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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Trigonometría
Curso de Extensión
PARTE D SESIONES 14 - 16
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
CURSO DE EXTENSIÓN
TRIGONOMETRÍA
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
FACILITADORES
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 8
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 9 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 20
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Trigonometría
Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache
Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”
Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77
Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:
Datos de Identificación Profesores del área:
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2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”
Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88
Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”
Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158
Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”
Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205
Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221
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3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………
Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”
Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………
Tema 7 “Resolución de triángulos”
Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………
Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………
Respuestas a las Autoevaluaciones.
Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14
Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46
Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80
Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………
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4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………
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5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Introducción
Este curso está orientado hacia la capacitación del
estudiante para el uso de herramientas básicas de
trigonometría. Esta área, como parte de las
matemáticas trata del cálculo de los elementos de los
triángulos planos y esféricos, siendo las funciones
trigonométricas parte fundamental del análisis y del
cálculo desempeñando un importante papel tanto en las
matemáticas puras, como en las aplicadas.
Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los
estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de
trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones
prácticas en su quehacer profesional.
El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones
Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades
Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes
de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de
Los Andes.
Objetivos
Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas de trigonometría.
Objetivos específicos
* Tema 1: Preliminares geométricos
Formular los conceptos básicos de la trigonometría.
* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo
rectángulo.
* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo
Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos
suplementarios
Resolver problemas aplicados.
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6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos
Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de
problemas.
* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
* Tema 7: Resolución de triángulos
Resolver problemas de triángulos.
Estrategias
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá:
1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio.
2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,
M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
CURSO:
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada
tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.
Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser
analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse
en un tiempo determinado.
Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se
lograrán durante la interacción con cada sesión.
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben
seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje
de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los
contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes
(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos
y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te
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7 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada
sesión.
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el
autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario
empleado.
Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de
finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te
sientas preparado para presentar la evaluación final.
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
• Leer pausadamente cada sesión de clase
• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada unidad
• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases
• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
• Es importante consultar a través del correo electrónico
[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.
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208 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Sesión 14
Objetivos específicos
* Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de problemas.
Actividades
* Leer apuntes sesión 14. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 14. * Realizar la autoevaluación de la sesión 14.
Recursos
* Apuntes sesión 14. * Ejercicios resueltos sesión 14.
Introducción
En este capítulo se mostrarán las fórmulas en las que aparecen las
funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos
de la forma α+β y α−β, y se aplicarán las relaciones y
operaciones con ángulos resultantes a la solución de problemas.
Con el objeto de lograr una mayor precisión se introduce el
concepto de submúltiplos de ángulos en la escala sexagesimal, el
cual se trató en el Capítulo I, y en este Capítulo se tratará a manera
de repaso. El capítulo finalizará con el estudio de identidades
trigonométricas.
1. Submúltiplo de un ángulo en la escala sexagesimal
En el Capítulo I se expresó la medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal en grados (º), minutos (‘) y segundos (‘’). En este
capítulo hablaremos de submúltiplos al dividir los grados
sexagesimales en minutos y segundos.
Definición 5.2.1. Un minuto se define como la sesentava parte (1/60)
de un grado sexagesimal; y un segundo como la sesentava parte
de un minuto.
Recuerde que un minuto lo denotamos por ‘y los segundos por ‘’.
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209 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
La división de los grados en minutos y los minutos en segundos nos
permite introducir una mayor precisión en la medida de ángulos, ya
que es posible trabajar con medidas entre dos ángulos consecutivos
(en escala decimal) y expresarlo en el sistema sexagesimal.
De la definición 5.2.1 se deduce que un grado contiene 60 minutos y
un minuto contiene 60 segundos; por tanto un grado contiene 3600
segundos.
Para sumar ángulos expresados en grados, minutos y segundos se
siguen los siguientes pasos:
Se suman los segundos, llamemos s el resultado de esta suma.
Si el resultado s de la suma de los segundos es igual o mayor a
60’’ se efectúa la diferencia s-60 y el resultado será la
cantidad de segundos en la suma; de esta forma se incrementa
el número de minutos en una unidad.
Si la suma s es menor de 60’’, esta queda igual.
Se suman los minutos, llamemos m la cantidad total de minutos
ya incrementados con la regla anterior.
Si m es menor que 60º esta permanece invariante y se coloca en
la suma.
Si m es mayor a 60º se efectúa la resta m-60 y se incrementa en
una unidad los grados totales.
Se suman los grados obteniéndose una suma total g ya
incrementada por la regla c).
Ejemplo 14.1
Efectuar la suma de los siguientes ángulos expresados en grados
minutos y segundos: 35º 40’ 54’’ + 33º 37’ 50’’
Solución:
Siguiendo los pasos señalados anteriormente se obtiene,
35º 40’ 54’’
33º 37’ 50’’ +
69º 18’ 44’’
Donde s = 54’’ + 50’’ = 104’’ mayor que 60’’; luego se incrementa
en una unidad a los minutos y se efectúa la diferencia s-60’ = 104’’ -
60’’ = 44’’ que son los segundos restantes en la suma.
Luego, t = 40’ + 37´ + 1’ = 78’, que es mayor de 60’; luego, se
incrementará en una unidad a los grados totales y se efectúa la
diferencia t-60’ = 78’- 60’ = 18’ que son los minutos restantes en la
suma.
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210 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Los grados totales serán g = 35º + 33º + 1º = 69º
Para la resta o diferencia de ángulos expresados en grados, minutos
y segundos se procede de forma análoga al caso anterior pero
ahora restando y siguiendo los siguientes pasos:
a. Se restan los segundos: si los segundos del minuendo es menor
que los segundos del sustraendo se resta un minuto al
sustraendo (que son 60’’) y procedemos a restar; en caso
contrario la resta de los segundos se hace de forma habitual.
b. Se restan los minutos: si los minutos del minuendo, ya
disminuidos en una unidad si es necesario para restar los
segundos en a), es menor que los minutos del sustraendo, se
resta un grado al minuendo (que son 60’) y se procede a la
diferencia. En caso contrario la resta de los minutos se hace de
forma normal.
c. Se restan los grados: teniendo en cuenta de disminuir en una
unidad los grados del minuendo si fue necesario para restar los
minutos en b).
Ejemplo 14.2
Efectuar la diferencia de los siguientes ángulos expresados en
grados, minutos y segundos: 50º 5’ 15’’ – 28º 13’ 18’’
Solución:
Siguiendo los pasos señalados para la diferencia de ángulos se
tiene que,
50º 5’ 15’’ -
28º 13’ 18’’
21º 51’ 57’’
Se restan los segundos: pero los segundos del minuendo (15’’) es
menor que los minutos del sustraendo (18’’), luego, quitamos un
minuto del sustraendo (que son 60’’) y lo sumamos a los 15’’ que
ya tenemos, para proceder a la resta,
75’’ – 18’’ = 57’’
Se restan los minutos: pero los minutos del minuendo se ven
disminuidos en una unidad ya que se pasaron a segundos, lo
que significa que tenemos solo 4’. Ahora, observamos que los
minutos nuevos del minuendo (4’) es menor que los minutos del
sustraendo (que son 13’), luego quitamos un grado del
minuendo (que son 60’) y lo sumamos a los 4’ que ya tenemos,
lo que hace un total de 64’, y efectuamos la diferencia,
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211 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
64’ – 13’ = 51’
Se restan los grados: teniendo en cuenta que los grados del
minuendo deben disminuir en una unidad, ya que fueron
anexados a los minutos; en este caso se efectúa la diferencia,
49º - 28º = 21º
Observaciones: Al sumar dos ángulos puede suceder que el
resultado se superior a 360º, lo cual ya sabemos expresarlos en
vueltas, grados minutos y segundos, ya visto en el Capítulo I.
De igual manera al restar dos ángulos el resultado puede ser un
valor negativo, lo que se interpretará como un sentido de giro
horario ya estudiado en el Capítulo I.
2. Funciones trigonométricas de la suma de ángulos
Las primeras identidades ó igualdades trigonométricas que se
discutirán serán las que se refieren a la suma de dos ángulos y que
se expresan en los siguientes teoremas:
Teorema 5.3.1.
βαβαβα sensensen coscos)( +=+ (5.3.1)
Teorema 5.3.2.
βαβαβα sensen−=+ coscos)cos( (5.3.2)
Teorema 5.3.3.
βαβαβα
tagtagtagtagtag
−+
=+1
)( (5.3.3)
Ejemplo 14.3 Calcular el valor exacto de sen75º
Solución:
Notemos que 75º = 30º +45º, por lo tanto tomemos α = 30º y β = 45º.
Luego:
sen(75º) = sen(30º + 45º) = sen30ºcos45º + cos30ºsen45º
=22
23
22
21
+
=4
62 +
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212 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Ejemplo 14.4
Utilice los ángulos π/3 y π/4 para determinar cos (127π
)
Solución:
Si tomamos en cuenta que 4312
7 πππ+= y empleamos la fórmula
para cos (α+β), dada en el teorema 5.3.2, α = π/3 y β= π/4
obtenemos:
Cos (7π/12) = cos(π/3+π/4) = cos(π/3)cos(π/4) – sen(π/3)sen(π/4)
= 22
23
22
21
−
= 4
62 −
Ejemplo 14.5
Dados senα =54
y cosβ = -1312
− , donde α y β están en los
cuadrantes I y II respectivamente, obtener el valor exacto de
sen (α+β) y tan(α+β), y determinar el cuadrante donde se localiza
α+β.
Solución:
Es conveniente representar α y β geométricamente como se ilustra
en la figura 5.3.1.
Como sen α =54
puede tomarse el punto P (3,4) sobre la recta que
determina a α. De forma análoga, como cos β = -1312
− puede
tomarse el punto (-12,5) que está sobre la recta que determina a β.
Esto se puede hacer recordando que:
Sen α =hipotenusaladeLongitud
OpuestoCatetodelLongitud y
Cos β =hipotenusaladeLongitud
AdyacenteCatetodelLongitud
Funciones trigonométricas definidas en el Capítulo II para un
triángulo rectángulo. Esto nos permite construir los triángulos OAP y
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213 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
OBQ que se muestran en la figura 14.1., con los ángulos α y β
correspondientes.
Observación: La longitud del cateto faltante en cada triángulo se
conoce aplicando el Teorema de Pitágoras.
Figura 14.1. Triángulos Si nos referimos a los triángulos rectángulos OAP y OBQ de la figura, y
empleando nuevamente las definiciones de las funciones
trigonométricas que faltan, obtenemos:
Cos α =53
==OPOA
hipotenusaladeLongitudAdyacenteCatetodelLongitud
Tag α =34
==OAAP
adyacentecatetodelLongitudopuestocatetodelLongitud
Para determinar las funciones trigonométricas con el ángulo β,
podemos trabajar con el ángulo β definido en la figura y las
identidades dadas en la sección 5.3, como se señala a
continuación:
y
Q(-12,5)
P(3,4) 4 13
senβ = 135cos
2coscos
2)
2( ==+=+ γγ
πγ
πγ
π sensensen
tagβ = 125
1312
135cos
)2
cos(
)2
()
2( −=−=−=
+
+=+
γγ
γπ
γπ
γπ
sen
sentag
Utilizando las ecuaciones 5.3.1 y 5.3.3 para la suma de ángulos
tenemos:
βαβαβα sensensen coscos)( +=+
α
β
5 5 4
3 O -12 B A x
γ
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214 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
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= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
135
53
1312
54
=6515
6548
+−
=6533
−
Y
βαβαβα
tagtagtagtagtag
−+
=+1
)(
=
36201
125
34
125
341
125
34
+
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
362036
361548
+
−
=5633
36563633
=
Como )( βα +sen es negativo y tag )( βα + es positivo )( βα +
está en el III cuadrante.
Note que para el cálculo de tag⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + γπ
2 no se utilizó la ecuación
5.3.3, pues tag( /2) no está definida.
Otras funciones trigonométricas que surgen de las enunciadas
anteriormente son:
βαβαβαβα
βαβα
cotagcotag1cotagcotag
1)(
1)(cotag
+−
=
+−
=+
=+tagtagtagtag
tag (5.3.4)
)cos(1)sec(
βαβα
+=+ (5.3.5)
)(1)(cosec
βαβα
+=+
sen (5.3.6)
215 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Ejemplo 14.6
Conociendo las funciones trigonométricas de 45º y 60º, calcule las
funciones trigonométricas de 105º
Solución:
De acuerdo a las ecuaciones 5.3.1 a 5.3.6 tenemos:
a) sen(105º) = sen(45º+60º)
= sen(45º) cos(60º) + cos(45º) sen(60º)
= 23
22
21
22
+
= 46
42
+
= 4
62 +
b) cos(105º) = cos(45º+60º)
= cos(45º) cos(60º) - sen(45º) sen(60º)
= 23
22
21
22
−
= 46
42
−
= 4
62 −
c) tag(105º) = tag(45º+60º)
= )º60()º45(1)º60()º45(
tagtagtagtag
−+
=)3()1(1
31−
+
= 3131
−
+
=
322
32431
33313131.
3131
−−=−
+=
−+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+
d) cotag(105º) = 3131
3131
1)º105(
1+
−=
−
+=
tag
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216 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
e) sec(105º) = 62
4
462
1)º105cos(
1−
=−
=
f) cosec(105º)= 62
4
462
1)º105(
1+
=+
=sen
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217 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Sesión 14: Ejercicios propuestos
1. Utilizando las funciones trigonométricas de (+3) determine el
Seno. Coseno y tangente de los ángulos 2π/3, 5π/3, 105º y
135º.
2. Dado Sen = 3/5 Cos a el III cuadrante y Tag β=4/3con β al 1er
cuadrante
3. Determine el Seno, Coseno y tangente de + β. Indicar el
cuadrante donde se encuentra el ángulo de + β.
4. Determine la Cotangente, Secante y Cosecante de + β
sabiendo que:
a) Sen = 3 y Sen β= 2√13
5 13
b) Cos = 4√14 y Cos Β= 5√61
41 61
c) Tag = 1 y Cotag β= 1 2 4
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218 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Sesión 14
Autoevaluación 14 Pregunta Nº 1 La mayoría de los ángulos positivos en grados, minutos y segundos
son= 30º 50’ 45’’ y β= 40º 38’ 57’’.
La suma (+β) es igual a: a. 70º 89’ 02’’ b. 71º 29’ 02’’ c. 71º 29º 42’’ d. 70º 29’ 02’’ Pregunta Nº 2
Si Cos = _ 4/5 con en el III cuadrante y Tag Β= 4/3 con β en el 1er
cuadrante, al
Calcular Sen (+β) el resultado es:
a. 0 b. -1 c. 1 d. 2
Pregunta Nº 3
Al expresar Cos (+β+π) en términos de funciones trigonométricas
de y β se obtiene:
a. Sen β Cos - Sen Cos β b. Cos Cos β - Sen Sen β c. Sen Cos β - Sen β Cos d. Sen Sen β - Cos Cos β Pregunta Nº 4 Si = 90º y β= 45º. TAG ( + β) es igual a:
a. 0 b. -1 c. 1 d. no existe
Pregunta Nº 5
Si Tag = 1/3 y Cotag β 1/5, Con y β a el 1er Cuadrante al
calcular Sec ( + β)
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219 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Se obtiene:
a. -√65 b. 1/√65 c. √65 d. -2√65
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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220 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 14
Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Sesión 14
Respuestas a la Autoevaluación 14
Pregunta Nº 1
b. 71º 29’ 42’’
Pregunta Nº 2 c. -1 Pregunta Nº 3
d. Sen Sen β - Cos Cos β Pregunta Nº 4
c. - 1 Pregunta Nº 5
a. -√65
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221 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Sesión 15
Objetivos específicos
* Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de problemas.
Actividades
* Leer apuntes sesión 15. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 15. * Realizar la autoevaluación de la sesión 15.
Recursos
* Apuntes sesión 15. * Ejercicios resueltos sesión 15.
Introducción
En este capítulo se mostrarán las fórmulas en las que aparecen las
funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos
de la forma α+β y α−β, y se aplicarán las relaciones y
operaciones con ángulos resultantes a la solución de problemas.
Con el objeto de lograr una mayor precisión se introduce el
concepto de submúltiplos de ángulos en la escala sexagesimal, el
cual se trató en el Capítulo I, y en este Capítulo se tratará a manera
de repaso. El capítulo finalizará con el estudio de identidades
trigonométricas.
1. Submúltiplo de un ángulo en la escala sexagesimal
En el Capítulo I se expresó la medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal en grados (º), minutos (‘) y segundos (‘’). En este
capítulo hablaremos de submúltiplos al dividir los grados
sexagesimales en minutos y segundos.
Definición 5.2.1. Un minuto se define como la sesentava parte (1/60)
de un grado sexagesimal; y un segundo como la sesentava parte
de un minuto.
Recuerde que un minuto lo denotamos por ‘ y los segundos por ‘’.
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222 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
La división de los grados en minutos y los minutos en segundos nos
permite introducir una mayor precisión en la medida de ángulos, ya
que es posible trabajar con medidas entre dos ángulos consecutivos
(en escala decimal) y expresarlo en el sistema sexagesimal.
De la definición 5.2.1 se deduce que un grado contiene 60 minutos y
un minuto contiene 60 segundos; por tanto un grado contiene 3600
segundos.
Para sumar ángulos expresados en grados, minutos y segundos se
siguen los siguientes pasos:
Se suman los segundos, llamemos s el resultado de esta
suma.
Si el resultado s de la suma de los segundo.
os es igual o mayor a 60’’ se efectúa la diferencia s-60 y el
resultado será la cantidad de segundos en la suma; de esta
forma se incrementa el número de minutos en una unidad.
Si la suma s es menor de 60’’, esta queda igual.
Se suman los minutos, llamemos m la cantidad total de
minutos ya incrementados con la regla anterior.
Si m es menor que 60º esta permanece invariante y se
coloca en la suma.
Si m es mayor a 60º se efectúa la resta m-60 y se incrementa
en una unidad los grados totales.
Se suman los grados obteniéndose una suma total g ya
incrementada por la regla c).
Ejemplo 15.1
Efectuar la suma de los siguientes ángulos expresados en grados
minutos y segundos: 35º 40’ 54’’ + 33º 37’ 50’’
Solución:
Siguiendo los pasos señalados anteriormente se obtiene,
35º 40’ 54’’
33º 37’ 50’’ +
69º 18’ 44’’
Donde s = 54’’ + 50’’ = 104’’ mayor que 60’’; luego se incrementa
en una unidad a los minutos y se efectúa la diferencia s-60’ = 104’’ -
60’’ = 44’’ que son los segundos restantes en la suma.
Luego, t = 40’ + 37´ + 1’ = 78’, que es mayor de 60’; luego, se
incrementará en una unidad a los grados totales y se efectúa la
diferencia t-60’ = 78’- 60’ = 18’ que son los minutos restantes en la
suma.
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223 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
Los grados totales serán g = 35º + 33º + 1º = 69º
Para la resta o diferencia de ángulos expresados en grados, minutos
y segundos se procede de forma análoga al caso anterior pero
ahora restando y siguiendo los siguientes pasos:
a. Se restan los segundos: si los segundos del minuendo es menor
que los segundos del sustraendo se resta un minuto al
sustraendo (que son 60’’) y procedemos a restar; en caso
contrario la resta de los segundos se hace de forma habitual.
b. Se restan los minutos: si los minutos del minuendo, ya
disminuidos en una unidad si es necesario para restar los
segundos en a), es menor que los minutos del sustraendo, se
resta un grado al minuendo (que son 60’) y se procede a la
diferencia. En caso contrario la resta de los minutos se hace de
forma normal.
c. Se restan los grados: teniendo en cuenta de disminuir en una
unidad los grados del minuendo si fue necesario para restar los
minutos en b).
Ejemplo 15.2
Efectuar la diferencia de los siguientes ángulos expresados en
grados, minutos y segundos: 50º 5’ 15’’ – 28º 13’ 18’’
Solución:
Siguiendo los pasos señalados para la diferencia de ángulos se
tiene que,
50º 5’ 15’’ -
28º 13’ 18’’
21º 51’ 57’’
Se restan los segundos: pero los segundos del minuendo
(15’’) es menor que los minutos del sustraendo (18’’), luego,
quitamos un minuto del sustraendo (que son 60’’) y lo
sumamos a los 15’’ que ya tenemos, para proceder a la
resta,
75’’ – 18’’ = 57’’
Se restan los minutos: pero los minutos del minuendo se ven
disminuidos en una unidad ya que se pasaron a segundos,
lo que significa que tenemos solo 4’. Ahora, observamos que
los minutos nuevos del minuendo (4’) es menor que los
minutos del sustraendo (que son 13’), luego quitamos un
grado del minuendo (que son 60’) y lo sumamos a los 4’ que
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224 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
ya tenemos, lo que hace un total de 64’, y efectuamos la
diferencia,
64’ – 13’ = 51’
Se restan los grados: teniendo en cuenta que los grados del
minuendo deben disminuir en una unidad, ya que fueron
anexados a los minutos; en este caso se efectúa la
diferencia,
49º - 28º = 21º
Observaciones: Al sumar dos ángulos puede suceder que el
resultado se superior a 360º, lo cual ya sabemos expresarlos en
vueltas, grados minutos y segundos, ya visto en el Capítulo I.
De igual manera al restar dos ángulos el resultado puede ser un
valor negativo, lo que se interpretará como un sentido de giro
horario ya estudiado en el Capítulo I.
2. Funciones trigonométricas de la suma de ángulos
Las primeras identidades ó igualdades trigonométricas que se
discutirán serán las que se refieren a la suma de dos ángulos y que
se expresan en los siguientes teoremas:
1.1. Teorema 5.3.1.
βαβαβα sensensen coscos)( +=+ (5.3.1)
1.2. Teorema 5.3.2.
βαβαβα sensen−=+ coscos)cos( (5.3.2)
1.3. Teorema 5.3.3.
βαβαβα
tagtagtagtagtag
−+
=+1
)( (5.3.3)
Ejemplo 15.3 Calcular el valor exacto de sen75º
Solución:
Notemos que 75º = 30º +45º, por lo tanto tomemos α = 30º y β = 45º.
Luego:
Sen (75º) = sen(30º + 45º) = sen30ºcos45º + cos30ºsen45º
=22
23
22
21
+
=4
62 +
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225 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
Ejemplo 15.4
Utilice los ángulos π/3 y π/4 para determinar cos (127π
)
Solución:
Si tomamos en cuenta que 4312
7 πππ+= y empleamos la fórmula
para cos (α+β), dada en el teorema 5.3.2, α = π/3 y β= π/4
obtenemos:
Cos (7π/12) = cos(π/3+π/4) = cos(π/3)cos(π/4) – sen(π/3)sen(π/4)
= 22
23
22
21
−
= 4
62 −
Ejemplo 15.5
Dados sen α =54
y cos β = -1312
− , donde α y β están en los
cuadrantes I y II respectivamente, obtener el valor exacto de sen(α +
β ) y tan(α + β ), y determinar el cuadrante donde se localiza α + β.
Solución:
Es conveniente representar α y β geométricamente como se ilustra
en la figura 5.3.1.
Como sen α =54
puede tomarse el punto P (3,4) sobre la recta que
determina a α. De forma análoga, como cos β = -1312
− puede
tomarse el punto (-12,5) que está sobre la recta que determina a β.
Esto se puede hacer recordando que:
Sen α =hipotenusaladeLongitud
OpuestoCatetodelLongitud y
Cos β =hipotenusaladeLongitud
AdyacenteCatetodelLongitud
Funciones trigonométricas definidas en el Capítulo II para un
triángulo rectángulo. Esto nos permite construir los triángulos OAP y
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226 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
OBQ que se muestran en la figura 15.1., con los ángulos α y β
correspondientes.
Observación: La longitud del cateto faltante en cada triángulo se
conoce aplicando el Teorema de Pitágoras.
Figura 15.1. Triángulos Si nos referimos a los triángulos rectángulos OAP y OBQ de la figura, y
empleando nuevamente las definiciones de las funciones
trigonométricas que faltan, obtenemos:
Cos α =53
==OPOA
hipotenusaladeLongitudAdyacenteCatetodelLongitud
Tag α =34
==OAAP
adyacentecatetodelLongitudopuestocatetodelLongitud
Para determinar las funciones trigonométricas con el ángulo β,
podemos trabajar con el ángulo β definido en la figura y las
identidades dadas en la sección 5.3, como se señala a
continuación:
y
Q(-12,5)
P(3,4) 4 13
Sen β = 135cos
2coscos
2)
2( ==+=+ γγ
πγ
πγ
π sensensen
Tag β = 125
1312
135cos
)2
cos(
)2
()
2( −=−=−=
+
+=+
γγ
γπ
γπ
γπ
sen
sentag
Utilizando las ecuaciones 5.3.1 y 5.3.3 para la suma de ángulos
tenemos:
βαβαβα sensensen coscos)( +=+
α
β
5 5 4
3 O -12 B A x
γ
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Tema 5/ Sesión 15
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= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
135
53
1312
54
=6515
6548
+−
=6533
−
Y
βαβαβα
tagtagtagtagtag
−+
=+1
)(
=
36201
125
34
125
341
125
34
+
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
362036
361548
+
−
=5633
36563633
=
Como )( βα +sen es negativo y tag )( βα + es positivo )( βα +
está en el III cuadrante.
Note que para el cálculo de tag ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + γπ
2 no se utilizó la ecuación
5.3.3, pues tag( /2) no está definida.
Otras funciones trigonométricas que surgen de las enunciadas
anteriormente son:
βαβαβαβα
βαβα
cotagcotag1cotagcotag
1)(
1)(cotag
+−
=
+−
=+
=+tagtagtagtag
tag (5.3.4)
)cos(1)sec(
βαβα
+=+ (5.3.5)
)(1)(cosec
βαβα
+=+
sen (5.3.6)
228 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
Ejemplo 15.6
Conociendo las funciones trigonométricas de 45º y 60º, calcule las
funciones trigonométricas de 105º
Solución:
De acuerdo a las ecuaciones 5.3.1 a 5.3.6 tenemos:
a) sen(105º) = sen(45º+60º)
= sen (45º) cos(60º) + cos(45º) sen(60º)
= 23
22
21
22
+
= 46
42
+
= 4
62 +
b) cos(105º) = cos(45º+60º)
= cos(45º) cos(60º) - sen(45º) sen(60º)
= 23
22
21
22
−
= 46
42
−
= 4
62 −
c) tag(105º) = tag(45º+60º)
= )º60()º45(1)º60()º45(
tagtagtagtag
−+
=)3()1(1
31−
+
= 3131
−
+
=
322
32431
33313131.
3131
−−=−
+=
−+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+
d) cotag(105º) = 3131
3131
1)º105(
1+
−=
−
+=
tag
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229 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 5: Suma y Diferencia de ángulos
Tema 5/ Sesión 15
e) sec(105º) = 62
4
462
1)º105cos(
1−
=−
=
f) cosec(105º)= 62
4
462
1)º105(
1+
=+
=sen
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230 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 16
Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Sesión 16
Objetivos específicos
* Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
Actividades
* Leer apuntes sesión 16. * Realizarlos ejercicios de la sesión 16. * Realizar la autoevaluación de la sesión 16.
Recursos
* Apuntes sesión 16. * Ejercicios sesión 16.
Identidades Trigonométricas
Definición 6.1.1. Una identidad trigonométrica es una igualdad que
contiene funciones trigonométricas y que es verdadera para todos
los valores de los ángulos para los cuales están definidas estas
funciones. Por ejemplo las expresiones,
Sen2 α + cos2 α = 1 y tag x = xx
cossen
son identidades trigonométricas que son válidas para todo valor de
α y x donde estas funciones están definidas.
En el siguiente teorema se enuncian algunas identidades
trigonométricas importantes. El estudiante debe estar familiarizado
con cada una de estas identidades, ya que ellas han sido
deducidas en el capítulo II.
Teorema 6.1.1. Para cualquier ángulo α se tiene que:
a) (6.1.1) 1cos22 =+ ααsen
b) αα
αcossentag = (6.1.2)
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231 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 16
c) αtag
ag 1cot = (6.1.3)
d) α
αcos
1sec = (6.1.4)
e) α
αsen
ec 1cos = (6.1.5)
f) (6.1.6) αα 22 sec1=+tag
Las identidades (6.1.2), (6.1.3), (6.1.4) y 6.1.5) existen ó son válidas
siempre que el denominador de la función trigonométrica sea
diferente de cero al evaluarla en α.
Ejercicio 16.1 Demostrar la identidad (6.1.1) del teorema anterior
Solución:
Consideremos el ángulo α y el triángulo OAB construidos en la figura
16.1. De acuerdo a las definiciones de las funciones seno y coseno
del ángulo α, interior en un triángulo rectángulo, se tiene que:
OBABsen =α y
OBOA
=αcos
Figura 16.1. Triángulo OAB
Por lo tanto,
22
22 cos ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
OBOA
OBABsen αα
2
22
2
2
2
2
OB
OAAB
OB
OA
OB
AB +=+= (6.1.7)
y
BC
O xA
α
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232 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 6: Identidades Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones Trigonométricas Inversas
Tema 6/ Sesión 16
Además por el teorema de Pitágoras en el triángulo OAB se tiene
que:
222
OBOAAB =+ (6.1.8)
y por sustitución de la ecuación (6.1.8) en la ecuación (6.1.7), se
obtiene,
1cos 2
222 ==+
OB
OBsen αα
lo que demuestra la identidad.
Las otras identidades se pueden demostrar de manera análoga
utilizando el triángulo OAB de la figura 6.1.1. Se deja al estudiante
como ejercicio.
Ejemplo 16.2 Demostrar que 1sec 22 += αα tag
Solución:
En el ejercicio anterior se demostró que para cualquier ángulo α se
tiene,
(6.1.9) 1cos22 =+ ααsen
Dividiendo ambos miembros de la ecuación (6.1.9) entre cos2α
obtenemos,
αα
ααα
22
2
2
2
cos1
coscos
cos=+
sen
de donde,
α
α 22
cos11=+tag
es decir,
αα 22 sec1=+tag
El proceso de transformar un lado de la identidad a la forma del
otro lado se llama probar la identidad ó verificar la identidad.
Cabe destacar, que no podemos dar un método general a seguir
para probar una identidad en cualquier caso. Es esencial contar un
conocimiento completo de las identidades fundamentales
presentadas en secciones anteriores, porque estas relaciones
sugieren frecuentemente las reducciones que deben hacerse para
simplificar expresiones trigonométricas complicadas. En las
identidades que contienen funciones de ángulos múltiples, ángulos
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Tema 6/ Sesión 16
fraccionarios ó de sumas y diferencias de ángulos, por regla general,
es aconsejable expresar dichas funciones, como funciones de
ángulos sencillos. Si después de hacer esto no aparece ningún
procedimiento factible, usualmente es ventajoso cambiar todas las
funciones a senos y cosenos.
Presentaremos a continuación dos métodos que se pueden seguir
para la demostración de identidades dadas.
1. Método1
El primer método consiste en reducir un miembro a la forma del otro
miembro, usando identidades conocidas. En general, el miembro
mas complicado es reducido a la forma del miembro más sencillo.
Ejemplo 16.3 Probar la identidad (sec α+ tag α) (1-sen α) = cos α
Solución:
Tenemos que,
(secα + tagα)(1-senα) = )sen1(cossen
cos1 α
αα
α−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= )sen1(cos
sen1 αα
α−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= α
ααcos
)sen1)(sen1( −+
= ααα
αα cos
coscos
cossen1 22
==−
Ejemplo 16.4
Al desarrollar la expresión x
xxsen
costag +, el resultado es
a) cosecx +cotagx b) secx – cotagx
c) secx + tagx d) secx + cotagx
Solución:
En este problema se esta pidiendo desarrollar una expresión
trigonométrica larga, a una expresión mas corta simplificada y que
debe coincidir con alguna de las cuatro respuestas dadas.
Desarrollando se tiene que:
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xxxx
xx
xx
xxx cotag
sencossen
sencos
sentag
sencostag
+=+=+
= xx
cotagcos
1+
= xx cotagsec +
(Por tanto, la respuesta correcta es la c)
Ejemplo 16.5 Verificar la identidad secu – cosu = senu tagu
Solución:
Podemos transformar el lado izquierdo en el lado derecho como
sigue:
uu
uu coscos
1cossec −=−
Desarrollando la diferencia se tiene,
=uu
uu
cossen
coscos1 22
=−
=
uuuuu tagsen
cossensen =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Ejemplo 16.6 Al calcular tag (45º + x) – tag (45º - x), el resultado es
a) tagx b) 2 tag2x
c) 2 tagx d) tag2x
Solución:
Utilizando la identidad 5.3.3 definida en el capítulo V para la
tangente de la suma de dos ángulos, se tiene que:
tag(45º + x) – tag(45º - x) = tagxtagtagxtag
tagxtagtagxtag
º451º45
º451º45
+−
−−
+
= tagxtagx
tagxtagx
+−
−−+
11
11
= )1)(1()1()1( 22
tagxtagxtagxtagx
+−−−+
y, desarrollando los productos notables se obtiene,
=xtag
xtagtagxxtagtagx2
22
1)21()21(
−+−−++
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= xtag
tagx21
4−
Y, por la ecuación 5.5.3definida en el capítulo V donde,
tag2x = x
x2tag1
tag2−
, se llega a:
= 2 tag2x
( Por tanto la selección correcta es la b)
Ejemplo 16.7
Al desarrollar la expresión 1 + tag2β tagβ, el resultado es
a) sec2β b) secβ
c) senβ d) sen2β
Nuevamente utilizando la ecuación 5.5.3 del Capítulo V, se obtiene
que:
ββ
βββ tagtagtagtagtag 21
2121−
+=+
=ββ
2
2
121
tagtag
−+
Efectuando la suma se llega a,
=ββ
βββ
2
2
2
22
11
121
tagtag
tagtagtag
−+
=−
+−
=
βββ
βββ
ββββ
2
22
2
22
2
2
2
2
coscos
coscos
cos1
cos1
sen
sen
sen
sen
−
+
=−
+
= ββββ
ββ 2sec2cos
1coscos
22
22
==−+
sensen
Por tanto a) es la respuesta correcta.
2. Método 2
El segundo método para probar ó verificar una identidad consiste
en reducir ambos miembros usando identidades conocidas.
Entonces, como los dos miembros son idénticos a una misma
expresión, son idénticos entre sí.
Ejemplo 16.8
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Verificar la identidad ββ
ββsensentag
+−
=−11)sec( 2
Solución:
Para comprobar la identidad mostraremos que se puede
transformar cada lado de la ecuación dada en una misma
expresión.
El lado izquierdo de la expresión se puede escribir como:
ββββββ 222 secsec2)sec( +−=− tagtagtag
=βββ
βββ
22
2
cos1
cos1
cos2
cos+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
sensen
= β
ββ2
2
cos12 +− sensen
Desarrollando el lado derecho, multiplicando y dividiendo por la
diferencia conjugada del denominador, se obtiene que:
β
βββ
ββ
ββ
2
2
1)1(
)1()1(
)1()1(
11
sensen
sensen
sensen
sensen
−−
=−−
+−
=+−
Desarrollando el producto notable en el numerador y utilizando la
identidad 6.1.1 en el denominador se llega a:
=β
ββ2
2
cos21 sensen +−
que es la misma expresión obtenida anteriormente con el lado
izquierdo. La ecuación dada es una identidad, ya que todos los
pasos son reversibles.
Ejemplo 16.9
Probar que la siguiente expresión es una identidad
tagytagxtagytagx
yxsenyxsen
−+
=−+
)()(
Solución:
• Desarrollando el lado izquierdo de la expresión se tiene,
senyxysenxsenyxysenx
yxsenyxsen
coscoscoscos
)()(
−+
=−+
• Desarrollando el lado derecho se llega a:
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yxsenyxysenx
yxsenyxysenx
yseny
xsenx
yseny
xsenx
tagytagxtagytagx
coscoscoscos
coscoscoscos
coscos
coscos−
+
=−
+=
−+
= senyxysenxsenyxysenx
coscoscoscos
−+
que es igual a la expresión obtenida en a) lo cual prueba que,
tagytagxtagytagx
yxsenyxsen
−+
=−+
)()(
es una identidad.
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