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Guía sobre la utilización del material didáctico de esta asignatura,
• Cada diapositiva está construida con poco texto para que suproyección en clase resulte visible de forma cómoda a toda laaudiencia.Esto también facilita su lectura y estudio sobre la pantalla,sin embargo conlleva que su impresión abarca un número amplio de hoias.Este se puede reducir imprimiendo dos o incluso cuatro diapositivas por hoja.
• Para facilitar la comprensión del material ,los gráficos se repiten siempre que pueden servir de ilustración para la cuestión tratada.Estas repeticiones pueden omitirse a la hora de imprimir elmaterial.
• Algunas cuestiones se tratan con un poco más de profundidad odetalle del que luego se ha visto en clase.Estas diapositivas de mayor detalle,al igual que las correspondientes a gráficos repetidos, se identifican con un X en el ángulo inferior derecha de lasdiapositivas en cuestión.
• En la hoja web los diferentes temas se ofrecen en dos versiones.Una ,la más detallada y con repeticiones gráficas,y otraabreviada.El alumno puede imprimir cualquiera de las dos.
Tema 5.
MODELOS MULTIVARIANTES RECURSIVOS.
VARIABLES EXÓGENAS. MODELOS UNIECUACIONALES
Tema preparado por el Prof.A.Espasa
REFERENCIAS
• Una posible referencia para la preparación de este tema es el capítulo 3 de
• Espasa,A. y J.R. Cancelo (eds.),1993,Métodos Cuantitativos para el Análisis de la Coyuntura Económica,Alianza Editorial
MODELOS UNIVARIANTES Y ANÁLISIS CUANTITATIVO EN LA EMPRESA.
La realidad económica de una empresa no se compone de variables – series temporales –aisladas entre sí,
sino que viene determinada por la interrelaciónexistente entre distintas variables.
Así pues, los modelos ARIMA univariantes de los capítulos anteriores constituyen un paso inicial,necesario, para modelizar contextoseconómicos de interés en la empresa,
pero en sí mismos son de utilidad muy limitada, pues ignoran la interrelación entre variables.
USOS DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS
Un modelo ARIMA sobre las ventas de un cierto productode una empresa en una determinada área geográfica resulta útil para un cierto análisis estructural sobre dichas ventas como
conocer sus característicastendenciales,estacionales ycíclicas, y
conocer la incertidumbre asociada a sus expectativas futuras dadas sus realizaciones pasadas, etc.
USOS DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS
• EL MODELO ARIMA SE PUEDE UTILIZAR PARA PREDECIR.
En efecto.El modelo recoge la dependencia de las ventas en un determinado momento en función del pasado.
Así,esa relación de dependencia se puede utilizar para proyectar su valor futuro en el momento (t+h),conocido el pasado hasta el momento t .
LIMITACIONES DE UN MODELO ARIMA SOBRE UNA VARIABLE DE VENTAS
pero el modelo anterior tiene un interés limitado dentro de las labores de planificación y gestión empresariales,
ya que no proporciona información estructural más relevante como relación de las ventas con otras variables como
campañas publicitarias,cambios de precios relativos respecto a, bienes sustitutivos,
renta de los consumidores,nivel de empleo, etc.
Modelos multivariantes• Para lo anterior se necesitan modelos multivariantes, es
decir, referidos a un conjunto n de variables, que están interrelacionadas.
• Ahora, pues, el modelo será multiecuacional, con unaecuación por cada variable considerada.
• No obstante, si de todas esas variables sólo una es la de interés relevante y las demás, restantes, sólo se consideran en cuanto a que ayudan a explicar la primera, puede estudiarse si la relación entre variables es tal que las variables restantes influyen en la variable de interés, pero no al revés. Es decir no existe realimentación desde la variable de interés hacia las restantes.
MODELOS UNIECUACIONALES
• En dicho caso y sólo en él, puedecontemplarse un modelo uniecuacionalsobre la variable de interés en función de las restantes variables que actúan como explicativas y que ,en las condiciones señaladas, tienen la calidad de variables exógenas.
Modelos uniecuacionales en la empresa
• Estos modelos son de utilidad cuando quiere analizarse la dependencia de una variable de empresa en función de variables nacionales,como el producto interior bruto, consumo privado, empleo, paro, índices de precios o deflactores, variables demográficas, etc.; internacionales como la producción mundial, el producto interior bruto de países relevantes, índices de precios de tales países, precios internacionales de materias primas, etc.; oincluso de ciertas variables de la misma empresa como gasto en publicidad.
• En todos estos casos parece razonable suponer que no hay realimentación desde las variables explicativas hacia las variables de empresa.
• En ausencia de realimentación las variables explicativas son exógenas.
• Este capítulo se dedica al estudio de modelos uniecuacionales con variables exógenas,pero previamente se considerael marco multiecuacional de donde se puede entresacar el modelo uniecuacional.
5.1. El modelo VAR(p) estacionario.Formulación. Dependencia temporal.Causalidad en el sentido de Granger.Dependenciacontemporánea.
MODELOS SOBRE CONJUNTOS INFORMATIVOS MULTIVARIANTES
• EL HECHO PRINCIPAL QUE CARACTERIZA A ESTE TEMA consisteen que una variable se analiza dentro de un conjunto informativo amplio,multivariante,que incluye su pasado y también los de otras variables con las que está relacionada.
EJEMPLOS DE ANALISIS SOBRE CONJUNTOS INFORMATIVOS
MULTIVARIANTES• LA INFLACIÓN A NIVEL NACIONAL se analiza
junto con variables como:- costes laborales unitarios-agregados monetarios-precios de importación-un indicador de presión de la demanda-diferenciales entre tipos de interés-etc
• LA INVERSIÓN EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:
• -la producción del sector• -el nivel de utilización de la capacidad productiva• -del coste de uso del capital• -etc.
• LOS INGRESOS DE UNA EMPRESA DE TURISMOSE RELACIONAN CONVARIABLES COMO:
• -Un indicador de la renta de los turistas• - indicadores de precios relativos respecto otras
empresas o respecto otros paises oferentes de servicios turísticos
• -etc.
• EL TIPO DE CAMBIO ENTRE EL EURO Y EL DÓLAR SE RELACIONA CON VARIABLES COMO :
• -El diferencial entre las expectativas de crecimiento económico entre ambas áreas geográficas
• -el diferencial entre tipos de cambio• -el diferencial de inflación• -etc.
• EL EMPLEO EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:
-la producción del sector-el salario real en elsector-etc.
5.1. El modelo VAR(p) estacionario.
En este tema se tratan modelos multiecuacionales(VAR) sobre variables estacionarias,
por lo que si las variables originales no son estacionarias se supone que se conoce como transformarlas en estacionarias
para poder formular el modelo multiecuacional(VAR) sobre dichas transformaciones estacionarias.
En el tema 6 se estudian los modelos multiecuacionales (VAR) sobre variables no estacionarias.
CONDICIONALIZACIÓN RESPECTO EL PASADO.MODELOS UNIVARIANTES
• El modelo ARMA estacionario univariante bajo el supuesto de distribuciones gaussianas se obtiene como:
• Wt = E(Wt | pasado) + at, (1)• Var (at) = 2,• en donde E(Wt | pasado) se representa,
en general, en términos de valores pasados de Wt y at.
A nivel multivariante se puede proceder de forma idéntica. Ahora Wt será un vector de n variables.El modelo resultante será un modelo ARMA vectorial denominado VARMA (p,q).
EJEMPLO: VARMA (1,1)
,1
1
1
1
2
1
2221
1211
2
1
2221
1211
t
t
t
t
aa
LLLL
WW
LLLL
var (a t) =
es decir,
W1t - 11 W1t-1 - 12 W2t-1 = a1t - 11 a1t-1 - 12 a2t-1.
W2t - 21 W1t-1 - 22 W2t-1 = a2t - 21 a1t-1 - 22 a2t-1.
También:
W1t = 11W1t-1+ 12W2t-1 - 11a1t-1 - 12a2t-1 +a1t.--------------------1 --------------------- --2--
W2t = 21 W1t-1 + 22 W2t-1 - 21 a1t-1 - 22 a2t-1+ a2t--------------------3------------------------- -4-
1: Esperanza matemática de W1t respecto al pasado.3: Esperanza matemática de W2t respecto al pasado.2: Innovación de W1t4: Innovación de W2t
Para valores de p y q mayores la formulación del modelo es inmediata.
La construcción de modelos VARMA,especialmente en las etapas de especificación y validación, puede ser compleja. De hecho lo es y no suelen utilizarse mucho.
Al igual que en el caso univariante, unmodelo VARMA invertible puede representarse de forma puramente autorregresiva.
Cuando un modelo VARMA sólo tiene parte autorregresiva se le denomina VAR (p).Estos modelos son muy utilizados en economía.EJEMPLO: VAR (2).
,1
1
2
1
2
1
2)2(22
)1(22
2)2(21
)1(21
2)2(12
)1(12
2)2(12
)1(11
t
t
t
t
aa
XX
LLLLLLLL
(2)es decir,
tt aXL)(
donde (L) es una matriz [email protected]
• En el caso univariante,AR,se tiene una sola serie temporal y ,en consecuencia en el modelo aparece una sola estructura dinámica recogida en el polinomio p(L) .
• En el caso multivariante se tienen n ecuaciones y en cada una de ellas entran estructuras dinámicas sobre cada variable,con lo que laestructura dinámica del modelo,vease laecuación (2) anterior, es una matriz polinomialde nxn elementos (polinomios): (L) .
• La jotésima fila de la matriz (L) recoge los n polinomios que operan sobre las n variables en la jotésima ecuación.
LOS POLINOMIOS DINÁMICOS EN LOS MODELOS VAR
• Ejemplo del modelo (2) anterior.• En los polinomios correspondientes a los
términos fuera de la diagonal principal de la matriz (L) se observa que sólo incorporan valores pasados a través de diferentes potencias del operador L.
• Así el termino (1,2) de la matriz (L) recoge la influencia del pasado de X2t en X1t y el término (2,1) la influencia del pasado de X1t en X2t.
• Sin embargo, los polinomios en la diagonalde (L) incorporan también la potencia cero de L (es decir,el presente) con coeficiente estandarizado en el valor unidad.
Con ello al desarrollar el sistema como se hace a continuación en (3) y (4) se puede despejar X1t en la primera ecuación y X2t enla segunda.
Alternativamente el modelo (5) se puede formular comoXt = 1 Xt-1 - 2 Xt-2 + at, (3)donde 1 y 2 son matrices paramétricas,
)1(22
)1(21
)1(12
)1(11
1
)2(22
)2(21
)2(12
)2(11
2
MODELO VAR(2) DESARROLLLADODesarrollando (2), o (3) se obtiene
X1t = 11(1) X1t-1+ 12
(1)X2t-1+ 11(2)X1t-2+ 12
(2)X2t-2 + a1t(4a)
X2t = 21(1) X1t-1 + 22
(1)X2t-1+ 21(2)X1t-2+ 22
(2)X2t-2+ a2t(4b)
Varianza residual:
2212
1221)( taVar
REALIMENTACIÓN
• En los modelos VAR hay realimentación.• En el ejemplo anterior los retardos de x2t
influyen en x1t y ,a su vez,los de x1tinfluyen en x2t .
• Además incorporan una dependenciacontemporánea entre x1t y x2t a través de la covarianza residual.
VAR(p)La forma usual de formular el modelo VAR(p) es
donde j, j=1, …p son matrices nxn que recojen la dependencia de xt respecto a xt-
p.Los residuos tienen una matriz de varianzas
y covarianzas que por definición es simétrica y en general no tiene restricciones cero.
ttt apxcX p-t11 x...
FORMULACIÓN ALTERNATIVA DEL MODELO VAR(p)
para simplificar c = 0También se puede escribir como:
en dondei = - ( i+1 + … + p) i = 1, …, p-1= -(I - 1… - p)
tptptptt axxxx 1111 ... (A)
Ejemplo. p = 2
xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + at (5)xt = xt-1 + xt-1 + at (6)
1 = - 2= -(I - 1 - 2).
Se cumple (5) (6). En efectoxt - xt-1 = -xt-1 + xt-1 + 1 xt-1 +
+ 2 xt-1- 2 xt-1 + 2 xt-2 + at
Ejemplo:(5’ )
(6’ )
t
t
t
t
t
t
aa
xx
xx
2
1
22
11
2122
1211
2
1
t
t
t
t
t
t
aa
xx
xx
2
1
22
11
2221
1211
2
1
1
1-
1
1
2221
1211
El modelo VAR- Es un sistema de regresiones múltiples.- Que entra dentro de la clase denominada “sistema de regresiones aparentemente no relacionadas”, y se conoce como SURE, del inglés “seemingly unrelated regression equations”.- Se le denomina SURE porque la parte sistemática de las ecuaciones - la que relaciona las variables dependientes con los regresores -no recoge una relación contemporánea directa entre variables .- Toda la relación contemporánea entre lasvariables está recogida en las covarianzas de la matriz de los residuos.
- El modelo VAR es un modelo SURE sinrestricciones, pues todos los regresores entran en todas las ecuaciones.-En general, la estimación por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) de un modelo SURE no es eficiente, para ello se necesitan mínimos cuadrados generalizados( MCG).- Pero hay dos excepciones a lo anterior:
(a) si es diagonal y(b) si el modelo SURE no tiene restricciones.
- Por tanto,según (b), el modelo VAR se puede estimar eficientemente ecuación por ecuación por MCO.
LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD DE UN MODELO VAR
• La condición de estacionariedad en un modelo AR viene determinada por las raices de la ecuación característica correspondiente al polinomio autoregresivo: todas ellas en valor absoluto deben ser menores que la unidad.
• En el modelo VAR
• La estructura dinámica es una matriz de polinomios y laecuación característica ahora es la correspondiente al determinante de la matriz polinomial.Todas las raices de dichaecuación característica deben ser en valor absoluto menores que la unidad.
• .
,1
1
2
1
2
1
2221
1211
t
t
t
t
aa
WW
LLLL
Modelos univariantes derivados de un modelo VAR
• En un modelo VAR de orden p en el que las matrices no sean diagonales se tiene que una variable,xj , depende de los p retardos de otra,xh,y como el peésimo retardo de xh depende a su vez de los p retardos de xj se concluye que al resolver el modelo se obtienen modelosunivariantes para cada variable que son de orden superior a p.
• Esto se ilustra en las 4 transparencias siguientes. El contenido de las cuatro transparencias siguientes es optativo
DEPENDENCIA TEMPORAL Y CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD DEL VAR (1).
(1)
x1t = 11 x1t-1 + 12 x2t-1 + a1t (2.1)
x2t = 21 x1t-1 + 22 x2t-1 + a2t (2.2)
DESPEJANDO x2t y SUSTITUYENDO EN (2.1)
t
t
t
t
t
t
aa
xx
xx
2
1
12
11
2221
1211
2
1
Laxx tt
t22
211212 1
ttt
t aL
aLxxL
1
22
1212
22
212112
111 111
(1 - 11 L) (1 - 22 L) x1t = 12 21 x1t-2 + 12 a2t-1 + (1- 22L) a1t
[(1- 11L) (1- 22L) - 12 21 L2 ] x1t = 12 a2t-1 + (1- 22 L) a1t . (3)
IGUALMENTE
[(1- 11L) (1- 22L) - 12 - 21 L2 ] x2t = 21 a1t-1 + (1- 11 L) a2t . (4)
DE (3) Y (4) SE DESPRENDE QUE LA DEPENDENCIA TEMPORAL SOBRE EL PROPIO PASADO ES SUPERIOR A 1.
LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE EL POLINOMIO
[(1- 11L) (1- 2L) - 12 22 L2 ] (5)
SEA ESTACIONARIO.
EL SISTEMA (1) SE PUEDE ESCRIBIR
(L) =
(L) =
det (L) = (1 - 11) (1- 22L) - 12 21 L2.
LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE EL POLINOMIO DEL DETERMINANTE det (L) SEA ESTACIONARIO.
~~t
22
12
21
11 x taLI
~~x)( taL
LLLL
2221
1211
1
1
x
ES DECIR, QUE EN1-( 11 + 12) L + ( 11 22- 12 21) L2 = 0, (6)
O REFORMULANDO (6) COMO1 - 1 L - 2 L2 = 0, (7)
LAS RAÍCES 1 y 2 DEL POLINOMIO SOBRE LA VARIABLE AUXILIAR z1 - 1 z - 2 z2 = 0,
SEAN EN VALOR ABSOLUTO SUPERIORES A LA UNIDAD.ESO EQUIVALE A QUE LAS RAÍCES DEL POLINOMIO, G1 y G2,
z2 - 1 z - 2 = 0 (8)
SEAN EN VALOR ABSOLUTO INFERIORES A LA UNIDAD, YA QUEG1 = 1
-1
G2 = 2-1.
A (8) SE LE DENOMINA ECUACIÓN CHARACTERÍSTICA.
x
EJEMPLOS VARESTOS EJEMPLOS ESTÁN TOMADOS DE ENDERS
(1995).
t
t
t
t
t
t
aa
xx
xx
2
1
12
11
2221
1211
2
1
EJEMPLO 1
11 = 22 = 0.7 12 = 21 = 0.2
La ecuación característica es
z2 – ( 11 + 22) z + ( 11 22 - 21 22) = 0
Y SUS DOS RAICES HAN DE SER EN VALOR ABSOLUTO INFERIORES A LA UNIDAD.
DE HECHO SON 0.9 Y 0.5
COMO 12 y 21 SON POSITIVOS LA CORRELACIÓN CRUZADA ENTRE x1t yx2t-1 y x2t y x1t-1 ES POSITIVA.
EJEMPLO 2
11 = 22 = 0.5 12 = 21 = -0.2
G1 = 0.7 y G2 = 0.3: PROCESO ESTACIONARIO.
12 y 21 NEGATIVAS: CORRELACIÓN CRUZADA: NEGATIVA.
EJEMPLO 3
11 = 22 = 12 = 21 = 0.5.
LA ECUACIÓN CHARACTERÍSTICA ES:
1 – z + 0.z2,
ES DECIR,EL POLINOMIO DETERMINAMENTAL ES SÓLO DE PRIMER ORDEN. LA ÚNICA RAÍZ ES LA UNIDAD. EL PROCESO ES NOESTACIONARIO.
EL EJEMPLO 3 ES LA GENERALIZACIÓN BIVARIANTE DE UN SENDERO ALEATORIO EN EL QUE LAS DOS VARIABLES SE MUEVEN CONJUNTAMENTE.
Esto quedará más claro en el tema siguiente alobservar que el modelo de este ejemplo se puedeescribir como
x1t = -0.5 (xt-1 – yt-1) + a1tx2t = 0.5 (xt-1 – yt-1) + a2t
siendo el término (xt-1 – yt-1) el que hace que xt e ytse muevan conjuntamente a largo plazo.
EJEMPLO 4
ES IGUAL QUE EL EJEMPLO ANTERIOR, PERO CON UN CRECIMIENTO DETERMINÍSTICO.LA TRANSPARENCIA SIGUIENTE ,TOMADA
DE ENDERS(1995), RECOGE EJEMPLOS DE SERIES ARTIFICIALES GENERADAS CON CADA UNO DE LOS 4 MODELOS ANTERIORES.
t
t
t
t
t
t
aa
xx
xx
2
1
12
11
2
1
5.05.0
5.05.0
0
5.0
EJEMPLO TOMADO DE BALLABRIGA Y SEBASTIÁN 1992
El modelo relaciona un tipo de interés a largo (rt),el déficit público (dt) y los activos líquidos en manos del público (alpt). Las dos útlimas variablesestán medidas en ratios sobre el PIB.
• EN ESTE CAPÍTULO EN GENERAL SE SUPONDRÁ QUE LOS MODELOS VAR SON SOBRE VARIABLES ESTACIONARIAS.
ESPECIFICACIÓN Y ESTIMACIÓNMODELOS VAR
Los modelos VAR se han popularizado en el análisis económico porque son relativamente sencillos de construir.
En la etapa de especificación inicial sólo hay que determinar el orden p del porceso que se puede hacer utilizando el estadístico AIC.Sobre el modelo VAR formulado como
ttptptt axxxx 11111 ...
AIC MULTIECUACIONAL
A nivel multiecuacionalAIC=Tx logdet[ ] +2r,
donde es la matriz de varianzas y covarianzasde los residuos y r el número total de parámetros estimados en todas las ecuaciones.
En la etapa de estimación ,un modelo VAR sin restricciones se puede estimar eficientemente aplicando MCO a cada ecuación aisladamente.
PREDICCIÓN CON MODELOS VAR
• Sin embargo,la predicción de una variable en un modelo VAR necesita realizarse utilizando todo el modelo conjuntamente.
• En efecto, la predicción de una variable necesita de predicciones de otras variables que para su generación necesitan a su vez predicciones de la primera variable.
ESTRUCTURAS RESTRICTIVAS DE UN MODELO VAR DE INTERÉS PARA LA
PREDICCIÓN
• Si las variables de un modelo VAR cumplen determinadas propiedades es posible simplificar el modelo VAR ,demodo que resulte más sencillo operar con él,sobre todo con fines de predicción.
• Estas restricciones se estudian en la sección siguiente,pero antes es necesario introducir el concepto de causalidad en el sentido de Granger.
CAUSALIDAD EN EL SENTIDO DE GRANGER
En un sistema bivariante de 2 variables (y,z), la variable y no causa a la variable z en el sentido de Granger si para todo s>0, el error cuadrático medio (ECM) de la predicción de zt+s dado (z1, …, zt) es el mismo que el ECM de la predicción de zt+s dado (y1, …, yt, z1, …, zt).
Para contrastar la causalidad de Granger deuna variable y hacia una variable z se formula el modelo siguiente :
Zt = c + 1 zt-1 + … + p zt-p + 1 yt-1 +
+ … + pyt-p+at y
se contrasta la hipótesis
H0 : 1 = … = p = 0.Si no se rechaza H0 se dice que la variable y
no causa a la variable z en el sentido de Granger.
• En el modelo anterior puede ocurrir que • - la hipótesis H0 sea cierta y en tal caso el
pasado de la variable y no influye en la determinación del presente de la variable z,y se dice que y no causa a z.
• -que H0 no sea cierta ,en cuyo caso el pasado de la variable y afecta al presente de la variable z,y se dice que la variable y causa a la z en el sentido de Granger.
CAUSALIDAD DE GRANGER EN UN PAR DE VARIABLES (Z,Y)
• Con la regresión anterior se puede contrastar si la variable y causa o no a laz.
• Así mismo,mediante una regresión de ytsobre sus propios retardos y sobre los retardos de z se puede contrastar si z causa o no a la variable y.
RESULTADOS DE CAUSALIDAD EN UN PAR DE VARIABLES (Z,Y)
En un par de variables (z,y) se puede contrastar:(1) la causalidad de y sobre z y (2)la de z sobre y,
a partir de dos regresiones:(1) una sobre el regresando zt y(2) otra sobre el regresando yt
con todos los retardos de z e y en ambos casos.Los resultados pueden ser los siguientes:-(A) ausencia de causalidad en ambos sentidos.En ambas
regresiones no se rechaza que los retardos de la otra variable tengan coeficiente cero.
• -(B) causalidad unidireccional de y hacia z. Se rechaza la hipótesis H0 en la primera regresión pero no en la segunda.
• -(C) causalidad unidireccional de z hacia y. No se rechaza H0 en la primera regresión pero sí en la segunda.
• -(D) causalidad bidireccional. Se rechazaH0 en ambas regresiones.
La causalidad en el sentido de Granger esmejor interpretarla en el sentido de predicción que en el de causalidad propiamente dicha.
UNA ESTRUCTURA DE CAUSALIDAD RESTRICTIVA EN UN MODELO VAR
Una estructura de causalidad que impone una simplificación que resulta muy operativa en un modelo VAR es la siguiente.
Los n componentes del vector de variables de un modelo VAR se pueden ordenar de 1 a n forma que las variables de orden menor no son causadas en el sentido de Granger por variables de orden mayor,
En tal caso se tiene que la variable dependiente en cualquier ecuaciónviene causada en el sentido de Granger por las variables explicativas que aparecen en la ecuación,
pero tales variables explicativas noson causadas en el sentido de Granger por la variable dependiente en cuestión.
ESTRUCTURA DINÁMICA TRIANGULAR
• Cuando se cumple la estructura causal anterior se tiene que que todas las matrices i son triangulares.
• Se dice entonces que el modelo VAR tiene una estructura dinámica triangular.
Ejemplo.- Consideremos el modelo VAR (1) de dos variables (y1, y2)
,0
2
1
12
11
2221
11
2
1
t
t
t
t
t
t
yy
yy
Al ser 12 = 0 la variable y2 no causa (en el sentido de Granger) en y1.
• EN EL EJEMPLO ANTERIOR LAS VARIABLES ESTÁN ORDENADAS COMO VARIABLES 1 Y 2.
• En él se ve que la variable de menor orden, 1,no viene causada en el sentido de Grangerpor la variable de mayor orden ,2,pues el coeficiente 12 es cero.
• Sin embargo la variable 1 sí que causa a la 2 en el sentido de Granger ya que 21 esdistinto de cero.
MODELOS VAR SIN RESTRICCIONES
• LOS MODELOS VAR SIN RESTRICCIONES SEPUEDEN ESTIMAR EFICIENTEMENTE APLICANDO MCO A CADA ECUACIÓN DE MODO INDIVIDUAL.
• SI EL MODELO VAR INCORPORA RESTRICCIONES LA ESTIMACIÓN EFICIENTE REQUIERE LA ESTIMACIÓN CONJUNTA DE TODAS LAS ECUACIONES.
ES DECIR,APLICANDO MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS AL SISTEMA DE n ECUACIONES.
Los modelos simultáneos,que se comentarán más adelante, no se pueden estimar por MCO o MCG, requieren métodos basados en VARIABLES INSTRUMENTALES.
El modelo de la telaraña es un modelo simultáneo.
EXOGENEIDAD Y NO ESTACIONARIEDAD
Al principio de este tema se señalaba que los modelos VAR se formulaban sobre variables estacionarias o sobre las transformaciones estacionarias adecuadas de las variables originales.
En el tema siguiente se verá cómo obtener formulaciones estacionarias adecuadas cuando se tiene un modelo vectorial.
Ahora conviene señalar que cuando las variables explicativas son exógenas,tal como se supone en el resto de este tema,el tratamiento de la no estacionariedad es más sencillo,tal como se explica a continuación.
EL CONCEPTO DE EXOGENEIDAD
• El concepto de exogeneidad hacereferencia a que es posible realizar con elmodelo econométrico un determinado tipo de análisis condicional a la información sobre las variables exógenas sin pérdida de eficiencia.
VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS.Variables endógenas son las que se determinan en el sistema.Varios conceptos de variables exógenas según sea la finalidad para la que se quiera utilizar el modelo.
VARIABLES PREDETERMINADAS
• VARIABLES PREDETERMINADAS-para fines de estimación e inferencia- son variables que son independientes de la innovación contemporánea de la ecuación en la que aparecen como variables explicativas.
• En modelos lineales sin restricciones el concepto de variables predeterminadas coincide con el de variables débilmente exógenas. Este último concepto es más elaborado y se necesita en contextos de modelos más generales.
VARIABLES ESTRICTAMENTE EXÓGENAS-para fines de predicción- Son variables que son independientes de la innovación contemporánea y también de las innovaciones pasadas de la ecuación en la que aparecen como variables explicativas.En modelos lineales sin restricciones el concepto de variables estrictamente exógenascoincide con el de variables fuertemente exógenas.
UNA VARIABLE FUERTEMENTE EXÓGENAcumple:-es débilmente exógena y-no es causada en el sentido de Granger por la variable dependiente correspondiente.
Los modelos VAR, que no son mas que sistemas de regresiones múltiples, se derivan directamente de la función de distribución de los datos y se les denomina MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FORMA REDUCIDA.
En ellos las variables explicativas son débilmente exógenas ytoda la relación contemporánea radica en las covarianzas residuales.
LA PREDICCIÓN CON MODELOS VAR
• En los modelos VAR las variables explicativas no son fuertemente exógenas,pues hay causalidad bidireccional entrecualquier par de variables,y
• en la predicción de una sola variable es necesario utilizar todo el sistema de ecuaciones.
•
MODELOS VAR RECURSIVOS
• Se dice que un modelo VAR es recursivo si:
• (a) es posible ordenar las variables de forma que la matriz de polinomios dinámicos tenga una estructura triangulary
• (b) la matriz de varianzas y covarianzas esdiagonal.
IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD
• Cuando se cumple la hipótesis de recursividad todas las variables explicativas en cualquier ecuación son fuertemente exógenas.
• El modelo se estima eficientemente aplicando MCO a cada ecuación aisladamente.
IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD
La predicción de una determinada variable se puede realizar utilizando aisladamente su correspondiente ecuación incorporando predicciones de las variables explicativas.
Para estas últimas predicciones se utilizarán ,también de forma aislada,suscorrespondientes ecuaciones.
IMPLICACIONES DE LA HIPÓTESIS DE RECURSIVIDAD
• ES POSIBLE TRATAR CUALQUIER ECUACIÓN DEL MODELO DE FORMA AISLADA TANTO PARA ESTIMACIÓN COMO PARA PREDICCIÓN.
• PARA LA PREDICCIÓN SERÁ NECESARIO INCORPORAR EN LA ECUACIÓN PREDICCIONES DE LAS VARIABLES EXÓGENAS,QUE SE OBTIENEN FUERA DEL MODELO Y DE FORMA INDEPENDIENTE DEL MISMO.
• EN EL RESTO DE ESTE TEMA SE SUPONDRÁ RECURSIVIDAD Y SE TRABAJARÁ CON MODELOS UNIECUACIONALES.
MODELOS UNIECUACIONALES CON DEPENDENCIA CONTEMPORÁNEA ENTRE LAS VARIABLES
Supóngase un modelo VAR(1) sobre dos variables, con estructura dinámica triangular pero condependencia contemporánea entre los residuos:
xt = 11 xt-1 + a1t (1.a)
yt = 21 xt-1 + 22 yt-1+ a2t (1.b)
2212
1221
El modelo anterior es un modelo VAR con restricciones y con matriz de varianzas y covarianzas residuales que no es diagonal.
Por lo que para su estimación eficiente se necesita utilizar todo el modelo.
Una alternativa a la estimación conjunta está en ortogonalizar los residuos.
Supóngase que la variable de interés es yt.
Su dependencia contemporánea con xt en el modelo VAR aparece en el parámetro 12 quevincula a1t y a2t.
Para incorporar esa dependencia contemporánea en un modelo uniecuacional sobre yt se puede utilizar la regresión:
a2t = ba1t + t (2)
donde t y a1t son ortogonales.
Si en (2) se sustituye a1t por su valor en (1.a) se tiene
a2t = bxt – b 11 xt-1 + t (3)
Sustituyendo (3) en (1.b)
yt = bxt + ( 21 – b 11) xt-1 + 22 yt-1+ t(4)
yt = bxt + b1 xt-1 + 22 yt-1 + t (5)
Ahora el modelo VAR se puede formular como
xt = 11 xt-1 + a1t (6.1)
yt = bxt + b1 xt-1 + 22 yt-1 + t (6.2)
Que tiene estructura dinámica triangular y una matriz de varianzas y covarianzas diagonal:
2
21
0
0
En la transparencia anterior 2 es la varizanza det, que es también el residuo de la regresión (2).
Recordando resultados sobre el modelo de regresión simple, de (2) se tiene que
(7)
El coeficiente de regresión es
, (8)
Donde es la correlación ( 12/ 1 2) entre a1t y a2t.
Sustituyendo (8) en (7) se tiene que
y
221
222
1
2
222
222 )1( 22
22
En el sistema (6) es posible sacar la ecuación (6.2) y trabajar con ella asiladamente.
La ecuación (6.2) se estima eficientemente por MCO.
Su utilización en la predicción sólo será de interés si la observación de xt se publica con anterioridad a la de yt.
Esto último suele ocurrir cuando xt es un indicador de confianza sobre un sector macroeconómico en yt la medición de dicho sector, por ejemplo, ytpuede ser la producción industrial.
Los resultados anteriores ponen de manifiesto que los modelos uniecuaciones pueden incluir como regresores los valores contemporáneos de las variables explicativas.
Frente a los modelos de forma reducida están losmodelos ESTRUCTURALES simultáneos:
(1) Que se derivan de la Teoría Económica.(2)Recogen una relación contemporánea entre
las variables en la formulación sistemática.(3)Contienen restricciones.
Resolviendo el modelo estructural se obtiene un modelo de FORMA REDUCIDA CON RESTRICCIONES.
Los modelos estructurales de ecuacionessimultáneas se desarrollaron a partir de los años cuarenta en el seno de la COWLESCOMMISSION.
Posteriormente, Sims (1980), se han formulado también modelos VAR estructurales operandosobre la matriz de varianzas y covarianzasresiduales.
Los modelos estructurales no se estudian en este tema.
5.4.Modelos uniecuacionalesdinámicos.Formulaciones alternativas: a) Módelos de función de transferencia o retardos racionales.b) Modelos de retardos autorregresivos distribuidos (AD).
MODELOS UNIECUACIONALES
FORMULACIONES ALTERNATIVAS DEL MODELO DE REGRESIÓN DINÁMICA
Un modelo uniecuacional extraido de un VAR recursivo no es más que un modelo de regresióm dinámicamúltiple.
Éste se puede formular:(a) de la forma habitual en un modelo de regresión y
entonces se le denomina modelo autorregresivo deretardos distribuidos(ADL) y
(b) en forma de cocientes de polinomios y entonces se le denomina modelo de retardos racionales o de función de transferencia(FT).
FORMULACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN DINÁMICA EN TÉRMINOS AURORREGRESIVOS
CON RETARDOS DISTRIBUIDOS (ADL)
• Se supone que x1, x2, … xk son k variables fuertemente exógenas con respecto a Y.
• La formulación general del modelo ADL es:(L) yt = 1(L)x1t + 2(L)x2t + … k(L)xkt + at
donde (L), 1(L), … k(L) son polinomios en el operador de retardos.
Ejemplo: yt = 0.5yt-1+0.2xt-1+0.1xt-2+at(1-0.5L)yt = (0.2L+0.1L2)xt + at
MODELOS ADL
La estructura general es
(L) yt = 1(L) x1t + 2(L) x2t + … + k(L) xkt + at (1)
Su formulación consiste en poner suficientes retardos de la variable endógena y en las variables exógenas de modo que el término residual sea ruido blanco.
Tal formulación sólo necesita de la teoría Económica la especificación del vector de variables (yt, x1t, …, xkt)
FORMULACIONES ALTERNATIVAS DEL MODELO DE REGRESIÓN
DINÁMICA• Modelos de retardos racionales o modelos de
función de transferencia (FT).Formulación General
Yt = j=1m (wo,j + w1,j L + … + ws,j Ls,j) Xjt + q(L) at
(1- 1jL - … - rj Lrj) p+q(L)
Efecto dinámico de las variables Dinámica residual
Variables explicativas
MODELOS DE FTSu estructura general es
.)(
)(
)(
)(
1t
k
jjt
j
jt a
LLx
LLw
y (2)
En él la relación dinámica entre yt y cada variable explicativa xjt viene recogida por un cociente de polinomios:
wj(L) / j (L),
Además las variables omitidas pueden tener un efecto dinámico en yt y se recoge en un término residual:
.)(
)(tt a
LLN
EL TERMINO RESIDUAL EN EL MODELO FT
(L)Nt = (L)at
Nt = 1Nt-1+ … + pNt-p - 1at-1- … - qat-q + at
Donde recoge toda la dependencia del términoresidual respecto al pasado.
Es la parte predecible del término residual.
ttt aNN ˆ
tN
MODELO FT
Necesita de la teoría económica informaciónsobre el vector de variables que aparecen en el modelo y
de algunas orientaciones sobre el tipo de estructuras dinámicas entre las variablesexógenas y las variables endógenas.
FUNCIÓN DE RESPUESTA EN Y ANTE CAMBIOS EN UNA VARIABLE
EXPLICATIVA Xj• La dinámica general entre Xj e Y se puede representar
mediante un polinomio de la forma :
v ,j (L) = v0,j + v1,jL + v2,jL2 + ...
La respuesta puede ser de orden , pero tiene que ser convergente ,así que se puede aproximar por el cociente de polinomios de órdenes finitos de la forma ws,j(L)/ r,j(L),tal como aparece en la transparencia anterior.
Implicación: el efecto de una variación transitoria de Xj sobre Y no es permanente.Esto parece ser una característica
del mundo real.
EJEMPLO• Xj es una variable en equilibrio permanente,
excepto en el momento t = t*Xjt
e, si t < t*Xjt = Xjt
e + 1, si t = t*Xjt
e, si t > t*
Dinámica asociada a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)
00.5
11.5
22.5
3
t*
EL MODELO UNIECUACIONAL DINÁMICO LINEAL
atinnovación q(L)/ p+q(L) Nt
Yt
Variable dependiente
XjtVariableexógena
wsj(L)/ rj(L) Xjt*
Xjt*• Contribución de las
variables explicativas (la parte de Y explicada por los valores de las Xj’s).
• El filtro tiene que ser estacionario.
• Lo que es predecible en el término residual.
• Debido principalmente al efecto de las variables omitidas.
• No es preciso suponer estacionariedad.
tY
tN
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO TF
Reglas generales:
1º) Si la respuesta de Y a cambios en Xj se retrasa b períodos
ws(L)/ r(L) Lb
Si la respuesta es inmediata, b=0
2º) Una respuesta larga se puede obtener mediante:
(a) ws(L) con s suficientemente grande
(b) r(L) con r=1 ó 2
En general, formulaciones comow0/(1- L) Lb o (w0+w1)/(1- 1L)Lb
Pueden ser bastante útiles.
LA ESTRUCTURA DE UN MODELO UNIECUACIONAL dinámico
El modelo econométrico es una identidad, por lo tanto:Las características presentes en la variable endógena que
aparece a la izquierda de la ecuación tienen que venir explicadas por los términos incluidos en la parte derecha.
Los términos en la parte derecha de la ecuación son:(a) Las variables exógenas(b) Los cocientes polinomiales dinámicos sobre cada
variable(c) Los polinomios dinámicos del término residual(d) Las innovaciones at
MODELOS EQUILIBRADOS
Los términos (a) (b) y (c) de la transparencia anterior configuran la estructura del modelo yat es la innovación contemporánea.
Un modelo econométrico uniecuacional estáequilibrado si incluye toda la estructura que la variable endógena necesita en cuyo caso el término at es realmente una innovación y, por tanto, un componente ruido blanco.
Si un modelo no está equilibrado,
como yt está ligada por un signo igual con la parte derecha del modelo,
se tendrá que at no será ruido blanco indicando que el modelo está mal especificado.
EL MODELO UNIECUACIONAL EN UNA VARIABLE ENDÓGENA NO ESTACIONARIA.
En un modelo equilibrado la posible no estacionariedad de la variable endógenasólo puede venir explicada por dos de los cuatro factores mencionados anteriormente:
-(a) por lo no estacionariedad de las varia-bles exógenas
-(c) por raices unitarias en el polinomio autorregrasivo del componente residual.
MODELO SOBRE LAS VARIABLES EN NIVELES
Si la no estacionariedad de la variable endógena viene plenamente explicada por la no estacionariedad de las variables exógenas
el término residual - que recoge el efecto de las variables omitidas – será estacionario.
Las variables explicativas determinan lo que puede ser el componente más importante de la variable endógena :su evolutividad en el nivel.
En este caso el modelo se formula sobre las variables en niveles.
Un modelo sobre variables no estacionarias en niveles y con un término residual estacionario, por ejemplo,
(1– 22 L) yt = (b + b1L) xt + t , (10)
yt = bxt + b1 xt-1+ 22 yt-1 + t , (11)
donde yt e xt son I(1),
Implica que siendo ambas variables I(1) existe unavinculación entre sus evoluciones a largo plazo, ya que la regresión dinámica entre ellas tiene residuos meramente estacionarios.
Para entender tal relación restemos yt-1 a ambos lados de (11) yt = bxt + b1 xt-1+ 22 yt-1 + t , (11)
y sumemos y restemos bxt-1, con lo que
yt = b xt + (b + b1) xt-1 + ( 22-1) yt-1 + t (11)
Que finalmente se pude formular como
yt = b xt + (yt-1 - xt-1) + t (12)
donde = 22-1 (13)
= (b + b1) / (1 - 22) (14)[email protected]
El modelo (12) expresa yt que es estacionaria en términos de xt, que también es estacionaria, de t,que además es ruido blanco y de (yt-1 - xt-1), que necesariamente tiene que ser estacionaria para que se cumpla la igualdad en (12).
En consecuencia, siendo xt e yt variables I(1) lacombinación lineal entre ellas
yt - xt = mt (15)
es estacionaria. Es decir, sus evoluciones a largo plazo no son independientes, sino que están restringidas por tal combinación lineal.
En el ejemplo anterior se dice que las variables están cointegradas.
Como (15) es estacionario, se tiene que a largo plazo
yt = xt, (14)
Que supone una relación de equilibrio entre ambas variables.
De modo que mt es el desvio de yt sobre su valor de equilibrio.
En este ejemplo partiendo del sistema (1) que tenía una estructura dinámica triangular se han ortogonalizado los residuos y se ha formulado el modelo uniecuacional(5) para la variable de interés ytquevolvemos a escribir
yt = bxt + b1 xt-1+ 22 yt-1 + t .(11)
.Como la no estacionalidad de yt vieneplenamente explicada por la no estacionalidad de xt se tiene que ambasvariables están cointegradas.
Existiendo cointegración es conveniente formular el modelo uniecuacional entérminos de (12).
yt = b xt + (yt-1 - xt-1) + t (12)[email protected]
El modelo (12) que repetimos aquí
yt = b xt + (yt-1 - xt-1) + t (12)
Se denomina “modelo con mecanismo de correción de equlibrio” por la presencia del término (yt-1 - xt-1) = mt-1.
Cuando mt-1 es positivo, yt-1 está por encima de su valor de equilibrio, por lo que es necesario que el incremento de yt sobre yt-1 sufra una corrección a la baja y eso se hace con el término mt-1, que resulta serun mecanismo de correción de equilibrio.
,que es el parametro de velocidad del ajuste, definido en (13), es efectivamente negativo ya que para que las variables xt e yt sean I(1) y no I(2) es fácil demostrar que 22 es menor que la unidad.
El modelo (12) es la formulación más convenientepara la contrastación de hipótesis pues está definido en términos de variables estacionarias y sobre los parámetros de interés que tienen la siguiente interpretación:
: (si el modelo está en logartimos) es la elasticidad a largo plazo de yt respecto a xt.
: es la tasa de ajuste sobre los desequilibrios a largo plazo y
b : recoge la relación contemporánea entre yt yxt.
Contrastes de hipótesis en modelos lineales convariables estacionarias y no estacionarias.
Sims, Stock y Watson (1990):
El contraste t sobre un coeficiente de interés es válido si dicho coeficiente se puede poner como elcoeficiente de una variable estacionaria.
Formulaicón general del modelo uniecuacional conuna variables exógena y cointegración.
El modelo (12) se generaliza de la siguiente forma
yt = b xt + b1 xt-1 + … + br t-r + 1 yt-1 + … ++ r yt-r + (yt-1 - xt-1) + t
Un modelo para un tipo de interés a corto plazo (rt)y otro a largo (Rt) cuando el primero es exógeno.
En este caso el modelo (12) puede ser válido.Así
Rt = b rt + (Rt-1 - rt-1) + t (14)
rt = ait (15)
Para otro tipo de variables la estructura dinámica del modelo anterior puede ser muy simple y es necesario generalizar el modelo (12).
REGRESIONES ESPURIAS
• El modelo uniecuacional (regresión dinámica) en nivelestiene sentido,tal como se ha señalado anteriormente,cuando el término residual es estacionario.
• Una regresión entre variables no relacionadas entre sí,pero ambas no estacionarias,puede dar valores altos de los estadísticos R2 y t,cuando se trata de una regresión espuria pues las variables no están relacionadas.
• La regresión espuria se detecta contrastando la estacionariedad de los residuos.
• En tal caso hay que formular el modelo sobre las variables diferenciadas.
MODELO SOBRE VARIABLES DIFERENCIADAS
Si la no estacionariedad de la variable endógena no viene plenamente explicada por la no estacionariedad de las variables exógenas,
el término residual será no estacionario con raices unitariasen su parte autorregresiva,
es decir,en el denominador de su estructura polinomial,enel que aparecerán los operadores de diferencias correspondientes a tales raices unitarias.
Multiplicando ambos lados del modelo por dichos operadores ,éstos desaparecerán del término residual y todas las variables del modelo,endógena y exógenas, aparecerán diferenciadas.
EJEMPLO DE MODELO DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.El consumo de cemento en la economía española
CEM = Consumo de cementoRES = ResidencialNRES = No residencialOC = Obra Civil
Todas las variables están en logaritmos y se han tomado sus primeras diferencias.
CEMt = (0.12 L2 + 0.17L3) RESt + (0.20 + 0.32L3) NRESt ++ 0.45 OCt + (1-0.32L)/(1+0.83L2) at
En el ejemplo anterior el consumo de cemento en la economía española (CEM) depende de:
- RES: la producción en la edificación residencial
- NRES: la producción en la edificación no residencial y
- OC: la producción en obras civiles.
En las tres variables los denominadores de los cocientes polinomiales son la unidad.
RELACIÓN ENTRE LA FORMULACIÓN FT DE UN MODELO UNIECUACIONAL DINÁMICO Y LA
FORMULACIÓN ADL.
Para simplificar supondremos una sola variable explicativa
FT:
ADL: (L) yt = (L) xt + at
Como los cocientes polinomiales en FT son convergentes se puden aproximar como:
ttt aLLx
LLwy
)(
)(
)(
)(
)()(
)( LLLw
)(
1
)(
)(
LLL
y
Con las aproximaciones anteriores
Denominando
(L) = a(L) (L)
Se obtiene
(L)yt = (L) xt + at ,
Que es el modelo ADL.
tta
t aL
xLy)(
1)(
Interpretación de un modelo con la variable endógena diferenciada
De lo dicho anteriormente se desprende que cuando la no estacionariedad de la variable endógena no viene plenamente explicada por las variables exógenas,elmodelo se debe estimar sobre las variables diferenciadas.
• Una vez estimado el modelo se puede formular de dos modos alternativos:
(1)Con la variable endógena en niveles ,en cuyo caso el término residual tiene un componente autorregresivo no estacionario y
(2)Con la variable endógena diferenciada ,en cuyo caso el componente residual es estacionario.
.
• El pasar de la forma (1) a (2) es inmediato y
• la primera puede ser más directa para interpretar la explicación que el modelo ofrece sobre la variable endógena.
• La forma (2) sobre las variables estacionarias es la que se tiene usar para estimar el modelo.
ANÁLISIS DE MULTIPLICADORES
• Multiplicadores de impacto
Xjt* = ws(L)/ j(L) Xjt = (v0,j + v1,j L + v2,j L2 + …) Xjt
donde vi,j tiende a cero cuando i tiende a infinito
v0,j , v1,j , v2,j … son los multiplicadores de impacto
Los multiplicadores de impacto caracterizan totalmente la relación dinámica entre Xj e Y
Ejemplo
• Xj es una variable en equilibrio permanente, salvo en el momento t = t*
Xjte, si t<t*
Xjt = Xjte + 1, si t=t*
Xjte, si t>t*
Dinámica asociada a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)
00.5
11.5
22.5
3
t*
MULTIPLICADORES DE IMPACTO (2)
Antes de t* el sistema está en equilibrio, por lo que
Nt = Ne = 0Xt = Xe
Yt = v(L) Xt + Nt = v(L)Xe + 0 = Ye
Yt*-1 = v(L)Xt*-1= v0Xt*-1 + v1Xt*-2 + v2Xt*-3 + …= vo Xe + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye
Yt* = v(L)Xt*= v0Xt* + v1Xt*-1 + v2Xt*-2 + …= vo (Xe+1) + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye + v0
Yt*+1 = v(L)Xt*+1 = v0Xt*+1 + v1Xt* + v2Xt*-1 + …= vo (Xe) + v1(Xe+1) + … = v(L) Xe = Ye + v1
Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + vk
EFECTOS DEL FILTRO SOBRE LA VARIABLE EXPLICATIVA
Xjt* = ws(L)/ j(L) LbXjt = (v0,j + v1,j L + v2,j L2 + …) Xjt
• Lb retarda la respuesta b períodos.• ws(L) prolonga la respuesta del impulso sin estructura
durante s+1 períodos.
r(L) prolonga la respuesta imponiendo un cierto patrón dependiendo de las raíces del polinomio.
Ejemplo: Multiplicador de impacto asociado a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)
vo = v1 = v2 = 0 v6 = 0.8v3 = 2 v7 = 0.82
v4 = 2.5 v8 = 0.83
v5 = 1 ….
Debido a la restricción de estacionariedad del polinomiows(L)/ j(L) Lb, los coeficientes vj tendenrán a cero cuando i crezca.
Como se ha visto antes,
Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + vk
Implicación: El efecto de un impacto puntual sobre una variable explicativa desaparecerá en el tiempo y
Y volverá a su valor de equilibrio Ye.
MULTIPLICADORES ACUMULADOS:Antes de t* el sistema está en equilibrio, con lo que
Nt = Ne = 0Xt = Xe
Yt = v(L) Xt + Nt = v(L)Xe + 0 = Ye
Pero después de t* Xe cambia permanentemente a Xe+1
Yt*-1 = v(L)Xt*-1= v0Xt*-1 + v1Xt*-2 + v2Xt*-3 + … = vo Xe + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye
Yt* = v(L)Xt*= v0Xt* + v1Xt*-1 + v2Xt*-2 + … = vo (Xe+1) + v1Xe + … = v(L) Xe = Ye +v0
Yt*+1 = v(L)Xt*+1 = v0Xt*+1 + v1Xt* + v2Xt*-1 + … = vo (Xe+1) + v1(Xe+1) + … = v(L) Xe = Ye +vo +v1
Yt*+k = v(L)Xt*+k = Ye + (v0 + v1 + … + vk)
MULTIPLICADORES ACUMULADOS:
V0 = v0
V1 = v0 + v1
V2 = v0 + v1 + v2
…Vk = v0 + v1 + v2 + … +vk
Cuando vi tiende a cero al crecer i, Vi tiende a una constante
Vj Constante
Esta constante es el multiplicador de largo plazo delfiltro o ganancia del filtro.
Ejemplo
Multiplicadores acumulados asociados a 2L3 + 2.5 L4 +L5/(1-0.8L)Vo = V1 = V2 = 0 V6 = 0.8V3 = 2 V7 = 0.82
V4 = 2.5 V8 = 0.83
V5 = 1 ….
Multiplicador de largo plazo:
0 + 0 + 0 + 2 + 2.5 + 1 + 0.8 + 0.82 + … = 9.5
LA FORMA DE CALCULAR LOS MULTIPLICADORES DE LARGO
PLAZO,
Dado el filtro ws(L)/ j(L)
g = (w0 + w1 + w2 + … + ws)/(1- 1- 2-…- r)
MODELO DE DEMENDA DE TURISMOEN LA ECONOMÍA
ESPAÑOLA
• Véase Espasa y Cancelo(eds.),1993,capítulo 10.
EJEMPLO DE MODELO CON VARIABLES DIFERENCIADAS:LA DEMANDA DE TURISMO EN ESPAÑA..
• En el capítulo 10 de Espasa y Cancelo (1993),se construyen modelos sobre la demanda de turismo por extranjeros en España.
• La variable endógena son los ingresos por tal tipo de turismo en pesetas constantes.
• Las variables explicativas son:• (1) un indice de la renta en términos
reales de los turistas,• (2) un índice de precios relativos de
España frente a los paises clientes y• (3) un índice de precios relativos
respecto a los paises competidores.• En este caso todas las variables
explicativas son exógenas. [email protected]
Modelo sobre la demanda de turismo en España
En el conjunto informativo descrito en la diapositiva anterior se omite una variable importante para la demanda de turismo, como es la mejora en la oferta turística española.
Sobre esta variable no se dispone de observaciones y su efecto queda relegado al término residual.
Como la variable omitida es no estacionaria con oscilaciones locales de nivel ,es decir con una raízunitaria ,el término residual es no estacionario con una diferencia en su estructura autorregresiva.
Modelo sobre la demanda de turismo en España
Además,en el conjunto informativo no hay variables que expliquen los hábitosestacionales de los turistas ,por lo que la evolutividad estacional de la variable endógena queda también relegada al término residual,con lo que la diferenciaque aparecía en el mismo será estacional.
ESTIMACIÓN E INTERPRETACIÓN DEL MODELO DE INGRESOS TURÍSTICOS
Por lo dicho anterior el modelo se estimará sobre la formulación en diferencias anuales de todas las variables,que tiene un término residual estacionario.
Para su interpretación conviene poner el modelo en su formulación con las variables en niveles ,pasando el operador de diferencias al denominador del término residual.
Esta formulación pone de manifiesto que parte de la tendencia y de la estacionalidad de los ingresos por turismo no viene explicada por las variableseconómicas incluidas en el modelo.
En el ejemplo anterior conviene señalar que los ingresos por turismo muestran crecimiento sistemático,son una variable I(2),y su modelo univariante requiere dos diferenciaciones,una regular y otra estacional.
El modelo econométrico anterior pone de manifiesto que la variable explicativa indicede renta,que es I(2) , tiene una contribución importante para explicar la tendencia del turismo,ya que es el factor del modelo que explica el crecimiento tendencial.
MODELO DE DEMANDA DE EFECTIVO EN LA ECONOMÍA ESPAÑOLA
• Véase Espasa y Cancelo (eds.),1993,pgs 211 a 214.
5.7. Modelización deacontecimientos especiales.Modelos con variables
artificiales.
Los puntos 5.7 y 5.8 no entran en el programa del curso 2004-2005
ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN• Utilidad del análisis de intervención.
– El análisis de intervención es útil para explicar atípicos en series temporales cuya causa es conocida, pero es difícil de cuantificar.
• Errores en la construcción de los datos publicados.• Cambios en la definición de la serie temporal.• Intervenciones económicas especiales o cambios de
leyes• Acontecimientos extraordinarios (huelgas, conflictos
internacionales, ...)• Fiestas nacionales que pueden cambiar a lo largo del
año y afectar el esquema estacional. • Crisis económicas.
ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN
• Teoría de dinámica general para variables artificiales.– En muchas ocasiones se observa que en algunos
momentos, la serie que se analiza presenta movimientos bruscos importantes, que no son posible capturar siguiendo el comportamiento regular de los datos.
• Estos movimientos no se pueden explicar bien mediante modelos ARIMA.
– Para resolver este problema se introduce el uso de variables artificiales y la técnica del análisis de intervención.
5.8. Tipos de variables artificiales y filtros dinámicos usuales para la modelización deacontecimientos especiales.
00.20.40.60.8
11.2
F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3
00.20.40.60.8
11.2
F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3
01234567
F-3 F-2 F-1 F F+1 F+2 F+3
TIPOS PRINCIPALES DE VARIABLES ARTIFICIALES
• Se describen las principales variables artificiales útiles para describir los acontecimientos anómalos.
• Impulso: siempre es cero, excepto en el momento F, cuando toma el valor 1.
• Escalón: es cero antes de F y 1 posteriormente.
• Tendencia: es cero antes de F y desde ese momento toma los valores: 1, 2, 3, 4, ...
PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES
• Filtros sobre variables impulso.0 si t F
ItF =
1 si t = F
(a) w (L) ItF = (w0 + w1 L + … + ws Ls) ItF
lo que implica extender el efecto del impacto durante s+1 períodos. Estos filtros no imponen ninguna estructura en los efectos.(w0 + w1L) It
F (w0 + w1L + w2L2 + w3L3 +w4L4) ItF
(b) FtIL
w1
0
sLwLwLwwLLLwL
w sss0
22000
220
0 ...)...1(1
En este caso, los efectos de una intervención se extienden a lo largo del tiempo con una estructura determinada por el parámetro
PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES
Ejemplo de una intervención del tipo FtIL
w1
0
Los efectos de una intervención,habitualmentedesaparecen en el tiempo, por lo que es frecuente imponer| | < 1.
PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES
• Filtros sobre variables escalón.
Los escalones se utilizan para modelizar intervenciones de tipo permanente.
0 si t < FSt
F =1 si t F
(a) (w0 + w1 L + w2 L2 + … + wsLs) StF
El efecto comienza en F y se prolonga hasta F + s.El efecto total del acontecimiento esw0 + w1 + … + ws.
(b) FtSL
w1
0
PRINCIPALES FILTROS PARA LAS VARIABLES ARTIFICIALES
Este tipo de filtro permite un efecto más prolongado en el tiempo.Presenta restricciones impuestas por el parámetro
Efecto total:
11
0w
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO CON ANÁLISIS DE INTERVENCIÓN
• Realizar Una regresión entre los datos diferenciados y las variables artificiales del análisis de intervención.
• Tomar los residuos de la regresión.
• Analizar la FAC y la FACP y especificar un modelo ARMA.
EJEMPLOS• Cambios en la Encuesta de Población Activa
en España.– 1999 cambio en la metodología de la encuesta.
• El Instituo Nacional de Estadística (INE) no midió el impacto.
• Mediante el análisis de intervención se estima un incremento alrededor de 200,000 empleos (en un crecimiento total de 600,000 empleos) básicamente en el sector de servicios.
– La intervención incluida en el modelo ARIMA para el empleo en servicios:LS9901 = 0 si t < 99-01
1 si t 99-1
(w0) LS9901 = 0.001 LS9901
EJEMPLOS• Cambios en la Encuesta de Población Activa
en España (2)– 2000, cambio en la distribución de la
población utilizada para construir la encuesta.
• El INE midió exactamente el impacto del cambio en 77,500 nuevos empleos (72,200 en el sector de servicios).
• Se impone en nuestro modelo para el empleo en servicios un análisis de intervención de esta magnitud.
300
400
500
600
700
800
900
86 88 90 92 94 96 98 00
COL
Ventas de cemento en Colombia
RESUMEN SOBRE MODELOS UNIECUACIONALES
-En la empresa generalmente es importante relacionar una variable de interés con otras con las que está relacionada.
- Eso implica utilizar un conjuntoinformativo multivariante formado por las observaciones de la variable de interés y por las de las otras variables con las que está relacionada.
-Eso implica trabajar con un modelo econométrico multiecuacional, por ejemplo, un modelo VAR(p).
x
Desarrollando (2), o (3) se obtiene
X1t = 11(1) X1t-1+ 12
(1)X2t-1+ 11(2)X1t-2+ 12
(2)X2t-2 + a1t(4a)
X2t = 21(1) X1t-1 + 22
(1)X2t-1+ 21(2)X1t-2+ 22
(2)X2t-2+ a2t(4b)
Varianza residual: 2212
1221)( taVar
-En estos modelos la variable, de interés viene determinada por las demás y éstas, a la vez, vienen determinadas por la variable de interés.
En tal caso se dice que hay realimentación o que la causalidad en el sentido de Granger entre cada par de variables del vector es bidireccional.Véase transparencia 55 y siguientes
-En determinados problemas puedeser razonable pensar que la causalidad entre la variable de interés y las demás, es solamente unidireccional desde las últimas a las primeras.
En tal caso es posible el análisis de la variable de interés a través de un modelo uniecuacional entre esta variable y las demás.
x
-Si un modelo VAR es recursivo cualquierecuación se pude sacar del mismo y analizarla de forma individual.
-Un modelo VAR es recursivo si:
(a) tiene una estructura dinámica triangular y
(b) la matriz de varianzas y covarianzas residual es diagonal.
En tal caso todos los regresores decualquier ecuación son variables exógenas.x
-Cuando se cumple (a) pero no se cumple (b) es posible ortogonalizar los residuos yobtener un modelo VAR con las condiciones (a) y (b)
del que se puede sacar la ecuación referente a la variable de interés, que ahora también vendrá determinada de forma específica por el valor contemporáneo de las variables explicativas, que debido a la ortogonalización resultan ser variables exógenas en el modelo VAR reformulado.Id a la transparencia 83 y siguientes. x
-Por tanto en un modelo dinámico uniecuacional el valor presente de la variable de interés (endógena) viene determinado por sus valores pasados y por los valores presentes y pasados de las demás variables.
-El modelo dinámico uniecuacional sepuede formular en términos autorregresivosde retardos distribuidos (ADL) o en términos de función de transferencia (FT).
Utilizando un suficiente número de retardos ambas formulaciones son prácticamente indiferentes una vez estimado el modelo.
Para la estimación una formulación puede ser preferible a la otra. Con frecuencia se utiliza ADL.
-Cuando las variables son integradas el modelo en niveles puede tener residuos estacionarios y en tal caso se dice que las variables están cointegradas.
-Un modelo uniecuacional entre dos variables cointegradas convieneformularlo en términos de mecanismo de correción del errorpues: (a) tal formulación se realiza, en general, sobre los parámetros de interés y (b) es la forma recomendable para realizar inferencia estadística.
- Si en un modelo uniecuacional lavariable de interés no está cointegradacon las demás los residuos serán no estacionarios y el modelo deberá formularse sobre variables diferenciadas.
- En estos casos la estimación de un modelo en niveles puede ser espuria.
1.Discuta la estructura dinámica en el vector de variables y la dependencia contemporánea entre xt e yt. En caso de ser cero esta última calcule su correlación.
1.Tiene estructura dinámica triangular. Es decir el pasado de yt no influye en xt, pero el de ésta sí que afecta a yt. Como cov(a1t, a2t)=0.5, las variables xt e yt tienen una covarianza de 0.5. Como las correspondientes desviaciones estándar son uno la correlación es también de 0.5.
2. Sabiendo que la ecuación característica dinámica de (1) es
z2 – 1.7z + 0.7 , (2)
discuta si el vector zt es estacionario o no.
2. La ecuación característica es:
z2 – 1.7z + 0.7
y sus raíces 1 y 0.7. Luego el sistema es no estacionario.
3. Sabiendo que los modelos univariantes de xt eyt que se derivan de (1) tienen una parte AR(2) cuya ecuación característica es (2), señale si xt eyt son o no estacionarias. En este último caso señale el tipo de no estacionariedad que siguen.
3. En los correspondientes modelos univariantesxt e yt tienen una raíz unitaria y ambas son I(1). Es decir son variables con oscilaciones localesde nivel.
4. Señale si las esperanzas matemáticas de xt eyt son iguales o no y justifique su respuesta.
4. Ambas xt e yt tienen media igual a cero, ya que en el modelo VAR ninguna de las ecuaciones tiene constante.
5. Reformule el modelo VAR anterior como un VAR con matriz de varianzas y covarianzasresiduales diagonal, sabiendo que la causalidad contemporánea va desde xt e yt.
5. El modelo VAR tiene estructura dinámica triangular, pero con dependencia contemporánea.
Haciendoa2t = ba1t +
b = 12 / 1 · 2 = 0.5
y
a2t = 0.5xt - 0.5xt-1 + t .
Por lo tanto el siguiente sistema de dos ecuaciones
yt = 0.5xt - 0.1xt-1 + 0.7 yt-1 + t (A1)
xt = xt-1 + at (A2)
es un VAR reformulado de modo recursivo.
6. A partir de la ecuación sobre yt en el modelo VAR del punto (5) y de todos los resultados anteriores, discuta si las variables xt e yt estáno no cointegradas.
6. Como xt e yt son I(1) y en (A1) el residuo es estacionario, incluso ruido blanco, se tiene que la no estacionariedad de la yt viene plenamente explicada por la no estacionariedad de la xt, es decir están cointegradas con orden CI(1,1). Se pasa por tanto al punto 8.
7. En caso de respuesta negativa en el punto (6) señale qué tipo de resultados esperaría obtener en una regresión de yt sobre xt. ¿Serían espurias? ¿Cómo lo contrastaría? Describa con gran detalle el estadístico que utilizaría para contrastar si la relación es espuria.
8. En caso de respuesta positiva en el punto (6) formule un modelo con mecanismo de corrección del equilibrio e interprete todos sus parámetros.
8. Las variables están cointegradas. Restando xt-1 a ambos lados de (A1) e yt-1 a ambos lados de (A2) el modelo VAR se puede reformular como:
t
t
t
t
t
t
aa
yx
yx
2
1
1
1
3.04.0
00. (B)
En la segunda ecuación de (B) se tiene un factor explicativo
atm
y un componente ruido blanco con lo quedado que la variable dependiente es estacionaria el factor explicativo a
tm lo ha de ser también.
= (0.4xt-1 – 0.3yt-1)
atmEn se recoge una combinación lienal entre xt-1
e yt-1 que es estacionaria por lo que cualquier c· es también estacionaria. a
tm
Para identificar tal relación vamos a estandarizarla sobre el coeficiente (-0.3) de la variable de interés, es decir, multiplicamos a
tm
por (-0.3), con lo que se obtiene:
mt = yt-1 – 0.4/0.3 xt-1 (3)
y dado que = -0.3 m ,atm
el modelo VAR se puede formular como un modelo VEqCM, modelo vectorial con mecanismo de corrección del equilibrio, como:
t
ttt
t
t
aa
xyyx
2
111 3.0/4.0
3.0
0 C1
C2
En (C1) los residuos están correlacionados. Bajo el supuesto de que la causalidad contemporánea va de xt a yt se tiene que
a2t = a1t + t = 0.5
Como en (C1) a1t = xt, (C) se puede formular como
xt = at-1 (D1)
yt = 0.5 xt - 0.3 (yt-1 – 0.4/0.3 xt-1) + t. (D2)
En (D2):0.5 es la correlación contemporánea entre xt
e yt.0.4/0.3 es la ganancia a largo plazo entre de xt
e yt. Si las variables están en logaritmos es una elasticidad, que en este caso es positiva y mayor que la unidad.
(-0.3) es la velocidad de ajuste de de yt adesviaciones sobre el valor de equilibrio a largo plazo en (t-1).
La variable xt sigue meramente un modelo de sendero aleatorio.
9. Comente sobre la exogeneidad de xt en la ecuación de yt. Indique el tipo de causalidad en el sentido de Granger que relaciona a las variables xt e yt.
9. En el modelo VEqCM, (C), no existe dinámica transitoria, es decir los retardos de zt no entran en la ecuación. Toda la relación temporal entre xt e ytestá recogida en la relación de equilibrio (3), como tal relación mt no entra en la ecuación explicativa de xt en el modelo (C) se concluye que xt esfuertemente exógena en (C2) dinámica transitoria y la causalidad entre xt e yt es unidireccional desde xte yt.
10. A lo largo de su respuesta se ha encontrado con dos posibles modelos uniecuacionales sobrela variable yt, uno yt como variable dependiente y otro con yt como variable dependiente. Comente sobre ellos.
10. El sistema (A) es un VAR recursivo por lo que (A1) es un modelo uniecuacional válida para yt, pero formulado con variables no estacionarias y probablemente sin estar especificado sobre los parámetros de interés. Suponga que estos parámetros son: (g), la ganancia a largo plazo de ytsobre xt y ( ) la velocidad de ajuste de yt adesviaciones temporales sobre su patrón de equilibrio a largo plazo.Esto último se logra con el modelo (D2) tal como se ha demostrado anteriormente D2 se formula con ytcomo variable dependiente y todo él se especifica sobre variables estacionarias, yt , xt y mt.