graphes fonctionnels anr-graal serge burckel avril 2007
DESCRIPTION
GRAPHES FONCTIONNELS ANR-GRAAL Serge Burckel avril 2007. Informatique pour les Graphes. Graphes pour l’Informatique. Exemple de l’échange E( A,B ) = ( B,A ). Calcul Classique C :=A A:=B B:= C dimension= 3. Calcul Clos A:=A B B:=A B A:=A B dimension= 2. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
GRAPHESFONCTIONNELS
ANR-GRAALANR-GRAAL
Serge Serge BurckelBurckel
avril 2007avril 2007
Graphes pour l’Informatique
Informatique pour les Graphes
Motivations :
Réconcilier les maths et l’info….
Calcul Clos
A:=A BB:=A BA:=A B
dimension=2
Exemple de l’échange
E(A,B) = (B,A)
Calcul Classique
C:=AA:=BB:=C
dimension=3
Maths : hautement parallèles
Info : fortement séquentielle
S Copie de S
N étapes
Image E(S)
N étapes
SImage E(S)
RAM
cache
UC
OBJECTIFS
Applications
Processeurs In Situ
Zero-Delay
Flat-tech
Compilateurs Pré-Comp
Post-Comp
Faisabilité DATA Space=
Comp. Space
Traitement d’images
Cas facile : l’infiniAxiome du choix => (Tarski 1926)l’ensemble S admet un « pairing » càd une injection de S² dans S.Toute application E sur SN se calcule en N+1 étapes d’assignations.
Exemple : calcul de E sur 5
x1 := 2x1 . 3x2 . 5x3 . 7x4 . 11x5
x2 := E2 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x3 := E3 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x4 := E4 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x5 := E5 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x1 := E1 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))
où dp(x) = max{ k : pk | x }
Cas difficile : {0,1}
Puisque : si on peut calculer in situ pour {0,1}N
alors on peut aussi le faire pour FN.
Codage/décodage binaire :
xi [ib1 ib2 …. ibk ]
Résultats par les graphes :
1. Toute application E sur la structure {0,1}N a un calcul clos.(SB)
Graphes Eulériens de De Bruijn + un peu d’Arithmétique
Le modèle standard de Calcul :
3. Toute application linéaire E sur une structure KN a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations linéaires.(Marianne Morillon, SB)
Par les matrices :
2. Toute application E sur la structure {0,1}N a un calcul closen au plus N2 opérations. (Marianne Morillon & SB)
Corollaire 1 Décompositions de graphes par
« Complémentation Locale Relative »
+
Corollaire 3 : représentation calculatoire des matrices.
Toute matrice M à coefficients dans un corps K est représentable par une nouvellematrice associée MC . Ce codage permet de calculer directement les images, les imagesinverses….
Corollaire 2 : décomposition des matrices/graphes
TOUTE matrice carrée sur {0,1} (pas nécessairement inversible)est obtenue à partir de l’identité par une séquence finie d’opérations :
Lignei := Lignei Lignej
Exemple sur {0,1} : E(a,b,c,d)=(a+d,a+b+c, a+c+d,a+c)
1 0 0 1
1 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
M=
MC=
1 0 0 1
1 1 1 1
1 0 1 0
0 0 1 1
Calcul de E :a:=a+d
b:=a+b+c+d
c:=a+c
d:=c+d
==>Calcul de E-1:
d:=c+dc:=a+cb:=a+b+c+da:=a+d
« remonter le temps »
Algorithme de « séquentialisation »simple d’une matrice M.Le cas {0,1} et à réflexion près.
Input : M Output : MC
Pour i de 1 à N :--si M[i,i]=0 alors ----faire M[i,i]:=1(et éventuellement----rectifier la structure initiale associée à M)--pour j de i+1 à N :----si M[j,i]=1 alors :------faire M[j,i]:=0------faire M[j]:=M[j] M[i] (lignes)
Contribution à la quête du GRAAL
A réflexivité près + ordre total sur les sommetsmatrice d’adjacence=graphe dirigé==>calcul clos de matrice en N étapes==> dim(M)=dim(MC)==> l’algorithme précédent entraîne que :Tout graphe G est «construit» par un graphe GC
Graphes comme constructeurs de graphes
G
GC x1:=x1+x2
x2:=x1+x2
Programme
12
Relation d ’équivalence :
GC == HC : « ils construisent les mêmesgraphes (toujours à réflexions près). »
Simplifications de constructeurs. Exemples :
G=GC
====
Analogie avec décompositions modulaireset généralisations...
G GC
H HC
Une autre conséquence :
« les sommets peuvent se servir des opérations réalisées par les sommets précédents »
Un point important et agréable :
par construction, les graphes GC sonttoujours réflexifs…donc aucun soucis pour faire une itération des constructeurs :
G <= GC <= GCC <= GCCC <=….
<= signifiant : appliquer le calculpuis mettre tous les arcs réflexifs.
Mais alors...par finitude, on a ultimement :
G => GCCC...C
Pour un certain k, G construit lui même son k-ième
constructeur itéré !!
G
GC 12
Ici G => GC
Mais ce k peut-être très grand….Pour 4 sommets…jusqu’à 18 itérations.
Une autre conséquence : Noyaux itératifs
THEOREME : Soit G=(V,E) un graphe dirigé finiavec V={ x1 , x2 ,…. , xN } ordonné.
Il existe un stable K0 de G tel quel ’algorithme suivant colorie tousles sommets de G :
0. Colorer les sommets de K0
1. Pour i de 1 à N si xi est colorécolorer les xk tels que (xi , xk)E
Remarque : La preuve de ce Thm initialement basée surles GC a été simplifiée depuis et encore plus par une bonne remarque de Stephan Thomassé (le 4 avril 2007).
4. Toute application bijective E sur une structure FN a un calcul closen au plus 2N-1 opérations.(SB)
5. Toute application E sur une structure FN a un calcul closen au plus 5N-4 opérations.(Emeric Gioan & SB)
6. Toute application E sur une structure FN a un calcul closen au plus 4N opérations.(Emeric Gioan & SB)
résultats récents : inductions/coloriages
Remarque : le calcul clos d’une bijectionsur {0,1}N est toujours de la forme :
x1 := x1 + f1 ( x2 x3 …. xN-1 xN )x2 := x2 + f2 (x1 x3 …. xN-1 xN )x3 := x3 + f3 (x1 x2 …. xN-1 xN )…...xN-1 := xN-1 + fN-1(x1 x2 x3 …. xN )xN := xN + fN (x1 x2 x3 …. xN-1 )xN-1 := xN-1 + gN-1(x1 x2 x3 …. xN )…...x3 := x3 + g3 (x1 x2 …. xN-1 xN )x2 := x2 + g2 (x1 x3 …. xN-1 xN )x1 := x1 + g1 ( x2 x3 …. xN-1 xN )
Conséquence :comme pour les linéaires, le « sens inverse » calcule la bijection inverse E-1.
Pour le LOGarithme Discret..??
Graphes fonctionnels
Les 14 modèles de calculs sur 3 éléments.
3
1 2
4
1
2
3
4
1 4
23234
1
23
4
1
Jeux en 3 étapes.F(1)=3 , F(2)=1 , F(3)=1 , F(4)=1
1234
234
1
STEP : 0 1 2 3
Toute application sur {1,2,3,4} se réaliseen 3 étapes de ce jeu.
Rem : aussi en 2 étapes. Mais pas (2,1,1,1)
Définitions
G=(V,E) un graphe dirigé.
A(V) : les applications de V dans VB(V) : les bijections de V dans V
I(G) A(V) : les applications F ayantcomme support G : Pour tout x de V,
(x , F(x)) est un arc de E.
Soient :G0 ={idV}etGk+1 ={i f : i dans I(G) et f dans Gk }
DéfinitionG est k-fonctionnel si A(V) Gk
G est k-bijectif si B(V) Gk
Autre exemple : « la boule de sapin »
Il est n²-fonctionnel.
Conjecture/Tests pour n=3…7 : il est (n²-3n+3)-fonctionnel.
Résultats partiels :
k-fonctionnel (k+1)-fonctionnelk-bijectif (k+1)-bijectif
k-fonctionnel k-bijectif (trivial)
k-bijectif nk-fonctionnel (…..)
La conjecture entraîne que toute application sur FN se calcule parune séquence de 2N assignations.
CONJECTURE
K-bijectif (K+1)-fonctionnel ???
3-bijectifet
4-fonctionnel
K-bijectif K-fonctionnel
Point remarquable : TOUT graphe qui permet de calculer toutes ses bijectionsen exactement k étapes permet toujours de calculer toutes ses applications !!
Ceci n’est plus vrai s’il ne peut que calculer sesbijections en au plus k étapes :
Développements
Ordres d’assignations & calculs rapides.
EX : E(a,b,c)=(a.b+a.c , b+c , a+b+c)
c := ab := b+ca := a.bc := c+b
Autres modèles de calculs parautres graphes.
(Strassen)
BUT : Etant donnée une bijection E sur {0,1}N exprimée sous forme de N expressions algébriques pour ses projections, trouver une expression algébrique d’un « coloriage » C(X): {0,1}N --> {0,1}des lignes de la table de E tel que pour tous X,X’
C(X)=1+C(X’) si X=[0,x] et X’=[1,x]ou E(X)=[0,y] et E(X’)=[1,y]
METHODE ACTUELLE….trop gourmande et sans doutes inutile :Exemple E(a,b,c)=(b+c,b,a) :
000 000 001 100010 110011 010100 001101 101110 111111 011
0 au choix
1
0
1
0
0 au choix
1
0
1
0
==> C(a,b,c)=a+c
QUESTION TECHNIQUE OUVERTE
MERCI…/