gry o sumie niezerowej - strona główna · •aby rozwiązanie gry w strategiach mieszanych miało...

2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1

Gry o sumie niezerowej

Równowagi Nasha


Pytanie

Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie ?

Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a także dla dużej klasy innych gier niekooperacyjnych)

W grach antagonistycznych ich znajomość jest wskazówką dla graczy: wystarczy wybierać strategie prowadzące do równowagi.

Na razie zakładamy zakaz komunikowania się


Przykład 1

A

B

A

(2, 3)

(3, 2)

B

(1, 0)

(0,1)


• W grze Wiersza A dominuje B

• Wiedząc o tym, Kolumna zagra A

• Profil (A,A) jest równowagą czystą Nasha

• Można używać diagramu przesunięć oraz

kryterium dominacji (indywidualna

racjonalność graczy)


Przykład 2

A

B

A

(2, 4)

(1, 0)

B

(3, 1)

(0,4)


Nie ma czystej równowagi Nasha

• Szukamy strategii wyrównującej Wiersza w grze

Kolumny

• W: pA+(1-p)B ?

• K A: 4p+1(1-p) = 0p+4(1-p) : B

• Stąd W : 3/7A+4/7B

• Podobnie K : 1/2A+1/2B po analizie gry Wiersza

• To daje równowagę Nasha z wynikiem (3/2, 16/7)

• Zauważmy , że (A,A) dałoby wynik lepszy dla obu graczy


Przykład 3

A

B

A

(1, 1)

(2, 5)

B

(5, 2)

(-1,-1)


Są dwie czyste równowagi Nasha

Profile (B, A) oraz (A, B) sa równowagami, ale dają różne

wypłaty:

BA jest lepsza dla Wiersza, AB dla Kolumny

Jeśli obaj wybiorą strategie prowadzące do preferowanych

przez siebie równowag, to wyjdzie BB – najgorszy możliwy

wynik na dodatek nie będący równowagą.

Wniosek: równowagi nie są wymienne ani równoważne, a

ich zbiór nie jest prostokątny .


Przykład 4

A

B

A

(3, 3)

(-1, 5)

B

(5,-1)

(0, 0)


Komentarz

• W przykładzie 4 jest jedyna równowaga Nasha:

• Czysta BB – powstaje ze ścisłych dominacji dla

obu graczy

• Lepszy wynik byłby, gdyby obaj gracze wybrali A

• Wniosek: nie można przenieść pojęcia

rozwiązania gry z gier macierzowych na

dwumacierzowe bez zmian.


Profil Pareto -optymalny

• DEF: Profil jest

nieoptymalny w

sensie Pareto, jeśli

istnieje inny profil

dający wszystkim co

najmniej te same

wypłaty, a

przynajmniej jednemu

wyższą.


Kryterium Pareto

• Racjonalność grupowa:

• Tylko profil optymalny w sensie Pareto

może być akceptowalny jako kandydat na

rozwiązanie gry.

• Uwaga: kryterium dominacji interpretuje

się jako racjonalność indywidualną.


Przykład 1

A

B

A

(2, 3)

(3, 2)

B

(1, 0)

(0,1)


W

Kol

BA 1

AA

AB

1

3

3

Przykład 1

Równowaga Nasha


Przykład 2

A

B

A

(2, 4)

(1, 0)

B

(3, 1)

(0,4)


W

Kol

AB 1

AA

1

3

3

Przykład 2

Równowaga Nasha


Przykład 3

A

B

A

(1, 1)

(2, 5)

B

(5, 2)

(-1,-1)


W

Kol

2

AB

BA

2

5

5

Przykład 3

AA


Przykład 4

A

B

A

(3, 3)

(-1, 5)

B

(5,-1)

(0, 0)


W

Kol

AB 1

AA

1

3

3

Przykład 4

Równowaga Nasha


Gry rozwiązywalne

• DEF: Gra dwuosobowa jest rozwiązywalna

w ścisłym sensie , jeśli

• Posiada przynajmniej jedną równowagę

Nasha optymalną w sensie Pareto,

• Jeśli takich równowag jest więcej, to są

one ekwiwalentne i wymienne.


• Drugi warunek oznacza, że dają równe wypłaty, a

także: gdy obaj gracze zagrają dowolne swoje

strategie będące składowymi punktu równowagi,

to otrzymamy punkt równowagi.

• Z naszych przykładów tylko 1 jest rozwiązywalna

w ścisłym sensie

• 2 ma równowagę nieoptymalną, w 3 równowagi

optymalne nie są wymienne ani ekwiwalentne, w

4 równowaga też nie jest optymalna

(ekstremalnie!)


Strategie bezpieczeństwa

• DEF: Strategia optymalna Wiersza

(Kolumny) w grze Wiersza (Kolumny)

nazywa się strategią bezpieczeństwa

Wiersza (Kolumny).

• Odpowiednia wartość wypłaty gracza

nazywa się jego poziomem

bezpieczeństwa


Jeszcze raz Przykład 2

• W grze Wiersza jest

punkt siodłowy AB

• Zatem strategia A

gwarantuje poziom co

najmniej 1

• To jest poziom

bezpieczeństwa Wiersza

A

B

A

2

1

B

3

0


Jeszcze raz Przykład 2

• W grze Kolumny jej

strategia bezpieczeństwa

to 4/7A +3/7B, która daje

poziom co najmniej 16/7

• To jest poziom

bezpieczeństwa Kolumny

A

B

A

4

0

B

1

4


Analiza

• Jeśli obaj gracze zagrają swoje strategie

bezpieczeństwa , otrzymamy profil 4/7AA+3/7AB

• To daje wypłaty (11/7, 16/7)

• Nie jest to wynik paretooptymalny ani nie jest to

równowaga

• Równowaga : [3/7A+4/7B, 1/2A+1/2B] daje wypłaty

(3/2, 16/7)

• Jeśli Kolumna przewiduje, że Wiersz gra strategię

bezpieczeństwa, to powinna zagrać najlepszą

odpowiedź ( strategia kontrbezpieczna) A i wygrać 4.

• Podobnie Wiersz ma strategię kontrbezpieczną B


Strategia

Wiersza

Strategia

Kolumny

Wypłata

Wiersza

Wypłata

Kolumny

Bezp A Bezp.

4/7A+3/7B 1,57 2,29

Bezp A

Kontrb. A 2,00 4,00

Kontrb. B Bezp.

4/7A+3/7B 1,71 2,29

Kontrb. B Kontrb. A

3,00 1,00


Uwagi

• Strategie bezpieczeństwa są nazywane

także maksyminowymi ( od sposobu

obliczania poziomów bezpieczeństwa).

• Średnia wypłata gracza w punkcie

równowagi jest co najmniej taka , jak

poziom bezpieczeństwa.


Przykład 5

• Równowagi :

• BB nieoptymalna

• AC Pareto-optymalna

• To nie są ich strategie

bezpieczeństwa

• Ćwiczenie: wykonaj

odp. Diagramy i rys.

A

B

C

A

(0, -1)

(0, 2)

(2, 3)

B

(0, 0)

(2, 1)

(1,-1)

C

(2, 2)

(1, 4)

(1, -1)


Przykład 6

• !


Teoria użyteczności

• Kiedy próbujemy zastosować teorię gier

do rzeczywistych przykładów, konieczna

jest analiza procesu przypisywania

wartości liczbowych wypłat.

• Podstawy teorii użyteczności stworzyli

von Neumann i Morgenstern.

• Jakie właściwości wypłat są konieczne dla

sensowności wniosków z modelu.


Przypadek 1- jest punkt siodłowy

• To znaczy ,że Wiersz przedkłada go nad inne w jego

kolumnie, zaś każdy w jego wierszu uważa za lepszy.

• Zatem wymagamy jedynie, aby liczby reprezentowały

uporządkowanie wyników od najbardziej do najmniej

preferowanego przez Wiersza (odwrotnie dla kolumny).

• Życzymy sobie by porządek wynikający z preferencji

Wiersza był liniowy.

• Aby grę można było uznać za grę o sumie zerowej,

porządek preferencji Kolumny powinien być odwrotny do

preferencji Wiersza.


Przykład

• Punkt siodłowy BB

• Jeżeli przekształcimy wartości

wypłat przez funkcję rosnącą ,

punkt siodłowy zostanie w tym

samym miejscu

• Zachowają się też wszystkie

dominacje

A B

A 6 1

B 5 4

C 2 3


Skala porządkowa

• DEF: Skalę , na której większa wartość

reprezentuje bardziej preferowany wynik

(znaczenie ma tylko uporządkowanie

wartości) nazywamy skalą porządkową.

• Użyteczności wyznaczone zgodnie z taką

zasadą nazywamy użytecznościami

porządkowymi.


Przypadek 2 – nie ma punktu siodłowego

• Tutaj trzeba posługiwać się

strategiami mieszanymi

• Skala, na której można

interpretować proporcje

między różnicami różnych

wartości nazywamy skalą

interwałową.

• Liczby oddające preferencje

mierzone na skali interwałowej

nazywamy użytecznościami

interwałowymi.

A B

A a b

B c d

Gdy a>b i d>c, to optymalną

strategią Wiersza jest strategia

Mieszana, ale wtedy proporcja

Różnic d-c i a-b musi być

interpretowalna


Loterie

• Aby rozwiązanie gry w strategiach mieszanych

miało sens, liczby wpisane w macierz gry

powinny być użytecznościami interwałowymi.

• Niech możliwymi wynikami będą u, x, w, v

kolejności wg preferencji Wiersza.

• Chcemy tak przypisać liczby wynikom, by

proporcje między różnicami użyteczności

wynikały z preferencji Wiersza:

• Zadajemy Wierszowi pytania o stosunek do

loterii :


u>v niech u=100 , v=0

• Pytamy Wiersza : czy woli x na pewno, czy

loterię gdzie u z prawdopodobieństwem ½ i v

też.

• Jeśli woli x to umieszczamy je w przedziale

(50,100).

• Czy woli x czy loterię 1/2v,3/4u

• Jeśli woli loterię, to x jest w (50,75), itd.

• Aż do odpowiedzi, że są równie korzystne.

• Zgodność oznacza, że położenie wyników

ilustruje preferencje Wiersza w stosunku do

loterii ,np. x=60 ~ 4/10v,6/10u


Kolumna

• Aby gra miała sumę zerową, preferencje

Kolumny powinny być dokładnie odwrotne do

Wiersza.

• Jednak zmieniając punkty końcowe i zachowując

proporcje (tzn . Ustawiając wartości wg wartości

funkcji liniowej rosnącej) dostajemy równoważną

skalę interwałową.

• Wniosek: Niektóre gry o sumie niezerowej są

równoważne grom o sumie zerowej


Przykład 7

• Górna gra nie ma

sumy zerowej ani

stałej, ale stosując do

użyteczności wiersza

funkcję

• G(x)=½(x-17)

• otrzymamy dolną grę.

A B

A (27,-5) (17, 0)

B (19,-1) (23,-3)

A B

A (5,-5) (0,0)

B (1,-1) (3,-3)


-5

5

u

ż

y

t

e

c

z

n

o

ś

c

i

Użyteczności Kolumny

Użyteczności Wiersza 5 15 2

0

20 A

B

AB

BA

BB

AA


Źródła

• J. von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and

Economic Behavior 1944

• I.N. Herstein, J. Milnor, An axiomatic approach to

measurable utility, Econometrica 21(1953), 291-297

• Ph. Straffin, Teoria Gier, W-wa 2004


Typowe błędy

• 1. Odwrócenie przyczynowości :

• Jeśli ktoś przedkłada jakąś propozycję nad inną, to oznacza, że ta propozycja ma wyższą użyteczność.

• 2. Racjonalność :

• Jeśli mając do wyboru jedną z dwóch propozycji osoba wybiera tę o niższej użyteczności, to znaczy, że postępuje nieracjonalnie.


• 3. Dodawanie użyteczności :

• Możemy określić, jaka propozycja jest społecznie najbardziej pożądana, sumując użyteczności różnych osób (Bentham i utylitaryści XIX w.).

• 4. Międzyosobowe porównywanie użyteczności :

• Jeśli dany wynik ma dla jednego z graczy wyższą użyteczność niż dla drugiego, to jest on przez pierwszego gracza bardziej pożądany niż przez drugiego.


John Milnor


John von Neumann


Oskar

Morgenstern


John F.

Nash

80 lat


POBUDKA !!!

Idziemy do domu.

gry o sumie niezerowej - strona główna · •aby rozwiązanie gry w strategiach mieszanych miało...

Documents