Grabitazio-lenteak: simulazio errazak eta zenbakizko adibideak

Laburpena Unitate honen bidez, grabitazio-lenteen berri emango diegu ikasleei. Teoria laburki azaldu ondoren, jarduera erraz batzuk egingo ditugu lente horien efektua simulatzeko. Horrez gainera, zenbakizko adibideak landuko ditugu, datu errealetan oinarrituta.

Edukiak: Zer egiten dute grabitazio-lenteek

Hautemandako fenomenoen adibideak Quasar anizkoitzak Einstein-eraztunak Argi-arku erraldoiak

Jarduerak Espazioaren kurba simulatzea oihal puska batekin Grabitazio-lentearen efektua simulatzea ardo-kopa batekin Grabitazio-lentearen efektua simulatzea kopa baten oinarekin

Garapen geometrikoa Desbideratze-angelua, Newtonen teoriaren arabera Desbideratze-angelua, Einsteinen teoriaren arabera Zenbakizko adibideak 1. adibidea: 1919ko Eguzki-eklipsearen kalkulua egitea 2. adibidea: microlensing bidez aurkitutako lehenengo planeta, eguzki- sistematik kanpokoa dena

Material gehigarria

Maila: DBHko bigarren zikloa eta batxilergoa

Erreferentzia: 1st ESO-EAAE Astronomy Summer School http://www.eaae-astro.org, http://www.eaae-astronomy.org http://www.csic.es/astrosecundaria Egileak: Rosa M. Ros Ferré (Universidad Politécnica de Cataluña) “Con A de Astronomas”ohar-pedagogikoen koordinatzai lea: Josefina F. Ling (Universidad de Santiago)

Itzulpena: Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saila

Maketazioa: Surinye Olarte (Bartzelonako Unibertsitateko Astronomia eta Meteorologia Saila)

1    

GRABITAZIO-LENTEAK:

SIMULAZIO ERRAZAK ETA ZENBAKIZKO ADIBIDEAK

Laburpena

Einsteinek esan zuen lehen planoan dagoen izar batek atzeko planoan dagoen izar baten irudia handitu dezakeela. Baina zalantzak zituen ilusio hori inoiz ikusiko genuen. Hori nekez gerta zitekeela uste zuenez, interes praktikorik ez zuela erabaki zuen. 1979ean, ordea, grabitazio-lenteak aztertzeko frogak aurkitu zituzten astronomoek. Lente horiek aztertzen dituen zientzia alorra behaketan oinarrituta dago eta duela gutxi sortu zen.

Unitate honetan, hainbat jarduera erraz daude grabitazio-lenteen efektua simulatzeko, bai eta zenbakizko adibide batzuk ere, datu errealetan oinarrituak.

Zer egiten dute grabitazio-lenteek

Argiak beti egiten du bide motzena puntu batetik beste batera joateko. Baina masa bat baldin badago, espazioa kurbatu egiten da. Orduan, bide motzena kurba bat da; horixe ikus dezakegu 1a eta 1b irudietan. Zaila egingo zaie ikasleei hori ulertzea. Fenomeno hori erakusteko, munduko bola erabil dezakegu. Erraz ulertuko dute lurrazaleko edozein bi puntu lotzeko egiten dugun marra beti dela kurbatua.

1. irudia: espazioa kurboa bada, puntu batetik beste puntu baterako bide motzena kurba bat da.

Oro har, grabitazio-lenteak lente arruntak bezalakoak direla esan dezakegu, baina kontuan hartuta masaren ondorioz gertatzen den argiaren desbideratzeak lenteen errefrakzio-fenomenoa ordezten duela. Alde nabarmenena hau da: lente ganbil arruntek foku-puntu jakin bat dute; grabitazio-lenteek, aldiz, ez.

• Lente ganbil arrunta: lentearen ertzean argia gehiago desbideratzen da ardatz optikoaren ondoan baino. Horregatik, lenteak puntu batera bideratzen ditu izpi paralelo guztiak; hots, fokura (ikus 2a irudia).

• Grabitazio-lentea: lentearen ertzean argia gutxiago desbideratzen da erdigunearen

ondoan baino. Hortaz, lenteak argia lerro batera bideratzen du, puntu jakin batetik gertu dagoen lerro batera (ikus 2b irudia). Horren ondorioz, distortsioak gertatzen dira; hori ikusiten da, hain zuzen ere, irudi hauetan:

2    

2a eta 2b irudiak: lente ganbil arruntek puntu batera bideratzen dituzte izpi paralelo guztiak; hots, fokura. Grabitazio-lenteek argia lerro batera bideratzen dute, ez puntu batera.

Funtsean, grabitazio-lenteek argi-izpiak kurbarazten dituzte. Horren ondorioz, objektuak beste leku batean daudela dirudi eta handituta ikusten dira. Foku-punturik ez dutenez, ez dira lente perfektuak; irudiak deformatzen dituzte. Objektu bati behatzean, argi-arkuak eta irudi bat baino gehiago sor ditzakete. Jarraian, deformazio horietako batzuk aipatuko ditugu:

• Lekuz aldatzea. Desbideratzearen ondorioz, izarrak, galaxiak eta quasarrak, itxuraz bada ere, zeruko beste leku batean ageri dira (ikus 3. irudia).

3. irudia: itxuraz bada ere, grabitazio-lenteek aldatu egiten duten izarren, galaxien eta quasaren kokalekua.

• Handipena. Lente arruntekin behatuz gero, argi-izpien desbideratzeak eta fokuratzeak eragina du zeruaren atzeko planoko izarren eta quasaren itxurazko distiran. Behatzaile batzuek 100 aldiz baino gehiago handitutako irudiak lortu dituzte. Deflektorea lente arrunt bat bezalakoa da.

• Deformazioa. Desbideratua izan den gorputzaren argia kumulu bat bada edo objektu berezi bat ez bada, argi-arku multzoak agertuko dira lortuko ditugun argazkietan, eta arku horiek zirkulu-formako irudiak osatuko dituzte, erdigune bera dutenak, gutxi gorabehera. Lentearen sistema erabat simetrikoa bada, izpiek bat egingo dute eta irudian eraztun bat agertuko da (ikus 4. irudia). Desbideratua izan den gorputzaren argia izar bat bada edo objektu jakin bat bada, irudietan puntu gisa agertuko dira.

4. irudia: Desbideratua izan den gorputza objektu hedatu bat bada, argi-arku multzoak agertuko dira lortuko ditugun argazkietan, eta arku horiek zirkulu-formako irudiak osatuko dituzte, erdigune bera dutenak, gutxi gorabehera. Lentearen sistema erabat simetrikoa bada, izpiek bat egingo dute eta irudian eraztun bat agertuko da.

3    

• Irudi ugari sortzea. Grabitazio-lenteak perfektuak ez badira, irismen handien duten lenteek hainbat irudi sor ditzakete (ikus 5. irudia).

5. irudia: grabitazio-lenteak perfektuak ez badira, irismen handien duten lenteek hainbat irudi sor ditzakete.

Deformazio horietako batzuk simulatu egin ditzakegu. Amaierako erreferentzietan, hainbat webgune daude, deformazio horiez gehiago jakiteko.

Hautemandako fenomenoen adibideak

• Quasar anizkoitzak. 1979an, Walsh-ek Q0957+561 quasar bikoitza aurkitu zuen; hots, elkarren ondoan dauden bi quasar bikoitz ia berdin. Ia ezinezkoa zen zori kontua izatea; aitzitik, gaur egun, etengabe ari dira horrelako aurkikuntzak egiten. Aurkikuntza horiek frogatzen dute, hain zuzen ere, grabitazio-lenteak existitzen direla. Quasar batzuek lau irudi izaten dituzte, jatorrizkoaz gain (ikus 6a argazkia).

6a irudia: Quasar anizkoitza. 6b irudia: Einstein-eraztuna. 6c irudia: argi-arku erraldoiak.

• Einstein-eraztunak. Lente gisa jokatzen duen galaxiaren esfera simetrikoa denean, atzean dagoen quasarraren edo galaxiaren argiak zirkulu bat eratzen du. Eraztunaren diametroa deflektorearen masaren erro koadroarekiko proportzionala da. Metodo berri horren bidez, lente gisa jokatzen duen galaxiak zer masa duen kalkula dezakegu. 6b irudian ikus dezakegunez, lerrokadura oso zehatza da; horren ondorioz, urrutian dagoen galaxia distortsionatu egiten da eta eraztun erraldoi bat izango balitz bezala ikusten da gertuago dagoen galaxiaren inguruan. Einsten-erantzuna deritzo formazio horri. Idi-begiaren erdian ikusten den puntu distiratsua gertuago dagoen galaxia da (ikus 6b irudia).

• Argi-arku erraldoiak. Galaxia bakar batek beharrean, galaxia multzo batek jokatzen badu lente gisa, irudian arku asko agertuko dira, bai eta guztiz desitxuratutako arkuen zatiak ere. Galaxia multzoa handia eta trinkoa da, eta atzean dauden galaxien argia kurbatzen eta bideratzen du. Horren ondorioz, atzeko galaxien irudiak distortsionatu egiten dira eta arku zatiak izango balira bezala ikusten dira. Irudi horiek oinarri hartuta, kumuluaren barruan masa nola banatuta dagoen berreraikitzen saiatzen dira zientzilariak. Emaitzen arabera, badirudi detektatu gabeko materia iluna dela nagusi kumuluen barruan (ikus 6c irudia).

4    

Jarduerak

1. jarduera. Espazioaren kurba simulatzea oihal puska batekin.

Oso erraza da espazioaren kurbadura, zulo beltz batek eragindakoa, simulatzea. Horretarako, hartu oihal puska bat eta jarri pilota astun bat erdian. Pilota arinago bat botatzen badugu, kurba bat egingo du, argi-izpiek egiten duten bezala; izan ere, argia ez da lerro zuzenean hedatzen, baizik eta lerro kurbatu batean (ikus 7. irudia). Desbideratze-angelua masarekiko zuzenki proportzionala da eta distantziarekiko alderantziz proportzionala; hori ondorioztatuko dugu, hain zuzen ere, Hurbilketa geometrikoa deritzon atalean.

7. irudia: pilota ez da lerro zuzen batean higituko, baizik eta lerro kurbatu batean. 2. jarduera. Grabitazio-lentearen efektua simulatzea ardo-kopa batekin.

Grabitazio-lenteen efektua simulatzeko, ardo-kopa bat erabil dezakegu. Ardo-kopa bat ez da grabitazio-lente bat. Dena den, materiak behatutako irudietan deformazioak eragin ditzakeela erakusteko balioko digu.

Simulazio honen bidez, erraz ikusiko dugu nola deformatzen den espazioa. Jarri ardo zuriz (edo zuku horixka batez) betetako kopa bat paper milimetratuaren gainean eta begiratu goitik paper milimetratuari: deformazio hori ikusiko dugu (ikus 8a irudia).

8. irudia: ardo zuriz betetako kopa bat paper milimetratuaren gainean jartzen badugu eta goitik begiratzen badiogu, deformazio hori ikusiko dugu. Kopa hutsik badago, ez da deformaziorik ikusten.

5    

Ikus dezagun orain, nola simulatu Einstein-eraztuna eta irudi anizkoitzak. Hartu esku-argi bat, argi-izpi bat ematen duten horietakoa. Jarri esku-argia ardo beltzez betetako koparen beste aldean, argi-izpiak kopa zeharka dezan.

9. irudia: Esku-argiaren argi-izpia hainbat modura deformatzen da eta gauza hauek ikus ditzakegu: forma amorfo bat, puntu gorri distiratsuz osatutako arku bat, lauzpabost puntu gorri distiratu eta puntu bakar bat.

Argiari behatzen badiogu, ezkerretik eskuinera eta goitik behera ikus eta mugi dezakegu. Argiak hainbat aldiz errepikatzen diren irudiak sortuko ditu, eta batzuetan, arkuak. Kopak espazioa deformatzen duen lente gisa jokatzen duelako gertatzen da hori. Batzuetan, forma amorfo arraro bat ikusiko dugu, edo puntu distiratsu bat, lau puntu gorri edo puntuek osatzen duten arku bat (ikusi 9. irudiko argazkiak).

3. jarduera. Grabitazio-lentearen efektua simulatzea kopa baten oinarekin.

Lentearen efektua simulatzeko, kopa baten oinean zehar begira dezakegu. Kopa bati oina moztu besterik ez dugu egin behar. Koparen oina paper milimetratuaren gainean jartzen badugu eta goitik begiratzen badiogu, deformazio hori ikusiko dugu (ikus 10. irudia).

10 irudia: paper milimetratu batean eginiko "kopa oinak" deformazioa adierazten du.

Jarri objekturen bat, zirkulu gorri bat, azpian eta mugitu koparen oina poliki-poliki alderik alde: antzemandako objektu errealak erreproduzituko ditugu.

11. irudia: koparen oinaren bidez, hainbat objektu erreal simula ditzakegu: arku zatiak, puntuak eta Einsten-eraztunak.

6    

Garapen geometrikoa

Desbideratze-angelua, Newtonen teoriaren arabera

Har dezagun M masa deflektorearen ondotik igarotzen den fotoi bat; vp fotoiaren abiaduraren osagai perpendikularra (jatorrizko ibilbidearekiko perpendikularra) izango da (vp ez da fotoiaren abiadura totala). Demagun fotoiaren masa m = 1 dela; hortaz, indarra = azelerazioa:

d

dpft

=v

Newtonen teoriaren arabera, m = 1 bada, fotoiaren ibilbidearekiko perpendikularra den indarraren osagaia, 2a irudian adierazitakoaren arabera, hauxe izango da:

2 sinGMfr

θ=

Bi adierazpenak bateratzen baditugu,

2

dsin

dp GMt r

θ=v

Hau sartzen badugu,

2 2+r x a= eta sin ar

θ =

2a irudiaren geometria dela eta, hauxe lortuko dugu:

2 2 3/ 2d d( + )p

aGM tx a

=v

Fotoia gutxi desbideratzen denez, vp << c lortuko dugu, eta c = dx/dt denez eta integralak egiaztatzen duenez,

/ 22 2 3/ 22/ 2

2( + ) d cos dx a xa

π

πθ θ

+∞ +−

−∞ −= =∫ ∫

Ordeztu eta integratu ondoren, hauxe lortuko dugu:

2p

GMac

=v

Azkenik, � desbideratze-angelua lortuko dugu, Newtonen arabera, �= v/c

2

2GMac

α =

7    

12a irudia: Deflektoretik gertu dagoen fotoia 12b. irudia: Argi-izpiaren geometria.

Desbideratze-angelua, Einsteinen teoriaren arabera

Erlatibismoaren teoriaren arabera, grabitateak eragina du espazio-osagaian, bai eta denbora-osagaian ere, eta desbideratze-angelua Newtonen bikoitza da. Beraz, hauxe da desbideratze-angelua:

2

4GMac

α =

Desbideratze-angelua deflektorearen masarekiko zuzenki proportzionala da.

• α0 desbideratze-angelu bereizgarria eta lentearen θ posizioa

2b irudian, OSI hirukiari erreparatzen badiogu, hau ondoriozta dezakegu:

sin(180 ) sin( )

ss dD Dα θ β− −=

Egiaztatzen da sin (180–α) = sin α

eta angeluak txikiak badira, sinua angelura hurbildu eta hauxe ondorioztatzen dugu:

8    

sd

s

DD

β θ α= −

Problemaren adierazpen geometrikoa tan θ = a/Dd bada, eta kontuan hartzen badugu θ oso txikia dela, θ ≈ tan θ, eta a=Dd � aurreko eragiketan eta �-rentzat kalkulatu dugun adierazpenean ordezten badugu, hauxe lortuko dugu:

2

4 1d s

s d

DGMc D D

β θθ

= −

Azkenik, α0 desbideratze-angelu bereizgarria sartzen badugu, kontuan hartuta balio hori bi aldagairen mende dagoela soilik: deflektorea eta iturrira nahiz deflektorera arteko distantzia;

0 2

4 d s

s d

DGMc D D

α =

Hortik ondorioztatuko dugu:

( )2 20

1 42

θ β α β= ± +

β bakoitzak θ bat baino gehiago izango ditu. Laburbilduz, θ-k lentearen posizioa zein den esaten digu, β iturriaren eta α0-ren posizio errealaren arabera.

• Einsteinen erradioa

Kasu berezi batzuetan, S iturria lentearen edo deflektorearen atzean egoten da (2b irudiko β =0). Orduan, simetria dela eta, eraztun bat sortzen da. Eraztun horren erradioari “θE Einsteinen erradioa” esaten zaio.

0 2

4 d sE

s d

DGMc D D

θ α= =

S iturria eta M deflektorearen masa lerroan badaude (�= 0), zirkulu-formako arkuak ikusiko ditugu deflektorearen masa inguruan. Posible da zirkulu horren erradioa neurtzea, bai eta masa kalkulatzea ere, baldin eta distantziak badakizkigu.

9    

Zenbakizko adibideak

1. adibidea: 1919ko Eguzki-eklipsearen kalkulua egitea

Newtonen grabitatearen teoriaren arabera, Eguzkiaren erakarpen-indarrak urrutiko izarren argia desbideratzen du. Desbideratze hori 0.875 arku-segundokoa da. Erlatibotasunaren teoriaren arabera, horren bikoitza da desbideratzea. Arthur Eddingtonen arabera, 1,75 arku-segundo ditu efektu horrek. 1919ko maiatzean izandako Eguzki-eklipsea aztertu ondoren, Arthur Eddingtonek baieztatu egin zuen Einsteinek esan zuena(ikusi 13. irudia).

13. irudia: A irudian eguzki eklipse baten albotiko bista ikus daiteke. B irudian ordea, Lurretik begiratutako ikuspegi frontala daukagu, Eguzkiaren eskubian izar bat ikus daitekeelarik. Einsteinen iragarpena kontuan izanda, albotiko bistan (C irudian) izarra Eguzkitik dagokion distantzia baino urrunago dagoela ematen du. Lurretik begira dagoen behatzailarentzako (D irudia) izarra Eguzkitik dagoena baino urrutiago dagoela ematen du (B irudia). Kalkulatu desbideratze-angeluaren bi balioak (bata, Newtonen arabera, eta bestea, Einsteinen arabera); erabili grabitazio unibertsalaren konstantea G=6.67 10

-11, MKS sistemaren arabera, bai eta datu hauek

ere: argiaren abiadura c = 3 108 m/s, Eguzkiaren masa MS = 1.9891 10

30 kg, eta Eguzkiaren erradioa RS =

698000 km. Emaitzak, Newtonen teoriaren arabera. � = 0.004224×10

- 3 radian × 2×10

5

arku-segundo = 0.84

arku-segundo (1 radian = 2×105 arku-segundo delarik).

Emaitzak, Einstein teoriaren arabera. � = 0.008448×10- 3 radian × 2×10

5 arku-segundo = 1.68 arku-

segundo (1 radian = 2×105 arku-segundo delarik).

10    

2. adibidea: microlensing bidez aurkitutako lehenengo planeta, eguzki-sistematik kanpokoa dena

Aste betez, gutxi gorabehera (2003ko uztailaren 17tik 21era), “OGLE 2003-BLG-235/MOA 2003-BLG-53” objektuaren argia aldatu egin zen; aldaketa horren erruz, bazirudien sistema bikoitz bat zela. Osagai astunenaren masa %0,4-koa soilik zela zirudien. Horrek esan nahi zuen osagai arinenak planeta bat izan behar zuela (ikus 4. irudia). 2004ko apirilaren 15ean, bi lantaldek (OGLE eta MOA), bakoitza bere aldetik lanean aritu ondoren, aditzera eman zuten planeta bat aurkitu zutela eguzki-sistematik 17.000 argi-urtera. Atzeko planoan zegoen izarra 24.000 argi-urtera zegoen. Izarraren masa 0.36 MS-koa zen, eta Einsteinen erradioa miliarku-segundo erdi bat inguru. (Aurkitutako planetak Jupiterrek baino 1,5 aldiz masa gehiago du, eta ustez, gasezko planeta bat da. Izarretik 3 au-ra dago. Gogoratu Jupiter Eguzkitik 5,2 au-ra dagoela).

14. irudia: Izar ikustezin batek izar batean sorturiko distira aldaketak, eta OGLE 2003-BLG-235/MOA 2003-BLG-53 planeta extraeguzkiar ikustezina (handitu gabe -ezkerrean-, handitua -eskubian-)

Kalkulatu Einsteinen erradioa �E erabili G = 6.67 10-11 , c = 3 10

8 m/s, M = 0.36 MS , Dd = 17000 a.l. eta Ds

= 24000 a.l. Microlensing-ari dagokionez, demagun a oso txikia dela Dds, Dd, Ds distantziekin alderatuta eta errealitatean Ds = Dd + Dds dela. Amaitzeko, egiaztatu lortutako �E mili-arku-segundo erdia dela.

Beraz 16 16 1622704 10 16084 10 6620 10 msd s dD D D= − = ⋅ − ⋅ = ⋅

eta Einsteinen erradioa θE = 0.2 10-8 radian.

Kontuan hartzen badugu 1 radian = 2×105 �E = 0.4×10-3 arku-segundo. Hau da, milisegundo erdia.

Grabitazio-lenteak oso baliagarriak dira unibertsoa ikertzeko. Balantza diren aldetik, lente gisa jokatzen duen gorputzak zer masa duen esaten digute, eta handipen-lenteak diren aldetik, haiei esker, gaur egungo teleskopioekin ikusi ezin diren xehetasunak ikus ditzakegu.

11    

Material osagarria • R.M. Ros, Experiments and exercises involving gravitational lenses, Proceedings 1st

ESO-EAAE Astronomy Summer School, Bartzelona 2007. • R.M. Ros, Gravitacional Lenses in the classroom, Physics Education, 43, Bristol, 2008. • R.M. Ros, What kind of astronomy should be taught at the beginning of the 21st century?

Proceedings of IAU 1st MEARIM Congress, Kairo, 2008 (in press). • Einstein-eraztunen simulazioa, galaxia simetrikoak nahiz esferikoak badira. "A

Bulls-Eye Einstein Ring" objektu errelaren antzekoa. http://www-ra.phys.utas.edu.au/~jlovell/simlens

• Grabitazio-lenteen simulazioa, M33-ren bidez: http://leo.astronomy.cz/grlens/grl0.html M33

• Einsteinen gurutzearen simulazioa. Einsteinen gurutzearen antzekoa (Q 2237+0305): http://www.iam.ubc.ca/\%7Enewbury/lenses/lensdemo/demo.ht.