goran turkalj - mehanika i elementi konstrukcija
DESCRIPTION
elementi konstrukcijaTRANSCRIPT
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
MEHANIKA I ELEMENTI KONSTRUKCIJA
(2+1)
• Predavanja: prof. dr. sc. GORAN TURKALJ, dipl. ing.• Vježbe: asist. Edin Merdanović, dipl. ing.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Literatura:• Brnić, J.: Statika, Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka,
2004. • Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći I, Sveučilište u Rijeci,
Tehnički fakultet, Rijeka, 2004.• Brnić, J.: Mehanika i elementi konstrukcija, Školska knjiga,
Zagreb, 1993.• Beer, F. P., Johnston, E. R. Jr.: Vector Mechanics for Engineers:
Statics, McGraw-Hill, New York, 1988.• Nash, W.: Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1998.• Gere, J. M.: Mechanics of Materials, Brooks/Cole–Thomson
Learning, Belmont, CA, 2004.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
VRSTA AKTIVNOSTI
ECTSiISHODI UČENJA
SPECIFIČNA AKTIVNOSTMETODA
PROCJENJIVANJABODOVI MAX.
Pohađanje nastave 1 1-9
Prisutnost studenata.80 % = 1 bod81-85 % = 2 boda86-90 % = 3 boda91-95 % = 4 boda96-100 % = 5 bodova
Evidencija prisutnosti na predavanjima i vježbama.
5
Laboratorijske vježbe 0.5 6, 8, 9
Izrada 3 laboratorijske vježbe.
5 vj. × 5 bova = 15 bodova
Bodovi se dodjeljuju temeljem aktivnosti na vježbama. Student mora sakupiti minimalno 10 bodova.
15
Kontrolne zadaće 1.5 1-6
2 kontrolne zadaće. Na svakoj zadaći student rješava 5 zadatka.
Svaki zadatak nosi 5 bodova. 50
Završni ispit 1 7-9 Pismeni ispit. Student rješava 6 zadatka.
Svaki zadatak nosi 5 bodova. Student mora sakupiti minimalno 15 bodova.
30
UKUPNO 4 100
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
UVOD
Mehanika:
1. Zadatak, uloga i podjela mehanike
grč. mehane = stroj, naprava
ime mehanika koristi se tek od Galilea (1564-1642)
W. J. M. Rankin: znanost o mirovanju, gibanju i silama
Sir Isaac Newton: Matematički principi prirodne filozofije (1687)
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Podjela mehanike:
prema stanju mirovanja:
statikakinematikadinamika
prema svojstvima tijela:
mehanika krutih ili nedeformabilnih tijelamehanika čvrstih ili deformabilnih tijelamehanika fluida (plinova i tekućina)
MEHANIKA KONTINUUMA}
prema metodama rješavanja:
eksperimentalna mehanikaanalitička mehanikanumerička mehanikagrafostatika
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
prema primjeni:
statika konstrukcijastabilnost konstrukcijadinamika strojeva i konstrukcija (teorija vibracija)mehanika lomamehanika tla i stijena
KONTINUUM = NEPREKINUTA SREDINA
fluidi:
idelani ili neviskozni fluidrealni ili viskozni fluid
Podjela kontinuuma:
tijela:
idelano ili apsolutno kruto tijelorealno ili čvrsto tijelo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Mehanika čvrstih ili deformabilnih tijela:
teorija elastičnosti
teorija plastičnosti
teorija viskoelastičnosti
teorija viskoplastičnosti
REOLOGIJA REOLOŠKI MODELI
linearno-elastičnaopruga
linearni viskozniprigušivač
frikcijski model(Saint-Venantov model)
Eσ ε=d
dt
εσ η=
Tσ σ≤
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorija elastičnosti (elastomehanika):
razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovanadjelovanjem vanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u elastičnompodručju
problemi se rješavaju egzaktno → parcijalne diferencijalnejednadžbe
Nauka o čvrstoći (Otpornost materijala) → pretpostavke oraspodjeli deformacije i naprezanja
deformacija i neprezanje međusobno su vezani, ali ne ovise ovremenu
linearna i nelinearna teorija
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
linearna teorija elastičnosti:
mali pomaci i deformacijelinearno elastičan (Hookeov) materijal
1
σ
ε
E
0
const.Eσ
ε= =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
nelinearna teorija elastičnosti:
veliki (konačni) pomaci pri deformiranju tijela (geometrijskanelinearnost)nelinearno elastičan materijal (materijalna nelinearnost)
t
d const.
dE
σ
ε= ≠
Et
1
σ
ε0
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorija plastičnosti (plastomehanika):
razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovana djelovanjemvanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u plastičnom području, tj. upodručju trajnih (nepovratnih, plastičnih) deformacija
T – granica tečenja, granica plastičnosti
trajna
deformacija
σ
ε0
σT T
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorije viskoelastičnosti i viskoplastičnosti:
uspostavljaju zakone nastanka i razvoja deformacije kontinuumaovisne o tijeku vremena, a uzrokovane termičkim, kemijskim i drugimutjecajimapuzanje → porast deformacije pri konstantnom naprezanju iliopterećenjurelaksacija→ smanjenje naprezanja pri konstantnoj deformaciji
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
MEHANIKA I ELEMENTI
KONSTRUKCIJA
Mehanika
krutih tijela
STATIKA
Mehanika
čvrstih tijela
NAUKA O
ČVRSTOĆI
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
STATIKA
• slaganje sila i svođenje sustava sila na najjednostavniji oblik
• određivanje uvjeta ravnotežesustava sila koji djeluje na kruto tijelo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
NAUKA O ČVRSTOĆI
• stvaranje računskih metoda za procjenu čvrstoće, krutosti i stabilnosti konstrukcije
• proučavanje procesa deformiranja i razaranja tijala te utvrđivanje ovisnosti između:
• opterećenja• deformacije• naprezanja
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Svaka materijalna točka (tijelo) ostaje u stanju mirovanja ilijednolikog pravocrtnog gibanja sve dok sustav sila koji djeluje na nju(njega) ne promjeni to stanje.
(zakon inercije)
1. Newtonov zakon:
temeljni zakoni mehanike
2. Newtonovi zakoni
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Brzina promjene količine gibanja materijalne točke (tijela) pointenzitetu, pravcu i smjeru jednaka je sili koja na nju djeluje.
Ubrzanje je proporcionalno sili što djeluje na materijalnu točku(tijelo), a zbiva se u smjeru djelovanja sile.
( )d
dm F
t=v
��
d d
d d
mm F
t t+ =
vv
�
��
d d0,
d d
ma
t t= =
v�
�
m a F=�
�
2. Newtonov zakon:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Dvije materijalne točke djeluju jedna na drugu silama istihintenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova.(zakon akcije i reakcije)
1m
2m
2m
1m
F�
F�
3. Newtonov zakon:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
3. Koordinatni sustavi
Descartesov (Cartesiev) pravokutni koordinatni sustav:
x
y
z
x
y
z
N( , , )x y z
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Cilindrični koordinatni sustav:
x
y
z
N( , , )r zϕ
ϕ
r
z
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
=
=
=
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Sferni koordinatni sustav:
x
y
z
N( , , )ρ ϕ ψ cos cos
sin cos
sin
x
y
z
ρ ϕ ψ
ρ ϕ ψ
ρ ψ
=
=
=
ϕ
ρ
ψ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Polarni koordinatni sustav:
x
y
N( , )r ϕcos
sin
0
x r
y r
z
ϕ
ϕ
=
=
=ϕ
r
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
4. Operacije s vektorima
Vektor:
x
y
z
a�
xa�
za�
ya�
x y z x y za a a a a i a j a k= + + = + +
�� �� � � �
{ }x x
y y
z z
a a
a a a a
a a
= = = =
a�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Intenzitet vektora:
2 2 2
x y za a a a a= = + +�
Transponirani vektor:
{ } { }T
x y za a a a a= =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Jedinični vektor:
2 2 2
x y z 1a a a a a= = + + =�
1, 1, 1i i j j k k= = = = = =�� �
( ), ,x y z i j k⊥⇒ ⊥�� �
{ } { } { }1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
i i j j k k
= = = = = =
�� �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Zbrajanje vektora:
{ } { } { } { }x x x
y y y
z z z
ili
c a b
a b c a b c c c a b
c a b
+
+ = + = = = + +
⇒�
� �
a�
b�
c�
a�
b�
c�
Pravilo trokuta Pravilo paralelograma
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Oduzimanje vektora:
{ } { } { } { }x x x
y y y
z z z
ili
d a b
a b d a b d d d a b
d a b
−
− = − = = = −
⇒
−
� �
�
a�
b�
d�
b−�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Skalarni produkt (engl. dot product, inner product):
a�
b�
( ), cosa b a b ab θ⋅ = =� �
� �
θ
cosb θ
VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI
a b b a⋅ = ⋅� �
� �
{ } { }T
x x y y z za b a b a b a b= + +
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Vektorski produkt (engl. cross product):
, , sina b a b c c c ab θ × = = = =
� �
� � � �
{ }x y z z y
y z x x z
z x y y x
c a b a b
c c c a b a b
c a b a b
−
= = = − −
�
( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b
× = = − + − + −
�� �
� �� ��
NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI
b a a b c× = − × = −� �
� � �
c�
a�
b�
θ
c−�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Mješoviti produkti:
( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅� � �
� � � � � �
x y z
x y z
x y z
a a a
a b c b b b
c c c
× ⋅ =�
� �
Skalarno-vektorski produkt:
Vektorsko-vektorski produkt:
a�
b�
c�
a b c V× ⋅ =�
� �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Tenzorski ili dijadski produkt (engl. tensor product,outer product):
NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI
{ }{ } [ ]x x y x z x
T TT
x y y y z y
x z y z z z
ili
a b a b a b
b a b a T a b a b a b
a b a b a b
⊗ = = =
T
�
�
T – tenzor drugoga reda
( )T
b a a b⊗ = ⊗� �
� �
{ }{ } [ ]x x x y x z
T
y x y y y z
z x z y z z
ili
a b a b a b
a b a b T a b a b a b
a b a b a b
⊗ = = =
T
�
�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
5. Aksiomi statike
Slobodno je tijelo pod djelovanjem dviju sila u ravnoteži onda ako tedvije sile leže na istom pravcu i istog su intenziteta, ali suprotnogasmjera.
Aksiom I:
1F�
2F�
1 2F F=� �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Djelovanje sustava sila na tijelo ne mijenja se dodavanjem ilioduzimanjem jednog ili više uravnoteženih sustava sila.
Aksiom II:
1F�
F�
2F�
F�
3F�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
1F�
2F�
4F�
AB
3F�
3F�
3F�
Sila je klizeći vektor!
Pomicanjem sile po pravcu ne narušava se njezino djelovanje na kruto tijelo!
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
BA
F�
F�
1l
BA
F�
F�
2l
Čvrsto (deformabilno) tijelo:
Pri razmatranju procesa deformiranja tijela, potrebno je poznavati položaj hvatišta sila!
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Aksiom III:
2F�
RF�
R 1 2F F F= +� � �
1F�
2F�
RF�
1F�
2F�
Pravilo trokutaPravilo paralelograma
Rezultanta dviju sila koje djeluju u nekoj točki tijela određena je po intenzitetu, pravcu i smjeru prema pravilu paralelogramaili pravilu trokuta.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Aksiom IV:
Dva tijela djeluju jedan na drugoga silama istih intenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova (treći Newtonow zakon).
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
6. Osnovni pojmovi statike
Slobodno tijelo
y
x
z
ϕz ϕy
ϕx
v
w
u
Apsolutno kruto tijelo
Ravnoteža
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Sila = mehaničko djelovanje jednog tijela na drugo
F�
intenzitet (N) pravac
smjer
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
x
y
z
xF�
zF�
yF�
x y z x y zF F F F F i F j F k= + + = + +
�� � � � � �
F�
α β
γ
2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =
2 2 2
x y zF F F F= + +
( ) ( ) ( )2 2 2
cos cos cosF F F Fα β γ= + +
Intenzitet sile:
Prostorni slučaj:
{ }x
y
z
cos
cos
cos
F F
FF F F
FF
α
β
γ
= = =
�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
x
y
xF�
yF�
x y x yF F F F i F j= + = +� � � � �
{ } x
y
cos cos
cos sin
F F FF F
F F F
α α
β α
= = = =
�
F�
α
β
2 2sin cos 1α α+ =
( ) ( )2 22 2
x y cos sinF F F F Fα α= + = +
Intenzitet sile:
Ravninski slučaj:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Sustav sila
1F�
2F�
3F�
iF�
nF�
• kolinearni• kolinearni• konkurentni• paralelni• opći (proizvoljni)
RAVNINSKI
PROSTORNI( )1 2 3 n
, , , ,F F F F� � � �
…
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Ekvivalentni sustav sila
( ) ( )1 2 3 n 1 2 3 m, , , , , , , , , n mF F F F S S S S≈ ≠
� � � �� � � �
… …
Rezultanta sustava sila
( )1 2 3 n R, , , ,F F F F F≈� � � � �
…
RF R=� �
R RF F R= =�
i n
R i
i 1
x xF F
=
=
=∑i n
R i
i 1
y yF F=
=
=∑i n
R i
i 1
z zF F
=
=
=∑
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
TRANSLACIJU
ROTACIJU
Sila svojim djelovanjem na tijelo uzrokuje njegovu:
moment sile:• za točku• za os
spreg sila
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Moment sile za točku
α
n
O
FM�
B
O h
( )R
A
O,F
M r F r F = × = � � �
� �
O OsinF F
M M r F α= =�
sinr hα =
O
FM Fh=
O OAB2F
M = ∆
r�
F�
Smjer vektora momenta “PRAVILO DESNE RUKE”
O(Nm)F
M
O – pol momenta
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
O
FM�
r�
F�
x
y
z
r x i y j z k= + +�� �
�
x y zF F i F j F k= + +
�� � �
A
OO
x y z
F
i j k
M r F x y z
F F F
= × =
�� �
� �
�
( ) ( ) ( )O z y x z y x
FM y F z F i z F x F j x F y F k= − + − + −
�� � �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
O
A
F�
r�
x
y
( )R
O
FM+
O
A
F�
r�
x
y
( )R
O
FM−
Pozitivan i negativan moment:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Moment sile za os
u
F
uM�
ϕ
O
O
FM�
r�
n
A
F�
B
1u u= =�
x
y
z
O
FM r F= � �
�
O O cos (Nm)F F F
uM u M M ϕ= ⋅ =�
�
( )F F
u uM M u=�
�
ili
O
F F
uM u M u r F= ⋅ = ⋅ ×� �
� � �
cos cos cosu u u
u i j kα β γ= + +�� �
�
x y z
cos cos cosu u u
F
uM u r F x y z
F F F
α β γ
= ⋅ × =�
� �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
u ≡ xz y
x y z
1 0 0F F
u xM M x y z y F z F
F F F
= = = −o o o0 ; 90 ; 90
u u uα β γ= = =
u ≡ yx z
x y z
0 1 0F F
u yM M x y z z F x F
F F F
= = = −o o o90 ; 0 ; 90
u u uα β γ= = =
u ≡ zy x
x y z
0 0 1F F
u xM M x y z x F y F
F F F
= = = −o o o90 ; 90 ; 0u u uα β γ= = =
O
F F F F
x y zM M i M j M k= + +
�� � �
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
u
F
uM�
O h
( )R
(R)r�
(R)F�
r�
A
F�
B
(R)
O (R)
FF
uM M F h= =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Sprega sila
n
M�
O
h
( )R
( ),
O
F FM Fa F a h= − + +
F�
F�
a
,
O
F FM M Fh= =
1n n= =�
M M n=�
�
≡ dvije antiparalelne sile
M – moment sprega (Nm)
M h – krak sprega
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
( )R
M+
( )R
M−
h
F�
F�
h
F�
F�
Pozitivan i negativan moment sprega:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Svojstva sprega sila:
djelovanje sprega se ne mijenja njegovim pomicanjem po pravcusila sprega (II. aksiom statike);
djelovanje sprega se ne mijenja njegovim pomicanjem po krakusprega;
spreg sila moguće je po volji pomicati u ravnini djelovanjasprega, ali pod uvjetom da sile u spregu ne mijenjaju svojmeđusobni položaj;
spreg sila moguće je nadomjestiti drugim spregom uz uvjet dasu im momenti i rotacija jednaki:
spregove sila koji djeluju u istoj ravnini možemo zbrajati:
i n
i
i 1
M M=
=
=∑
1 1 2 2 ...M Fh F h F h= = = =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Redukcija sile ≡ paralelni pomak sile u promatranu točku
BA
F�
( )R
h
BA
F�
( )R
F�
F�
h
II. aksiom statike
BA
( )R
F�
h
M
B
FM M F h= =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Superpozicija (zbrajanje) sile i sprega
BA
( )R
F�
hBA
( )R
F�
h
Mh
F=
A
F�
( )R
M M
B
FM
i B0F
M M M= − =∑
B
FM F h M= =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
7. Vrste veza, reakcije veza
SLOBODNO TIJELO
MEHANIČKE VEZE
NESLOBODNO TIJELO
NESLOBODNO TIJELO
OSLOBAðANJE VEZA
SLOBODNO TIJELO
OPTEREĆENJE VEZA = sile kojima tijelo djeluje na veze
REAKCIJE VEZA = sile kojima veze djeluju na tijelo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Vrste veza:
idealna (glatka) površina
1F�
2F�
3F�
A
n
t
1F�
2F�
3F�
A
n
t
NF�
NF −�
normalna komponenta
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
NAF�
A
B
NBF�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
realna (hrapava) površina
1F�
2F�
3F�
A
n
t
NF�
µ
µ − koeficijentfaktor ( ) trenja
Fµ
�
Fµ −�
sila trenja klizanja
1F�
2F�
3F�
A
n
t
REAKCIJE OSLONCA
OPTEREĆENJE OSLONCA
A
n
tNF�
Fµ
�
0 1µ< <
KM
KM − spreg trenja kotrljanja
KM
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
F�
µ
G�
, grF Fµ≤
, gr
N
tanF
F
µϕ =
tijelo miruje(statičko trenje)
RF�
G� grF
�
NF�
, grFµ
�
Fµ
�
NF�
ϕ
R N , grF F Fµ= +� � �
ϕ − kut trenja
, grF Fµ> tijelo klizi(kinematičko trenje)
Trenje klizanja: GRANIČNI SLUČAJ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
RF�
ϕϕ
NF�
, grFµ
�
grF�
G�
STOŽAC TRENJA
RF�
grF�
, grFµ
�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
, gr T NF F Fµ µ= =
Coulombovi zakoni suhog trenja:
Granična vrijednost sile trenja:
Sila trenja ima pravac tangente u točki dodira iusmjerena je suprotno od smjera u kojem aktivne siležele pokrenuti tijelo.
Intenzitet sile trenja ne ovisi o veličini dodirnih površina.
µ − statičkofaktor trenja klg izanja
Gibanje (klizanje):
NF Fµ µ′= ⋅
µ′ − kinematičkfaktor trenja kliz og anja µ µ′ ≤
tanµ ϕ=
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
vrsti materijala dodirnih ploha
stupnju hrapavosti
vlažnosti
temperaturi
veličini normalnog tlaka između dodirnih ploha
relativnoj brzini klizanja (v):
µ ′
v
µnpr. metal-metal
suhe kočne obloge-metal
0
Faktor trenja ovisi o:
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
Trenje kotrljanja:
µ
NF�
Fµ
�
F�
G�
R
O
0 0Fµµ = ⇒ =nema kotrljanja
(klizanje) glatka
podloga
T N0; F F Fµ µ≠ ≤ =kotrljanje
(bez klizanja) T0; F Fµ ≠ >kotrljanje &
klizanje
Fµ
F Fµ=
POGONSKI (OBRTNI) SPREG
R
PM FR=
P 0M =nema trenja kotrljanja
A
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
NF�
G�
R
O
SPREG TRENJA KOTRLJANJA
m ( m)f − koeficijent ( ) trenja kotrljanja, krak
NF G=
G
f
K NM F f=
h R≈
Fµ
F Fµ=
POGONSKI SPREG
PM Fh F R= ≈
P KM M≤tijelo miruje
P KM M>tijelo se kotrlja
NF�
Fµ
�
F�
G�
RF�
h
NF�
G�
Fµ
�
A A
KM
F�
A µ
f
A'
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
uže
G�
A
BF�
B
A
B
G�
A
B
G�
G�
A
G�
BF�
S�
S�
S�
S�
S�
B
A
BF G=��
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
štapovi
AF�
1F�
G�
2F�
A B
BF�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
pomični i nepomični oslonac
B By BzF F F= +� � �
1F�
2F�
ByF�
BzF�
y
z
A
POMIČNI OSLONAC
B
NEPOMIČNI OSLONACAF
�
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
uklještenje
A Ay AzF F F= +� � �
1F�
2F�
z
y
AyF�
AzF�
AM
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
radijalni ležaj
π
30
nω =
MT ili Mm – moment trenja (Nm)
ω – kutna brzina (s-1):
n – broj okretaja u minuti (min-1)
y
F1
A
AyF
B
F
Fx
zAxF
F3
2
xM
Ax
z
AyF
presjek B-B
y
T
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
radijalno-aksijalni ležaj
AxFAyF
M
FAz
T
M
F
x
AFAx
1
AzF
z
FBx
B
FAy
F3
y
By
F2
F
T
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI
kuglasti zglob
x
Ay
AxF
FAz
A
F
y
z