guía 93: las funciones en el parque de

CH-FyA-0509

Guía 93: Las funciones en el parque de

diversiones

2

Guía

93 Meta 31

GRADO 10

GUÍA DEL ESTUDIANTE

LAS FUNCIONES EN EL

PARQUE DE DIVERSIONES

3

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 93

Yury Cristina Ardila Gordillo , Colegio Torquigua, Autor.

Miryam Mercedes Silva Cruz, Colegio San Vicente, Autor.

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

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9

Guía

93 GRADO 10

LAS FUNCIONES EN EL PARQUE DE

DIVERSIONES

GRADO 10 - META 31- PENSAMIENTO NUMÉRICO

Guía 91 (Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Números racionales con expansión

decimal infinita periódica y finita.

• Números irracionales, expansión

decimal infinita no periódica.

• Procesos de medición de magnitudes

inconmensurables.

• Ubica irracionales en la recta, procesos

infinitos en la expansión decimal de

números irracionales.

ACTIVIDAD 2

• Números reales.

• Idea intuitiva de la continuidad en R.

• Expresa reales de formas

equivalentes.

Guía 92 (Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Razones de cambio.

• Razón de cambio promedio.

ACTIVIDAD 2

• Inecuaciones.

• Inecuaciones con dos o

más variables

Guía 93 (Duración 13 h) ACTIVIDAD 1

● Identidades Trigonométricas

● Funciones trigonométricas

● Características de las funciones

trigonométricas (Amplitud,

periodo, frecuencia)

● Circunferencia Unitaria

ACTIVIDAD 2

● Representación de los números

complejos

● Operaciones entre números

complejos

● Representación de números

complejos en coordenadas

polares

● trigonométrica de números

complejos

● Aplicación de los números

complejos

META DE APRENDIZAJE N. 31. Analizo situaciones y resuelvo problemas sobre fenómenos de ondas que ocurren

en mi entorno como frecuencias de vibración, reflexión y propagación de las ondas del sonido y de la luz utilizando

funciones trigonométricas y nociones relacionadas como amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda. Valoro en

estos contextos la importancia de que las funciones sean continuas en los números reales y lo expreso de forma gráfica

y numérica, identificando el dominio y el rango y analizando cómo se comportan las funciones alrededor de las asíntotas.

También analizo situaciones relacionadas con medidas en decibeles y el balance del PH de sustancias, entre otras,

mediante funciones (logarítmicas y racionales) con ayuda de software o applets de Geogebra.

PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1:

● ¿Qué es una identidad trigonométrica y cómo se soluciona?

● ¿Cómo se grafica el movimiento de una onda de sonido o de la rueda de la fortuna, en un plano Cartesiano?

● ¿Qué características encuentras en cada gráfica?, ¿se repite algo?


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ACTIVIDAD

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● ¿ Es posible ubicar ángulos en la circunferencia unitaria medidos en grados y radianes?

Actividad 2

● ¿A qué conjunto numérico pertenece el resultado de la raíz cuadrada de un número negativo?

● ¿Es posible la solución de raíces negativas aplicando el concepto de número complejo?

● ¿Cómo se pueden representar las ondas electromagnéticas a través del estudio de los números complejos?

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Actividad 1

● Identifico algunas identidades trigonométricas y deduce otras identidades entre funciones a partir de esta.

● Observo modelaciones en applets de fenómenos ondulatorios y aprecia aspectos como el periodo de oscilación,

la forma de la curva que la representa, los valores que toma en cada periodo, valor máximo y mínimo, entre

otras, esto como resultado de la descripción de gráficas y del uso de applets.

● Utilizo la circunferencia unitaria para asociar ángulos a coordenadas que satisfacen la ecuación de la

circunferencia de radio 1 y gráfica allí ángulos medidos en grados y radianes.

● Con ayuda del círculo unitario grafica las funciones sen y csc, cos y sec, tan y ctg, identifica asíntotas de las

funciones según sea el caso, identifica periodo de las funciones, dominio, el rango de cada función.

● Interpreto mediante tablas con datos numéricos el comportamiento de las funciones alrededor de las asíntotas.

● Interpreto geométricamente en las gráficas de funciones trigonométricas cómo cambios en los parámetros

algebraicos implican transformaciones en la gráfica como traslaciones verticales, horizontales, ampliaciones o

reducciones, alargamientos, etc.

Actividad 2

● Interpreto la relación existente entre los números Reales e Imaginarios

● Asimilo los números complejos como una extensión de los números reales.

● Identifico la necesidad de la creación de nuevos conjuntos numéricos en la aplicación de la trigonometría.


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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Aprendamos a analizar y a describir las funciones trigonométricas, y a resolver problemas usando

nuestras tablas y generalidades de las funciones.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el

conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará a analizar los polígonos de más lados.

Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos.

A) Los tres ángulos de un triángulo suman 180º como puede comprobarse con

la figura siguiente.

B) Un lado es menor que la suma de los otros

dos.

a < b + c, b < a + c, c < a + b

C) Dado un triángulo siempre existe una circunferencia circunscrita a él. Su

centro es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados.

Clasificacion de triangulos:

Según sus lados: Equilátero: Tres lados iguales.

Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida.

Escaleno: Tres lados con distinta medida.

Según sus ángulos: Rectángulo: Un ángulo recto.

Acutángulo: Tres ángulos agudos

Obtusángulo: Un ángulo obtuso


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ACTIVIDAD

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PRACTICA

1. Encuentra el valor de cada ángulo

2.

Verifica las respuestas de la sección A

con tu profesor.


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ACTIVIDAD

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B) Conceptos

Situación 1: Sara y Juan son estudiantes de grado décimo y se encuentran en una salida al parque de

diversiones, ellos deciden empezar su visita al parque por la zona de juegos de

destreza, Juan decide participar en el juego “futbolito”, en el cual debe meter un

gol a la cancha desde cierta distancia. Solamente tiene 3 tiros para para poder

meter un gol.

Sara realizó el primer tiro y envió el balón por las nubes.

El trabajador del juego le dice a Sara, que si al patear el balón le hubiera dado

con un ángulo menor, habría sido gol.

Sara le pregunta ¿Cuál es el mayor ángulo posible que se podría patear el balón

para que pueda ser gol?

Juan le explica a Sara que es cuestión de realizar un triángulo rectángulo, entre

la ubicación del balón, la distancia a la cancha y la altura de esta. Para ello el trabajador del juego les brinda

las medidas, tenemos que averiguar el valor de ese ángulo.

El trabajador del juego les dice que el truco está en usar las razones trigonométricas, en este caso

Tangente, ya que se tiene el valor del Cateto opuesto y el Cateto adyacente:

Juan realiza el segundo intento y falla, Sara le dice que si calcula el ángulo de 12º,

pegará en el arco, que al patear el balón debe darle con un ángulo menor a 12º.


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ACTIVIDAD

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Paso 1: Exploración: ¿Quién tiene la razón?

Situación 2: Sara y Juan se suben a la rueda de la fortuna en

Salitre mágico en la ciudad de Bogotá, interesados en el

tiempo que estarán en la rueda, investigan que esta tiene 16

metros de diámetro, cada minuto da tres vueltas completas y

su punto más bajo está a un metro del suelo.

Juan le dice a Sara que “Cuándo estén en la parte más alta

de la rueda, habrá pasado 10 segundos”. Sara le contesta a

Juan que “Cuándo estén en la parte más alta de la rueda

habrán recorrido 540º desde su punto inicial”.

Ninguno de los dos está convencido de estas conclusiones, así que proceden a investigar más detenidamente

y a mostrar sus anotaciones.

¡Antes de continuar, responde la siguiente pregunta! ¿Quién crees que tiene la razón y por qué?


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ACTIVIDAD

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¿TIENE RAZÓN? ¿Por qué?

Sara

Juan

Veamos las anotaciones de cada uno:

JUAN SARA

Diámetro: 16

3 Revoluciones por minuto.

1 minuto: 60 segundos

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 60𝑠𝑔

3𝑟𝑣= 20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 . 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

Entonces, si una vuelta dura 20 segundos 1

2 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠

20

2= 10 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Conclusión 1: La atura máxima de la rueda

ocurre cuando estemos a los 10 segundos

Diámetro 16

3 Revoluciones por minuto.

1 vuelta: 360º

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 360º 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

𝐴𝑙𝑡 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 + 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 =360

2= 180º

Entonces, 360º + 180º = 540º

Conclusión 2: Vamos a estar a una altura máxima a los

540º

Cuando Juan y Sara analizaron sus conclusiones, pensaron que antes de decidir si están en lo correcto o no

deben resolver las preguntas que le surgieron:

1. ¿Puedo saber a qué altura estamos en diferente tiempo?

2. ¿Esto es una función?, ¿qué tipo de función es?

3. ¿Puedo realizar un gráfico en el plano cartesiano que modele el comportamiento de la Rueda de la

fortuna y me facilite el análisis de las variables?

Para dar respuesta a las preguntas, Juan y Sara deciden trabajar juntos para solucionar este problema, lo

primero que realizan es retomar los datos que se tienen:


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ACTIVIDAD

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La Rueda de la fortuna tiene:

· Un Diámetro de 16

· 3 revoluciones por minuto

· El punto más bajo de la rueda está a 1 metro del suelo.

Entonces se deduce:

⮚ Tiene un radio de 8 metros ( ya que el diámetro es 16)

⮚ 𝑡 = 0 es el punto mínimo

⮚ 3 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜=

3 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑠

60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠=

1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

20 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ( una vuelta en 20

seg)

⮚ 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360º,

⮚ 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟,360º

20 𝑠𝑒𝑔=

18º

1 𝑠𝑒𝑔 ( Cada segundo la rueda gira 18º)

Para dar respuesta a la primera pregunta, los estudiantes suponen, la siguiente situación:

Por lo que pueden deducir que la distancia del centro al suelo es de 9 metros, por lo que ahora se puede

construir un triángulo rectángulo y obtener una generalidad. La cual es 18º. 𝑡 , es decir, teniendo el

tiempo que pase se multiplicara por 18º para así determinar cuántos grados ha transcurrido. Pero como

queremos saber es ¿a qué altura están del suelo?, entonces:

⮚ Sabemos que la Hipotenusa del triángulo es de 8 metros por ser radio de la

circunferencia, que desde el punto centro al suelo hay 9 metros y se debe calcular quien

es ℎ, que es el cateto que no sabemos cuánto vale. Pero lo podemos denotar como 9 − ℎ.

⮚ Sara se fija que tenemos un triángulo rectángulo, un ángulo y tenemos un cateto y la

hipotenusa; Y que el ángulo que tenemos (18º𝑡)es adyacente al cateto que necesitamos

encontrar, por lo que la función trigonométrica que relaciona el cateto adyacente con la

hipotenusa es el Coseno, entonces:


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𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 =𝐶𝐴

𝐻𝐼𝑃=

9 − ℎ

8

8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 = 9 − ℎ

−9 + 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 = −ℎ (−1)

ℎ = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡

Ya encontrada la función, Juan decide graficarla para mirar su comportamiento en un intervalo de tiempo

de 0 ≤ 𝑡 ≤ 30 , pero para realizar esta gráfica más fácil, decide hacer los siguientes cálculos:

ℎ(𝑡) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡

ℎ ( 𝛽) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝛽 = 18𝑡

Tiemp

o (seg)

Grado

s 𝛽

Altur

a (h)

𝛽 = 18 (5) = 90

𝛽 = 18 (10) = 180

ℎ ( 𝛽) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝛽

ℎ ( 0) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 0 = 1

ℎ ( 90) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 90 = 9

ℎ ( 180) = 9 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 180 = 17

0 0 1

5 90 9

10 180 17

15 270 9

20 360 1

25 450 9

30 540 17

Juan realiza la gráfica y junto a Sara, la analizan:

● El eje X, es el tiempo y el eje Y es la altura.

● No solamente hay un tiempo en donde se llega a la altura

máxima, hay varios tiempos

● No solamente hay un grado en donde se llega a la altura

máxima, hay varios grados.

● El punto máximo es 17 metros de altura y el mínimo es 1 metro.

● La rueda inicia una vuelta cada 20 segundos

Completa el ejemplo, respondiendo:

Con esto Juan y Sara ya pueden responder las preguntas y saber si estaban en lo correcto.

Si /No ¿Por qué?

1. ¿puedo saber a qué altura estamos en diferente tiempo?

2. ¿esto es una función?, ¿qué tipo de función es?

3. ¿Puedo realizar un gráfico en el plano cartesiano que

modele el comportamiento de la Rueda de la fortuna y me

facilite el análisis de las variables?


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Paso 2: La Noria.

En una feria se ha instalado una noria cuyo radio mide 5 metros. Tarda 32 segundos en dar una

vuelta completa. En la siguiente tabla completa la altura de una cesta que estaba a nivel del suelo cuando

se inició el movimiento de la noria.

Tiempo en segundos 0” 8” 16” 24” 32” 36” 40” 48” 56” 60” 64”

Altura de la cesta en m. 0 m 5 m 0 m 10 0

Aquí tienes una representación de la altura que tendrá la cesta en cada

instante.

Responde a las siguientes preguntas:

¿Cada cuánto tiempo la cesta está a 10 metros de altura?

¿Y a 5m?

¿Cada cuánto tiempo se repite una misma posición?

Situación 3: Mientras los estudiantes daban respuesta al problema, un

señor les solicito ayuda. Ya que él es trabajador del parque, el cual le

cuenta a Juan y Sara que su jefe le pide que alumbre la rueda de la

fortuna con luces de colores led, pero con una condición, que solo se puede

utilizar un color del tamaño del radio de la rueda. El trabajador realiza las

siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos metros de luz led se necesita para decorar la rueda?

Respuesta 1: Sara dice que para resolver esto, es necesario calcular el perímetro de la rueda, y se sabe el

valore del diámetro. Por lo que solo sería realizar la operación:

La longitud de la circunferencia es igual a 2𝜋 por el radio o por el diámetro 𝐿 = 𝜋. 𝑑

𝐿 = 𝜋. 16 = 50.26548

Se necesita 50.26548 metros de luz led para alumbrar la rueda de la fortuna.

2. ¿Cuantos radios caben en la longitud de la circunferencia?

Respuesta 2: Juan menciona que esta operación es muy sencilla, que solo sería dividir los metros

de luz en el radio y que con ello, saben cuántos cortes de luz necesitan: 50.26548

8= 6.2831

Se necesitan 6.2831 mangueras de luz led de 8 metros.

APLIQUEMOS LO APRENDIDO


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3. El trabajador pone 6 mangueras de 8 metros en la rueda pero queda un espacio sin alumbrar, este

no comprende el porqué, a lo que juan y Sara le explican:

Respuesta 3:

Para ello es necesario saber qué es un radián: un radián es un arco que abarca la longitud del radio, y el

radio es cualquier segmento que une el punto centro con un punto de la circunferencia, y este arco que se

forma se le llama radián.

Cuando ponemos tres veces el arco del radian

en la circunferencia, se puede notar que cabe

tres veces y sobra un pedacito, como se

muestra en la figura:

Ese pedacito que falta es 0.1416 aproximadamente, es decir, que en el semicírculo cabe 3.1416 radianes y

sabemos que este número es 𝜋, y se nombra 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛, por lo tanto el semicírculo tiene un ángulo de 180º,

es decir, que:

𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180º

𝑟𝑎𝑑 =180

𝜋

𝑟𝑎𝑑 = 57.295º

El trabajador concluye que la parte que falta es de 0.2831 y que debe haber una manguera aproximadamente

del tamaño de 6.2831


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Paso 3:

Situación 4: Sara y Juan,

ya en clase de matemáticas,

escuchan a sus compañeros

hablar sobre los cálculos

matemáticos que realizaron

para calcular la altura en la

que estaban en el martillo

cada segundo.

Lo cuales tenían los mismos

datos y la gráfica, pero con


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ACTIVIDAD

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una diferencia, la forma de escribir la fórmula: ℎ(𝑡) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 18𝑡 . (−8) + 9

Cuando Sara y juan vieron esta fórmula, le pregunto a su docente que si existían funciones que se

escribieran de manera diferente pero que significaran lo mismo, a lo que la docente explicó con el

siguiente ejemplo: 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥

Ya que si reemplazamos: 2(2) = 2 + 2. 4 = 4

Paso 4: Encuentra un valor 𝛼 que hace la ecuación sea una identidad.

1. cos tg = sen 2. sen sec = tg 3. sen cotg = cos 4. sen tg + cos = sec


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Practica en la siguiente applet: https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491480889/contido/ud11_trigonometria_II/21_la_circunferencia_g

oniomtrica.html#:~:text=La%20circunferencia%20goniom%C3%A9trica%2C%20circunferencia%20trigonom%C3%A9trica,se%20utiliza%20para

%20medir%20%C3%A1ngulos.

https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491480889/contido/ud11_trigonometria_II/21_la_circunferencia_goniomtrica.html#:~:text=La%20circunferencia%20goniom%C3%A9trica%2C%20circunferencia%20trigonom%C3%A9trica,se%20utiliza%20para%20medir%20%C3%A1ngulos




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C) Resuelve y practica

En hojas milimetradas realiza las Gráficas de los siguientes puntos.

1.- Representación gráfica de y = senx, y=cosx & y=tgx

a) Completar las siguientes tablas b) Representar gráficamente

a b c

2.- Observa que la gráfica anterior solo se ha construido para ángulos entre 0º y 360º es decir de la 1ª vuelta ¿qué

gráfico se obtiene si lo extendemos a todos los ángulos? Realiza la nueva gráfica para y = senx, y=cosx & y=tgx

3.- Isabella hace una bandera enorme de su país, la República de las Seychelles, sobre un lienzo de 20 por 10 metros.

Para ello, tiene que dibujar una línea diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta el

borde derecho, a 7 metros de altura.

Como la línea diagonal es demasiado grande para utilizar una regla, Isabella quiere

encontrar el ángulo de la diagonal y dibujarlo usando un transportador.

¿Cuál es el ángulo de elevación de la diagonal?

4. Arquímedes se fue a dormir junto a una gran roca.

Quería levantarse a las 8 a.m., pero ¡los

despertadores aún no se habían inventado! Por ello

decidió dormir en un sitio en el cual la sombra de la


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ACTIVIDAD

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roca terminara cuando fueran las 8 a.m. y así

despertar con la luz directa del sol.

Arquímedes sabía que a las 8 a.m. la luz del sol toca el

suelo a un ángulo de 43º. La roca junto a la cual

durmió mide 7metros de altura.

¿Qué tan lejos de la roca durmió Arquímedes?

2. El conejo Bugs estaba a 42 metros bajo tierra, y

excavaba hacia Albuquerque, cuando quiso salir a

la superficie. Cambió su dirección y excavó 100

metros en diagonal a través del suelo hasta salir a

la superficie. ¿Cuál es el ángulo de elevación, en

grados, del ascenso de Bugs?

3. Calcula todas las medidas de este triángulo

4. Encuentra las razones trigonométricas del

siguiente triangulo.

5.

6. En la circunferencia

Unitaria gráfica los ángulos notables en grados y en

radianes.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles

https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-modeling-with-right-triangles/e/applying-right-triangles

Tema: Ley de senos y cosenos (Mira los videos y toma notas) https://www.youtube.com/watch?v=e2_WDo5yK_Q&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-

https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-&index=12

https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles

https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-modeling-with-right-triangles/e/applying-right-triangles

https://www.youtube.com/watch?v=e2_WDo5yK_Q&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-

https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8&list=PLeySRPnY35dHyDHBmOcBaYOKhr6nn2tX-&index=12


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ACTIVIDAD

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D) Resumen

¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la

relación entre los lados y ángulos de los triángulos. Se ocupa, por tanto,

de las funciones asociadas a los ángulos, denominadas funciones

trigonométricas (también pueden denominarse funciones

circulares): seno, coseno, tangente, secante,…

La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de

la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de las matemáticas;

en la física, por ejemplo en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias

entre planetas; en la geodesia, etc. Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo

rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

▪ El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto

opuesto (a) y la hipotenusa (c).

▪ El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto

adyacente (b) y la hipotenusa (c).

▪ La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

https://www.universoformulas.com/matematicas/

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/seno/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/coseno/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/tangente/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/secante/

https://www.universoformulas.com/matematicas/

https://www.universoformulas.com/fisica/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razones-trigonometricas/

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo-rectangulo/



https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/seno/

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cateto/


https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hipotenusa/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/coseno/


https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hipotenusa/

https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/tangente/




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ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

Comprendo

la relación

de las

razones

trigonomét

ricas en un

triángulo

rectángulo

Reconozco

la

aplicabilida

d de las

funciones

Trigonomét

ricas en

contextos

cotidianos.

Identifico

las

propiedade

s de las

funciones

Trigonomét

ricas

ii) Preguntas de comprensión. (practica

icfes) Las preguntas de 1 a 3, se contestarán

de acuerdo con la siguiente información:

Don Julián es un humilde trabajador del

corregimiento de San Cristóbal, hereda una

parcela, después de un litigio con sus

hermanos, un topógrafo le entrega el siguiente

plano de la parcela con los siguientes datos:

b=4 Km, a=3 Km, =41°, Por c pasa una

quebrada.

Don Julián consulta al profesor Omar López

sobre los detalles entregado por el topógrafo,

el profesor hábilmente les formula a los

estudiantes del grado décimo las siguientes

preguntas:

1. El triángulo ABC es:

a. Acutángulo

b. Equilátero

c. Isósceles

d. Rectángulo

2. En el triángulo ABC c representa:

a. Cateto adyacente

b. Hipotenusa

c. Cateto opuesto

d. Seno

3. La medida del lado de la quebrada c es:

a. 5 Km

b. 5 m

c. 25 Km

d. 25 m


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GRADO 10

ACTIVIDAD

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23

ACTIVIDAD 2: NÚMEROS COMPLEJOS

En esta sección estudiaremos el sistema de los Números Complejos, desde el punto de vista del álgebra,

socializando las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Veremos la

representación geométrica de los números complejos, así como también la forma polar o trigonométrica

de los mismos ampliando nuestro conocimiento y aprendizaje de las matemáticas.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones de un punto dado

sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien

lo utilizó de manera formal por primera vez.

Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las

rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje

horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las

ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en

cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

24

El

plano

cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación

a cualquier punto en el plano. En la gráfica se

indica el punto 2 en las abscisas y 3 en las

ordenadas. El conjunto (2, 3) se denomina "par

ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar

otros puntos.

PRACTICA

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar.

GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

25

B) Conceptos

NÚMEROS COMPLEJOS El desarrollo de los números complejos es uno de los hechos más interesantes de las matemáticas, no solo

como muestra típica de evolución en la historia del pensamiento científico, sino por su trascendencia en el

estudio de muchos temas matemáticos.

A mediados del siglo xvi, los algebristas italiano Tartaglia, Cardano y Bombelli buscaban la manera de

resolver la ecuación de tercer grado o cúbica, la fórmula que obtuvieron que aún se utiliza hoy día, contiene

una raíz cuadrada, la cual a veces no se podía resolver por ser negativo el radicando. Sin embargo lo

sorprendente de la ecuación cúbica es que aun así posee soluciones reales, ante esta situación Bombelli se

arriesga y plantea las raíces de la ecuación cúbica, pero estas perecieron demasiado atrevidas. Solo un siglo

después Leibnitz acoge las ideas de Bombelli y las difunde es sus obras matemáticas, trabajando en lo que

se llamó número imaginario cuya introducción se justifica así: √−3 = √−1√3 donde a la expresión de√−1 se

le llama UNIDAD IMAGINARIA y Euler la presentó con la letra i.

Los números complejos tienen diferentes usos: en ecuaciones algebraicas utilizadas en el colegio y en la

mayoría de las carreras como: administración de empresas, contabilidad, ingeniería eléctrica, acústica,

hidrología, mecánica cuántica, Teoría de la Relatividad, creación de imágenes virtuales, etc.

EXPLORACIÓN

Sara y Juan están en el parque de diversiones y necesitan desplazarse para montar en algunas atracciones;

según el mapa de indicaciones que les da el parque describe las siguientes coordenadas:

Escribe el par de coordenadas que señala cada atracción.


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

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26

¿Cuál es la distancia que deben recorrer Sara y Juan para ir a la montaña rusa si se encuentra en la rueda

panorámica?

Mini-explicación: NÚMEROS COMPLEJOS

NÚME-

ROS

COM-

PLEJOS

Los números imaginarios tienen variadas aplicaciones en diferentes campos, en electrónica

para procesar, restaurar y optimizar señales; en la teoría de control que es un área que

relaciona la ingeniería y la matemática, y en la física, donde los números imaginarios están

relacionados con el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la mecánica cuántica y el

análisis de vibraciones.

Pero no existe ningún número real (x) que esté elevado al cuadrado y de (-36), pues el

cuadrado de un número real es un número POSITIVO. Por lo tanto para encontrar la raíz

cuadrado de un número negativo, debemos conseguir números distintos a los reales; es decir,

debemos definir un conjunto que contenga a los reales y a las raíces cuadradas de números

negativos. Este conjunto se le denomina conjunto de NÚMEROS COMPLEJOS.

Los siguientes son números complejos:


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

27

Cuando no hay parte imaginaria: Ejemplo z = 8 se dice que el complejo es real. Entonces los números reales

forman parte del conjunto de los números Complejos.

El siguiente es un número complejo z = 12i cuando un número complejo no tiene parte real, como en el

presente caso, se dice que es un imaginario puro.

Ejercitación:

1. Identifica cuál de las siguientes expresiones corresponde a números imaginarios puros, luego

expresarlos como números imaginarios:


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

28

2. Halla la solución de cada ecuación:

¿COMO SE GRAFICA UN NÚMERO COMPLEJO?

Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está

formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número

complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria.

Ejercitando:

Escribe en forma binomial el número complejo representado en cada plano complejo


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

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29


OPERACIONES

CON NÚMEROS

COMPLEJOS

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

● ¿Cuándo dos números complejos son iguales?

Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y sólo si a = c y b = d.

En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes

respectivas, reales e imaginarias, son iguales.

● POTENCIAS DE i

Para calcular potencias de i, debemos partir de

De aquí en adelante se repite los valores de 4 en 4; por eso las potencias básicas de i son cuatro. Cualquier

potencia (i) puede calcularse mediante una reducción a las potencias básicas, para ello basta con dividir el

exponente de i por 4 y tomar el residuo como la nueva potencia.

Ejemplo: simplificar

Solución: Aunque 138 no es un múltiplo de 4, encontramos un número cercano que sea múltiplo de 4 en este

caso 36 por lo tanto:


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GRADO 10

ACTIVIDAD

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30

Ejercitando: Calcular


OPERACIONES

CON

NÚMEROS

COMPLEJOS

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales.

Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay

que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como

números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo.

Para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes:


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

31

La suma de números complejos ES CONMUTATIVA: z + w = w + z.

También es asociativa. z + (w + p) = (z + w) + p.

RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.

Ejercitando: Efectuar las siguientes restas de

números complejos:


OPERACIONES

CON NÚMEROS

COMPLEJOS

● MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos está definido de la siguiente manera


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

32

Aunque parezca complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación

para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de Z por W como si se tratara de expresiones

algebraicas se obtiene:

Algunas propiedades de la multiplicación de números complejos:

La multiplicación también es asociativa.

Ejercitando: Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:


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GRADO 10

ACTIVIDAD

2

33

3. Encontrar el error que se cometió en el siguiente

razonamiento. Explica tu respuesta

EL CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO


OPERACIONES

CON

NÚMEROS

COMPLEJOS

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Lo que se busca al dividir números complejos es que el divisor (denominador) se

transforme en un número real. Esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor

por el conjugado del divisor.


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

34

Ejercitando: Divide cada par de números complejos


OPERACIO-

NES CON

NÚMEROS

COMPLEJOS

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

La forma polar de un número complejo

es otra forma de representar un

número complejo. La forma z = a + bi

es llamada la forma coordenada

rectangular de un número complejo.

El eje horizontal es el eje real y el eje

vertical es el eje imaginario.

Encontramos los componentes reales y

complejos en términos de r y θ donde

r es la longitud del vector y θ es el

ángulo hecho con el eje real. Del teorema de Pitágoras:

Por el uso de las relaciones trigonométricas básicas:

Despejando a y b:

La forma rectangular de un número complejo está dada por z = a + bi .

Sustituya los valores de a y b .

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/complex-numbers.html

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/pythagorean-theorem.html

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/trigonometric-ratios.html


GUÍA 93

GRADO 10

ACTIVIDAD

2

35

En el caso de un número complejo, r representa el valor absoluto o el módulo y el ángulo

θ es llamado el argumento del número complejo.

C) Resuelve y práctica

1. Escribe las siguientes raíces como números imaginarios puros:

2. Identifica en los siguientes números complejos la parte real y la parte imaginaria:

3. Representa en el plano complejo los siguientes números complejos

4. Representa en tu cuaderno, cada número complejo y su respectivo conjugado, sobre el plano complejo

5. Simplifica cada expresión:

6. Halla la norma (longitud) de los siguientes números complejos, dibujándolos en el plano y usando el

teorema de Pitágoras:

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value.html


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GRADO 10

ACTIVIDAD

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36

7. Escribe los números que faltan de tal manera que cada número de la pieza superior corresponda a la

suma de los números de las piezas inferiores.

8. Expresa de forma trigonométrica los siguientes números complejos

● 𝑍 = 2,6 + 1.5 𝑖

● 𝑍 = −√2 + √2𝑖

9. Resolver el siguiente problema: La impedancia en un fenómeno físico que se describe por medio de

oscilaciones y es de gran importancia en la ingeniería electrónica. La impedancia afecta la corriente

en un circuito y se determina mediante la fórmula.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

Tema: NÚMEROS COMPLEJOS (https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers)

(https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-number-challenge/v/iit-jee-complex-

numbers-part-1)

REVISAR LOS SIGUIENTE LINKS Y TOMAR NOTA PARA REFORZAR EL TEMA VISTO https://www.youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X

https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=38DPFbTKUpQ&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=5

https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=6

https://www.youtube.com/watch?v=z9IQ-Hf-lUA&t=7s

https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers

https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-number-challenge/v/iit-jee-complex-numbers-part-1

https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-number-challenge/v/iit-jee-complex-numbers-part-1

https://www.youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X

https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=38DPFbTKUpQ&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=5

https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=6

https://www.youtube.com/watch?v=z9IQ-Hf-lUA&t=7s


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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Interpreta la

relación existente

entre los números

Reales e Imaginarios

Asimila los

números complejos

como una extensión

de los números

reales.

Realiza operaciones y

soluciona problemas

cotidianos con

números complejos

Identifica la

necesidad de la

creación de nuevos

conjuntos numéricos

en la aplicación de la

trigonometría.

ii) Preguntas de comprensión En el punto 1 y 2 determina si la

afirmación es verdadera o falsa.

1)Toda expresión de la forma

√−𝑎 representa un número imaginario

________________

2) √−814

= 9𝑖

______________________

3) Representa el siguiente número

complejo (2-i) en el plano complejo

4) Expresa √2−2𝑖

−3+3𝑖 en forma

trigonométrica

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema Un profesor califica utilizando números complejos. A continuación se muestran las calificaciones de tres

estudiantes.

Para determinar el desempeño final de cada estudiante, el profesor suma las tres notas y divide el

resultado entre tres. Luego halla la norma del resultado y asigna una letra de acuerdo con la siguiente


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GRADO 10

ACTIVIDAD

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escala.

Escala Desempeño

100-90 Bastante Asumido

89- 85 Asumido

84-75 Poco Asumido

74- 0 Nada Asumido

¿Cuál es el puntaje de Juan?

¿Cómo se evalúa su desempeño?

guía 93: las funciones en el parque de

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