grupno napo epetnicamat.rs/wp-content/uploads/2018/05/grupnonapolje.pdf · duxan dragutinovi (isp)...
TRANSCRIPT
Grupno napoe
Duxan Dragutinovi�
1. maj 2018.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 1 / 26
Pregled
1 Algebarske strukture
2 Grupe
Cikliqne grupe
Diedarske grupe
Simetriqna grupa
Eliptiqke krive
Proizvod grupa
3 Prsteni
4 Poa
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 2 / 26
Algebarska struktura
Algebarska struktura za nas
Algebarskom strukturom A � pA,#,�, �, ...q smatramo skup A i na
�emu zadane neke binarne operacije #,�, �... : A2 Ñ A. Namazanimive bi�e:
Grupe
Prsteni (Komutativni prsteni sa jedinicom)
Poa
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 3 / 26
Algebarska struktura
Algebarska struktura za stvarno
Algebarska struktura A je ure�en par A � pA,Sq, gde je A neki skup, a
S neki konaqan skup operacija. Te operacije mogu biti i razliqitih
du�ina. Operacijom du�ine n na skupu A smatramo preslikava�e
w : An Ñ A.
Primer operacija:
Unarne: Istaknuti element
Binarne: �pa, bq :� a� b, a, b, a� b P A
n - arne: wpa1, ..., anq � b, a1, ..., an, b P A
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 4 / 26
Grupe
Grupa
Algebarsku strukturu pG , �q nazivamo grupom, ako zadovoava
naredne uslove:
0. (dobra definisanost) Ako x , y P G tada i x � y P G1. (asocijativnost) Za sve x , y , z P G va�i
x � py � zq � px � yq � z
2. (postoja�e neutrala) Postoji e P G takav da za sve x P G va�i
x � e � e � x � x
3. (postoja�e inverza) Za svako x P G postoji neko y P G tako da
va�i
x � y � y � x � e
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 5 / 26
Grupa
Abelova grupa
Neka pored stavki 0, 1, 2, 3 va�i i stavka:
4. (komutativnost) Za sve x , y P G va�i
x � y � y � x
Takvu grupu nazivamo Abelovom grupom.
Primeri: Z,Q,R
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 6 / 26
Primeri
Primer
1. Neka je G � t3k � 1|k P Zu i neka je na G zadata operacija
uobiqajnog mno�e�a �.
Primer
2. Neka je G � R i neka je operacija zadata sa x � y � 1� x � y .
Da li su pG , �q, pR, �q grupe?
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 7 / 26
Primeri
Primer
3. Neka je G skup svih kvadratnih matrica i neka je na G zadata
operacija mno�e�a matrica �.
Primer
4. Neka je GL2pRq skup svih realnih kvadratnih matrica oblika�a bc d
takvih da je ad � bc � 0 i na GL2pRq zadata operacija
mno�e�a matrica �.
Da li su pG , �q, pGL2pRq, �q grupe?
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 8 / 26
Raquna�e u grupi
Neka je pG , �q grupa i a, b, c P G
Iz a � b � c � a ne mo�emo zakuqiti b � c, to je sluqaj samo
Abelove grupe G
Iz a � b � a � b � a � c � b mo�emo zakuqiti b � a � c
pa � bq�1 � b�1 � a�1
Pixemo an � a � ... � a
Nije taqno pa � bqn � an � bn, sem za Abelove grupe G
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 9 / 26
Primeri, jox jednom
Primer
5. Neka je Z skup celih brojeva, a nZ � tn � k |k P Zu. Poka�imo da su
pZ,�q i pnZ,�q grupe.
Dakle, pnZ,�q je grupa i sadr�ana je u grupi pZ,�q.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 10 / 26
Podgrupe
Podgrupa
Neka je pG , �q grupa, neka je H � G i neka je pH, �q grupa. Tada Hnazivamo podgrupom grupe G , u oznaci H ¤ G .
Za ispitiva�e da li je nexto podgrupa od znaqaja nam je najvixe
slede�a teorema.
Teorema
Neka je pG , �q grupa, H � G , H � H. Tada su slede�e stvari
ekvivalentne:
1. H ¤ G2. Za sve a, b P H a�1 � b P H3. Za sve a, b P H a � b, a�1 P H
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 11 / 26
Cikliqna grupa
Cikliqna grupa
Za grupu G ka�emo da je cikliqna ako postoji a P G tako da je
G � tam|m P Zu. Pixemo G � a ¡.
Ako G ima beskonaqno mnogo elemenata, ka�emo da je
beskonaqnog reda. To se za cikliqne grupe dexava kada ne
postoji n P Z takvo da je an � e.
Inaqe, red grupe je broj |G |.
Ako postoji najma�e n takvo da je an � e, ka�emo da je red
elementa a jednak n i pixemo rpaq � n.
Cikliqne grupe reda n izomorfne su sa Zn.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 12 / 26
Diedarska grupa
Diedarska grupa
Diedarska grupa je grupa simetrija pravilnog n-tougla. Formalno,
Diedarska grupa jeste grupa
Dn � r , s|rn � 1, s2 � 1, sr � r�1s ¡
Geometriju prebacujemo u algebru
r ¡ je podgrupa reda n grupe Dn
s ¡, sr ¡, sr2 ¡, ... su podgrupe reda 2 grupe Dn
Slika: Primer osnih refleksija s, sr , sr2, ...
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 13 / 26
Lagran�ova teorema
Lema
Neka je H podgrupa grupe G i neka je a neki element iz G . Tada
postoji bijekcija izme�u skupova H i aH :� ta � h|h P Hu.
Lema
Neka je H podgrupa grupe G . Neka je na G zadata relacija � sa: a � bakko a�1 � b P H. Tada je � relacija ekvivalencije na G i klasa
ekvivalencije za proizvoan element a P G je Ca � aH.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 14 / 26
Za H podgrupu od G sa rG : Hs oznaqimo broj razliqitih aH za a P G ,tj. broj klasa ekvivalencije relacije �.
Teorema (Lagran�)
Neka je G konaqna grupa i H neka �ena podgrupa. Tada va�i
rG : Hs � |H| � |G |
Specijalno, va�i:
|H| | |G |
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 15 / 26
Naizgled naivni primeri
Lagran� ka�e da i red svakog elementa deli red grupe
Ako je rpaq � n i am � e za neko m, tada n|m
pZpz t0u , �pq qini grupu, gde je �p mno�e�e po modulu p, gde je pprost broj
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 16 / 26
Prostih brojeva postoji beskonaqno mnogo
Teorema
Prostih brojeva postoji beskonaqno mnogo.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 17 / 26
Simetriqna grupa
Simetriqna grupa
Simetriqna grupa skupa X jeste skup svih bijekcija (dakle
funkcija!) iz skupa X na samog sebe sa operacijom kompozicije
preslikava�a. Oznaqavamo je sa SympX q.Za konaqan skup X sa n elemenata koristimo oznaku Sn. Dakle,elementi grupe Sn su permutacije (� bijekcije) skupa t1, 2, ..., nu.
Poka�imo da je ovo stvarno jedna grupa
Koliki je red ove grupe?
Svaku permutaciju iz Sn mo�emo napisati kao proizvod ciklusa
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 18 / 26
Eliptiqke krive
Posmatrajmo jednaqine oblika y2 � x3 � p � x � q i skicirajmo
ih u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Odaberimo proizvono neku taqku sa krive i oznaqimo je sa O.
�u �emo proglasiti neutralom grupe svih taqaka sa eliptiqke
krive u odnosu na operaciju � koju �emo kasnije definisati i ta
taqka O �e zaista biti neutral takve grupe.
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 19 / 26
Sabira�e taqaka (me�ukorak)
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 20 / 26
Sabira�e taqaka
Slika: Sabira�e taqaka na krivoj
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 21 / 26
Tra�e�e inverznog elementa
Slika: Tra�e�e inverznog elementa
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 22 / 26
Proizvod grupa
Direktan proizvod grupa pG , �q i pH,#q jeste grupa pG � H, �q gde jeoperacija � zadata koordinatno, tj. pa, bq � pc , dq :� pa � c , b#dq, zapa, bq, pc , dq P G � H.
Ova definicija je dobra, tj. pG � H, �q je zaista grupa
Primeri: D8 � S93, Klajnova grupa V � Z2 � Z2, Z8 � Z15 � Z15
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 23 / 26
Prsteni
Definicija (Prsten)
Algebarsku strukturu pR,�, �q nazivamo prstenom ako je:
pR,�q Abelova grupa
pRz teu , �q asocijativna (e je neutral za �)
Za sve a, b, c P R va�i pa� bq � c � a � c � b � c i
c � pa� bq � c � a� c � b
Ako pritom postoji neutralni element za � i pRz teu , �q jekomutativna, prsten pR,�, �q nazivamo komutativnim prstenom sa
jedinicom.
Primeri:
pZ,�, �qpZn,�n, �nq
pZn � Zm,�, �q
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 24 / 26
Poa
Definicija (Poe)
Algebarsku strukturu pF ,�, �q nazivamo poem ako je:
pF ,�q Abelova grupa
pF z teu , �q Abelova grupa (e je neutral za �)
Za sve a, b, c P F va�i pa� bq � c � a � c � b � c
Ekvivalentno, poe je komutativni prsten sa jedinicom u kom svaki
element ima inverzni u odnosu na operaciju �.
Nisu primeri: pZ,�, �q, pZn,�n, �nq, pZn � Zm,�, �q
Jesu primeri: pZp,�p, �pq, pQ,�, �q, ...
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 25 / 26
Hvala na pa��i!
Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 26 / 26