granice techniki mikrofalowej oscylacje mocy …zeszyty.umg.edu.pl/sites/default/files/zn444.pdf ·...

Piotr S. Dębicki Akademia Morska w Gdyni

GRANICE TECHNIKI MIKROFALOWEJ – OSCYLACJE MOCY BIERNEJ W ENERGETYCE

I FALE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Praca jest próbą spojrzenia, z punktu widzenia techniki mikrofalowej, na zagadnienia do techniki

mikrofalowej nienależące: na zjawiska dotyczące mocy w sieciach energetycznych oraz na obwody

prądu stałego. W pierwszym przypadku motywacją do takiego podejścia jest tocząca się wśród

elektryków dyskusja dotycząca interpretacji zjawisk fizycznych, związanych z oscylacjami mocy biernej.

Wychodząc z założenia, że równania Maxwella wyjaśniają wszystkie makroskopowe zjawiska

elektromagnetyczne, zastosowano technikę mikrofalową do obwodów 50-hertzowych, ilustrując

rozwiązania przykładami. W technice mikrofalowej do wyjaśniania zjawisk związanych z mocą używa

się opisu za pomocą jedynie dwóch fal przenoszących moce czynne; nie używa się w niej pojęcia mocy

biernej do opisu do zjawisk energetycznych (choć tu go użyto w celach porównawczych). Rozważania

ograniczono do jednofazowych przebiegów sinusoidalnych. Podejście to pozwoliło na odkrycie

zjawiska zmiany wartości współczynnika mocy (cos φ) wzdłuż jednorodnej bezstratnej linii przesyłowej.

Na zakończenie pokazano, że w obwodach prądu stałego fale również istnieją, chociaż nie można ich

zmierzyć. Podstawą takiego stwierdzenia jest przekonanie, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się

„nagle”; tzn., że pochodne po czasie muszą być skończone.

Słowa kluczowe: moc bierna, moc czynna, moc zespolona, moc pozorna, technika mikrofalowa,

oscylacje mocy, fala odbita, fale stojące, współczynnik odbicia, moc dysponowana, obciążenie

rzeczywiste, obciążenie zespolone, współczynnik mocy (cos φ), prąd stały.

WSTĘP

Równania Maxwella, teoria pola i teoria obwodów – czy zjawiska fizyczne

zmieniają się nagle? W tym roku mijają 152 lata od sformułowania przez Maxwella

jego słynnych równań elektrodynamiki klasycznej. Dołączyły one do wielu

innych równań różniczkowych fizyki, mocno już umocowanych w teorii fizyki

XIX-wiecznej. Wszystkie niekwantowe zjawiska elektryczne występujące w przyro-

dzie, a dokładniej zjawiska makroskopowe, których opis dotyczy nie mniej niż około

106 cząsteczek/atomów/fotonów, z ogromną dokładnością dają się opisać równa-

niami Maxwella.

W równaniach Maxwella, tak jak w wielu innych równaniach fizyki, występują

pochodne po czasie. Żeby zjawiska tam opisywane miały sens fizyczny, pochodne

te muszą być skończone. W przeciwnym wypadku pojawiłyby się nieskończone

natężenia pól, nieskończone moce itp. W wielu sytuacjach w elektromagnetyzmie,

przy analizie niektórych zjawisk wprowadza się opisy, w których pochodne po

P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 35

czasie stają się nieskończone, np. delta Diraca, czy pobudzenie uskokiem

jednostkowym. Jest to często niezbędne do opisania istoty pewnych zjawisk bez

skomplikowanego balastu matematycznego, jednak w rzeczywistości w fizyce nic

nie dzieje się nagle. Wiele procesów występujących w fizyce jest niezwykle

szybkich, niektóre nazywa się wybuchami, ale zawsze jest to w skończonym czasie.

Uwaga powyższa, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się nagle, przyda się do

analizy tego, co się dzieje przy przechodzeniu w zjawiskach elektromagnetycznych

od częstotliwości bardzo wysokich, gdy długości fal są porównywalne z wymiarami

elementów, do 50 Hz, a nawet do częstotliwości 0. Wtedy zmienia się gwałtownie

sposób opisu zjawiska, co jest zrozumiałe, ale czy zjawiska występujące też

zmieniają się nagle? Równania Maxwella opisują tak szerokie spektrum częstotliwości, że nie

stosuje się pełnego, skomplikowanego opisu do wszystkich sytuacji. Poza nie-

którymi mniejszymi odgałęzieniami, z teorii Maxwella (używa się też pojęcia

„teoria pola“) wynikają dwie wielkie teorie pochodne: teoria obwodów i optyka

geometryczna1, które są jej szczególnymi przypadkami. Pierwsza z nich opisuje

sytuacje, gdy wymiary elementów są małe w stosunku do długości fali, a druga –

gdy długość fali jest mała w stosunku do elementu. W sytuacji gdy wymiary elemen-

tów/struktur są porównywalne z długością fali, używa się pełnego opisu równaniami

Maxwella – to jest przypadek techniki mikrofalowej. Chociaż więc termin

„mikrofale” odnosi się do określonego przedziału częstotliwości2, to, np. do zapro-

jektowania byłego już masztu-anteny nadajnika Warszawy I w Konstantynowie,

pracującego na częstotliwości zaledwie 225 kHz, należało użyć techniki

mikrofalowej, gdyż jego wysokość 645,4 m była prawie połową długości fali.

Oczywiste jest, że nie ma ostrej granicy pomiędzy teorią pola a optyką i teorią

obwodów, i w wielu sytuacjach przenikają się one i uzupełniają. Trzeba jednak

pamiętać, że opis za pomocą tych teorii pochodnych jest, w pewnym sensie,

upośledzony ze względu na założenia upraszczające leżące u ich podstaw. Brak

odpowiedniej uwagi w ich stosowaniu może prowadzić do mylnych interpretacji.

Oscylacje mocy biernej. W artykule zakłada się, że wszystkie obwody są liniowe,

a napięcia i prądy są sinusoidalne (z wyjątkiem końcowej części punktu o prądzie

stałym), co pozwala na zastosowanie amplitud zespolonych3.

Opisywanie drgań elektromagnetycznych za pomocą teorii obwodów4

przypomina sytuację człowieka, który poszedł na nadmorskie molo obserwować

ruch fal, ale patrząc tylko w dół w szparę pomiędzy deskami. Widzi on jedynie ruch

pionowy wody w funkcji czasu i nic nie wie o zjawiskach w przestrzeni. W ogromnej

większości przypadków uwzględnienie jedynie zależności od czasu jest w teorii

1 Właściwie obie te teorie istniały w głównym zarysie jeszcze przed sformułowaniem teorii Maxwella.

Nie było tylko wiadomo, że obie wywodzą się z tego samego źródła. 2 300 MHz – 1000 GHz. 3 Amplitudy zespolone, stosowane w technice mikrofalowej, opisują amplitudę i fazę sygnału

w miejscu o współrzędnej przestrzennej równej zeru i w czasie t = 0. 4 Z wyłączeniem teorii linii długich, która należy do techniki mikrofalowej.

36 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016

obwodów wystarczające, a analiza jest istotnie prostsza. Jednak w sytuacji, gdy

interpretacje fizyczne stają się niejasne, gdy różne autorytety mają różne opinie na

temat tego samego zjawiska, gdy przekształca się równania trygonometryczne do

różnych postaci i próbuje się nadawać nowym składnikom dziwne interpretacje

fizyczne, jest czas, by podnieść głowę i zamiast obserwować szparę między deskami,

rozejrzeć się dookoła – czyli zastosować podejście polowe. Nie po to, żeby

przekreślić to, co robiło się do tej pory od dawna i z wieloma sukcesami, ale aby

lepiej zrozumieć. Opisana sytuacja dotyczy dyskusji na temat oscylacji mocy

biernej w energetyce [1–8, 10–15].

W dziedzinie wysokich częstotliwości/mikrofal często ma się do czynienia

z przesyłaniem dużych mocy. Nadajniki radiolokacyjne, np. do kontroli przestrzeni

powietrznej na większych obszarach (np. obszar Polski), wysyłają do anteny impuls

o mocy ok. 2 MW. Przy projektowaniu takich systemów zwraca się szczególną uwa-

gę, aby prawie cała moc została wypromieniowana. Nawet 5% mocy powracającej,

czyli 100 kW, może uszkodzić nadajnik. W analizie tego typu układów nie używa

się pojęcia mocy biernej, ani oscylacji mocy biernej. Opis tego, co się dzieje

w torze transmisyjnym, wymaga rozwiązania równań Helmholtza, wynikających

bezpośrednio z równań Maxwella w sytuacji rozpatrywania liniowego i jednorod-

nego obszaru bez źródeł, tzn. w pewnej odległości od generatora. Jako rozwiązanie

uzyskuje się równania opisujące ruch dwóch fal przenoszących moce czynne –

jednej poruszającej się od generatora do obciążenia i drugiej fali powracającej.

Te dwie fale wyczerpują możliwe sytuacje, jakie mogą wystąpić w torze5. To jest

odpowiedź fizyki: są dwie fale – i to jest wszystko.

Wspomniane dwie fale interferują ze sobą, wytwarzając tzw. falę stojącą

(zazwyczaj tylko częściowo stojącą), której obraz wypadkowy zależy od tego, w jaki

sposób fala powracająca powstała, czyli od charakteru impedancji obciążającej,

która wpływa na jej amplitudę i przesunięcie fazowe.

Przekształcając odpowiednio otrzymane rozwiązanie, można wyliczyć moc

czynną dostarczaną do obciążenia, moc bierną, moc pozorną, moc zespoloną itd.,

wszystkie wielkości rozpatrywane w energetyce. Różnica jest taka, że w energetyce

nie analizuje się żadnej fali stojącej. Długość fali wynosi tam 6000 km, ale ta fala

istnieje. Teoretycznie można przeprowadzić eksperyment, polegający na zmierzeniu

pojemności, np. 10 km rozwartego kabla współosiowego. Pojemność zmierzona dla

50 Hz będzie nieco różna od pojemności statycznej, świadcząc o istnieniu fali

stojącej6.

5 Tor jest liniowy, jednorodny, jednorodzajowy i bez nieciągłości. Takie założenia można bezpośrednio

przenieść na sytuację energetycznych linii przesyłowych prowadzących tzw. falę TEM. 6 Dla kabla z izolacją teflonową (r = 2,05) o długości L = 10 km i o impedancji Z0 = 50 pojemność

statyczna wynosi 0cZ

LC r

S

= 953,333 nF, (c – prędkość światła w próżni), a pojemność dla f = 50 Hz,

obliczona jak dla linii długiej wyniesie: 050 π2

π2tg fZ

c

fLC r = 953,409 nF, co daje różnicę 76 pF przy

dokładności pomiaru 29 pF (wg Francuskiego Instytutu Metrologii).


Innym efektem, wyjaśnionym dalej, jest zmiana współczynnika mocy (cos φ)

z odległością, ale możliwość obserwacji tego zjawiska wymaga dalszych analiz.

W przypadku energetyki obserwator znajduje się tuż przy obciążeniu7 i nie wie, czy

fala wypadkowa, w miarę oddalania się od obciążenia, maleje, czy rośnie, czy

pozostaje niezmieniona. Może on jedynie zmierzyć wypadkową amplitudę i fazę

prądu oraz napięcia. Zakłada się, że stosunek wymiarów analizowanej struktury

w stosunku do długości fali wynosi zero, choć w rzeczywistości jest bardzo mały,

ale jednak jest on skończony.

W dalszej analizie wspomniane dwie fale zostaną opisane za pomocą napięć

i prądów. W przypadku energetyki rozchodzące się fale są falami typu TEM i ich

opis napięciami oraz prądami jest całkowicie wystarczający. Zakłada się również

pobudzenie jedną częstotliwością harmoniczną sinusoidalną.

Sprawa wygląda podobnie z punktu widzenia fizyki zjawisk, gdyby analizować

sieć trójfazową (w układzie trzy fazy i zero). Różnica polega na tym, że w takiej

sytuacji będą trzy napięcia i trzy prądy fali padającej i tak samo dla fali odbitej.

Wynika to z rozwiązań równania Laplace’a. W poniższym artykule analizowano

tylko układ dwuprzewodowy.

1. METODA MIKROFALOWA – PODSTAWY TEORETYCZNE

Wymienione powyżej dwie fale poruszające się w przeciwnych kierunkach

i interferujące ze sobą najczęściej zapisuje się w postaci amplitud zespolonych8.

Analizując rozkład przestrzenny, pomija się dla uproszczenia mnożnik e jt,

pamiętając, że on istnieje9. Dla fali padającej, poruszającej się (w prowadnicy,

w linii) w kierunku +x, mamy:

xjj

pad0

xj

pad0pad UUxU eeeˆˆ 0pad (1)

i dla fali poruszającej się w kierunku –x, tzw. fali odbitej, zapisuje się:

xjj

odb0

xj

odb0odb UUxU eeeˆˆ 0odb , (2)

gdzie: Upad0 i Uodb0 – amplitudy rzeczywiste napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej,

β = 2π/λ – stała fazowa,

x – zmienna przestrzenna wzdłuż linii,

φpad0 i φodb0 – fazy amplitud zespolonych napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej

w punkcie x = 0.

7 „Tuż przy obciążeniu” w technice mikrofalowej oznacza, że odległość od obciążenia jest niezmiernie

mała w stosunku do długości fali. 8 Liczby zespolone oznacza się znakiem ^ nad literą. 9 Zostanie on przywrócony w punkcie 3.1.


Fale zapisane równaniami (1) i (2) wygodnie jest traktować jako dwa wektory

wirujące w przeciwnych kierunkach na płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową

x10. Wypadkowa fala w linii jest sumą wyrażeń (1) i (2). Dodając te wyrażenia,

można wypadkowe zespolone napięcie w linii xU zapisać w postaci:

xj

odb0pad0

xj UUxU 2eˆˆeˆ . (3)

Do zbadania zachowania się wypadkowej amplitudy napięcia w linii wystarczy

przeanalizować wyrażenie w nawiasie. Ilustrację graficzną tego wyrażenia na płasz-

czyźnie zespolonej pokazano na rysunku 1. Analizując rysunek, należy pamiętać,

że długość wektora Uodb może się zmieniać od 0 do Upad.

Przykładowe zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x pokazano na

rysunku 2.

Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest

Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest

zespolony współczynnik odbicia , zdefiniowany jako stosunek amplitud zespolo-

nych fali odbitej do fali padającej:

10 Iloczyn βx jest nazywany długością elektryczną, często oznaczany jako lub . Jest to zwykła

długość fizyczna (x) odniesiona do długości fali λ i mierzona w radianach: = 2x/λ = x. Jest ona

równa 0, gdy x = 0 oraz gdy λ = . Ponieważ λ = c/f, można zapisać: =x = xf∙2/c. Zmienność więc

od długości elektrycznej może być traktowana, w zależności od sytuacji, jako zmienność od położenia

lub od częstotliwości.

Rys. 1. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej relacji pomiędzy wektorami

reprezentującymi napięcia padające, odbite i wypadkowe w linii długiej. Dla ustalonego momentu czasu, różnica fazy pomiędzy napięciem fali padającej

i odbitej przy przesuwaniu się wzdłuż linii zmienia się jak 2βx, czyli 2 razy szybciej niż faza pojedynczej fali. Tak samo zmienia się faza współczynnika odbicia

zdefiniowanego wzorem (4)

Fig. 1. Relations between the voltage vectors (in a transmission line) of the incident, reflected and the resulting waves in a complex plane is presented. The phase

difference between the voltages of the incident and the reflected waves, for fixed time, is changing along the line as 2βx, i.e. 2 times faster than a phase of the single wave.

The phase of the reflection coefficient, defined by (4), is changing in the same manner


xjj

pad

odb

xU

xU 2

0 ee)(ˆ

)(ˆˆ 0

, (4)

gdzie φ0 = φodb0 + φpad0 jest fazą współczynnika odbicia w miejscu x = 0, więc przy

braku odbicia (Uodb0 = 0) otrzymamy = 0, a przy pełnym odbiciu Uodb0 = Upad0

i wtedy | | = 1. Miejscem geometrycznym współczynnika odbicia11 na płaszczyźnie

zespolonej jest wnętrze koła jednostkowego12.

Ponieważ współczynnik odbicia jest zdefiniowany napięciowo, używa się też

współczynnika odbicia mocy Γp, który jest kwadratem modułu współczynnika

odbicia 2

ΓΓ p .

Rys. 2. Zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x. Przyjęto Upad0 = 1 oraz Uodb0 = 0,2.

Współczynnik fali stojącej (WFS = r) definiowany jako Umax/Umin wynosi 1,5, a moduł współczynnika odbicia |Γ | = (r –1)/(r +1) = 0,2. Moc odbita Γp = 4%. Przy takiej niewielkiej

mocy odbitej pofalowania U(x) wynoszą aż ±20%. Stosunek napięcia do prądu,

czyli impedancja, zmienia się wraz z x. Występują więc obszary, w których przeważa

charakter indukcyjny impedancji lub pojemnościowy – nawet dla obciążeń rzeczywistych. W miejscach, gdzie występują ekstrema amplitudy U(x), impedancja jest rzeczywista

Fig. 2. Changes of the U(x) amplitude vs. a x position. It was assumed that Upad0 = 1 and Uodb0 = 0.2. A voltage standing wave ratio (VSWR = r), defined as Umax /Umin, is equal 1.5 and a reflection coefficient absolute value |Γ | = (r –1)/(r +1) = 0.2. The reflected power

Γp = 4%. Despite so small reflected power, U(x) ripples achieved high rate ±20%.

As it results from fig. 4, the voltage/current ratio, i.e., impedance, is changing along x. As it is shown, there exists an area with an inductive or capacitive character of impedance,

even for resistive load. In the places where the extreme values of U(x) occurs, the impedance is always real

11 Dla układów pasywnych. 12 Jeśli znormalizuje się Upad0 = 1, to konstrukcja pokazana na rys. 1 jest fragmentem tego koła, a środek

okręgu kropkowanego jest środkiem koła jednostkowego.

,


Inny sposób obliczenia współczynnika odbicia, który będzie wykorzystany,

zostanie podany bez wyprowadzania13, a dotyczy on sytuacji, gdy w jakimś punkcie

linii (np. x0) znana jest impedancja widziana z tego punktu w kierunku obciążenia

(np. ZL) oraz impedancja charakterystyczna linii lub (przypadek energetyki)

impedancja źródła (np. ZW = Z0, por. rys. 3):

j

WL

WL

ZZ

ZZx eˆˆ

0. (5)

2. PRZYPADKI SZCZEGÓLNE

2.1. Rzeczywiste obciążenie linii

W pierwszym przypadku szczególnym rozpatrzono prostą sytuację odcinka linii

o rzeczywistej impedancji charakterystycznej Z0, obciążonej obciążeniem rzeczy-

wistym RL (w płaszczyźnie odniesienia 2-2’)14, pobudzonej generatorem (w płasz-

czyźnie odniesienia 1-1’) o rzeczywistej impedancji wewnętrznej RW = Z0 (rys. 3).

Jeżeli teraz zastosuje się wzór (5) do położenia 2-2’ na rysunku 3, to otrzyma

się wartość rzeczywistą:

1

1

'22

W

L

W

L

WL

WL

R

R

R

R

RR

RR . (6)

Ważne szczególne przypadki tego wzoru są następujące:

a) dopasowanie, gdy RL = RW – wtedy Γ2-2’ = 0,

b) zwarcie, gdy RL = 0 – wtedy Γ2-2’ = –1,

c) rozwarcie, gdy RL = ∞ – wtedy Γ2-2’ = +1.

We wszystkich powyższych przypadkach moc czynna padająca wysyłana przez

źródło (poprzez zaciski 1-1’) jest stała i wynosi:

Ppad = Wb RU 8/2 (7)

niezależnie od obciążenia. Jest ona równa mocy dysponowanej źródła, określonej na

zaciskach 2-2’ w stanie dopasowania (RL = RW).

13 Sposób wyprowadzenia jest wyjaśniony w punkcie 3.1. 14 Płaszczyzna odniesienia jest ważnym pojęciem w technice mikrofalowej, gdyż jeśli przesuniemy się

wzdłuż jednorodnej linii długiej do innego przekroju, czyli innej płaszczyzny odniesienia, impedancja

widziana ogólnie zmieni się, chyba że nie było fali odbitej.


Moc odbita Podb w przypadku a) wynosi 0, a w przypadkach b) i c) jest równa

mocy padającej Ppad. Moc odbita dla dowolnej wartości RL wynosi

Podb = Ppad |Γ2-2’|2, (8)

a moc zaabsorbowana przez obciążenie:

PL = Ppad (1-|Γ2-2’|2). (9)

Podstawiając do wzorów (8) i (9) relacje (6), otrzyma się dobrze znane wzory

teorii obwodów.

Przykład liczbowy, typowy dla techniki mikrofalowej (zgodny z danymi na

rys. 2 i 3):

Obciążenie rzeczywiste RL = 60 Ω

Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 40 Ω

SEM źródła Ub = 2 V

Współczynnik odbicia w przekroju 2-2’ 0.2Γ 2'2 wg (6).

rzeczywisty

Współczynnik odbicia mocy 0.04ΓΓ2

p ˆ .

Moc padająca Ppad = 12,5 mW wg (7)

Moc wydzielona w obciążeniu PL = 96% Ppad = 12 mW

Moc odbita Podb = 0,5 mW

x 0

Rys. 3. Podłączenie obciążenia RL do generatora o oporności wewnętrznej RW równej impedancji linii zasilającej Z0. Napięcie Upad0 jest równe Ub/2. Uodb0 jest

zależne od stosunku RL do RW wg wzorów (4) i (6). Umax 2Ub, Umin 0. Przykładowo, dla Ub = 2 oraz RL = 60 Ω i RW = 40 Ω otrzymamy rozkład U(x),

pokazany na rysunku 2

Fig. 3. The resistive load RL is connected to the generator with internal resistivity RW, which is equal to a transmission line impedance of Z0. Voltage Upad0 is equal Ub/2.

Uodb0 depends on ratio RL to RW according to (4) and (6). E.g., for Ub = 2, RL = 60 Ω and RW = 40 Ω one can obtain U(x) distribution shown in the fig. 2

= 0,2 wg (6)

0,04


Napięcie całkowite na obciążeniu UL = 1,2 V15

Napięcie fali padającej na obciążeniu Upad = 1,0 V

Napięcie fali odbitej na obciążeniu Uodb = 0,2 V

Maksymalna moc bierna16 Qmax = 5 mVar (wg (18))

Przykład energetyczny (dla obciążenia rzeczywistego):

Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω, do którego przyłożono

Napięcie skuteczne UL = 230 V (50 Hz)

Prąd skuteczny IL = 2,3 A, płynie przez obciążenie

Moc czynna wydzielona PL = 529 W

Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 1 Ω (założenie)

Współczynnik odbicia w 2-2’ 0.98Γ 2'2 , jest rzeczywisty wg (6).

Współczynnik odbicia mocy 0.961ΓΓ2

p ˆ . To oznacza, że

Moc wydzielona w obciążeniu, PL = 3,92% mocy padającej,

która wynosi Ppad = 13 491 W

Moc odbita Podb = 12 962 W

(cd. przykładu w p. 2.3)

Wniosek. W sytuacjach energetycznych mamy do czynienia z obwodami

bliskimi rozwarcia. To powoduje istnienie dużej fali padającej, wynikającej z dużej

mocy dysponowanej źródła i dużej fali odbitej, powodowanej przez współczynnik

odbicia o module bliskim 1. W przypadku obciążenia rzeczywistego maksimum fali

stojącej występuje przy obciążeniu. Napięcie na obciążeniu jest prawie podwojonym

napięciem źródła (dla fali padającej na zaciskach 1-1’), a prądy fali odbitej

i padającej są w przeciwfazie i prawie się znoszą, co powoduje, że pomiarowo można

wykryć tylko różnicę pomiędzy falą padającą i odbitą (patrz p. 2.3).

2.2. Relacja pomiędzy napięciem i prądem w obszarze między źródłem i obciążeniem

Dokładniejsze wyjaśnienie zjawisk fizycznych w linii wymaga przeanalizo-

wania relacji napięcia do prądu. Wyrażenia na prąd w obszarze pomiędzy źródłem

i obciążeniem są analogiczne do równań (1) i (2). Dla fali padającej mamy:

15

1

1222

W

L

W

L

b

WL

Lb

WL

WLbbb

odbpadL

R

R

R

R

URR

RU

RR

RRUUUUUU

16 Gdy (φΓ + 2βx) = (2n+1)π/2, n = 0, ±1, ±2, ±3,…, gdzie φΓ jest fazą współczynnika odbicia

wg wzoru (5).

= 0,961

= 0,98, jest rzeczywisty wg (6)

To oznacza, że


xjjpad0xjj

pad0

xj

pad0padZ

UIIxI eeeeeˆˆ 0pad0pad

0

(10)

i dla fali poruszającej się w kierunku –x, zapisuje się:

xjjodb0xjj

odb0

xj

odb0odbZ

UIIxI eeeeeˆˆ 0pad0pad

0

(11)

gdzie Ipad0 i Iodb0 są amplitudami rzeczywistymi prądu, odpowiednio, fali padającej

i odbitej.

Korzystając z relacji (1), (2), (3), (4), (10) i (11), można wzory na wypadkowy

rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii zapisać w postaci:

xjxj

pad0UxU 2eˆ1eˆˆ . (12)

xjxjpad0

Z

UxI 2

0

eˆ1eˆ

ˆ . (13)

Rys. 4. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej zmian kąta fazowego pomiędzy prądem

i napięciem w linii. Przyjęto Z0 = 1 oraz Upad0 = 1. Γ (x) = ∙exp(+2jx+). Stosunek prądu

do napięcia jest rzeczywisty tylko, gdy x + φΓ= nπ, (n= 0, 1, 2,…), gdzie φΓ jest fazą

współczynnika odbicia wg wzoru (5)

Fig. 4. An image of the phase angle between a voltage and a current, illustrated on the complex plane. It was assumed that Z0 = 1 and Upad0 = 1.

Γ (x) = ∙exp(+2jx+ φΓ). The current to voltage ratio is real only if x + φΓ = nπ,

(n= 0, 1, 2,…), where φΓ is reflection coefficient phase according to (5)


Z relacji powyższych wynika, że nawet gdy wszystkie występujące impedancje

są rzeczywiste (jak w przykładzie w p. 2.1), to faza pomiędzy prądem i napięciem

zmienia się w funkcji x, co powoduje, że impedancja bieżąca w linii zdefiniowana

jako:

)(ˆ

)(ˆˆxI

xUxZ , (14)

będzie wielkością zespoloną.

Ilustrację graficzną zmiany kąta pomiędzy prądem i napięciem w funkcji

długości elektrycznej 2x pokazano na rysunku 4. Widać na nim, że impedancja

xZ jest wielkością rzeczywistą jedynie w przypadku, gdy 2x + φΓ = nπ (n – liczba

całkowita), co odpowiada wartościom maksymalnym lub minimalnym napięcia

w linii.

2.3. Moce czynne, bierne, zespolone i pozorne oraz przykład

Znając wyrażenie na prąd i napięcie, można teraz zapisać wyrażenie opisujące

zmiany mocy wzdłuż linii. Korzystając z (12) i (13), moc zespoloną *ˆˆ2

1ˆ IUP

można zapisać jako17:

*β2β2

0

2

0* eˆ1eˆ12

)(ˆ)(ˆ2

1ˆ xjxjpad

Z

UxIxUxP , (15)

skąd po przekształceniach otrzymamy:

)2sin(ˆ2ˆ12

ˆ2

0

2

0xj

Z

UxP

pad . (16)

Wartość średnia tego wyrażenia na moc zespoloną jest równa części

rzeczywistej i jest mocą czynną przenoszoną w linii, która jest wielkością niezależną

od położenia:

2

0

2

0 ˆ12Z

UP

pad

cz. (17)

17 Moc zespoloną oznacza się tu jako P .


Jak widać, mamy dwa składniki odpowiedzialne za

moc padającą:

0

2

0

2Z

UP

pad

czPad i moc odbitą: 2

0

2

0 ˆ2

Z

UP

pad

czOdb.

Moc bierna, będącą częścią urojoną wyrażenia (16):

)2sin(

ˆ

0

2

0

xZ

UxQ

pad

, (18)

ma wartość średnią, w każdym przedziale o długości /2, równą zeru. Moc pozorna

jest modułem wyrażenia (16). Jej wartość minimalna jest równa wyrażeniu (17),

a wartość maksymalna w przypadku stanu bliskiego rozwarciu, jest zbliżona do

wartości mocy biernej według wzoru (18).

W przypadku energetyki wartość x jest praktycznie do pominięcia, gdyż dla

50 Hz wartość = 1,05x10-6. Dla obciążenia czysto rzeczywistego, jak w przykła-

dzie w punkcie 2.1, wartość fazy współczynnika odbicia φΓzgodnie ze wzorem (6),

wynosi przy obciążeniu 0, tak jak być powinno. Natomiast maksymalna wartość Q

(wzór (18)) wystąpi dla wartości φΓ x = (2n+1)π/2. Jeśli φΓ będzie to

w odległości /8 od rzeczywistego obciążenia.

Dzieląc moc czynną przez moc pozorną, otrzymuje się relację wiążącą

współczynnik mocy (cos φ) z położeniem w linii i wartością modułu współczynnika

odbicia:

22

22

ˆ1

)2(sinˆ41

1cos

x

. (19)

Ilustrację tej funkcji, dla przypadku obciążenia rzeczywistego (φΓpoka-

zano na wykresie na rysunku 5 dla przypadku energetycznego (f = 50 Hz). Prawa

część tego wykresu nie ma żadnego znaczenia w warunkach Polski, gdyż najdłuższa

linia energetyczna liczy 222 km. Koniec osi odciętych (750 km) odpowiada

maksymalnej wartości funkcji sinus we wzorze (19). Dalsza część wykresu jest

lustrzanym odbiciem względem linii pionowej 750 km, tak więc dla 1500 km

ponownie uzyskuje się wartość cos φ = 1 dla wszystkich wartości Γ.


Można również dokonać symetrycznego odbicia wykresu względem linii 0 km.

Nie jest to bezsensowne (wystąpią ujemne kilometry), gdyż przypadek obciążenia

zespolonego może być uwzględniany poprzez proste przesuwanie osi odciętych

w prawo lub lewo przy nieruchomym wykresie. Warto natomiast zwrócić uwagę na

krzywą |Γ | = 0,98, która odpowiada rozpatrzonemu w punkcie 2.1 przykładowi

energetycznemu z obciążeniem rzeczywistym. Jest to najniższa krzywa na wykresie,

która zmienia się gwałtownie na pierwszych kilkunastu kilometrach od obciążenia.

Zjawisko to wymaga zbadania, czy jest ono dostrzegalne w praktycznych sytuacjach.

Tu analizowano idealną linię bez strat. Prawdopodobnie własna indukcyjność

przewodów i ich rezystancja zmniejszą powyższy efekt.

Tu należy powrócić jeszcze raz do poprzedniego przykładu energetycznego,

aby przeanalizować dane liczbowe, uzupełnione teraz o napięcia, prądy i moce

bierne obliczone według wzorów z ostatnich dwóch punktów.

Przykład energetyczny cd.

Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω Amplituda prądu fali padajacej Ipad = 164,26 A

Impedancja toru (źródła) RW = Z0 =1 Ω Amplituda prądu fali odbitej Iodb = -161,00 A

Napięcie skuteczne na obc. ULsk = 230 V Maks. napięcie w linii Umax = 325,27 V

Amplituda napięcia na obc. UL = 325,27 V dla x = nπ (n=0, 1, 2,…)

Napięcie skuteczne źródła Usk = 232,3 V Min. napięcie w linii Umin = 3,2527 V

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750

Co

sin

us

φ

Odległość od obciążenia rzeczywistego w [km]

Г = 0,1Г = 0,2Г = 0,3Г = 0,4Г = 0,5Г = 0,6Г = 0,7Г = 0,8Г = 0,9Г = 0,98

Rys. 5. Współczynnik mocy (cos φ) w funkcji odległości od obciążenia rzeczywistego

[km] dla różnych wartości modułu Γ. Częstotliwość 50 Hz

Fig. 5. Power coefficient vs a distance [km] from a resistive load, calculated for different modulus of the reflection coefficient Γ. Frequency 50 Hz


Amplituda napięcia na

źródle

Ub = 328,52 V dla x = (2n+1)π/2

Prąd skuteczny na obc. ILsk = 2,30 A Maks. prąd w linii Imax = 325,27 A

Amplituda prądu na obc. IL = 3,2527 A dla x = (2n+1)π/2

Moc czynna w obciążeniu PLcz = 529 W Min. prąd w linii Imin = 3,2527 A

Moc czynna na RW PWcz = 5,29 W dla x = nπ

Współczynnik odbicia

(obciąż.) 2-2’ = 0,9802 Rezyst. w przekroju Umax Rmax = 100 Ω

Współczynnik odbicia mocy p = 0,9608 Rezyst. w przekroju Umin Rmin = 0,01 Ω

Moc padająca Ppad = 13 491 W Maks. mocy biernej Q = 26 452 VAr

Moc odbita Podb = 12 962 W dla x = (2n+1)π/4

Amplituda napięcia fali

padającej

Upad = 164,26 V Min. mocy biernej Q = 0 VAr


odbitej

Uodb = 161,00 V dla x = nπ/2

Minimum mocy pozornej | P |min = 529 VA Maks. mocy pozornej | P |max = 26 457

VA

Zwraca uwagę fakt, że wartość maksymalna mocy biernej jest równa sumie

mocy padającej i odbitej, podczas gdy moc czynna jest różnicą tych mocy.

Zazwyczaj kojarzy się moc bierną z nadmiarowymi wartościami prądu w sieci, które

nie mają pokrycia w przesyłanej mocy. W tym przypadku największa wartość prądu

w linii (325,27 A) wypada w miejscu, gdzie wartość mocy biernej wynosi zero

(minimum fali stojącej, x = (2n+1)π/2). W miejscu tym lokalny stosunek napięcia

do prądu wynosi jedynie 0,01 Ω.

2.4. Zespolone obciążenie linii

Poniżej zbadano zachowanie się układu przy obciążeniu zespolonym. W oma-

wianym przykładzie dobrano wartość obciążenia ZL = 64+j48 Ω w taki sposób, aby

uzyskać taki sam stosunek mocy padającej do odbitej jak w przykładzie poprzednim

dla obciążenia rzeczywistego, ale przy wartości cos φ = 0,8. Fizycznie, pokazany

poniżej przykład odpowiada sytuacji, w której wydłużono by linię z poprzedniego

przykładu o długość elektryczną 2x = 0,015 i tam przeniesiono początek osi x, naz-

wano ją x’ oraz włączono zespoloną impedancję ZL. Wtedy w miejscu 2x’ = 0,015,

odpowiadającym dawnemu x = 0, czyli miejscu włączenia rezystancji 100 Ω

w poprzednim przykładzie, nic się nie zmieni. Lokalny stosunek napięcia do prądu

też będzie wynosił 100 Ω i dalej w kierunku generatora wszystko pozostanie bez

zmiany. Z punktu widzenia sieci energetycznej wygląda to tak, że przy linii o dłu-

gości 7,16 km (odpowiednik 2 x = 0,015) zakończonej obciążeniem, wytwarza-

jącym cos φ = 0,8 w miejscu włączenia, na wejściu linii cos φ = 1. Niestety, zmiana

tej długości spowoduje ponowne pojawienie się cos φ < 1. Dla obciążeń o różnych

wartościach cos φ będą istniały różne wartości długości linii, na których wejściu

cos φ = 1.


Poniżej zestawiono wartości liczbowe dla tego przypadku. Wielkości, które

uległy zmianie wyróżniono wytłuszczoną czcionką. Zmiany dotyczą sytuacji

w miejscu włączenia zespolonego obciążenia lub przesunięcia początku osi x.

Przykład energetyczny dla obciążenia zespolonego

Obciążenie zespolone ZL = 64+j48 Ω Amplituda prądu. fali pad. Ipad = 164,26 A

Impedancja toru, źródła RW = Z0 =1 Ω Amplituda prądu. fali odb. Iodb = 161+j2,4 A

Napięcie skuteczne na obc. ULsk = 230 V Maks. napięcie w linii Umax = 325,27 V

Amplituda nap. na obc. UL = 325,3+j2,4 V dla x’ = nπ +0,015

Napięcie skuteczne źródła Usk = 232,3 V Min. napięcie w linii Umin = 3,2527 V

Amplituda napięcia

na źródle Ub = 328,52 V dla x’ = (2n+1)π/2+0,015

Prąd skuteczny na obc. ILsk = 2,30 A Maks. prąd w linii Imax = 325,27 A

Amplituda prądu. na obc. I = 3,27- j2,41 A dla x’ = (2n+1)π/2+0,015

Moc czynna w obc. PLcz = 529 W Min. prąd w linii Imin = 3,2527 A

Moc bierna w obc. QL = 397 Var dla x’ = nπ+0,015


(obciąż.) 2-2’ = 0,98ej0.015

Rezyst. w przekroju Umax Rmax = 100 Ω


mocy p = 0,9608

Rezyst. w przekroju Umin Rmin = 0,01 Ω

Moc padająca Ppad = 13 491 W Maks. mocy biernej Q = 26 452 VAr

Moc odbita Podb = 12 962 W dla x’ = (2n+1)π/4+0,015


padającej Upad = 164,26 V

Min. mocy biernej Q = 0 VAr

Amplituda napięć fali

odbitej Uodb = 161+j2,4 V dla x’ = nπ/2+0,015

Moc pozorna w obc. | P | = 661 VA cos φ = 0,8

3. OBWÓD PRĄDU STAŁEGO

3.1. Asymptotyczne dążenie do f = 0

Po zaznajomieniu się z metodą mikrofalową i jej zastosowaniu do energetyki

można zanalizować, co będzie się działo, gdy częstotliwość będzie asymptotycznie

dążyć do zera. Analizę tę przeprowadzono w trzech krokach.

1) Długość elektryczna βx. W wielu wzorach poprzednich punktów występują

wyrażenia opisujące zmianę fazy fali lub współczynnika odbicia w postaci xje lub xj2e

, gdzie β = 2π/λ jest stałą fazową. W miarę jak f dąży do zera, a więc i do

∞, oba czynniki dążą do 1. Już dla 50 Hz, jak wspomniano, wartości x są

praktycznie do pominięcia, gdyż = 1,05x10-6. W związku z tym we wzorach oraz

na rysunkach 1 i 4 można przyjąć ≈ 0. Oznacza to, że przy przesuwaniu się od

obciążenia


do generatora lub odwrotnie, nie zmienia się faza ani fali padającej ani odbitej.

Nie jest to jeszcze częstotliwość 0, lecz częstotliwość bardzo bliska 0.

2) Faza współczynnika odbicia. Przesunięcie fazowe pomiędzy falą padającą

a odbitą zależy teraz (tzn. gdy ≈ 0) jedynie od fazy współczynnika odbicia

w miejscu włączenia obciążenia (φ0 lub φΓ). W przypadku obciążenia rzeczywistego

możliwe wartości, jakie może przyjmować faza, to albo 0 albo π, według wzoru (5).

Na rysunkach 1 i 4 wszystkie wektory zespolone będą teraz leżały na osi rzeczy-

wistej18.

Na częstotliwościach energetycznych, np. przy obciążeniach indukcyjnych,

to przesunięcie fazowe jest istotne. Jeśli jednak istotnie zmniejszy się częstotliwość,

to części reaktancyjne możliwych obciążeń, jak XL = L, czy XC = 1/C, będą

dążyły, odpowiednio, do zwarcia i rozwarcia. W efekcie pozostaną tylko rezystancje,

a więc poprzedni przypadek obciążenia rzeczywistego.

3) Moduł współczynnika odbicia. Należy jeszcze zbadać, co dzieje się ze wzorem

(6), opisującym rzeczywisty współczynnik odbicia dla impedancji rzeczywistych

w miarę zbliżania się do częstotliwości 0, czy pozostaje on nadal słuszny. Wzór (6)

można otrzymać bezpośrednio ze wzorów (12), (13) i (14), pomijając wzór (5), jeśli

wybierze się x jako miejsce włączenia RL oraz przyjmie x = 0. Problem polega na

tym, że we wzorach (12) i (13) występują amplitudy zespolone napięcia i prądu.

W miarę zmniejszania się do zera x i φΓ mogłoby się wydawać, że amplitudy stają

się rzeczywiste. Jednak jest jeszcze wymieniony w rozdziale 1 i nieuwidoczniony

czynnik e jt. Współczynnik odbicia Γ jest już rzeczywisty (≈ 0, φΓ = 0) i można go

teraz zapisać w postaci:

)(

)(

)cos(

)cos(

e

e

ˆ

ˆ

0

0

0

0

0

0

tU

tU

tU

tU

U

U

U

UΓ

pad

odb

pad

odb

tj

pad

tj

odb

pad

odb

. (20)

Prawidłowość tego zapisu wynika bezpośrednio z faktu, że Uodb0 i Upad0 mogą

być wyłącznie w fazie lub przeciwfazie. Znak fali odbitej jest określony zależnością:

WL

WLodbodb

RR

RRUU

00

. (21)

Główna myśl związana z zapisem (20) jest następująca:

Jeżeli w miarę obniżania częstotliwości zmiany fazy z odległością są już

bardzo małe (≈ 0), jeżeli wszystkie reaktancje stały się już zwarciem lub

rozwarciem (L ≈ C ≈ 0) i w wyniku tego faza współczynnika odbicia φΓ

wynosi 0 lub π, to wartość współczynnika odbicia, który jest już wielkością

rzeczywistą, może być określona jako stosunek rzeczywistych wartości

chwilowych fali odbitej do fali padającej.

18 Nie oznacza to, że zapis za pomocą liczb zespolonych staje się niemożliwy. Przecież liczby

rzeczywiste są częścią liczb zespolonych.


Wniosek powyższy staje się bardzo istotny, gdy analizuje się przebiegi

niezwykle wolno zmienne (np. gdy okres fali trwa tydzień lub miesiąc). Może wtedy

nie być możliwości zbadania, jaka jest amplituda fali, ale w dalszym ciągu określenie

współczynnika odbicia według wzorów (20) i (6) jest możliwe.

Jeżeli teraz taka bardzo wolno zmienna fala będzie się zatrzymywać i osiągnie

f = 0, nie zmienią się ani zjawiska fizyczne ani z równania, które zachowują swoją

ważność. Dalej będzie istniała fala padająca i odbita, tyle że ich pomiar nie będzie

już możliwy.

3.2. Pobudzenie uskokiem napięcia

Kolejnym argumentem potwierdzającym hipotezę, że w obwodach prądu

stałego istnieją fale padająca i odbita, które w idealnym stanie ustalonym nie są

możliwe do wykrycia, a których istnienie wynika z ciągłości zjawisk fizycznych, są

zjawiska związanie z pobudzeniem uskokiem napięcia prostego obwodu,

składającego się ze źródła o rezystancji wewnętrznej RW, jednorodnego odcinka linii

długiej o impedancji charakterystycznej Z0 = RW oraz obciążenia końcowego

rezystancją RL (rys. 6, u góry). W momencie t = t0 jako SEM podane zostaje skokowo

napięcie 2 V, które później już nie ulega zmianie. Długość linii jest taka, że czas

przejścia energii poprzez linię (od przekroju poprzecznego a do przekroju c) wynosi

2. W dolnej części rysunku 6 pokazano przebiegi czasowe w trzech punktach linii

długiej (początek – a, środek – b i koniec – c).

W momencie t = t0 źródło widzi impedancję Z0, więc wysyła w linię moc

dysponowaną, a skok napięcia w przekroju a wynosi 1 V. Po wysłaniu w linię

impulsu jednostkowego przez okres 4 w przekroju a, czyli na wejściu linii nic się

nie zmienia.

Z rzeczywistym uskokiem związane jest jego widmo19, jeśli jednak linia jest

dostatecznie długa, np. tak, aby po czasie, krótszym niż 2 uzyskać stan ustalony,

przez następny czas 2 źródło wysyła w linię falę padającą o stałej amplitudzie

równej 1. Po okresie impuls dochodzi do środka linii, a po okresie 2 do jej końca.

Tutaj następuje odbicie fali zgodnie z relacją (22) lub (6). W zależności od stosunku

RL/RW fala odbita jest w fazie lub przeciwfazie z falą padającą, co powoduje

zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy fali wypadkowej.

Skrajnymi sytuacjami są zwarcie i rozwarcie linii, które skutkują falą odbitą

o amplitudzie, odpowiednio, –1 V lub +1 V. Fala wypadkowa będzie więc miała

amplitudę 0 V lub 2 V.

Podsumowując, widać, że źródło wysyła falę padającą, której amplituda jest

stała. Przybycie fali odbitej do określonego przekroju modyfikuje napięcie, które jest

już napięciem wypadkowym, o wartości zależnej od rezystancji na końcu linii.

Napięcie to dalej się nie zmienia. Po powrocie fali odbitej do źródła pozostaje stan

19 Pomija się tu szczegóły związane z czasem narastania uskoku, itp.


ustalony, który nie pozwala już na oddzielny pomiar fali padającej i odbitej20.

Ale fala padająca (określona przez moc dysponowaną) dalej istnieje.

Można by zadać pytanie: Jakie nowe zjawisko musiałoby powstać nagle

w momencie uzyskania stanu ustalonego, które by zastąpiło opisane powyżej

zjawisko fizyczne?

Oczywiście, nie ma praktycznej potrzeby wprowadzania fal stojących w analizę

obwodów prądu stałego, natomiast dobrze jest wiedzieć, że to zjawisko istnieje, choć

nie jest już mierzalne.

20 Jeśli nie byłby spełniony warunek Z0 = RW, powstałoby kolejne odbicie, nakładające się na falę

padającą i cały proces dochodzenia do stanu ustalonego istotnie zostałby wydłużony.

Rys. 6. Przebiegi czasowe w bezstratnej linii długiej pobudzonej uskokiem napięcia

Fig. 6. Voltage vs. time in a lossless transmission line excited by a voltage pulse


PODSUMOWANIE

W pracy pokazano, jak rozumienie zjawisk zachodzących w sieciach energe-

tycznych może być pogłębione poprzez spojrzenie z punktu widzenia techniki

mikrofalowej, operującej jedynie falami czynnymi: padającą i odbitą. W szczegól-

ności wykazano, że współczynnik mocy w linii (cos φ), w której stosunek rezystancji

obciążenia do rezystancji źródła jest wysoki, może się zmieniać szybko z odległością

na dystansie pojedynczych kilometrów (wzór (19) i rys. 5), które są bardzo małe w

stosunku do długości fali wynoszącej 6000 km.

Pokazano też na dwa sposoby, poprzez asymptotyczne dążenie do f = 0

i poprzez pobudzenie uskokiem napięcia, że w obwodach prądu stałego też istnieją,

praktycznie niemierzalne, fale stojące, gdyż zjawiska fizyczne nie mogą się zmieniać

nagle.

LITERATURA

1. Cekareski Z., Emanuel A.E., On the physical meaning of nonactive powers in three-phase systems,

Power Engineering Review, IEEE, Vol.19, 1999, No. 7, s. 46–47.

2. Czarnecki L.S., Could power properties of three-phase systems be described in terms of the

Poynting Vector? IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 21, 2006, No. 1, s. 339–344.

3. Czarnecki, L.S., Currents’ Physical Components (CPC) in circuits with nonsinusoidal voltages and

currents. Part 1: Single-phase linear circuits, Journal on Electric Power Quality and Utilization,

Vol. XI, 2005, No. 2, s. 37–48. Part 2: Three-phase linear circuits.

4. Czarnecki L.S., Energy flow and power phenomena in electrical circuits: illusions and reality,

Archiv. für Elektrotechnik, Vol. 82, 1999, No. 4, s. 10–15.

5. Czarnecki L.S., Harmonics and power phenomena, Wiley Encyclopedia of Electrical and

Electronics Engineering, John Wiley & Sons, Supplement 1, 2000, s. 195–218.

6. Czarnecki L.S., Misinterpretations of some power properties of electric circuits, IEEE Transactions

on Power Delivery, Vol. 9, 1994, No. 4, s. 1760–1770.

7. Czarnecki L.S., On some misinterpretations of the Instantaneous Reactive Power p-q Theory, IEEE

Transactions on Power Electronics, Vol.10, 2004, No. 3, s. 828–836.

8. Czarnecki L.S., Oscylacje energii a moce nieaktywne w świetle Teorii Składowych Fizycznych

Prądu (CPC) oraz Twierdzenia Poyntinga, „Przegląd Elektrotechniczny”, 2006, nr 6, s. 1–7.

9. Emanuel A.E., About the rejection of Poynting vector in power systems analysis, Journal on Electric

Power Quality and Utilization, Vol. XIII, 2007, No. 1.

10. Emanuel A.E., Power definitions and the physical mechanism of power flow, John Wiley, Hoboken,

New Jersey 2010.

11. Emanuel A.E., Powers in nonsinusoidal situations. A review of definitions and physical meaning,

IEEE Transactions on Power Delivery, 1990, No. 5(3).

12. Emanuel A.E., Poynting Vector and physical meaning of nonactive powers, IEEE Transactions on

Instrumentation and Measurements, Vol. 54, 2005, No. 4, s. 1457–1462.


13. Ferrero A., Leva S., Morando A.P., An approach to the nonactive power concept in terms of the

Poynting-Park Vector, European Transactions on Electric Power, ETEP, Vol. 11, 2001, No. 5,

s. 301–308.

14. Piotrowski T.S., Spór o sens fizyczny mocy biernej, VI Konferencja „Elektrotechnika – prądy

niesinusoidalne”, materiały konferencyjne, Zielona Góra 2002, s. 47–54.

MICROWAVE TECHNIQUE BORDERS – THE REACTIVE POWER OSCILLATING IN ELECTRIC POWER ENGINEERING

AND THE WAVES IN DC CIRCUITS

Summary

The paper describes the use of microwave technique methods in the power phenomenon in electric

power lines, which do not belong to the microwave technique at all. Starting from the assumption that

Maxwell’s equations explain all macroscopic electromagnetic effects, the microwave method to the

50Hz circuits has been applied and the results have been illustrated by examples. Finally, it is explained

that waves in DC circuit also exist, although, it is impossible to measure them. The reason to claim

such conclusion results from the fact that physics does not change instantly.

Keywords: reactive power, active power, complex power, apparent power, microwave method, power

oscillations, reflected wave, standing waves, reflection coefficient, maximal available power, resistive

load, complex load, power coefficient (cos φ), DC.

granice techniki mikrofalowej oscylacje mocy …zeszyty.umg.edu.pl/sites/default/files/zn444.pdf ·...

Documents