Goniometrie in 3, 4 en 5

1. Inleiding

waarom een workshop over goniometrie?

historisch kader (derde jaar)

sleutelfiguren (derde jaar)

verwante hoeken (vierde jaar)

visuele bewijzen (vierde jaar)

goniometrie in de ruimte (vierde jaar)

de sinus van 1° (derde of vierde jaar)

2. Historisch kader

Welk wiskundig inzicht gebruikte Eratosthenes van Cyrene bij de

berekening van de omtrek van de aarde?

Welk wiskundig inzicht gebruikte Aristarchos van Samos bij de berekening

van de straal van de maan?

Welk techniek gebruikten de oude Grieken bij de afstandsberekening van

de aarde tot de maan?

Waarop steunden ze bij de schatting van de afstand van de aarde tot de

zon?

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 2222

3. Sleutelfiguren

Bepaal de inhoud van de dakgoot.

Stel een formule op voor de hoogte en de breedte van de tent.

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)

Bepaal een formule voor

kamerscherm.

Bepaal in twee stappen de oppervlakte van het grondvlak van deze

rechthoekige piramide.

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck

Bepaal een formule voor de beschutte oppervlakte achter het

Bepaal in twee stappen de oppervlakte van het grondvlak van deze

rechthoekige piramide.

Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 3333

de beschutte oppervlakte achter het

Bepaal in twee stappen de oppervlakte van het grondvlak van deze

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 4444

4. Verwante hoeken

Zoek een dynamisch beeld voor de volgende verwantschappen van

hoeken op een goniometrische cirkel:

supplementaire hoeken:

tegengestelde hoeken:

complementaire hoeken:

antisupplementaire hoeken:

anticomplementaire hoeken:

5. Visuele bewijzen

Maak drie vergrotingen van de driehoek met zijden a, b en c: eentje met

factor a, eentje met factor b en eentje met factor c. Bereken de zijden van

deze vergrotingen. Wat merk je?

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)

Welke vlakke figuur kan je vormen door deze vergrotingen aan elkaar te

kleven? Toon dit aan.

Teken twee hoogtelijnen in deze figuur en zoek vervolgens een bewijs van

de cosinusregel voor willekeurige driehoeken.

6. Goniometrie in de ruimte

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck

Welke vlakke figuur kan je vormen door deze vergrotingen aan elkaar te

aan.

Teken twee hoogtelijnen in deze figuur en zoek vervolgens een bewijs van

de cosinusregel voor willekeurige driehoeken.

Goniometrie in de ruimte

Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 5555

Welke vlakke figuur kan je vormen door deze vergrotingen aan elkaar te

Teken twee hoogtelijnen in deze figuur en zoek vervolgens een bewijs van

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 6666

In opdracht van de Franse president Mitterand ontwierp de Chinees-

Amerikaanse architect I. M. Pei in 1989 een glazen piramide op de Cour

Napoleon als ingang voor het Louvre in Parijs. Deze piramide heeft een

vierkant grondvlak met een zijde van 35,4 meter en een hoogte van 21,7

meter.

In welke driehoek(en) moet je rekenen om de hoek te berekenen tussen

het grondvlak en een opstaand zijvlak? Duid deze driehoek(en) aan op de

onderstaande figuur. Bereken deze hoek.

Berekening:

In welke driehoek(en) moet je rekenen om (de lengte van) een opstaande

ribbe te berekenen? Duid deze driehoek(en) aan op de onderstaande

figuur. Bereken deze ribbe.

Berekening:

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 7777

In welke driehoek(en) moet je rekenen om (de lengte van) de hoogtelijnen

van een opstaand zijvlak te berekenen. Duid deze driehoek(en) aan op de

onderstaande figuur. Bereken deze hoogtelijnen.

Berekening:

In welke driehoek(en) moet je rekenen om de hoek te berekenen tussen

twee aangrenzende opstaande zijvlakken? Duid deze driehoek(en) aan op

de onderstaande figuur. Bereken deze hoek.

Berekening:

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 8888

7. De sinus van 1°

Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek en zoek een

exacte formule voor ���30°.

Toon aan dat de schuine zijde van de rechthoekige driehoek met een

scherpe hoek gelijk aan 15° gelijk is aan 2 ∙ 2 + √3.

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 9999

Bereken hieruit ����15°�. Zorg ervoor dat de noemer wortelvrij is.

Toon aan dat de schuine zijde van de rechthoekige driehoek met een

scherpe hoek gelijk aan 7,5° gelijk is aan 2 ∙ 2 + √3 ∙ �2 + 2 + √3 .

Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014)Dag van de wiskunde (29 november 2014) Luc Luc Luc Luc Van den BroeckVan den BroeckVan den BroeckVan den Broeck 10101010

Bereken hieruit ����7,5°�. Zorg ervoor dat de noemer wortelvrij is.

Hoe kan je deze formules uitbreiden tot een exacte uitdrukking voor

����0°56′15"�?