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Escuela Nº 4-181 “Guillermo Olegaro Morán” Fecha:…………………… Matemática III Profesor: Eduardo Juvel Curso: 3er. Año División . Nombre y apellido:………………………………………………………………………………. . Guía de Estudio N° 1 Tema: Resolución de triángulos rectángulos Objetivos:

• Fijar procedimientos.

Actividades:

1.- Lea atentamente e intente resolver en un borrad or los ejercicios que se presentan a continuación.

Resolver de forma trigonométrica un triángulo implica determinar los elementos faltantes a partir de elementos presentes en el mismo.

Para llevar a cabo dicho procedimiento es necesario conocer tres de sus elementos, entre los que debe estar presente un lado. En el caso particular de los triángulos rectángulos queda de manifiesto el ángulo recto por lo que solo bastará conocer dos de sus elementos, por supuesto sin dejar de tener en cuenta que uno debe ser un lado.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente se presentan distintas situaciones que se pueden agrupar de la siguiente manera:

Situación en la que se conoce la hipotenusa y un án gulo agudo:

Ejemplo:

Es aconsejable por una cuestión de orden anotar que se va a calcular y a partir de allí realizar cada planteo y su respectiva resolución.

Cálculo de |��|

Datos

Incógnitas

C =

B =

|�̂| �

��� =30° 25´ 15”

A = 20 cm

�

�

A

C

B

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo por propiedad suman 180°, y en este caso particular un ángulo es recto, es decir mide 90°, los otros dos sumados deben medir 90° (esta situación nos hace re cordar que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios), situación que nos permite plantear una simple ecuación aditiva.

Planteo

|�̂| � ��� � 90°

Resolución

|�̂| � 30°25´15" � 90°

|�̂| � 90° � ��30°25´15"�������������� ��!�"#�

|�̂| � 59°34´45"

Respuesta: La amplitud de �̂ es 59° 34´ 45”

Cálculo de B

Para calcular el cateto B, debemos pensar en la razón trigonométrica que relaciona a dicho cateto con los datos dados en el problema planteado, en este caso: la hipotenusa y el ángulo �. Observando el triángulo podemos ver que B es el cateto opuesto al ángulo dado. Analizando las distintas funciones trigonométricas la única alternativa posible es el seno.

Planteo

"�%� �&��#�#���!�"#��

'�(���#�%!"�

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

"�%30°25´45" �&��#�#���!�"#��

20�)

& � "�%30°25´45". 20�)������������� �%+��"�

& ≅ 10, 13�)

Respuesta: El cateto B mide aproximadamente: 10,13 cm.

Cálculo de C

Para calcular el cateto C, debemos pensar en la razón trigonométrica que relaciona a dicho cateto con los datos dados en el problema planteado, en este caso: la hipotenusa y el ángulo �. Observando el triángulo podemos ver que C es el cateto adyacente al ángulo dado. Analizando las distintas funciones trigonométricas la única alternativa posible es el coseno.

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

Planteo

��"� �.��#�#��/��%#��

'�(���#�%!"�

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

��"30°25´45" �.��#�#��/��%#��

20�)

& � ��"30°25´45". 20�)������������� �%+��"�

. ≅ 17,25�)

Respuesta: El cateto C mide aproximadamente: 17,25 cm.

Situación en la que se conoce un cateto y un ángulo agudo:

Ejemplo:

Cálculo de | �̂|

Se calcula el ángulo a partir de una ecuación aditiva, tal cual estaba planteada en la situación

anterior.

Planteo

|�̂| � ��� � 90°

Resolución

|�̂| � 58°28´30" � 90°

|�̂| � 90° � ��58°28´30"�������������� ��!�"#�

|�̂| � 31°31´30"

Respuesta: La amplitud de �̂ es 31° 31´ 30”

Cálculo de A

Datos

Incógnitas

C =

A = ��� �

��� =58° 28´ 30”

B = 100 cm

�

�

A

C

B

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

Para calcular la hipotenusa A, debemos pensar en la razón trigonométrica que la relaciona con los

datos dados en el problema planteado, en este caso: un cateto y el ángulo �. Observando el

triángulo podemos ver que la hipotenusa se puede relacionar con el cateto opuesto al ángulo

dado. Analizando las distintas funciones trigonométricas la única alternativa posible es el seno.

Planteo

"�%� �&��#�#���!�"#��

'�(���#�%!"�

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

"�%58°28´30" �100�)

'�(���#�%!"�

'."�%58°28´30" � 100�)������������� �%+��"�

' �100�)

"�%58°28´30"������������� �%+��"�

& ≅ 170,25�)

Respuesta: La hipotenusa A mide aproximadamente: 170,25 cm.

Cálculo de C

Para calcular el cateto C, debemos pensar en la razón trigonométrica que relaciona a dicho cateto

con los datos dados en el problema planteado, en este caso: el cateto B y el ángulo �. Observando

el triángulo podemos ver que C es el cateto adyacente al ángulo dado. Analizando las distintas

funciones trigonométricas la única alternativa posible es la tangente.

Planteo

#2� �&��#�#���!�"#��

.��#�#��/��%#��

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

#258°28´30" �100�)

.��#�#��/��%#��

..#258°28´30" � 100�)������������� �%+��"�

. �100�)

#258°28´30"������������� �%+��"�

& ≅ 61,34�)

Respuesta: El cateto C mide aproximadamente: 61,34 cm.

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

Situación en la que se conocen dos lados, pudiendo ser la hipotenusa y un cateto o los dos catetos

En ambas situaciones se comienza aplicando el teorema de Pitágoras. Para ejemplificar esta

situación vamos a tomar un ejercicio en el que también se deba despejar de dicha fórmula, es

decir, donde se conozca la hipotenusa y un cateto, ya que si se conocen los dos catetos con

simplemente reemplazar se obtiene el valor desconocido.

Ejemplo:

Cálculo de C

Como se explicó anteriormente partimos del teorema de Pitágoras.

Planteo

'4 � &4 �.4

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

�5�)�4 � �3�)�4 �.4

25�)4 � 9�)4 �.45�"� +�)�" "��#�%��"

"��!%�2! �� ����)�"��)�"�)!�"#���%#�%!��ó%���������"��7��)�7��

9�)4 �.4 � 25�)4

.4 � 25�)4 � ��9�)4�������������� ��!�"#�

.4 � 16�)4'� ��%���í9�!����)��")��)���"%�":!��

. � √16�)4 � 4�)

Respuesta: El cateto C mide 4 cm.

Datos

Incógnitas

|�̂| �

C =

��� �

& �3 cm

A = 5 cm

�

�

A

C

B

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

Cálculo de �<= �

Para calcular ���, debemos pensar en la razón trigonométrica que relaciona a dicho ángulo con los

datos dados en el problema planteado, en este caso: la hipotenusa y el cateto B. Observando el

triángulo podemos ver que B es el cateto opuesto al ángulo del cual queremos conocer su

amplitud. Analizando las distintas funciones trigonométricas la única alternativa posible es el seno.

Planteo

"�%� �&��#�#���!�"#��

'�(���#�%!"�

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

"�%��� �3�)5�)

�35

� �! )�"� ���"�%���� usando la calculadora

��"�%� ≅ 36,87

��� ≅ 36°52´12"

Respuesta:���mide aproximadamente: 36°52´12"

Cálculo de |>̂|

Para calcular el ángulo �̂, debemos pensar en la razón trigonométrica que relaciona a dicho ángulo

con los datos dados en el problema planteado, en este caso: la hipotenusa y el cateto B.

Observando el triángulo podemos ver que B es el cateto adyacente al ángulo que queremos

calcular. Analizando las distintas funciones trigonométricas la única alternativa posible es el

coseno.

Planteo

��"�̂ �.��#�#��/��%#��

'�(���#�%!"�

Resolución

Reemplazamos en la fórmula

��"�̂ �35

��"|�̂| �3�)5�)

�35

� �! )�"� ���"�%���� Usando la calculadora

Resolución de Triángulos Rectángulos

�

����"�̂ ≅ 53,13

|�̂| ≅ 57°07´48"

Respuesta:|�̂|mide aproximadamente: 57°07´48"

2.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos .

Nota: Es conveniente dibujar el triángulo, llamar A a la hipotenusa y tener en cuenta al nombrar los lados y los ángulos que queden enfrentados los lados y los ángulos con el mismo nombre.

a) Datos: ' � 1254);|�̂| � 47°12´ � 5�"�!�"#: ��� � 42°48´; & � 852,02); . � 920,10)

b) Datos: ' � 749);��� � 32°10´53" � 5�"�!�"#: |�̂| � 57°49´7"; & � 398,93); . �633,93)

c) Datos: & � 5480);��� � 72°30´18" � 5�"�!�"#: |�̂| � 17°29´42"; ' � 5745,9); . �1727,3)

d) Datos: . � 45,43);|�̂| � 63°20´45" � 5�"�!�"#: ��� � 26°39´15"; & � 50,831); . �22,804)

e) Datos: ' � 628); & � 412 � 5�"�!�"#: . � 473,96); ��� � 41°; |�̂| � 49° f) Datos:& � 7,5); . � 10) � 5�"�!�"#: ' � 12,5); ��� � 36°52´12"; |�̂| � 53°07´48"