grafosiii

5/13/2018 grafosIII - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/grafosiii 1/46

Analisis y Diseño de AlgoritmosTema: Grafos

3ra Parte

Andrés Arcia

Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniería

Postgrado en Computación



Caminos Cortos en Todos los

Pares de Arcos Dado un grafo dirigido G=(V,E) con una

función de peso w:EpR. Se desea

encontrar todos los caminos más cortos(de menor peso) entre todos los pares

(u,v) V.



¿Cómo resolver el problema?

En una primera instancia utilizando algún algoritmo decaminos cortos desde un solo vértice, |V| veces, una vezpara cada vértice.

Si todos los arcos son positivos Dijkstra. Luego: Utilizando arreglos para las colas de prioridad

O(V3+VE) = O(V3)

Utilizando heaps binarios O(VElgV)

Utilizando heaps fibonacci O(V2lgV+VE)

Si hay arcos negativos

Bellman-Ford, una vez por vértice.

O(V2E) y para grafos densos O(V4)



Representación

Se dispone de una matriz de entrada W

de tamaño nxn, que representa los pesos

de un grafo dirigido G=(V,E) de n arcos.Luego, para W=(wij)

wij

0 si i=j

peso de (i,j) si ij y (i,j) Eg si ij y (i,j) E



Salida

Una matriz D=(dij) con las distancias mínimasentre el par (i,j).

Una matriz 4=(Tij), donde Tij=NULL si i=j ó no

hay camino de i a j , de otra forma contiene alpredecesor de j en el camino mínimo.

El grafo resultante se define como:

GT,i= (VT,i, ET,i) dondeVT,i={ jV : Tij NULL } U { i }

ET,i={(Tij,j) : j V

T,i y TijNULL



Impresión del Camino

PRINT-ALL-PAIRS-SP(4,i,j)

1 if i=j

2 then print i3 else if (Tij=NULL)

4 then print ³no path from´ i ³to´ j

5 else

6 PRINT-ALL-PAIRS-SP(4,i,Tij)

7 print j



Multiplicación de Matrices y

Caminos Cortos Se presenta un algoritmo basado enprogramación dinámica para resolver todos loscaminos más cortos en todos los pares denodos del grafo G=(V,E).

El método es similar a la multiplicación dematrices.

Recapitulando la programación dinámica:1. Caracterizar la estructura de la solución óptima.

2. Definir recursivamente el valor de la soluciónóptima.

3. Computar el valor de la solución óptima de abajohacia arriba.



Estructura del Camino más Corto

Sabemos que todos los subcaminos de los

caminos más cortos son también caminos más

cortos. Supongamos W=(wij), asumamos que no

hay ciclos negativos y que el camino p tiene marcos que van de i a j y, p es un camino corto.

si i=j p

0si ij pi ~p¶> kp j tiene m-1 nodos

H(i,j) = H(i,k) + w(k,j)



Solución Recursiva

Sea dij(m) el peso mínimo para algún

camino de i a j con m arcos:

si m=0

no hay arcosdij

(0) = 0 si i=j

g si ij

Si mu1 dij(m) = min (1eken, dik

(m-1) + wkj)

¿Cuál es el límite de m?

H(i,j) = dij(n-1)=dij

(n)=dij(n+1)=«



Cálculo de la Solución de

Abajo hacia Arriba Entrada:

W=(wij), luego se calcula una serie de matrices

D(1), D(2), «, D(n-1) | D(m)=(dij

(m)).

D(n-1) contiene los caminos más cortos.



Cálculo de la Solución de

Abajo hacia Arriba En esencia el siguiente algoritmo extiende la solucióndel camino más corto, un arco a la vez.

EXTEND-SHORTEST-PATHS (D,W)

1 n n rows[D]

2 let D¶=(d¶ij) be a nxn matrix.3 for i n 1 to n

4 do for j n 1 to n

5 do d¶ijn g6 for k n 1 to n

7 do d¶ij = min(d¶ij, dik + wkj)

8 return D¶

Este algoritmo es O(n3). Observe los tres for anidados.



Relación con la

Multiplicación de Matrices. Suponga C=A.B; donde A,B y C son matrices nxn.

La multiplicación de matrices se define:

cij = 7(k=1, n, aik.bkj) p dij(m)=min(1eken, dik

(m-1) + wkj)

d(m-1)pa

wpb

d(m)pc

minp+

+ p .



Algoritmo

Sea AB un producto matricial retornado por EXTEND-SHORTEST-PATHS(A,B)

D(1) = D(0).W = W

D(2) = D(1).W = W2

D(3) = D(2).W = W3

«

D(n-1) = D(n-2).W = Wn-1

SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W)

1 nn rows[w]

2 D(1) nW

3 for mn2 to n-1

4 do D(m) n EXTEND-SHORTEST-PATHS(D(m-1),w)

5 return D(n-1)

O(n4)



Mejora del Tiempo de Ejecución

¿Cuál es el objetivo? R: D(n-1)

Recordemos que si no hay ciclos negativos, D(m)=D(n-1)

m u n-1

Así, podemos computar D(n-1) en solo «lg(n-1)», haciendo

D(1) = WD(2) = W2 = W.W

D(4) = W4 = W2. W2

D(8) = W8 = W4. W4

«

D(2^«ln(n-1)») = W(2^«ln(n-1)») = W(2^(«ln(n-1)»-1)) . W(2^(«ln(n-1)»-1))

La técnica se denomina ³repetición cuadrática´.



Algoritmo

FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W)

1 nnrows[w]

2 D(1)nW

3 m n 14 while n-1 > m

5 do D(2m)nEXTEND-SHORTEST-PATH(D(m), D(m))

6 m n2m

7 return D(m)

n-1e2me2n-2

O(n3lgn)



Algoritmo Floyd-Warshall

Estructura del camino más corto ± Se consideran los vértices intermedios (v.i.) de un camino

simple p=<v1, v2,«, vl>, es decir, cualquier vertice que no sea v1

y vl.

± El algoritmo se basa en la siguiente observación: Sean losnodos de G, V={1,2,«n} y considere el subconjunto {1,2,«,k}para algún k. Para cualquier par de vertices i , j V consideretodos los caminos de i a j cuyos vertices son todos obtenidos de{1,2,«,k} y sea p el camino de minimo peso entre ellos.

± El algoritmo explota la relación entre el camino p y los caminos

cortos de i a j con vértices intermedios en el conjunto {1,2, «, k-1}.

± Si tenemos que p se divide en i~p1~>k~p2~>j. p1 y p2 soncaminos cortos con vértices intermedios en {1,2,...,k}.



Solución Recursiva

Sea dij(k) el peso del camino más corto de i

a j con v.i. en {1,2,«,k}. Cuando k=0 el

camino de i a j no tiene un v.i. numerado

más alto que 0 y de hecho no tiene v.i.

dij

(k) =Wij si k=0

min(dij(k-1)

, dik(k-1)

+ dkj(k-1)

) si ku1



Computo de Abajo hacia Arriba

FLOYD-WARSHALL(W)

1 nnrows[n]

2 D(0)n w

3 for k n 1 to n

4 do for i n1 to n

5 do for j n1 to n

6 dij

(k)nmin(dij

(k-1)

, dik

(k-1)

+ dkj

(k-1)

)7 return D(n)

5(n3)



EjemploNIL 1 1 NIL 1

NIL NIL NIL 2 2

NIL 3 NIL NIL NIL

4 NIL 4 NIL NIL

NIL NIL NIL 5 NIL

0 3 8 g -4

g 0 g 1 7

g 4 0 g g

2 5 -5 0 -2

g g g 6 0

NIL 1 1 NIL 1

NIL NIL NIL 2 2

NIL 3 NIL NIL NIL

4 1 4 NIL 1

NIL NIL NIL 5 NIL

0 3 8 g -4

g 0 g 1 7

g 4 0 g g

2 g -5 0 g

g g g 6 0

0 3 8 4 -4

g 0 g 1 7

g 4 0 5 11

2 5 -5 0 -2

g g g 6 0

NIL 1 1 2 1

NIL NIL NIL 2 2

NIL 3 NIL 2 2

4 1 4 NIL 1

NIL NIL NIL 5 NIL

D(0) =

D(1) =

D(2) =

(0) =

(1) =

(2) =

Valores iniciales



Construcción del camino más corto

Se selecciona el mismo predecesor que en

camino más corto, pero queda atado por

apuntadores a los padres en una cadena.

Tij(k) Tij

(k-1) si dij(k-1) e dik

(k-1)+ dkj(k-1)

Tkj(k-1)

si dij(k-1)

> dik(k-1)

+ dkj(k-1)



Clausura transitiva de un grafo

dirigido

Dado un grafo dirigido G=(V,E) con un

conjunto de nodos V = {1,2,«,n} se quiere

averiguar si hay un camino de i a j i,j V.

La clausura transitiva se define:

G*=(V,E*) donde

E*={(i,j): hay camino de i a j en G}.



¿Cómo se calcula?

Asignar peso 1 a todos los arcos en E y ejecutar Floyd-Warshall O(n3). ± Si hay camino dij<n

± Si no hay camino dij=g Otra manera es utilizando los operadores

lógicos y en vez de los operadores min y +en FLOYD-WARSHALL.

± tij(0)

= 0 si ij y (i,j) E.= 1 si i=j o (i,j) E.

± Para ku1: tij(k) = tij

(k-1) (tik(k-1) tkj

(k-1)).5(n3).



Algoritmo de Jhonson

para grafos esparcidos

Encuentra los caminos más cortos en O(V2lgV +

VE), que es asintóticamente mejor que los otros

dos métodos.

Usa Dijkstra y Bellman-Ford.

Usa la técnica de reasignación de pesos.

± Si todos los pesos son positivos, entonces se utiliza

Dijkstra en c/u de los nodos y con heap fibonacci se

tiene O(V2lgV + VE), de lo contrario se recalculan los

pesos para que queden todos positivos y se aplica la

misma técnica.



Reasignación de Pesos

Sea Z el nuevo peso asignado. Z debe

cumplir con:

1.

(u,v) E,H(u,v) con w:EpR estambién H(u,v) con Z :EpR.

2. (u,v) E, Z(u,v)u0.

Z se determina en O(VE).




Lema:

La reasignación de pesos no cambia los

caminos más cortos.

Sea G=(V,F) con w:EpR y h:VpR cualquier

función que mapea VpR. Luego (u,v)E:

Z(u,v) = w(u,v) + h(u) ± h(v).

Sea p = <v0, v1, « vk> un camino de v0 a vk.w(p)=H(v0,vk) Z(p)=H(v0,vk)

G tiene ciclo negativo G´ tiene ciclo negativo




Prueba:

Z(p) = w(p) + h(v0) ± h(vk)

Se tiene

Z(p) = 7(i=1, k, Z(vi-1, vi))

= 7(i=1, k, w(vi-1, vi) + h(vi-1) - h(vi))

= 7(i=1, k, w(vi-1, vi)) + h(v0) ± h(vk)= w(p) + h(v0) ± h(vk)

Suponga que hay un camino más corto p¶ desde v0 a vk usando Z. EntoncesZ(p¶)< Z(p).

w(p¶) + h(v0) ± h(vk) = Z(p¶)

< w(p)

= w(p)+h(v0)+h(v

k)

Que implica que w(p¶) < w(p) que contradice que p es el camino más corto.

Suponga que hay un ciclo negativo c = <v0, v1, «, vk>

Luego, Z(c)=w(c) + h(v0) ± h(vk)

=w(c) si hay ciclo negativo en Z(c) tambien lo hay en w(c).



Algoritmo

JHONSON

1 compute G¶, V[G¶]=V[G] U {s}, E[G¶]=E[G]U{(s,v) : v V[G]}

2 if BELLM AN-FORD(G¶,w,s) = false

3 then print ³there is a negative weight cycle´

4 else for each vertex v V[G]

5 do set h(v) to the value computed by the BELLM AN-FORD algorithm.

6 for each edge (u,v) E[G¶]

7 do Z(u,v)nw(u,v) + h(u) ± h(v)

8 for each vertex u V[G]

9 do run Dijkstra(G,Z

, u) to computeH¶(u,v)

u V[G]10 for each vertex v V[G]

11 do duvn H¶(u,v) + h(v) ± h(u)

12 return D



Ejemplo

-1

0 -5

-4 0

4

-5

6

8

2

17

3

-4

0

0

0

0

0

0

-1

0 -5

-4 0

0

0

2

13

2

010

4

0

0

0

4

0

0

5



Ejemplo

2/1

0/0 2/-3

0/-4 2/2

0

0

2

13

2

010

4

0

0/0

2/3 0/-4

2/-1 0/1

0

0

2

13

2

010

4

0



Flujo Máximo

Imaginemos algún flujo que va desde un sitio s,

donde es producido, hasta un sitio t donde es

consumido a la misma tasa de producción.

Intuitivamente, el flujo en cualquier punto de lared es la tasa a la que se mueve el material.

Usos: modelado de flujo en tuberías, líneas de

ensamblado, corrientes eléctricas, información

en redes de comunicación, etc.



Flujo Máximo

Cada arco dirigido puede ser visto como un

conducto por donde pasa el material, según las

siguientes restricciones:

± Cada conducto tiene una capacidad máxima finita.

± Se cumple la conservación de flujo. 7f i = 7f o (por

nodo).

Problema del Flujo Máximo:

¿Cuál es la mayor tasa a la que se puede llevar

material sin violar ninguna restricción?



Redes de Flujo

Una red de flujo G=(V,E) es un grafo

dirigido tal que cada arco (u,v)E posee

una capacidad c(u,v)u0. Si (u,v)E,

c(u,v)=0.

± Se distinguen 2 vertices, el fuente ³s´ y el

destino ³t´. Cada vertice vV esta en algun

s~>v~>t. ± El grafo es conexo |E|u|V|-1



Flujo

El flujo está dado por una función con imagen

en los reales. f:VxVpR que satisface:

± Restricción de capacidad: u,v V, f(u,v)ec(u,v).

± Simetría distorsionada: u,v V, f(u,v)=-f(v,u).

± Conservación de flujo: u,v V-{s,t} se requiere que

vV 7f(u,v) = 0

Sea f(u,v) el flujo desde u hasta v, el valor de ese

flujo se define como |f|= 7f(s,v) vV



Relación entre 2 nodos

v1

v2

5 / 1 0

4

v1

v2

10 4

v1

v2

8 / 1 0

4

v1

v2

8 / 1 0

3 / 4

v1

v2

10 2 / 4

8 de v1 a v2 3 de v2 a v1 cancelación 7 más de v2 a v1



Redes de múltiples entradas y

múltiples salidas

S¶

s1

s2

s3

s4

s5

t2

t1

T¶

gg

g

g

g

g

g



Metodo Ford-Fulkerson

El método iterativo depende de tres ideas

importantes:

± Red residual

± Aumento de camino

± Cortes

Para ello usaremos el teorema max-flow

min-cut que caracteriza el flujo máximo en

terminos de cortes de la red de flujo.



Iteración

En cada iteración se va consiguiendo un valor de flujo que aumenta el camino, es decir,podemos aumentar el flujo en un camino de s at

. Este proceso se repite hasta que no hayamás posibilidad de aumentar.

FORD-FULKERSON-METHOD(G,s,t)

1 initialize flow f to 0

2 while there exists an augmenting path p.3 do augment flow f along p

4 return f.



Red Residual

La red residual consiste en arcos que admiten más flujo.

Dada una red de flujo G=(V,E) con fuente s y destino t.Sea f el flujo en G, y considere un par de vertices u,vV. La cantidad de flujo adicional que se puede verter

sobre u,v es lacapa

cidad r

esidu

al.cf (u,v) = c(u,v) ± f(u,v)

Ejemplo:

c(u,v)=16, f(u,v)=-4 cf (u,v)=20

c(u,v)=16, f(u,v)=10 cf (u,v)=6

La red residual se define como:

Ef ± {(u,v) VxV: cf (u,v) > 0}



Aumento de Caminos

Dada una red de flujo G=(V,E), un camino

aumentado p es un camino simple de s a t en la

red residual Gf . Este camino solo admite flujo

positivo.

La cantidad máxima de flujo que puede llevarse

por los arcos en un aumento de p se denomina

capacidad r esidual de p, y está dado por:

cf (p) = min {cf (u,v): (u,v) p}



Corte de la red de flujo

El método aumenta repetidamente el flujo a

través de los caminos de aumento hasta

alcanzar el máximo.

Un corte (S,T) de la red de flujo G=(V,E) esuna

partición de V en S y T=V-S tal que sS y tT.

Si f es el flujo, entonces el flujo de red a través

del corte (S,T) se define f(S,T). La capacidad del

corte (S,T) es C(S,T).



Teorema max-flow min-cut

Teor ema: El máximo valor de entre todos los

flujos en una red es igual a la capacidad mínima

de entre todos los cortes.

Prueba: Es suficiente con mostrar un flujo y uncorte tal que sean iguales en valor. Luego, el

flujo ha de ser máximo pues no puede rebasar

la capacidad del corte y el corte ha de ser

mínimo porque ninguna otra capacidad puedeser menor que el valor actual del flujo.



Algoritmo de Ford-Fulkerson

FORD-FULKERSON(G,s,t)

1 for each edge (u,v) E[G]

2 do f[u,v]n0

3 f[v,u]n04 while there exists a path p from s to t in the

residual network Gf

5 do cf (p)=min {cf (u,v) : (u,v) p}

6 for each edge (u,v) in p7 do f[u,v] n f[u,v] + cf (p)

8 f[v,u] n -f[u,v]



Ejemplo

0

1

3

2

5

4

2

2

3

1 1

3

1

3

0

1

3

2

5

4

2

2

1

1 1

3

1

3

Cmin = 2

2

Cmin = 1

0

1

3

2

5

4

2

2

1

1 1

2

1

2

2

1

1

Cmin = 1

s

t t t

s s



Ejemplo

0

1

3

2

5

4

2

2

1 1

1

1

1

1

2

2

2

1 2

FlujoMáximo

D i r e c c i ó n d e l F

l u j o

S

Tt

s



Análisis

El algoritmo está acotado por O(|f*|) donde

f* es el flujo máximo.

s

u

v

t1s

u

v

t11

1

s

u

v

t11

1



Mejora

Si hallamos el camino mínimo de s a t en

la red residual donde cada arco tiene peso

1, se puede mejorar Ford-Fulkerson. Este

método es llamado Edmonds-Karp y esta

acotado por O(VE).

grafosiii

Documents