Guía Propedéutica

 

 

 

 

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6

 

MatemáticasAplicada

 

15

ÍNDICE

UNIDAD I. Métodos de integración………………………………… 18

1.1 Inmediatas………………………………………………………………………… 18

1.2 Integración por partes……………………………………………………………. 21

1.3 Integración por sustitución o cambio de variable……………………………... 24

1.4 Integración por fracciones parciales……………………………………………. 27

UNIDAD II. La integral como área bajo la curva…………………. 37

2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas…………………………………. 37

2.2 Suma de Riemann……………………………………………………………….. 43

2.3 Integral definida………………………………………………………………...… 45

2.4 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………… 54

2.5 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………… 54

UNIDAD III. Aplicaciones de la integral…………………………… 57

3.1 Calculo de volúmenes…………………………………………………………… 57

3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría……………………………….. 61

3.3 Aplicación del cálculo integral en la física……………………………………... 66

3.4 Aplicaciones a la economía…………………………………………………...… 68

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………… 71

16

17

Objetivo: El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

18

UNIDAD I. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral

indefinida, aplicando diferentes métodos.

SABERES:

1. Inmediatas.

2. Integración por partes.

3. Integración por sustitución o cambio de variable.

4. Integración por fracciones parciales.

1. Inmediatas.

Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se

utilizan las reglas básicas de integración.

Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida:

1. Cdx0 7. Cxsenxdx cos

2. Ckxkdx 8. Cxxdx tansec2

3. dxxfkdxxkf )()( 9. Cxxdxx sectansec

4. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 10. Cxxdx cotcsc2

5. 1,1

1

nCn

xdxx

nn (Regla de

la potencia)

11. Cxxdxx csccotcsc

6. Csenxxdxcos

EJEMPLO 1:

Encontrar: dxx512

Utilizando la regla de la potencia 1,1

1

nCn

xdxx

nn :

Solución: Cxxx 6

615

26

1215

12

19

EJEMPLO 2:

Encontrar: dxx4

6

Solución: reescribimos dxx 46 Cx

xx3

314 2

36

146

EJEMPLO 3:

Encontrar: dxxx 23

Solución: reescribimos dxxx 23

1

cxxxxxx 23

423

4

113

3

3

1

4

3

2

2

3

411

2

3

3

3

1

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”

Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y

resuelve por el método de integración inmediata.

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

1. dxx5

1

2. dxx

3. senxdx3

4. dxx3

5. dxxx )4(

20

EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales

por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de

integración.

Ejercicios Solución

dxx )4( cxx 42

1 2

dxx)3( cxx 2

2

13

dxxx )64( 2 cxx 32 22

dxxx )594( 23 cxxx 53 34

dxxx )34( 23

cxxx 325

2 22

5

dxx

x1

cxx 2

1

2

3

23

2

dxxx )12)(2( cxxx 22

3

3

2 23

dxt 2)32( cttt 963

4 23

dxxsenx )cos24( csenx2cos4

dxxx )cotcsc4( cxx csc4

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”

1. cx44

1 2. cx 2

3

3

2 3. ccos3 4. cx 3

4

4

3 5.

cxx 23 23

1

21

1.2 Integración por partes.

De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la

derivación por partes.

'.'.)'.( vuvuvu que se puede escribir dvuvduvud ..).(

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

dvuvduvud ..).(

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma

función y utilizando la notación de integral tendremos:

dvuvduvu ...

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

duvvudvu ...

que permite calcular la integral de un producto de dos funciones Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede

escribir:

22

Ejemplos:

1.- Hallar la xsenxdx

Solución:

Sean

xu du dx dv senxdx xv cos

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

xcos x cos xdx xcos x cos xdx

dado que cos udu senu c finalmente nos queda:

xsenxdx xcos x senx c

2.- Hallar la x 2 ln xdx

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y

se repite el proceso n veces.

Solución:

Sean

u lnx dudx

x dv x 2dx v

x 3

3

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

x3 lnx

3

1

3

x3

xdx

x3 ln x

3

1

3x2dx

x3 lnx

3

1

3

x3

3

por lo tanto:

x 2 ln xdx = x3 lnx

3

x3

9c

23

3.- Hallar la x 1 xdx

Solución:

Sean

u x du dx dv 1 xdx v2

31 x

32

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

2

3x 1 x

322

31 x

32dx

2

3x 1 x

322

3

1 x52

5

2

=2

3x 1 x

324

151 x

52

por lo tanto:

x 1 xdx = 2

3x 1 x

324

151 x

52 c

4.- Hallar la sen2xdx

Solución:

Sean

u senx du cosxdx dv senxdx v cos x c

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

cos xsenx cos xcos xdx cos xsenx cos2 xdx

Aplicando la identidad senxcos x1

2sen2x

tenemos:1

2sen2x 1 sen2xdx

1

2sen2x dx sen2xdx

24

ya que la expresión original es sen2xdx y nuevamente nos resulta en el

procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:

sen2xdx1

2sen2x dx sen2xdx 2 sen2xdx

1

2sen2x dx

1

2sen2x x

por lo tanto:

sen2xdx = 1

4sen2x

x

2c

1.3 Integración por sustitución o cambio de variable.

Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u

y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si

u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:

cuFduufdxxgxgf )()()('))((

EJEMPLO 1:

Encontrar: dxx 13

Solución: 13xu dxdu 3 3

dudx

313

duudxx Integrar en términos de u.

cucu

duu 2

32

3

2

1

9

2

2

33

1

3

1

cx 2

3

)13(9

2 Resultado en términos de x.

25

EJEMPLO 2:

Encontrar: dxxx 13

Solución: 13xu dxdu 3 3

dudx

3

1ux

33

113 2

1du

uu

dxxx Integrar en términos de u.

cuucuu

duuu 2

3

2

52

3

2

5

2

1

2

3

27

2

45

2

2

3

2

59

1

9

1

cxx 2

3

2

5

)13(27

2)13(

45

2 Resultado en términos de x.

EJEMPLO 3:

Encontrar: xdxxsen 2cos)2( 2

Solución: xsenu 2 xdxdu 2cos2 xdxdu

2cos2

22cos)2( 22 du

uxdxxsen Integrar en términos de u.

cucu

duu 33

2

6

1

32

1

2

1

cxsen 3)2(6

1 Resultado en términos de x.

26

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”

Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral.

Integral en términos de x U du

1. xdxx 8)24( 22

2. dxxx 23

3. dxx

x

22

4. dxxx )6()42( 243

5. 4)35( x

dx

EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable.

Ejercicios Soluciones

dxx23 cx3

233

1

x

dx

21

cx21

dxxx 232

cx32 23

9

1

32 2x

xdx

cx 32ln4

1 2

13

2

x

dtx

cx 13

2 3

27

dxx )4(414

cx5

415

1

dxxx )2(3 2

cx 2

3

2)3(3

2

dtt4

1

ct42

1

32 )2( x

xdx

cx 22 )2(4

1

dxtt 12

cttt

7531

7

21

5

41

3

2

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”

Número u Du

1 24 2x xdx8

2 23x dxx23

3 22x xdx2

4 42 3x dxx26

5 35x dx5

28

1.4 Integración por fracciones parciales.

Función Raciona

Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el

denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes

enteros y positivos.

Es una función racional, donde P y Q son polinomios.

Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción

racional propia; en caso contrario es impropia.

Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de

fracciones simples.

EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales

Dividiendo entre x+3, entonces:

Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los

siguientes puntos:

a) Factorización

b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales

c) Solución de integrales inmediatas.

29

Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las

fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y

cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos.

CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.

Factorizando denominador:

La descomposición por fracciones parciales seria:

Simplificando la fracción:

A=1

30

Sustituyendo:

Simplificando

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Por división sintética:

31

Eliminando A de (1) y (2):

………(4)

Eliminando A de (1) Y (3)

Formando un sistema con (4) y (5)

CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos

Resolver:

2x2 x

x4 3x3 4x2 3x 1dx

32

Resolviendo el denominador por división sintética

x 3 2x 2 2x 1

x2 x 1 x 12

A

x 12

B

x 1

Cx D

x 2 x 1

A x 2 x 1 B x 1 x 2 x 1 Cx D x 12

x 12x 2 x 1

=

Ax 2 Ax A Bx 3 2Bx 2 2Bx B Cx 3 2Cx 2 Cx Dx 2 2Dx D

x 12x2 x 1

=

x3 B C x2 A 2B 2C D x A 2B C 2D A B D

x 12x2 x 1

Formando un sistema de ecuaciones:

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES

ELIMINANDO B DE (1) Y (2)

(-2)

1 3 4 3 1 -1

1 -1 -2 -2 -1

1 2 2 1 0

1 2 2 1 -1

1 -1 -1 -1

1 1 1 0

B +C =0 (1) A +2B +2C +D =2 (2) A +2B +C +2D =1 (3) A +B +D =0 (4)

B +C =0 (1) A +2B +2C +D =2 (2)

-2B -2C =0 (1) A +2B +2C +D =2 (2)

A +D =2 (5)

33

Eliminando B de (1) y (3)

(-2)

ELIMINANDO B DE (1) Y (4)

(-1)

ELIMINANDO C DE (6) Y (7)

(-1)

B +C =0 (1) A +2B +C +2D =1 (3)

-2B -2C

=0 (1)

A +2B +C +2D =1 (3)

A -C +2D =1 (6)

B +C =0 (1) A +B +D =0 (4)

-B -C =0 (1) A +B +D =0 (4)

A -C +D =0 (7)

A -C +2D =1 (6) A -C +D =0 (7)

A -C +2D =1 (6) -A +C -D =0 (7)

D =1

34

DESPEJANDO A DE (5)

A=2-D A=2-1 A=1

Despejando C de (6)

C=A+2D-1 C= (1)+2(1)-1 C=2

Despejando B de (1)

B=-C B=-(2) B=-2

Sustituyendo incógnitas en integral:

1

x 12

2

x 1

2x 1

x 2 x 1dx =

1

x 12dx 2

1

x 1dx

2x 1

x2 x 1dx =

u x 1 u x 2 x 1

du dx du 2x 1 dx

= u 2du 2ln x 1 ln x 2 x 1

=1

x 12ln x 1 ln x2 x 1 c

CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada

factor de la forma ax 2 bx cn

que resulte de la factorización de Q(x), le

corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax B

ax 2 bx cn

Cx D

ax 2 bx cn 1

.........Lx M

ax 2 bx c

35

Ejemplo:

2x3 x 3

x 2 2x 2 1dx=

factorizando el denominador:

x2 2x2 1 x2 12

x2 1 x2 1

como los factores cuadráticos se repiten:

2x 3 x 3

x 2 12

Ax B

x 2 12

Cx D

x 2 1

2x 3 x 3

x 2 12

Ax B Cx D x 2 1

x 2 12

Ax B Cx 3 Cx Dx 2 D

x 2 12

Formando un sistema de ecuaciones:

DESPEJANDO A DE (3)

A=1-C A=1-2 A=-1

DESPEJANDO B DE (4)

B=3-D B=3-0 B=3

La integral a resolver es:

x 3

x 2 12

2x

x 2 1dx=

x 3

x 2 12dx

2x

x 2 1dx

C =2 (1) D =0 (2) A +C =1 (3) B +D =3 (4)

36

u x 2 1

du 2xdx

3

2u 2du ln x 2 1

3

2

1

uln x 2 1 c=

=3

2 x 2 1ln x 2 1 c

1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por

fracciones parciales

1.- x2

x2 x 6dx Solución:

9

5ln x 3

4

5ln x 2 c

2.- 2x 2 3x 2

x 3 4x 2 6x 4dx Solución: 2ln x 2

1

2tan 1 x 1 c

3.- x 2

2x 2 2x 1dx

1

0

Solución: 1

2

4.- 4x 2 5x 20

x 3 3x 2 10xdx Solución: 2ln x 3ln x 5 1ln x 2 cau

37

UNIDAD II. LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO CURVA

2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.

Notación sigma

En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el

problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas

dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan

de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por

lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la

letra griega mayúscula sigma.∑.

Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de

suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar

cualquier valor menor o igual al límite superior.

Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.

Notación sigma La suma de n términos a₁, a₂, aᴣ,……an se escribe en notación matemática como

Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1

38

d)

e)

f)

En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en

forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se

realiza.

Por ejemplo en la siguiente suma: , el termino inicial es i =1

y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es

mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la

sumatoria es:

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las

propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades

distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una

constante).

39

Teorema suma:

El problema del área.

Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que

proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede

definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede

demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en

triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego

Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".

Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del

agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a

ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió

de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso

del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue

empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.

Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de

regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región

limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:

El área de una región plana es un número (real) no negativo.

Regiones congruentes tienen áreas iguales.

El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de

las áreas de las dos regiones.

Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el

área de la segunda.

40

Aproximación del área de una región plana.

¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si

conocemos la expresión analítica de la función que la limita?

El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de , desde x = 0 a x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región

se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura

del segundo rectángulo es . El ancho de cada rectángulo es 1.5

El área total de los dos rectángulos es:

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una

mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una

unidad de ancho.

41

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los

casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.

El área total de los tres rectángulos es:

Área 8,0644 unidades cuadradas.

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que

el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con

anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

rectángulo x F(x) Ancho de base Área

1 0 3 0.5 1.5

2 0.5

0.5 1.4790

3 1

0.5 1.4142

4 1.5

0.5 1.2990

42

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla

para resolver este problema...?

Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez

más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la

región.

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece

indefinidamente, lo que puede escribirse:

Área = (suma de las áreas de los n rectángulo)

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión

intuitiva del Cálculo Integral.

Ejercicios de evaluación:

A. Desarrolla las siguientes sumas.

1. 6.-

2. 7.

3. = 8.

4. = 9.

5. = 10.

5 2.0

0.5 1.1180

6 2.5

0.5 0.8291

Área total 7.6395 U²

43

B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.2 Suma de Riemann.

Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre

mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de

sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e

inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en

cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el

contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo

de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos

de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es

necesario tener sub-intervalos de igual ancho.

Ejemplo Una partición con anchos desiguales.

Considere la región acotada por la grafica de , como se

muestra en la figura, encontrar el límite.

44

Donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por y

.

Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:

De tal modo el límite es:

C. en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito

correspondiente.

21. f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3

22. f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4

23. f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6

24. f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8

Definición de la suma de Riemann.

Sea f definida en el intervalo cerrado , y sea una partición de dada por

Donde es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo

sub-intervalo entonces la suma.

Se denomino suma de Riemann de f para la partición .

45

2.3 Integral definida.

Sea f una función continua definida para a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos

de igual ancho . Sean x0 a y xn b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada

sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-

ésimo sub-intervalo [xi 1, xi] con i 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número

.La integral definida es un número que no depende de

x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se

aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x)

tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en

este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama

suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía

además sub-intervalos de distinta longitud.

Propiedades de la integral definida:

1. El valor de la integral def in ida cambia de signo s i se permutan los l ímites

de integración.

2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral def in ida vale cero.

Signo de

integración

Límite superior de integración

Límite inferior de integración

x, la variable a integrar

46

3. Si c es un punto inter ior del intervalo [a, b] , la integral def in ida se

descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos

[a, c] y [c, b] .

4. La integral def in ida de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la integral de la función.

Integral

Sea f( t ) una función cont inua en el intervalo [a, b] . A part i r de esta función se

def ine la función integral :

Depende del l ímite superior de integración .

Para evi tar confusiones cuando se hace referencia a la var iable de f , se la l lama

t , pero si la referencia es a la var iable de F, se la l lama x.

Geométr icamente la función integral , F(x), representa el área l imitada por la

curva y = f ( t ) , e l e je de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral , F(x), también se le l lama función de áreas de f en el

intervalo [a, b] .

47

La regla de Barrow dice que la integral def in ida de una función cont inua f(x) en

un intervalo cerrado [a, b] es igual a la di ferencia entre los valores que toma

una función pr imit iva G(x) de f(x) , en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos:

Calcular las s iguientes integrales def inidas apl icando la regla de Barrow.

1.

2. =

3 .

E l teorema fundamenta l de l cálculo d ice que la der ivada de la func ión in tegra l de la

func ión cont inua f (x) es la propia f (x) .

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la integración

son operaciones inversas. Al integrar una función cont inua y luego der ivar la se

recupera la función or iginal .

48

Problemas propuestos:

1

2 =

3

. Evalúa las siguientes integrales.

25. 37).

26. 38).

27. 39).

28. 40). =

29. 41).

30. 42)

31. 43

32. 44)

33. 45)

34. 46)

35. 47)

36. 48)

49

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es cont inua en un intervalo cerrado [a, b] , existe un punto c en el inter ior del intervalo tal que:

Ejemplo:

Hal lar e l valor de c, del teorema de la media , de la función f(x) = 3x 2 en el

intervalo [−4, −1]. Como la función es cont inua en el intervalo [−4, −1], se puede

apl icar el teorema de la media .

63= f (c)=21 3 =21 c=

La solución posi t iva no es vál ida porque no pertenec e al intervalo Área entre

una función y el eje de abscisa.

50

La función es posit iva

Si la función es posi t iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función

está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hal lar el área seguiremos los s iguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x)=0 y resolv iendo la

ecuación.

2º El área es igual a la integral def in ida de la función que t iene como l ímites de

integración los puntos de corte.

Ejemplo:

1. Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 9 − x 2 y el e je X . En

pr imer lugar hal lamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva

y conocer los l ímites de integración .

Como la parábola es simétr ica respecto al eje Y, el área será igual al doble del

área comprendida entre x = 0 y x = 3.

51

2. Calcular el área l imitada por la curva , y el e je X las rectas= 6, x=12

3. Calcular el área del t r iángulo de vért ices A(3, 0), B(6, 3),C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

= =

=

52

2. Cuando la función es negativa

Si la función es negat iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función

está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Ejemplo

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje X.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.

53

4. Cuando la función toma valores positivos y negativos

En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de

la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos:

1) Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas

correspondientes a x = 0 y x = 4.

54

2.4 Teorema fundamental del cálculo.

Definimos la siguiente función: S(x) = x

a

dx)x(f y por lo tanto S(x+ x) = xx

a

dx)x(f

S = S(x+ x)-S(x)= xx

a

dx)x(f -x

a

dx)x(f = x)c(fdx)x(f

xx

x

)c(fx

S )c(flim

x

slim

0x0x S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x

tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x).

2.5 Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas.

El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada

por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y

(1, 4).

55

2) Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 en los puntos de corte de la parábola y la

recta y = x.

De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola

Y=2x+2 y=x²+2

56

Evalúa las siguientes áreas bajo la curva.

1) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = 2 y x = 8.

2) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje 0X.

3) Calcular el área del triangulo de vértices A ( 3 , 0 ), B ( 6 ,3 ), C ( 8 ,0 ).

4) Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x².

5) Calcular el área limitada por la curva xy=36 en el eje X y las rectas x=6, x=12.

6) Calcular el área limitada por la curva y = 2(1- x²) y la recta y = -1.

7) Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los

puntos (-1, 0) y (1, 4).

8) Hal lar el área l imitada por la recta , e l e je de abscisas y las

ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9) Calcular el área l imitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el e je de abscisas.

10) Hal lar el área de la región del plano l imitada por las curvas y = ln x, y = 2 y

los ejes coordenados.

11) Calcular el área de la región del plano l imitada por el círculo x 2 + y2 = 9.

12) Hal lar el área de una el i pse de semiejes a y b.

13) Calcular el área de la región del plano l imitada por la curva: f (x) = |x 2 − 4x

+ 3| y el eje OX.

14) Hal lar el área de la f igura l imitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2

15) Hal lar el área del recinto plano y l imitado por la parábola y = 4x − x2 y las

tangentes a la curva en los puntos de intersección con el e je OX

57

UNIDAD III. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

3.1 Cálculo de volúmenes.

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y l imi tado por x = a y x = b, v iene dado por:

Ejemplos

1. Hal lar el volumen engendrado por las superf ic ies l imitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al e je OX:

y = sen x = 0x = π

2. Calcular el volumen del c i l indro engendrado por el rectángulo l imitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

3. Calcular el volumen de la esfera de radio r .

Part imos de la ecuación de la c i rcunferencia x² + y² = r² .

Girando un semicírculo en torno al e je de abscisas se obt iene una

esfera.

58

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área l i mitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, al rededor del eje OY.

Como gira alrededor del eje OY, apl icamos:

El volumen será la di ferencia del engendrado por la rec ta y el

engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétr ica con respecto al eje OX, el volumen es igual

a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5. Hal lar el volumen del el ipsoide engendrado por la el ipse 16x 2 + 25y2 = 400, al g i rar :

59

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

Como la el ipse es simétr ica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de el ipse del pr imer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al girar a lrededor del eje OX el recinto l imitado por las gráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

60

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

Evalúa los siguientes volúmenes.

1) Hal lar el volumen del t ronco de cono engendrado por la rotación alrededor

OX del área l imitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

2) Calcular el volumen que engendra un tr iángulo de vért ices A(3, 0), B(6, 3),

C(8, 0) a l g i rar 360° alrededor del eje OX.

3) Hal lar el volumen del t ronco de cono engendrado por el t rapecio que l imita

el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a

x = 4 y x = 10, al g i rar a lrededor de OX.

4) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la s inusoide y = sen

x, al g i rar alrededor del eje OX.

5) Calcular el volumen engendrado al girar a lrededor del eje OX el recinto

l imi tado por las gráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2.

6) Hal lar e l volumen del cuerpo revolución engendrado al girar a lrededor del

eje OX, la región determinada por la función f (x) = 1/2 + cos x, el e je de

abscisas y las rectas x = 0 y x = π.

7) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el

recinto l imitado por las gráf icas de y = 6x − x 2 , y = x.

61

8) Hal lar e l volumen engendrado por el círculo x 2 + y2 − 4x = −3 al gira r

a l rededor del eje OX.

9) Hal lar e l volumen de la f igura engendrada al girar la el ipse

alrededor del eje OX.

3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría.

1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² +2 que sea paralela a la

recta 8x – y +3 = 0

Solución:

y = 2x² +2

sea : m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 4x (1)

8x – y +3 =0 , y = 8X +3 (2) Si m1 = 8 (3)

Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí,

tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1)

y (3) se obtiene:

4x =8 , x = 2 (4)

2) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva , que sea perpendicular a

la recta x - y =0

Solución:

Sea

62

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = -2/3 x (1)

x – y = 0, y = x (2) Si m1 es la pendiente de la recta definida por (2) entonces m1 = 1 (3)

Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es

(m)(m1) = -1 m = -1/m1 (4)

sustituyendo (3) en (4), se obtiene m = -1/1, m = -1 (5) Igualando (5) en (1), se obtiene

Para obtener la ordenada del punto de tangencia , sustituimos (6) en ecuación original, se tiene:

(7)

63

De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:

Por lo tanto , es la ecuación buscada.

3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva , en el punto (2,4)

Solución: Y = x³ -4 (0)

Sea m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 3x² (1) m(2) = 3(2)² = 3x4 =12 (2) el punto de tangencia P, coordenadas es P(2,4) (3) de (2) y (3) y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene; y= 12 ( x – 2 ) - 4 , y = 12x – 28 por lo tanto 12x –y -28 =0 es la ecuación buscada.

grafica de ecuación

64

4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5).

Solución:

Y = 10 / (14 - x²) = (0)

Sea

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces:

m = y' = = (1)

= 20 (2)

Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor

numérico de 20.

Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es:

(3) El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5) (4) De (3) y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:

Por lo tanto x + 20y + 96 =0 ecuación buscada

65

5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x,

paralelas a la recta x +8y -8 =0

66

3.3 Aplicación del cálculo integral en la física.

67

68

3.4 Aplicaciones a la economía.

69

70

71

BIBLIOGRAFÍA

Calculo diferencial e integral

Pearson (Pretice Hall)

Purcell, Varberg, Rigdon

Novena edición

Calculo diferencial e integral

Mc Graw Hill

Larson-Hostetler- Eduards

Séptima edición

Cálculo trascendente temprano

Internacional Thomson Editores

Steward, James

Quinta edición

http://www.vitutor.com/index.html

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-

definida/html/integracion.pdf