gonch niz nov3
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Современные проблемы вычислительной диагностики
Содержание доклада
1. Что такое вычислительная диагностика.2. Разрешающие способности. Основная формула оптики 2λf / D.3. Математическое моделирование. Его роль в вычислительной
диагностике.4. Обратные задачи и методы их решения.5. Роль ЭВМ.6. НРС и вычислительная диагностика.
Что такое вычислительная диагностика?
Обычные рентгеновские исследования и X-ray томография.
Основные отличия:
1. Полный диапазон углов.
2. Предельно малые погрешности входных данных.
3. X-ray томография – результат решения обратной задачи.
Примеры задач вычислительной диагностики. Реконструкция дефокусированных снимков.
D
yxuddfyxKAf ),(),(),(
;,0
;,1)(),(
22
2222
dvu
dvuvuKvuK
;,, UuFfuAf
uuuAf ,1
?1 uAfеизображени
исходноеyxf ),(
X-RAY Томография
Полный диапазон углов
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
;22
D
yxuddfyxKAfA ),(),(),(*
22 )()(
1),(
yxyxK
),(),(2
2
* yxudySinxCosppA
Чем определяется разрешение томографа?
Теория и методы решения некорректных задач
;,, UuFfuAf ,1uAf uu
Основные проблемы:
1. Существование решения. 2. Единственность решения.3. Построение устойчивых методов
приближенного решения некорректных задач.
Функционал Тихонова.
uAfAA ** )(
uAAAf *1* )(
22fuAf
);(: Выбор
0 при )( ff
Разрешающая способность может быть увеличена до бесконечности
Метод невязки.
uAEAAf *1* )()1
);(:)2 Выбор
Выбор параметра регуляризации );(
Метод невязки
0,),(,)( )(22
ffuAfr
Метод решения некорректной задачи:
Основные достижения теории РА:
1. Построены алгоритмы приближенного решения некорректных задач.
2. Оптимальные алгоритмы.
Априорная информация
В методе Тихонова ищется самое гладкое решение – решение с минимальной нормой.
Другой тип априорной информации – информация о монотонности, выпуклости искомой функции и т.п.
Методы решения некорректных задач при наличии априорной информации, комплекс программ для их реализации (Тихонов А.Н., Гончарский А.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М: Наука, 1983г.)
Для аппроксимации непрерывной функции достаточно знать только При аппроксимации разрывной функции необходимо знать и
Насколько разрывна разрывная функция?
Проблема аппроксимации разрывных функций
x
;,, UuFfuAf ,1uAf );(xGy
непрерывнаxG )( разрывнаxG )(
0
)()(
xGxG
xx
xGxGy
)()(
x
Тихоновская школа: фундаментальный вопрос математики
– приближенное вычисление разрывных функций
Аппроксимация разрывной функции семейством непрерывных функций
;,0),()( xxGxG
0,)( 1*1* AAEAA
uAEAAf *1* )(
Итерационные регуляризирующие процедуры
Выбор параметра регуляризации
uAEAAf *1* )(
;0:)( 0*
1 fuAfAff nnn
0,)(;1
nn
)(,22 nnuAfn
Сравнение алгоритмов:Алгоритм лучше, чем алгоритм .
Алгоритм Тихонова в определенном смысле является оптимальным.
Теория решения некорректно-поставленных задач – самый значительный математический результат прошлого столетия.
Школа А.Н.Тихонова
Понятие оптимальных алгоритмов
1R 2R
Задачи реконструкции дефокусированных изображений
Зачем нужно математическое моделирование ?
D
yxuddfyxKAf ),(),(),(
),(),(),( 21
~
21
~
21
~~
wwfwwKwwuAf
),(),()( 21
~
21
~~*1
~~*
~
wwuwwRuKEKKf
Дефокусировка под углом
Ядро оператора больше не зависит отразности аргументов
D
yxuddfyxKAf ),(),(),,(),(
D
yxuddfyxKAf ),(),(),,(),(
Результаты решения модельной задачи реконструкции
дефокусированного изображенияДефокусированное
изображениеИсходное
изображение
Восстановленноеизображение
Результаты решения модельной задачи реконструкции
дефокусированного изображения
Дефокусированное изображение
Исходноеизображение
ВосстановленноеИзображение
Параметр регуляризации 0
Результаты решения реальной задачи реконструкции
дефокусированного изображения
Обработка реальных данных
X-RAY Томография
Полный диапазон углов
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
);,(),( 21
~
fdlelp li
;22
D
yxuddfyxK ),(),(),( 22 )()(
1),(
yxyxK
Томография реальных объектов
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
Томография реальных объектов
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
),(0
),(ln),(
lL
dyxfI
IlpAf
Неполный диапазон углов
Неединственность решения задачи
;20
Если имеет компактный носитель, то
- аналитическая функция и допускает аналитическое продолжение на всю плоскость
),( yxf
),( 21
~
f
PCB, PWB
Восстановление многослойных печатных плат
Niyxfzyxf i ,...1),,(),,(
Принципы синтезированной апертуры
Вывод основного уравнения PЛC CA
Цена за результат: Огромный объем данных, очень точная регистрация данных, решение обратных задач.
Космический аппарат
Поверхность ЗемлиИсследуемая
область
dxdyyxgyvtxPc
yvtxtsyxud ),(),(
),(2),(ˆ
dxyxgyxxKxu ss ))(,())(,(),(
)(yy
dxdyyxgyvtxPc
yvtxtstu ),(),(
),(2)(ˆ
Фиксируется не время прихода, а весь сигнал.
Результаты восстановления изображения.
Космический аппарат «Алмаз». Окраины Москвы.Разрешение увеличилось в 1000 раз.
А.Н.Тихонов, А.В.Гончарский и др. Задача цифровой реконструкции… // ДАН СССР, 1992, Т.322, №5.
Инженерная сейсмика
• Задача является трехмерной.
• Эффекты дифракции.• Нелинейность
Проблемы:
)(
1),(
),()( ),(),(
rCyxf
dlyxfrC
dlr
lLlL
i
ii
С(r) – скорость распространения сигнала
Задачи волновой томографии
),,(),,(),(),,( 2 qrfqrurqru
XОбласть
источников
YОбласть
детекторов
RИсследуемая
область
)(),(
rcr
)(
11)(
220 rcc
r 0
0),(c
r
),,( qru -амплитуда гармонического сигнала.Зависимость от времени exp(iwt)
Задачи волновой томографии
R
R
YydrqruryrGqyU
RrdrqrurrrGqruqru
,),,()(),,(),,(
,),,()(),,(),,(),,(
''''2
''''20
yx
yxyxG
4
)exp(),,( 0
0
X
dxqxfxzGqzu ),,(),,(),,(0
),,()(),,(),,(),,( 220 qrurqrfqruqru
)(),,(),,(2
0
2
qrqrGc
qrG
Размерность обратной задачи Nx*Ny*Nz*(Nw*Nq+1)Bakushinsky A.B., Goncharsky A.V. Ill-posed Problems. Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994.
),,(),( qrur
Линеаризованные приближения
R
drqrurrzGqzuqzu ),,()(),,(),,(),,( 20
R
drqrurrzGqzuqzu ),,()(),,(),,(),,( 02
0
0
R rqrz
drrzqf
)(),(
qz
qzikqzuzqf
)exp(),,(1lim),( 0
20
где
при
1. Приближение при 0
2. Приближение Борна и принципы синтезирования апертуры
R
drqrurrzGqzuqzu
),,()(),,(),,(),,(
020
получаем
Численные результаты расчетов на кластерных системах
для прямой задачи• Схема эксперимента и действительная
часть волны в прямой задаче на поверхности Земли на частоте 100 Гц и 30 Гц .
• Звуковое давление имеет характерный вид волновой функции.
• На частоте 100 Гц длина волны не сильно превышает размеры неоднородностей, поэтому имеем интерференционные всплески.
• На частоте 30 Гц картина сильно замазана, что приводит к плохой реконструкции.
• Сетка расположения приемников должна быть достаточно подробной для описания интерференционной картины.
Задача проектирования эксперимента.
Численные результаты расчетов на кластерных системах
для прямой задачи
• Вещественная часть звукового давления и абсолютная величина на частоте 100 Гц .
• Звуковое давление имеет характерный вид волновой функции.
• Сетка расположения приемников должна быть достаточно подробной для описания интерференционной картины.
Эксперимент с одним источником
• Схема эксперимента с одним расположением источника и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции на одной частоте 100 Гц.
• Для одного источника даже увеличение числа частот не позволяет получить хороших результатов.
Линейный эксперимент
• Схема линейного эксперимента (источники и приемники располагаются на линии) и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции.
• Значительно сокращаются затраты на эксперимент и объем данных.
• Поперек линии измерений неоднородности не восстанавливаются.
• Схема эксперимента с источниками и приемниками расположенными в широкой области на поверхности Земли и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции на частоте 100 Гц (Рис.1), 30 Гц (Рис.2).
Рис.1 Рис.2
Численные результаты расчетов на кластерных системах
для обратной задачи
Численные результаты расчетов на кластерных системах
для обратной задачи
Сетка расчетов (число неизвестных)
Число приемников
Число частот
Число источников
Кол-во нелинейных итераций
Число процессоров
Время расчета, сек
Невязка
5x5x5 (750) 40x40 2 1 1 16 15 3*10-4
9x9x9 (4374) 40x40 2 1 1 16 500
3*10-4
5x5x5 (10250) 40x40 40 1 1 16 1500
3*10-4
9x9x9 (59778) 40x40 40 1 1 16 56000
3*10-4
25х25х25(90000) 40x40 2 1 1 500 10800
1*10-3
29х29х29(146000) 40x40 2 1 1 1000 14600
1*10-3
33х33х33(215622) 40x40 2 1 1 500 27000
1*10-3
9x9x9 (59778) 40x40 40 1 10 500 36000
3*10-4
Основные этапы создания X-RAY томографа
Пирогов Николай Иванович, г.р.-1810г.Рентген Конрад, г.р.- 1845г.Радон Иоганн Карл Август , г.р.- 1887г.Тихонов Андрей Николаевич, г.р.- 1906г.
X-RAY
ПЛЕНКИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕРАДОНА
ЭВМ
ТЕОРИЯТИХОНОВА
ОБРАТНЫЕЗАДАЧИ
МАКЕТ
ТРЕБОВАНИЯ КИСТОЧНИКАМ ИПРИЕМНИКАМ
НИОКР
ТОМОГРАФ
X
ТОПОГРАФ-ИЧЕСКАЯ АНАТОМИЯ
Основные направления работ по вычислительной диагностике с
использованием HPC1. Трехмерные нелинейные модели.2. Автоматизированные комплексы on-line контроля.
Плата базового модуля РВС «АЛЬКОР»-16 ПЛИС Virtex-5, 8 млн. вентилей-256 элементарных 64-р. процессоров - тактовая частота 330 МГц - обработка 64-разрядных данных с плавающей запятой- производительность 200(90) ГФлопс-частота обмена между ПЛИС до 1,2 ГГц (LVDS)- потребляемый ток до 200 А- печатная плата 20 слоев-внешние интерфейсы LVDS, Gigabit Ethernet