CAHIERSDELA CRMIntroduction lathorie des graphesDidier MllerCAHIERNO6 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUETable des matiresAvant-propos 1But de ce fascicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Corrigs des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Logiciels pour les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Graphes non orients 31.1 Premires dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Quelques types de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Exemple dutilisation dun graphe pour rsoudre un problme . . 41.1.4 Graphes dintervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Graphe partiel et sous-graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Degrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Degr dun sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Degr dun graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Chanes et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Graphes eulriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Graphes hamiltoniens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1 Calcul dun couplage maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Reprsentations non graphiques dun graphe . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9.1 Matrice dadjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9.2 Listes dadjacences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10.1 Codage de Prfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11 Arbres couvrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.1 Arbre couvrant de poids minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12 Coloration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12.1 Encadrement du nombre chromatique . . . . . . . . . . . . . . . 211.12.2 Algorithme de coloration de Welsh et Powell . . . . . . . . . . . 241.12.3 Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.12.4 Coloration des sommets dun graphe planaire . . . . . . . . . . . 241.12.5 Coloration des artes dun graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.13 Graphes trianguls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Graphes orients 292.1 Graphes orients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Degr dun sommet dun digraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Digraphe fortement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Reprsentations non graphiques des digraphes. . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Matrice dadjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Listes dadjacences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Digraphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Graphes de comparabilit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34CAHIERS DE LA CRM No6 i2.7 Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.8 Rseau PERT (Project Evaluation and Review Technique) . . . . . . . . . 37Bibliographie 40Lexique 41Index 46ii No6 CAHIERS DE LA CRMAvant-proposLa mise en oeuvre du RRM a ncessit certains ajustements des programmes de mathma-tiques enseigns dans les gymnases de Suisse romande. La Commission Romande de Ma-thmatique (CRM) tient proposer des moyens denseignement conformes aux exigencesdu rglement de maturit. Aussi ses membres semploient-ils depuis plusieurs annes lamise jour de sa collection Ouvrages collectifs qui couvrent en priorit les besoins duprogramme de niveau standard.Certaines notions gnralement tudies dans les cours de mathmatiques de niveau ren-forc ont t volontairement retires des ouvrages de base. En outre, lintroduction desoptionsspciquesaouvert denouveauxhorizonsquant auxsujetsdemathmatiquesabords. Soucieuse de tenir compte de cette volution, la CRM proposait en 2004 les deuxpremiers ouvrages dune nouvelle collection, les Cahiers de la CRM.Ce cahier, le sixime de la srie, parle des graphes, un sujet inhabituel dans les cours tra-ditionnels de mathmatiques et qui sintgre parfaitement bien dans une Option Spciqueou dans une Option Complmentaire.La CRM est heureuse de prsenter aujourdhui un ouvrage sortant des sentiers battus : Introduction la thorie des graphes de Didier MllerLes ouvrages publis ces dernires annes par la CRM sont marqus par le souci dtre ac-cessibles la lecture individuelle des lves. Jespre quil en ira de mme pour cet ouvrageet que vous aurez grand plaisir vous plonger dans ce monde fascinant des graphes.Tous mes remerciements Didier Mller pour stre lanc dans laventure de la publicationdun cahier, ainsi quaux membres de la CRM qui ont consacr de leur temps une lecturenale minutieuse.Patrick HochuliPrsident de la CRMDcembre 2011But de ce fasciculeLe but de ce fascicule est dinitier les lycens la thorie des graphes.Je nai pas pour ambition de faire une thorie complte, mais de montrer comment lesgraphes peuvent tre une mthode de rsolution de problmes intressante.Ce cours se veut accessible aux lves de lyce, car il ne demande pratiquement pas deconnaissances pralables. Il est dcoup en deux parties principales : les graphes non orien-ts et les graphes orients.Comme la thorie des graphes utilise un jargon bien particulier, le dbut du cours comportebeaucoup de dnitions. Cest un peu rbarbatif, mais indispensable pour la suite. Un indexet un lexique en n de fascicule aideront llve assimiler ces termes.Les exercices sont essentiellement de deux types :Desexercicesthoriquessurlesgraphes, quisontsouventdesdmonstrationsassezsimples, gnralementparinduction, ouparlabsurde ;ilyaaussidesexercicesderexion qui permettent de se rendre compte si on a bien compris un concept ou non.Des exercices pratiques o il peut tre avantageux dutiliser des graphes pour modliseret rsoudre un problme.CAHIERS DE LA CRM No6 1Corrigs des exercicesPar manque de place dans ce fascicule, les corrigs des exercices sont disponibles gratuite-ment sur le site www.nymphomath.ch/graphes. Linternaute trouvera galement sur ce sitequelques applets pour illustrer certains concepts.Logiciels pour les graphesLe logiciel gratuit Grin 4.0 (pour Windows) permet entre autres de :dessiner des graphesproduire la matrice dadjacences daprs le dessincolorer des graphestrouver le plus court chemin dans un graphetrouver les cycles eulriens et hamiltoniensBref, ce logiciel est un complment idal ce cours ! Il a t crit par Vitali Petchenkine etest disponible ladresse web : www.nymphomath.ch/graphes/logiciel/ (la page ofciellede ce programme a disparu du web).Mathematica permet aussi de travailler avec les graphes. Voir [5] dans la bibliographie.Pour aller plus loinPour en savoir beaucoup plus sur les graphes, voici quelques livres que jai utiliss, classsdu plus simple au plus complet :Alain Hertz propose une initiation aux graphes sous forme dnigmes policires [3]. Celaillustre bien comment les graphes peuvent tre utiles pour modliser des problmes.Thorie des graphes [1] donne une base solide, tout en restant accessible au plus grandnombre. Trs agrable lire. Un regret : pas dexercices.Les graphes par lexemple [2] est comme [1] accessible des lycens, mais il contienten plus des exercices corrigs.Introduction to graph theory [6] est trs complet, mais dun niveau universitaire et enanglais.Graphes et algorithmes [4] est un indmodable, de niveau universitaire et malheureuse-ment trs cher.Didier Mller2 No6 CAHIERS DE LA CRM1 Graphes non orients1.1 Premires dnitionsUn graphe niG = (V, E) est dni par lensemble ni V ={v1, v2, . . . , vn} dont les l-ments sont appels sommets (Vertices en anglais), et par lensemble ni E ={e1, e2, . . . , em}dont les lments sont appels artes (Edges en anglais).Une arte e de lensemble Eest dnie par une paire non ordonne de sommets, appelsles extrmits dee. Si larteerelie les sommetsaet b, on dira que ces sommets sontadjacents, ou incidents avece, ou bien que larteeest incidente avec les sommetsaet b.On appelle ordre dun graphe le nombre de sommets n de ce graphe.1.1.1 Reprsentation graphiqueLes graphes tirent leur nom du fait quon peut les reprsenter par des dessins. chaquesommet deG, on fait correspondre un point distinct du plan et on relie les points corres-pondant aux extrmits de chaque arte. Il existe donc une innit de reprsentations dungraphe. Les artes ne sont pas forcment rectilignes.Si on peut dessiner un graphe G dans le plan sans quaucune arte nen coupe une autre (lesartes ne sont pas forcment rectilignes), on dit que G est planaire. Le graphe G ci-dessusest planaire.12534Une reprsentation non planaire dugraphe G (des artes se croisent)1 5432Une reprsentation planaire de G1.1.2 Quelques types de graphesUn graphe est simple si au plus une arte relie deux sommets et sil ny a pas de boucle surun sommet. On peut imaginer des graphes avec une arte qui relie un sommet lui-mme(une boucle), ou plusieurs artes reliant les deux mmes sommets. On appelera ces graphesdes multigraphes.12 43MultigrapheCAHIERS DE LA CRM No6 3Un graphe est connexe sil est possible, partir de nimporte quel sommet, de rejoindretous les autres en suivant les artes. Un graphe non connexe se dcompose en composantesconnexes. Sur le graphe ci-dessous, les composantes connexes sont {1, 2, 3, 4} et {5, 6}.2 13 64 5Graphe non connexeV={1, 2, 3, 4, 5, 6}E =_{1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {5, 6}_Un graphe est complet si chaque sommet du graphe est reli directement tous les autressommets.12534Graphe complet K5V={1, 2, 3, 4, 5}E =_{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3},{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}_Un graphe est biparti si ses sommets peuvent tre diviss en deux ensemblesXetY ,de sorte que toutes les artes du graphe relient un sommet dansX un sommet dans Y(dans lexemple ci-dessous, on a X={1, 3, 5} et Y={2, 4}, ou vice versa).12345Graphe bipartiV={1, 2, 3, 4, 5}E =_{1, 2}, {1, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {4, 5}_1.1.3 Exemple dutilisation dun graphe pour rsoudre un problmeOn a six wagons trier. Dans la gare de triage, les wagons entrent dans lordre 2, 5, 3, 6,1, 4 et doivent sortir dans lordre croissant. Deux wagonsi et j peuvent tre mis sur lamme voie si et seulement sils entrent dans lordre dans lequel ils doivent sortir.Dessinez un graphe illustrant la situation, en indiquant ce que reprsentent les sommets etles artes de votre graphe. Quel sera le nombre minimal de voies ncessaires au tri ?SolutionOn reprsente les wagons par les sommets. Une arte reliedeux sommetsi et j si les wagonsi et j ne peuvent pastre sur la mme voie. On obtient le graphe ci-contre.On voit que 1, 3 et 5 ne peuvent pas tre sur la mme voie.Il faut donc trois voies au minimum.2 13 64 54 No6 CAHIERS DE LA CRMExercice 1Trois professeurs P1, P2, P3 devront donner lundi prochain un certain nombre dheures decours trois classes C1, C2, C3 :P1 doit donner 2 heures de cours C1 et 1 heure C2 ;P2 doit donner 1 heure de cours C1, 1 heure C2 et 1 heure C3 ;P3 doit donner 1 heure de cours C1, 1 heure C2 et 2 heures C3.Comment reprsenter cette situation par un graphe ? Quel type de graphe obtenez-vous ?Combien faudra-t-il de plages horaires au minimum?Aidez-vous du graphe pour proposer un horaire du lundi pour ces professeurs.Exercice 2Untournoidchecsoppose6personnes. Chaquejoueurdoitaffrontertouslesautres.Construisez un graphe reprsentant toutes les parties possibles.Quel type de graphe obtenez-vous ?Si chaque joueur ne joue quun match par jour, combien de jours faudra-t-il pour terminerle tournoi ?Aidez-vous du graphe pour proposer un calendrier des matches.Exercice 3Sur un chiquier33, les deux cavaliers noirs sont placs sur les cases a1et c1, les deux cavaliers blancs occupant les cases a3 et c3.Aidez-vous dun graphe pour dterminer les mouvements alterns des blancset des noirs qui permettront aux cavaliers blancs de prendre les places descavaliers noirs, et vice versa. Les blancs commencent.1.1.4 Graphes dintervallesOn construit un graphe G partir des intervalles de la droite relle I1, . . . , In, o les som-mets de G sont numrots de 1 n. Dans un graphe dintervalles, il existe une arte entreles sommets i et j , i = j , si et seulement si IiIj =.Autrement dit, deux sommets sont relis si et seulement si les deux intervalles correspon-dants se chevauchent.CAHIERS DE LA CRM No6 5Exercice 4Cet exercice est inspir de la nouvelle de Claude Berge Qui a tu le Duc de Densmore(Bibliothque Oulipienne n 67, 1994, Rdition Castor Astral, 2000). Dans cette nouvellepolicire, le lecteur peut dcouvrir le meurtrier grce un thorme combinatoire d aumathmaticien hongrois G. Hajs.Un jour, Sherlock Holmes reoit la visite de son ami Watson que lon avait charg den-quter sur un assassinat mystrieux datant de plus de trois ans. lpoque, le Duc de Densmore avait t tu par lexplosion dune bombe, qui avait en-tirement dtruit le chteau de Densmore o il stait retir. Les journaux dalors relataientque le testament, dtruit lui aussi dans lexplosion, avait tout pour dplaire lune de sessept ex-pouses. Or, avant de mourir, le Duc les avait toutes invites passer quelques joursdans sa retraite cossaise.Holmes : Je me souviens de cette affaire ; ce qui est trange, cest que la bombe avait tfabrique spcialement pour tre cache dans larmure de la chambre coucher, ce quisuppose que lassassin a ncessairement effectu plusieurs visites au chteau !Watson:Certes, etpourcetteraison, jaiinterrogchacunedesfemmes:Ann, Betty,Charlotte, Edith, Flicia, Georgia et Helen. Elles ont toutes jur quelles navaient t auchteau de Densmore quune seule fois dans leur vie.Holmes : Hum! Leur avez-vous demand quelle priode elles ont eu leur sjour respectif ?Watson : Hlas ! Aucune ne se rappelait les dates exactes, aprs plus de trois ans ! Nan-moins, je leur ai demand qui elles avaient rencontr :Ann a rencontr Betty, Charlotte, Flicia et Georgia.Betty a rencontr Ann, Charlotte, Edith, Flicia et Helen.Charlotte a rencontr Ann, Betty et Edith.Edith a rencontr Betty, Charlotte et Flicia.Flicia a rencontr Ann, Betty, Edith et Helen.Georgia a rencontr Ann et Helen.Helen a rencontr Betty, Flicia et Georgia.Vous voyez, mon cher Holmes, les rponses sont concordantes !Cest alors que Holmes prit un crayon et dessina un trange petit dessin, avec des pointsmarqu A, B, C, E, F, G, H et des lignes reliant certains de ces points. Puis, en moins detrente secondes, Holmes dclara : Tiens, tiens ! Ce que vous venez de me dire dtermine dune faon unique lassassin.Qui est lassassin ?1.2 Graphe partiel et sous-grapheSoit G = (V, E)un graphe. Le grapheG= (V, E)est un graphe partiel deG, si Eest inclus dansE. Autrement dit, on obtient Gen enlevant une ou plusieurs artes augraphe G.Pour un sous-ensemble de sommetsAinclus dans V , le sous-graphe deGinduit parAest le graphe G =_A, E(A)_ dont lensemble des sommets est A et lensemble des artesE(A)est form de toutes les artes deGayant leurs deux extrmits dansA. Autrementdit, on obtientGen enlevant un ou plusieurs sommets au grapheG, ainsi que toutes lesartes incidentes ces sommets.6 No6 CAHIERS DE LA CRM2 13 64 5Graphe GV={1, 2, 3, 4, 5, 6}E =_{1, 3}, {1, 4}, {2, 3},{3, 4}, {4, 5}, {5, 6}_2 13 64 5Graphe partiel de GV={1, 2, 3, 4, 5, 6}E =_{1, 3}, {1, 4},{2, 3}, {5, 6}_2 13 65Sous-graphe de GV={1, 2, 3, 5, 6}E =_{1, 3}, {2, 3}, {5, 6}_Un graphe partiel dun sous-graphe est un sous-graphe partiel deG. On appelle cliqueun sous-graphe complet deG. Dans le grapheGci-dessus, le sous-grapheK= (V, E),avec V={1, 3, 4} et E =_{1, 3}, {1, 4}, {3, 4}_est une clique.Exercice 5Montrez que dans un groupe form de six personnes, il y en a ncessairement trois quiseconnaissent mutuellement outroisqui neseconnaissent pas(onsupposequesi Aconnat B, B connat galement A).Montrez que cela nest plus ncessairement vrai dans un groupe de cinq personnes.1.3 Degrs1.3.1 Degr dun sommetOn appelle degr du sommet v, et on note d(v), le nombre dartes incidentes ce sommet.Attention ! Une boucle sur un sommet compte double.Dans un graphe simple, on peut aussi dnir le degr dun sommet comme tant le nombrede ses voisins (la taille de son voisinage).Dans le multigraphe ci-contre, on a les degrs :d(v1) = 2d(v2) = 2d(v3) = 4d(v4) = 1d(v5) = 3v1v2v5v3v4Thorme 1.1 (Lemme des poignes de mains)La somme des degrs des sommets dun graphe est gale deux fois le nombre dartes.Exercice 6Dmontrez le lemme des poignes de mains.CAHIERS DE LA CRM No6 71.3.2 Degr dun grapheLe degr dun graphe est le degr maximum de tous ses sommets. Dans lexemple ci-dessous, le degr du graphe est 4, cause du sommet v3.v1v2v5v3v4Un graphe dont tous les sommets ont le mme degr est dit rgulier. Si le degr communest k, alors on dit que le graphe est k-rgulier.Exercice 7Montrez quun graphe simple a un nombre pair de sommets de degr impair.Exercice 8Montrez que dans une assemble de n personnes, il y a toujours au moins 2 personnes quiont le mme nombre damis prsents.Exercice 9Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit reli avec exacte-ment trois autres ?Exercice 10On sintresse aux graphes 3-rguliers. Construisez de tels graphes ayant 4, 5, 6, puis 7sommets. Quen dduisez-vous ? Prouvez-le !Exercice 11Une suite dcroissante (au sens large) dentiers est graphique sil existe un graphe simpledont les degrs des sommets correspondent cette suite. Par exemple, un triangle corres-pond la suite (2, 2, 2). Les suites suivantes sont-elles graphiques ?1) (3, 3, 2, 1, 1)2) (3, 3, 1, 1)3) (3, 3, 2, 2)4) (4, 2, 1, 1, 1, 1)5) (5, 3, 2, 1, 1, 1)6) (5, 4, 3, 1, 1, 1, 1)Trouvez deux graphes correspondant la suite (3, 2, 2, 2, 1).1.4 Chanes et cyclesUne chane dans G, est une suite ayant pour lments alternativement des sommets et desartes, commenant et se terminant par un sommet, et telle que chaque arte est encadrepar ses extrmits.8 No6 CAHIERS DE LA CRMOn dira que la chane relie le premier sommet de la suite au dernier sommet. En plus, ondira que la chane a pour longueur le nombre dartes de la chane.Le graphe ci-dessous contient entre autres les chanes (v1, e1, v2, e2, v3, e5, v5)et(v4, e4, v3, e2, v2, e1, v1).v1v2v5v3v4e1e3e2e5e4On ne change pas une chane en inversant lordre des lments dans la suite correspondante.Ainsi, les chanes(v1, e3, v3, e4, v4) et(v4, e4, v3, e3, v1) sont identiques.Exercice 12Dans certains livres, on dnit une chane comme une suite de sommets. Pour quel type degraphe cette dnition nest-elle pas adquate ?On appelle distance entre deux sommets la longueur de la plus petite chane les reliant.On appelle diamtre dun graphe la plus longue des distances entre deux sommets.Une chane est lmentaire si chaque sommet y apparat au plus une fois.Une chane est simple si chaque arte apparat au plus une fois. Dans le graphe prcdent,(v1, e1, v2, e2, v3) est une chane simple et lmentaire.Une chane dont les sommets de dpart et de n sont les mmes est appele chane ferme.Dans le graphe prcdent,(v4, e4, v3, e5, v5, e5, v3, e4, v4) est une chane ferme.Une chane ferme simple est appele cycle. Dans le graphe prcdent, la chane(v1, e1, v2, e2, v3, e3, v1) est un cycle.Exercice 13Quels sont les graphes de diamtre 1 ?Thorme 1.2Un graphe est biparti si et seulement sil ne contient aucun cycle de longueur impaire.Exercice 14Dmontrez le thorme 1.2.Exercice 15Montrez que ce graphe est biparti :1 23 45 67 8CAHIERS DE LA CRM No6 9Thorme 1.3Pour un graphe G ayant m artes, n sommets et p composantes connexes, on dnit :(G) = mn+ p(G) est appel le nombre cyclomatique. Prononcer nu de G.On a (G) 0 pour tout graphe G.De plus, (G) = 0 si et seulement si G est sans cycle.Exercice 16Dmontrez le thorme 1.3.1.5 Graphes eulriensOn appelle cycle eulrien dun graphe G un cycle passant une et une seule fois par chacunedes artes de G. Un graphe est dit eulrien sil possde un cycle eulrien.On appelle chane eulrienne dun graphe G une chane passant une et une seule fois parchacune des artes deG. Un graphe ne possdant que des chanes eulriennes est semi-eulrien.Plus simplement, on peut dire quun graphe est eulrien (ou semi-eulrien) sil est possiblede dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur la mme arte.Exercice 17Cet exercice est un des problmes fondateurs de la thorie des graphes, propos par lemathmaticien suisse Leonhard Euler en 1736.En 1652, la ville de Knigsberg (aujourdhui Kaliningrad) possde sept ponts enjambantla Pregel, qui coule de part et dautre de lle de Kneiphof.Knigsberg en 1652Au cours dune promenade, est-il possible de passer sur tous les ponts de la ville une et uneseule fois ?10 No6 CAHIERS DE LA CRMExercice 18Donnez un critre permettant de dire coup sr si un graphe est eulrien.Exercice 19Les graphes suivants sont-ils eulriens (ou semi-eulriens) ?2 13 64 51253412345Exercice 20Soit G un graphe non eulrien. Est-il toujours possible de rendre G eulrien en lui rajoutantun sommet et quelques artes ?Exercice 21Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16 segmentsde la gure suivante exactement une fois ?Exercice 22On considre des dominos dont les faces sont numrotes 1, 2, 3, 4 ou 5.1) En excluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on ?2) Montrez que lon peut arranger ces dominos de faon former une boucle ferme (enutilisant la rgle habituelle de contact entre les dominos).3) Pourquoi nest-il pas ncessaire de considrer les dominos doubles ?4) Si lon prend maintenant des dominos dont les faces sont numrotes de 1 n, est-ilpossible de les arranger de faon former une boucle ferme ?1.6 Graphes hamiltoniensOn appelle cycle hamiltonien dun grapheGun cycle passant une et une seule fois parchacun des sommets deG. Un graphe est dit hamiltonien sil possde un cycle hamilto-nien.On appelle chane hamiltonienne dun graphe G une chane passant une et une seule foispar chacun des sommets de G. Un graphe ne possdant que des chanes hamiltoniennes estsemi-hamiltonien.Contrairement aux graphes eulriens, il nexiste pas de caractrisation simple des graphes(semi-)hamiltoniens. On peut noncer quelques proprits et conditions sufsantes :CAHIERS DE LA CRM No6 11un graphe possdant un sommet de degr 1 ne peut pas tre hamiltonien ;si un sommet dans un graphe est de degr 2, alors les deux artes incidentes ce sommetdoivent faire partie du cycle hamiltonien ;les graphes complets Kn sont hamiltoniens.Thorme 1.4 (Ore)SoitGungraphesimpledordren3.Sipourtoutepaire {x, y}desommetsnonadjacents, on a d(x) +d(y) n, alors G est hamiltonien.Corollaire 1.5 (Dirac)Soit G un graphe simple dordre n3. Si pour tout sommet x de G, on a d(x) n2,alors G est hamiltonien.En effet, un tel graphe vrie les conditions du thorme prcdent, car sixetyne sontpas adjacents, on a bien : d(x) +d(y) n2 + n2= n.Exercice 23Dessinez un graphe dordre au moins 5 qui est. . .1) hamiltonien et eulrien2) hamiltonien et non eulrien3) non hamiltonien et eulrien4) non hamiltonien et non eulrien.Exercice 24Un club de 9 joueurs se runit chaque jour autour dune table ronde. Une rgle du clubinterdit quun joueur ait deux fois la mme personne ct de lui.1) Combien de jours au maximum pourront-ils se runir en satisfaisant cette rgle ?2) Donnez une organisation de la table pour chacun de ces jours.3) Mme question que 1), mais avec 3 tables de 3 places.4) Donnez une organisation des trois tables pour chacun de ces jours.Exercice 25Huit personnes se retrouvent pour un repas de mariage. Le graphe ci-dessous prcise lesincompatibilits dhumeur entre ces personnes (une arte reliant deux personnes indiquequelles ne se supportent pas).A BH CG DF E12 No6 CAHIERS DE LA CRMProposez un plan de table (la table est ronde) en vitant de placer cte cte deux personnesincompatibles.1.7 CouplagesSoit G un graphe simple. Un couplage C de G est un sous-graphe partiel 1-rgulier de G.On peut aussi dire quun couplage (ou appariement) est un ensemble dartes deux deuxnon-adjacentes.Un sommet v est satur par un couplage C si v est lextrmit dune arte de C. Dans lecas contraire, v est insatur.Un couplage maximum est un couplage contenant le plus grand nombre possible dartes.Un graphe peut possder plusieurs couplages maximum.12534En gras, un couplage maximum de G. Les sommets 1, 3, 4 et 5 sont saturs.Un couplage parfait est un couplage o chaque sommet du graphe est satur.1 23 45 6Un couplage1 23 45 6Un couplage maximum et parfait1.7.1 Calcul dun couplage maximumSi C est un couplage de G, on appelle chane alterne une chane lmentaire de G dontles artes sont alternativement dans C et hors de C.Une chane alterne est dite augmentante si elle relie deux sommets insaturs. Ci-dessus, gauche, la chane 1-4-3-6 est augmentante. En intervertissant les paisseurs des artesle long de cette chane, on obtient un meilleur couplage (ci-dessus, droite).Thorme 1.6 (Berge, 1957)Un couplage C est maximum si et seulement sil nexiste pas de chane augmentanterelativement C.Exercice 26Une assemble est forme de personnes parlant plusieurs langues diffrentes (voir tableauci-aprs). On veut former des binmes de personnes qui pourront dialoguer entre elles.Comment maximiser le nombre de binmes ?CAHIERS DE LA CRM No6 13Allemand Anglais Arabe Chinois Franais Espagnol RusseAlfred $ $Bernard $ $Claude $ $Denis $Ernest $Fabien $ $ $Georges $ $Henri $ $ $Isidore $ $Joseph $ $Kurt $ $Louis $Exercice 27Une entremetteuse essaie de former le plus de couples possible avec 6 lles et 6 garonsen fonction de critres esthtiques et de compatibilit dhumeur. Elle a dress le tableaudincompatibilits ci-aprs, o une croix indique que deux personnes sont incompatibles.Combien de couples pourra-t-elle former au maximum?Anne Batrice Carine Drew Elonore FlorieAlfred $ $ $ $Bernard $Claude $ $ $ $Denis $ $ $Ernest $ $Fabien $ $ $ $1.8 Graphes planairesOn dit quun graphe est planaire si on peut le dessiner dans le plan de sorte que ses artesne se croisent pas. Rappelons que les artes ne sont pas forcment rectilignes.Une carte, ou graphe planaire topologique, est une reprsentation particulire dun mul-tigraphe planaire ni. On dit quune carte est connexe si son graphe lest. Une carte divisele plan en plusieurs rgions.Par exemple, la carte ci-dessous, avec sept sommets et neuf artes, divise le plan en quatrergions(A, B,C, D). Trois rgions sont limites alors que la quatrime (D), extrieure audiagramme, ne lest pas.1 562 3 74ABCD14 No6 CAHIERS DE LA CRMLe degr dune rgionr, notd(r), est la longueur de la chane ferme minimum pas-sant par tous les sommets qui dlimitent cette rgion. Dans le graphe ci-dessus, d(A) = 6(la rgion A est dlimite par la chane ferme passant par les sommets(1, 2, 3, 5, 6, 5, 1)),d(B) = 4, d(C) = 3 et d(D) = 5.On remarque que toute arte limite deux rgions, ou est contenue dans une rgion et estalors compte deux fois dans la chane ferme. Nous avons donc un lemme pour les rgions,analogue au lemme des poignes de mains pour les sommets.Thorme 1.7La somme des degrs des rgions dune carte connexe est gale deux fois le nombredartes.On peut vrier ce thorme sur le graphe prcdent : il comporte 9 artes et la somme desdegrs des rgions vaut 18.Thorme 1.8 (Euler, 1752)Euler atabli uneformuleclbrequi relielenombredesommetsS, lenombredartes A et le nombre de rgions R dune carte connexe :SA+R = 2Exercice 28Dmontrez le thorme dEuler en procdant par rcurrence sur les sommets.Thorme 1.9 (Kuratowski, 1930)Un graphe est non planaire si et seulement sil contient un sous-graphe homomorphe(voir lexique) au graphe biparti K3,3 ou au graphe complet K5.12345612534Exercice 29Utilisez le thorme dEuler pour dmontrer que le graphe biparti K3,3 nest pas planaire.1.9 Reprsentations non graphiques dun graphe1.9.1 Matrice dadjacencesOn peut reprsenter un graphe simple par une matrice dadjacences. Une matrice (nm)est un tableau denlignes et mcolonnes. (i, j)dsigne lintersection de la lignei et deCAHIERS DE LA CRM No6 15la colonne j . Dans une matrice dadjacences, les lignes et les colonnes reprsentent lessommets du graphe. Un 1 la position(i, j)signie que le sommetiest adjacent ausommet j .1 5432M =______0 0 1 1 10 0 1 0 01 1 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 0______Cette matrice a plusieurs caractristiques :1. Elle est carre : il y a autant de lignes que de colonnes.2. Il ny a que des zros sur la diagonale allant du coin suprieur gauche au coin inf-rieur droit. Un 1 sur la diagonale indiquerait une boucle.3. Elle est symtrique : mi j =mji. On peut dire que la diagonale est un axe de symtrie.4. Une fois que lon xe lordre des sommets, il existe une matrice dadjacences uniquepour chaque graphe. Celle-ci nest la matrice dadjacences daucun autre graphe.Exercice 30On a calcul ci-dessous les matrices M2et M3(M est la matrice ci-dessus). Pour chacunede ces matrices, quoi correspondent les nombres obtenus ?M2=______3 1 2 2 21 1 0 1 12 0 4 2 22 1 2 3 22 1 2 2 3______M3=______6 2 8 7 72 0 4 2 28 4 6 8 87 2 8 6 77 2 8 7 6______1.9.2 Listes dadjacencesOn peut aussi reprsenter un graphe simple en donnant pour chacun de ses sommets la listedes sommets auxquels il est adjacent. Ce sont les listes dadjacences.1 54321 : 3, 4, 52 : 33 : 1, 2, 4, 54 : 1, 3, 55 : 1, 3, 4Exercice 31Dcrivez le graphe G ci-dessous par une matrice dadjacences et des listes dadjacences.7 2 153 4 616 No6 CAHIERS DE LA CRM1.10 ArbresOn appelle arbre tout graphe connexe sans cycle. Un graphe sans cycle mais non connexeest appel une fort.Une feuille ou sommet pendant est un sommet de degr 1.2 13 64 5ArbreLes sommets 1, 2 et 5 sont les feuilles2 13 64 5FortLes sommets 1, 2, 5 et 6 sont les feuillesThorme 1.10Les afrmations suivantes sont quivalentes pour tout graphe G n sommets.1. G est un arbre,2. G est sans cycle et connexe,3. G est sans cycle et comporte n1 artes,4. G est connexe et comporte n1 artes,5. chaque paire u, v de sommets distincts est relie par une seule chane simple (etle graphe est sans boucle).Exercice 32Dmontrez le thorme 1.10. Pour cela, utilisez le thorme 1.3.Thorme 1.11Tout arbre ni avec aumoins deuxsommets comporte aumoins deuxsommetspendants.Exercice 33Dmontrez le thorme 1.11.Exercice 34Combien darbres diffrents existe-t-il avec 5 sommets ? avec 6 sommets ? avec 7 som-mets ?Exercice 35Dmontrez quun arbre a au plus un couplage parfait. Quelle est la condition ncessaireet sufsante pour quun arbre Tait un couplage parfait ?CAHIERS DE LA CRM No6 171.10.1 Codage de PrferLe codage de Prfer (1918) est une manire trs compacte de dcrire un arbre. Il a tpropos par le mathmaticien allemand Ernst Paul Heinz Prfer (1896-1934).CodageSoit larbre T= (V, E) et supposons V={1, 2, . . . , n}.Lalgorithme ci-dessous fournira le code deT , cest--dire une suiteSden 2termesemployant (ventuellement plusieurs fois) des nombres choisis parmi 1, . . . , n.Pas gnral de lalgorithme de codage( rpter tant quil reste plus de deux sommets dans larbre T )1. identier la feuille v de larbre ayant le numro minimum;2. ajouter la suite S le seul sommet s adjacent v dans larbre T;3. enlever de larbre Tle sommet v et larte incidente v.Exemple de codage2 3 41 5 6S ={}2 3 45 6S ={2}3 45 6S ={2, 3}35 6S ={2, 3, 3}36S ={2, 3, 3, 3}Il reste 2 sommets :n du codageDcodageDonne : suite S de n2 nombres, chacun provenant de {1, . . . , n}.Posons I ={1, . . . , n}.Pas gnral de lalgorithme de dcodage( rpter tant quil reste des lments dans S et plus de deux lments dans I )1. identier le plus petit lment i de Inapparaissant pas dans la suite S ;2. relier par une arte deTle sommetiavec le sommetscorrespondant au premierlment de la suite S ;3. enlever i de Iet s de S.Les deux lments qui restent dans I la n de lalgorithme constituent les extrmits dela dernire arte ajouter T .18 No6 CAHIERS DE LA CRMExemple de dcodage2 3 41 5 6S ={2, 3, 3, 3}I ={1, 2, 3, 4, 5, 6}2 3 41 5 6S ={3, 3, 3}I ={2, 3, 4, 5, 6}2 3 41 5 6S ={3, 3}I ={3, 4, 5, 6}2 3 41 5 6S ={3}I ={3, 5, 6}2 3 41 5 6S ={}I ={3, 6}2 3 41 5 6S ={}I ={}Exercice 36Trouvez le codage de Prfer de larbre ci-dessous.1 2 6 8 104 3 5 7 9Exercice 37Dessinez larbre correspondant la suite S ={1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}.Thorme 1.12 (Cayley, 1857)Lenombredarbresquelonpeut construiresurn(n 2)sommetsnumrotsestgal nn2.Exercice 38Dmontrez le thorme 1.12. Utilisez le codage de Prfer.1.11 Arbres couvrants12534Graphe G12534Un arbre couvrantUn arbre couvrant (aussi appel arbre maximal) est un graphe partiel qui est aussi unarbre.Exercice 39Combien darbres couvrants diffrents le graphe G ci-dessus possde-t-il ?CAHIERS DE LA CRM No6 191.11.1 Arbre couvrant de poids minimumSoit le graphe G = (V, E) avec un poids associ chacune de ses artes. On veut trouver,dans G, un arbre maximal A = (V, F) de poids total minimum.Algorithme de Kruskal (1956)Donnes : Graphe G = (V, E) (|V| = n, |E| = m) Pour chaque arte e de E, son poids c(e).Rsultat : Arbre ou fort maximale A = (V, F) de poids minimum.Trier et renumroter les artes de G dans lordre croissant de leur poids :c(e1) c(e2) . . . c(em).Poser F :=, k := 0Tant que k < m et |F| < n1 faireDbutsi ek+1 ne forme pas de cycle avec Falors F := F {ek+1}k := k +1FinExemple1 2 34 5 653245211 31 2 34 5 611 2 34 5 6111 2 34 5 62111 2 34 5 621121 2 34 5 642112Les artes depoids 3nont pas putreplaces, car elles auraient formuncycle.Lalgorithme sest arrt ds que cinq artes ont t places. Toute arte supplmentaireaurait cr un cycle.Sil y a plusieurs artes de mme poids, il peut y avoir plusieurs arbres couvrants de poidsminimum : tout dpend de lordre dans lequel ces artes ont t tries.Exercice 40Trouvez tous les arbres couvrants de poids minimum du graphe ci-aprs (les chiffres surles artes reprsentent leur poids).v1v6v2v7v5v3v412222352211320 No6 CAHIERS DE LA CRM1.12 ColorationSoit G = (V, E) un graphe. Un sous-ensemble S de Vest un stable sil ne comprend quedes sommets non adjacents deux deux. Dans le graphe ci-dessous, {v1, v2}forment unstable ; {v2, v4} aussi, ainsi que {v2, v5} et {v3, v5}.Le cardinal du plus grand stable est le nombre de stabilit de G ; on le note (G). Dansle graphe ci-dessous, on a (G)=2.v1v2v5v3v4La coloration des sommets dun graphe consiste affecter tous les sommets de ce grapheune couleur de telle sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la mme couleur. Unecoloration avec k couleurs est donc une partition de lensemble des sommets en k stables.Le nombre chromatique du graphe G, not (G), est le plus petit entier k pour lequel ilexiste une partition de Ven k sous-ensembles stables.Sur le graphe ci-dessous, on a eu besoin de trois couleurs (notes 1, 2 et 3) pour colorer lessommets de sorte que deux sommets adjacents aient des couleurs diffrentes. On a donctrois stables : {v1, v2}, {v3, v5} et {v4}. On ne peut pas utiliser moins de couleurs, causedes cliques {v1, v4, v5} et {v1, v3, v4}.v1v2v5v3v412321Remarquons enn que le sommet v2aurait aussi pu tre color 3 . La coloration mini-male nest donc pas forcment unique.1.12.1 Encadrement du nombre chromatiqueMajoration (G) r +1, o r est le plus grand degr des sommets de G.Preuve : Soit un graphe et rle degr maximum de ses sommets. Donnons-nous unepalette de(r +1)couleurs. Pour chaque sommet du graphe on peut tenir le raisonne-ment suivant : ce sommet est adjacent rsommets au plus, et le nombre de couleursdj utilises pour colorer ces sommets est donc infrieur ou gal r. Il reste donc aumoins une couleur non utilise dans la palette, avec laquelle nous pouvons colorer notresommet. (G) n+1(G)Preuve : ConsidronsSun stable de Vde cardinalit (G). Une coloration possibledes sommets consiste colorer les sommets de S dune mme couleur et les n (G)autres sommets de couleurs toutes diffrentes. On en dduit que (G) 1+(n(G)).CAHIERS DE LA CRM No6 21Minoration Lenombrechromatiquedungrapheestsuprieurougalceluidechacundesessous-graphes.Preuve : Ce rsultat dcoule de la dnition mme du nombre chromatique. Le nombre chromatique du graphe sera suprieur ou gal lordre de sa plus grandeclique, que lon note (G) (prononcer omga de G). Autrement dit, (G) (G)Preuve :Puisque, pardnition, dansunecliquedordrem, touslessommetssontadjacents entre eux, il faudra m couleurs. Donc, il faudra au moins (G) couleurs pourcolorer le graphe G.Exercice 41Majorez et minorez le nombre chromatique de ce graphe.v1v6v2v7v5v3v4Exercice 42On donne un graphe de 7 sommets par sa matrice dadjacencesMci-dessous. Ce graphereprsente les 7 bancs dun parc et les alles permettant de passer de lun lautre.M =__________0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 01 0 0 0 1 0 0__________1. On veut peindre les bancs de faon que deux bancs relis par une alle soient toujoursdecouleursdiffrentes.Donnezunencadrementdunombreminimaldecouleursncessaire, en justiant. Dterminez ce nombre.2. Est-il possible de parcourir toutes les alles de ce parc sans passer deux fois par lamme alle ?3. Est-il possible de parcourir des alles de ce parc en passant ct de chaque bancexactement une fois ?Exercice 43Sept lves, dsigns par A, B, C, D, E, F et G, se sont rendus la bibliothque aujourdhui.Le tableau suivant prcise qui a rencontr qui (la bibliothque tant petite, deux lvesprsents au mme moment se rencontrent ncessairement...).llve A B C D E F Ga rencontr D,E D,E,F,G E,G A,B,E A,B,C,D,F,G B,E,G B,C,E,F22 No6 CAHIERS DE LA CRMDe combien de places assises doit disposer la bibliothque pour que chacun ait pu travaillercorrectement au cours de cette journe ?Exercice 44Sept agences de voyage proposent des visites de monuments et lieux emblmatiques deSaint-Ptersbourg : la cathdrale Saint-Isaac, le Muse de lErmitage, le Muse russe et laforteresse Pierre et Paul. Un mme lieu ne peut pas tre visit par plusieurs groupes decompagnies diffrentes le mme jour.La premire compagnie fait visiter uniquement la cathdrale Saint-Isaac ; la seconde lacathdrale Saint-Isaac et le Muse russe ; la troisime la forteresse Pierre et Paul ; la qua-trime le Muse russe et la forteresse Pierre et Paul ; la cinquime la cathdrale Saint-Isaacet le Muse de lErmitage ; la sixime le Muse de lErmitage et la forteresse Pierre etPaul ; la septime le Muse russe et le Muse de lErmitage.Ces agences peuvent-elles organiser les visites sur les trois premiers jours de la semaine ?Exercice 45Un lyce doit organiser les horaires des examens. On suppose quil y a 7 preuves pla-nier, correspondant aux cours numrots de 1 7 et que les paires de cours suivantes ontdes tudiants communs : 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 7, 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, 2 et 7, 3 et 4, 3et 6, 3 et 7, 4 et 5, 4 et 6, 5 et 6, 5 et 7 et enn 6 et 7.Comment organiser ces preuves de faon quaucun tudiant nait passer deux preuvesen mme temps et cela sur une dure minimale ?Exercice 46On veut transporter des produits chimiques par le rail. A, B, C, D, E, F, G et H dsignenthuit produits chimiques. Dans le tableau ci-dessous, une croix signie que les produits nepeuvent pas tre entreposs dans le mme wagon, car il y aurait risque dexplosion :A B C D E F G HA $ $ $ $ $B $ $ $ $C $ $ $ $ $D $ $ $ $E $ $ $ $F $ $ $G $ $ $ $H $ $ $Quel nombre minimum de wagons faut-il ?Exercice 47Tout graphe contenant un triangle (K3) ne peut pas tre color en moins de trois couleurs.1. Construire un graphe sans K3 qui ncessite galement trois couleurs.2. Comment, partir du graphe prcdent, construire un graphe sans K4ncessitant 4couleurs ?3. Comment construire un graphe sans K5 ncessitant 5 couleurs ?CAHIERS DE LA CRM No6 23Exercice 48Exprimez la rsolution dun Sudoku classique en termes de coloration de graphe. Dcrivezle graphe (nombre de sommets, nombre dartes, etc.). Combien faut-il de couleurs ?1.12.2 Algorithme de coloration de Welsh et PowellCet algorithmecouramment utilispermet dobtenir uneassezbonnecolorationdungraphe, cest--direunecolorationnutilisant pasuntropgrandnombredecouleurs.Cependant il nassure pas que le nombre de couleurs soit minimum (et donc gal au nombrechromatique du graphe).tape 1Classer les sommets du graphe dans lordre dcroissant de leur degr, et attribuer chacundes sommets son numro dordre dans la liste obtenue.tape 2En parcourant la liste dans lordre, attribuer une couleur non encore utilise au premiersommet non encore color, et attribuer cette mme couleur chaque sommet non encorecolor et non adjacent un sommet de cette couleur.tape 3Sil reste des sommets non colors dans le graphe, revenir ltape 2. Sinon, FIN.Exercice 49Utilisez lalgorithme de coloration de Welsh et Powell pour colorer les graphes des exer-cices 41, 44 et 45.1.12.3 Graphes parfaitsDans le cadre de la thorie des graphes, Claude Berge a introduit en 1960 la notion degraphe parfait comme dnissant un graphe pour lequel le nombre chromatique de chaquesous-graphe induit et la taille de la plus grande clique dudit sous-graphe induit sont gaux.Un graphe G est donc parfait si pour tout sous-graphe induit G de G on a (G) =(G).1.12.4 Coloration des sommets dun graphe planaireThorme 1.13 (Thorme des quatre couleurs)On peut colorer les sommets dun graphe planaire (sans boucles) en utilisant au plusquatrecouleursdetellesortequetouteslesartesaientdesextrmitsdecouleursdiffrentes.Cette conjecture a t formule pour la premire fois par lcossais Francis Guthrie en 1852.Il tait alors question de coloration de carte de gographie (voir exercice 51). La preuvede ce thorme narriva quen... 1976, grce Kenneth Appel et Wolfgang Haken. La d-monstration t grand bruit car ce fut le premier thorme de lhistoire des mathmatiquesqui a ncessit lusage systmatique de lordinateur.Exercice 50Colorez cet oeuf et le billet pos dessus avec le moins de couleurs possibles, en faisant ensorte que deux rgions voisines aient des couleurs diffrentes.24 No6 CAHIERS DE LA CRMCombien de couleurs donne lalgorithme de Welsh et Powell ?Exercice 51Colorez la carte des communes dAjoie ci-dessous en utilisant le moins de couleurs pos-sibles, de sorte que deux rgions voisines aient des couleurs diffrentes.Construisez dabord un graphe associ cette carte, puis colorez-en les sommets.1.12.5 Coloration des artes dun grapheLa coloration des artes dun graphe consiste affecter toutes les artes de ce graphe unecouleur de telle sorte que deux artes adjacentes ne portent pas la mme couleur.Lindice chromatiquedugrapheGestlepluspetitentier kpourlequelilexisteunecoloration des artes ; on le note (G).Pour colorer les artes dun graphe, on peut se ramener au problme de la coloration dessommets. Il suft pour cela de travailler non pas sur le graphe lui-mme, mais sur le grapheadjoint, not G, et que lon dnit ainsi :1. chaque arte de G = (V, E) correspond un sommet de G = (E, F)2. deux sommets de G sont relis par une arte si les deux artes correspondantes de Gsont adjacentes.CAHIERS DE LA CRM No6 25v1v2v5v3v4e1e3e2e5e4e6Graphe Ge1e2e6e3e5e4Graphe adjoint Ge1e2e6e3e5e4234121Graphe adjoint G colorOn peut ensuite appliquer lalgorithme de Welsh et Powell sur le grapheGpour colorerses sommets. Une fois cela fait, on colorera les artes deGde la mme couleur que lessommets correspondants de G.Exercice 52Dans un tournoi dchecs, chaque joueur doit rencontrer tous les autres. Chaque partie dureune heure. Dterminez la dure minimum du tournoi dans le cas o le nombre de joueursest 3, 4, 5 ou 6.1.13 Graphes triangulsUn graphe est triangul si tous ses cycles de plus de 3 sommets contiennent au moins unecorde (arte reliant deux sommets non adjacents dun cycle).Un sparateur est un sous-ensemble Wde sommets dans un graphe connexe G = (V, E)tel que le graphe G[V W] est non connexe. Dans le graphe ci-dessous, W={v1, v4} estun sparateur, W={v3} est un sparateur minimal.v1v2v5v3v4Un sommetvest dit simplicial si son voisinageN(v)est une clique. Dans le graphe ci-dessus, les sommets simpliciaux sont v2 et v5.Thorme 1.14Ungrapheconnexeesttriangulsietseulementsitoutsparateurminimalestuneclique.Preuve1. Supposons tout dabord que tout sparateur est une clique. Soit C = [x1, x2, . . . , xk, x1](k 4) un cycle dans G et soit Wun sparateur minimal de x1 et x3. Wdoit contenir x2et au moins un des sommetsx4,. . . , xk. Comme West une clique, il existe une cordedans C.26 No6 CAHIERS DE LA CRM2. SupposonsGtriangul et soit Wun sparateur minimal. Supposons queWne soitpas une clique. SoientG1 = (V1, E1)etG2 = (V2, E2)deux composantes connexes deG[V W] et soient x et y deux sommets non adjacents dans W . Comme West minimal,xetyont chacun au moins un voisin dansG1et dansG2. Soienta1eta2les voisinsdexdansG1et G2, et soient b1et b2ceux deydansG1et G2. CommeG1et G2sont connexes, il existe une chane reliant a1 b1 dans G1 et une chane reliant a2 b2dansG2. Il existe donc une chane C1sans corde reliant xydansG[V1W] ainsiquune chane sans corde C2reliant x y dans G[V2W] . Lunion de C1et C2est uncycle sans corde contenant au moins 4 sommets, contradiction.2Thorme 1.15Tout graphe triangul autre quune clique contient au moins deux sommets simpliciauxnon adjacents.PreuveSi Gne contient que deux sommets, alorsGest constitu de deux sommets isols quisont simpliciaux non adjacents. Supposons donc le thorme vrai pour tout graphe ayantmoinsdensommetsetsoit |V| = n. Soit Wunsparateurminimalet G1= (V1, E1)et G2 = (V2, E2) deux composantes connexes de G[V W] . On a vu que West une clique.Si G[V1W] est une clique alors choisissons x dans V1 : x est simplicial dans G[V1W] .Sinon, par hypothse dinduction, il existe deux sommets simpliciaux non adjacents dansG[V1W] , etcommeWestuneclique, lundecessommetsquonappelleraxestdans V1.Dans chacun des deux cas on a dtermin un sommet xsimplicial dansG[V1W] . Demme, on peut dterminer un sommet y simplicial dans G[V2W] . Ces deux sommets xet y sont simpliciaux dans G et non-adjacents.2Algorithme de reconnaissance (Fulkerson et Gross, 1969)1. Poser G = G ;2. Si G est vide alors G est triangul : STOP3. Si G ne contient pas de sommet simplicial alors G nest pas triangul.4. ter un sommet simplicial de G et retourner 2.Exercice 53Appliquez lalgorithme de Fulkerson et Gross pour vrier que le graphe ci-dessous esttriangul.v1v2v3v8v4v5v6v7CAHIERS DE LA CRM No6 27Un schma dlimination parfait est un ordrev1 < . . . < vndes sommets tel queviestsimplicial dans G[vi, . . . , vn] (n =|V| ).Thorme 1.16Un graphe est triangul si et seulement sil possde un schma dlimination parfait.Preuve1. Soit v1 < . . . < vn un schma dlimination parfait et soit C = [x1, x2, . . . , xk, x1] (k 4)un cycle dans G. Sans perte de gnralit, on peut supposer que x1 = viapparat avantx2, . . . , xkdans le schma dlimination parfait. Mais alorsx2est reli xkcarx1estsimplicial dans le grapheG[vi, . . . , vn] qui contient x2, . . . , xk. Le cycleCa donc unecorde.2. Si G est triangul on peut dterminer un schma dlimination parfait comme suit :Poser i :=1 ;Tant que V = faireChoisir un sommet simplicial x dans le graphe rsiduel. Mettre x en position iter x de Vet poser i := i +12Exercice 54Montrez que les arbres, les graphes complets et les graphes dintervalles sont des graphestrianguls.Algorithme de coloration dun graphe triangul G=(V,E)Dterminer un schma dlimination parfait v1 < . . . < vnColorerGsquentiellement selon lordre inversevn < . . . < v1, en utilisant pour chaquesommet le plus petit numro de couleur possible.Exercice 55Donnez un schma dlimination parfait du graphe ci-dessous et colorez ce graphe.v1v2v3v8v4v5v6v728 No6 CAHIERS DE LA CRM2 Graphes orients2.1 Graphes orientsEn donnant un sens aux artes dun graphe, on obtient un digraphe (ou graphe orient).Le mot digraphe est la contraction de lexpression anglaise directed graph .Un digraphe ni G = (V, E) est dni par lensemble ni V={v1, v2, . . . , vn} dont les l-ments sont appels sommets, et par lensemble ni E ={e1, e2, . . . , em} dont les lmentssont appels arcs.Un arc e de lensemble E est dni par une paire ordonne de sommets. Lorsque e = (u, v),on dit que larceva deuv. On dit aussi queuest lextrmit initiale etvlextrmitnale de e.Exercice 56Construire un graphe orient dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 et dontles arcs reprsentent la relation tre diviseur de .2.2 Degr dun sommet dun digrapheSoit v un sommet dun graphe orient.On noted+(v)le degr extrieur du sommet v, cest--dire le nombre darcs ayant vcomme extrmit initiale.Onnoted(v)ledegr intrieurdusommet v,cest--direlenombredarcsayant vcomme extrmit nale.On dnit le degr :d(v) = d+(v) +d(v)Exercice 57Trouvez les degrs extrieurs et intrieurs de chacun des sommets du graphe ci-dessous :2 13 64 52.3 Chemins et circuitsUn chemin conduisant du sommet a au sommet b est une suite ayant pour lments alter-nativement des sommets et des arcs, commenant et se terminant par un sommet, et telleque chaque arc est encadr gauche par son sommet origine et droite par son sommetdestination. On ne peut donc pas prendre les arc rebours. Sur le digraphe ci-aprs, onpeut voir par exemple le chemin(v3, e2, v2, e1, v1). Par convention, tout chemin comporteau moins un arc.On appelle distance entre deux sommets dun digraphe la longueur du plus petit cheminles reliant. Sil nexiste pas de chemin entre les sommetsxet y, on posed(x, y) = .Par exemple, sur le digraphe ci-dessous, d(v5, v4) = 2, d(v4, v5) = , d(v3, v1) = 1,CAHIERS DE LA CRM No6 29v1v2v5v3v4e1e3e2e5e4Un circuit est un chemin dont les sommets de dpart et de n sont les mmes. Le digrapheci-dessus ne contient pas de circuit.Les notions de chemins et de circuits sont analogues celles des chanes et des cycles pourles graphes non orients.Exercice 58Soit Xun ensemble de lapins, et G un graphe orient ayant Xpour ensemble de sommets.On dit que G est un graphe de parent si les arcs de G codent la relation tre le parentde... . Quelles conditions doit ncessairement vrierGpour pouvoir tre un graphe deparent ?Exercice 59On souhaite prlever 4 litres de liquide dans un tonneau. Pour cela, nous avons notredisposition deux rcipients (non gradus !), lun de 5 litres, lautre de 3 litres.Comment doit-on procder ?Exercice 60 (Jeu de Fan Tan)Deux joueurs disposent de plusieurs tas dallumettes. tour de rle, chaque joueur peutenlever un certain nombre dallumettes de lun des tas (selon la rgle choisie). Le joueurqui retire la dernire allumette perd la partie.Modlisez ce jeu laide dun graphe dans le cas o lon dispose au dpart de deux tascontenant chacun trois allumettes, et o un joueur peut enlever une ou deux allumettes chaque fois. Que doit jouer le premier joueur pour gagner la partie coup sr ?Exercice 61On appelle tournoi un digraphe complet.1. Montrez que tout tournoi ayant 3 sommets admet un chemin hamiltonien.2. Soit Tun tournoi ayant n1 sommets et un chemin hamiltonien x1, x2, . . . , xn2, xn1.On suppose que lon ajoute un sommet xn ce graphe et que, pour chaque sommetx1, x2, . . . , xn2, xn1, on ajoute soit un arc(xn, xj), soit un arc(xj, xn), 1 j < n, defaon former un tournoi T sans chemin hamiltonien. Dans quels sens sont alors orien-ts les arcs entrex1et xnet entrexn1et xn ? Est-il possible davoir un arc orientdexjversxnet un autre dexnversxj+1pour1 j < n 1 ? En dduire queTancessairement un chemin hamiltonien.3. Dduisez des questions 1 et 2 que tout tournoi admet un chemin hamiltonien.Exercice 62Dans un digraphe, un roi est un sommet duquel tous les autres sommets sont une distancedau plus 2.Dmontrez quun tournoi a toujours un roi (Landau, 1953).30 No6 CAHIERS DE LA CRM2.3.1 Digraphe fortement connexeUn digraphe est fortement connexe, si toute paire ordonne (a, b) de sommets distincts dugraphe est relie par au moins un chemin. En dautres termes, tout sommet est atteignabledepuis tous les autres sommets par au moins un chemin.On appelle composante fortement connexe tout sous-graphe induit maximal fortementconnexe (maximal signie quil ny a pas de sous-graphe induit connexe plus grand conte-nant les sommets de la composante).Exercice 63Donnez un algorithme permettant de calculer la distance entre deux sommets x et y dundigraphe connexe.Exercice 64Proposez un algorithme qui dtermine si un graphe est fortement connexe ou non.Indication : utilisez un systme de marquage des sommets.Lesgraphesci-dessoussont-ilfortementconnexes ?Sinon, donnezleurscomposantesfortement connexes.v9v10v11v12v5v6v7v8v1v2v3v4v13v14v15v16v9v10v11v12v5v6v7v8v1v2v3v42.4 Reprsentations non graphiques des digraphes2.4.1 Matrice dadjacencesOn peut reprsenter un digraphe par une matrice dadjacences. Une matrice(nm)estun tableau denlignes et mcolonnes. (i, j)dsigne lintersection de la lignei et de lacolonnej .Dansunematricedadjacences, leslignesetlescolonnesreprsententlessommetsdugraphe. Un 1 la position(i, j ) signie quun arc part de i pour rejoindrej .ExempleVoici la matrice dadjacences du digraphe G :2 13 64 5M =________0 1 0 1 0 10 0 0 1 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0________CAHIERS DE LA CRM No6 31Cette matrice a plusieurs caractristiques :1. Elle est carre : il y a autant de lignes que de colonnes.2. Il ny a que des zros sur la diagonale. Un 1 sur la diagonale indiquerait uneboucle.3. Contrairement celle dun graphe non orient, elle nest pas symtrique.4. Une fois que lon xe lordre des sommets, il existe une matrice dadjacences uniquepour chaque digraphe. Celle-ci nest la matrice dadjacences daucun autre digraphe.Exercice 65On a calcul ci-dessous les matrices M2et M3. Mest la matrice dadjacences du graphede lexemple.Pour chacune de ces matrices, quoi correspondent les nombres obtenus ?M2=________0 1 0 1 2 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 1 0________M3=________0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0________2.4.2 Listes dadjacencesOn peut aussi reprsenter un digraphe en donnant pour chacun de ses sommets la liste dessommets quon peut atteindre directement en suivant un arc (dans le sens de la che).ExempleVoici les listes dadjacences du digraphe G :2 13 64 51 : 2, 4, 62 : 4, 53 : 44 : 55 : 6 : 2Exercice 66Dcrivez le graphe G ci-dessous par une matrice dadjacences et des listes dadjacences.7 2 153 4 632 No6 CAHIERS DE LA CRM2.5 Digraphes sans circuitThorme 2.1LedigrapheGestsanscircuitsietseulementsionpeutattribuerunnombrer(v),appel le rang de v, chaque sommet v de manire que pour tout arc (u, v) de G on aitr(u) < r(v).PreuveSi Gcomporteuncircuit C,ilnestpaspossibledetrouverdetelsnombres r(i) car,autrement, considrantr( j) = max{r(i) | i C} et larc( j, k) C, on auraitr( j) r(k)en contradiction avec la dnition du rang.Rciproquement, si G na pas de circuit, il existe au moins un sommet sans prdcesseurdans G (sans cela, en remontant successivement dun sommet un prdcesseur, on niraitpar fermer un circuit). Ainsi, on peut attribuer squentiellement des valeurs aux sommetsdu graphe laide de lalgorithme qui suit, ce qui conclura la dmonstration.2Algorithme de calcul du rangDonne : digraphe G = (V, E) sans circuit.Rsultat : rang r(v) de chaque sommet v Vdu digraphe G.Dbutr := 0X :=VR : lensemble des sommets de Xsans prdcesseur dans XTant que Xnest pas vide fairer(v) := r pour tout sommet v RX := X RR : lensemble des sommets de Xsans prdcesseur dans Xr := r +1Fin tant queFinExercice 67Attribuez un rang aux sommets du digraphe ci-dessous en utilisant lalgorithme de calculdu rang.7 2 1 853 4 6CAHIERS DE LA CRM No6 332.6 Graphes de comparabilitUn graphe est de comparabilit si on peut orienter ses artes de faon transitive, cest--dire de telle sorte que sil existe un arc dei vers j et un arc de j versk, alors il existegalement un arc de i vers k.Algorithme permettant de dterminer si G=(V,E) est un graphe de comparabilit1. F :=2. Tant que F = EfaireChoisir une arteedansE F, donner une orientation eet complter cetteorientation pour assurer une orientation transitive de G.Si une arte doit tre oriente dans les deux sens, STOP :G nest pas de comparabilit.Sinon, rajouter Ftouteslesartesnouvellement orientes. Si F= EalorsSTOP :G est de comparabilit.Exemple1 235 61 235 6Jusque l, tout va bien. . .1 235 6Ae. Il manque une arteentre les sommets 3 et 2.Exercice 68Les graphes ci-dessous admettent-ils une orientation transitive ?1 23 45 612 34 5 6Etantdonnquuneorientationtransitivedungraphedecomparabilitinduitunordreparfait, on en dduit lalgorithme suivant de coloration minimale des sommets.Algorithme de coloration minimale des sommets dun graphe de comparabilit1. DtermineruneorientationtransitivedeG(parexemplelaidedelalgorithmeci-dessus), et poser i := 1.2. Tant quil existe encore des sommets colorer fairedonner la couleur i tous les sommets sans prdcesseur,ter ces sommets du graphe,poser i := i +134 No6 CAHIERS DE LA CRMExercice 69Une compagnie de transport a un ensemble de trajets effectuer. On dcide de reprsenterceci par un graphe : un arc de Ti Tj indique que le trajet Tj peut tre effectu par le mmevhicule que celui qui a effectu le trajet Ti.1. De quel type est le graphe obtenu ?2. Interprtez (dans le graphe non orient) le problme de la recherche dun nombreminimum de vhicules.ExempleTrajet T1T2T3T4de A B C B B C A Adpart 6h 10h 8h 12hDure du trajet A B CA 1h 3hB 2h 1hC 2h 4hExercice 70Onademandunconsommateurdecomparer nmarquesderasoirdeuxdeux, enindiquant pour chaque paire une prfrence stricte.1. Est-il vrai que lon peut toujours classer les marques M1, M2, . . . , Mn de manire quelon ait M1 > M2 > . . . > Mn (o Mi > Mjindique que Mi est prfre Mj) ?2. On constate que le graphe associ ces prfrences (Mi >Mj donne un arc (Mi, Mj))estsanscircuit. Quepeut-ondiredelamarqueM1(tellequeM1> . . . > Mn) ?Est-il possible davoir deux marques qui ont t prfres au mme nombre dautresmarques ?3. Existe-t-il toujours une marque M1 telle que M1 > Mj, j = 1 ? Existe-t-il toujoursune marque M1 telle que pour j = 1 :soit M1 > Mjsoit Mktelle que M1 > Mk > Mj ?2.7 Algorithme de DijkstraEdgser Wybe Dijkstra (1930-2002) a propos en 1959 un algorithme qui permet de calculerlepluscourtcheminentreunsommetparticulierettouslesautres.Lersultatestunearborescence, cest--dire un arbre avec un sommet particulier appel racine.Numrotons les sommets du graphe G = (V, E) de 1 n. Supposons que lon sintresseaux chemins partant du sommet 1. On construit un vecteur =_(1); (2); . . . ; (n)_ayant n composantes tel que ( j) soit gal la longueur du plus court chemin allant de 1au sommet j . On initialise ce vecteur c1j, cest--dire la premire ligne de la matricedes cots du graphe, dnie comme indiqu ci-dessous :ci j =___0 si i = j si i = j et (i, j) E(i, j) si i = j et (i, j) Eo (i, j) > 0 est le poids de larc(i, j).Onconstruitunautrevecteur ppourmmoriserlecheminpourallerdusommet1ausommet voulu. La valeurp(i) donne le sommet qui prcde i dans le chemin.CAHIERS DE LA CRM No6 35Onconsidreensuitedeuxensemblesdesommets, Sinitialis {1}et T initialis{2, 3, . . . , n}. chaque pas de lalgorithme, on ajoute S un sommet jusqu ce que S =Vde telle sorte que le vecteur donne chaque tape la longueur minimale des chemins de1 aux sommets de S.Algorithme de DijkstraOn suppose que le sommet de dpart (qui sera la racine de larborescence) est le sommetnumrot 1. Notons quon peut toujours renumroter les sommets pour que ce soit le cas.Initialisations( j) = c1jet p( j) = NIL, pour 1 j nPour 2 j n faireSi c1j < alorsp( j) = 1.S = 1 ; T={2, 3, . . . , n}.ItrationsTant que Tnest pas vide faireChoisir i dans Ttel que (i) est minimumRetirer i de Tet lajouter SPour chaque successeur j de i, avecj dans T , faireSi ( j) > (i) +(i, j) alors( j) = (i) +(i, j)p( j) = iExemple1 542 3410 53 21537InitialisationsS ={1} ; T={2, 3, 4, 5} ; = (0, 15, , , 4) ; p = (NIL, 1, NIL, NIL, 1)1re itrationi = 5 car (5) = min(15, , , 4) = 4S ={1, 5} ; T={2, 3, 4}les successeurs de 5 dans Tsont 3 et 4(3) prend la nouvelle valeur min(; (5) +(5; 3)) = min(; 4+7) = 11 ; p(3) = 5(4) prend la nouvelle valeur min(; (5) +(5; 4)) = 9 ; p(4) = 5do les nouveaux vecteurs = (0, 15, 11, 9, 4) et p = (NIL, 1, 5, 5, 1)36 No6 CAHIERS DE LA CRM2me itrationi = 4 ; (4) = 9S ={1, 5, 4} ; T={2, 3}le seul successeur de 4 dans Test 2(2) prend la nouvelle valeur min(15; (4) +(4; 2)) = min(15; 9+3) = 12 ; p(2) = 4do les nouveaux vecteurs = (0, 12, 11, 9, 4) et p = (NIL, 4, 5, 5, 1)3me itrationi = 3 ; (3) = 11S ={1, 5, 4, 3} ; T={2}le seul successeur de 3 dans Test 2(2) garde sa valeur car min(12; (3) +(3; 2)) = min(12; 11+3) = 12do les vecteurs inchangs = (0, 12, 11, 9, 4) et p = (NIL, 4, 5, 5, 1)4me itrationi = 2 ; (2) = 12S ={1, 5, 4, 3, 2} ; T={}= (0, 12, 11, 9, 4)p = (NIL, 4, 5, 5, 1)Lalgorithme se termine, car T={}.On peut lire les cots des chemins les plus courts dans et les chemins eux-mmes grceau vecteurp. Par exemple, le chemin minimal de 1 4 est de cot 9, car (4) =9. Cest lechemin 154, carp(4) = 5 et p(5) = 1.Voici la rponse sous forme darborescence :1 542 34537Exercice 71Appliquez lalgorithme de Dijkstra au graphe de lexemple ci-dessus pour trouver tous lesplus courts chemins en partant des sommets 2, 3, 4 et 5.Exercice 72Expliquez pourquoi des arcs avec des poids ngatifs pourraient poser problme dans larecherche dun plus court chemin dans un graphe.2.8 Rseau PERT (Project Evaluation and Review Technique)Le problme du plus long chemin dans les digraphes sans circuit trouve une applicationdans lordonnancement et la planication des tches composant un projet complexe, parexemple la construction dune maison.On fait correspondre chaque tche un arc dun digraphe, sa dure dexcution tant galeau poids de cet arc. Le digraphe rete les prcdences requises dans lexcution du projet.CAHIERS DE LA CRM No6 37Ainsi,latchecorrespondantlarc (i, j)nepeutcommencerquesitouteslestchescorrespondant des arcs(k, i)ont t compltes. Le digraphe peut contenir des tchesctives de dure nulle an de forcer certaines prcdences.Les sommets du digraphe reprsentent des vnements, dbut (n) des activits corres-pondant aux arcs dont ils sont lextrmit initiale (nale). Le fait que le digraphe est sanscircuitestgarantdelafaisabilitduprojet.Eneffet,lexistenceduncircuitimplique-rait une contradiction dans les prcdences : une tche devant en mme temps prcder etsuivre une autre !On supposera dornavant que les sommets ont dj t numrots de 1 nde manirecompatible avec leurs rangs, cest--dire que r( j) > r(i) impliquej > i (voir lalgorithmede calcul du rang). En plus, si le digraphe possde plusieurs sommets sans prdcesseur,on supposera avoir introduit un sommet 1 reli par un arc de dure nulle chacun de cessommets. Ce sommet indique le dbut du projet. De mme, si le digraphe possde plusieurssommets sans successeur, ceux-ci seront relis par un arc de dure nulle un dernier som-met n (n du projet). Enn, on supposera limins les arcs parallles par lintroduction detches ctives.Algorithme du chemin critiqueDonnes : Digraphe G = (V, E), sans circuit, des activits avec leur dure dik.Notations :P(i) ={k V | (k, i) E} : cest lensemble des sommets prdcesseurs de i.S(i) ={k V | (i, k) E} : cest lensemble des sommets successeurs de i.Rsultat : i : dbut au plus tt des activits correspondant aux arcs(i, k) partant de i, i : n au plus tard des activits correspondant aux arcs(k, i) arrivant i,dure du chemin critique.DbutCalcul des dates de dbut au plus tt (rcurrence en avanant dans le projet)1 := 0Pour k := 2 n faire k := max{j +djk | j P(k)}Calcul des dates de n au plus tard (rcurrence en reculant dans le projet)n := nPour k := n1 1 faire k := min{jdk j | j S(k)}Fin.DnitionsUn sommet i est critique si i = i.Un arc(i, j) est critique si ses extrmits sont des sommets critiques et di j = ji.Un chemin critique est un chemin de 1 n nutilisant que des arcs critiques, cest--diredes activits telles que tout retard dans leur excution provoquerait un retard de la n duprojet.La dure du chemin critiqueestdonnepar n(oupar n, lesdeuxvaleurstanttoujours gales). Elle correspond la dure minimale du projet tant donnes les duresdes tches le composant et les prcdences respectives.38 No6 CAHIERS DE LA CRMExempleCi-dessous le graphe des prcdences obtenuavec lalgorithme duchemincritique.Le chemin critique est en gras.Tches Prcdences Dure (jours)A 3B 9C 5D A 8E B 4F B 7G B 20H C, F 6I D, E 5Conventions dcriture :jkNom de la tcheDure de la tchejjkk3 51 2 64A3D8B9E4G20I5C5F7H63 16 13 240 0 9 9 29 2916 23Exercice 73Refaites le graphe des prcdences de lexemple en utilisant lalgorithme du chemin cri-tique.Exercice 74La construction dun entrept est divise en dix tches dont les caractristiques sont don-nes dans le tableau ci-dessous. Trouvez le chemin critique.Tches Nature Prcdences Dure (jours)A Acceptation des plans par le propritaire 4B Prparation du terrain 2C Commande des matriaux A 1D Creusage des fondations A, B 1E Commande des portes et fentres A 2F Livraison des matriaux C 2G Coulage des fondations D, F 2H Livraison des portes et fentres E 10I Pose des murs, de la charpente et du toit G 4J Mise en place des portes et fentres H, I 1Exercice 75La rnovation du sjour dun appartement se dcompose en plusieurs tches dcrites dansle tableau ci-dessous. Ce dernier donne galement les prcdences respecter lors de laplanication des travaux ainsi quune estimation de la dure de chacune des tches.CAHIERS DE LA CRM No6 39Tches Prcdences Dure (jours)A Enlvement des portes 1/2B Ponage et peinture des portes A 3C Pose des portes B, J 1/2D Arrachage des papiers peints 1E Tirage des ls lectriques D 1F Pose des prises E, H, I 1/2G Ragrage des murs E, A 2H Peinture du plafond G 2I Pose des papiers peints G 3J Peinture des cadres H, I 1K Arrachage de la moquette H, I, J 1/2L Ponage du parquet K 1M Imprgnation et schage du parquet L, F 4N Peinture du balcon 2O Changement des protections solaires N 11. Reprsentez le graphe des prcdences de ces travaux de rnovation.2. Dterminez une dure totale minimale de rnovation en exhibant un chemin critiquedans ce graphe.Bibliographie[1] COGIS O., ROBERT C., Thorie des graphes, Vuibert, 2003[2] DROESBEKE F., HALLIN M., LEFEVRE C., Les graphes par lexemple, Ellipse, 1987[3] HERTZ A., Lagrapheur - Intrigues policires saveur mathmatique, Presses inter-nationales Polytechnique, 2010[4] GONDRAN M., MINOUX M., Graphes et algorithmes, 4e dition, Lavoisier, 2009[5] SKIENA S., Implementing Discrete Mathematics : Combinatorics and Graph TheoryWith Mathematica, Addison-Wesley, 1990[6] WEST D., Introduction to Graph Theory, 2nd edition, Prentice Hall, 200140 No6 CAHIERS DE LA CRMLexiqueAcyclique (Acyclic)Un graphe est acyclique sil ne contient aucun cycle.Adjacent (Adjacent)Deux sommets sont adjacents sils sont relis par une arte. On qualie souvent de voisinsdeux sommets adjacents.Arborescence (Rooted tree)Arbre avec un sommet distingu r (la racine).Arbre (Tree)Graphe connexe ne contenant aucun cycle.Arbre couvrant (Spanning tree)Un sous-graphe maximum dun graphe qui est aussi un arbre. On parle aussi darbre derecouvrement.Arc (Arc)Une arte oriente dun digraphe.Arte (Edge)Une arte relie deux sommets dans un graphe. Nous appelons ces deux sommets les extr-mits de larte.Biparti (Bipartite)Ungrapheestbipartisisessommetspeuventtredivissendeuxensembles Xet Y ,de sorte que toutes les artes du graphe relient un sommet dansX un sommet dans Y .Les arbres sont des exemples des graphes bipartis. SiGest biparti, il est habituellementnot par G = (X,Y, E), o Eest lensemble des artes.Boucle (Loop)Arte ou arc partant dun sommet et allant vers lui-mme. Les boucles ne sont pas autori-ses dans les graphes et digraphes simples.Chane (Chain)Une chane dans un graphe est une suite de sommets relis par des artes. La longueurdune chane est le nombre dartes utilises, ou, ce qui revient au mme, le nombre desommets utiliss moins un. Une chane lmentaire ne peut pas visiter le mme sommetdeux fois. Une chane simple ne peut pas visiter la mme arte deux fois.Chemin (Path)Un chemin dans un digraphe est une suite de sommets relis les uns aux autres par desarcs. La longueur du chemin est le nombre darcs utiliss, ou le nombre de sommets moinsun. Un chemin simple ne peut pas visiter le mme arc plus dune fois. Un chemin ferm apour dernier sommet le premier.Circuit (Circuit)Dans un digraphe, un circuit est un chemin ferm simple.Clique (Clique)Sous-graphe complet dun graphe G. Lordre de la plus grande clique de G est not (G).Prononcer omga de G .CAHIERS DE LA CRM No6 41Complet (Complete)Dans un graphe complet, toutes les paires de sommets sont adjacentes. Un graphe complet n sommets est not Kn(le Kest en lhonneur de Kuratowski, un pionnier de la thoriedes graphes).Composante connexe (Connected component)Dansungraphe,unecomposanteconnexeestunsous-grapheinduitmaximalconnexe.Maximal signie quil ny a pas de sous-graphe induit connexe plus grand contenant lessommets de la composante.Connexe (Connected)Un graphe connexe est un graphe dans lequel chaque paire de sommets est relie par unechane. Un graphe qui nest pas connexe est dit non connexe, et se dcompose en compo-santes connexes.Couplage ou appariement (Matching)Un couplage est un ensemble dartes tel que chaque sommet du graphe appartient auplus une arte de cet ensemble.Couplage parfait (Perfect matching)Dans un graphe 2n sommets, un couplage avec n artes est dit parfait. Chaque sommetdu graphe est satur par un couplage parfait.Corde (Chord)Arte reliant deux sommets non adjacents dun cycle.Cycle (Cycle)Dansungraphe, uncycleestunechanesimpledontlesextrmitsconcident. Onnerencontre pas deux fois le mme sommet, sauf celui choisi comme sommet de dpart etdarrive.Degr (Degree)Le degr dun sommet est la taille de son voisinage. Le degr dun graphe est le degrmaximum de tous ses sommets.Diamtre (Diameter)Le diamtre dun graphe est la plus longue des distances entre deux sommets de ce graphe.Digraphe (Digraph)Un digraphe est un graphe dans lequel les artes sont orientes et appeles arcs. Plus for-mellement, un digraphe est un ensemble de sommets ainsi quun ensemble de paires or-donnes des sommets, appeles les arcs.Distance (Distance)La distance entre deux sommets est la longueur de la plus courte chane entre eux.Eulrien (Eulerian)Une chane ou un cycle est dit eulrien si chaque arte du graphe y apparat exactement unefois. Les chemins et les circuits des digraphes sont dits eulriens sous les mmes condi-tions.Feuille (Leaf )Sommet de degr 1. Aussi appel sommet pendant.Fort (Forest)Graphe qui ne contient aucun cycle. Les composantes connexes dune fort sont des arbres.42 No6 CAHIERS DE LA CRMFortement connexe (Strongly Connected)Dans un digraphe fortement connexe, chaque sommet peut tre atteint depuis nimportequel autre par un chemin.Graphe (Graph)Ungrapheestunensembledepoints,dontcertainespairessontreliespardeslignes.Les points sont appels sommets et les lignes sont nommes artes.Plus formellement, un graphe est compos de deux ensembles, lensemble des artes (E)et lensemble des sommets (V ). Lensemble des sommets est simplement une collectiondtiquettes qui permettent de distinguer un sommet dun autre. Lensemble des artes estconstitu de paires non ordonnes dtiquettes de sommets.Hamiltonien (Hamiltonian)Une chane ou un cycle est dit hamiltonien si chaque sommet du graphe y apparat exac-tement une fois. Les chemins et les circuits des digraphes sont dits hamiltoniens sous lesmmes conditions.Homomorphe (Homeomorphic)Deux graphes sont homomorphes sils peuvent tous les deux tre obtenus partir dungraphe commun en remplaant les artes par des chanes simples.Les deux graphes ci-dessous sont homomorphes.Ils ont tous les deux t obtenus partir du graphe ci-dessous :Incident (Incident)Un sommet est incident une arte sil est situ une des deux extrmits de cette arte.Inversement, une arte est incidente un sommet si elle touche ce sommet.Indice chromatique (Chromatic index)Lindice chromatique dun graphe est le plus petit nombrekpour lequel il existe unek-coloration des artes. Lindice chromatique du grapheGest not par (G). Prononcer khi de G .k-colorable (k-colorable)Un graphe est ditk-colorable si chacun de ses sommets peut tre assigne une parmikcouleurs de sorte qu deux sommets adjacents soit assigne une couleur diffrente. Cetteassignation est appele coloration.Liste dadjacences (Adjacency Structure)Une reprsentation dun graphe ou dun digraphe qui numre, pour chaque sommet, tousles sommets qui sont adjacents au sommet donn.Liste darcs (Arc List)Une reprsentation dun digraphe utilisant les arcs du digraphe. Ce peut tre une liste depaires ordonnes de sommets, ou deux listes tries avec le sommet de dpart dans une listeet le sommet de n la position correspondante de la deuxime liste.CAHIERS DE LA CRM No6 43Matrice dadjacences (Adjacency Matrix)Une matrice carre contenant des 0 et des 1, dont les lignes et les colonnes sont classespar sommets. Un 1 en position(i, j)signie quil y a une arte (ou arc) du sommetiausommet j . Un 0 indique quil ny a aucune arte ou arc. Une matrice dadjacences peuttre utilise pour des graphes et des digraphes.Multigraphe (Multigraph)Unmultigrapheest ungraphecontenant desboucleset/ouplusieursartesreliant lesmmes sommets.Nombre chromatique (Chromatic number)Le nombre chromatique dun graphe est le plus petit nombre k pour lequel il existe une k-coloration des sommets. Le nombre chromatique du graphe G est not par (G). Prononcer gamma de G .Nombre cyclomatique (Cyclomatic number)(G) = mn+ p, avec :n : nombre de sommetsm : nombre darcsp : nombre de composantes connexesOrdre (Order)Lordre dun graphe est le nombre de ses sommets.Orientation (Orientation)Une assignation de direction aux artes dun graphe. Une arte oriente est un arc. Le grapheauquel on a donn une orientation est dit graphe orient ou digraphe.Partiel (Spanning Subgraph)Le graphe obtenu en enlevant des artes dun graphe G est appel graphe partiel.Pendant (Pendant)Un sommet est pendant sil est de degr 1. Aussi appel feuille si le graphe est un arbre.Planaire (Planar)Un graphe planaire est un graphe que lon peut dessiner sur une surface plate sans que sesartes se croisent. Les graphes que lon ne peut pas dessiner sans croisement sont dits nonplanaires.Racine (Root)Sommet distingu dun arbre. En distinguant un sommet dun arbre, on obtient une arbo-rescence.Rang (Level)Dans une arborescence, les sommets la mme distance de la racine sont dits tre au mmerang. La racine est par convention au rang 0 et la hauteur de larbre est le rang maximum.Rgulier (Regular)Dans un graphe rgulier, tous les sommets ont le mme degr. Si le degr commun est k,alors on dit que le graphe est k-rgulier.Semi-eulrien (semi-eulerian)Un graphe est semi-eulrien sil est possible de trouver une chane passant une et une seulefois par toutes les artes, et sil nest pas eulrien.44 No6 CAHIERS DE LA CRMSemi-hamiltonien (semi-hamiltonian)Un graphe est semi-hamiltonien sil est possible de trouver une chane passant une et uneseule fois par tous les sommets, et sil nest pas hamiltonien.Simple (simple)Un graphe est dit simple, sil ne contient pas de boucle et sil ny a pas plus dune artereliant deux mmes sommets.Simplicial (simplicial)Un sommet v est dit simplicial si son voisinage N(v) est une clique.Sommet (Vertex, pluriel Vertices)Extrmit dune arte ou dun arc.Sous-graphe (Induced Subgraph)Un sous-graphe est obtenu en enlevant un graphe des sommets et toutes les artes inci-dentes ces sommets.Stable (Stable)Un stable dun graphe G est un sous-graphe de G sans arte. Lordre du plus grand stablede G est not (G) et sappelle nombre de stabilit. Prononcer alpha de G .Taille (Size)La taille dun graphe est le nombre de ses artes.Tournoi (Tournament)Digraphe complet.Triangul (Chordal)Un graphe est triangul si tous ses cycles de longueur suprieur 3 contiennent au moinsune corde.Voisinage (Neighborhood)Le voisinage dun sommet est lensemble de tous ses sommets adjacents.CAHIERS DE LA CRM No6 45Indexarte, 3arborescence, 35arbre, 17couvrant, 19maximal, 19arc, 29carte, 14chane, 8lmentaire, 9alterne, 13alterne augmentante, 13eulrienne, 10ferme, 9hamiltonienne, 11simple, 9chemin, 29circuit, 30clique, 7composantes connexes, 4corde, 26couplage, 13maximum, 13parfait, 13cycle, 9eulrien, 10hamiltonien, 11degr, 7dun graphe, 8dun sommet, 7dune rgion, 15diamtre, 9digraphe, 29fortement connexe, 31distance, 9, 29feuille, 17fort, 17graphe, 3biparti, 4complet, 4connexe, 4dintervalles, 5de comparabilit, 34eulrien, 10hamiltonien, 11orient, 29parfait, 24partiel, 6, 19planaire, 3, 14planaire topologique, 14rgulier, 8semi-eulrien, 10semi-hamiltonien, 11simple, 3triangul, 26indice chromatique, 25listes dadjacences, 16matrice dadjacences, 15multigraphe, 3nombre chromatique, 21nombre de stabilit, 21racine, 35rang, 33roi, 30sparateur, 26schma dlimination parfait, 28sommet, 3pendant, 17satur, 13simplicial, 26sous-graphe, 6stable, 21tournoi, 3046Ouvrages publis par la Commission Romandede MathmatiqueOUVRAGES COLLECTIFS DE LA CRMNo18 Gomtrie 2No21 Mthodes numriques (M.-Y. BACHMANN, H. CATTIN,P. PINEY, F. HAEBERLI et G. JENNY)No23 Gomtrie vectorielle et analytique planeNo24 Gomtrie vectorielle et analytique de lespaceNo25 AnalyseNo26 ProbabilitsNo27 Notions lmentairesNo28 Algbre linaireCAHIERS DE LA CRMNo1 Suites de nombres rels Alex WILLANo2 Cryptologie Nicolas MARTIGNONINo3 quations algbriques et nombres complexes Martin CUNODNo4 Sries numriques et sries de Taylor Alex WILLANo5 Arrt sur image Daniel PONCET-MONTANGENo6 Introduction la thorie des graphes Didier MLLERCRM, CRP ET CRCFormulaires et Tables (Mathmatique, Physique, Chimie)S. PAHUDGomtrie exprimentale I, II et III (Livre de llve)Gomtrie exprimentale I, II et III (Notes mthodologiques insrer)Site web de la CRMhttp://www.sspmp.ch/crm/Diffusion : Pahud & Ciehttp://www.diffusionpahud.ch/c 2012 CRM Toute reproduction dun extrait de ce livre parquelque procd que ce soit, notamment parphotocopie ou numrisation, est interdite.Cahiers de la CRM dj parusCAHIERSDELA CRMSuites denombres relsAlex WillaCAHIERNO 1 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUESCAHIERSDELA CRMCryptologieNicolas MartignoniCAHIERNO 2 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUESCAHIERSDELA CRMquations algbriqueset nombres complexesUne approche historiqueMartin CunodCAHIERNO 3 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUECAHIERSDELA CRMSries numriqueset sries de TaylorAlex WillaCAHIERNO 4 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUENo1 : Suites denombres relsNo2 : Cryptologie No3 : quations &nombres complexesNo4 : SriesnumriquesCAHIERSDELA CRMArrt sur imageavec MathematicaDaniel Poncet-MontangeCAHIERNO 5 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUECAHIERSDELA CRMIntroduction lathorie des graphesDidier MllerCAHIERNO 6 COMMISSION ROMANDEDE MATHMATIQUENo5 : Arrt sur image No6 : Thorie desgraphesCommission Romande de Mathmatique