görbék és felületek

7/24/2019 Grbk s felletek

1/92

Grbk s felletek elemidifferencilgeometrija

Kozma Lszl Kovcs Zoltn


2/92

Lektorlta: dr. Hoffmann Mikls foiskolai tanrEszterhzy Kroly Foiskola

Kszlt a TMOP 4.1.2-08/1/A Tananyagfejleszts s tartalomfejlesztsklns tekintettel a matematikai, termszettudomnyi, m uszaki s informatikai

(MTMI) kpzsekreplyzat keretben

A PROJEKTEK AZEURPAIUNI TMOGATSVAL, A ZEURPAISZOCILISALAP TRSFINANSZROZSVAL VALSULNAK MEG

Debrecen Nyregyhza 2011.


3/92

Tartalomjegyzk

Elosz 4Jelmagyarzat 5

1. fejezet. Grbk differencilgeometrija 61.1. Parametrizlt grbk 6

1.2. Skgrbk Frenet-bzisa 111.3. A skgrbe meghatrozsa a grbletbol 161.4. Skgrbk globlis elmlete I: a krljrsi ttel 181.5. Skgrbk globlis elmlete II: a ngy cscspont ttele 211.6. Trgrbk Frenet-bzisa 231.7. A grblet s a torzi tulajdonsgai, a grbeelmlet alapttele 26

2. fejezet. Felletek differencilgeometrija 312.1. Implicit felletek 312.2. Parametrizlt felletek 342.3. Felleti grbk 42

2.4. Mrs a felleten, a fellet elso alapmennyisgei 442.5. A fellet elso alapformja 492.6. Az oszkull paraboloid, a fellet msodik alapmennyisgei 502.7. A fellet msodik alapformja s a formaopertor 522.8. A fellet grblete 552.9. Gauss-grblet s Minkowski-grblet 582.10. A Gauss-egyenletek s a fellet kompatibilitsi egyenletei 592.11. Elemi felletek izometrikus lekpezsei 642.12. Prhuzamos eltols a felleten 672.13. Geodetikusok 722.14. A Gauss Bonnet-ttel 76

3. fejezet. Appendix 813.1. Bilineris s kvadratikus formk 813.2. Tbbvltozs, vektorrtku fggvnyek differencilsa 82

4. fejezet. A feladatok megoldsai 84

5. fejezet. wxMaxima munkalapok 91

Irodalomjegyzk 92

3


4/92

ELOSZ 4

Elosz

A jegyzet matematika alapszakos hallgatknak kszlt a Differencilgeomet-ria tantrgyhoz. Tematikjban lefedi a grbk s felletek elemi differencil-geometrijt. Az anyag sszevlogatsban igyekeztnk mrtktartak lenni, azanyag a jelenlegi formjt azutn nyerte el, miutn tbbszr is sikeresen feldol-gozsra kerlt a Nyregyhzi Foiskoln heti kt rban nappali tagozaton illet-ve a levelezo kpzsben. Bizonyos megszokott anyagrszek (hogy csak nhnyatemltsnk a grbeelmletbol: evolta, evolvens, grbesereg burkolja, vetlet aksro trider skjaira) kimaradtak, a kiegszto anyagba, vagy a feladatok kzkerltek.

Eloismeretek. Felttelezzk a Lineris algebra tantrgy biztos ismerett(mtrixszmts, vektorterek, lineris lekpezsek, sajtrtk problma). Mag-tl rtodo eloismeret mg az analzis tananyag a vals tbbvltozs fggvnyekdifferencil- s integrlszmtsval bezrlag. A kvadratikus formkrl, vala-mint a vektorvltozs, vektorrtku fggvnyek differencilszmtsrl tanulta-kat sszefoglaltuk az Appendixben.

Feladatok. Csaknem minden fejezet utn feladatok vannak, melyek megol-dsa segtheti a tananyag megrtst. Az alapszakos kpzsben a Differencil-geometria eloadshoz gyakorlat is tartozik, a gyakorlatokon feldolgozott feladat-anyag az ittenitol bovebb, s ehhez rendelkezsre is llnak klnbzo pldatrak. A

jegyzet feladatai kiindulpontot jelenthetnek a gyakorlatokhoz, illetve a tananyagjraolvassakor adnak gyakorlsi lehetosget.

A wxMaxima hasznlata. A jegyzetben a szmtsi feladatok egy rszhezwxMaxima tmogatst adunk. A munkalapok csak a szmolst, a kifejezsekegyszerubb alakra hozst knnytik meg. Szndkosan nem ksztettnk cso-magot a differencilgeometriai mennyisgeket tartalmaz fggvnyekkel, tehtcsak a Maxima ltalnosan hozzfrheto fggvnyeit hasznltuk. Emellett sa-jt munkalapok rsra btortjuk az olvast, akr a hzi feladatok ellenorzs-re, akr a klnbzo grbk, felletek brzolsra. A munkalapok letlthetok a

zeus.nyf.hu/kovacsz/DG_TAMOP/

cmrol, vagy direkt linkkel pdf formban elrhetok a jegyzetbol.Debrecen Nyregyhza, 2011. prilis

Kozma Lszl, Kovcs Zoltn


5/92

JELMAGYARZAT 5

Jelmagyarzat

Az albbi listban megadjuk a jegyzetben kln magyarzat nlkl hasznltfontosabb jellsek listjt. Rnm: az n mtpus vals mtrixok halmaza GL(n) = {A Rnn | det A = 0}: az ltalnos lineris csoport O(n) = {A GL(n) | A1 =At}: az ortogonlis csoport SO(n) = {A O(n) | det A= 1}: a specilis ortogonlis csoport L(x , y , . . .): azx, y , . . .vektorok ltal generlt altr x, y: azx, y Rn vektorok termszetes skalris szorzata, azaz

x, y =n

i=1xiyi

x: az x Rn vektor normja, x = x, x x y: az x, y R3 vektorok vektorilis szorzata |x,y,z|: az x, y,z R3 vektorok vegyes szorzata : kiegszto anyag, nehz feladat

Rn-t gyakran beazonostjuk Rn1-el, anlkl, hogy erre kln felhvnnk a

figyelmet. gy pldulx Rn sA Rnn esetnAx Rn-t runk.A jegyzetben a fggvnyekre akkor mondjuk, hogy differencilhatak, ha

C-osztlyak, azaz akrhnyszor differencilhatak.


6/92

1. FEJEZET

Grbk differencilgeometrija

1.1. Parametrizlt grbk

Ha egy anyagi pont mozgst a skban vagy a trben le akarjuk rni, akkor leg-egyszerubb, ha az orig rgztse utn megadjuk helyzetvektort az ido fggv-nyben. Ebbol a helyzetvektor-ido fggvnybol a mozgs kinematikai jellemzoit

mr meg lehet adni, az elso derivltja (ha ltezik) a sebessg, a msodik derivltjaa gyorsuls. Parametrizlt grbealatt egy ilyen helyzetvektor-ido fggvnyt fo-gunk rteni. A mozg pont plyja egy ponthalmaz a skban vagy a trben eztegyszeruengrbneknevezzk. Az elemi grbeelmlet egyik clja, hogy a para-metrizlt grbe ismeretben a grbe, azaz a ponthalmaz geometriai jellemzoirekvetkeztessen.

1.1. Definci. Legyen I R esetleg elfajul, de nem egypont intervallum,n= 2vagy3. Egyc : I Rn differencilhat lekpezstregulris parametrizltgrbnekneveznk, ha mindent I-re teljesl a c(t)= 0 regularitsi felttel.Az I intervallumotparamtertartomnynak nevezzk.n = 2esetnskgrbrol,

n= 3esetntrgrbrolbeszlnk. ltalnos rtelemben skgrbrol beszlnkakkor is, haIm c-t R3 egy skja (ktdimenzis lineris sokasga) tartalmazza.

1.2. Plda(egyenletes krmozgs). Egy pont lland >0szgsebessggel mo-zog egya >0sugar, orig kzppont krn. Hatrozzuk meg a helyzetvektor-ido lekpezst! At = 0idopontban a pont koordinti(a, 0).

A pont irnyszge t idopontban = t, gy koordinti(a cos(t), a sin(t)).Teht a grbe paramteres elolltsa:

c : [0, ) R2, t c(t) = (a cos(t), a sin(t)).A regularitsi felttel nyilvn teljesl:

c(t) = (a sin(t), a cos(t)),c(t) =a= 0.Ac(t) = a sszefggs, mely a kerleti sebessg s a szgsebessg kztikapcsolatot adja meg, a kzpiskolai fizikbl ismeros lehet.

A paramteres elolltsbl azonnal kvetkezik, hogy a mozgsra x2+y2 =a2

teljesl, ami a kr egyenlete (x= a cos(t),y = a sin(t)). Azasugr a mozgsgeometriai jellemzoje,a mozgs fizikai jellemzoje.

1.3. Plda(hengeres csavarvonal). Egyasugar egyenes forgshenger tengelye aztengely. Kivlasztjuk egy alkotjt, az alkotn egy pont (a hengerhez kpest) b >0sebessggel egyenletes mozgst vgez, mikzben a hengert a z tengely krl szgsebessggel forgatjuk. Hatrozzuk meg a helyzetvektor-ido fggvnyt. A

t= 0idopontban a pont koordinti(a, 0, 0).6


7/92

1.1. PARAMETRIZLT GRBK 7

x

y

1.1. bra. Hengeres csavarvonal

A mozgs vetlete az xy skra egyenletes krmozgs, a z tengelyre pedigegyenesvonal egyenletes mozgs. gy a paramteres elollts:

c : [0, ) R3, t c(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) (a, b >0).c(t) = a22 +b2 = 0, azaz a regularitsi felttel teljesl. Im c-t hengerescsavarvonalnaknevezzk (1.1.bra).

1.4. Plda (nem regulris grbk). A c(t) = (t2, t3), (t R) differencilhatgrbe (ld.1.2.bra) nem regulris, mertt = 0-banc(0) = (2t, 3t2)t=0= (0, 0).

A c(t) = (t3, t3) grbe kpe egyenes (egyenlete y= x), de a grbe az origbannem regulris. Ugyanennek az egyenesnek regulris elolltsa pl.c(t) = (t, t).

1.5. Definci. Legyenc : I Rn parametrizlt grbe. Av : I R, t v(t) = c(t)

lekpezstplyasebessg fggvnynek(vagyplya menti sebessgnek), mg a

c : I Rn, t c(t)lekpezst sebessg-vektormezonek nevezzk. c(t) a grbe t paramterrtkuponthoz tartozsebessgvektora, mg ac(t) + L(c(t))egydimenzis lineris so-kasg atparamterrtku ponthoz tartozrintoegyenes.

Ac : I Rn parametrizlt grbt termszetes paramterezsunek, vagy v-hossz paramterezsunekmondjuk, ha t I : v(t) = 1.

Legyen most I = [a, b].(c) =ba

v() da grbevhossza, a

: [a, b] R, (t) = ta

v() d

fggvny pedig a grbe vhosszfggvnye.

1.6. Megjegyzs. Az vhossz geometriai bevezetsvel nem foglalkoztunk, felt-telezzk, hogy az olvas az analzis tanulmnyokbl ismeri arektifiklhat grbkvhossznak defincijt s az vhossz kiszmtst a grbe differencilhatsg-

nak felttelezse mellett.


8/92


x

1.2. bra. Nem regulris grbe

1.7. Ttel. Legyen c : I Rn parametrizlt grbe, I R, I s I vals inter-vallumok. Ha : I I diffeomorfizmus s c = c , akkorc is parametrizltgrbe.

BIZONYTS. A regularitsi felttelt kell ellenoriznic-re. A lncszablyt al-kalmazva:

c(t) =c((t)) (t).Mivelcregulris, ezrt a szorzat elso tnyezoje, miveldiffeomorfizmus, ezrt aszorzat msodik tnyezoje egyetlen paramterrtkre sem nulla.

1.8. Definci. Legyenek c : I Rn s c : I Rn parametrizlt grbk. Haltezik olyan : I Idiffeomorfizmus, hogy c = c , akkor c-t s c-t ekvi-valensgrbknek nevezzk,-t pedigparamtertranszformcinak. Ha radsult I-re(t)> 0 is teljesl, akkor irnytstartvagyorientcitartparam-tertranszformcirl beszlnk.1.9. Ttel. A parametrizlt grbk ekvivalencija ekvivalenciarelci.

1.10. Ttel. Ekvivalens grbk vhossza megegyezik.

BIZONYTS. Az1.7. ttel jellseivel. Legyen : [a, b][(a), (b)]szi-goran monoton nvekedo. Ekkor b

a

c() d= ba

c(()) () d=

= b

a c(())

() d=

(b)

(a) c()

d


9/92


a vltoz helyettestsre vonatkoz ttel szerint.

1.11. Ttel. Minden parametrizlt grbe ekvivalens egy termszetes paramtere-zsu grbvel, azaz az vhossz mindig bevezetheto paramternek.

BIZONYTS. Legyenc : [a, b] Rn parametrizlt grbe,

: [a, b] R, (t) = ta

v() d

az vhosszfggvny. (t) = v(t) > 0, teht a fggvny szigoran monotonnvekedo, azaz invertlhat, teht diffeomorfizmus. Az inverze:

1 : [0, (c)] [a, b].

Legyen c = c 1 : [0, (c)] Rn. Szmtsuk ki cplyasebessg-fggvnyt,azaz a

v(t) = (c 1)(t) = (c(1(t)) 1(t) == |1(t)| c(1(t)) = |1(t)| v(1(t))

fggvnyt. Alkalmazva az inverz fggvny differencilsrl tanultakat (lsd(3.2)):

v(t) = 1

|(1(t))| v(1(t)) =

1

v(1(t)) v(1(t)) = 1.

1.12. Plda. Vezessk be az vhosszat paramternek a

c : [0, 2] R3, t c(t) = (a cos t, a sin t, b t), (a, b >0)hengeres csavarvonalon.

Az vhosszfggvny:

: [0, 2] R,

t (t) = t0

a2 +b2 d=

a2 +b2

t0

=

a2 +b2 t.

Az vhosszfggvny inverze:

1

0, 2

a2 +b2

[0, 2], s 1a2 +b2

s.

A ttel bizonytsa szerint a c = c 1 fggvny lesz a problma megoldsa,teht:

c :

0, 2

a2 +b2

R3,

s c(s) =

a cos sa2 +b2

, a sin sa2 +b2

, b sa2 +b2

.

Ellenorizzk, hogy a plyasebessg fggvny tnyleg a konstans 1 fggvny!


10/92


Feladatok

1.1. Feladat. Egy r sugar kr csszs nlkl grdl egy egyenes mentn. r-juk fel a kr kzppontjtl d tvolsgra elhelyezkedo, a krhz kpest rgztetthelyzetu pont plyjnak paramteres elolltst. (d= r esetncikloisrl,d < resetnzsugortott cikloisrl, mg d > resetnnyjtott cikloisrlbeszlnk.) Vizs-gljuk a grbe regularitst.

wxMaximamunkalap: PDF

1.2. Feladat. Az Mpont egyenletes sebessggel halad az Okezdopont hfl-egyenesen (a kezdoponttl tvolodva), mikzben h lland szgsebessggel forogazOkrl.Mplyjtarchimdeszi spirlnaknevezzk. rjuk fel az archimde-szi spirl egy paramteres elolltst!

1.3. Feladat. AzOkezdoponthflegyenes egysgnyi szgsebessggel forogOkrl, ugyanakkor az Mpont az OMtvolsggal arnyos sebessggel mozog h-n.

a. At = 0idopontbanMtvolsgaO-tlb s MazO-hoz kzeledik. rjukfelMplyjnak egy paramteres elolltst. (Logaritmikus spirl.)

b. Bizonytsuk be, hogy (c-vel jellve a paramteres elolltst)

limt+

t0

c(t)) dt

vges, (azaz a[0, )intervallumoncvhossza vges).1.4. Feladat. Legyenc : (0, ) R2,

c(t) =

sin t, cos t+ log tg

t

2

,

(traktrix).

a. Bizonytsuk be, hogy egyetlen olyan pont, aholcnem regulris, at = /2paramterrtku pont.

b. Bizonytsuk be, hogy a traktrix egy rintojnek az rintsi pont s az ytengely kz eso szakasza mindig 1 hosszsg.


1.5. Feladat. Tekintsk egy skgrbe polrkoordints elolltst:

r : [a, b] R2, r();azazc() = (cos r(), sin r()).

a. Bizonytsuk be, hogy a grbe vhossza: ba

r()2 +r()2 d.

b. Hatrozzuk meg ennek alapjn az r() = a

archimdeszi spirl elso

menetnek az vhosszt!
http://ciklois.pdf/http://tractrix.pdf/http://tractrix.pdf/http://ciklois.pdf/


11/92

1.2. SKGRBK FRENET-BZISA 11

1.2. Skgrbk Frenet-bzisa

1.13. Ttel. Legyenc : I R2

parametrizlt skgrbe. Ekkor egyrtelmuen ltez-nek olyanT , N: I R2 differencilhat lekpezsek, hogy t I-re:(i) (T(t), N(t))pozitv ortonormlt bzis R2-ben;

(ii) T(t)a c(t)-nek pozitv skalr szorosa.

BIZONYTS. LegyenT(t) = c(t)/v(t). Ekkor T(t)nyilvn egysgvektor,tovbb az (ii) felttel is teljesl.

JelljkJ-vel R2 pozitv irny/2mrtku elforgatst, azaz

J: R2 R2, (x, y) (y, x).Jlineris transzformci, teht differencilhat. LegyenN=J T, gy (i) telje-sl.Ndifferencilhat, mert differencilhat lekpezsek kompozcija.Az egyrtelmusg onnan kvetkezik, hogyT(t)-t ortonormlt bziss ponto-san ktflekppen lehet kiegszteni, nevezetesen /2szgu elforgatsokkal, dea /2szgu elforgats negatv bzist adna. 1.14. Definci. (Az elozo ttel jellseivel.) T-t rinto egysgvektormezonek,T(t)-trinto egysgvektornak,N-tnorml egysgvektormezonek,N(t)-t atpara-mterrtku ponthoz tartoznormlis vektornaknevezzk. A(T, N)prt a grbeFrenet-bzisnaknevezzk.

x

c(t)T(t)

N(t)

1.3. bra. Frenet-bzis

1.15. Ttel. Legyenc : I R2 parametrizlt skgrbe. Ekkor van olyan : IR differencilhat fggvny, hogy

T= N

N= T .


12/92


BIZONYTS. Bontsuk fel aTs NvektorokatT-vel sN-nel prhuzamoskomponensekre:

T= T, T T+ T, N NN= N, T T+ N, N N.

Derivlva aT, T = 1sszefggst: 2T, T = 0; hasonlan2N, N = 0.Most aT, N = 0sszefggst derivlva:T, N + T, N = 0. Teht =T, N = N, T addik. 1.16. Definci. Legyenc : I R2 parametrizlt skgrbe. A

: I R, =T, Nv

fggvnyt acskgrbegrbletneknevezzk.1.17. Kvetkezmny(Frenet-formulk, vagy derivcis formulk).

T= vN

N= vT.Specilisan, termszetes paramterezsu skgrbkre:

T= N

N= T.1.18. Plda (a krvonal grblete). Legyen c : [0, 2] R2, t c(t) =(R cos t, R sin t). Ekkor:

c(t) =R( sin t, cos t), v(t) =R,T(t) = ( sin t, cos t), N(t) = ( cos t, sin t),

T(t) = ( cos t, sin t).Innen lthatjuk, hogy T = N, teht az elso Frenet-formula szerintcgrbletifggvnye konstans, = 1/R.

1.19. Ttel(a grblet kiszmtsa). (A korbbi felttelek mellett.)

=c, N

v2

.

BIZONYTS. A grbletet definil formult talaktjuk a derivcis formu-la segtsgvel:

c = vT

c = v T+vT=v T+v2N.

Ez utbbi sort N-el skalrisan szorozvac, N = v2 addik, mert T N.Innen leolvashat a bizonytand formula.

1.20. Ttel. Legyenc : I R2 parametrizlt skgrbe, melynek grbleti fgg-vnye. Legyen tovbb : I I paramtertranszformci,c= c : I R2.cgrbleti fggvnyt jellje . Ekkor= sgn .


13/92


BIZONYTS. A grblet albbi kifejezst hasznljuk:

=T, Nv =c, Nv2 =c, J cv3 .Teht:

c= c c = (c ) , J c= (J c ), v= || (v )c = (c ) 2 + (c ) .

Eszerint

=2 (c ) + (c ), (J c )

v3 =

mivelc J c :

=3c , J c

||3 (v )3 == sgn .

1.21. Kvetkezmny. Skgrbe grblete irnytstart paramtertranszformci-val szemben invarins.

1.22. Ttel. Legyenc : I R2 parametrizlt skgrbe, melynek grbleti fgg-vnye. Legyen tovbbF: R2

R

2 izometria, ennek lineris rszef

O(2),

tovbbc= F c : I R2.cgrbleti fggvnyt jellje . Ekkor= det f .BIZONYTS. Knnyen ellenorizheto, hogyJ f= det f (f J). Tovbb

a lncszablyt alkalmazva:

c= F cc = (F c) c =f c,T = f c

v ,N= J f c

v ,

c = (f c) c = f c.A grbletet kiszmtva, felhasznlva, hogyfortogonlis transzformci, teht anormt s a skalris szorzatot megtartja:

=c, J f c

v3 =

f c, det f (f J c)f c3 =

= det fc, J cc3 = det f .

1.23. Kvetkezmny. Skgrbe grblete irnytstart izometrival szemben in-varins.

A grblet geometriai jelentsre az albbi ttel kzvetlenl is rmutat.

1.24. Ttel. Legyenc : [a, b]

R

2 termszetes paramterezsu parametrizlt sk-

grbe, tovbb valamilyens [a, b]-re teljesljn, hogyc(s) = 0. Ekkor


14/92


(1) s-nek van olyan I [a, b] krnyezete, hogy s1, s2, s3 I-rec(s1), c(s2), c(s3)nem egy egyenesre illeszkednek

(2) ha si s (i = 1, 2, 3), akkor a c(si) pontokra illeszkedo kr tart egy1/c(s) = 1/|(s)| sugar,c(s)-re illeszkedo krhz.

A ttel 2. pontjban szereplo krt a grbec(s)ponthoz tartozsimulkrneknevezzk.

BIZONYTS. cregulris, tehts valamely krnyezetben injektv, a bizo-nyts sorn eleve ilyen krnyezetbol indulunk ki.

A Cauchy-fle kzprtkttelbol kvetkezik, hogy minden s1 < s2-hz l-tezik olyans1 < < s2, hogyc()s c(s2) c(s1)egyirny. Legyen ugyanisc(t) = (x(t), y(t)). Van olyan (s1, s2), hogy

(x(s2) x(s1))y() = (y(s2) y(s1))x()(ez a Cauchy-fle kzprtkttel lltsa), gy ac(s2) c(s1)vektor/2szguelforgatottja merolegesc()-re, azazc(s2) c(s1)sc()egyirnyak.

Az elso lltst indirekt bizonytssal ltjuk be. Legyen I [a, b] az s valamelykrnyezete s valamely s1, s2, s3 I-re c(s1), c(s2), c(s3) illeszkedjenek az egyenesre. Legyenek tovbb1 (s1, s2),2 (s2, s3)olyan paramterrtkek,hogyc(1)s c(2)(1.4.bra). Most tekintsk ac : I S1 grbt, amely

x

c(s1)

c(s2)

c(s1)

c(2)

c(1)

1.4. bra.

teht az orig kzppont egysgkrbe kpez (S1 ={x R2 | x = 1}). I-tvlasszuk gy, hogy c[1, 2]ne legyen az egsz S1 egysgkr. Tekintsk a cltallert krv egyikc()( (1, 2)) vgpontjt.caz tetszoleges krnyezetbennem injektv, gyc() = 0(ld.1.5. bra).

A ttel msodik lltst bizonytjuk. Ac(si)pontokra (i= 1, 2, 3) illeszkedo

kr kzppontjt jelljeC(s1, s2, s3)s teljesljn, hogys1 < s2< s3. Tekintsk


15/92


x

c

(1

) =c

(2

)c()

1.5. bra.

az

r : t c(t) C(s1, s2, s3)2 = c(t) C(s1, s2, s3), c(t) C(s1, s2, s3)fggvnyt. Mivel ennek a fggvnynek ugyanaz az rtke az s1,s2,s3helyeken(ti. a krlrt kr sugr-ngyzete), ezrt a Rolle-fle kzprtkttel miatt vannakolyans1< q1 < s2,s2< q2 < s3rtkek, hogyr(q1) =r (q2) = 0:

(1.1) c(qi), c(qi) C(s1, s2, s3) = 0 i= 1, 2.Ismt a Rolle-ttelt alkalmazva, van olyanq1 < < q 2rtk, hogy r() = 0,azaz

c(), c() C(s1, s2, s3) + c(), c() = 0,gy

(1.2) c(), c() C(s1, s2, s3) = 1.Tekintsk aC=c(s) + 1c(s)2 c

(s)pontot. Mivel(c(s), c(s))(az vhossz-paramterezs miatt) merolegesek, gy

c(s), c(s) C = 0c(s), c(s) C = 1.(1.3)

Figyelembe vve, hogy c(qi) c(s) s c() c(s) s sszehasonltva az (1.1)s (1.2) relcikat az (1.3) egyenletekkel,C(s1, s2, s3) Ckvetkezik.

Feladatok

1.6. Feladat. Szmtsuk ki ac : [0, 2] R2, t (t, sin t)szinuszgrbe grb-leti fggvnyt!


1.7. Feladat. Bizonytsuk be, hogy a r()polrkoordints alakban adottgrbe grblete:

=2r2 rr+r2

(r2 +r2)3/2 .

Hatrozzuk meg ennek alapjn az archimdeszi spirl s a logaritmikus spirl

grbleti fggvnyt.
http://sin_gorbulet.pdf/http://sin_gorbulet.pdf/


16/92

1.3. A SKGRBE MEGHATROZSA A GRBLETBOL 16

1.8. Feladat. Legyen c : I R2 parametrizlt skgrbe, mely grbletrolfeltesszk, hogy egyetlen pontban sem nulla. A: I

R

2,

(t) =c(t) + 1

(t)N(t)

grbtc evoltjnaknevezzk. Mutassuk meg, hogy az evolta t-beli rintojemegegyezik az eredeti grbet-beli normlisval.

1.9. Feladat. Bizonytsuk be, hogy az r() =c a logaritmikus spirl evoltjalogaritmikus spirl. Hatrozzuk meg az aparamtert gy, hogy a grbe nmagaevoltja legyen.

1.10. Feladat. Ksztsnk wxMaxima munkalapot egy skgrbe evoltjnak sz-

mtshoz.wxMaximamunkalap: PDF

1.3. A skgrbe meghatrozsa a grbletbol

1.25. Definci. Legyen c : [a, b] R2 parametrizlt skgrbe, az rinto-egysgvektormezoT: [a, b] R2, tovbb

: R R2, t (t) = (cos t, sin t).Ekkor minden olyan : [a, b] R differencilhat fggvnyt, melyreT = ,acgrbehajlsszgfggvnyneknevezzk.

1.26. Megjegyzs. Ha ugyanazon grbnek skt hajlsszgfggvnye, akkor = k2valamelykegsz szmra.1.27. Ttel. A definci jellseivel, =v, aholv a plyasebessg.

BIZONYTS. T = ( )= ( ) = (J ) = N. A Frenetformulk alapjn:T =vN, ahonnan az llts leolvashat.

1.28. Ttel(a grbeelmlet alapttele skban, ltezs). Legyen : I R adottdifferencilhat fggvny. Ekkor ltezik olyanc : I R2 termszetes paramte-rezsu parametrizlt skgrbe, mely grbleti fggvnye ppen.

BIZONYTS. (A korbbi jellsekkel, jelljec a keresett grbt, a hajls-szg-fggvnyt.) Av = 1felttelezs mellett = , ahonnan =

+0. Ac = differencilegyenlet megoldsac = (x, y)-re:

(1.4) x=

cos

+x0, y=

sin

+y0,

ahol 0, x0, y0tetszoleges konstansok. Egyszeru behelyettestssel ellenorizhetjk,hogyc termszetes paramterezsu s grbleti fggvnye.

1.29. Ttel. Legyen a c skgrbe grbleti fggvnye . = 0az (esetleg elfajul)

szakaszokat jellemzi.
http://evoluta.pdf/http://evoluta.pdf/


17/92

1.3. A SKGRBE MEGHATROZSA A GRBLETBOL 17

BIZONYTS. A szakasz lineris elolltsbl lthat, hogy grblete nulla.Megfordtva, mivel a grblet abszolt rtke paramtertranszformcival

szemben invarins, ezrt feltehetjk, hogy c termszetes paramterezsu. Alkal-mazzuk az1.27. Ttelt! = 0 = = 0, gy (1.4)-be behelyettestve

c(t) = (t cos 0+x0, t sin 0+y0) ,

ahol0, x0, y0konstansok. Ez valban egy egyenes paramteres elolltsa.

1.30. Ttel. A konstans, nem nulla grbletu skgrbk a krvek.

BIZONYTS. Feltehetjk, hogy a c skgrbe termszetes paramterezsu. Le-gyen = 1/R. Az integrcis konstansokat az egyszerusg kedvrt mindenttnullnak vlasztva(t) = 1/R t,

x(t) =

cost

R

dt= R sintR

;

y(t) =

sin

t

R

dt= R cos

t

R

.

1.31. Ttel(a grbeelmlet alapttele skban, egyrtelmusg). Legyenek

c1, c2 : [a, b] R2

termszetes paramterezsu parametrizlt skgrbk, melyek grbleti fggvnyei

megegyeznek. Ekkor ltezik olyan F: R2 R2 irnytstart izometria, hogyc2 = F c1.

BIZONYTS. Jellje(Ti, Ni)acigrbe Frenet-bzist. Egyrtelmuen ltezikolyan SO(2)elforgats, mely a (T1(a), N1(a))bzist a (T2(a), N2(a))b-zisba viszi. Jellje : R2 R2 azt az eltolst, mely (c1(a))-t c2(a)-ba viszi.LegyenF = . Beltjuk, hogyF c1 = c2.

Definiljuk a kvetkezo differencilhat fggvnyt:

d : [a, b] R, d(t) = T2(t) (T1(t))2 + N2(t) (N1(t))2.d-t derivlva s a Frenet-formulkat felhasznlva:

12

d = T2 T1, T2 T1 + N2 N1, N2 N1 == N2 N1, T2 T1 + T2+ T1, N2 N1 == N2, T1 N1, T2 +T2, N1 + T1, N2 = 0.

Ez azt jelenti, hogyd konstans. Mivel d(a) = 0, ezrtd = 0. Innen kvetkezik,hogy T1=T2, azaz(F c1 c2)= 0.F c1 c2teht konstans.

Mivel(F c1 c2)(a) = 0, ezrtF c1=c2. 1.32. Plda. A mellkelt wxMaxima munkalap az egzisztenciattelt illusztrlja.

http://fundamental_2.pdf/http://fundamental_2.pdf/


18/92

1.4. A KRLJRSI TTEL 18

Feladatok

1.11. Feladat. Adjuk meg annak a skgrbnek a parametrizcijt, melynek gr-bleti fggvnye(s) =s1/2.

1.4. Skgrbk globlis elmlete I: a krljrsi ttel

Ebben a fejezetben zrt skgrbkrol lesz sz. A zrtsg azt jelenti, hogy agrbe kezdo s vgpontja megegyezik. A1.6.brn hrom zrt skgrbt ltunk.Az elso ketto s a harmadik kztt jl rzkelheto klnbsg, hogy a harmadikgrbe kezdo s vgpontjban a sebessgvektorok nem ugyanazok, mg az elso ktgrbe esetben igen. Az elso kt grbe kztt szemmel lthat klnbsg nincs,a paramteres elolltsukc(t) = (cos(t), sin(t))de a paramtertartomny meg-mutatja, hogy a msodik kr esetben a kzppontot ktszer jrtuk krl. Az elsoesetbent [0, 2], mg a msodik esetbent [0, 4].

c(0) = c(2)

c(0) = c(2) c(0) = c(2) = c(4)

c() = c(3) c(a)

c(b)

c(a) = c(b)

1.6. bra. Zrt skgrbk

1.33. Definci. Egyc : [a, b] R2 regulris parametrizlt skgrbt periodiku-san zrtnaknevezzk, ha van olyan c : R R2 regulris parametrizlt skgrbe,hogy

(i) c|[a,b]=c(ii)

t

[a, b] : c(t+b

a) = c(t).

Ha radsul(iii) c : [a, b) R2 injektv, akkoregyszeruperiodikusan zrt skgrbrol besz-

lnk.

1.34. Kvetkezmny. Egyc : [a, b] R2 periodikusan zrt skgrbrec(k)(a) =c(k)(b), k = 0, 1, . . . .

1.35. Definci. c : [a, b] R2 periodikusan zrt skgrbekrljrsi szmanc =

1

2[(b) (a)]

ahola grbe egy hajlsszgfggvnye.


19/92


A krljrsi szm nem fgg a hajlsszgfggvny vlasztstl.Pldul az1.6. bra elso krnek krljrsi szma 1, a msodik kr pedig 2.

1.36. Ttel. A krljrsi szm mindig egsz szm.

BIZONYTS. MivelT(b) =T(a), ezrt(b) (a) =k2(k Z.) 1.37. Ttel. Legyen c : [a, b] R2 termszetes paramterezsu, periodikusan zrtskgrbe, melynek grbleti fggvnyt jelli. Ekkor

nc = 1

2

ba

(t)dt.

BIZONYTS. A grblet s a hajlsszgfggvny kztt fennll kapcsolat = . gy

ba

(t)dt= ba

(t)dt= [(t)]ba = (b) (a),amibol az llts leolvashat.

1.38. Kvetkezmny. A grblet irnytstart paramtertranszformcival sirnytstart izometrival szemben invarins, gy az elozo ttel alapjn a krlj-rsi szm a periodikusan zrt skgrbk geometriai jellemzoje.

1.39. Ttel(Hopf ttele). Egyszeru, periodikusan zrt skgrbe krljrsi szma1.

BIZONYTS. Ac : [0, L]

R

2 egyszeru, periodikusan zrt skgrbe legyen

termszetes paramterezsu. Izometrival vigyk t a grbt olyan helyzetbe,hogy az xtengely tmaszegyenese legyen, az xtengelyt az origban rintse, sa grbe az y 0flskban legyen. Paramtertranszformcival rjk el azt is,hogy a0 paramterrtku pont az orig legyen. (Ehhez a paramtert csak el kelltolni, gy a grbe termszetes paramterezsu marad.) Ha c(0) = (1, 0), akkorkszen vagyunk, s az elozo kvetkezmny miatt a grbe krljrsi szma nemvltozott. Hac(0) = (1, 0), akkor mg at tparamtertranszformcit kellvgrehajtani, amivel elrjk, hogy az j grbreT(0) = (1, 0), viszont a krlj-rsi szm most 1-szeresre vltozott. (Ld.1.7. bra.)

Legyen = {(s1, s2) R2 | 0 s1 s2 L}, s rtelmezzk-nak a k-vetkezo lekpezst azS1 egysgkrre: :

S1

(s1, s2) =

c(s2)c(s1)c(s2)c(s1) has1=s2T(s1) has1=s2T(0) has1= 0, s2=L.

folytonosbelsejn: az s1=s2pontokra ez nyilvnval, az s1 = s2felttelnekeleget tevo pontokra pedig kvetkezik onnan, hogy

(s, s) =T(s) = lims2s

c(s2) c(s)c(s2) c(s) .

Ezrt ltezik olyan : R folytonos fggvny, hogy(s1, s2) = (cos (s1, s2), sin(s1, s2)).


20/92


xc(0) = c(L) T(0) = T(L)

c(s1)

c(s2)

1.7. bra.

xc(0)

c(s2)

(0, s2)

S1

c(s2)

(0, L)

1.8. bra.

csakk2peridustl eltekintve egyrtelmu, ezrt elorhatjuk, hogy(0, L) =. Mivel erre a fggvnyre(s, s) =T(s), teht : [0, L] R,(s) = (s, s)acgrbe egy hajlsszgfggvnye. gy a krljrsi szm:

(L) (0) = (L, L) (0, 0) == ((L, L) (0, L)) + ((0, L) (0, 0)) == ((L, L) ) + ( (0, 0)) .

llaptsuk meg(0, 0)rtkt! Azt tudjuk, hogy (0, 0) = 2valamelyegsz szmra. A(0, s2)vektor irnyszge folytonosan vltozik 2-tol -ig, mi-kzben a(0, s2)mindvgig azy 0flskban marad, gy(0, 0) = 0(1.8.b-ra).

Hasonl gondolatmenettel kvetkezik, hogy(L, L) = 2((1.9.bra), teht

(L) (0) = 2, a krljrsi szm pedig 1.


21/92

1.5. SKGRBK GLOBLIS ELMLETE II: A NGY CSCSPONT TTELEI 21

xc(L)

c(s1)

(s1, L)

S1(0, L)

1.9. bra.

1.40. Kvetkezmny. Egyc : [a, b] R2 termszetes paramterezsu, egyszeruperiodikusan zrt skgrbre

1

2

ba

(t)dt= 1.

Szemlletesen fogalmazva: ha a grbt egy helyen laptjk, akkor mshol

cscsosodik.

1.5. Skgrbk globlis elmlete II: a ngy cscspont ttele

1.41. Definci. Egy egyszeru, periodikusan zrt c : I R2 parametrizlt sk-grbekonvex, ha t0 I-re a grbe ac(t0)-ben hzott rinto egyenes ugyanazonoldaln van (ld.1.10.bra), azaz

t0 I, t I :c(t) c(t0), N(t0) 0vagy c(t) c(t0), N(t0) 0.

A

c(t)

c(t0), N(t0)

skalris szorzatban a grbt at0-hoz tartoz msodik

Taylor polinomjval kzeltve:

c(t) c(t0) (t t0)c(t0) +(t t0)2

2 c(t0) =

felhasznlva, hogy a grbe termszetes paramterezsu

= (t t0)c(t0) +(t t0)2

2 T(t0) =

az elso Frenet-formult berva

= (t

t0)c(t0) +

(t t0)2

2 (t0)N(t0).


22/92

1.5. SKGRBK GLOBLIS ELMLETE II: A NGY CSCSPONT TTELEI 22

c(t0)

c(t)

N(t0)

1.10. bra. Konvex grbe

gy

c(t) c(t0), N(t0) =(t t0)2

2 (t0).

Ha |tt0| elegendoen kicsi, akkor a harmad- s magasabb fok tagok a jobb oldalelojelt nem befolysoljk, gy megllapthatjuk az albbi (preczen is bebizonyt-hat) ttelt:

1.42. Ttel. Egy egyszeru, periodikusan zrt skgrbe akkor s csakis akkor kon-vex, ha grbleti fggvnye nem elojelvlt.

1.43. Definci. Egyc : I R2 parametrizlt skgrbnek a t0 int I para-mterrtknl cscspontja van, ha t0 a grbleti fggvny stacionrius pontja,azaz (t0) = 0. Akkor is cscspontokrl beszlnk, ha a paramtertartomnyegy[t1, t2]rszintervallumn a grblet konstans, azaz (t) = 0teljesl mindent1 t t2esetn.1.44. Ttel (a ngy cscspont ttele). Egy egyszeru, periodikusan zrt skgrbneklegalbb ngy cscspontja van.

BIZONYTS. (Konvex grbkre.) Legyen pl. a grbleti fggvny nemne-gatv: 0. : [0, L] R zrt intervallumon rtelmezett folytonos fgg-vny, gy flveszi minimumt s maximumt, teht legalbb kt cscspont van.Az ltalnossg megszortsa nlkl fltehetjk, hogy (0)a minimum (eltolsparamtertranszformcival ez elrheto.) Jellje t1 [0, L] a maximumhelyet.Hat [0, t1], akkor(t) 0, hat [t1, L], akkor 0.

Indirekt mdon, tegyk fel, hogy nincs tovbbi cscspont. Mozgassuk el agrbt gy, hogy ac(0)c(t1)egyenes azx tengely legyen (1.11.bra). A konve-xits miatt c(t0)s c(t1)pontokon kvl a grbnek nincs tbb kzs pontja azxtengellyel. Azx tengely fltt s alatt a grblet derivltja lland elojelu, el-lenkezo esetben jabb stacionrius pontot kapnnk. Legyen pl. azxtengely fltt

0, gy y 0mindentt teljesl.


23/92

1.6. TRGRBK FRENET-BZISA 23

c(0) c(t1) x

1.11. bra. A ngy cscspont ttele

Legyen c(t) = (x(t), y(t)). A grbe termszetes paramterezsu, tehtT =c = (x, y) = N = (y, x), azaz x =y s y = x. A parcilisintegrls szablya szerint:

0 L0

y = [y]L0 L0

y = 0 + L0

x = [x]L0 = 0.

Azt kaptuk, hogy egy nemnegatv folytonos fggvny integrlja 0, ami csak gylenne lehetsges, ha y = 0, ami ellentmonds. Van teht tovbbi cscspont is.Hrom cscspont ltezsbol viszont kvetkezik a negyedik ltezse is, mert

nem rendelkezhet pratlan szm jelvltssal.

1.6. Trgrbk Frenet-bzisa

1.45. Definci. A c : I R3 parametrizlt trgrbt biregulrisnak nevez-zk, hat I-rec(t), c(t) linerisan fggetlen vektorok. Ekkor a c(t) +L

c(t), c(t)

skot (ktdimenzis lineris sokasgot) a c grbec(t)pontbelisi-mulskjnaknevezzk.

Emlkeztetnk arra, hogy kt bzist akkor neveznkazonos irnytsnak, ha

a bziscsere mtrixa pozitv determinns.

1.46. Ttel. Legyenc : I R3 parametrizlt biregulris trgrbe. Ekkor egyr-telmuen lteznek olyan

T , F , B : I R3

differencilhat lekpezsek, hogy t I-re:(i)

T(t), F(t), B(t)

pozitv ortonormlt bzis;

(ii) T(t)a c(t)pozitv skalr szorosa,(iii) T(t), F(t) s c

(t), c(t) ugyanazt a skot generljk s irnytsukkzs skjukban megegyezik.


24/92


BIZONYTS. (T, F)-et (c, c)-bol a Gram Schmidt-eljrssal lehet meg-konstrulni: azaz

T =c

v,

F= c, TT+c, F = F

F .

A konstrukci pontonknt rvnyes, s a fenti transzformcis formulk garantl-jk aTsFlekpezsek differencilhatsgt. A jellseket egyszerustve:

T =a11c (a11 > 0),

F =a12c+a22c (a22 >0).

A(c, c) (T, F)bziscsere mtrixnak determinnsa pozitv:det

a11a120 a22

=a11 a22 > 0,

teht a kt bzis azonos irnyts. Vgezetl legyen B = T F (vektorilisszorzat). Az egyrtelmusget a Gram Schmidt-eljrs garantlja: maga az orto-gonalizls kt ortonormlt bzist is adna eredmnyl, de az egyik nem azonosirnyts a (c, c)bzissal. A megtallt kt vektort pozitv ortonormlt bzisskiegszteni egyrtelmuen lehet.

1.47. Definci. (Az elozo ttel jellseivel.) T , F , B-t a c biregulris trgrbe

rinto egysgvektormezojnek, f onormlis vektormezojnek, binormlis vektor-mezojneknevezzk, egyttesen a grbeFrenet-bzisnak.

1.48. Ttel.

T =c

v, B =

c cc c , F =B T.

Termszetes paramterezs esetn

F = c

c .

BIZONYTS. Az elso hrom formula esetben nyilvn elegendo csak a B-

re vonatkoz lltst beltni. B s c c egyarnt merolegesek a simulskra,csak azt kell bizonytani, hogy egyms pozitv skalr szorosai. A Gram Schmidt-eljrs konstrukcijt hasznlva:

B =T F = (a11c) (a12c+a22c) =a11 a22(c c),sa11 a22>0.

A negyedik formulra ttrve, termszetes paramterezs esetn c, c = 1,amely relcit derivlva:

c, c + c, c = 0 = 2 c, c = 0,

azaz vhossz-paramterezs esetnc c, amibol kvetkezik az llts.


25/92


1.49. Ttel(derivcis formulk). Legyenc : I R3 biregulris trgrbe. Ltez-nek olyan1, 2 : I

R differencilhat fggvnyek, hogy

T = 1F

F = 1T +2BB = 2F

BIZONYTS. rjuk felT, F, BFourier elolltsait a(T , F , B)bzisban:

T = T, TT+ T, FF+ T, BB,F = F, TT+ F, FF+ F, BB,B = B, TT+ B, FF+ B, BB.

LegyenXs Y

=Xa T , F , Bbrmelyike. Ekkor derivlssal addik, hogy

X, X = 1 = X, X = 0,X, Y = 0 = X, Y + X, Y = 0.

MsrsztT L(c) = T L(c, c) = T, B = 0, B, T = 0. Teht1 = T, F,2 = F, B a kvnt formulkat adja. 1.50. Definci. A c : I R3 biregulris trgrbe : I R grbleti-s : I R torzifggvnytaz albbiak szerint definiljuk:

=T, F

v , =

F, Bv

.

1.51. Kvetkezmny(Frenet-formulk trgrbkre).

T = vF,

F = vT +vB,B = vF.

1.52. Ttel. Egy c : I R3 biregulris parametrizlt grbe akkor s csakis akkorskgrbe, ha torzifggvnye zrus.

BIZONYTS. A harmadik Frenet-formula alapjn = 0 ekvivalens azzal,hogyB konstans. Legyen

f: I R, t f(t) = B0, c(t) c0,aholB0, c0valamely rgztett paramterrtkhez tartoznak. Mindkt oldal deri-vlva:

f(t) = B0, c(t) = B(t), c(t) = 0,teht a grbe benne van ac0-hoz tartoz simulskban.

Feladatok

1.12. Feladat. Legyen a hengeres csavarvonal paramterezse

c(s) =

a coss

c, a sin

s

c, b

s

c,

aholc2 =a2 +b2 (azaz a grbe termszetes paramterezssel van adva). rjuk fel

a ksro trider vektorai ltal kifesztett skok egyenlett a grbe egy pontjban!


26/92

1.7. A GRBLET S A TORZI TULAJDONSGAI, A GRBEELMLET ALAPTTELE 26

1.13. Feladat. LegyenA, a >0, (0, /2). A

c :R

R

3

, c(t) = (A exp(at)cos t, A exp(at)sin t, A exp(at)ctg , )trgrbtkpos csavarvonalnaknevezzk. (A grbe nyilvnvalan illeszkedik azx2 +y2 = z2 ctg2 egyenletu forgskpra, melynek tengelye az-tengely s fl-nylsszge.) Lssuk be, hogya. a kpos csavarvonal rintoi lland szget zrnak be a kp tengelyvel;b. a grbe valamely pontjtl a cscspontig befutott vg nlkli grbedarab

vhossza vges s arnyos a pontnak a cscstl mrt tvolsgval;c. a z tengelyu, flnylsszgu forgskpon fut grbk kzl az alkotkon

kvl egyedl a kpos csavarvonalak rendelkeznek azzal a tulajdonsggal, hogyrintoik lland hegyesszget kpeznek a kp tengelyvel.


1.7. A grblet s a torzi tulajdonsgai, a grbeelmlet alapttele

1.53. Ttel. Parametrizlt biregulris trgrbe grbleti fggvnye mindig pozitv

rtku.

BIZONYTS. (T, F)-et a Gram Schmidt-eljrssal az albbiak szerintkonstrultuk meg:

T =a11cs a11 > 0, = T = a11c+a11c;

F =a12c+a22cs a22>0.

Ennek alapjn:T, F=a11c+ a11c, F=a11c, F=

a11a22

F a21c, F= a11a22

>0,

cs Fmerolegessgt ktszer is hasznlva.

1.54. Ttel. Ha a c : I R3 biregulris trgrbe termszetes paramterezsu,akkor agrbleti s torzifggvnyre:

= c, =|c, c, c|

2 .

BIZONYTS. A termszetes paramterezs miatt: T = c. Az elso Frenet-formula alapjn:

T = c = F = c = || F =hiszen F = 1s >0.

A torzi kiszmtshoz induljunk ki az F = c/ formulbl, amelyet ahnyadosfggvny derivlsi szablya szerint derivlunk:

F=c c

2 .

gy

= F, B = c c

2 , c c

=|c

, c, c|2

,

felhasznlva, hogyc c c.
http://kuposcsavar.pdf/http://kuposcsavar.pdf/


27/92


1.55. Plda. A hengeres csavarvonal grblete s torzija. Legyen a hengerescsavarvonal paramteres elolltsa:

c : [0, 2] R3, t c(t) =

R cos sR2 +a2

, R sin sR2 +a2

, asR2 +a2

(R, a >0).

Mint korbban mr lttuk, ekkorc termszetes paramterezsu.

T(s) =c(s) = 1R2 +a2

R sin s

R2 +a2, R cos

sR2 +a2

, a

T(s) =

1

R2 +a2

R cos s

R2 +a2, R sin s

R2 +a2, 0

= T(s) = R

R2 +a2.

F(s) = T(s)T(s) =

cos s

R2 +a2, sin s

R2 +a2, 0

,

B(s) =T(s) F(s) = 1R2 +a2

a sin

sR2 +a2

, a cos sR2 +a2

, R

,

B(s) = 1

R2 +a2

a cos

sR2 +a2

, a sin sR2 +a2

, 0

.

A Frenet-formulkbl tudjuk, hogy (vhossz-paramterezs esetn) B =

F,teht az elobbi kpletekbol a torzi leolvashat:

= a

R2 +a2.

A kvetkezo ttelben a grblet s torzi gyakran hasznlt kiszmtsi szab-lyt adjuk meg.

1.56. Ttel. Ha ac : I R3 biregulris trgrbe, akkor a grbleti s tor-zifggvnyre:

=c c

v3 , =

|c, c, c|c c2 .

BIZONYTS. rjuk flT-t egyrszt a msodik Frenet-formula alapjn, ms-rszt aT =c/vkifejezst derivlva:

(1.5) T = cv cv

v2 =vF.

Vektorilisan szorozvac-vel:c c

v =vF c.

Mindkt oldalnak a normjt vve, felhasznlva, hogyF cs F = 1:

c

c

v =v2

,


28/92


amibol a grbletre adott kifejezs rendezssel azonnal kvetkezik.A torzi kiszmtshoz induljunk ki ismt az (1.5)sszefggsbol. Derivl-

junk mg egyszer:(v3)F+v3F =cv+cv cv cv,

majd szorozzuk be mindkt oldalt skalrisan B = (c c)/c c-vel! Fel-hasznlva, hogy az egymsra meroleges vektorok skalris szorzata zrus,

v2F, B =c, c cc c ,

azaz

v3=|c, c, c|

c

c

.

A grbletre mr megkapott kifejezsbolv3 = c c, amit behelyettestve abizonytand lltst kapjuk.

1.57. Ttel. A biregulris trgrbk grblete izometrival s paramtertransz-

formcival szemben invarins. A biregulris trgrbk torzija irnytstart

izometrival s tetszoleges paramtertranszformcival szemben invarins, mg

irnytsvlt izometrinl elojelet vlt.

BIZONYTS. Az elobbi ttelben megadott kiszmtsi szablyokba behe-lyettestve, a skgrbknl megismert mdon kapjuk az lltst. (V.. a 1.22.s1.20. ttelekkel!)

A grblet s torzifggvny jelentosge, hogy paramtertranszformcitls izometritl eltekintve egyrtelmuen meghatrozzk a parametrizlt trgrbt.

1.58. Ttel(A grbeelmlet alapttele.).Unicits.Tegyk fel, hogyc1, c2 : I R3 termszetes paramterezsu biregu-

lris trgrbk, tovbb grblet s torzifggvnyk megegyezik. Ekkor ltezik

olyan : R3 R3 irnytstart izometria, mely egyiket a msikba viszi, azazc2 = c1.

Egzisztencia.Tetszolegesen adott : [a, b] R pozitv, differencilhat s: [a, b] Rdifferencilhat fggvnyekhez ltezik olyanc : [a, b] R3 term-szetes paramterezsu biregulris trgrbe, melynek grbleti s torzifggvnye

ppens .

BIZONYTS. Egzisztencia (vzlat). A bizonyts technikailag sszetett, deaz tlete nagyon egyszeru: ha a grblet s a torzi ismert, akkor a Frenet-formulk a Frenet-bzisra (pontosabban a 9 komponensfggvnyre) egy 9 egyen-letbol ll kznsges differencilegyenlet-rendszert alkotnak, amelyre alkal-mazhatjuk az analzisbol ismert egzisztencia s unicitsttelt (megfelelo kezde-ti felttelek esetn). Miutn T-t meghatroztuk, c = T egy jabb kznsgesdifferencilegyenlet-rendszer (chrom komponensfggvnyre), mely integrls-sal megoldhat. Arrl kell mg meggyozodni, hogy az gy kapott grbe kielgtiaz sszes felttelt.

Unicits. Jellje(T1, F1, B1)ill.(T2, F2, B2)a megfelelo Frenet-bzisokat.


29/92


A lineris kiterjeszts ttele miatt ltezik olyan L(R3;R3)pozitv ortogo-nlis transzformci, hogy

(T1(a)) =T2(a), (F1(a)) =F2(a), (B1(a)) =B2(a).

Ltezik tovbb olyan: R3 R3 transzlci, hogy((c1(a))) =c2(a).

Azt lltjuk, hogy = a keresett izometria.Definiljuk ad : I R fggvnyt a kvetkezokppen:

2d= T1 T22 + F1 F22 + B1 B22.Egyszeru, de kiss hosszadalmas szmolssal, a Frenet-formulkat alkalmazvalthat, hogy d = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans fggvny,s [a, b]-red(s) =d(a) = 0. Innen az kvetkezik, hogy:

T1=T2, F1=F2, B1=B2.Az elso relcit hasznlva: c1 = c2 = ( c1) = c2, azaz a c1 c2lekpezs konstans:

s [a, b] : ( c1 c2)(s) = ( c1 c2)(0) = ( c1)(0) c2(0) = 0,amivel az lltst igazoltuk.

1.59. Ttel. A konstans grbletu s torzij biregulris parametrizlt trgrbk

kphalmaza kr vagy hengeres csavarvonal.

BIZONYTS. Mivel a paramtertranszformci a kphalmazt nem vltoztatjameg, felteheto, hogy termszetes paramterezsu biregulris trgrbkrol besz-lnk.

Legyen eloszr a torzifggvny zrus.= 1/R >0. A

c : I R3, s c(s) = (R cos sR

, R sin sR

, 0)

parametrizlt grbe grblete 1/R, a grbe termszetes paramterezsu s Im ckrvonal. Ha valamely c : I R3 zrus torzij biregulris parametrizlt grbegrblete szintn 1/R, akkor ez a grbe mr a grbeelmlet alapttele szerintegybevgc-vel. AzazIm csIm cegybevg krvonalak.

Ha a torzifggvny nem zrus felhasznlva a hengeres csavarvonal gr-

bletre s torzijra korbban kapott eredmnyt , ugyanezt a gondolatmenetetalkalmazhatjuk, de mostchengeres csavarvonal lesz. Teht adott konstans grb-lethez s konstans torzihoz konstrulunk egy termszetes parametrizls hen-geres csavarvonalat, melynek grblete s torzija ppen ez a kt szm (azaz amegfelelo rtkre belltjuk a henger sugart s az emelkeds sebessgt), s min-den ms ugyanilyen grbletu s torzij, termszetes paramterezsu biregulrisparametrizlt trgrbe ettol mr csak izometriban klnbzik.

1.60. Megjegyzs. Az egyenes nem biregulris trgrbe, gy trgrbeknt semgrblett, sem torzijt nem rtelmeztk. Ugyanakkor az egyenes, mint skgrbezrus grbletu s megllapodhatunk abban, hogy a nem biregulris skgrbk

torzijt is zrusnak tekintjk. gy az elozo llts felsorolst mg az egyenessel


30/92


is kiegszthetjk: az egyenes zr torzij s grbletu trgrbe. (Ugyanakkornem biregulris.)

Feladatok

1.14. Feladat. Egy biregulris skgrbre ktfle grblet rtelmezst is adtunk,skgrbeknt (1.16.definci) s trgrbeknt (1.50. definci). Lssuk be, hogy akt grblet elojeltol eltekintve ugyanazt az rtket adja.

1.15. Feladat. Bizonytsuk be, hogy egy vhossz-paramterezsucgrbrec =2T+F+ Bteljesl, a szoksos jellsekkel.1.16. Feladat. Lssuk be, hogy a grbe egy rgztett simulskjra vonatkozmeroleges vetlett a vetlet msodik Taylor-polinomjval kzeltve paraboltkapunk, melynek tengelye a fonormlis; mg a rektifiklskra (azaz az rintos a binormlis ltal kifesztett skra) eso meroleges vetlett a vetlet harmadikTaylor-polinomjval kzeltve harmadrend u parabolt kapunk.


31/92

2. FEJEZET

Felletek differencilgeometrija

2.1. Implicit felletek

A bennnket krlvevo vilgban rengeteg olyan objektum van, amelyre a fe-lletszt hasznljuk. Ezen felletek matematikai modelljnek megadsa szmosgyakorlati szempontbl fontos lehet. (Fellet felsznnek meghatrozsa, kompu-

tergrafikai alkalmazsok, mrnki szmtsok.)Kezdjk azzal a fellettel, amely taln a legegyszerubbnek tunik, a gmbfel-

lettel.Geometriai szempontbl a gmbfelletegy rgztett ponttl rgztett pozitv

tvolsgra elhelyezkedo pontok halmaza a trben. Descartes-koordintk haszn-latval az orig kzppont,Rsugar gmb egyenlete

(2.1) x2 +y2 +z2 =R2.

Sok, geometriailag knnyen definilhat fellet pontjai, s csakis azok elolltha-tk (2.1)-hez hasonlan egy (tbb ismeretlenes) egyenlet megoldshalmazaknt.

Pldul egy egyenes krhengertgeometriailag gy definilhatunk, hogy egyrgztett egyenestol rgztett pozitv tvolsgra elhelyezkedo pontok halmaza. Haismt Descartes-koordintkat hasznlunk s a tengely a ztengely, a rgztett t-volsg pedig ismtR, akkor egy egyenes krhenger egyenlete

(2.2) x2 +y2 =R2.

A kvetkezo pldnk az egyenes krkp, amelyet geometriailag megkapha-tunk gy, hogy egy egyenest megforgatunk egyot metszo egyenes krl. Legyena forgstengely a ztengely, a forgatott egyenes pedig az xzsk x= a zegyenese.Ekkor a kp egyenlete

(2.3) x2 +y2 =a2

z2.

A (2.1)(2.3) egyenletekkel megadott felletek ltalnosan F(x,y,z) = 0alakak, ahol F: R3 R differencilhat fggvny. (Az elobbi pldkban Fminden vltozban legfeljebb kvadratikus, teht differencilhat.) A felletek k-ztt azonban tbb eltrs van: a gmb kompakt, a tbbi plda nem is korltos.A kpnak van egy specilis pontja, a cscspont, ahol a fellet nem sima. Ho-gyan ismerheto fl a kp cscspontja az egyenletbol? Lthat, hogy a cscspont,(jelen esetben az orig) azF(x,y,z) =x2 +y2 a2z2 fggvny kritikus pontja:

dF(x,y,z) = (2x, 2y, 2za2), dF(0, 0, 0) = (0, 0, 0),

mg a tbbi fellet egyetlen pontja sem kritikus pontja a megfeleloF-nek.31


32/92

2.1. IMPLICIT FELLETEK 32

2.1. bra. Hrom ismeros fellet: gmb, henger s kp.

2.1. Definci. Legyen F: R3 R differencilhat fggvny. Azt mondjuk,hogy azF(x,y,z) = 0egyenlet egyregulris implicit egyenlet, ha teljesl, hogy

F(p) = 0 = dF(p) = 0 (p R3).Egy trbeli ponthalmaztregulris implicit felletnekneveznk, ha elollthat egyregulris implicit egyenlet megoldshalmazaknt.

Az eddigi pldkban szereplo implicit felletek mindegyikben Fmindhromvltozjban legfeljebb kvadratikus volt. Az ilyen implicit felleteket nevezzkltalnosanmsodrendu felleteknek.

2.2. Plda (msodrendu felletek). Legyen A R33 szimmetrikus nem zrmtrix,a R3, R.

F: R3 R, p F(p) = Ap,p + 2a, p +.A {p R3 | F(p) = 0} halmaztmsodrendu felletneknevezzk.

Vizsgljuk meg, hogy a msodrendu felletnek van-e kritikus pontja!

dF(p) = 2Ap+ 2a p R3,azaz dF(p) = 0 Ap+a = 0. A msodrendu felletet msodrendukpnaknevezzk, ha van olyanp0pontja, melyre Ap0+a= 0. (p0-t a msodrendukp cscspontjnak nevezzk.) Belthat (ld.2.1. feladat), hogy a cscspont affininvarins fogalom, teht msodrendu fellet cscspontjt affin transzformci azaffin transzformlt fellet cscspontjba viszi.

Vilgos, hogy ha egy msodrendu fellet nem msodrendu kp, akkor regul-ris implicit fellet.

Msodrendu felletet affin transzformci msodrendu felletbe visz t (en-nek a lineris algebrbl ismert tnynek a bizonytsa kiolvashat a2.1.feladatmegoldsbl is.) Belthat, hogy egybevgsgi transzformcival minden m-sodrendu fellet a 1. tblzatban szereplo msodrendu felletek valamelyikbeviheto t, tovbb a tblzatban szereplo msodrendu felletek egymsba egybe-

vgsgi transzformcival nem vihetok t.


33/92

2.1. IMPLICIT FELLETEK 33

1. vals ellipszoid x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 = 12. kpzetes ellipszoid x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =

1

3. egykpenyu hiperboloid x2/a2 +y2/b2 z2/c2 = 14. ktkpenyu hiperboloid x2/a2 +y2/b2 z2/c2 = 15. vals msodrendu kp x2/a2 +y2/b2 z2/c2 = 06. kpzetes msodrendu kp x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 = 07. elliptikus paraboloid x2/a2 +y2/b2 + 2z= 08. hiperbolikus paraboloid x2/a2 y2/b2 + 2z= 09. vals elliptikus henger x2/a2 +y2/b2 = 1

10. kpzetes elliptikus henger x2/a2 +y2/b2 = 111. hiperbolikus henger x2/a2 y2/b2 = 112. vals metszo skpr x2/a2 y2/b2 = 013. kpzetes metszo skpr x

2

/a2

+y2

/b2

= 014. parabolikus henger x2 + 2ry = 015. vals prhuzamos skpr x2 =a2

16. kpzetes prhuzamos skpr x2 = a217. egybeeso skpr x2 = 0

1. tblzat. A msodrendu felletek izometria osztlyai

2.2. bra. Trusz.

2.3. Plda(a trusz, mint regulris implicit fellet). Azxzsk(x a)2 + z2 =b2egyenletu krt megforgatjuk aztengely krl. Ha a kr egyenletbenxhelyre

x2 +y2-t helyettestnk, akkor kapjuk a trusz egyenlett:

(2.4) (x2 +y2 a)2 +z2 b2 = 0.


34/92

2.2. PARAMETRIZLT FELLETEK 34

AzF(x,y,z) = (

x2 +y2a)2 + z2 b2 fggvny nem felel meg a defincink

kvetelmnynek, mert aztengely mentn nem differencilhat:

dF(x,y,z) =

2xy2 +x2 ay2 +x2

,2y

y2 +x2 ay2 +x2

, 2z

.(2.4)-ben a ngyzetre emelst elvgezve, a ngyzetgyks kifejezst a jobb oldalrarendezve, majd mindkt oldalt ngyzetre emelve:

x2 +y2 +z2 b2 +a2 = 2a

y2 +x2

(x2 +y2 +z2 b2 +a2)2 = 4a2(y2 +x2)gy

F(x,y,z) = (x2

+y2

+z2

b2

+a2

)2

4a2

(y2

+x2

)esetnFminden vltozban polinomilis, gy differencilhat. Nem nehz ellen-orizni, hogy a trusz egyetlen pontja sem kritikus pontjaF-nek.

A felletek matematikai modellezsre sok ms megkzeltst is hasznlnak.Jllehet a fejezetben szereplo implicit felletek egyenlett a geometriai szrmazta-tsbl nagyon knnyu volt megadni, a tovbbiakban egy msik fajta megkzeltstalkalmazunk, amely sok hasonlsgot mutat a parametrizlt grbkkel. A grbe-pont helyzetvektort egy paramter fggvnyeknt lltottuk elo, a felleti ponthelyzetvektort kt paramter differencilhat fggvnyeknt fogjuk elolltani:gy jutunk a parametrizlt felletekhez. Az implicit felletek s a parametrizlt

felletek halmaza nem esik egybe, kapcsolatukkal a ksobbiekben foglalkozunk.Feladatok

2.1. Feladat. Bizonytsuk be, hogy msodrendu fellet cscspontjt affin transz-formci az affin transzformlt fellet cscspontjba viszi. ()

2.2. Feladat. Bizonytsuk be, hogy az z=x yegyenletu msodrendu fellet (ahiperbolikus paraboloid) regulris implicit fellet!

2.3. Feladat. Bizonytsuk be, hogy azx2 +y2 z2 = 1egyenletu ktkpenyuhiperboloid olyan regulris implicit fellet, amely nem sszefggo, azaz van afelleten kt olyan pont, amelyet a felleten halad folytonos grbvel nem lehetsszektni.

2.4. Feladat. Lssuk be, hogy az F(x,y,z) = x2 fggvnynek az orig kriti-kus pontja, ugyanakkor azx2 = 0egyenletu ponthalmaz mgis regulris implicitfellet.

2.2. Parametrizlt felletek

A tovbbiakban U R2 nem res nylt halmazt jell. Megllapodunk nhnyjellsben. Egyr : U R3 differencilhat lekpezsnl a vltozkat ltalbanu-val sv-vel, a komponensfggvnyeketx,y,z-vel jelljk, azaz

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).


35/92


relso s msodik vltoz szerinti parcilis derivltjait rus rvjelli, teht

ru(p) = xu , yu , zuprv(p) =

x

v,y

v,z

v

p

, p= (u, v).

Tovbb

dr(p) =

xu

xv

yu

yv

zu

zv

p

= (ru, rv)p = (ru(p), rv(p)) R32.

Ha(e1, e2)jelli R2 kanonikus bzist, akkordr(p)(e1) =ru(p), dr(p)(e2) =rv(p), p U.

Ha nem forog fenn flrerts veszlye, akkorp U kirst mellozhetjk:dr= (ru, rv).

2.4. Definci. Legyen U R2 egy nem res nylt halmaz. Egy r : U R3 dif-ferencilhat lekpezstregulris parametrizlt felletnek(rvidenparametrizltfelletnek) neveznk, ha teljesl, hogy

(2.5) p U : rangdr(p) = 2.2.5. Megjegyzs.Az (2.5) felttel tbbflekppen is tfogalmazhat. A kvetkezolltsok ekvivalencija a (2.5) felttellel a lineris algebrbl ismert. p U-ra

(1) dr(p) : R2 R3, R2 X dr(p) Xinjektv lineris lekpezs(2) dr(p) R32 bal invertlhat mtrix1(3) (ru(p), rv(p))linerisan fggetlen vektorrendszer(4) dimL(ru(p), rv(p)) = 2(5) ru rv= 0.

2.6. Plda (parametrizlt sk). A lineris algebrai tanulmnyokbl mr ismert,hogy azr : R2 R3,r(u, v) = r0+ ux+vy, (ahol(x, y)linerisan fggetlenvektorrendszer R3-ban,r0tetszoleges vektor) parametrizlt fellet egy sk.

2.7. Plda(parametrizlt flgmb). A gmbx2 +y2 +z2 r2 = 0egyenletbola z vltozt kifejezhetjk, ha z > 0, akkor z =

r2 x2 y2, gy, ha U =

{(u, v) R2 | u2 +v2


36/92


x

y

z

a

r(u,v) =P+ v a

P=c(u)

x

y

z

2.3. bra. Parametrizlt hengerfellet

x

y

z

M

P=c(u)

r(u,v) =v P+ (1 v) M

x

y

z

2.4. bra. Parametrizlt kpfellet

2.8. Plda(parametrizlt hengerfellet). Legyenc : I

R3 regulris parametri-

zlt grbe,a R3 nemzr vektor, tovbb a sehol sem prhuzamosc-vel. Acvezrgrbjuaalkotirny hengerfellet paramteres elolltsa:

r : I R R3, r(u, v) =c(u) +v a.Miveldr(u, v) = (c(u), a)s a felttel miattrang(c(u), a) = 2, ezrt egy regu-lris parametrizlt felletet kaptunk.

2.9. Plda(parametrizlt kpfellet). Legyenc : I R3 regulris parametrizltgrbe,M R3 egy pont. AcvezrgrbjuMcscspont kpfellet paramtereselolltsa

r : IR R3, r(u, v) =v c(u) + (1 v) M.


37/92


x

y

z

2.5. bra. Parametrizlt forgsfellet

Miveldr(u, v) = (v c(u), c(u)M), ezrtrang dr(u, 0) = rang(0, c(u)M) =2, gy nem regulris parametrizlt felletet kapunk. Ha kiegsztjk a geometriaifeltteleket azzal, hogyc(u) c(u) Ms a paramtertartomny U= I R+,akkor mr regulris parametrizlt felletet kapunk.

2.10. Plda(parametrizlt forgsfellet). Legyen adva azxzskban ac : I R3, c(u) = (x(u), 0, z(u))

regulris parametrizlt grbe, melyet megforgatunk aztengely krl. Ha a forga-ts szgev J R, akkor egy forgsfelletet kapunk:(2.6) r : I J R3, r(u, v) = rotz(v)c(u).Koordintkkal

r(u, v) =

cos v sin v 0sin v cos v0

0 0 1

x(u)0

z(u)

,

azazr(u, v) = (x(u)cos v, x(u)sin v, z(u)).

Vizsgljuk meg a regularitsi felttelt!

dr(u, v) =

x(u)cos v x(u)sin v z(u)x(u)sin v x(u)cos v 0

t.

Innen egyszeru szmts utn rurv2 =x(u)2 c(u)2 addik, azazx(u) = 0esetn a fellet regulris.

2.11. Plda(Parametrizlt gmbfellet). Egy olyan flkrt kell megforgatnunk a

ztengely krl, melynek tmroje aztengelyen van. Az elozo pldt alkalmazva


38/92


c(u) = (R cos u, 0, R sin u)su (/2, /2), gy

r(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u), (v R).A teljes gmbfellet minden pontjt megkapjuk, ha [/2, /2] I u, deu= /2-re a regularitsi felttel nem teljesl. (A teljes gmbt nem tudjuk gytekinteni, mint regulris parametrizlt felletet.) A gmbnek ezt a paramterezsthosszsgi kr-szlessgi kr paramterezsnek, rviden fldrajzi paramterezs-nek nevezzk.

2.12. Plda(parametrizlt trusz). Ismt a2.10plda szerint jrunk el:

c(u) = (a +b cos u, 0, b sin u),azaz az (a, 0, 0) kzppont, b sugar krt megforgatjuk a zkrl (a , b > 0,a > b). A kapott fellet paramteres elolltsa:

(2.7) r(u, v) =

(a +b cos u)cos v, (a +b cos u)sin v, b sin u

.

A felttelek miatta + b cos u >0, gy a regularitsi felttel minden pontban telje-sl.

2.13. Plda(vonalfellet). Legyen : I R3 egy regulris trgrbe, E: I R3egysgvektor-mezo, azazt I-reE(t) = 1. minden t paramterrtkupontjban tekintnk egyE(t)irnyvektor egyenest. Ezek az egyenesek alkotjkaz(, E)ltal generltvonalfelletet. Paramteres elolltsa

r : I R, (u, v) r(u, v) =(u) +v E(u).Vizsgljuk meg a regularitsi felttelt!

ru(u, v) =(u) +v E(u)

rv(u, v) =E(u).

Olyan paramterrtkeket keresnk, amelyekreru rv = 0, ezekben a pontokbannem teljesl a regularits.

ru rv2 = ru2rv2 ru, rv2 = ru, rurv, rv ru, rv2.

MivelE, E = 1, gyE, E = 0, tehtru, rv =(u), E(u), tovbbrv, rv = 1sru, ru = (u), (u) + 2v(u), E(u) +v2E(u), E(u).

gy

ru rv =a(u)v2 +b(u)v+c(u),ahol

a(u) = E(u)2, b(u) = (u), E(u), c(u) = (u)2 (u), E(u)2.Megllapthatjuk, hogy (u, v) pontosan akkor nem regulris hely, ha v a pu =

a(u)v2 +b(u)v+c(u)(v-re msodfok) polinomnak zrushelye.


39/92


2.6. bra. Mbius-szalag

2.14. Plda(Mbius-szalag). Egy tglalap alak paprszalag rvidebbik oldalait

gy ragasztjuk ssze, hogy kzben a szalagot egyszer megtekerjk. (Lsd2.6.b-ra.) Ennek az alakzatnak egy modelljt specilis vonalfelletknt kaphatjuk meg.Az elozo pldban

(u) = (cos(u), sin(u), 0)

E(u) = roty(u/2)(0, 0, 1) = ( sin(u/2), 0, cos(u/2)).Azaz az egysgvektor-mezot gy kapjuk, hogy az e3 = (0, 0, 1) vektort az uparamterrtku pontnl u/2-vel megforgatjuk az y tengely krl. gy ha u[0, 2], az e3 vektor pontosan egy flfordulatot tesz meg. A paramteres elol-lts r(u, v) = (cos(u)sin(u/2)v, sin(u), cos(u/2)v). A regularitsi felttelta2.13.Feladatban vizsgljuk.

2.15. Plda (egyparamteres izometriacsoport ltal generlt fellet ). A for-gsfelletek (2.6) elolltst ltalnostjuk. A rotz : R R33, v rotz(v)lekpezsre teljesl, hogy:

(1) mindenv-rerotz(v)izometria(2) rotz(0) = 1 R33(3) rotz(t+s) = rotz(t) rotz(s).A fenti tulajdonsgokkal nem csak a z tengely krli elforgats rendelkezik.Knnyu ltni, hogy a : v (v) = rote(v) +va e(e R3 egysgvektor,a

R) lekpezs szintn ilyen tulajdonsg: minden v-re (v) csavarmozgs,

teht izometria,(0) = 1 R33, tovbb(t) (s)(x) =(t)(rote(s)x+sae) =

= rote(t)rote(s)x+ rote(t)(sae) +tae=

= rote(t)rote(s)x+sa rote(t)(e) +tae

mivelrote(t)(e) =e,

= rote(t)rote(s)x+sae+tae= rote(t+s) + (t+s)ae.

gy is fogalmazhatunk, hogy

{(v)

| v

R

}izometrik egyparamteres cso-

portja. Belthat, hogy a trben minden egyparamteres izometriacsoportot (azaz


40/92


x

y

z

2.7. bra. Csavarfellet

az (1)(3) tulajdonsgot teljesto csoportot) az elobbi mdon lehet megadni, te-ht azonos irny csavarmozgsok alkotjk, ahol az elforgats szge s az eltolsmrtke arnyosak.

Legyenc : I

R3 regulris parametrizlt grbe,

{(v)

|v

R

}izometrik

egyparamteres csoportja. Az ltaluk generlt fellet:

(2.8) r : IR, (u, v) r(u, v) =(v)(c(u)),ha rregulris. (2.8) nem felttlenl regulris felletet ad, ezrt a regularitst klnmeg kell kvetelni. Minden forgsfellet ilyen tpus fellet. Nem forgsfellet acsavarfellet, aholc(u) = (u, 0, 0),e = e3 = (0, 0, 1), azaz

r(u, v) = rotz(v)c(u) +ave3 = (u cos v, u sin v, v).

Ennek regularitst a2.11. feladatban vizsgljuk meg.

2.16. Definci. Legyenr : U R3

parametrizlt fellet. AzL(ru(p), rv(p)) =Tpr R3

ktdimenzis alteret az r fellet pponthoz tartoz rinto irnyskjnak, mg azr(p) +Tprskot r rintoskjnak nevezzka ppontban. Az X Tprvektort afelletp pontbelirintovektornakneveznk. (A paramtertartomnyp pontjragyakran a jellsben is utalunk:Xp Tpr.)2.17. Ttel. Legyenr : U R3 parametrizlt fellet,pU. A felletp ponthoztartoz rintoskjnak egyenlete

|X r(p), ru(p), rv(p)| = 0.


41/92


BIZONYTS. Az rintosk normlvektoraru(p)rv(p), azazX R3 akkors csakis akkor illeszkedik az rintoskra, ha

X

r(p), ru(p)

rv(p)

= 0, ami

lltsunkat jelenti.

A tovbbiakban az rintosknak nem lesz jelentosge a trgyalsunkban, csakaz rinto irnysknak, gy kiss pontatlanul, aTpralteret fogjuk rintosknak ne-vezni.

Feladatok

2.5. Feladat. Hatrozzuk meg a fldrajzi paramterezsu gmbre azn = (ru rv)/ru rv vektort!2.6. Feladat. Adjuk meg annak a hengerfelletnek a paramteres elolltst,melynek vezrgrbje az xysk orig kzppont egysgkre, alkotirnya pe-dig

a. (0, 0, 1)b. (1, 1, 1).

2.7. Feladat. rjuk fel annak a hengernek a paramteres elolltst, amelynekvezrgrbje azxy = 1,z= 0hiperbola, alkotegyenesei pedig az

x+ 1

3 = y= 4 z

2egyenletrendszeru egyenessel prhuzamosak.

2.8. Feladat. Adjuk meg annak a kpfelletnek a paramteres elolltst s imp-

licit egyenlett, amelynek vezrgrbje az x2 +y2 = 4,z = 0kr, cscspontjapedig(0, 0, 1) R3.2.9. Feladat.

a. Azy2 = ax,z = 0parabolt megforgatjuk a tengelye krl. rjuk fl azgy keletkezo forgsfellet paramteres elolltst s implicit egyenlett!

b. Ugyanezt a parabolt az y tengely krl is megforgatjuk. Bizonytsuk be,hogy gy negyedrendu felletet kapunk.

http://parabola_forgatasa.pdf/http://parabola_forgatasa.pdf/


42/92

2.3. FELLETI GRBK 42

2.10. Feladat. Hatrozzuk meg az r(u, v) = (u,v,uv) parametrizlt felletnormlvektort azu =

1,v = 2pontban!


2.11. Feladat. Bizonytsuk be, hogy az

r : R R R3, (u, v) r(u, v) = (u cos v, u sin v, v)csavarfellet regulris fellet!


2.12. Feladat. Legyenc : I R3 biregulris trgrbe. Azr : I

R, (u, v)

r(u, v) =c(u) +c(u)

v

felletet a grberintofelletneknevezzk. Vizsgljuk a fellet regularitst!

2.13. Feladat. Vizsgljuk a Mbius-szalag regularitst!


2.3. Felleti grbk

2.18. Definci. Legyen r : U R3 parametrizlt fellet, c : I U regulrisparametrizlt grbe. Ac = r c : I R3 parametrizlt grbtfelleti grbneknevezzk.

I c > U

R3

r

c=

r

c>

Specilisan, legyenekv0,u0konstansok,

c1(t) = (t, v0), (t, v0) U,illetve

c2(t) = (u0, t), (u0, t) U,(esetleg elfajul) szakaszok a paramtertartomnyban. A

cu(t) =r(t, v0)scv(t) =r(u0, t)

felleti grbket azrfelletparamtervonalainaknevezzk.

Hatrozzuk meg a paramtervonalak sebessgvektorait:

cu(t) = dr(t, v0) e1=ru(t, v0)cv(t) = dr(u0, t) e2 = rv(u0, t).

A fenti relcik alapjn az ru(p),rv(p)(p

U) vektorokatparamtervonal-rin-

toknekis szoks nevezni appontban.
http://feluleti_normalis.pdf/http://egyparam.pdf/http://mobius.pdf/http://mobius.pdf/http://egyparam.pdf/http://feluleti_normalis.pdf/


43/92

2.3. FELLETI GRBK 43

2.8. bra. Paramtervonalak a gmbn

2.19. Plda. A gmb fldrajzi paramterezsnek (ld.2.11.plda)u = u0para-mtervonalai a szlessgi krk (specilisanu0 = 0az egyenlto):

cv(t) =r(u0, t) = (R cos u0cos t, R cos u0sin t, R sin u0),

mg av = v0paramtervonalak a hosszsgi krk (specilisan v0 = 0a green-wichi zr hosszsgi kr.):

cu(t) =r(t, v0) = (R cos t cos v0, R cos t sin v0, R sin t).

2.20. Ttel. Minden felleti grbe regulris.

BIZONYTS. Az elozo definci jellseivel:(2.9) c(t) = dr(c(t)) c(t).Ac regularitsa miattc(t)= 0, a fellet regularitsa miattKer dr(c(t)) ={0},gyc(t) = 0.

A (2.9) formula azt is mutatja, hogyc(t) Im dr(c(t)) =Tc(t)r, gy megfo-galmazhatjuk az albbi ttelt:

2.21. Ttel. Egy parametrizlt fellet egy adott pontjn thalad felleti grbk

ezen pontbeli rintovektorai az adott pontbeli rintoskban vannak.

A (2.9) formult koordints alakban is kirjuk. Hac(t) = (u(t), v(t)), akkor

(2.10) c(t) =u(t)ru(c(t)) +v(t)rv(c(t)),

vagy rvidenc = uru+ vrv, teht, ha rtelemszeru, hogy egy mennyisget acgrbe mentn kell venni, akkor azt nem felttlenl jelljk a tovbbiakban.

2.22. Ttel. A fellet minden rintovektora valamely felleti grbe rintoje.

BIZONYTS. Legyen Xp = X1 ru(p) +X2 rv(p)a fellet egy rintovektoraap = (u0, v0)pontban (X1, X2 R). Tekintsk a paramtersk

c(t) = (X1 t+u0, X2 t+v0)egyenest, azazu(t) =X1 t+u0,v(t) =X2 t+v0. Ekkorc(0) =p s a2.10kifejezst alkalmazva,c(0) =Xp.


44/92

2.4. MRS A FELLETEN, A FELLET ELSO ALAPMENNYISGEI 44

Feladatok

2.14. Feladat. Hatrozzuk meg aa. trusz (2.7)b. csavarfellet (2.11.feladat)paramtervonalait.

2.4. Mrs a felleten, a fellet elso alapmennyisgei

A felleti mrs alapja az, hogy kiszmtjuk kt felleti rintovektor skalriss vektorilis szorzatt. A skalris szorzatbl a felleti rintovektor hosszt s ktfelleti rintovektor szgt tudjuk kiszmtani, mg a vektorilis szorzat terlettelkapcsolatos informcit ad.

Legyen adva az r :U

R

3

regulris parametrizlt fellet,p U

. Kiszmtjukaz Xp = x1ru(p)+x2rv(p) saz Yp =y1ru(p)+y2ru(p) felleti rintovektorokskalris szorzatt:

(2.11) Xp, Yp =x1y1r2u(p) + (x1y2+x2y1)ru(p), rv(p) +x2y2r2v(p).A fenti sszefggsben szereplo skalris szorzatok a felleti mrssel kapcsolatosalapveto informcikat adnak.

2.23. Definci. Legyenr : U R3 parametrizlt fellet,p U. Az(2.12) Ep = ru(p), ru(p), Fp = ru(p), rv(p), Gp = rv(p), rv(p),szmokat a fellet ppontbeli elso alapmennyisgeineknevezzk. Gyakran elso

alapmennyisgeknek nevezzk azE: U R, p E(p) =EpF: U R, p F(p) =FpG : U R, p G(p) =Gp

differencilhat fggvnyeket is.

A (2.11) egyenlet a bevezetett j jellsekkel:

Xp, Yp =x1y1Ep+ (x1y2+x2y1)Fp+x2y2Gp=

= x1 x2Ep Fp

Fp Gpy1

y2 .(2.13)

Alkalmazsknt kiszmtjuk a felleti grbk vhosszt. Legyen r : U R3parametrizlt fellet,

c : [a, b] U, c(t) = (u(t), v(t))regulris parametrizlt grbe a paramtertartomnyban, c = r c : [a, b] R3felleti grbe.

c = (dr c) c = ru c rv cuv

=u ru c+v rv c.

gy

c2 =u2 E c+ 2uv F c+v2 G c,


45/92


azaz a felleti grbe vhosszt a kvetkezokppen szmoljuk ki:

2.24. Ttel.

(2.14) c= ba

c = ba

u2 E c+ 2uv F c+v2G c.

2.25. Plda (a fldrajzi paramterezsu egysggmb elso alapmennyisgei). Agmb fldrajzi paramterezse:

r(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u), u (/2, /2), v R.A paramtervonal rintok:

ru(u, v) = (

sin u cos v,

sin u sin v, cos u),

rv(u, v) = ( cos u sin v, cos u cos v, 0),gy

E(u, v) = 1, F(u, v) = 0, G(u, v) = cos2 u.

2.26. Plda(mrs az egyenes krhengeren s a skon). Az egyenes krhengeregy lehetsges elolltsa parametrizlt felletknt a kvetkezo:

r(u, v) = (cos u, sin u, v), u,v R.A paramtervonal rintok

ru(u, v) = ( sin u, cos u, 0), rv(u, v) = (0, 0, 1),ahonnan a parametrizlt krhenger elso alapmennyisgei:

E(u, v) = 1, F(u, v) = 0, G(u, v) = 1.

Azr(u, v) = (u,v, 0) (u, v R)parametrizlt sk elso alapmennyisgei ugyan-ezek a fggvnyek, gy a kzs paramtertartomnyban megadott tetszoleges gr-bnek megfelelo felleti grbk a hengeren illetve a skon ugyanolyan hosszak.Szemlletesen fogalmazva: mikzben egy tglalap kt szemkzti oldalt ssze-ragasztva egyenes krhengert kapunk, a tglalapra rajzolt grbk vhossza nem

vltozik.2.27. Ttel. A gmbfellet kt nem tellenes pontja kztt a legrvidebb felleti

grbe a kt pontra illeszkedo fokrv flkrvnl kisebb ve.

BIZONYTS. A gmbfellet fldrajzi paramterezsbol indulunk ki. Az l-talnossg megszortsa nlkl feltehetjk, hogy az egyik pont az szaki sark.A msik ponthoz tartoz paramterrtkek legyenek (u1, v1). Az szaki sark el-so paramterrtke /2, mg a msodik nem egyrtelmuen meghatrozott, le-gyen pl. v1 A paramtersk ezen kt pontjt sszekto tetszoleges grbe legyenc(t) = (u(t), v(t))(t [a, b]). Teht

c(a) = (/2, v1), c(b) = (u1, v1).


46/92


Ac= r cfelleti grbe vhossza (2.14) szerint

= ba

u2(t) + cos2(u(t))v2(t)dt ba

u2(t)dt=

ba

|u(t)|dt

b

a

u(t)dt

= |u(b) u(a)| =/2 u1.Az egyenlosg teljeslshez szksges, hogyv (t) = 0teljesljn, azazv = v1konstans. A felleti grbe teht hosszsgi krn van.

A paramtertartomny egy terlettel rendelkezoP U rszhalmaznak a k-pe a felleten egyr(P)felletdarab. Ennek felsznt akarjuk rtelmezni. Tegykfel, hogyP = [u, u+ u] [v, v+ v]egy tglalap.r(u+ u, v+ v)-telsofok Taylor polinommal kzeltve:

r(u+u, v+v) r(u, v) +ru(u, v)u+rv(u, v)v, , [0, 1].A fenti relci bal oldalnr(P), a jobb oldaln pedig egy paralelogramma (rin-topikkely) van, melyet az ru(u, v)us az rv(u, v)v vektorok fesztenek ki.Ennek terletvel kzeltjkr(P)felsznt. A paralelogramma terlete:

ru(u, v)u

rv(u, v)v

=

ru(u, v)

rv(u, v)

u

v.

Kiszmtjuk a vektorilis szorzatot. A paramtervonal rintok szgt jellje.

ru rv2 = ru2 rv2 sin2 == ru2 rv2 (1 cos2 ) =

= ru2 rv2 ru2 rv2 ru, rv2

ru2 rv2 == ru2 rv2 ru, rv2 =

=E

G

F2 =

E F

F G .(2.15)

A paramtertartomnyt tglalapokra bontva, a megfelelo rintopikkelyek terle-tnek sszege kzelti a fellet felsznt. A fentebbi gondolatmenet motivlja afelszn defincijt.

2.28. Definci. Legyenr : U R3 parametrizlt fellet,P Uterlettel ren-delkezo rszhalmaz.r(P)felszne alatt az

(2.16) A(P) =

P

EG F2

kettos integrlt rtjk.


47/92


2.9. bra. Gmbt krllelo henger

2.29. Plda(a gmb felszne). Szmtsuk ki az egysg sugar gmb felsznt afldrajzi paramterezs alapjn. A gmb elso alapmennyisgeit mr meghatroz-tuk,(EG F2)(u, v) = cos2(u),u [/2, /2].

A =

20

/2/2

cos u du

dv=

20

2 dv= 4.

2.30. Megjegyzs. A felsznt egy parametrizlt fellethez rendeltk hozz. Belehet ltni, hogy a felszngeometriai fogalom, azaz nem fgg a fellet paramte-rezstol.

A kvetkezo alkalmazshoz meg kell ismernnk a trkpszetben hasznlatoscilindrikus vettsfogalmt. Tekintsnk egy orig kzppont egysggmbt saz azt krllelo hengert: a henger vezrkre legyen a z= 1sk(0, 0, 1)k-zppont egysgkre, alkotirnya aztengely, magassga magassga kt egysg(2.9. bra). (Ez a henger az Egyenlto mentn rinti a gmbt.) Az szaki-sarktls a Dli-sarktl megfosztott gmb pontjait a ztengelyre meroleges vettssel k-pezzk le a hengerre.

2.31. Ttel(Arkhimdsz srfelirata). A cilindrikus vetts felszntart.

BIZONYTS. A gmb fldrajzi paramterezst hasznlvaEG F2 =cos u. A henger esetben a2.8. pldtl (36.oldal) eltroen az

r(u, v) = (cos v, sin v, sin u), u (/2, /2), v Rparamterezst hasznljuk, gy a cilindrikus vettsnl az egymsnak megfelelopontok paramterei megegyeznek: a paramtersk egy darabjnak a kpe a gm-bn s a hengeren pontosan a cilindrikus vettsben egymsnak megfelelo fellet-darabokat ad. Az ilyen mdon parametrizlt henger elso alapmennyisgeit kisz-mtva:

ru(u, v) = (0, 0, cos u)

rv(u, v) = ( sin v, cos v, 0),


48/92


azazE(u, v) = cos2 u, F(u, v) = 0, G(u, v) = 1.

gyEG F2 = cos u, csakgy, mint a gmb esetben. 2.32. Kvetkezmny. A gmb azonos magassg gmbveinek felszne meg-egyezik.

BIZONYTS. Arkhimdsz srfelirata alapjn a gmbv felszne 2rm,aholra gmb sugara,ma gmbv magassga.

Egyes forrsok szerint Arkhimdsz kvnsga az volt, hogy a srkvre egygmbt s a gmbt krllelo hengert vssenek. A felsznek arnyt Arkhim-dsz tudta, s erre a jelek szerint nagyon bszke volt.

A cilindrikus vettst (kicsinytssel komponlva) a trkpszetben olyan tr-kpek ksztsre hasznljk, mely a terletek arnyt a valsgnak megfeleloenadja vissza. Megjegyezzk, hogy a cilindrikus vetts elnevezst a trkpszet-ben a fentebb lertaktl ltalnosabb rtelemben hasznljk, a mi ltalunk trgyaltspecilis esetet pedig terlettart cilindrikus vettsnek nevezik.

2.33. Definci. Legyenr : U R3 parametrizlt fellet,X=r(U)s f: XR folytonos fggvny. Azffggvny felszn szerinti integrlja:

X

fdAr =

U

(f r)

EG F2 du dv.

Feladatok

2.15. Feladat. Szmtsuk ki az albbi msodrendu felletek elso alapmennyis-geit:a. r(u, v) = (au cos v,bu sin v, u2)(elliptikus paraboloid)b. r(u, v) = (au cosh v,bu sinh v, u2)(hiperbolikus paraboloid)c. r(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u)(ktkpenyu hiperboloid).

2.16. Feladat. Szmtsuk ki a forgsfellet (2.10.plda) elso alapmennyisgeit!

2.17. Feladat. Legyen a forgsfellet generl grbje vhossz-paramterezsu,(s)jellje azs paramteru pont tvolsgt a forgstengelytol (s [0, ]). Bizo-nytsuk be, hogy a forgsfellet felszne

2 0

(s) ds.

Szmtsuk ki a trusz felsznt ez alapjn!

2.18. Feladat. Szmtsuk ki a gmbi ktszg felsznt! A gmbi ktszget hat-rol kt gmbi fokr szge legyen, a gmb sugara pedig egysgnyi.

2.19. Feladat. Hatrozzuk meg az egysggmb hosszsgi kreit lland he-gyesszgben metszo felleti grbe (az n.loxodroma) paramteres elolltst!

2.20. Feladat. Bizonytsuk be, hogy a loxodroma valamely vnek a hossza ar-

nyos a vgpontok fldrajzi szlessgnek klnbsgvel.


49/92

2.5. A FELLET ELSO ALAPFORMJA 49

2.5. A fellet elso alapformja

2.34. Ttel. Legyenr : U R3

regulris parametrizlt fellet,p U. Azp : Tpr Tpr R, (Xp, Yp) p(Xp, Yp) = Xp, Yp

lekpezs szimmetrikus bilineris forma, az

Ip : Tpr R, Ip(Xp) =p(Xp, Xp)lekpezs pozitv definit kvadratikus forma.

BIZONYTS. ptulajdonsgai kvetkeznek a tr kanonikus skalris szorza-tnak megfelelo tulajdonsgaibl.Ippozitv definitsge:

Ip(Xp) =p(Xp, Xp) = Xp, Xp = Xp2 0sI

p(X

p) = 0

X

p= 0

X

p= 0.

2.35. Definci. Az

p : Tpr Tpr R, (Xp, Yp) p(Xp, Yp) = Xp, Ypszimmetrikus bilineris formt a felletppontbelielso alapformjnak, mg az

Ip : Tpr R, Ip(Xp) =p(Xp, Xp)pozitv definit kvadratikus formt a felletppontbelielso kvadratikus alapform-jnaknevezzk.

A defincibl rgtn kvetkezik az albbi ttel.

2.36. Ttel. A fellet elso alapformjnak (s gy az elso kvadratikus alapform-

jnak is) a mtrixa az(ru(p), rv(p))bzisbanE(p)F(p)F(p)G(p)

.

Az elso alapforma kiszmtsa az elobbi mtrixszal knnyen elvgezheto, v..(2.13). LegyenXp=x1ru(p) +x2rv(p),Yp=y1ru(p) +y2rv(p).

p(Xp, Yp) = Xp, Yp ==x1y1E(p) + (x1y2+x2y1)F(p) +x2y2G(p) =

= x1 x2E(p)F(p)F(p)G(p)

y1y2 .

(2.17)

Feladatok

2.21. Feladat. Egy parametrizlt felletetkonform paramterezsunekmondunk,ha elso alapformjnak mtrixa az(ru, rv)bzisban

(u, v)

1 00 1

.

Bizonytsuk be, hogy konform paramterezs esetn az(x1, y1)s(x2, y2)vekto-rok szge (a paramterskon) ugyanaz, mint az

(x1ru+y1rv), (x2ru+y2rv)

vektorok szge (az rintoskban).


50/92

2.6. AZ OSZKULL PARABOLOID . . . 50

2.22. Feladat. Bizonytsuk be, hogy ha az

r(, ) = 1

cosh (cos , sin , sinh )

paramterezsben elvgezzk a = v, = ln tg4

+ u2

, helyettestst, akkor

a gmb fldrajzi paramterezst kapjuk. (V. . a2.19. feladattal! A loxodromaegyenlete ebben a paramterezsben = tg +k, azaz a paramterskon aloxodromk egyenes szakaszok lesznek.) Ezt a paramterezst nevezzk a gmbn.Mercatorparamterezsnek. Bizonytsuk be, hogy a Mercator paramterezskonform paramterezs.


2.6. Az oszkull paraboloid, a fellet msodik alapmennyisgei

Legyen r : U R3 regulris fellet,p0 = (u0, v0) U. rjuk flrTaylor-sort a msodrendu tagokkal bezrlag!

(2.18)

r(u, v) =r(p0) +ru(p0)(u u0) +rv(p0)(v v0)++

1

2

ruu(p0)(u u0)2 + 2ruv(p0)(u u0)(v v0) +rvv(p0)(v v0)2

r : U R3 maga is egy fellet, amelyet az r oszkull paraboloidjnakneve-znk.u, v-ben (2.18) kvadratikus, gy az oszkull paraboloid egy msodrendu

fellet.Most hatrozzuk megr (p)elojeles tvolsgt az r(p0)-beli rintosktl. Az

elojel rtelmezshez az rintosk

(2.19) n(p0) = ru(p0)rv(p0)ru(p0)rv(p0)

norml-egysgvektort kitntetjk, s egy trbeli x pont elojeles tvolsga az rin-tosktl pozitv, ha a pont az elobbi normlvektor ltal kitntetett fltrben van,azaz x r(p0), n(p0) >0.

Felhasznlva, hogy ru(p0), n(p0) = 0s rv(p0), n(p0) = 0,

d(p) = r(p) r(p0), n(p0) ==

1

2

ruu(p0), n(p0)(u u0)2++2ruv(p0), n(p0)(u u0)(v v0) + rvv(p0), n(p0)(v v0)2

.

(2.20)

A2.20kifejezsben szereplo konstansokat a fellet msodik alapmennyisgeineknevezzk.

2.37. Definci. Azr : U R3 parametrizlt felletmsodik alapmennyisgeiap U pontban

Lp = ruu(p), n(p), Mp = ruv(p), n(p), Np = rvv(p), n(p),
http://mercator.pdf/http://mercator.pdf/


51/92

2.6. AZ OSZKULL PARABOLOID . . . 51

ahol

n(p) =

ru(p)

rv(p)

ru(p)rv(p) .Msodik alapmennyisgeknek nevezzk az

L : U R, p L(p) =LpM: U R, p M(p) =MpN: U R, p N(p) =Np

differencilhat fggvnyeket is.

(2.20) alapjn az oszkull paraboloid egyenlete az(r(p0), ru(p0), rv(p0), n(p0)) affin koordinta-rendszerben a msodik alap-

mennyisgekkel kifejezve

(2.21) =1

2

L2 + 2M +N 2

,

ahol a koordintkat( , , )jelli, s a msodik alapmennyisgek a p0pontbanrtendok.

2.38. Definci. Ha az oszkull paraboloidnak az rintoskkal prhuzamos, attl1

2tvolsgra lvo skmetszeteit vesszk, akkor az n.Dupin-indikatrixotkapjuk.

A Dupin-indikatrix msodrendu grbe. Az rintoskra vonatkoz merolegesvetletnek egyenlete az(r(p0), ru(p0), rv(p0))affin koordinta-rendszerben

(2.22) 1 =L2 + 2M +N 2.A (2.22) msodrendu grbe affin osztlyt megllapthatjuk a magmtrix determi-nnsa alapjn:

2.39. Ttel. A Dupin-indikatrix

a. konjuglt hiperbolapr, haLN M2 0.Aszerint, hogy az adott pontbeli Dupin-indikatrix milyen affin osztlyba tarto-

zik, a felleti pontothiperbolikusnak,parabolikusnakilletveelliptikusnakmond-juk.

Feladatok

2.23. Feladat. Bizonytsuk be, hogy

L=|ru, rv, ruu|

EG F2 , M= |ru, rv, ruv|

EG F2 , N= |ru, rv, rvv|

EG F2 .

2.24. Feladat. Hatrozzuk meg a forgsfellet (2.10. plda) msodik alapmennyi-sgeit, ahol a generl grbe vhossz-paramterezsu s x(s) > 0. (Ld. mg

a2.16.feladatot.)


52/92

2.7. A FORMAOPERTOR . . . 52

2.25. Feladat.Legyen a trusz generl grbje az x(s) =a+b cos

sb

, y(s) = 0,

z(s) = b sin sb vhossz-paramterezsu kr. Az elozo feladat alapjn szmtsukki a trusz msodik alapmennyisgeit!2.26. Feladat. Hatrozzuk meg az r(u, v) = (u,v,uv) nyeregfellet Dupin-indikatrixt az origban.

2.7. A fellet msodik alapformja s a formaopertor

Legyenr : U R3 regulris parametrizlt fellet, R3 orig kzppont egy-sggmbjt jelljeS2. Ekkor

n : U

S2, p

n(p) =

ru(p)rv(p)

ru(p)rv(p)differencilhat lekpezs.

2.40. Ttel. A dn(p) : R2 R3 (p U) lekpezs kptere a felletp ponthoztartoz rinto irnyskban van:Im dn(p) TpR.

BIZONYTS. Im dn(p) = L(nu(p), nv(p)). Az n(p), n(p) = 1egyenletetdifferencilva:

nu(p), n(p) + n(p), nu(p) = 0 = n(p), nu(p) = 0,hasonlann(p), nv(p) = 0. Ez azt jelenti, hogy nu(p), nv(p)az rinto irny-skban vannak, ami a kt vektor ltal kifesztett altrre ugyanezt a tulajdonsgotjelenti.

2.41. Definci. Legyenr : U R3 parametrizlt fellet. AWp : Tpr Tpr, Wp= dn(p) dr(p)1

lineris lekpezst a fellet p ponthoz tartoz formaopertornak vagyWeingarten-lekpezsneknevezzk, aholdr(p)1 R23 adr(p)mtrix egy ba-linverzt jelli.

Ap : Tpr Tpr R, (Xp, Yp) p(Xp, Yp)p(Xp, Yp) =

Wp(Xp), Yp

=

dn(p)

dr(p)1(Xp), Yp

bilineris formt a felletpponthoz tartozmsodik alapformjnaknevezzk.

2.42. Megjegyzs. Korbban (ld. 2.5. Megjegyzs) mr utaltunk arra, hogydr(p) R32 balinvertlhat. A balinverz ltalban nem egyrtelmu, viszont haB Rmn s C Rmn balinverzei egy A Rnm mtrixnak, akkor X Im A-raBX=C X. gy a formaopertor defincija fggetlendr(p)balinverznek v-lasztstl s nem okoz flrertst, ha a balinverz jellsre dr(p)1-t hasznljuk.Szmolsban

dr(p)(e1) =ru(p) = dr(p)1(ru(p)) =e1

dr(p)(e2) =rv(p) = dr(p)1

(rv(p)) =e2.

(2.23)


53/92


2.43. Plda (a gmb formaopertora). Orig kzppont egysggmb eset-ben n(p) =

r(p) (a fldrajzi paramterezsnl knnyen ellenorizheto), gy

dn(p) =dr(p). Jobbrl dr(p)balinverzvel szorozva kapjuk, hogy Wp = id,tehtp(Xp, Yp) = Xp, Yp.2.44. Ttel. A fellet p pontbeli msodik alapformjnak mtrixa az(ru(p), rv(p))bzisban

Lp MpMp Np

.

BIZONYTS. A (2.23) sszefggst s a msodik alapforma defincijt fel-hasznlva

p(ru(p), ru(p)) = dn(p)e1, ru(p) = nu(p), ru(p).A szorzat differencilsra vonatkoz szablyt alkalmazva, miveln, ru = 0,ezrt nu, ru + n, ruu = 0, ezrt

p(ru(p), ru(p)) = n(p), ruu(p) =Lp.Hasonlan, n, rv = 0 = nu, rv + n, rvu =nu, rv + n, ruv = 0,

teht

p(ru(p), rv(p)) = dn(p)e1, rv(p) = nu(p), rv(p) = n(p), ruv(p) =Mp.Analg szmolssal kapjuk, hogy

p(rv(p), ru(p)) =Mps p(rv(p), rv(p)) =Np.

2.45. Kvetkezmny. A msodik alapforma szimmetrikus, azazXp, Yp Tpr: (Xp, Yp) =(Yp, Xp).BIZONYTS. Elegendo arra utalni, hogy a msodik alapforma mtrixa az

(ru(p), rv(p))bzisban szimmetrikus.

Szimmetrikus bilineris forma kvadratikus formt szrmaztat:

2.46. Definci. Azr : U R3 parametrizlt fellet msodik kvadratikus alap-formjnap U pontban a

II : Tpr R, Xp IIp(Xp) =p(Xp, Yp)kvadratikus formt rtjk.

2.47. Ttel. A formaopertor szimmetrikus, azaz

Xp, Yp Tpr: Wp(Xp), Yp = Xp, Wp(Yp).BIZONYTS. A formaopertor defincijt s a2.45. kvetkezmnyt felhasz-

nlva:Wp(Xp), Yp =(Xp, Yp) =(Yp, Xp) = Xp, Wp(Yp).

2.48. Ttel. A parametrizlt fellet p pontbeli formaopertornak mtrixa az(ru(p), rv(p))bzisban

Ep Fp

Fp Gp1

Lp Mp

Mp Np .


54/92


BIZONYTS. A formaopertor defincija szerint

Wp(ru(p)) = nu(p)s

Wp(rv(p)) = nv(p).Meg kell keresnnkWp(ru(p)) =nu(p)s Wp(rv(p)) =nv(p)koordintitaz(ru(p), rv(p))bzisban. Jelljk a koordintkatwij-vel:

nu(p) =w11ru(p) +w21rv(p)(2.24)nv(p) =w12ru(p) +w22rv(p).(2.25)

A (2.24) egyenletetru(p)-vel srv(p)-vel skalrisan szorozva:

nu(p), ru(p) =w11Ep+w21Fpnu(p), rv(p) =w11Fp+w21Gp.

A2.44.ttel bizonytsban mr hasznltuk, hogy

nu(p), ru(p) = n(p), ruu(p) =Lpnu(p), rv(p) = n(p), ruv(p) =Mp,

azaz a keresettw11,w21egytthatkra az albbi lineris egyenletrendszert kapjuk:

Epw11+Fpw21 = Lp

Fpw11+Gpw21 = Mp,

vagy mtrix alakban:

Ep FpFp Gp

w11w21

=

LpMp

.

Az egyenletrendszer alapmtrixa az elso alapforma mtrixa, ami regulris, gyw11w21

=

Ep FpFp Gp

1LpMp

.

Hasonlan eljrva a (2.25) egyenlettel azt kapjuk, hogy:w12w22

=

Ep FpFp Gp

1MpNp

,

azaz

w11w12w21w22

=

Ep FpFp Gp

1

Lp MpMp Np

.

A (2.24)(2.25) egyenletektol csak a bal oldal elojelben klnbzo

nu = a11ru+a21rv

nv =a12ru+a22rv(2.26)

egyenleteket a fellet Weingarten-egyenleteineknevezzk. Az elozo bizonytsalapjn a Weingarten-egyenletekben szereploaijegytthatk kifejezhetok a fel-let elso s msodik alapmennyisgeivel:

a11=F M GL

EG F2 , a12 =F N GM

EG F2 ,

a21=

LF

EM

EG F2 , a22 =F M

EN

EG F2 .

(2.27)


55/92

2.8. A FELLET GRBLETE 55

Feladatok

2.27. Feladat. Tekintsk azr(u, v) = (cos u, sin u, v)egyenes krhengert. Hat-rozzuk meg adn lekpezs Jacobi-mtrixt! Mi adn lekpezs kptere? A Jacobi-mtrixot felhasznlva, definci alapjn, teht a 2.48.Ttelre trtno hivatkozsnlkl rjuk fl a formaopertor mtrixt a paramtervonal rintok alkotta bzis-ban!

2.28. Feladat. Tekintsk az

a. r(u, v) = (u,v,u2 v2)nyeregfelletetb. r(u, v) = (u,v,u2 +kv2), (k >0) paraboloidot.

Hatrozzuk meg a dnlekpezs Jacobi-mtrixt az origban! Ennek alapjn, adefinci szerint hatrozzuk meg a formaopertor mtrixt az origban a param-

tervonal rintok alkotta bzisban!wxMaximamunkalap: PDF


2.8. A fellet grblete

2.49. Ttel. Legyen r : U R3 regulris parametrizlt fellet, n = rurvrurv afelleti normlis. Legyen tovbbc : I U regulris parametrizlt grbe olyanmdon, hogy ac=r c : I R3 felleti grbe biregulris s termszetes para-mterezsu. Ennek Frenet-bzist jellje(T , F , B), grblett. Ekkor

(2.28) IIp(c(t)) =(t)n(p), F(t), aholp= c(t).

BIZONYTS. Vegyk figyelembe, hogydr(p)1

c(t)

=c(t), azaz

Wp(c(t)) = dn(p)c(t),

gy

IIp(c(t)) =p(c(t), c(t)) = dn(p)c(t), c(t) = (n c)(t), c(t).

Mivel n c, c = 0, ezrt a szorzat szably szerint differencilva:

(n

c), c

+

n

c, c

= 0,

gyIIp(c(t)) = n(p), c(t) = n(p), T(t) =(t)n(p), F(t),

az utols lpsben aT = FFrenet-formult alkalmazva. Az elozo llts kzvetlen kvetkezmnyeknt fogalmazhatjuk meg az albbi

ttelt.

2.50. Ttel (Meusnier-ttel). Jellje (t) [0, /2] a p-beli felleti norm-lis s a felleti grbe t paramterrtkhez tartoz simulskjnak szgt, azaz=

2 (n, B). Ekkor

| II(c(t))| =(t)cos (t).
http://formaop_nyereg.pdf/http://formaop_paraboloid.pdf/http://formaop_paraboloid.pdf/http://formaop_nyereg.pdf/


56/92


Amennyiben(t) =/2, akkor

(t) =|II(c(t))

|cos (t) .(t) = 0 esetn a felleti grbe simulskja tartalmazza a fellet adott pontbelinormlist s(t) = | II(c(t))|.2.51. Definci. Azr : U R3 parametrizlt felletp UpontbeliXp Tpr(Xp= 0) irnyhoz tartoznormlgrbletna

r(Xp) = II(X0p ) =

Wp(Xp), XpXp, Xp

szmot rtjk, aholX0p =Xp/Xp.

A (nem zr) normlgrblet abszolt rtknek geometriai jelentst Me-usnier ttele alapjn fogalmazhatjuk meg: az Xp rintovektor s az np felletinormlis ltal kifesztett sk a felletbol egy felleti grbt metsz ki, melynekgrbletep-ben ppen a normlgrblet abszolt rtke (2.10.bra).

n

2.10. bra. A henger normlmetszetei

A normlgrblet defincijbl addanr(t

Xp) =r(Xp), gy egy adottirnyhoz tartoz normlgrblet megllaptshoz elegendoXp-t az

S1pr= {Xp Tpr | Xp = 1}halmazbl (amely egy egysgkr) vlasztani. Az

S1pr R, Xp r(Xp)fggvny egy kompakt halmazon rtelmezett folytonos fggvny, amely flveszi(esetleg egybeeso) maximumt s minimumt.

2.52. Definci. AzS1pr R, Xpr(Xp)fggvny maximumt s minimu-mt a felletpponthoz tartozf ogrbleteineknevezzk, mg a hozzjuk tartoz

Xpirnyokatf oirnyokkntemltjk.


57/92


2.53. Ttel(Rodriguez-ttel). A fellet egyppontjhoz tartoz fogrbletek meg-egyeznek a p ponthoz tartoz formaopertor sajtrtkeivel, mg a foirnyok a

formaopertor sajtvektorai.

BIZONYTS. A foirny (mint szlsortkhely) a

r : Tpr R, Xp r(Xp) =Wp(Xp), XpXp, Xplekpezs kritikus pontja, azaz azXpszlsortkhelyend r(Xp) = 0.

d r(Xp) =2Wp(Xp)Xp, Xp 2Wp(Xp), XpXp

Xp, Xp2 =

=2Wp(Xp) 2r(Xp)Xp

Xp, Xp ,

a hnyados differencilsi szablyt s a3.9. differencilsi szablyt alkalmazva.A szmll zrus, gy

Wp(Xp) =r(Xp) Xp,amit bizonytani kellett.

Szimmetrikus opertor klnbzo sajtrtkeihez tartoz sajtvektorai egy-msra merolegesek. Alkalmazva ezt az lltst a formaopertorra, megfogalmaz-hatjuk, hogy klnbzo fogrbletekhez tartoz foirnyok egymsra merolege-sek. Ha a kt fogrblet azonos, akkor minden irny foirny, gy ismt vannakegymsra meroleges foirnyok.

2.54. Kvetkezmny. A fellet brmely pontjban van kt egymsra merolegesfoirny.

A foirnyok s fogrbletek segtsgvel a fellet minden p

görbék és felületek

Documents