de varias variables.


Realizar las actividades que a continuacin se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente. ACTIVIDAD 1: Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.

( ) sin1( ) ( ) 2

( )

( )

2 2 2 ( )

cos( )

2 2

( )

2 ( ) cos2 sin2

( ) 2 tan1 2 ( ) ln( )

( )

( )

( ) 2 sin (

) ( )

( 2 2)2

ACTIVIDAD 2: En cada uno de los casos determinar la ecuacin de la recta tangente. (Dennis Zill, 2011.

Pg. 701)

( ) 4 Determinar la pendiente y la ecuacin de la recta tangente en el punto

( ) en el plano

( ) 1

Determinar la ecuacin de la recta tangente en el punto ( ) en el plano

( ) 2 2 Determinar la pendiente y la ecuacin de la recta tangente en el punto

( ) en el plano:

1. 2.

ACTIVIDAD 3: Calcular la derivada que se indica.

( ) ln5( 2 )



( )

2 2

2

2

2

2 ( ) ( )

( )

2

2

2

2

2

( ) sin( ) 2

2

2

2

2

2

ACTIVIDAD 4: Resolver los siguientes ejercicios teniendo en cuenta las propiedades de la derivada parcial y la regla de la cadena.

Siendo ( ) ln[ 2 tan1( 2 ) ] compruebe que se cumple la igualdad:

Demuestra que la funcin ( 2 2) satisface la ecuacin

Si ( ) (

), donde es una funcin diferenciable. Compruebe que:

La concentracin molecular ( ) de un lquido est dada por ( ) 1 2 2

Verifique que esta funcin satisface la ecuacin de difusin unidimensional. (Dennis Zill, 2011.

Pg. 702)

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes fsicas. Por ejemplo, la

ecuacin diferencial parcial se conoce como ecuacin de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827).

Las soluciones de esta ecuacin se llaman funciones armnicas y desempean un papel fundamental en las

aplicaciones relacionadas con conduccin de calor, flujo de fluidos y potencial elctrico.

Compruebe que la funcin ( ) ( ) satisface la ecuacin de Laplace. (Walter Mora,

2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 110)

La ecuacin de onda

donde a es una constante, describe el movimiento de una onda, que

puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si f y

g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la funcin ( ) ( )

( ) satisface la ecuacin de onda (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 111)

Si ( ) y muestre que la ecuacin de Laplace

se vuelve:



ACTIVIDAD 5: Calcular la derivada implcita en cada uno de los casos.

2 2 ln ( 2 2)

( ) sec( )

2 2 2

2 2 2

Sea (

2 2) una ecuacin que define a z como una funcin implcita de x e y, verifique que si

existen o y son continuas en toda regin en la que entonces: (Walter Mora, 2014.

Calculo en Varias Variables. Pg. 126)

( )

Sea 2 2 ( ) 2 define a z como una funcin implcita de x e y, verifique que: (Walter Mora,

2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 126)

ACTIVIDAD 6: Calcular la derivada aplicando la regla de la cadena.

a. Sea 2 con y tan Calcular

.

b. Sea 2 con y a ctan (

) Calcular

y

.

c. Si tan1 con 2 2 y 2 2 Calcular

y

.

d. Sea ( ) donde 2 2 y . Si tienen derivadas parciales de segundo orden

continuas (es decir ). Verifique que: (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg.

120)

ACTIVIDAD 7: Resolver los siguientes problemas de aplicacin de las derivadas parciales:

a. El volumen de un cilindro recto est dado por 2 donde es el radio y es la altura. Si se

mantiene fijo en determine la razn de cambio de respecto a cuando

(Morantes Graciela, 2011. Calculo Multivariable. Pg. 70).



b. La tensin en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura es:

22

Donde es su peso constante. Determine el cambio aproximado de la tensin si y se incrementan de

4 cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9 cm respectivamente. La tensin aumenta o disminuye? (Dennis Zill, 2011.

Pg. 702)

c. La temperatura en un punto ( ) en una placa metlica plana est dada por

1 2 2 2 donde se

mide en y en metros. Encuentre la razn de cambio de la temperatura con respecto a la distancia del

punto ( ) en: (Stewart James, 2008. Pg. 891)

1. La direccin del eje x

2. La direccin del eje y.

d. El elipsoide 2 2 2 corta el plano en una elipse. Encuentre ecuaciones paramtricas

para la recta tangente a esta elipse en el punto ( ). (Stewart James, 2008. Pg. 891).

e. En cierto instante la altura de un cono circular recto es de y est creciendo de

En ese

mismo instante el radio de la base es de y est a razn de

A qu velocidad crece el rea

lateral del cono?

f. En cierto instante de la base de un cilindro circular es de y la altura es de En ese

instante el radio decrece a razn de

y la altura crece a razn de

Con qu rapidez cambia el

volumen?

g. La energa cintica de un cuerpo de masa y velocidad es 1

2 2 Demuestre que:

(

) (

)

ACTIVIDAD 8: Ejercicios sobre Plano Tangente, Recta Normal y Aproximacin Lineal.

a. Halle la ecuacin del plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado:

2 2 ( ) ln( 2 2) ( ln )

( )

2 2 (

2) 2 2 ( )



2 cos (

2) ( ) tan1( ) ( tan1( ))

b. Sea la superficie de ecuacin 2 2 Obtener una ecuacin cartesiana del plano tangente a en

el punto ( ). (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 139)

c. Consideremos la superficie de ecuacin 2 2 2 Encuentre los puntos ( ) tal que

el plano tangente en sea paralelo al plano (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias

Variables. Pg. 140)

d. Calcule la ecuacin vectorial de la recta tangente a la superficie 2 2 2 En el punto

(1

2 1

2 1

2)

ACTIVIDAD 9: Calcular la derivada direccional en cada uno de los caso:

a. Halle el vector gradiente de la funcin en el punto dado:

1. ( ) ln( ) 2 ( )

2. ( ) ( )

b. Encuentre la razn de cambio de en en la direccin del vector :

1. ( ) sen( ) ( ) 1

2( )

2. ( ) 2

( )

1

( )

3. ( ) sen( ) ( ) 1

2( )

4. ( ) 2 ( ) 2

2

2 1

5. ( ) ( ) 2

c. Halle los valores de las constantes tales que la derivada direccional de ( ) 2

2 en el punto ( ) tenga el valor mximo de en la direccin paralela al eje

d. Calcule la derivada direccional ( ) si ( ) 2 y ( ). Calcule ( )

(Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 132).

e. Calcule la derivada direccional ( ) ( ) en el punto ( ). En la direccin del vector




f. La temperatura en una caja rectangular se aproxima mediante el modelo matemtico ( )

( )( )( ) . Si un mosquito que se encuentra ubicado en el

punto (1

2 ) En qu direccin debe volar para enfriarse tan rpido como sea posible? (Dennis Zill,

2011. Pg. 723).

ACTIVIDAD 11: Resuelva las siguientes situaciones de Mximos y mnimos.

a. Estudie los extremos relativos para cada una de las siguientes funciones:

( ) ( ) 2 2

( ) ( )( ) ( ) 2 2

( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4

( ) ( ) ( ) ( 2 2 )

( ) cos( ) ( ) ( 2 2)( 2 2)

b. Sea

la ecuacin de una superficie (con y constantes). Si ( ) es un punto crtico

de , determine si en la funcin alcanza un mximo relativo, un mnimo relativo o un punto de silla.


c. Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 2 de cartn. Calcule el volumen mximo de la caja.

(Stewart James, 2008. Pg. 927)

d. Calcule el volumen de la caja rectangular ms grande que est en el primer octante con tres de sus caras

en los planos coordenados y un vrtice en el plano , como se muestra en la figura: (Walter

Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 150).

e. Calcule el volumen de la caja de base rectangular ms grande, que tenga caras en los planos

, en el primer octante, y un vrtice en el plano (haga un dibujo). (Walter Mora,

2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 150).

f. La temperatura en el punto ( ) del cuadrado con vrtice en los puntos: ( ) ( ) ( ) y ( ) se

determina con ( ) 2 2 Determinar los puntos ms calientes y ms frio en el cuadrado.

(Morantes Graciela, 2011. Calculo Multivariable. Pg. 131).



g. Se quiere construir un cilindro circular recto con fondo pero sin tapa (ver figura). Si se dispone de 2

de lata para construirlo; use multiplicadores de LaGrange para determinar las dimensiones del cilindro de

tal manera que su volumen sea mximo. (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 155).

h. Se desea construir un tanque para almacenar agua caliente en un cilindro con un tope esfrico. El tanque

se debe disear de tal manera que puede almacenar de lquido. Determinar la altura total y el

dimetro del tanque de tal manera que la prdida de calor en la superficie sea mnima. (La prdida de calor

en la superficie ser mnima si su rea es mnima). (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg.

155).

i. Encuentre el punto sobre la curva de interseccin de la esfera 2 2 2 y el plano

que est ms alejada del plano . Luego determine el punto sobre que esy ms cerca

al plano . (Dennis Zill, 2011. Pg. 741).

j. Calcule los valores mximos y mnimos de f sujeta a la restriccin dada. Utilice un sistema algebraico

computacional para resolver el sistema de ecuaciones que se origina al usar multiplicadores de LaGrange.

Si su sistema algebraico computacional determina slo una solucin, podra requerir ms comandos.

1. ( ) 2 2 2

2. ( ) 2 2 2 2

EVALUACIN

1. Grafique el dominio, el rango de la funcin y construya su respectiva grafica en 3D.

( ) ln( 2 2)



2. Construir las regiones del espacio delimitada por las grficas.

2

3. La temperatura en una caja rectangular se aproxima mediante el modelo matemtico ( ) ( )( )( ) . Si un mosquito que se encuentra

ubicado en el punto (1

2 ) En qu direccin debe volar para enfriarse tan rpido como sea posible?

BIBLIOGRAFA

APUNTES DEL DOCENTE




Walter Mora. Calculo en Varias Variables. Instituto Tecnolgico de Costa Rica2014

Stewart James, Calculo, Mxico, Mc Graw Hill 2008.





UNIDAD TEMTICA INTEGRALES DOBLES.


Aplicar el clculo de integrales en la solucin de problemas de ingeniera, utilizando diferentes sistemas coordenados.

Calcula integrales dobles sobre regiones rectangulares. Calcula integrales dobles cambiando el orden de integracin. Determina el rea de una regin plana mediante integrales dobles. Calcula el volumen de un slido acotado por un conjunto de superficies.


Realizar las actividades que a continuacin se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente. ACTIVIDAD 1: Calcular las integrales dobles de cada uno de las siguientes funciones, en la regin indicada (Grafique la regin R de integracin).

( )

( + )2 [ ] [ ] ( )

2

+ 2 [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] ( ) |cos( + )| [ ] [ ]

ACTIVIDAD 2: Calcular en cada uno de los siguientes casos:

( ) 2 2

( )

( ) 2 + 2 +

( ) + 2 + +

ACTIVIDAD 3: Evalu la integral iterada

( + 2 ) cos( )

( ) 2

2

2

cos( + )

2 ln( + )

sin 2

2

2

ln

ACTIVIDAD 4: Cambie el orden de integracin de cada una de las siguientes integrales:

( ) 2

( ) ln ( )

( ) 2

2

( ) 2

2

2

( )

( ) 2

( )

2

+ ( )

2



ACTIVIDAD 5: Calcular el volumen de los slidos limitados por:

a. La funcin cos( ) y el plano encerrada en el cuadrado [ ] [ ]

b. Los planos +

c. El paraboloide 2 + 2 el plano y los cilindros 2 y 2

ACTIVIDAD 6: Considere la regin de la figura. Para Calcular el rea de la regin usando coordenadas

polares. (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 201)

a. c.

b.

ACTIVIDAD 7: En cada caso elija y evale la integral correcta que corresponda al volumen V del slido.

a. Considere el slido acotado por las grficas de 2 + 2 y, como se muestra en

la figura: (Dennis Zill, 2011. Pg. 762)

( )

2

( )

2

2

( )

2

2



b. El slido acotado por los cilindros 2 + 2 2 y 2 + 2 2 recibe el nombre de bicilindro. Un

Octavo del slido se muestra en la figura. (Dennis Zill, 2011. Pg. 762).

( 2 2)

( 2 2)

( 2 2)

ACTIVIDAD 8: Calcular el volumen de cada uno de los slidos empleando los mtodos para resolver las integrales

dobles: (Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 201)

a. Encuentre el volumen del octavo de la esfera, que se muestra en la figura:

b. Considere el slido Limitado por las superficies 2 2 + 2 (cono) y el plano

c. Sea el solido limitado por las graficas 2 + 2 y como se muestra en la figura:

EVALUACIN

1. Calcular el rea de la regin plana acotada por las siguientes grficas.

a. 2 2 ( )



b. ( + cos ) cos

2. Hallar el volumen del slido acotado por las siguientes grficas.

a. 2 + 8 + +

b.

+

2

3. Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen del solido acotado por las

superficies 2 + 2 y los planos + y

BIBLIOGRAFA

APUNTES DEL DOCENTE










UNIDAD TEMTICA INTEGRALES TRIPLES.


Aplicar los conceptos y propiedades de derivacin a funciones de varias variables, en la solucin de problemas del campo de ingeniera o contexto profesional.

Resuelve las integrales mltiples mediante cambio de coordenadas.

Resuelve problemas relacionados con momentos de inercia, masa y centro de masa, utilizando la integracin mltiple


Realizar las actividades que a continuacin se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente. ACTIVIDAD 1: Evaluar la integral iterada que se indica:

. ( + + ) . 1

1

2

2

4

2

24 . 6

0

6

0

6

0

2

1

3

1

. 423 . cos (

) .

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0

1

0

1

0

. 1

2 2 .

2

0

12

0

4

0

222

0

. 2 sin cos

0

4

0

2

0

1

0

1

0

ACTIVIDAD 2: En cada uno de los casos cambie el orden de integracin indicado en cada uno de los otros cinco

rdenes.

. ( + + ) 1

1

2

2

4

2

. 24

2

1

3

1

ACTIVIDAD 3: Evale las siguientes integrales, en la regin V del espacio indicado.

.

( + + + 1)3

.

+ + = 1.

. 2 + 2

.

: 2 + 2 = 2

= 1.

. , 2 + (

2)2

= 2

4

2 + 2 + 2 = 2.



ACTIVIDAD 4: Resuelva cada uno de los problemas indicados.

a. Encuentre el volumen del slido en el primer octante acotado por las graficas = 1 2

= 2 y = 3. (Dennis Zill, 2011. Pg. 779)

b. Un slido tiene la forma determinada por las grficas del cilindro || + || = 1 y los planos = 2 y

= 4. Encuentre su centro de masa si la densidad est dada por: (, , ) = con k una constante.

(Dennis Zill, 2011. Pg. 780).

c. Un slido en el primer octante tiene la forma determinada por la grfica del cono de un solo manto

= 2 + 2 y los planos = 1, = y = . Determine el centro de masa si la densidad est dada

por (, , ) = . (Dennis Zill, 2011. Pg. 785).

ACTIVIDAD 5: Resuelve cada uno de los ejercicios planteados a continuacin: (ejercicios tomados de

Walter Mora, 2014. Calculo en Varias Variables. Pg. 210)

a. Sea el slido acotado por las superficies = 1 2 y + = 1 en el primer octante; como se

muestra en la figura. Calcular su volumen:

b. Sea el slido acotado por las superficies 2 + 2 = 4, + = 5, = 2 en el primer octante;

como se muestra en la figura. Calcular su volumen



c. Plantear y evaluar las integrales necesarias para calcular el volumen del solido R y evaluarlas.

d. Plantear una integral, en coordenadas polares, para calcular el volumen del solido acotado por las

superficies =

2+4, 2 + 2 = 4, y = con y .

EVALUACIN

1. Evaluar las integrales iteradas que se indican:

2. Resolver cada uno de los siguientes ejercicios: a. Calcular el volumen del solido acotado por los plano coordenados y las graficas + = 1 y

= 1 2.

. (, )

2

2

2

0

. (, ) 2

0

1

0

. (, ) 4

4

2

. (, ) +2

2

0

. (, ) +6

44(+2)2

1

2

. (, ) +6

+1

0

1



b. Calcular el volumen del solido limitado por lo planos cartesianos y el plano = 3 1

2

3

4.

c. Encontrar el volumen del solido en el primer octante acotado por las graficas = 1 2, = 2 y = 3.

3. Calcule el volumen del solido limitado por las superficies 2 + 2 = 4, 2 + ( 1)2 = 1 y = 4 , en el prime octante; como se muestra en la figura.

BIBLIOGRAFA

APUNTES DEL DOCENTE










UNIDAD TEMTICA CALCULO VECTORIAL


Evaluar integrales de lnea por diferentes mtodos e identificar su campo vectorial.

Aplica los teoremas de Green, Stokes y Gauss en problemas de la fsica y ecuaciones diferenciales

Resuelve problemas relacionados con integrales de superficies y las integrales de volumen.


Realizar las actividades que a continuacin se enuncian teniendo en cuenta los conceptos y procedimientos desarrollados en clase y tomando como material de apoyo el documento Apuntes del Docente.

ACTIVIDAD 1: Evale (, ), (, ) (, ) .

.

.

sobre la curva C indicada.

a. (, ) = 2; = 5 cos , = 5 sin , 0

4.

b. (, ) = 3 + 22 + 2; = 2t , = 2 , 0 1.

c. (, ) = 32 + 62; = 2x + 1, 1 0.

d. (, ) =2

3; =

3

2

23 , 1 8.

ACTIVIDAD 2: Evale la integral (2 + ) + .

sobre la curva dada C entre los puntos

(1,2) y (2,5).

. = + 3 . = 2 + 1

. .

ACTIVIDAD 3: Resolver los siguientes ejercicios empleando el teorema de Green. (Dennis Zill, 2011.

Pg. 826)

a. Evale la integral cerrada (2 2) + (2 ),.

donde C est definida como la frontera de la

regin en el primer cuadrante que est acotada por las grficas de = 2 y = 3.



b. Evale la integral cerrada (5 3) + (2 2),

.

donde C est definida como el circulo

( 1)2 + ( 5)2 = 4.

c. Determine el trabajo realizado por el campo de fuerza = (16 + sin 2) + (4 + 32) que acta

a lo largo de una curva cerrada simple C que se muestra en la figura:

d. Evale la integral cerrada

2+2 +

2+2,

.

donde = 1 2 es la forma de la regin sombreada

que se presenta en la figura:

ACTIVIDAD 4: Resolver los siguientes problemas: (Dennis Zill, 2011. Pg. 840)

a. Determine la masa de la superficie del paraboloide = 1 + 2 + 2 en el primer octante para 1 5

si la densidad en el punto sobre la superficie es directamente proporcional a la distancia desde el

plano

b. Evale 2.

donde es la porcin del cilindro = 22 + 1 en el primer octante acotado por

= 0, = 2, = 4 y = 8.

ACTIVIDAD 5: Resolver los siguientes ejercicios empleando el teorema de Stokes. (Dennis Zill, 2011.

Pg. 854)

a. Evale la integral cerrada + + .

donde es la traza del cilindro 2 + 2 = 1 en el

plano + = 2. Oriente en el sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observe

desde arriba.



b. Sea la parte del cilindro = 1 2 para 0 1, 2 2. Verifique el teorema de Stokes

para el campo vectorial = + + . Suponga que se orienta hacia arriba.

EVALUACIN

1. Evale (, ), (, ) (, ) .

.

.

sobre la curva C indicada:

a. Evale (62 + 22) + 4.

donde C est dada por: = , = , 4 9.

b. Evale + .

donde C est dada por: = 2, = 3, 0 2.

c. Evale 4 + 2.

donde C est dada por: = 3 + 1, desde (0, 1) y (9,2).

2. Resolver los siguientes ejercicios empleando el teorema de Green:

a. Calcular .

donde es la frontera del cuadrado [1,1] [1,1] orientada en sentido

contrario al de las manecillas del reloj.

b. Usar el teorema de Green para calcular (2 + 3) + 4.

donde es el permetro de [0,1] [0,1]

en sentido positivo.

3. Resolver los siguientes ejercicios empleando el teorema de Stokes. a. Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea:

(2 2) + (2 2)

.

+ (2 2)

Dnde es la curva interseccin de la superficie del cubo: 0 , 0 , 0 y el

plano + + =3

2 recorrido en sentido positivo.

b. Hallar el trabajo realizado por el campo vectorial (, , ) = ( + , 2 + , + ) a lo largo del arco

ms corto de la circunferencia mayor de la esfera 2 + 2 + 2 = 25 que une los puntos

(3,4,0) (0,0,5)

BIBLIOGRAFA

APUNTES DEL DOCENTE






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