gr 11 hersiening · - 3 - ©sarel van greunen gr 11 somerskool sep 2019 2019/09/18 vergelykings en...

©Sarel van Greunen

Gr 11 Hersiening

Kry ‘n ander perspektief oor

Wiskunde eksamens Opgestel en aangebied

deur Sarel van Greunen

- 2 -

©Sarel van Greunen Gr 11 Somerskool Sep 2019 2019/09/18

Inhoudsopgawe

Vergelykings en ongelykhede ............................................................................................................................................................................................. 3 Kwadratiese en polinomiese vergelykings............................................................................................................................................................. 3 Stelsels van vergelykings ....................................................................................................................................................................................... 4 K-metode............................................................................................................................................................................................................... 4 Aard van die wortels ............................................................................................................................................................................................. 4 Polinomiese ongelykhede ..................................................................................................................................................................................... 5

Funksies en Grafieke .............................................................................................................................................................................................................. 6

Rye en Reekse ............................................................................................................................................................................................................................ 8 Kwadratiese patroon: ............................................................................................................................................................................................ 8 Rekenkundige patroon: ......................................................................................................................................................................................... 8 Meetkundige patroon: .......................................................................................................................................................................................... 8

Eksponente ................................................................................................................................................................................................................................. 9 Eksponensiele wette ............................................................................................................................................................................................. 9 Eksponensiele definisies ........................................................................................................................................................................................ 9

Finansiele Wiskunde ............................................................................................................................................................................................................ 10

Trigonometrie ......................................................................................................................................................................................................................... 11 Negatiewe hoeke ................................................................................................................................................................................................ 11 Hoeke groter as 𝟑𝟔𝟎˚ .......................................................................................................................................................................................... 11 Ko-funksies .......................................................................................................................................................................................................... 11 Identiteite............................................................................................................................................................................................................ 11 Trigonometriese vergelykings ............................................................................................................................................................................. 12 Nie-Reghoekige driehoeke .................................................................................................................................................................................. 12

....................................................................................................................................................................................................................... 12 Cosinus Reel ........................................................................................................................................................................................................ 12 Area Reel ............................................................................................................................................................................................................. 12

Euklidiese Meetkunde .......................................................................................................................................................................................................... 13 Reguitlyne ........................................................................................................................................................................................................... 13 Parallelle lyne ...................................................................................................................................................................................................... 13 Driehoeke ............................................................................................................................................................................................................ 13

Sirkel Stellings ......................................................................................................................................................................................................................... 14 Middelpunt stellings ............................................................................................................................................................................................ 14 Koordevierhoek Stellings ..................................................................................................................................................................................... 15 Koordevierhoek Omgekeerde stellings ............................................................................................................................................................... 15 Raaklyn aan sirkel stellings .................................................................................................................................................................................. 16

Analitiese meetkunde .......................................................................................................................................................................................................... 17 Afstand: ............................................................................................................................................................................................................... 17 Middelpunt: ........................................................................................................................................................................................................ 17 Gradient: ............................................................................................................................................................................................................. 17 Vergelyking van ‘n reguit lyn ............................................................................................................................................................................... 17 Inklinasie hoek..................................................................................................................................................................................................... 17

Statistiek .................................................................................................................................................................................................................................... 18 Intervalle: ............................................................................................................................................................................................................ 19 Klasmiddelwaarde ............................................................................................................................................................................................... 19

Funksies, relasies en inverses - Oefeninge ................................................................................................................................................................... 20

Rye en Reekse - Oefeninge .................................................................................................................................................................................................. 21

Eksponente en Logaritmes - Oefeninge ......................................................................................................................................................................... 22

Finansiele Wiskunde - Oefeninge .................................................................................................................................................................................... 22

Trigonometrie - Oefeninge ................................................................................................................................................................................................. 23

Euklidiese Meetkunde Oefeninge .................................................................................................................................................................................... 24

Analitiese Meetkunde - Oefeninge ................................................................................................................................................................................... 27

Statistiek - Oefeninge ............................................................................................................................................................................................................ 28

- 3 -


Vergelykings en ongelykhede

Kwadratiese en polinomiese vergelykings Polinomiese vergelykings is vergelykings in die vorm: 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 waar

𝑎𝑛 ≠ 0 en 𝑛 ∈ ℕ, of ‘n vergelyking wat in die vorm geskryf kan word. Dit lyk baie erger as wat dit

is. Hier is ‘n paar voorbeelde:

𝑥2 − 8 = 0

3𝑥2 − 2𝑥 = 5

2

𝑥+ 𝑥 − 3 = 0

𝑥 − 3 −1

𝑥−3= 0

𝑥3 − 1 = 0

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 0

2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

Hoe om vergelykings op te los: Faktorisering:

1. Skryf die vergelyking in standaard vorm, in ander woorde kry die vergelyking gelyk aan 0.

2. Faktoriseer die vergelyking.

3. Stel elk van die terme gelyk aan 0.

4. Los die resultante vergelykings op.

Kwadratiese formule In die geval dat die vergelyking nie gefaktoriseer kan word nie of waar die vergelyking te moeilik is

om te faktoriseer dan kan die formule gebruik word:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

waar die waardes van a, b en c vanaf die standaard vorm 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Vierkantsvoltooiing Die beste manier om vierkantsvoltooïng te verduiduidelik is deur ‘n voorbeeld. Los op vir 𝑥 deur

vierkantsvoltooïng 2𝑥2 + 3𝑥 − 8 = 0.

1. Kry die 𝑥’e alleen aan ‘n kant 2𝑥2 + 3𝑥 = 8

2. Deel albei kante met die koëffisient van 𝑥2 𝑥2 +3

2𝑥 = 4

3. Vat die koëffisient 𝑥 deel dit deur 2 en kwadreer dit: (+3

2÷ 2)

2

= (+3

2×

1

2)

2

= (+3

4)

2

4. Tel die antwoord van 3 by aan albei kante: 𝑥2 +3

2𝑥 + (+

3

4)

2

= 4 + (3

4)

2

5. Die linkerkant moet gefaktorisee word: (𝑥 +3

4)

2

=73

16

6. Neem die vierkantswortel aan albei kante: √(𝑥 +3

4)

2

= ±√73

16

NB: Moenie die ± aan die regterkant vergeet nie.

7. Los die vergelyking op: 𝑥 +3

4= ±

√73

4

𝑥 =−3±√73

4

𝑥 ≈ 1,39 𝑜𝑟 2,89

- 4 -


Stelsels van vergelykings o Kies een van die vergelykings en kry 𝑥 of 𝑦 alleen;

o Stel die vergelyking in die ander vergelying in;

o Los nou hierdie vergelyking op;

o Vervang die waarde(s) in enige van die oorspronklike vergelykings in;

o Los nou die ander veranderlike op.

K-metode Ons gebruik die k-metode om vergelykings makliker te maak. Ons vervang wat ookal wat herhaal

word met “k” en los dan die vergelyking op.

Hier is ‘n paar voorbeelde waar die k-metode baie kan help:

o 𝑥2 − 3𝑥 =1

𝑥2−3𝑥 … Laat 𝑥2 − 3𝑥 = 𝑘 dan is die vergelyking:

𝑘 =1

𝑘

o 2𝑥2 − 8𝑥 −3

2𝑥(𝑥−4)= 2 … Aan die linkerkant 2𝑥(𝑥 − 4) = 2𝑥2 − 8𝑥…

Laat 2𝑥2 − 8𝑥 = 𝑘 dan is die vergelyking:

𝑘 −3

𝑘= 2

o Hier is ‘n paar interessante voorbeelde:

o 𝑥2

3 − 𝑥1

3 = 6 … omdat 𝑥2

3 = (𝑥1

3)2

…Laat 𝑥1

3 = 𝑘… dan is die vergelyking

𝑘2 − 𝑘 = 6;

o 2𝑥 + 𝑥1

2 − 3 = 0… omdat 𝑥 = (𝑥1

2)2

…Let 𝑥1


2𝑘2 − 𝑘 − 3 = 0;

o 3𝑥1

5 + 𝑥−1

5 = 2… omdat 𝑥−1

5 =1

𝑥15

…Let 𝑥1


3𝑘 +1

𝑘= 2

Aard van die wortels Die aard van die wortels van ‘n vergelyking is basies ‘n vinnige kykie in hoe die wortels gaan wees

sonder om die vergelyking eintlik op te los. Om die aard van die wortels te bepaal, of waneer daar

gevra word om ander vergelykings op te los, kan ons ‘n paar stappe volg:

1. Kry die vergelyking in die standaard vorm: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

2. Bepaal die diskriminant ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

3. Interpreteer die diskriminant:

∆< 𝟎 ∆= 𝟎 ∆> 𝟎

Geen reele

wortels

Reele wortels Reele wortels

2 gelyke wortels 2 Ongelyke wortels

Rasionale wortels As ∆ ‘n perfekte vierkant

is, Rasionale wortels

As ∆ nie ‘n perfekte

vierkant is nie,

irrasionale wortels

- 5 -


Polinomiese ongelykhede Los die ongelykhede op deur ‘n grafiek teken, veral ‘n parabool of kubiese grafiek.

Tips to remember:

o Wanneer jy deel met ‘n negatief, dan ruil die ongelykheidsteken om.

o Wanneer jy ‘n 0 aan die een kant het en ‘n veelterm gedeel met ‘n veelterm, dan kan jy dit

hanteer asof dit ‘n maal is, bv. 𝑥−1

𝑥+3≤ 0 kan hanteer word soos: (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) ≤ 0

o Wanneer jy ‘n 0 aan een kant het en ‘n veelterm maal of deel met ‘n veelterm EN een van die

veelterme is altyd positief, dan kan jy daai term ignoreer, bv:

𝑥−1

(𝑥+3)2 < 0: omdat (𝑥 + 3)2 ≥ 0 die ongelykheid kan hanteer word: 𝑥 − 1 < 0;

3𝑥−1

2𝑥2+1≥ 0: omdat 2𝑥2 + 1 ≥ 0 die ongelykheid kan hanteer word: 3𝑥 − 1 ≥ 0;

4𝑥(𝑥 + 2)2 > 0: omdat (𝑥 + 2)2 ≥ 0 die ongelykheid kan hanteer word: 4𝑥 > 0;

(3𝑥 + 5)(𝑥2 − 𝑥 − 2) ≤ 0: omdat (3𝑥 + 5) > 0 die ongelykheid kan hanteer word:

𝑥2 − 𝑥 − 2 ≤ 0;

- 6 -


Funksies en Grafieke Daar is sekere generiese vrae:

1. 𝒙-afsnit o Laat y = 0

2. y-afsnit

o Laat x=0

3. Definisieversameling o Alle 𝑥-waardes waarvoor die funksie bestaan

4. Waardeversameling

o Alle y-waardes waarvoor die funksie bestaan

5. Snypunte van grafieke o Stel die y-waardes gelyk aan mekaar of o Gebruik substitusie en los gelyktydig op

6. Inverses van grafieke

o Die inverse van ‘n grafiek is eenvoudig die refleksie van die grafiek in die lyn 𝑦 = 𝑥. o Vergelyking bepaling: Neem jou grafiek en ruil die 𝑥 en y in die vergelyking om en

kry maak dan verkieslik y die onderwerp. o Skets van inverse: Neem die koordinate van die oorspronklike grafiek en ruil AL die

𝑥 en y-waardes om. Plot die nuwe koordinate en teken jou skets. o ONTHOU: Die definisieversameling van die oorspronklike grafiek is die

waardeversameling van die inverse; en die waardeversameling van die oorspronklike is die definisieversameling van die inverse.

Spesifieke grafieke het hul eie unieke vra:

Reguitlyne ons gaan hierna kyk in Analitiese Meetkunde.

Parabool Vergelyking:

qpxay 2

met (𝑝; 𝑞) as stasionere punt

OF

cbxaxy 2

o Die draaipunt kan bereken word deur die simmetrie-as te kry deur 𝑥 = −𝑏

2𝑎

en die 𝑥-waarde te vervang in die oorspronklike vergelyking o Om die vergelyking te bepaal hang dit af van wat vir jou gegee is. Gewoonlik

word daar die volgende gegee: Draaipunt(p;q): 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 2 𝒙-afsnitte(𝒙𝟏 en 𝒙𝟐): 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

- 7 -


Hiperbool o Vergelyking:

𝑦 =𝑎

𝑥 − 𝑝+ 𝑞

o Asimptote: Horisontaal 𝑦 = 𝑞 en Vertikaal 𝑥 = 𝑝 o ‘n Baie belangrike ding om te onthou is dat hiperbole is altyd simmetries. o Daar is 2 simmetrie asse: 𝑦 = 𝑥 − 𝑝 + 𝑞 en 𝑦 = −𝑥 + 𝑝 + 𝑞

Eksponsieel o Vergelyking:

𝑦 = 𝑎. 𝑏𝑥−𝑝 + 𝑞 o Asimptote: Horisontaal 𝑦 = 𝑞 o Die p-waarde is slegs daar om te wys hoeveel waardes die grafiek links of regs

geskuif is.

Trigonometriese grafieke o Die standaard sinus and cosinus grafieke is baie dieselfde: Periode= 360° Amplitude=1 o Die tangens grafiek is ‘n snaakse kalant: Periode= 180° Amplitude=∞ o Daar is ‘n hele paar verandering wat vir jou gevra gaan word

1. Periode:

Indien 𝑦 = sin 𝑎𝑥 , 𝑦 = cos 𝑎𝑥 of 𝑦 = tan 𝑎𝑥,dan word die nuwe periode =(oorspronklike periode) ÷ 𝑎

2. Amplitude:

In die geval van 𝑦 = 𝑏 sin 𝑥 of 𝑏 cos 𝑥dan word die nuwe amplitude die positiewe waarde van 𝑏. Indien 𝑏 negatief is dan verander dit die rigting van die grafiek.

3. Skuif van die grafieke:

a. Links )cos( 30 xy grafiek links geskuif met 30

b. Regs )sin( 40 xy grafiek regs geskuif met 40

c. Op 2 xy tan grafiek opgeskuif met 2 eenh

d. Af 1 xy sin grafiek afgeskuif met 1 eenh

4. Een van die maklikste manier om trig grafieke te is om die kritieke punte te

kry deur die periode deur 4 te deel. Dit is waar iets “spesiaal” op die grafiek gebeur.

- 8 -


Rye en Reekse Daar is 3 basiese tipes rye en reekse waarmee ons werk:

Kwadraties

Rekenkundig

Meetkundig

Kwadratiese patroon: Definisie: Tweede verskille is dieselfde en die eerste verskille vorm ‘n rekenkundige

patroon.

Algemene Term: cbnanTn 2

2𝑎 = 𝑇𝑤𝑒𝑒𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑖𝑙 3𝑎 + 𝑏 = 𝐸𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑖𝑙

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝐸𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑇𝑒𝑟𝑚

Rekenkundige patroon: Definisie: Alle eerste verskille is dieselfde, maw jy tel by of trek af met dieselfde getal

die heeltyd.

NB: 2312 TTTT

Algemene Term: dnaTn )1(

12 TTd

Meetkundige patroon: Definisie: Daar bestaan ‘n gemene verhouding, maw jy maal met ‘n getal om die

volgende term te kry.

NB: 2

3

1

2

TT

TT

Algemene Term: 1. n

n raT

1

2

TT

r

- 9 -


Eksponente

Die doel van eksponente is om enige getal in ‘n korter manier te skryf.

Eksponensiele wette

1. 62442 3333

2. 33636 xxxx

3. 42222122 )( yxyxxy

4. 31

32

3 2 yxyx

Eksponensiele definisies

1. 10 x behalwe vir 0x

2. 2

2 1

aa of aa

a

1

1

1 ‘n kortpad vir dit is, is wanneer jy die volgende het

2

442

a

bcbca

3.

2

3

3

21

Vereenvoudiging:

Vermenigvuldig en deel net die volgende: i. Verander die basisse in priemgetalle

ii. Pas wet 3 of 4 toe iii. Pas wet 1 en 2 toe iv. Bereken die anwoorde

Optel en/of aftrek van terme met eksponente i. Verdeel die terms met eksponente

ii. Faktoriseer iii. Kanseleer uit iv. Bereken die antwoorde

Vergelykings

Jy hanteer elk van die verskillende tipes vergelykings dieselfde as vereenvoudiging, maar die vierde stap verander, in plaas om die antwoord te vind, moet jy die volgende:

o Kry die basisse dieselfde o Laat die basisse weg o Los die som om

Wanneer jy x as die basis het moet jy eenvoudig: o Kry x en sy eksponent alleen aan ‘n kant o Verhef albei kante tot die mag van die eksponent se inverse

- 10 -


Finansiele Wiskunde

Finansiele wiskunde behels eenvoudig die leen van en belê van geld in banke. Daar is basies 2 tipes somme wat in ons sillabus voorkom:

Een-malige transaksie

Periodiese beleggings Een-malige finansiele transaksies sluit in alle transaksies wat een keer plaasvind en dan rente trek oor ‘n tydperk. Die volgende word gesien as een-malige transaksies:

Gewone beleggings

Lenings by bank

Inflasie

Waardevermindering Gewone beleggings Enkelvoudige rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) Saamgestelde rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Waardevermindering Kosprys/Reglynige metode 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖. 𝑛) Verminderende Saldo metode 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖)𝑛 Inflasie 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 ‘n Geliefde vraag wat gevra word is om tussen effektiewe rente en nominale rente om te skakel. Die formule is as volg:

1 + 𝑖𝑒 = (1 +𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚

In die formule is: 𝑖𝑒 = effektiewe rentekoers m= hoeveel keer per jaar die rente saamgestel word

𝑖(𝑚)= nominale rentekoers Delgingsfonds ‘n Delgingsfonds is ‘n fonds gemaak vir die vervanging van enige bate (Voertuig, toerusting of masjinerie) na ‘n aantal jare. Delgingsfonds vrae bestaan uit vier dele:

1. Vervangingswaarde Hoeveel hy gaan kos na die aantal jare(Inflasie) 2. Boekwaarde Hoeveel die kar gaan werd wees(Waardevermindering) 3. Delgingsfondswaarde (F) F=Vervangingswaarde – Boekwaarde 4. Maandelikse paaiement Tydlyn som

- 11 -


Trigonometrie CAST diagram

Sin Almal 𝟏𝟖𝟎˚ − 𝜽 𝟗𝟎˚ − 𝜽

𝟗𝟎˚ + 𝜽

Tan Cos

180˚ + 𝜃 360˚ − 𝜃 𝜃 − 90˚

Negatiewe hoeke Die strategie wat jy kan volg is om net 360® by die hoek te tel, want om ‘n omwenteling by ‘n hoek te tel verander nie die posisie van ‘n hoek op die vlak nie.

Hoeke groter as 𝟑𝟔𝟎˚

Jy kan eenvoudig 360 by tel of aftrek om jou hoek tussen 0 en 360 te kry.

Ko-funksies

xx

xx

cos)sin(

sin)cos(

90

90

Identiteite Kwosient identiteite

x

xx

cos

sintan

Vierkants identiteite

xx

xx

xx

22

22

22

1

1

1

sincos

cossin

cossin

Die groot probleem met trig is manipulasie, want die geheim is om jou som te verander sodat jy op ‘n punt kom waar jy jou vraag kan oplos.

- 12 -


‘n Baie belangrike gedeelte van jou matriek sillabus is om te kan faktoriseer met trig uitdrukkings. Die mees algemene metodes wat:

1. Vervang cos 𝑥 en/of sin 𝑥 met ander veranderlikes, soos a en b, en dan faktoriseer jy normaalweg.

2. Reguit faktorisering.

Trigonometriese vergelykings Wanneer dit kom by die oplossing van trigonometriese vergelykings dan is die eerste stap om die identiteit alleen te kry of om die som te faktoriseer en op te los. Om by die stap van faktorisering uit te kom gaan daar van jou verwag word om die som te manipuleer sodat jy kan faktoriseer. Nadat jy die identiteit alleen gekry het, moet jy die verwysingshoek bereken. Vir die verwysingshoek gebruik jy shift/2nd function op jou sakrekenaar. Nadat jy die verwysingshoek gekry het moet jy uitvind in watter kwadrant(e) jy werk. Op die stadium moet jy mooi kyk wat hulle presies vir jou vra:

Algemene oplossing:

sin en cos, tel jy 360°𝑘 by

tan is baie spesiaal, want jy hoef net in 1 kwadrant te werk en dan 180°𝑘 by te tel

Onthou altyd: 𝑘 ∈ ℤ Spesifieke oplossings:

Bereken die algement oplossings;

Kies dan waardes vir k sodat jou antwoord in die verlange interval val

Nie-Reghoekige driehoeke Sinus Reel Formule Wanneer gebruik jy die formule

c

C

b

B

a

A sinsinsin Werk met 2 hoeke

Cosinus Reel Formule Wanneer gebruik jy die formule

Abccba cos.2222 Werk met 3 sye

Area Reel Formule Wanneer gebruik jy die formule

Area van ∆ABC= Cab sin.2

1 Wanner gevra word

- 13 -


Euklidiese Meetkunde Euklidiese meetkunde is ‘n baie spesiale afdeling van Wiskunde waar ons fokus op die eienskappe van vorms, veral te doen met die grootte van die hoeke en die lengtes van die sye. Euklidiese meetkunde is gebasseer op stellings en bewyse. Ons gaan kyk na die basiese stellings wat jy gaan nodig hê vir die eksamen

Reguitlyne

Parallelle lyne Neem aan vir die volgende stellings dat AB ∥ CD:

Driehoeke

1 2

B

�̂�1 = �̂�2 Rede: Regoorst ∠e

�̂�1 = �̂� Rede: Ooreenk ∠e

B

C

1

A

D

B

C

A

D

�̂� + �̂� = 180˚ Rede: ∠e aan dieselfde kant van die snylyn

B C

A

D

1

1

�̂�1 = �̂�1 Rede: Verw ∠e

B

1 2

�̂�1 + �̂�2 = 180˚ Rede: ∠e op ‘n reguitlyn

�̂� + �̂� + �̂� = 180˚ Rede: Binne ∠e van ∆

A

B C

A

B C

Indien 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 dan �̂� = �̂� Rede: ∠𝑒 teenoor = sye

Gelykbenige ∆

- 14 -


Sirkel Stellings Daar is 9 sirkel stellings en menigde omgekeerdes. Die beste manier om eksamen vrae te antwoord is deur eers jou stellings goed te ken. Ek deel die stellings in 3 groepe soos volg:

Middelpunt stellings

�̂� + �̂� = �̂�1 Rede: Buite ∠ van ∆

A

B C

1

Stelling 1: Indien AP=PB dan is 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐵. Rede: Lyn vanuit midpt van sirkel na midpt van koord

Stelling 1 Omgek: Indien 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐵 dan AP=PB Rede: Loodlyn vanuit midpt van sirkel na koord

Stelling 2: 𝐵�̂�𝐶 = 2 × �̂�. Rede: Midpts ∠ = 2 ×Omtreks ∠

Stelling 3:

Rede: ∠ in 1

2 sirkel

- 15 -


Koordevierhoek Stellings

Koordevierhoek Omgekeerde stellings

Stelling 4: Rede: Omtreks ∠𝑒 in dies sirkel segment

𝑥

Stelling 5: �̂� + �̂� = 180˚ en �̂� + �̂� = 180˚ Rede: Teenoorst ∠𝑒 van koordevierhoek

A

B

C

D

Stelling 6: �̂�1 = �̂� Rede: Buite ∠ van koordevierhoek

A

B

D

1 C

Stelling 4 Omg: Indien gelyke ∠𝑒 onderspan word deur dieselfde koord, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek. Rede: Koord onderspan = ∠𝑒

Stelling 5 Omg: Indien 𝑥 + 𝑦 = 180˚ dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek. Rede: Teenoorst ∠𝑒 is supplementer

𝑥

𝑦

- 16 -


Raaklyn aan sirkel stellings

Stelling 6 Omg: Indien die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, dan is dit ‘n koordevierhoek. Rede: Buite∠ = teenoorst binne∠.

Stelling 7: Rede: Radius ⊥ raaklyn

Stelling 8: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 Rede: Raaklyne vanuit dies punt

Stelling 9: 𝐷�̂�𝐵 = �̂� Rede: ∠ ts raaklyn en koord

Stelling 9 Omg: Indien 𝐷�̂�𝐵 = �̂�, dan is AD ‘n raaklyn Rede: ∠ ts lyn en koord=∠ in teenoorst sirkel segment

- 17 -


Analitiese meetkunde Hier volg die basiese formules wat ons gaan gebruik:

Afstand: 2

21

2

21 )()( yyxxAB

Middelpunt:

22

2121 yyxxM ; OF

2

21 xxxM

en

2

21 yyyM

Gradient: Om die gradient te vind is daar 4 verskillende metodes:

1. Twee koördinate: 12

12

xx

yym

2. Parallelle lyne: 21 mm

3. Loodregte lyne: 121 mm

4. Inklinasie hoek: tanm

Vergelyking van ‘n reguit lyn Formule: )( 11 xxmyy waar );( 11 yx ‘n koördinaat of die reguitlyn is

Inklinasie hoek Formule: tanm indien m negatief is dan moet jy onthou 𝜃 = 180° − 𝑣𝑒𝑟𝑤𝑦𝑠𝑖𝑛𝑔𝑠∠ Baie belangrik om te onthou is dat jy Graad 8-10 meetkunde moet kan ken om sekere hoeke te vind. Daar is spesiale lyne waarvan jy die vergelyking moet kan kry:

1. Hoogte lyne – ‘n lyn vanaf een hoek van ‘n driehoek loodreg op die teenoorstaande sy a. Hier gebruik ons die formule vir loodregte lyne om die gradient van die hoogtelyn te

bereken b. Daarna bereken ons die vergelyking van die reguitlyn deur ‘n punt op die lyn te

gebruik 2. Mediaan/Swaartelyn – lyn uit ‘n hoek wat die teenoorstaande sy halveer

a. Vind die middelpunt van die oorstaande sy b. Bereken die gradient tussen die middelpunt en die hoek waar hy oorsprong c. Gebruik die formule en ‘n punt op die lyn om sy vergelyking te bereken

3. Middelloodlyn – ENIGE lyn wat ‘n sy halveer en loodreg is op daardie sy

a. Vind die middelpunt van die halveerde sy b. Bereken die gradient van daardie sy c. Gebruik die formule vir loodregte lyne om die gradient van die lyn te bereken d. Bereken die vergelyking van die reguitlyn deur ‘n punt op die lyn te gebruik

- 18 -


Statistiek Definisie: Die kuns om sin uit syfers te maak.

Basiese maatstawe wat gebruik word:

Individuele statistieke Individuele statistieke is waar elke nommer gegee is.

Gemiddeld Die gemiddelde getal wat verkry is.

Formule: n

xx

of wanneer gewerk word met frekwensies(f)

n

fxx

Mediaan: Die middelste getal.

Formule:

2

1n-de getal

Modus: Die mees gewildste getal.

Omvang(Variasiewydte): Die wydte van die populasie. Formule: Maximum – minimum

Onderste kwartiel(Q1) Die getal op ‘n kwart van die totale populasie.

Formule:

4

1n-de getal

Boonste kwartiel(Q3) Die getal op drie-kwart van die populasie.

Formule:

4

13 )(n-de getal

Inter-Kwartiel Omvang(IKO) Die wydte tussen die boonste en onderste kwartiel. Formule: 𝐼𝐾𝑂 = 𝑄3 − 𝑄1

Variansie: Die kwadraat van die gemiddeld getal waarmee die getalle van die gemiddeld verskil.

Formule: n

xx2

2

)( of indien jy werk met frekwensies(𝑓):

n

xxf2

2

)(

- 19 -


Standaard afwyking: Die werklike getal waarmee ‘n getal gemiddeld van die gemiddeld varieer.

Formule: 2 Variansie

Die beste manier om variansie/standaard afwyking te kry is deur die volgende tabel te voltooi: Nommer )(x Frekwensie )(f 2)( xx 2)( xxf

(1) (2) (1)- x =(3) 23)( =(4) )()( 24

Intervalle: Die getalle is nou in intervalle gegee nie meer as individu nie, maar is gegroepeer in intervalle. Al die bogenoemde bly dieselfde, maar in plaas van dat 𝑥 die waarde van ‘n spesifieke getal, word 𝑥 nou die middelwaarde van die interval:

Klasmiddelwaarde

Formule: Klasmiddelwaarde=2

eindwaardeebeginwaard

xx

©Sarel van Greunen

Funksies, relasies en inverses - Oefeninge 1. Skets die volgende grafieke:

a. 523 2 xxy

b. 22 2 xy

c. xxy 23 2

d. 1

2

xy

e. 123 1 xy .

2. In die meegaande figuur word 𝑓(𝑥)

vir jou gegee 462 xxxf )(

a. Herskryf f in die vorm

qpxay 2)(

b. Bewys dat 5)(xf vir alle

waardes van x

3. Die skets gee vir jou die grafieke van f en g waar

322 xxxf )( en

64 xxg )( en asyPQ .

Bereken: a. Die lengte van AB b. Die koordinaat van C c. Vir watter waardes van x

is f(x)>0? d. Die minimum lengte van

PQ

4. Gegee 224 1 xxf .)( . Bereken die volgende:

a. X-afsnit b. Y-afsnit c. Vergelyking van die assimptoot d. f(-1) e. Teken die skets van f f. Gee die vergelyking van g(x) indien g f is wat 2

eenhede regs geskuif is

5. Die volgende skets verteenwoordig die grafiek

van xaxf )( ; 𝑔 is die

refleksie van 𝑓 in die y-as en h, die refleksie van 𝑔 in die x-as a. Bereken die waarde van a. b. Skryf die vergelykings van f en g neer.

6. Gegee is die grafieke van f(x) en

g(x) met 322 xxxf )( en

qpx

xg

2)(

a. Bereken die waardes van p en q

b. Vervolgens, of andersins, bereken die koordinaat van E

- 21 -


7. Vind die vergelykings van 𝑓(𝑥) en 𝑔(𝑥)

8. Gegee: )cos()( 30 xxh en xxg sin)( 2

a. Bereken sonder ‘n sakrekenaar die algemene oplossing van ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)

b. Teken ‘n skets van ℎ en 𝑔 vir alle 180120 ;x

9. Gegee: xxf tan)( en xxg 2sin)(

a. Teken f and g for 90180 ;x

b. Vir watter waardes van 𝑥 is beide f en g toenemend

vir 9090 ;x

10. Die grafieke

verteenwoordig: bxaxf sin)(

en cxdxg cos)(

a. Vind die waardes van a, b, c en d

b. Skryf 2 waardes van 𝑥 neer waarvoor

033

22 xx cossin

c. Wat is die periode van g? d. Vir watter negatiewe waardes van 𝑥 sal 𝑔(𝑥) afneem

soos wat 𝑥 toeneem?

Rye en Reekse - Oefeninge 1. 5; x; y vorm ‘n rekenkundige ry en x; y; 81 is ‘n meetkundige

ry. Indien alle terme van die reeks heelgetalle is Bereken die waardes van x en y

2. ‘n Bal val van ‘n hoogte van 10m; dit hop 6m en hou aan om

elke keer 5

3 van sy vorige hoogte te hop.

Bepaal na hoeveel kere se hop gaan sy hoogte minder as 1 cm wees

3. ‘n Fiksheids toets vereis dat ‘n atleet herhaaldelik 20m op ‘n slag hardloop, Hulle voltooi die afstand 5 keer in die eerste

- 22 -


min, 6 keer in die tweede min, 7 keer in die derde min, ens. Bepaal na hoevel minute gaan die atleet 2200m gehardloop het.

4. Skryf die volgende twee terme uit en bereken die algemene

term(Tn) van die volgende reekse: a. 3; 12; 35; 52; … b. 100; 80; 58; 34; …

5. Indien 2;3;2;5;2;7;…. ‘n ry vorm. Beantwoord die volgende

vrae: a. Skryf die volgende 3 terme neer b. Bepaal die 43ste term

Eksponente en Logaritmes - Oefeninge 1. Vereenvoudig:

a. 75

1227

b. 4

3

1

3

16

81

x

x

c. 112

1

1

981681

84936

xxx

xxx

..

..

d. pp

pp

232

2242101

31

.

..

2. Los op vir x:

a. 30033 11 xx

b. 01232 12 xx .

c. 1032 1 xx.

d. 0243 4

3

x

e. xx 545 1

Finansiele Wiskunde - Oefeninge 1. Jy wil R 5000 verdubbel teen ‘n rentekoers van 12% p.j.

maandeliks saamgestel. Beantwoord die volgende vrae: a. Wat is die effektiewe rentekoers vir die belegging? b. Hoe lank gaan dit hom neem om die belegging reg te

kry?

2. Teen watter rentekoers p.j., maandeliks saamgestel, moet ek geld bele om dit te verdubbel in 4 jaar se tyd?

3. Jy bele R 60 000 vir 5 jaar @ effektiewe rentekoers van 10,8% p.j. Bereken die volgende:

a. Die maandeliks saamgestelde nominale rentekoers b. Watter bedrag ek moet bele om dieselfde bedrag te

kry indien die nominale rentekoers verlaag word na 9% pj, kwartaalliks saamgestel?

4. Wat is ‘n beter beleggingsopsie, 9% pj maandeliks saamgestel

of 9,3% pj kwartaalliks saamgestel?

5. Om ‘n kamera oor 5 jaar te kan bekostig moet jy R 20 000 kan neersit. Wat is jou jaalikse paaiement indien jy die kamera wil

- 23 -


koop oor 5 jaar? Die rente wat FNB jou bied is 7,2% maandeliks saamgestel.

6. ‘n Basiese kar kos jou nou R 80 000. Die kar gaan R 95 000 oor 3 jaar kos. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 15% pj op verminderende saldo metode. Beantwoord die volgende vrae:

a. Wat gaan die boekwaarde wees na 3 jaar? b. Bereken die inflasiekoers wat van toepassing is op die

kar c. Jy wil graag die kar vervang oor 3 jaar, so jy stig ‘n

delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 6,6% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy jaarliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig?

7. ‘n Chevrolet Aveo is nou beskikbaar vir jou om te koop. Die

kar gaan R 125 000 oor 4 jaar werd wees. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 10% pj op verminderende saldo metode en inflasie is gemiddeld 5% p.j.. Beantwoord die volgende vrae:

a. Bereken die aankoop waarde b. Wat is die vervangings waarde van die kar? c. Jy wil graag die kar vervang oor 4 jaar, so jy stig ‘n

delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 8,4% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy jaarliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig?

Trigonometrie - Oefeninge 1. Vereenvoudig:

a.

492

294156420

sin

cos.cos).tan(

b. )cos().(sin

)cos(

90180

7202

indien 90

c. )sin(

)cos()sin().cos(

90

72018090

d. )90sin().180cos(

)360(sin

333tan

)207tan( 2

xx

x

2. Indien p61cos , druk die volgende uit in terme van p:

a. 209sin

b. )sin( 421

1

c. tan 299˚

3. Bewys die volgende identiteite en gee die waardes waar hulle ongedefinieerd is

- 24 -


4. Los op vir x, vind die algemene oplossings:

a. 031

2 x

xsin

sin

b. 4 sin 𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 6 cos2 𝑥 c. cos(54˚ − 𝑥) = sin 2𝑥

Euklidiese Meetkunde Oefeninge

- 25 -


- 26 -


- 27 -


Analitiese Meetkunde - Oefeninge

1. In die diagram het ons P(-9 ; 12),

Q(9 ; 9) en R(-3 ; -9) die hoekpunte van ∆PQR. N(a ; b) is ‘n koordinaat in die tweede kwadrant Bereken:

a. Gradient van PQ

b. Grootte van Q̂

c. Koordinaat van M, die middelpunt van QR

d. Vergelyking van die swaartelyn PM e. Die koordinaat van N as P,N en M ko-lineer is en QN =

55 eenh

2. Die diagram wys ∆TQR, waar

Q(-3 ; 3) en R(1 ; -3). M(3 ; 3) is die middelpunt van RT

a. Bereken: i. Lengte van TR

ii. R̂ b. Vind die volgende:

i. Vergelyking van die mediaan vanaf T na RQ ii. Vervolgens, of andersins, bereken die punt

van snyding van die mediane van ∆TQR c. Vind die vergelyking van die middelloodlyn van RQ

- 28 -


Statistiek - Oefeninge 1. Ouderdom van 40 mense:

a. Voltooi die tabel:

Interval Telling Frekwensie Kumulatiewe Frekwensie

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

b. Teken ‘n ogief vir die data c. Gebruik die letters A en B en dui die onderste kwartiel en

die mediaan aan d. Bereken die gemiddeld en standaard afwyking van die

gegroepeerde data

2. Die volgende is die aantal albasters van sekere kinders op die speelgrond:

4 86 27 21 29 37 29 44 31 42 35 38 41 29 40 Bereken: a. Gemiddeld b. Modus c. Mediaan d. Q1 en Q3 e. Omvang f. IKO g. Standaard afwyking h. Uiskieters i. Teken a houer-en-puntstipping j. Lewer kommentaar oor die vorm van die data k. Watter van die sentrale maatstawwe is mees van pas?

Motiveer jou antwoord

3. Gegee die volgende twee kinders se punte: a. 43 61 31 79 b. 32 22 34 28

i. Watter een van die kinders het die beste gemiddeld? ii. Watter kind is meer bestendig in sy punte?

iii. Indien jy ‘n stabiele kandidaat soek, wie gaan jy kies en waarom?

gr 11 hersiening · - 3 - ©sarel van greunen gr 11 somerskool sep 2019 2019/09/18 vergelykings en...

Documents