gobernadora de la provincia de buenos aires director ... · los números que cotidianamente usamos...

GOBERNADORA DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRESLic. María Eugenia Vidal

DIRECTOR GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓNLic. Gabriel Sánchez Zinny

SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓNLic. Sergio Siciliano

SECRETARIO EJECUTIVO COPRETLic. Gustavo Álvarez

DIRECTORA DE FORMACIÓN PROFESIONALDra. Verónica Wahlberg

DIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOS Prof. Ing. Pedro Schiuma

SUBDIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOSProf. Juan Carlos Latini

Año de impresión: 2018RESOLUCIÓN DE CREACIÓN 711/17Aprueba el Programa Secundaria con Oficios

MANUAL OPERATIVO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE “SECUNDARIA CON OFICIOS”

Unidad 1: Lenguaje coloquial y lenguaje algebraico Apunte de clase: Lenguaje coloquial y lenguaje algebraico-1. Ampliación del campo numérico: naturales, enteros

• 1.1. Ampliación del campo numérico: racionales, irracionales-2. Lenguaje algebraico. Operaciones con expresiones algebraicas

• 2.1. Repasemos un poco-3. Algunos conceptos para tener en cuenta

• 3.1. Multiplicación• 3.2. División• 3.3. Cálculos combinados• 3.4. Ecuaciones e inecuaciones

Unidad 2: Sistemas de ecuaciones Apunte de clase: Sistemas de ecuaciones-1. Ecuaciones lineales o de primer grado

• 1.1. Ecuaciones lineales• 1.2. Sistemas de ecuaciones lineales• 1.3. Método analítico de resolución de sistemas de ecuaciones

-2. Método de igualación-3. Ecuaciones de segundo grado

Unidad 3: Polinomios Apunte de clase: Polinomios-1. Polinomios

• 1.1. Grado de un polinomio-2. Adición-3. Sustracción-4. Multiplicación-5. División-6. Funciones polinómicas

• 6.1. Función lineal• 6.2. Función cuadrática

Unidad 4: El espacio geométrico Apunte de clase: El espacio geométrico-1. El espacio geométrico-2. Estudio de las caras de los poliedros-3. Triángulos

• 3.1. Ángulos interiores de un triángulo-4. Teorema de Pitágoras

Bibliografía

3PROPUESTA DE TERMINALIDAD SECUNDARIA

PARA ESTUDIANTES DE FORMACIÓN PROFESIONAL MATEMÁTICA 1

Lenguaje coloquial y lenguaje algebraico

Apunte de clase: Lenguaje coloquial y lenguaje algebraico

UNIDAD 1

1. Ampliación del campo numérico: naturales, enteros

A lo largo de nuestros días usamos distintos lenguajes para comunicarnos, un mensaje de whatsapp, un audio, un icono, palabras escritas u orales, grafitis, gestos corporales… Podríamos decir que hay infinidad de manifestaciones para comunicarnos.

En matemática, también se usan distintas formas de expresión a través de lenguajes, símbolos, gráficos (casi como en la vida cotidiana), sólo hay que aprenderlos y decodificarlos.

Algunos de los lenguajes utilizados en matemática son:

Lenguaje coloquial, formado por las palabras que utilizamos para conversar. Por ejemplo:

“La mitad de un paquete de yerba.”“Comprando 2 latas, la segunda 70% menos.”“Miguel es dos años menor que Ileana.”“Hay que agrandar el molde de la camisa en un 5%.”“25 saquitos de té a $38.”

Lenguaje simbólico o algebraico, formado por los símbolos específicos de la matemática. Comienzan a aparecer letras junto con los números que indican incógnitas (aspectos que no se saben) y que, en general, queremos descubrir.

“3 n = 10” expresado en lenguaje coloquial, podría ser: “3 paquetes de fideos cuestan $10”

“J = P + 2” : “La edad de Juana es igual a la de Pablo más 2 años” o “Si a la edad de Pablo le agregamos 2 años obtenemos la edad de Juana”

Lenguaje gráfico, brinda mucha información en poco espacio. Por ejemplo:

Gráficos círculares

PROPUESTA DE TERMINALIDAD SECUNDARIA

PARA ESTUDIANTES DE FORMACIÓN PROFESIONAL 4

MATEMÁTICA 1

Gráficos de barras

Representaciones de ejes cartesianos

Ahora, repasemos los conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales.Los números que cotidianamente usamos para contar (3 cuadernos, 30 días,

5 minutos) forman el conjunto de números naturales (o enteros positivos) que se denomina con la letra N.

Algunas operaciones con estos números no dan por resultado otro número natural. Por ejemplo, si vamos de compras con $100 y gastamos $130, no nos alcanza para pagar, entonces o devolvemos parte de la compra o debemos $30. ¿Qué cuenta hicimos?

100 -130= - 30

El signo menos delante del 30 significa que es una deuda, es dinero que no tenemos para gastar.

Cuando la temperatura desciende por debajo de 0º suele indicarse anteponiendo un signo menos ( -5º).

Si quisiéramos representarlos en la recta numérica quedaría de la siguiente forma:

El subconjunto de números positivos, los negativos y el 0 que no lo incluímos en los subconjuntos anteriores pero es sumamente útil, forman el conjunto de números enteros, que se designa con la letra Z (del alemán Zahl, que significa número).



Recuerden que pueden consultarle a su tutor cualquier duda que tengan.1) En el recorrido desde su casa al trabajo o a la casa de un amigo ven números. ¿Qué indican los números que ven en el camino? ¿Podrían ordenarlos de alguna manera?. Recuerden que el orden lo asignan ustedes, sólo tienen que explicar en qué pensaron. ¿Qué criterio usaron para ordenarlos?2) Qué ocurre si multiplican un número entero por 0. ¿Por qué? Pueden usar la calculadora y resolver varios productos. 3) La temperatura ambiente en la provincia de Buenos Aires, en julio, oscila entre 12 ºC y - 5 ºC, y en enero van desde 33 ºC a 20 ºC. Ubicar dichas temperaturas en una recta numérica. (Pueden visitar: https://www.smartick.es/blog/matematicas/algebra/ubicar-numeros-la-recta-numerica/ para recordar cómo se representa una recta numérica y encontrar otras curiosidades.)

ACTIVIDAD 1»

1. 1. Ampliación del campo numérico: racionales, irracionales

Números racionales: es un conjunto que usamos muy a menudo. En varias oportunidades compramos 1/2 kg de yerba o 1/4 kg de café. Son números que indican una parte del todo (en estos casos una parte del kilo gramo), implican una división que, en algunas ocasiones, se puede escribir como número decimal (los que llevan coma 0,39 ; 15,90; etc.).

Los racionales son más conocidos como fracciones. En este conjunto se encuentran todos aquellos números que pueden expresarse como una fracción, es decir como un cociente entre números enteros. Al conjunto de tales números se lo designa con la letra Q (del inglés Quotient, que significa cociente). Dentro del conjunto de los números racionales se encuentran también los números enteros, pues pueden escribirse como una fracción de denominador 1. Sin embargo, por una cuestión de comodidad, el denominador 1 no se escribe.

En algunas ocasiones, los números racionales pueden expresarse también como decimales.

¿Cómo podemos hacerlo? Realizando la división entre el numerador y el denominador de la fracción, por ejemplo: 3/8 = 0,375. Decimos entonces, que la fracción 3/8 es equivalente a la expresión (o número) decimal 0,375.

Pueden usar la calculadora para descubrir otros ejemplos que se les ocurran.En el enlace encontrarán una explicación sencilla acerca de la configuración de la calculadora.“Consejos para configurar su calculadora casio 570ES/991ES/82ES”.https://www.youtube.com/watch?v=gQ3zZhDJtrk

VIDEO

Habrán experimentado que no siempre las divisiones dan cifras finitas como resultado (0,25; 23,457; etc.), sino que se repite un número 2,6767676767 infinitamente. A estos últimos los llamamos números con cifras periódicas.

Existen otros números que no pueden expresarse como fracción. Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten en ningún orden. Estos números forman parte del conjunto de los números irracionales.

Algunos ejemplos de números irracionales son el número π (Pi) o el número E (Euler), √2 y otros que podemos descubrir.

Los números racionales y los números irracionales forman un nuevo conjunto, llamado conjunto de los números reales, y al que se designa con la letra R.



Después de haber visto los videos y leído acerca de los irracionales, están en condiciones de responder: ¿A qué número se aproxima el número π? ¿Cuáles son los usos más frecuentes? Si tienen dudas pueden volver a ver el video o consultar con su tutor. ¿A cuál se aproxima el número √ 2 ? Pueden buscarlo en la calculadora.

ACTIVIDAD 2»

Para resumir, podríamos clasificar visualizando el siguiente cuadro:

Reales (R)

Fracciones con expresión decimal

periódica2/3 = 0,6.. 1/9 = 0,1...

Fracciones con expresión decimal

exacta1/2 = 0,5 - 2/5 = 0,4

Enteros positivos (Z+)o

Naturales (N)

Enteros negativos (Z-)-1 -2 -3 -4

0 (cero)

Enteros (Z)Fracciones con denominador 1

Irracionales (I)Infinitas cifras no

periódicas π √2 √3 I e

Racionales (Q)

2. Lenguaje algebraico. Operaciones con expresiones algebraicas

A las expresiones en las que se indican operaciones entre números y letras se las llama expresiones algebraicas. Las letras reciben el nombre de variables y pueden ser reemplazadas por distintos números.

Lean el enunciado que sigue y traten de resolverlo: Nicolás, Ivana y Matías son hermanos. Tienen entre los tres ahorrados $114. Nicolás

tiene $10 más que Ivana y $10 menos que Luis. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada uno?Seguramente habrán probado haciendo varias cuentas por aproximación, fueron

tanteando hasta llegar a las cantidades que cumplían las condiciones.Vamos a tratar de resolverlos juntos de la forma más económica en tiempo y energía

(que es la forma que la matemática considera como más correcta) usando un modo algebraico. Recuerden que las expresiones algebraicas usan letras que son las variables y números.



En el problema anterior, expresamos: N =Nicolás, I=Ivana y M= Matías y sabemos que N+I+M= $114. Hasta aquí no podríamos resolver nada, falta incluir datos, entonces sabemos que:

I= xN= x +10L = x +10+10x+x+10+x+10+10= 114 agrupando las x y los números, 3x+30 =114Despejando: 3x = 114-30 3x = 84 x = 84/3 x = 28

Reemplazando nuevamente:I= 28N= 28 + 10 = 38L= 28 + 10 +10 =48Corroboramos sumando las cantidades de cada hermano:28+38+48 = 114 que era la cantidad de dinero que efectivamente juntaron entre los 3.

Estas actividades les servirán para adquirir más facilidad con el manejo de expresiones algebraicas (contemplando siempre el conjunto Z):

a) Escriban los siguientes enunciados usando lenguaje algebraico: El doble de un número a. La tercera parte de un número c. El cuadrado de un número x. El anterior del cuadrado de un número n. El cuadrado del siguiente de un número d. El producto de un número a por su siguiente. La diferencia entre un número c y su consecutivo.

b)La edad de Pedro supera en 6 años a la edad de Martín. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones traducen esta situación? (p representa la edad de Pedro y m la de Martín). m = p + 6 m = p . 6 p – 6 = m p = m + 6 p – m = 6 m – p = 6

c)Unan cada una de las afirmaciones con su correspondiente expresión algebraica. El cuadrado de la suma de dos números a y b a3 – b3

El triple del anterior de un número c 3c – 1 El cuadrado de un número a disminuido en b unidades (a – b )3

El anterior del triple de un número c (a + b )2

La diferencia entre los cubos de dos números a y b 3 (c – 1) El cubo de la diferencia de dos números a y b a² - b

ACTIVIDAD 3»



Operaciones con expresiones algebraicasCada término de una expresión algebraica está formado por una parte numérica y una

parte literal. Por ejemplo: en la expresión 4a, 4 es la parte numérica y “a” es la parte literal. Cuando la parte literal no presenta ningún número escrito que la acompañe significa que dicho número es el 1. (Entonces: x = 1 x)

Se llaman términos semejantes a los que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: 5 b es semejante a 2 b, 3 x ² es semejante a 2 x ², 4 a b es semejante a 6 a b.

Suma y restaAl sumar y restar expresiones algebraicas sólo se pueden sumar o restar los términos

semejantes. Por ejemplo: 4b - 3 b = 1b 7 c+ 10c = 17c 2a + 3b – b + 4a = 6 a – 2b (no puede reducirse más ya que 6a no es semejante a 2b)

Propiedades: la suma y la resta de expresiones algebraicas cumplen con las mismas propiedades que la suma y resta de cualquier tipo de números. Por ejemplo:

Conmutativa: el orden en que se realiza la suma no altera el resultado.3b + 2b = 2b + 3b = 5b Distributiva del producto con respecto a la suma y la resta.3 ( x + 4b ) = 3x + 12b

Si tenemos que multiplicar un número por la suma de otros dos, podemos multiplicar primero cada uno de los números y luego sumar.

Uniforme: dada una igualdad, si se opera un número a ambos miembros, se obtiene otra igualdad.

a = b → a X c = b X c (3+ x = 12; si agregamos +2 en cada miembro, se mantiene la igualdad → 3 + X + 2 = 12 + 2)

Reducir cada grupo de operaciones a la menor expresión posible. Indicar, en cada caso, qué propiedades usaron para hacerlo.

a) 2 1 a - 3 b + 4 ( a – b ) = 3

b) 2 ab + 3 ( a – b ) + 4b – 5 ab =

c) x + x ² - 3 x + 4 x ² =

d) 3 x + 2 y – ( x + y ) =

d) 1 y - 1 x + 2 x= 3 4

ACTIVIDAD 4»



2. 1. Repasemos un poco

Clases de fracciones: 7 9 fracción propia porque el numerador es menor que el denominador, entonces es <1

3 2 fracción impropia porque el numerador es mayor que el denominador, entonces

es >1

42 fracción aparente porque al simplificar obtenemos un número natural (en este caso 2).

Algunas aparentes forman un número mixto formado por una parte entera y una fracción, por ejemplo 16 = 5 1 (5 enteros más un tercio).

3 3Fracción irreductible (fracción que no puede simplificarse), por ej.: El número 0,75

son 75 centésimos de la unidad, o dicho de otra forma, son 75 de las 100 partes en las que puedo dividir a la unidad. Por lo tanto podremos escribir , que mediante la simplificación (dividir por 25 numerador y denominador), obtendremos . Entonces

es la fracción irreductible de la expresión 0,75.

Dos fracciones son equivalentes cuando representan a una misma cantidad:

2 = 6 = 14 12 2 para obtener fracciones equivalentes multiplicamos o dividimos numerador

y denominador por el mismo número.Para pasar de 2 a 6 4 12multiplicamos 2 x 3 = 6 y 4 x 3 = 12 obteniendo 6 12

75100 3

434

Para comparar fracciones tenemos que hallar las equivalentes del mismo denominador y comparar los numeradores. En el caso de

3 4 72’ 2’ g’como las primeras tienen igual denominador no hay problemas pero cómo hacemos

para comparar 7 con las otras? 9Buscamos denominador común, en este caso: 18. Entonces quedarían:3 = 272 18 (porque si a 2 lo multiplicamos por 9 para obtener 18, a 3 lo multiplicamos por

el mismo número y obtenemos 27).Hacemos lo mismo con las otras y hallamos sus equivalentes:4 = 36 y 7 = 142 18 9 18

Por lo tanto quedarían ordenadas de la siguiente manera:4 > 3 > 7 porque 36 > 27 > 142 2 9 18 18 18

Las operaciones con racionales cumplen con las mismas propiedades que las vistas para enteros.



División de fracciones

Para dividir una fracción por otra fracción a por otra c b dse multiplica la primer fracción por la fracción inversa de la segunda (divisor).a : c = a . db d b c

Suma y resta de fracciones de distinto denominador

Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.Ejemplo: 4 + 1 + 1 = 24 + 10 + 15 + 49 5 3 2 30 30 30 30

m.c.m (5,3,2) = 30Entonces 30 será el denominador común

2 - 1 m.c.m (3,4) = 8 - 3 = 53 4 12 12 12

Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Usando mcm“Suma y resta de fracciones avanzado. - Aritmética - Educatina”.https://www.youtube.com/watch?v=YLSTMtppPBk Método de la mariposa“Suma y resta de fracciones con el truco de la mariposa”.https://www.youtube.com/watch?v=IIVBAhRR5yM Multiplicación“Ejemplo de producto de fracciones. - Aritmética - Educatina”.https://www.youtube.com/watch?v=Tpe45PYMk68 División“Ejemplo de división de fracciones. - Aritmética - Educatina”.https://www.youtube.com/watch?v=4RBadaN2Kc4

Cálculos combinados con fracciones“Operaciones combinadas de fracciones”.https://www.youtube.com/watch?v=FctEO0Bkr80

VIDEO

VIDEO



Fracción de un número enteroLa fracción de un entero es una parte de ese entero, equivale a multiplicar la fracción por el entero.

WEBPara profundizar el tema de fracciones, pueden visitar este sitio: “Operaciones con fracciones”.https://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_fracc.pdf

Por ejemplo: si vamos a cenar y gastamos $321 y pagamos la misma cantidad entre 3 personas. ¿Cuánto paga cada una? Dividimos 321 entre 3 y obtenemos 107, entonces cada uno pagará $107.

¿Qué operaciones hicimos? calculamos del total, es decir:1 321= 107 (dividimos 321 por 3)3Si uno de los comensales no tiene plata y otro asume el gasto, estaría pagando 2,

tendríamos que multiplicar 107 . 2 = 214 3

a) 9 + 13 - ( 4 + 2 ) = 2 2 2 2

b) 8 - ( 7 - 4 ) + 12 = 3 3 3 3

c) Un ciclista se entrenó durante tres horas. En la primera hora, recorrió los de un trayecto; en la segunda hora los del trayecto, y en la tercera hora del mismo trayecto. Calcular:

1) La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.2) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.3) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto total es de 450 km.

d) Un tanque contiene 120 l de agua. Primero, se sacaron de su contenido y después se sacó del agua que quedó.Calcular:

1) ¿Cuántos litros se sacaron en la primera extracción? Qué fracción quedó después de sacar Ios del contenido.

2) La fracción de contenido que quedó después de sacar del agua que quedaba.3) Los Iitros de agua que quedaron en el tanque luego de ambas extracciones.

ACTIVIDAD 5»

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518

58

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3. Algunos conceptos para tener en cuenta

Aproximaciones: muchas veces aparecen ofertas como “2 latas de tomates por $21,99”. En realidad, lo que vamos a pagar son $22. Si tenemos que ir a una localidad que se encuentra a 9,8 km de donde nos encontramos, decimos que nos dirigimos a 10 km del lugar de origen. Estamos aproximando cantidades, a través de un número entero que es más fácil de recordar y de operar mentalmente. Sin embargo, hay ciertas reglas de aproximación a tener en cuenta:

1) Si la cifra a redondear es <5 entonces se aproxima al número menor, por ej.: 21,34 y aproximamos según los décimos obtenemos 21.

2) Si la cifra es 21,67 se transformaría en 22 porque el 6 es > que 5 se redondea (o aproxima) a un número mayor.

De esta forma nos damos cuenta de que algunas publicaciones de “ofertas” son algo engañosas.

Notación científica: la circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de 938.900.000 km. La masa de los océanos es de 1.350.000.000.000.000.000 toneladas. La estrella más cercana a la tierra (fuera del sol) está aproximadamente a 9.600.000.000.000 km. Y así podríamos dar varios ejemplos más, es fácil darse cuenta de que estas cantidades son muy difíciles de recordar (y de escribir para operar). Entonces, recurrimos a la notación científica, que consiste en usar las potencias de 10 para expresar la cifra. Veamos los ejemplos:

1) 938 9000 000 = 9389 x 106 (el exponente equivale a la cantidad de ceros del número que se quiere anotar con este tipo de notación).

2) 1.350.000.000.000.000.000 = 135 x 1016 también podemos expresarlo la primera cifra como número decimal , por ej.: 13,5 x 1017.

3) 9.600.000.000.000 = 96 x 1011 o como decimal 9,6 x 1012.

Multiplicar números decimales por 10, 100, 1000…Cuando queremos multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000 u otro de la familia, el modo más sencillo de resolverlo es mover la coma del decimal a la derecha tantas posiciones como ceros tenga el número.Por ejemplo: 3,154 x 100= Como el 100 tiene dos ceros moveremos la coma dos posiciones a la derecha. Por lo tanto, el resultado es 315,4

Dividir números decimales por 10, 100, 1000…Al dividir un número decimal por 10, 100, 1000 podemos resolverlo sencillamente moviendo la coma del decimal a la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el número.Por ejemplo: 84,2 : 10= Como el 10 tiene un cero moveremos la coma una posición a la izquierda. Por lo tanto, el resultado queda 8,42

En algunos casos, podés encontrar números elevado a un exponente negativo, por ej.: 10-5.

Cuando un número está elevado a un exponente negativo se halla la potencia indicada (en positivo) del inverso multiplicativo de la base. En el ejemplo dado: 10-5 equivale a decir 1 5

10( )



a) Escribir en notación científica los siguientes números:1) El diámetro de la tierra es de: 12.700 km2) El diámetro de un determinado tipo de virus es de 0,00000063 m.3) La galaxia de Andrómeda se encuentra a aproximadamente 2.000.000 años luz.4) Un átomo de oxígeno pesa 0,0000000000000000000000266 gramos.

b) Ordenar de menor a mayor los siguientes números.3,7 x 10-5; 2,6 x 103 ; 3,5 x 10-4 ; 1,2 x 102

5 x 10-4 ; 1,25 x 108 ; 1,25 x 109

ACTIVIDAD 6»

Recuerden que la potenciación es una multiplicación “abreviada” de un mismo número.

Las bacterias miden alrededor de 0,000001 m, los virus miden 0,00000002 m de ancho aproximadamente.

Cuando se quiere expresar en notación científica números pequeños menores que 1 que tienen una gran cantidad de cifras se utilizan las potencias de 10 con exponente negativo.

Por ej.: Bacterias : 1 x 10-6 Virus 2 x 10-8

3. 1. Multiplicación

Al multiplicar expresiones algebraicas se multiplican las partes numéricas y en las partes literales se aplica la propiedad del producto de potencias de igual base.

Por ej: a . a . a = a3 (4 . 4 . 4 = 43)

Producto de potencias de igual base:a . a2 = a . a . a = a3 la base es “a”, al no tener exponente escrito, asumimos que

es 1 + 2 del segundo factor nos da la sumatoria de exponentes 3 siendo la misma base.a . a2. a5 = a1 + 2 + 5 = a8 Cuando se multiplican potencias de igual base, se obtiene una potencia con la

misma base y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados.Ejemplos:3. 2 x . 4 x2 = 3.2.4.x 1 +2 = 24 x3

2 a ² . 3 b3. 4 a b = 2. 3. 4 . a 2 + 1 . b3 + 1 = 24 a3 b4

En la multiplicación de enteros: Si los dos números tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si los números tienen signo distinto, el producto es negativo. Un número entero por 0 es igual a 0.



Resolver: a) 3 b . 4 a4. 5 a b² =b) 4 x . 2 x² =c) 5 xy . 4 x²y =d) - 3 a . 2 ab. ( - 3b² )= (Recordá la regla de los signos)e) x + 2 x =f) x . 2x =g) x . x . x . x + 2 x². x² + 5 x . x3 =h) b + 2 b + b²i) 4x ( 2 – 3 x + x ) =

ACTIVIDAD 7»

3. 2. División

La división exacta es la operación inversa a la multiplicación y la opuesta a la potenciación es la radicación.

Sabemos que: 22 = 2 . 2 = 4 → √4 = 2√x se lee raíz cuadrada de x (siendo x el número del que queremos saber su raíz).3√V raíz cúbica o tercera de v, por ej: 3√8 = 2 porque 23 = 8.

Ya hicimos un repaso de las distintas operaciones en los diferentes conjuntos numéricos y recordamos algunas propiedades. Seguimos incluyendo a todas las operaciones y llegamos a: Cálculos combinados.

3. 3. Cálculos combinados

Primero se resuelven, potencias, raíces, productos y cocientes y por último las sumas y restas. Otros separadores son: paréntesis, corchetes y llaves, que se resuelven en ese orden.

20:5 + (23-3).4 - 8 =

1) Separamos en términos, hay que tener en cuenta las adiciones y sustracciones que están entre paréntesis:

2) Se resuelven las operaciones que aparecen en cada término empezando Si hay un paréntesis lo resolvemos Raíces y potenciales Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas3) Con los resultados obtenidos en cada término, continuamos resolviendo

multiplicaciones y divisiones. 4) Finalmente se resuelven las sumas y restas.

Si compramos 3 latas de tomates a $23,50 cada una; 2 paquetes de rollo de cocina a $18,75 c/u, jabón blanco a $15,55 y 1 botella de aceite a $54,30 y pagamos con $200. ¿Cuál es el gasto total? ¿Cuál es el vuelto que recibiríamos?



Plantear un cálculo combinado para cada situación, resolverlo y responder lo que se pregunta.a) Para presenciar un espectáculo, una familia paga 2 entradas para mayores de $58 cada una y 4 entradas para menores de $30 cada una. ¿Cuánto gastó por las entradas?b) Un señor compra 4 latas de pintura a $250 cada una, 3 pinceles a $88 cada uno y 2 espátulas a $40 cada una. Por la compra la hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto debe abonar?c) Un buzo se encuentra en el mar a 20 metros de profundidad. Desde ese lugar realiza 3 descensos de 8 m cada uno, haciendo una pausa entre cada uno para aclimatarse a la presión del agua. ¿A qué profundidad llega al final de los descensos? ¿Los números que utiliza en esta situación son naturales?d) Un tanque de agua de 750 l de capacidad, está lleno en una tercera parte. Se extraen 8 baldes de 12 litros cada uno, ¿con cuántos l queda el tanque?

ACTIVIDAD 8»

¿Qué cuentas hicieron para resolverlo? Seguramente coincidamos en que fue necesario hacer varios cálculos para llegar al resultado. Hay varias opciones, una de ellas puede ser, para la primera pregunta:

Sumamos todo lo que compramos:3 . 23,50 + 2. 18,75 + 15,55 + 54,30 =70,5 + 37,50 + 15,55 + 54,30= 177,85 Para saber cuál es el vuelto, restamos 200-177,85 = 22,15

Entonces, el gasto total es de $177,85 y el vuelto de $22,15.Podríamos haber planteado un sólo cálculo:200 - (3. 23,50 + 2. 18,75 + 15,55 + 54,30) = 22,15200 - 177,85 = 22,15

Como verán, combinamos resta, producto, suma... Por eso llamamos cálculo combinado a este tipo de operaciones. Si hubiera corchetes y paréntesis, se resuelve primero lo que está dentro de los () y luego lo de [].

a) 4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8) =b) [(17 − 15) . 3 + (7 − 12) . 2 ] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =c) (3 − 8) + [5 − (−2)] = [(−2) 5 − (−3) 3]d) [(5. 1 + 12.0,6). √9] + 18 + 2,4 = 3 9

ACTIVIDAD 9»Resolver estos cálculos. Recuerden separar en términos para facilitar su resolución: https://www.youtube.com/watch?v=J-1ksBUUQE8



3. 4. Ecuaciones e inecuaciones

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que contienen una igualdad, en cambio, las inecuaciones presentan una desigualdad. Pueden contener una o más variables. Cada letra distinta indica una variable.

Algunos ejemplos de ecuaciones son:1) x² = 9 2) 2x = 83) 2 ( x + 1 ) = 4 x4) 3 x + 2 y = 55) S = b. h / 26) 4 = x + 1 7) a+1 = a + 2

Y algunos de inecuaciones: 5x + 3 < 6 x - 8 2 x + 1 > 5Algunas inecuaciones pueden tener el signo < que significa menor o igual, o > cuyo

significado es mayor o igual. En las inecuaciones pueden encontrar más de un número que sirva de solución. Luego veremos la forma de resolver todos los casos.

Vamos a resolver ecuaciones e inecuaciones:Habíamos dicho que si operamos un mismo número en ambos miembros de la

igualdad, esa igualdad se mantenía. Es la aplicación de la ley cancelativa. Por ej.:4.x = 8 → 4.x = 8 al dividir ambos miembros por 2, la igualdad se mantiene. 2 2Encontrar un valor para x significa lograr que quede sola antes o después del signo

igual, es decir que en uno de los miembros queden expresados los cálculos que deben realizarse para hallar el valor de la incógnita. Para ello deben ejecutarse una serie de pasos algebraicos, garantizando que en todos ellos se mantenga la igualdad. Por ejemplo:

x + 12 = 30

En este caso trataremos de lograr que la x quede “sola” en el primer miembro. Para ello tenemos que tratar de sacar de allí el 12 que está sumando; la forma de hacerlo es restarle 12 (para que quede 0 al hacer la cuenta), pero como hay que mantener la igualdad debe restársele a ambos miembros de la igualdad 12. Así se tiene:

x + 12 - 12 = 30 - 12 x + 0 = 18x = 18, que es la solución, la única solución posibleEfectivamente 18 + 12 = 30

Analicemos otro caso:x² = 9Resolvemos: el cuadrado de x se cancela con la operación inversa que es la raíz

cuadrada:x=√9 → x = 3 o -3 porque 32= 9 y -32 = 9 entonces tenemos dos soluciones correctas.S = 3.-3 es el conjunto solución



El conjunto de todos los valores que pueden tomar las variables de modo tal que la igualdad resulte verdadera recibe el nombre de conjunto solución.

WEB

WEB

Pueden ejercitar con las actividades propuestas en este sitio:https://es.educaplay.com/es/recursoseducativos/3582917/cual_es_la_solucion.htm

El conjunto solución también es llamado intervalo, vamos a detenernos más adelante en la clasificación de intervalos pero pueden visitar y comenzar a ejercitar este tema.http://www.educa3d.com/ud/int-bas/story_html5.html

También pueden ver:“Resolver una ecuación y verificarla - Álgebra - Educatina”.https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=49DnVrKTIs Y este otro que es más interesante porque trata de ecuaciones con más operaciones: “Ecuaciones simples y verificación”.https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=GcvXlzTjZE0

VIDEO

Para resolver inecuaciones procedemos de la misma forma teniendo en cuenta que siempre el conjunto de soluciones estará formado por más de un elemento.

x + 38 > 99

Restamos 38 en ambos miembros:x + 38 -38 > 99 - 38x > 61 entonces podemos elegir cualquier valor para x que sea mayor que 61.S= x/x>61 → se lee: x tal que x sea mayor que 61 (siendo x un número cualquiera).Probemos con 62→ 62 + 38 > 99 100 >99

¿Qué ocurre cuando tenemos la misma incógnita en ambos miembros?Por ejemplo: 5 (3+x) > 8 x -2 para resolver el primer miembro usamos la propiedad

distributiva(5 . 3) + 5 x > 8 x - 215 + 5 x > 8 x - 2 cuando ya tenemos lo que se puede resolver en cada miembro,

se agrupan las incógnitas en el mismo miembro. Como ya sabemos por la propiedad cancelativa que si operamos el mismo número a ambos lados de la desigualdad, la misma se mantiene, entonces abreviamos:

15 + 2 > 8 x - 5 x en vez de escribir: +2 en ambos miembros y cancelar en el segundo.17 > 3 x por la misma razón, el 3 se transforma en divisor en el primer miembro.



> x verificamos con (podés hacerlo con cualquier número que cumpla la condición de ser < que )

Reemplazamos en la inecuación original:(5 . 3) + 5 x > 8 x - 2(5 . 3 ) + 5 . 15 > 8 . 15 -2 3 3

15 + 25 > 40 - 240 > 38 vemos que se cumple la condición.

Encontrar los valores posibles para x (expresarlo como conjunto solución) y verificar con alguno de los valores posibles.a) x - 30 > 10b) x - 30 < 10c) 39 + 3 .x > 45d) 3 ( x – 1 ) + 2 > 5 x – 2e) Hallar los valores de x para un rectángulo en el cual la base es mayor que la altura.

ACTIVIDAD 10»

b=x+50

h=3x+10

f) Adriana dispone de $50 para comprarse ropa. No le alcanza para comprarse dos pantalones, pero si compra dos remeras del mismo precio y un pantalón que cuesta $29 le sobra. ¿Cuál puede ser, como máximo, el precio de cada remera?g) Roberto trabaja como personal de maestranza en una editorial. Tiene que bajar paquetes con libros en un montacargas en el que puede cargar hasta 500 kg. Sabiendo que Roberto pesa 85 kg. y que cada paquete de libros pesa 25 kg., ¿cuántos paquetes puede bajar en cada viaje?

Alterados por Pi Matemática- Canal Encuentro“El número Pi- Adrián Paenza”.https://www.youtube.com/watch?v=3Gdjkz60ON4

VIDEO

173

153 17

3

RECOMENDADO



1. Ecuaciones lineales o de primer grado

Ya vimos en la unidad 1 el significado del concepto de ecuación y su resolución. ¿Aprovechamos para repasarlo?

Una ecuación es una igualdad en la que hay que hallar el valor de una incógnita.Leamos el siguiente enunciado:Para presenciar un espectáculo teatral, las entradas costaban $15 para los mayores y

$10 para los menores. Un día determinado se recaudaron $4.500. Con esta información, ¿es posible saber, exactamente, cuántos mayores y cuántos menores asistieron ese día? ¿Tendremos varias soluciones posibles?

Veamos... Si lo escribimos como una ecuación, tendríamos:15 x + 10 y = 4.500 es decir; las entradas de mayores, sumadas a las de menores nos

da una recaudación de $4.500.Para poder encontrar las respuestas posibles, vamos a trabajar con una variable y

despejar la otra. Empezamos despejando y (dejamos a y sola en el primer miembro).15 x + 10 y = 4 500 10 y = 4 500 - 15 x y = (4500-15x)/10 usando la prop distributiva, quedaría y = 450 - 1,5 x

Vayamos asignándole valores a una de las incógnitas, en este caso la x, y calculemos cuánto debe valer la y. Sólo podemos asignar a x números naturales pues x representa cantidad de personas. Armamos una tabla con dichos valores (que elegimos como queremos).

Por ej. si x= 30 → 15. 30 + 10 y = 4500 450 + 10 y = 4500 10 y = 4500-450 y = 4050/10 y = 405

Sistemas de ecuaciones

Apunte de clase: Sistemas de ecuaciones

UNIDAD 2

x

30

200

100

150

y

450

150

300

225

Verificación

y=450-1,5.30→450-45=405

y=450-1,5.200→450-300=150

y=450-1,5.100→450-150=300

y=450-1,5.150→450-225=225



Los pares (30; 405), (100; 300), (200; 150), (150; 225) son algunos de los pares que son solución de la ecuación planteada.

Entonces, podemos decir que si se vendieron 30 entradas de mayores, se vendieron 405 de menores, para 100 de mayores, 300 para menores y así sucesivamente.

Ahora probemos qué sucede si le asignamos valores a la variable y.Usemos el 150 que tenemos en la tabla para valores de y.15 . x + 10 . 150 = 450015 . x + 1500 = 4500x = ( 4500 - 1500) / 15 200x = 200 se verifica nuevamente lo calculado en la tabla.

Por lo que vemos, podemos deducir que: a medida que aumenta la cantidad de entradas de mayores, disminuyen las de menores.

Los pares que representan los puntos se llaman pares ordenados, cada número dentro del () equivale a una x y a su respectiva y. Es decir: la primera componente corresponde al eje x y la segunda componente al eje y →(x ; y)

Recuerden que en los ejes cartesianos, el horizontal corresponde a las x y el vertical a las y.

Como hablamos en la unidad anterior, los gráficos son un lenguaje y como tal, transmiten variada información.Según qué letra se le asigne a cada variable se obtendrán diferentes expresiones para trabajar pero esto no cambiará la respuesta del problema pues cuando se interpreten las soluciones se lo hará teniendo en cuenta el significado que, previamente, le hemos dado a cada letra.

Para resumir: Las expresiones que planteamos hasta ahora corresponden a ecuaciones de primer grado con dos incógnitas porque el máximo exponente de todas es 1. Luego, veremos ecuaciones de segundo grado o con exponente 2. Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tienen más de una solución posible. La cantidad de soluciones será finita o infinita, dependiendo del contexto del problema a resolver, o sea del campo numérico con el que se trabaje y de las restricciones del problema. Cuando representamos las soluciones en un sistema de ejes cartesianos, los puntos siempre quedan alineados.



Resolver estas actividades que les servirán para afianzar el tema.1) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 2) La diferencia entre dos números es igual a 14. ¿Cuáles pueden ser esos números? Escribir 5 pares.

ACTIVIDAD 11»

1. 1. Ecuaciones lineales

Como resumimos, las ecuaciones lineales (de primer grado) son representadas en los ejes cartesianos mediante una recta. Todas tienen la forma:

y = ax+ba y b son números reales.x e y son las variables.Decimos que el término b es la ordenada al origen porque es el punto por donde

pasará la recta en el eje Y (vertical) y el término a es la pendiente por donde pasa la recta. En el caso:

y = 3 x +13 equivale a la pendiente, 1 es por donde pasará la recta en el eje de las ordenadas

(y), el eje de las abscisas es el horizontal o (x) . En un par ordenado, primero se nombra la abscisa y luego la ordenada, por eso el término b es el llamado de “ordenada al origen”.

Veamos el gráfico: la recta pasa por el 1 en el eje Y (ordenada). Cuando Y toma el valor 1, x es 0, por lo tanto el par ordenado sería (0;1).

Otro par representado por la recta es el (1 ; 4) es decir, cuando x = 1 → y = 4Si reemplazamos en la ecuación original, tenemos:

y= 3.1+1 → y= 3+1; y = 4 → comprobamos analíticamente lo comunicado por la recta.¿Qué otros pares podes visualizar en el gráfico? Escriban algunos.Podemos armar la tabla:



x

10

-1

y

41

-2

1. 2. Sistemas de ecuaciones lineales

Si tenemos más de una ecuación que deben resolverse simultáneamente, decimos que éstas forman un sistema de ecuaciones. Si todas las ecuaciones que forman parte del sistema son ecuaciones lineales (aquellas cuya representación gráfica es una recta) se tiene un sistema de ecuaciones lineales.

Volvamos al problema de las entradas de mayores a $15 y menores a $10 sabiendo que un día se recaudaron $4.500. Nos informan que ese día asistieron al teatro 400 personas. ¿Podemos ahora saber con exactitud cuántos mayores y cuántos menores asistieron?

Tenemos ahora una nueva información. ¿Será posible encontrar algún par ordenado de números que satisfaga simultáneamente la información del problema 1 y esta nueva información?

Planteando en forma de ecuación esta nueva información obtenemos que: x + y = 400Despejando y = 400 - xDándole valores a x, obtenemos los correspondientes valores de y. Por ejemplo:x = 50 → y = 350x = 100 → y = 300x = 200 → y = 200

Vemos que el par ordenado (100; 300) era una de las soluciones de la ecuación y = 450–1,5x (cumplía con las condiciones del problema 1). También es una de las soluciones de la ecuación x + y = 400 (Cumple con la nueva condición). Decimos entonces que el par ordenado (100; 300) es solución del sistema de ecuaciones lineales:

y=450-1,5 x x+y=400

Gráficamente:

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones es el punto en el cual se cortan las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema.

En este caso, el punto (100;300)



1. 3. Método analítico de resolución de sistemas de ecuaciones

Hasta ahora vimos dos formas de resolver un sistema de ecuaciones: Trabajar por separado con cada una de las ecuaciones, buscando soluciones para

cada una de ellas hasta encontrar una solución que satisfaga a ambas. Es decir, un par ordenado que se encuentre como posibilidad en ambas.

Graficar ambas ecuaciones y buscar el punto donde se cortan las rectas que las representan.

Ambos métodos pueden resultar bastante complejos en cuanto a la inversión de tiempo hasta encontrar la solución, por eso, existe un método analítico mucho más sencillo. Vamos a verlo:

Tenemos que encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, o sea de encontrar el par que verifica simultáneamente ambas ecuaciones, para eso vamos a trabajar algebraicamente.

En el caso que veníamos trabajando:y = 450 – 1, 5 x (1)x + y = 400 (2)Se trata de encontrar los valores de x e y que verifican simultáneamente ambas

igualdades.Método de sustitución: se trata de reemplazar un valor por otro equivalente dentro

del sistema. Orservando la ecuación (2) podríamos reemplazar y por su equivalente en la ecuación (1).

x + 450 – 1,5 x = 400x + y = 400Se obtiene, de este modo, una ecuación con una sola incógnita.Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de x.x – 1,5 x = 400 – 450- 0,5 x = - 50x = - 50/ (-0,5)x = 100Una vez obtenido el valor de x, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones que

forman el sistema y obtenemos el correspondiente valor de y.100 + y = 400y = 400 – 100y = 300Decimos que el conjunto solución de nuestro sistema es el par (100; 300).

Pueden ver este video antes de realizar las actividades:“Sistema de ecuaciones de 2x2 método de sustitución”.https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=s8kcVKLNDSk

VIDEO

Resolver por el método de sustitución estos sistemas de ecuaciones. Recuerden que pueden consultar a su tutor las veces que necesiten.a) x + 6y = 27 7x - 3y = 9b) -3x + 4 y = -24 5x + 7 y = -1c) 2x + y = - 10 x - 3y = 2

ACTIVIDAD 12»



Los invito a ver el siguiente video que puede ayudarlos a afianzar el tema:“Sistema de ecuaciones de 2x2 método de igualación ejemplo 2”.https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=2S_xytDtaBA

VIDEO

Observando el gráfico, determinar: 3 pares ordenados para cada ecuación. El par solución del sistema.

ACTIVIDAD 13»

2. Método de igualación

En este método vamos a igualar ambas ecuaciones que forman el sistema. Volvemos al ejemplo que venimos trabajando:

y = 450 – 1, 5 x (1) x + y = 400 (2)

Despejamos de ambas, la misma variable, en este caso despejamos y, tenemos entonces:

y = 450 - 1,5 xy = 400 - xArmamos la igualdad con los segundos miembros de cada ecuación:450 - 1,5 x = 400 - x despejamos x pasándolas al mismo miembro-1,5 x + x = 400-450-0,5 x = -50x = -50/ (-0,5)x = 100 ya tenemos el valor de xUsamos el valor hallado para encontrar el de y.y = 450 - 1,5 . 100y = 450 -150y = 300Volvemos a hallar el mismo par (100; 300) como resultado del sistema.



3. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, su parte literal es x2

Este tipo de ecuaciones tienen la forma:y= ax2 + bx + c siendo a, b, y c números cualesquiera.Como la ecuación es de grado 2, tenemos, como máximo, 2 soluciones posibles,

llamadas raíces.Para hallar el valor de x usamos una fórmula, que es la siguiente:x = -b + √b2-4ac 2a

Esta fórmula se conoce como fórmula cuadrática o resolvente y sirve para calcular el valor de las raíces de una ecuación de segundo grado. Veamos un ejemplo. Si tenemos la ecuación x 2 + x − 2 = y, encontremos las raíces.

Siendo a=1, b=1 c=-2Reemplazamos en la fórmula cuadrática:x=-b+√b2-4ac=-1+√12-4.1(-2)=-1+√1+8=-1+√9=-1+3= -1+3=1 2a 2.1 2 2 2 2 -1-3=-2 2

Tenemos, entonces que los valores posibles para x son 1 y -2.Reemplazamos x con uno de los valores y calculamos y.y = x2 + x − 2y = 12 + 1 -2y = 1+1-2y = 0

Usamos el otro valor hallado, -2y = -22 +(-2) -2y = 4 - 4y = 0

Con ambas raíces, llegamos al mismo resultado y = 0.Seguramente te darás cuenta de que el gráfico no es una recta, porque hay dos pares

en los cuales y = 0 (1;0) y (-2;0)Este tipo de gráfico se denomina parábola y es el que te muestro a continuación.



Este tema lo desarrollaremos con más profundidad en la unidad siguiente.



1. Polinomios

Su significado viene de la conjunción de las palabras “poli” (muchos) y “nomios” (términos); y sus expresiones son del tipo:

f(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a1x1 + a0x

0

donde el coeficiente a es distinto de 0 (an ≠ 0).

1. 1. Grado de un polinomio

Es el mayor de los grados de las incógnitas que lo forman.

Polinomios

Apunte de clase: Polinomios

UNIDAD 3

Determinar el grado de los siguientes polinomios:

f(x) = 3x3 + 1 p(x) = 1g(x) = -x4 + 8x5 - 16 h(x) = -7 - x3 - 8x7

ACTIVIDAD 14»

2. Adición

Operaciones con polinomios: adiciónDados los polinomios P y Q, se llama suma de los mismos y se simboliza P + Q,

al polinomio cuyos términos son los de los polinomios dados, después de efectuar la suma de los semejantes si los hubiera.

Disposición práctica:Colocamos en columnas los términos semejantes de los polinomios sumandos. Esto

se debe a que vamos a sumar monomios semejantes.Ejemplo:P = 2x4 - 3x3 + 2x – 3

Q =

Los ubicamos, como ya dijimos, de manera que los términos semejantes queden encolumnados para poder sumarlos:

P = 23x4 - 3x3 + 2x - 3+ Q = -x4 +1/2x2 + 3/4 x + 1

P + Q = x4 -3x3 + 1/2x2 + 11/4 x - 2



3. Sustracción

Operaciones con polinomios: sustracciónSe llama diferencia entre P y Q, en ese orden, al polinomio que se obtiene sumando

a P el opuesto de Q.Se simboliza como P – Q = P + (-Q)Ejemplo:

P = 8x5 - 7x - 5Q = -x5 + 3x2 + 8x - 4Colocamos, como en el caso de la suma, los términos semejantes de cada polinomio

encolumnados:

P = 8x5 - 7x-5-Q = -x5 + 3x2 + 8x - 4

P - Q = 9x5 - 3x2 - 15x -1

4. Multiplicación

Operaciones con polinomios: multiplicaciónDados 2 polinomios P y Q, se llama producto de los mismos y se simboliza P.Q al

polinomio que se obtiene multiplicando cada término de uno de ellos por cada término del otro (se aplica propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición) y sumando los términos semejantes si los hubiera.

Ejemplo:P = 5x3 - 2x2 + x - 1Q = 3x2 + 7x

Disposición práctica:

5. División

Operaciones con polinomios: divisiónSi P y Q son dos polinomios y Q es no nulo (es decir Q ≠ 0), entonces existen y son

únicos dos polinomios C y R, tales que:P = Q.C + R

Grado de R < grado de Q o bien R es el polinomio nulo (cuando el resto es 0).P se denomina dividendo; Q es el divisor; C es el cociente y R es el resto.



Ejemplo de división:Queremos hacer la división del polinomio P por el polinomio Q:P = -2x2 + x3 + 2x - 1Q = 1 - x + x2

Para facilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera:1) Ordenamos según las potencias decrecientes de la variable, el dividendo y el divisor.

Se completa el polinomio dividendo.x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1

2) Dividimos el primer termino del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1 x

3) Multiplicamos este termino del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo parcial.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1+ -x3 + x2 - x x - x2 + x - 1

4) Reiteramos el procedimiento indicado en 2 y 3 hasta que el resto sea el polinomio nulo; o bien, un polinomio de grado menor que el del divisor.

x3 - 2x2 + 2x - 1 |x2 - x + 1+ -x3 + x2 - x x - 1 - x2 + x - 1+ x2 - x + 1 0

El cociente C = x - 1. El resto R es un polinomio nulo

Otro ejemplo:P = x3 + 1 + 2xQ = x2 - x

x3 + 0x2 + 2x + 1 |x2 - x + -x3 + x2 x + 1 x2 + 2x + 1+ -x2 + x 3x + 1

C = x + 1 R = 3x + 1

Podremos observar que el grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor.

Existe otro procedimiento llamado “regla de Ruffini”, que permite obtener los coeficientes del cociente y del resto de la división entre un polinomio P(x) y un binomio Q(x) de la forma x + a de una manera más sencilla.



Ejemplo de aplicación:Queremos realizar la división entreP(x) = 3x3 + 2x2 + x - 8Q(x) = x + 1

1) En una fila escribimos los coeficientes del dividendo completo según las potencias decrecientes de la variable.

3 2 1 -8 (3x3 + 2x2 + 1x - 8)2) Trazamos una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el

opuesto del término independiente del divisor (en este caso x + 1, el opuesto será -1)3) Debajo de la cruz obtenemos los coeficientes del cociente, el primero de los cuales

es el primero del dividendo.

4) Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando al anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo y sumando este producto (que se coloca en la segunda fila), al correspondiente coeficiente de la primera fila. Así:

5) El último número obtenido es el resto.Entonces: C = 3x2 - x + 2 R = - 10

Otro ejemplo:P(x) = -x4 + 16Q(x) = x - 2

C = -x3 - 2x2 - 4x - 8 R = nulo

Para afianzar el tema pueden ver: “División por Ruffini - División de Polinomios”https://www.youtube.com/watch?v=5CDZEfaU0Kg

VIDEO



Sean los polinomios

P(x) = x3 - x2 + 4Q(x) = x2 - xH(x) = -x4 + 8x2 +16J(x) = x - 2

Realizar las siguientes operaciones:

P/Q P+H Q-J P/J H.J H.P

ACTIVIDAD 15»

6. Funciones polinómicas

Conceptos previosUna función es un polinomio que podemos representar gráficamente para expresar una

idea concreta, como por ej. el crecimiento de la población de una ciudad en base al tiempo, etc.

El dominio de una función corresponde a todos los valores de x que pertenezcan a la propia función.

La imagen son todos los valores de y que pertenecen al dominio de la función.Llamamos conjunto de positividad (C+) a todos los valores de x con los cuales la función

posee valores positivos de y.Llamamos conjunto de negatividad (C-) a todos los valores de x con los cuales la función

posee valores negativos de y.Llamamos conjunto de ceros (C0) a todos los valores de x con los cuales la función

posee valores nulos de y. Coincide con las raíces de la función.

Un ejemplo gráfico sería el siguiente:

El dominio de la función son todos los números reales (ya que la función es una recta infinita para ambos sentidos).

La imagen de la función son todos los números reales.El conjunto de negatividad se encuentra marcado en rojo y se expresa analíticamente

como (- ∞; - 4) (desde el menos infinito hasta el -4).El conjunto de positividad se encuentra marcado en azul y se expresa analíticamente

como (- 4; + ∞) (desde el - 4 hasta el más infinito).El conjunto de ceros está compuesto solamente por el -4.



Determinar el dominio, imagen, C+, C- y C0 de los siguientes gráficos (cada línea representa una función):

ACTIVIDAD 16»

6. 1. Función lineal

Su fórmula está dada por un polinomio de grado 1.

f(x) = ax + b Donde a no puede ser igual a 0 (a ≠ 0)

Su representación gráfica es una recta.El coeficiente principal (que acompaña a la x) se llama pendiente.

Si a > 0 la función “crece” de izquierda a derecha:



Si a < 0 la función “decrece” de izquierda a derecha:

La pendiente (inclinación que posee la recta) está dada por la fórmula:

Ejemplo de aplicación:Tomando 2 puntos cualesquiera A (Xi ; Yi) y B (Xf ; Yf) y aplicando la fórmula antes

mencionada obtenemos que:

2 será la pendiente de la función:



En el modelo: f(x)= ax + b

El término independiente b se llama ordenada al origen y representa el punto donde la recta corta al eje y. Para obtener analíticamente este valor procedemos a “darle valor 0 a la x”, ej. :

f(x) = 9x - 8f(0) = 9.0 - 8f(0) = - 8 Es decir que la recta cortará al eje y en el valor -8; o bien en el punto

(0;-8)Para calcular por donde la recta corte al eje x (también llamadas raíces, o ceros de

la función), procedemos a igual la función a 0, y despejar xf(x) = 9x - 8 f(x) = 09x - 8 = 09x = 8

1) Hallar la raíz y la ordenada al origen en forma analítica de las siguientes funciones lineales. Graficar.f(x) = 3x +4 g(x) = -2x h(x) = x +10

2) A partir del siguiente gráfico obtener la función correspondiente (calcular la pendiente, la ordenada al origen y las raíces).

ACTIVIDAD 17»



6. 2. Función cuadrática

Su fórmula está dada por un polinomio de grado 2f(x) = ax2 + bx + c con a ≠ 0Su representación gráfica es una parábola:

El término independiente c es la ordenada al origenf(0) = cPara calcular los ceros de la función (raíces) utilizaremos la fórmula resolvente:

Si el determinante es positivo (Δ > 0) obtendremos 2 raíces reales distintas.Si el determinante es 0 (Δ = 0) obtendremos 2 raíces reales e iguales (raíz doble).Si el determinante es menor a 0 (Δ < 0) obtendremos 2 raíces complejas conjugadas.Y las gráficas resultan parecidas a las siguientes (para a > 0 y a < 0).



Como podemos observar la función decrece hasta el punto V y luego cambia su sentido y crece. A este punto lo llamaremos vértice de la parábola, y estará dado por la siguiente fórmula:

Analizaremos ahora el siguiente gráfico:



Y entonces el vértice V estará dado por los puntos Vx y Vy:

Dadas las siguientes funciones obtener analíticamente las raíces, la ordenada al origen, el vértice y graficar.

f(x) = x2 - 4x + 2

g(x) = -x2 + 4x + 12

ACTIVIDAD 18»



1. El espacio geométrico

Al observar el mundo que nos rodea, podemos ver gran diversidad de formas que hay en él. Los postes de luz, los edificios, las casas, los autos, los envases de golosinas, el camino que describen los ríos y arroyos, los animales, etc. Todos ellos poseen características particulares que los distinguen a unos de otros. Todos estos elementos ocupan un lugar en el “espacio físico”.

Para poder estudiar los objetos que vemos, a menudo se sigue un modelo que es el modelo propuesto por los “cuerpos geométricos”. El espacio geométrico es “idealmente” perfecto, por eso es tomado como “modelo” estudiar la realidad (el espacio “real”).

Al estudiar las características y generalidades de los “cuerpos geométricos” Podemos, luego, caracterizar todo lo que ocupa un lugar en el espacio.

Como podemos ver, hay cuerpos que no pueden rodar y otros que sí...nadie duda de que una pelota de fútbol rueda (en buenas condiciones e inflada) en cambio una caja de saquitos de té, puede ser arrojada, rebotará hasta que pierda fuerza que la impulsa y quede quieta sobre una cara pero nunca girará como la pelota.

Tenemos entonces una primera clasificación de cuerpos: rodantes y no rodantes. A los no rodantes los llamamos poliedros (poli: muchos, edros: caras) y a los que ruedan podemos decirles redondos.

El espacio geométrico

Apunte de clase: El espacio geométrico

UNIDAD 4



Si los poliedros tienen TODAS sus caras iguales, entonces es REGULAR, caso contrario, se llama IRREGULAR.

Existen sólo cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Pueden buscar la etimología de las palabras y sabrás cuántas caras tiene cada uno.

En cuanto a los irregulares, pueden ser: prismas o pirámides. El prisma está constituido por dos bases iguales y sus caras laterales también son congruentes entre sí. Según el número de lados de la base se le da el nombre al prisma. Por ejemplo: prisma triangular (sus bases son un triángulo), prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados), prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), etc. La altura de un prisma es la distancia entre las bases.

Las pirámides son cuerpos constituidos por una base poligonal y por caras laterales cuyas aristas concurren a un punto del espacio llamado cúspide o vértice común, por lo tanto las caras laterales siempre serán triangulares. El eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Las dos bases son cuadradas y los lados laterales son paralelogramos.

Las bases son triángulos y las caras paralelogramos.

Base

Base

Arista

Vértice

Cara lateral

Base

Base

Radio basal

Altura



Recordemos:•APOTEMA es la distancia desde el centro de un polígono regular al centro de uno de sus lados.•GENERATRIZ es el lado de la figura, que genera la región lateral del cuerpo redondo.

Elementos de una pirámide: Elementos de un prisma:

A

C

B

CLASIFICACIÓN DE PIRÁMIDES SEGÚN SU BASE

• Pirámide triangular:Su base es un triángulo.

• Pirámide cuadrangular:Su base es un cuadrado.

• Pirámide pentagonal:Su base es un pentágono.

• Pirámide hexagonal:Su base es un hexágono.

base

cara lateral

arista lateral

arista básica

vértice

vértice

vértices

altura

aristas

cara lateral

base

apotema



Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por caras curvas; y son: el cilindro, la esfera y el cono.

Cilindro: Dos bases circulares, una superficie lateral curva y altura (h) que es la distancia entre las bases.

En este caso, la rotación, la realiza un rectángulo, por eso la generatriz coincide con el lado mayor del mismo.

Cono: Una base circular y una cúspide, altura. La generatriz está dada por la hipotenusa del triángulo rectángulo que gira alrededor del eje. Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.

Esfera: generada por el giro de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:

- Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.

- Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.

- Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.

- Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.

Veamos algunas características:Eje

Base

Base

Altura

Generatriz

Cilindro Esfera Cono

radio

superficiecurva

Ya tenemos una idea más o menos acabada de los cuerpos geométricos y sus características generales. Si quieren profundizar este tema, pueden visitar: https://www.portaleducativo.net/sexto-basico/410/Cuerpos-geometricoshttp://www.escueladigital.com.uy/geometria/5_cuerpos.htm

WEB



Escribir a qué cuerpo geométrico se asemeja:

ACTIVIDAD 19»

2. Estudio de las caras de los poliedros

Estuvimos hablando de caras, lados, bases...pensemos en que pintamos la base de un cartón de leche y, sin dejar secar la pintura, lo apoyamos sobre una mesa. ¿Qué pasaría? Seguramente estemos de acuerdo en que dejaría la marca sobre la mesa. Esa marca que deja la base, la huella que queda sobre la superficie de apoyo, se llama “figura geométrica”.

Las figuras geométricas son sectores del plano delimitados por lados que pueden ser rectos o curvos, pero siempre determinan un espacio al interior de ese borde que delimita el interior del exterior.

Clasificación de figuras geométricas (polígonos)

Ejemplo de polígonos regulares en los cuales n significa la cantidad de lados. Observen que todos tienen sus lados congruentes:



Éste es un ejemplo de hexágono irregular, sus lados son desiguales.

Elementos de los polígonos: Lado: cada uno de los segmento que forman el polígono. Vértice: punto donde se cortan los lados, se designan con una letra minúscula. Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Altura: dependiendo del tipo de polígono la distancia perpendicular entre dos lados paralelos, o la distancia entre vértice y lado opuesto. Radio: es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Apotema: es el radio de la circunferencia inscrita al polígono (solo en polígonos regulares).

Clasificar a los siguientes polígonos teniendo en cuenta el número de lados y la congruencia de los mismos.

Teniendo en cuenta la figura verde, calcular el perímetro de la misma sabiendo que la base mide 60 m y la altura es 1/3 de la misma.

Para calcular el perímetro y el área de las figuras geométricas, pueden consultar este link: https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/154/Perimetro-y-area-de-poligonos

ACTIVIDAD 20»

a r

L

ánguloexterior

ángulointerior

altura

diagonales

vértice

Lados



3. Triángulos

Repasamos: Es una figura de 3 lados, 3 ángulos y 3 vértices. La suma de sus ángulos interiores es igual a 180º. Cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia. (a < b + c y a > b-c). Clasificación de figuras geométricas (polígonos)

a=4 , b=3 , c=2 →4<3+2 y 4>3-2 4< 5 y 4 > 1 Se deben verificar estas condiciones para los 3 lados.

Recuerden que el perímetro es la suma de los lados, pero podemos usar sumas abreviadas. Al hablar de perímetro, hacemos alusión a la sumatoria de la longitud de sus lados, por eso usamos la clasificación según lados:

WEBPara repasar clases y características de triángulos:https://www.sangakoo.com/es/temas/clasificacion-y-propiedades-de-los-triangulos

CLASE DE TRIÁNGULO

FÓRMULA DE PERÍMETRO

Equilátero P= l . 3

P= (l . 2) + l

P= l + l + lEscaleno

Isósceles

(porque los tres miden lo mismo)

(dos lados iguales más el desigual)

(tres lados distintos)

Clasificar según lados y ángulos cada triángulo.

Determinar si se pueden construir triángulos cuyos lados midan:

ACTIVIDAD 21»

a) 4 cm; 6 cm.; y 8 cm.b) 10 cm; 7 cm.; y 5 cm.c) 6 cm.; 9 cm.; y 2 cm.



3. 1. Ángulos interiores de un triángulo

Sabemos que la suma de los ángulos interiores es igual a 180º. Recordemos que estamos usando el sistema sexagesimal que va de 60 en 60 (de allí su nombre). Igual que la medición que hacemos del tiempo: 1h=60 min ; 60 min= 60 seg

En el sistema angular usamos grados, minutos y segundos (de mayor a menor).

1º =60’ 1’ =60”º símbolo usado para grado‘ símbolo usado para minuto“ símbolo usado para segundo

Si tenemos que averiguar el ángulo restante debemos proceder a hacer algunos cálculos. Por ej: sabiendo que , , son ángulos interiores de un triángulo y

= 32º 45’12” y = 54º 32’ hallar

Planteamos la ecuación que nos servirá para resolver la incógnita:

180º = reemplazamos

180º = 32º 45’12” + 54º 32’ +

Para sumar colocamos una medida debajo de la otra respetando la denominación (no podemos sumar o restar minutos con segundos)

32º 45’ 12” + 54º 32’ 86º 77‘ 12” con los 77’ puedo formar 1º, entonces

- 60’ estos 60’ forman 1º que se suman a los º

87º 17‘ 12”

Siguiendo con la ecuación inicial:

180º - 87º 17’ 12” = Resolvemos la resta de la misma forma que la suma

180º 00 00 Hay que transformar 1º en 60‘ y 1‘ en 60 “

- 87º 17` 12”

179º 59’ 60” resolvemos la resta

- 87º 17` 12”

92º 42’ 48”

Éste es el resultado final = 92º 42’ 48”



4. Teorema de Pitágoras

Los triángulos pueden ser obtusángulos, acutángulos y rectángulos. Trabajaremos sobre estos últimos, pues presentan propiedades que resultan útiles para resolver situaciones en las que se conocen las longitudes de dos de los lados y se quiere conocer la longitud del tercero, el perímetro del triángulo o la superficie.

¿Cuál es el largo necesario de la escalera para alcanzar el techo que está a una altura de 3 m, si apoyamos la escalera está a 4 m de la pared?

Podemos observar que entre la distancia de la escalera a la pared, la pared y la escalera misma se forma un triángulo rectángulo (el piso y la pared forman el ángulo recto).

Recordemos que: el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados y que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Un teorema es una demostración de alguna propiedad aplicable a todos los casos de esa especie, en este caso a TODOS los triángulos rectángulos para averiguar la longitud de alguno de sus lados.

Antes de realizar las actividades obligatorias, pueden pasar por el siguiente tutorial:

Para sumarhttps://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=hV7OWaKR1P0

Para restarhttps://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=Vp21nmne61o

VIDEO

Averiguar el valor del ángulo desconocido:

a) â = 48º 12’ 45” ê= 102º 40” û = ?

b) m = 112 º 22 “ ô= 48º î = ?

c) p = 137 º 14’ q = 68º 27’ h = ?

ACTIVIDAD 22»



En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El teorema dice:

Planteamos nuestro problema como una ecuación:

La altura de la escalera deberá ser, como mínimo de 5 m.

El tamaño de los televisores se indica según la longitud de la diagonal de su pantalla medida en pulgadas. Si un televisor tiene 16” (16 pulgadas) de ancho y 12 de alto, ¿cuántas pulgadas tiene su diagonal?

Si les interesa la historia de este teorema y de su pensador, Pitágoras, los invito a ver: “El teorema de Pitágoras. Historia y demostración”https://www.youtube.com/watch?v=LcwCFxy_4KM

VIDEO

h2 = a2 + b2 h2 = 32 + 42

h2 = 9 + 16 = 25 despejando, tenemos que h= √25; h = 5

Planteamos la ecuación:

d2 = 16” 2 + 12” 2 = 256” + 144” = 400”d= √400 = 20”

La diagonal del TV mide 20”.

¿Qué ocurre si nos falta un cateto que tenemos que averiguar?

Procedemos de la misma manera ya que sabemos trabajar con ecuaciones. Por ej:

Un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

Como vemos en la figura tenemos un triángulo rectángulo ya que la altura (cateto) y la sombra proyectada forman un ángulo recto.

Aplicamos el teorema de Pitágoras: h2 = a2 + b2 42 = a2 + 2,5” 2 16 + a2 + 6,25

16 - 6,25 = a2

9,75 = a2

√9,75 = a 3,12m = a

Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3,12 metros.



Hallar el valor de lo pedido: Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (alto y ancho) miden 16 y 12 cm respectivamente. (Recuerden que se cortan en el punto medio de ambas y perpendicularmente).

Una escalera de dos hojas tiene una longitud de 2,4 metros. Cuando está abierta, la parte que apoya sobre el suelo se separa 1,2 metros. ¿A qué altura está la parte más alta de la escalera?

ACTIVIDAD 23»



BIBLIOGRAFÍA Jesé, F. (1999) Matemática 7 E.G.B. Buenos Aires, Argentina. Nuevas Propuestas. Tapia, N y Bibiloni, A (1989) Aprendex. Matemática 7.Buenos Aires, Argentina. Estrada y cía. https://es.slideshare.net/Marcomiguel/matematica-9-ao-de-basica Tapia, C; Tapia, A; Vázquez, N. (1994). Matemática 2. Buenos Aires, Argentina. Estrada. Garaventa, L; Legorburu, N; Rodas, P. (2001) Carpeta de Matemática 7 EGB 3. Buenos Aires, Argentina. Colección Libros y +. Aique. Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 3. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 4. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 6. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Material elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso, Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la integración a la Cultura Universitaria 2016-2019. UNRC- Secretaría Académica – CEPEIPER

Unidad 1: La proporcionalidad Apuntes de clase: La proporcionalidad -1. Proporcionaldad -2. Magnitudes directamente proporcionales -3. Porcentaje -4. Magnitudes inversamente proporcionales

Unidad 2: Geometría Apuntes de clase: Geometría -1. Cuadriláteros convexos -2. Posiciones de 2 rectas en el espacio -3. Ángulos interiores de cuadrilátiros -4. Semirrectas y segmentos

Unidad 3: Funciones y geometría Apuntes de clase: Funciones y geometría -1. Perímetro -2. Figuras circulares, longitud -3. Área o superficie de figuras geométricas

Bibliografía



PROPUESTA DE TERMINALIDAD SECUNDARIA

PARA ESTUDIANTES DE FORMACIÓN PROFESIONAL

La proporcionalidad

Apunte de clase: La proporcionalidad

UNIDAD 1

Ventiladores1

1

2

2

3

3

4

Bicicletas

Aspas3

2

6

4

9

6

8

Ruedas

1. Proporcionalidad

Razones y proporciones:

Como ven en la imagen, el ventilador tiene 3 aspas, en 2 ventiladores tendríamos 6 aspas.

La bicicleta tiene 2 ruedas, con 3 bicicletas, tendríamos 6 ruedas.

En ambos casos tanto las aspas como las ruedas aumentan proporcionalmente, esto quiere decir que guardan siempre la misma relación. Analicemos cada caso:



“Razones | qué es una razón | Ejemplos”https://www.youtube.com/watch?v=pGWF7tbHx9k

VIDEO

En el caso de los ventiladores, la información de la tabla, la podríamos escribir como fracción:

1/3 “uno a tres”2/6 “dos a seis”3/9 “tres a nueve”Si hiciéramos la cuenta con la calculadora nos daría siempre el mismo resultado, en

este caso 0,3333.

Una razón entre dos números es el cociente de la división entre los mismos.

La igualdad entre dos razones se llama proporción.

a y d son los extremos y b y c son los medios.

El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Al primer número se lo llama antecedente y al segundo consecuente.La razón se mantiene constante.Para las bicis tendríamos: ½, 2/4, 3/6, 4/8 y el resultado de la división: 0,5 en cualquier

caso que tomemos.Decimos 1 es a 2 o 2 es a 4…siendo 1 el antecedente y 2 el consecuente.Tomemos algunas razones que surgen de la segunda tabla:

2 = 3 si simplificamos ambas obtenemos ½ (= 0,5).6 9Las razones son pares de fracciones equivalentes.Pueden ver el siguiente video para afianzar el concepto:

Analicemos este caso: en un remis viajan 5 personas y por cada auto que sale de la agencia, se repite el número de personas. Tenemos que 1 es a 5 como 3 es a 15.

1 = 3 5 15

Simbólicamente: a = c b d

De aquí se desprende la propiedad fundamental de las proporciones:

a.d = b.c

En el caso de tener dos medios desconocidos obtendríamos:

→ x.x =a.b → x² = a.b

Por lo tanto x = ±



Pueden ver más sobre este tema en: “Qué es una proporción EJEMPLOS”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=0jUM-p1QyOE

VIDEO

1) Expresar con 2 pares distintos las siguientes razones: a. 8 es a 9 b. 5 / 7 c. 3 : 5 d. 3 : 6 e. 1/ 8 f. 15 es a 102) En una veterinaria de cada 7 animales que atienden, 5 son perros. a. Calcular el número de animales por cada 10, 25 y 45 perros. b. Calcular el número de perros por cada 21, 84 y 56 animales.Pueden ayudarse haciendo una tabla.3)Calcular el elemento desconocido en cada caso. a. 8 = 9 ? 18 b. 3 = ? ? 48 c. ? = 2/9 3 2/3

ACTIVIDAD 1»

2. Magnitudes directamente proporcionales

Cuando hacemos compras, a veces hay algunas ofertas que nos atraen. Pero, ¿son verdaderas ofertas? ¿Pueden ser engañosas?

Vamos a analizar la situación con un ejemplo considerando siempre el mismo producto. La única variable es el envase:

Oferta: botella de aceite 3 l, $99Botella de aceite de 1,5 l , $48

Para identificar si la oferta es real, analizamos el precio de 1 l de aceite.Teniendo en cuenta la botella de 3 l $99 / 3 = $33Considerando la de 1,5 l $ 48/ 1,5 = $32Como ves, la oferta no es tal. Si compráramos 2 botellas de 1,5l para formar los 3l,

gastaríamos $48 . 2 = $96.

Calculamos de dos formas diferentes: Averiguando el valor unitario, es decir, de 1 l (reducción a la unidad). Tratando de igualar las cantidades del producto, 3 l.



Podemos organizar la información en tablas:

La relación entre el precio y la cantidad de producto se mantiene constante, podemos decir, que forman proporciones. Lo podemos comprobar tomando valores de la segunda tabla:

3 es a 1 como 99 es a 33:3 = 99 La razón es 3

1 33

¿Se animan a calcular cuál sería el precio de 10 l? ¿Y de 5 l?Completen la siguiente tabla, sabiendo que 6 m de tela cuesta $90 y el precio no sufre variaciones por cantidad.

Piensen cómo calcularon cada valor, qué cálculos hicieron. Estas reflexiones son parte del quehacer matemático.

Pensamos en las proporciones que podemos armar:6/2 = 90/x despejando x tenemos:X= (90.2)/6 = 30 ¿Es el mismo valor que te dio en la tabla?

Prueben armando las otras proporciones… Comprobamos una relación en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno del segundo, esta relación se llama biyectiva. Además al aumentar una magnitud aumenta la otra de forma que se mantiene la proporción, por eso son magnitudes directamente proporcionales.

Una función biyectiva es una relación en la que a un elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo y la razón entre ellas es un

valor constante (denominado k).

Analicemos otra situación:La proporción de arena y cal para preparar una mezcla de construcción es: 1 balde

de cal, 3 baldes de arena.

L (según la botella de 1,5l)

L (según la botella de 3l)

1

3

3

1

6

6

Precio

Precio

32

99

96

33

192

198

Long. en m6

5

2

8

Precio en $90

45

15



A cada valor que representa el número de baldes de cal, le corresponde un único valor que representa el número de baldes de arena. Por eso podemos decir que se trata de una función, ya que a cada cantidad de cal le corresponde una única cantidad de baldes de arena.

Podemos representar esta función en un par de ejes cartesianos, en el que usaremos el eje x (horizontal) llamado de las abscisas, para ubicar los valores correspondientes al número de baldes de cal. Sobre el eje vertical, denominado y, llamado de las ordenadas, se ubican los valores que corresponden al número de baldes de arena. Al punto (0, 0) es decir x = 0 e y = 0 se lo llama origen de las coordenadas.

Pueden reforzar este tema visitando:“Regla de tres simple directa | Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?v=uQO_oBKqypQ

VIDEO

En una zona cercana a la localidad de Chascomús, en la provincia de Buenos Aires, el rendimiento de la cosecha de soja fue de treinta bolsas por hectárea en cada campo.1) Completen la tabla considerando que el rendimiento de cada hectárea es siempre el mismo.

ACTIVIDAD 2»

2) Representen los pares del cuadro en un gráfico cartesiano.3) La relación entre la superficie del campo y la cantidad de bolsas cosechadas por hectárea ¿es una relación de proporcionalidad? ¿Por qué?

3. Porcentaje

En una fábrica, 11 de cada 20 operarios asistieron a cursos de prevención de accidentes. ¿Cuántos operarios de cada 100 asistieron?

Formamos las proporciones:

Superficie del campo (en hectareas)

Cantidad de bolsas de soja

10 30

27

1520

5 15040



Equivale a decir que 55 de cada 100 operarios participaron del curso, o lo que es igual a 55% (55 por ciento).

También lo podemos resolver como regla de tres, o sea, que teniendo tres elementos, averiguamos el cuarto:

20 total de operarios ____________ 11 asistieron100 total de operarios ____________ x asistieron

Operamos como si fueran proporciones y tuviéramos que averiguar un extremo:(100 . 11) / 20 = 55 obtenemos el mismo resultado.

Otro caso para el análisis:El 32% de un grupo de 50 personas carga el celular en el lugar donde duerme.

¿Cuántas personas tienen esa costumbre?50 personas es el total, o sea que equivaldría al 100%.X personas representan el 32%, entonces:50 personas ________ 100%X personas ________ 32%

X = (32.50) / 100 x = 16 personas

Del grupo de 50 personas,16 acostumbran a cargar el celular en el lugar donde duerme.

Otra situación: A Juan le descuentan, según su recibo de sueldo, el 3% como aporte a la obra social y ese importe es de $309. ¿Cuánto cobra Juan?

3% ---------------------$309100% ----------------- $x(100.309) / 3 = xx= 10 300

Juan cobra $10.300En las situaciones de porcentaje se conserva la relación proporcional directa.

Calcular:a) Una agencia de viajes ofrece un viaje por $4.500 pago contado. Ofrece la misma opción financiada en 12 cuotas de $493. ¿Qué % recarga pagando en cuotas?b) Un grupo de amigos almuerza en un restaurante. Gastan $890 y por pago efectivo le ofrecen un descuento del 5%. Si deciden pagar en efectivo, ¿cuánto deberán abonar?c) Para la confección de unas cortinas, el taller pide un adelanto del 30% al cliente. Si el total de la confección cuesta $1800. ¿Cuánto deberá abonar como adelanto?

ACTIVIDAD 3»

y despejamos x, siendo x= (11.100) / 20 X= 55.



4. Magnitudes inversamente proporcionales

Un terreno rectangular tiene una superficie de 100 m².Vamos a calcular las posibles longitudes de sus lados: Recordamos que la superficie

se calcula: b.h. No se olviden de que h significa altura.Planteemos una ecuación que nos ayude a acomodar los datos:100 m2 = b.h. Debemos considerar los números cuyo producto nos de 100, armamos

una tabla.

Vemos que, a medida que aumenta el largo, disminuye el ancho por lo que podemos afirmar que no son directamente proporcionales.

Analicemos la información de la tabla:Multiplicamos a 1 por 4 para obtener 4 (segundo renglón) y dividimos por 4 a 100

para obtener 25; si tomáramos primer y tercer fila de la columna tendríamos que multiplicamos a 1 por 8 y dividimos a 100 por 8 para lograr 12,5.

Inferimos que en una columna crece mientras que en la otra decrece proporcionalmente pero de manera inversa, en una multiplicamos y en la otra dividimos (que son operaciones inversas).

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si multiplicando una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente queda

dividida por el mismo número.

Representando los valores en ejes cartesianos tendríamos:

Como vemos, no es un recta, sino una hipérbola, así que nos podemos dar cuenta de las diferencias de una proporción directa o inversa viendo sus gráficas. Si hubiésemos trabajado con cuadrados cuya superficie es: l² , podrán advertir que la gráfica sería distinta… Los invito a probar cómo sería.

Analicemos juntos otro caso: Tenemos que preparar una quinta para la siembra, si trabajan 8 peones, tardarán 6 hs, ¿cuánto tiempo emplearán 12 peones trabajando en las mismas condiciones?

Veamos qué condiciones se cumplen: al aumentar la cantidad de peones, disminuirá el tiempo, o sea que una magnitud aumenta y la otra disminuye, por lo que podemos asegurar que son magnitudes inversas, armemos la tabla para ver si son proporcionales.

Largo (b) Ancho (h)

4 25

1 100

8 12,5

2 20 ancho

largo



Se compró cierta cantidad de alfalfa para alimentar a 4 caballos durante 10 días. Si se mantiene a 5 caballos con la misma cantidad, ¿para cuántos días alcanzará? ¿Y para 8 caballos? Calcular lo pedido (con tabla o por proporciones) y realizar el gráfico.

ACTIVIDAD 4»

Peones Tiempo (hs)8 6

12 44 12

3 16

Comprobamos que una magnitud es multiplicada por el mismo número por el que la otra magnitud es dividida.

8 : 2 = 4 y 6 . 2 = 12



Geometría

Apunte de clase: Geometría

UNIDAD 2

1. Cuadriláteros convexos

Ya trabajamos en el módulo 1 con diferentes cuerpos geométricos: prismas, cubos, pirámides, octaedros, cilindros, cuerpos cóncavos y convexos.

Definimos algunos de los elementos que nos sirven para los poliedros como para los cuerpos redondos:

Caras: son las superficies que limitan el cuerpo geométrico. Estas superficies son figuras geométricas. Las caras basales son las que sirven para apoyar el cuerpo en el plano. Las demás caras son llamadas laterales.

A B

C→ Cúspide → Vértice

→ Altura

→ Apotema

→ GenerotrisEje o altura ←

Base ←

Cara lateral ←

Base ←

Arista ←

Vértice ←

↓ Radio

PoliedrosTodas sus caras son planas

Cuerpos redondosTienen al menos una cara

curva

→ Cara lateral

Cara basal ← Cara basal ←



Vértices: son los puntos donde se juntan tres o más caras. Originan los ángulos del polígono que forma la cara en estudio.

Las rectas que contienen a estas aristas se denominan paralelas.Simbólicamente A // B (Se lee: A es paralela a B).Estas rectas nunca se interceptan (no se cortan).

Las rectas que contienen a estas aristas se denominan perpendiculares.

Simbólicamente C D (Se lee: C es perpendicular a D).Estas rectas se interceptan formando un ángulo recto (90º).

Este par de rectas se denominan alabeadas porque pertenecen a planos diferentes.

No tienen un símbolo especial para denominarlas.

Aristas: son las líneas que se forman cuando se juntan dos caras. Se puede decir también, que son los lados de las figuras geométricas que forman las caras del cuerpo.



Al espacio comprendido entre ambas caras se lo llama ángulo diedro. Al comprendido por 3 caras se lo llama ángulo poliedro y su vértice es el mismo que el del poliedro.

Nos vamos a detener en las caras de los poliedros, es decir las caras que forman polígonos. Pero, ¿qué es un polígono? Justamente es el sector del plano delimitado por segmentos que formarían las aristas del polígono.

ß

r

α

→ Arista

↓ Cara↓ Cara Ángulos driedos

Caras

Arístas

Ángulos poliedro

↓ Vértice

Un polígono es un sector del plano delimitado por tres o más segmentos.Poli, significa muchos y gonos, ángulos.

Un polígono es convexo cuando todos los segmentos que pueden determinarse por dos puntos interiores al polígono quedan incluídos

totalmente en él.

Cualquier segmento que marquemos queda incluido en el polígono.



Un polígono es cóncavo cuando algunos de los segmentos cuyos extremos están determinados por puntos interiores del polígono, no quedan

totalmente incluidos.

Los extremos del segmento rojo están incluidos en el polígono (son puntos interiores) pero una parte de ese segmento queda fuera del polígono, es decir una porción está excluida de la figura.En cambio, el segmento celeste queda totalmente incluido.

Vamos a trabajar con polígonos convexos partiendo de cuadriláteros (polígonos de 4 lados).

Los cuadriláteros tienen tres clasificaciones principales: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

ParalelogramosSon los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos.

Nombre

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Figura Características

Tienen los 4 lados iguales y los 4 ángulos

rectos.

Tienen lados iguales de dos a dos y los 4

ángulos rectos.

Tienen los 4 lados iguales.

Tienen lados iguales de dos a dos.



TrapeciosCuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se

clasifican en:

TrapezoidesCuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

Pueden profundizar este tema visitando: https://www.portaleducativo.net/tercero-basico/146/Cuadrilateros-y-su-clasificacionhttps://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/e/quadrilateral_types

1) Clasificar estos polígonos en cóncavos y convexos

ACTIVIDAD 5»

2) ¿A qué clase pertenece el polígono verde atendiendo a sus lados?3) Escribir verdadero o falso - Todo cuadrado es paralelogramo. - Algunos cuadrados son rectángulos. - Todos los rombos son cuadrados. - Todos los cuadrados son rombos.

Cuadriláteros que no tienen ningún lado igual ni paralelo.

Nombre

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Figura Características

Tiene un ángulo recto.

Tiene dos lados no paralelos iguales.

No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.



2. Posiciones de 2 rectas en el espacio

Dos rectas paralelas intersectadas por una tercera determinan ángulos que poseen características especiales.

Si tenemos un paralelogramo:

En esta figura dos de los lados pertenecen a rectas paralelas, intersectada por una tercera que, como las corta en un punto decimos que es secante a las anteriores.

Los ángulos interiores señalados son congruentes (miden lo mismo).Analicemos la situación. Repasamos:

Los ángulos: Opuestos por el vértice son congruentes. Complementarios suman 90º. Suplementarios suman 180º

T es la recta secante; M y N son paralelas.La designación con mayúsculas y/o minúsculas es una convención, pueden encontrarlo

de ambas formas. Lo importante es recordar que son rectas.

Ángulos correspondientes:Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y

otro en el exterior de las paralelas. En el ejemplo anterior, las parejas de ángulos: ; son ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes son congruentes. Lo podés verificar porque al superponer la recta n sobre m, los ángulos coinciden.

Ángulos alternos:Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal. Ejemplo:Los alternos son congruentes porque al superponer las paralelas quedarían como

opuestos por el vértice, y ya sabemos que los ángulos que ocupan esa posición son congruentes.

Alternos externos:Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las

rectas paralelas. Las parejas de ángulos: se llaman ángulos alternos externos.

Los ángulos alternos externos son congruentes. Pensamos: es correspondiente con son congruentes y es opuesto por el vértice

,congruentes también, por transitividad es congruente con .



Alternos internos:Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las

rectas paralelas. Las parejas de ángulos: se llaman ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son congruentes. La justificación de la congruencia es la misma que para los alternos externos.

Ángulos conjugados:Son los que se encuentran del mismo lado de la secanteSiempre son suplementarios.

Ángulos conjugados internos:Los ángulos conjugados internos son los que se encuentran del mismo lado de la

secante y entre de las rectas. Son conjugados internos los siguientes ángulos Los ángulos conjugados internos son suplementarios.

Ángulos conjugados externos:Los ángulos conjugados externos son los que se encuentran del mismo lado de

la secante externamente a las paralelas. Son conjugados externos los siguientes ángulos: . Los ángulos conjugados externos son suplementarios.

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos calcular los valores de los ángulos sabiendo sólo el de uno:

Supongamos que , podemos inferir que: por ser adyacente a por lo tanto suplementario.

Si tienen dudas o quieren ahondar en el tema, pueden ver el siguiente video:“Ángulos determinados por rectas paralelas cortadas por una transversal”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=ow2Fs2vitQs

VIDEO



1) Siendo A y B paralelas y S secante, observar el gráfico y escribir:

ACTIVIDAD 6»

a) Un par de ángulos: - Conjugados - Alternos internos - Correspondientes - Opuestos por el vértice - Alternos externosb) Qué relación se establece entre… - ∑ y π - α y β - Ω y π c) Si β = 43º, calculá la amplitud de Σ, α y Ω y justificar. Explicar por qué miden lo que piensan.

3. Ángulos interiores de cuadriláteros

Observar la siguiente figura.

Tenemos 2 triángulos que forman un cuadrilátero. Sabemos que los ángulos interiores de los triángulos suman 180º, si duplicamos los triángulos, también se duplica el valor de la suma de los ángulos, por lo tanto, podemos enunciar que la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros es igual a 360º. Conservan una relación directamente proporcional.

La suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros es 360º.



1) Calcular el valor de todos los ángulos de este trapecio isósceles sabiendo que α = 38º (ayudita extra son las prolongaciones de las bases que son rectas paralelas).

ACTIVIDAD 7»

Calculemos el valor de cada ángulo en el siguiente paralelogramo:

¿Qué pasaría con los ángulos de un cuadrado? ¿Y de un rectángulo? Sabemos que los 4 son rectos, podemos comprobar que la suma de los 4 en ambos casos da 360º porque 4. 90º = 360º.

En este sitio encontrarán ejercicios para resolver y practicar este tema:“Los ángulos en cuadriláteros”https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-polygons/e/quadrilateral_angles

WEB

2) Conociendo que α + β= 102º, calcular la amplitud de los demás ángulos y justificar las respuestas.

14

2

3

m

a

p

k



4. Semirrectas y segmentos

Estuvimos hablando de las rectas paralelas, pero ellas no son elementos de las figuras. Los lados de las figuras están limitados por “porciones” de rectas, es decir pedacitos que tienen principio y fin. Si trazamos una porción de recta de 5 cm, al medir esa porción comenzaremos con el 0 de la regla y terminaremos el recorrido en el 5. Ese “pedacito de recta” es lo que llamamos segmento.

Segmento es una porción de recta delimitado por dos puntos que pertenecen a la misma y que forman los extremos del segmento.

Dos segmentos son colineales o están alineados cuando están incluidos en la misma recta.

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Los puntos p y q son los extremos y la distancia entre p y q es la longitud del segmento.

Cuando un grupo de segmentos pertenecen a la misma recta decimos que están alineados o colineales, cuando pertenecen a distintas rectas, entonces son no alineados o no colineales.

tiene en común un extremo, el punto M, por lo tanto decimos que son consecutivos.



Semirrecta es una porción de recta cuyo origen está determinado por un punto. No tiene fin y las dos direcciones definen dos semirrectas opuestas.

también son consecutivos porque comparten el extremo M.

El punto M marca a la recta S, determinando dos partes. La parte de S que contiene al punto A y la que contiene al punto B. Estas secciones de la recta, que tienen principio pero no fin, se llaman semirrectas. En nuestro caso, en la recta S quedan determinadas 2 semirrectas por el punto M, la semirrecta que se origina en M y contiene a A y la que se origina en M conteniendo a B. Se llaman opuestas porque pertenecen a la misma recta.

Se denominan: Recuerden que pueden encontrar diferencias en las notaciones (en cuanto a uso de

letras minúsculas y mayúsculas).

Dado el siguiente gráfico, determinar:

ACTIVIDAD 8»

a) Un par de segmentos - Consecutivos alineados. - Consecutivos no alineados. - No consecutivos alineados. - No consecutivos, no alineados.b) Escribir verdadero o falso: - La recta r contiene al punto c _____ - La semirecta HB es opuesta a la HC _____ - El segmento HX pertenece a la recta t _____ - AC es consecutivo de BH _____

Si tienen alguna duda o quieren saber más sobre el tema, pueden ver: “¿Qué es un segmento?”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=y8KxC-ENGrM

VIDEO



Funciones y geometría

Apunte de clase: Funciones y geometría

UNIDAD 3

1. Perímetro

Cuando deseamos resolver situaciones en las que se trabaja con porciones de rectas como por ejemplo la cantidad de alambre necesario para cercar un corral o la cantidad de burlete que necesitamos comprar para colocarlo en una ventana, usamos las medidas de los lados de esos sectores que son figuras geométicas y que se llaman segmentos.

En ocasiones anteriores, estudiamos las disposiciones de los segmentos: en la misma recta, en rectas diferentes, con un extremo en común, sin extremos comunes.

Ahora nos referiremos a la longitud de los segmentos que forman los lados de los polígonos.

Observando estos segmentos nos damos cuenta de que la longitud de los mismos no es igual.

Uno mide más que el otro, es más largo, decimos que:

Para comparar segmentos podemos usar la regla, el metro, el compás…los instrumentos a utilizar dependerá de lo que se quiera medir. Nadie medirá un campo con un compás ni usará un metro de carpintero para medir la longitud de un tornillo de anteojos…

Si les interesan las variedades y usos de distintos compases, pueden visitar: http://creatividadibtec.blogspot.com.ar/2010/03/normal-0-21-false-false-false-es-co-x.html

El siguiente, es un croquis de una habitación, las medidas son las siguientes:



Si queremos hacer una semejanza con las figuras geométricas que se usaron para realiza el croquis diremos que se usaron rectángulos de diferentes tamaños para representar esta habitación. La diferencia de estos rectángulos radica precisamente en la longitud de los segmentos que los determinan. La base (piso de la habitación) mide 6m x 4 m. La pared más extensa es de 6 m de largo x 3 m. de altura.

Si tuviéramos que colocar una moldura alrededor de esa pared, ¿medirían cada uno de los 4 lados? Seguramente no, porque saben que los lados mayores son congruentes, miden lo mismo, y los lados menores cumplen la misma relación.

Algebraicamente: 2 L + 2 l entendiendo que L: lado mayor y l: lado menorEntonces, partiendo de la igualdad y reemplazando datos tenemos:2L + 2l = x2. 6 m + 2.3 m = 12 m + 6 m = 18 mNecesitaríamos 18 m de moldura.Ya tenemos la fórmula para el cálculo del perímetro del rectángulo:

Perímetro rectángulo: 2L + 2 l

1) Calcular el perímetro de un campo rectangular de 200 m de largo por 130 m de ancho.2) Si se quiere alambrar el mismo campo con 3 vueltas de alambre, ¿cuánto alambre se necesita?3) Si el costo del alambre es de $531 por 100 m y el del envío es del 30% del valor de la compra, ¿cuál será el pago que deberá realizarse?.4) Si el campo tuviera forma de paralelogramo, cuyos lados midieran lo mismo que los lados del campo rectangular, ¿se necesitaría la misma cantidad de alambre? ¿Por qué?.

ACTIVIDAD 9»

2. Figuras circulares, longitudSi necesitamos medir el “perímetro” de un círculo nos resultará difícil usar los

elementos que tenemos a mano. Tal vez podamos rodearlo con un hilo y luego medir la extensión del hilo. Sería más complicado si lo que tenemos que medir es un tanque australiano que da de beber al ganado.

Tenemos ciertas fórmulas que pueden ayudarnos.Recuerden que la circunferencia es el límite del círculo (es el perímetro) y se llama

longitud a su extensión.



Ya habíamos hablado del número π en ocasiones anteriores. Vamos a recordarlo y a clarificar algunos conceptos de circunferencia y círculo:

“¿Cómo podemos calcular PI?”https://www.youtube.com/watch?time_continue=4&v=PKlFfm-oTQY “Perímetro del circulo “medida de la circunferencia””https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=FNN4PCIM7i0

VIDEO

C es circunferencia (también puede aparecer como Cf).T es la recta tangente a la Cf, es decir sólo tienen un punto en común.S es la recta secante, corta a la Cf en dos puntos.O es el punto central de la C, todos los puntos que forman la C están a la misma

distancia de O, es decir, son equidistantes.R es el radio: distancia del centro a cualquier punto de la C.D es el diámetro, segmento que une dos puntos de Cf pasando por O. La relación de

D con el R es del doble → D = 2 R.Ya tenemos los elementos de la Cf: longitud, centro, radio, diámetro.Ahora podemos calcular la longitud del bebedero circular para colocarle un borde de

protección para el ganado.

Suponiendo que el diámetro de dicho tanque es de 6 m. ¿Cuánta moldura de protección tendríamos que comprar?

Long Cf = π. D reemplazando,Long Cf = 3,14. 6 m = 18,84 m.Necesitaríamos 18,84 m de banda de protección.Sigamos…Observen el sector que pertenece a la Cf, tiene origen en S y finaliza en C.

A ese sector se lo llama arco de Cf.

Entonces:Arco de circunferencia es la longitud que queda contenida entre dos puntos de la Cf.

Y para calcular dicha longitud usaremos las relaciones entre el ángulo central (cuyo vértice es el centro de la Cf) y la longitud.

En nuestro caso, la longitud de Cf es de 18,84 m y corresponde a toda la vuelta a la Cf, es decir al recorrido de su ángulo central que es de 360º. Supongamos que queremos saber la longitud que queda determinada por un ángulo de 90º con el mismo origen que el central.

s



En este gráfico tenemos el ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la Cf y dos puntos señalados en la misma: m y n, el sector verde es el segmento del cual queremos saber la longitud y lo denominamos: mon.

Planteamos las razones: 360º es a la long Cf como x es a 90º.

Inferimos que son directamente proporcionales porque al aumentar el ángulo también aumenta la longitud.

360 º ______________ 18,84 m90º ______________ x Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual

al producto de los extremos) tenemos:X= (90º . 18,84 m ) / 360º = 4,71 m.

1) Calcular la longitud de una Cf cuyo radio mide 5 cm y de un arco de la misma determinado por un ángulo central de 50º.

2) Sabiendo que el espacio sombreado (semicírculo) será dedicado a la cría de gallinas ponedoras, para lo cual hay que alambrarlo, calcular la cantidad de alambre que hay que comprar si la parcela total tiene forma de cuadrado de 30 m de lado.

ACTIVIDAD 10»

3) Además se quiere bordear al resto del predio (del punto anterior) con tejido romboidal (que se vende por m lineal). ¿Cuánto tejido se tendrá que comprar?

4) Calcular la distancia recorrida por un ciclista cuya rueda de bicicleta tiene un radio de 65 cm luego de que la misma girara 15 veces.



3. Área o superficie de figuras geométricas

Hasta ahora hicimos un análisis del contorno o “perímetro” de las figuras, vamos a empezar a estudiar el sector del plano que ocupan.

Existen infinitos planos en el espacio, de los cuales, algunos participan de la configuración de los cuerpos geométricos que son los que dejan una huella (una marca) si los apoyamos sobre alguno de los planos. Dijimos que, a esta huella, la llamamos figura y que está delimitada por porciones de recta o segmentos.

En la figura vemos con un modelo ideal, cómo los planos se intersectan entre sí. Si prolongáramos el azul y el lila y le agregáramos dos caras laterales tendríamos un cuerpo cuya base, la verde, es un rectángulo.

Precisamente ese sector que ocupan es lo que vamos a profundizar ahoraUn agricultor va a comprar un campo y le dan a elegir entre uno que mide 190 m de

frente por 110 m de fondo y el otro 150 m por 140 m. El fabricante de alambrados le aconseja: “Comprá el de 190 por 110 porque tiene mayor perímetro así que debe tener mayor superficie”.

Al agricultor le interesa poseer la mayor región interior, la mayor superficie, que es donde él planta y cosecha.

Para calcular el perímetro de un polígono basta con sumar la longitud de sus lados. En este caso, como se trata de rectángulos tienen dos pares de lados iguales. Para calcular el perímetro, basta con multiplicar por dos cada lado y sumar los resultados.

En este rectángulo tenemos 3 cuadrados de alto y 4 de ancho.Cada cuadrado mide 1 m de lado, por lo que deducimos que el rectángulo mide 4

m de lado mayor y 3 m de lado menor. Podemos contar la cantidad de cuadrados y tendríamos el resultado: 12 cuadrados. El verdadero problema surgiría si tenemos una unidad de medida muy pequeña o un área muy grande para calcular, por eso, apelamos a las fórmulas. En este caso 3 m x 4 m = 12 m2. Y usamos m2 porque multiplicamos por sí misma la magnitud que acompaña al número (3 x 4 = 12 y m x m = m2, recuerden lo visto en el módulo 1 acerca de potencias de igual base).

¿Cómo hacemos para calcular el espacio que ocupa? L x l = área.



Volvamos al problema del campo, tenemos 2 opciones:

Calculamos el perímetro de ambos:

190 m X 2 + 110 m x 2 = 150 m x 2 + 140 m x 2=380 m + 220 m = 600 m 300 m + 280 m = 580 m

Como vemos, el de menor perímetro es el campo de 150 m x 140 m.Veamos el área:190 m x 110 m = 20 900 m² 150 m x 140 m = 21 000 m²

El terreno que tiene mayor perímetro tiene menor área. Por lo tanto a mayor perímetro no le corresponde mayor área, como se podría suponer. Nos damos cuenta de que perímetro y área no son magnitudes directamente proporcionales.

Analicemos otro caso:Si tenemos el área de 500 m², ¿de qué medidas podrán ser los lados del rectángulo?

Hay muchas opciones, veamos algunas10 m x 50 m20 m x 25 m40 m x 12,5 m

Para los casos elegidos, calculamos el perímetro:10 m x 2 + 50 m x 2 = 20 m + 100 m = 120 m20 m x 2 + 25 m x 2 = 40 m + 50 m = 90 m40 m x 2 + 12,5 m x 2 = 80 m + 25 m = 105 mComprobamos nuevamente que tenemos diferentes perímetros para la misma área.

Área o superficie es el espacio que ocupa una figura en el plano.

¿Qué sucederá con el perímetro y la superficie de un cuadrado (que es un rectángulo en particular)?

Supongamos un cuadrado de 3 cm de lado. Si se duplica la medida de su lado, ¿qué sucede con el perímetro? ¿por qué número queda multiplicada su superficie?



Al duplicar el lado (de 3 cm se pasó a 6 cm) el perímetro quedó duplicado (de 12 cm se pasó a 24 cm).

En el mismo gráfico se observa que la superficie es de 36 cm² y que el cuadrado entra 4 veces en el nuevo cuadrado. Es decir que al duplicar el lado, la superficie se cuadruplicó.

También se puede hallar la solución mediante un procedimiento aritmético.

Solución aritmética:Perímetro del cuadrado = 4 . LadoPerímetro del cuadrado pequeño = 4 . 3 cm = 12 cmPerímetro del cuadrado más grande = 4 . 6 cm = 24 cmComo puede observar al duplicar el lado del cuadrado, el perímetro se duplicó.Superficie del cuadrado = L² (= L x L que como es el mismo L, lo escribimos como L² ).Superficie del cuadrado menor = (3cm)²= 9 cm²Superficie del cuadrado mayor = (6 cm)² = 36 cm²La superficie del primer cuadrado es de 9 cm² y la del segundo mide 36 cm².Seguimos analizando qué sucede con la superficie de los cuadrados al modificar

la longitud del lado. Consideramos estas variaciones a partir de las medidas de un cuadrado de 1 cm de lado. Su superficie es de 1 cm².

Podemos observar que no existe relación de proporcionalidad directa entre la medida del lado de un cuadrado y su superficie.

Para calcular el área de otras figuras siempre tomamos como referencia al rectángulo, entonces tendremos que el triángulo es la mitad del rectángulo y su área también será la mitad, es decir:



Algunas actividades para repasar: “Área y perímetro de un polígono no estándar”https://www.youtube.com/watch?time_continue=59&v=uFdPKwKtu0g

Para ver algo más acerca del cálculo de perímetros y áreas pueden visitar: https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-foundations/hs-geo-area/v/

perimeter-and-area-of-a-non-standard-polygon

VIDEO

WEB

Fórmulas más usadas para el cálculo de área:

NombreCuadrado

Rectángulo

Paralelogramo

Trapecio

Triángulo

Rombo

Polígono regular

Circunferencia y círculo

Perímetro Área

L²

Lxl o bxh (base por altura)

Bxh

B+b x n 2

bxh2

bxh2

Perímetro x apotema2

π x r²

Lx4

Lx2 + lx2

Lx2 + lx2

L1+ l2+ l3+ l4

L1+ l2+ l3

Lx4

n - número de ladosnxl

π x 2r

d

h

base

r

D



1) Hallar la superficie de las secciones de cada una de las estructuras de acero que se muestran en las siguientes figuras.

ACTIVIDAD 11

ACTIVIDAD 12

2) Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm. a) Calcular la medida de la superficie de este cuadrado. b) Encontrar qué altura debe tener un paralelogramo si tiene la misma superficie que el

cuadrado y su base mide 6 cm.3) Averiguar la superficie de la zona sombreada y la longitud de la Cf que la contiene:

1) Un corral rectangular de 6 m de largo y 24 m2 de área, está rodeado por un vallado de 3 vueltas de alambre. Se pretende agregar un sector para separar a las crías recién nacidas y sus madres del resto de los animales. Calcular:

a) Los m de alambre que se necesitan para el vallado. b) Los m que deben agregarse para la parte del nuevo sector. c) El área total del corral ampliado.

2) Calcular el área de una lata de duraznos de las medidas que muestra la figura.

7 cm

4 cm

5 cm

15 cm

8 cm

2 cm

2 cm 2 cm 12 cm

2 cm

2 cm

3) De una plancha de hojalata de forma rectangular de 60 cm x 1 m. ¿Cuántas latas podrán confeccionarse? Teniendo en cuenta lo calculado en el punto 2.

Unidad 1: Estadística y probabilidad Apuntes de clase: Estadística y probabilidad -1. La estadística -2. Algunos términos específicos -3. Frecuencias -4. Intervalos de frecuencia -5. Gráficos -6. Parámetros estadísticos

Unidad 2: Parámetros estadísticos Apuntes de clase: Estadística y probabilidad -1. Parámetros estadísticos -2. Medidas de dispersión

Unidad 3: Probabilidad Apuntes de clase: Probabilidad -1. Probabilidad en suceso -2. Técnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones -3. Probabilidad condicional: sucesos dependientes, independientes y excluyentes

Unidad 4: Cuerpos geométricos Apuntes de clase: Cuerpos geométricos -1. Cuerpos geométricos -2. Volúmen. Medición y cálculo del volumen de un cuerpo -3. Fórmulas -3. Algunos problemas

Bibliografía



1. La estadística

Muchas veces escuchamos frases tales como:“Según las estadísticas, los niños que recibieron todas las dosis de las vacunas del

calendario oficial tienen menos tendencia a enfermarse que quienes no las recibieron.”“El índice de precios aumentó un 1,5% en el mes de enero, según un análisis

estadístico de la empresa XX”.“38,2% de la población no tiene gas natural, según los últimos datos recolectados en

la encuesta del mes pasado.“O vemos ciertos gráficos como los siguientes:

Apunte de clase: Estadística y probabilidad

UNIDAD 1

Histograma con polígono de frecuencia.

Gráfico circular.

Estadística y probabiblidad



Estadística es la ciencia que se ocupa de recolectar, organizar y analizar datos procedentes de las muestras y de la realización de inferencias acerca de las

poblaciones de las que proceden las muestras.

Estas afirmaciones dan cuenta de la valoración de la estadística en nuestra vida cotidiana, pero ¿qué es la estadística?

Hay dos ramas muy usadas en la estadística que son la descriptiva y la inferencial.En la primera, estadística descriptiva, se trata de enunciar, analizar y comunicar

ciertos fenómenos que ocurren en las poblaciones.En la estadística inferencial se trata de interpretar los datos estadísticos y sacar

conclusiones que permitan prever o predecir la marcha futura del fenómeno que se está estudiando a través de los datos disponibles. Por ejemplo, los datos meteorológicos, se evalúan ciertas variables y se pueden deducir algunas probabilidades (que son posibilidades, no certezas).

Pueden leer acerca de este tema en:https://ebevidencia.com/archivos/3568

WEB

2. Algunos términos específicos

Veamos algunos términos específicos de esta ciencia:Universo: Es el conjunto más amplio al que pertenece la población de estudio. Por

ejemplo, si queremos estudiar la población de estudiantes secundarios, el universo estaría formado por todos los estudiantes. Como resultaría imposible considerar a todos, entonces se recorta a una población determinada.

Población de individuos: Es el grupo de todos los elementos sobre los cuales se observa una o más características que son de interés para realizar un análisis. Esta población es tomada como objeto de estudio, en razón de que sobre ella recae el interés del investigador. Por ejemplo: conjunto de aspirantes al empleo de mozo en restaurantes de la zona costera de la provincia de Buenos Aires o conjunto de escuelas secundarias especializadas en construcciones o cantidad de peones empleados por hectárea de campo. Seguramente, para extraer conclusiones acerca de esas poblaciones habría que tardar bastante tiempo y dar con todos los individuos. Para facilitar el trabajo se toma una muestra de esa población que se quiere estudiar.

Muestra de individuos: Es el subconjunto o subgrupo de una población de individuos representativa del total. Este subgrupo tiene que ser variado y representar a todos los individuos de la población, en el ejemplo del empleo del restaurante, la muestra podría ser: los 200 aspirantes que se presentaron a lo largo de una semana del mes de diciembre en 10 restaurantes costeros, o 50 escuelas secundarias especializadas en construcciones de diferentes partidos bonaerenses, o 10 establecimientos productores que tengan peones para el trabajo.

La teoría dice que una muestra, para ser representativa y confiable, debe ser aleatoria, es decir, los individuos se deben elegir al azar. La elección no debe seguir ninguna norma prefijada. Cuanto más aleatoria sea, mejor y más confiable será la conclusión que podrá extenderse a toda la población. Para elegir al azar los individuos que se considerarán en la



muestra primero es necesario caracterizar el universo de población que se quiere estudiar y establecer la cantidad de individuos que se incluirán en cada caso. Por ejemplo, una fábrica quiere conocer la aceptación que tendrá un nuevo modelo de auto que están por sacar al mercado. Primero caracteriza el universo: segmento de la población que puede llegar a comprarlo por su poder adquisitivo; se analiza cuántos son hombres y cuántas mujeres; se consideran diferentes tramos de edad a partir de los 21 años. Sobre la base de estos datos se determina a cuántas personas que reúnan determinados requisitos se entrevistarán y se elige al interior de cada caso los individuos al azar. Con estos resultados la empresa automotriz dirigirá su campaña publicitaria.

La selección representativa y confiable de la muestra es una actividad que requiere de conocimientos específicos para asegurar que los datos que se obtienen pueden aplicarse al total de la población. Esta tarea la realizan profesionales especializados no sólo en estadística, sino especialmente en muestras. En general se los llama muestristas y en todos los casos indican el grado de confiabilidad del resultado obtenido, explicitando el porcentaje de error posible.

Es habitual que esta información se presente en una “ficha técnica” que acompaña los resultados de la indagación realizada, donde se describen sintéticamente las características de la muestra, los métodos utilizados, el error posible, etc.

Ejemplo de ficha técnica:Empresa ejecutora: CEOP (Centro de Estudios de Opinión Pública)• Tipo de estudio: encuesta en boca de comicios.• Tipo de preguntas: cerradas, alternativas fijas y abiertas.• Alcance de la muestra: nivel nacional.• Tamaño de la muestra: submuestra especial en boca de comicio sobre un total de

2.650 casos con un error de + / - 1,94% (confiabilidad del 95.5%).• Fecha de realización trabajo de campo: 14 de mayo de 1995.• Procesamiento y análisis:15 al 19 de mayo de 1995

En nuestro país, el INDEC (Instituto Nacional de Estadística y Censos) es el organismo público, encargado de orientar y ejercer la dirección de todas las estadísticas oficiales que se realizan en el territorio. También coordina el Sistema Estadístico Nacional, integrado por los servicios estadísticos de los organismos nacionales, provinciales y municipales.

Variable: Es la característica observable en los individuos acerca de la cual se quiere estudiar algún aspecto. Por ej: edades promedio de los aspirantes a mozos en restaurantes costeros, inserción laboral que tienen los egresados de las escuelas secundarias especializadas en construcciones, estado civil de los peones de campo menores de 40 años.

Cada variable tendrá distintos valores. Para el caso de las edades serán números, para la inserción laboral podrán ser categorías que indiquen orden: muy buena, buena, regular, mala; para el estado civil serán clasificaciones: soltero, casado, viudo, divorciado, etc.

Los valores de las variables también son determinados por el investigador en cuestión.



Clasificación de variables

Nivel de medición•Nominal•Ordinal•Intervalar•Cociente o razón

Tipo de valores•Cualitativos•Cuasi Cuantitativos•Cuantitativos: - Discretos - Continuos

Veamos cada una de las clases:

Nivel de medición nominal: establece una clasificación según las características del objeto, pertenecerá a una clase o a otra. Las clases deben ser exhaustivas (abarcar todas las posibilidades) y exclusivas (que pueda pertenecer sólo a una clase) Por ej. para estado civil se deberán contemplar todas las posibilidades, si la escala establece como opciones: soltero o casado quedarían estados sin contemplar y no sería exhaustiva.

Nivel ordinal: Estipula un orden, por ejemplo: muy bueno, bueno, regular, malo. Podemos decir que “muy bueno” es mejor que el resto de las categorías y “malo” es la peor de ellas. Una categoría es mayor que otra aunque no se aprecie cuánto mayor es.

Nivel intervalar o de intervalo: Existe una escala de medición y se aprecia la distancia entre un valor y otro, por ejemplo: la temperatura ambiente (entre 3º y 15º hay una diferencia de 12º). El 0 no tiene valor absoluto, muchas veces la temperatura es de 0º o de -1º.

Nivel de cociente o razón: Agrega el 0 absoluto a la escala. El 0 es ausencia de la característica. Por ejemplo: en la variable “cantidad de hijos” el 0 indica ausencia de ellos.

Instrumentos de medición:De acuerdo a los valores que alcanzan, las variables pueden ser: •Cualitativas: se les otorga una cualidad, un atributo.•Cuasi cuantitativas: - se establece un rango o jerarquía. Hay un ordenamiento

jerárquico.•Cuantitativas: se expresan con cantidades numéricas que pueden ser: - Discretas: cuando entre dos valores consecutivos no existe otro intermedio:

cantidad de hijos, 3 o 4 no es posible que exista un valor entre 3 y 4. - Continuas: existen múltiples cantidades entre una y otra, por ejemplo, la estatura, el

peso, la temperatura (existen cantidades intermedias aunque sean difíciles de medir). Entre 3º y 4º de temperatura hay una gran cantidad de intermedios.

No olvidemos que las variables pueden sufrir cambios inesperados. A estos cambios los llamamos FUENTES DE VARIACIÓN, algunas son previsibles y sistemáticas, por ejemplo: con las grandes tormentas, menos alumnos que concurren a la escuela. Otras fuentes son FORTUITAS o IMPREVISIBLES: el paro sin aviso del transporte influye sobre la actividad laboral de quienes van a trabajar en colectivo.



3. Frecuencias

Una vez que están recolectados los datos, debemos organizarlos para poder inferir y sacar conclusiones posibles acerca de ellos.

Un instrumento para conseguir esa ordenación es la llamada DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un suceso, por ejemplo: cantidad hijos de una familia en una muestra de 20 familias de San Pedro.

Una distribución de frecuencias debe cumplir tres funciones:

a) Organizar y ordenar racionalmente los datos reunidos.b) Ofrecer la información suficiente para representarla en un gráfico.c) Facilitar los cálculos necesarios para realizar las inferencias y extraer conclusiones.

La frecuencia puede ser:•absoluta: es el número de veces que se repite un valor en la muestra.•relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño total de la muestra.

La sumatoria de ellas dá 1.

A veces, las frecuencias se calculan como porcentajes para facilitar su comprensión y su sumatoria da por resultado 100, son las frecuencias porcentuales.

Veamos cómo se organiza una tabla de frecuencias según el caso de la variable “cantidad de hijos” con un total de 20 integrantes en la muestra.

“Conceptos básicos de estadística”https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=IYCjWcDTelQ

VIDEO

ACTIVIDAD 1»Resolver los siguientes ejercicios y problemas:1) Clasificar las siguientes variables según el nivel y la escala de medición:•Clasificación de personas por nacionalidad: nivel nominal, escala cualitativa.•Clasificación de familias por número de hijos: •Ordenamiento de 10 sujetos por estatura:•Ordenamiento de los participantes de una competencia según la cantidad de puntos logrados:•Clasificación obtenida por cada alumnos en una evaluación de matemática: •Temperaturas de una localidad a lo largo de un día:

2) Definir a qué aspecto de la estadística se refieren las siguientes acciones: •Encuesta en una esquina del barrio a los vecinos por parte de un partido político: recolección de datos.•Confección de un gráfico estadístico: •Confección de una tabla con los datos obtenidos en la encuesta: •Tendencia a favor de una partido político expresada luego de la encuesta:



Elegimos designar con n a las frecuencias pero también podés encontrarlas con otras letras que las designen, por ej: p o f.

De la observación de la tabla podemos inferir que 7 familias tienen 2 hijos, es decir, que la cantidad que se repite más veces es 2. 3 familias no tienen hijos y una tiene 4 hijos.

Si habláramos de porcentajes podríamos afirmar que un 15% de las familias no tienen hijos y que otro 15% corresponde a familias con 3 hijos.

¿Cuáles son los pasos a seguir para armar una tabla de frecuencias?1° Ordenar los datos.2° Realizar los cálculos correspondientes.

Analicemos un ejemplo: cantidad de horas diarias trabajadas por un grupo de 25 operarios de una fábrica:

Los siguientes son los valores recolectados según lo registrado por la oficina de personal.

7- 8 – 10 – 6 – 8 - 6 – 10 – 8 – 8 – 76 – 9 – 8 – 7 – 6 - 8 – 10 – 9 – 8 – 77 – 8 – 10 – 8 – 7

Procedemos a ordenar los datos: descubrimos el menor (6) y el mayor (10), entonces los valores de la variable irán desde 6 hasta 10.

Contamos cuántas veces se repite cada uno:6: //// 4 veces7: ////// 6 veces8: ///////// 9 veces9: // 2 veces10: //// 4 veces

Es decir que 4 operarios trabajaron 6 horas, 6 trabajaron 7 horas, 4 trabajaron 10 horas.Armamos la tabla.

X (cantidad de hijos)

43210

TOTAL

0,050,150,350,300,15

1

13763

20

515353015

100

nr (frecuencia relativa)

ni (frecuencia absoluta)

n% (frecuencia porcentual)

X (cantidad de horas trabajadas)

109876

TOTAL

4 0,16 162 0,08 89 0,36 366 0,24 244 0,16 16

25 1 100

ni nr n%



Podemos afirmar que el 16% de operarios trabajaron 10 h, que corresponde a 4 personas; el 24% trabajaron 7 h, 9 personas representan el 36% trabajaron 8 h y es la cantidad de horas que trabajó la mayoría del personal.

Para afianzar el tema, pueden ver:

4. Intervalos de frecuencia Al trabajar con muestras más extensas tendríamos más valores para la variable,

por ejemplo si quisiéramos hacer un análisis de los tiempos empleados por 100 maratonistas del Municipio de Lomas de Zamora en una prueba de atletismo. Sería muy difícil trabajar con todas todas las posibilidades (aún con ayuda de los medios informáticos).

Para poder trabajar con valores de este tipo se establecen intervalos de frecuencias, que son agrupaciones de valores entre dos números, teniendo un valor inferior (el menor de los dos números escritos) y otro superior (el mayor de los números escritos). Estos valores se eligen dependiendo del análisis que se quiera hacer de los datos.

Por ejemplo: Supongamos que se quiere analizar la edad de los alumnos de un grupo de Educación de Adultos a distancia. Se obtienen las siguientes edades de 100 alumnos ordenados alfabéticamente por apellido:

Determinamos el valor menor (16) y el mayor (69).Luego contamos la frecuencia para cada valor (cuántos alumnos hay de cada edad):

“Tablas de frecuencia | Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=cyXenZEbGz4

VIDEO

ACTIVIDAD 2»Armar una tabla de frecuencias (absolutas y porcentuales) teniendo en cuenta la variable: calificaciones obtenidas en Inglés, tamaño de la muestra: 15 alumnos.

6 – 7 – 9 – 10 – 9 – 10 – 8 – 7 – 7 – 9 – 6 – 10 – 7- 8 – 9

Responder:a)¿Cuál es la calificación de mayor frecuencia absoluta?b)¿Qué porcentaje de alumnos calificó con 10?c)¿Cuál fue la nota que menor porcentaje de alumnos obtuvo?

51 35 36 41 33 28 57 62 43 6942 33 62 53 37 36 48 53 39 4119 47 18 62 33 54 29 35 61 6027 31 36 44 45 50 21 52 59 5243 49 23 37 28 27 41 35 37 2850 34 22 31 34 43 32 36 25 3033 25 28 31 36 25 41 44 38 5142 46 26 40 53 36 31 34 51 6532 34 43 63 49 61 48 38 16 4131 25 42 28 29 30 30 35 37 37



Aun así, resulta difícil de analizar. Es conveniente, en este caso, agrupar los valores formando intervalos y presentarlos mediante una tabla abreviada.

Calculamos la diferencia entre ambos extremos y obtenemos que los valores posibles son 54, entonces buscamos una amplitud de intervalo (cantidad de valores que comprende) que resulte cómoda para trabajar, en este caso elegimos 6 porque 54 es divisible por 6 y tendremos 9 intervalos de amplitud 6 cada uno. Podríamos haber elegido hacer 6 intervalos de amplitud 9. La amplitud, en general, se señala con la letra I.

En nuestro caso, el primer intervalo será el que va desde 16 hasta 21; el segundo se referirá a los valores desde 22 hasta 27 y así sucesivamente.

1

1

5

16

22

28

34

40

46

52

58

64

4

1

1

2

0

0

0

1

2

17

23

29

35

41

47

53

59

65

4

5

1

3

1

1

1

0

3

18

24

30

36

42

48

54

60

66

6

3

2

1

1

0

1

4

5

19

25

31

37

43

49

55

61

67

5

4

2

0

2

0

0

1

2

20

26

32

38

44

50

56

62

68

2

2

2

0

3

0

1

2

4

21

27

33

39

45

51

57

63

69

1

1

3

1

1

1

ni (alumnos

que tienen la edad x)

X (edad) X (edad) X (edad)ni

(alumnos que tienen la edad x)

ni (alumnos

que tienen la edad x)

X (intervalos de edades)64 - 69

52 - 57

40 - 45

28 - 33

16 - 21

58 - 63

46 - 51

34 - 39

22 - 27

TOTAL

2

7

16

21

4

8

11

22

9

100

ni



Así podemos darnos cuenta de que el intervalo 34-39 es el que más alumnos tiene, podemos calcular los porcentajes, agregamos las columnas de frecuencia relativa y de porcentuales.

X (intervalos de edades)64 - 69

52 - 57

40 - 45

28 - 33

16 - 21

58 - 63

46 - 51

34 - 39

22 - 27

TOTAL

2 0,02 2

7 0,07 7

16 0,16 16

21 0,21 21

4 0,04 4

8 0,08 8

11 0,11 11

22 0,22 22

9 0,09 9

100 1 100

ni nr n%

El 22% de los alumnos del grupo tiene entre 34 y 39 años.

ACTIVIDAD 3»En un entrenamiento deportivo se han registrafo los siguientes valores (en segundos):

30 31 28 25 33 34 31 32 26 3932 35 37 29 32 40 35 38 31 3634 35 30 28 27 32 33 39 30 31

a) Realizar una tabla de frecuencias con 4 intervalos de amplitud 4.b)Responder: ¿Cuánto fue el tiempo más repetido? ¿Cúal fue el porcentaje de deportistas que tardó menos de 33 seg? ¿Cuántos deportistas tardaron más de 33 seg?

5. Gráficos

La información puede darse a conocer mediante recursos más fáciles de visualizar como son los gráficos que, con sólo verlos, tendremos una idea de lo que está ocurriendo con los valores de la variable y la muestra seleccionadas.

Hay variedad de gráficos que se usan según el tipo de variable con la que se esté trabajando. Veamos algunos:

Diagrama de rectángulos: Se usa para representar variables nominales.En el eje x (de abscisas) se colocan los valores de la variable y en el eje y ( de ordenadas)

las frecuencias.En el ejemplo tenemos representados el grupo de solteros y casados de una muestra

de 13 personas.



sin estudios 1 10

secundario 3 30

TOTAL 10 100

primario 5 50

terciario 1 10

x n N%

01

3

5

8

2

4

7

6

9

casados solteros

Diagrama circular, de torta o pictograma: de rectángulos: Sirve para representar cualquier tipo de variable. Se hace el cálculo de la amplitud del ángulo que corresponde a los datos teniendo en cuenta que el 100% es igual a 360º. Si queremos representar la variable nivel de estudios en una muestra de 10 personas, siendo los valores: sin estudios, primario, secundario, terciario; armamos la tabla.

Histograma: Se usa para variables cuantitativas continuas pueden estar agrupadas en intervalos o sin agrupar. En el eje de abscisas colocamos los valores (agrupados o no) y en el de ordenadas las frecuencias.

0

40 50 6545 6055 70

1

3

5

2

4

6

frec

uenc

ia

HDL Colesterol (mg/dL)

Vemos en este histograma que la frecuencia que más se repite es la de valores entre 50 y 55 mg/dl de colesterol HDL.



Polígono de frecuencias: Se usa para variables discretas o continuas, resulta de la unión de los puntos que corresponden a cada puntuación. Por ejemplo: número de hijos.

0 3

2 7

4TOTAL

220

1 6

3 2

x (número de hijos) ni

00 1 2 3 4

cantidad de hijos

1

3

5

2

4

6

7

Perfil ortogonal: Se usa para comparar la evolución de una variable en el mismo individuo. Por ejemplo la evolución de las calificaciones de un estudiante a lo largo de los bimestres de un año.

Para explorar este tema, pueden visitar:“Diagramas de sectores - Probabilidad y estadística - Educatina”https://www.youtube.com/watch?v=p7PpVZAQxPA

VIDEO



ACTIVIDAD 4»Observar cada gráfico y determinar para cada uno:1) Tipo de gráfico, variable graficada, valores para la variable.2) Valor mayor según lo representado en el gráfico.3) Conclusión estadística que se podría extraer observando el gráfico.

Gráfico A Gráfico B Encuesta de apoyo a candidatos presidenciales.

Gráfico C Preparación de un examen final.



6. Parámetros estadísticos

Los parámetros estadísticos son números que se emplean para organizar y presentar la información contenida en un conjunto de datos.

Su finalidad es representar a esos datos en forma breve y simple y de modo tal que se pueda apreciar, aproximadamente, de un solo golpe de vista la característica que identifica a los restantes elementos del conjunto estudiado.

Si bien se pierde mucha información con esta síntesis, se gana en simplicidad, en eficacia y en operatividad. Algunos de ellos son los centiles, promedio, moda, etc. que estudiaremos en la próxima unidad.



Apunte de clase: Parámetros estadísticos

UNIDAD 2 Parámetros estadísticos

1. Parámetros estadísticos

Como dijimos en la unidad anterior, los parámetros estadísticos son números que relacionan una puntuación determinada con un lugar dentro de un grupo de referencia. Trabajaremos entonces, con valores y su posición dentro de la muestra.

Algunos conceptos indican la posición de la puntuación dentro del grupo, es decir, qué lugar ocupa en el conjunto.

Supongamos que nos dicen que un aspirante a obtener un empleo obtuvo en una prueba de desempeño la puntuación 35. Ese número, por sí mismo, no nos dice nada. Si el máximo fuera 35, entonces el aspirante habría obtenido la puntuación máxima, pero si el máximo era de 100, la puntuación obtenida evidentemente no es la mejor…Necesitamos referencias para que el 35 nos brinde información adicional.

Las medidas de posición más usuales reciben el nombre de cuantiles.Cuantiles más usados:

Centiles:Los centiles, también llamados percentiles son 99 valores de la variable que dividen

a la muestra en 100 secciones, cada una conteniendo a la centésima parte de las observaciones.

En nuestro ejemplo, sabiendo que el número 35 corresponde al centil 90, sabemos que es una puntuación que supera al 90 de las 100 observaciones realizadas y es superada por un 10 de las 100. Sería una buena puntuación.

C90 = 35



Deciles:Similares a los centiles, son 9 puntuaciones que dividen a la muestra en 10 secciones

con un décimo de la cantidad total cada una.El decil se representa como D. Existe una equivalencia directa entre centiles y deciles.

Al C90 equivale el D9 .

D1 = C10

D2 = C20

Cuartiles:Son 3 puntuaciones que dividen a la muestra en 4 partes iguales, conservando cada

una 25 puntuaciones o el 25 % del total de la muestra.Se designa como Q y también tiene equivalencias con deciles y centiles.

Q1 = C10

Q2 =C50 = D5

Q3 = C75

Veamos algunos ejemplos:1) En un grupo de fincas, sabemos que la de Juan ocupa el C50, cómo está posicionada

con respecto al grupo de fincas de la región? Podemos decir que la finca de Juan está ubicada en el centro del grupo, porque hay 50 que quedan por debajo de ella y 50 que la superan.

2) El siguiente gráfico muestra el centil de crecimiento de niños sanos.

Un niño de 20 meses que mide 90 cm se ubica en el C97 y uno que mide 80 cm en el C3. Así se puede hacer un seguimiento del crecimiento normal y detectar anomalías para diagnosticar sus causas y realizar el tratamiento adecuado.

long

itud

(cm

)

El niño está en el percentil 75.8 de longitud. Es decir, su longitud es algo superior a la mayoría de los niños de su edad.

Percentil 97

Percentil 50

Percentil 3

Medidas tomadas (últ. percentil: 75,8)

meses

400 10 205 15 25

60

80

50

70

90

100



Medidas de tendencia central:Son aquellos valores que permiten representar un valor de referencia central en la

muestra. No ocupan cualquier posición sino la central.Una medida de tendencia central es la que representa la magnitud general observada

en la muestra.

Las medidas de tendencia central más usadas son:

Media aritmética o promedio: Se define como la suma de los valores observados, dividida por el número de ellas.

Como ejemplo muy usual citamos el promedio de notas obtenidas por un alumno: Lengua 9, Matemática 10, Ciencias Sociales 5, Biología 8, Inglés 3.

Sumamos los valores individuales: 9 + 10 + 5 + 8 + 3 = 35 dividimos por la cantidad de valores observados, 5 en este caso correspondientes a las 5 materias registradas. Entonces: 35/5 = 7

El promedio de esta persona es de 7. Es decir, que 7 es el número que representa el total de las calificaciones obtenidas. Sabemos que la aprobación de cada materia requiere de 6 o más…aunque el promedio es 7 ¿aprobó todas las materias? Sabemos que Inglés y Ciencias sociales no están aprobadas aunque su promedio haya superado el límite de 6.

Para indicar el promedio o la media usamos X. En nuestro caso:X = 7

Calculemos el promedio de las estaturas de jugadores de básquet expresadas en cm: 207; 206; 203; 204; 202; 193; 196; 199

X = 207+206+203+204+202+193+196+1998 = 201,25La estatura promedio de los jugadores de básquet del equipo en cuestión es de

201,25 cm.Para calcular la media en un conjunto de intervalos, se calcula el punto medio de cada

intervalo y se multiplica por la frecuencia absoluta observada. Veamos un ejemplo: km recorridos en entrenamientos de 36 ciclistas.

5 - 9 387 7 . 38 = 266

15 - 19 1217 17 . 12 = 20410 - 14 2012 12 . 20 = 240

Km recorridos por ciclistas niPunto medio X

Ahora sí, podemos calcular el promedio general:X = 266+240+20436 = 19,72El promedio o media recorrida en los entrenamientos es de 19,72 km.

Mediana: Es aquella puntuación que es superada por la mitad de las observaciones y supera a la otra mitad. Es equivalente a pensar en C50.

Dado el conjunto de valores: 7, 11, 6, 5, 7, 12, 9, 8, 10, 6, 9, los ordenamos de menor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. Tomamos el valor central: 8. Si tuviésemos intervalos, se determina el punto medio y se procede de la misma manera.

Md = 8En el ejemplo de los ciclistas la Md = 20 → 12 , 20, 38



Moda: Es el valor que más se repite en la muestra. Se designa como Mo.En el ejemplo anterior el valor de ni que más se repite es 38, o sea que la distancia

más recorrida en el entrenamiento de los 36 ciclistas es de 5 a 9 km.

Para saber más, pueden visitar el sitio:https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/mean-median-mode

WEB

ACTIVIDAD 5»Calcular moda, media y mediana en los siguientes enunciados:1) Una auditoría realizada a una empresa de transporte registró los siguientes datos sobre el número mensual de accidentes de trabajo:

1, 3, 4 ,5, 2, 2, 6, 7, 2, 0, 1

2) Los siguientes datos corresponden al número de ventas en distintos períodos de una hora de duración en una tienda de helados:

35, 47, 22, 15, 13, 28, 39, 41, 43, 36, 24, 23, 17, 19, 21, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 5, 12, 19

3) Durante los años 80, la industria farmacéutica hizo un especial hincapié en el desarrollo y creación de nuevos productos. Como resultado de ello, los gastos de investigación y desarrollo (I+D) crecieron y las empresas se vieron forzadas a prestar una gran atención a la gestión de estos gastos.

La siguiente tabla recoge los gastos en I+D (en millones de dólares) de las principales compañías farmacéuticas del mundo:

Abbot

Boehringer Inhelheim

Pfizer

Schering - Plough

110

176

159

129Bayer

Ciba Geiby

Hoffman - Laroche

Merck

Sandoz

Squibb

Upjohn

200

230

363

290

181

114

200

American Home

Bristol - Miers

Hoechst

Johnson & Johnson

Rhone - Poulene

Smith Kline

Takeda

Warner - Lambert

90

162

274

187

110

158

125

162

Empresa EmpresaGastos I + D Gastos I + D



2. Medidas de dispersión

En los conjuntos de datos pueden aparecen agrupaciones de los mismos, entonces la muestra es homogénea; si están a mucha distancia unos de otros se dice que la muestra es más heterogénea. Esta propiedad se llama dispersión o variabilidad.

Estos datos nos sirven para valorar las diferenciaciones. Si tomamos en cuenta los sueldos promedio de una fábrica de la provincia de Buenos Aires, la mayoría de los trabajadores entraría en el intervalo 15 000- 25000, supongamos que el gerente de personas cobrara 120 000 y el de RRHH 125000. Los valores de las gerencias harían que la media fuera más elevada pero no revelaría los hechos reales, ya que la mayoría cobra otro sueldo. Para esto se usa el desvío estándar.

Tengamos como valores de la variable para horas trabajadas las siguientes cantidades:Abril 4, 10, 12, 14, 20 X = 12Mayo 10, 11, 12, 13, 14 X = 12Junio 104, 110, 112, 114, 120 20 X = 112Los grupos de abril y mayo tienen la misma tendencia central (media) pero claramente

vemos que en A los valores están más desagrupados, en tanto que en mayo están más cercanos a la tendencia central. La distribución es más homogénea. El grupo junio cumple con las mismas características que el grupo A aunque tenga distinta medida central. Nos damos cuenta de que la tendencia central es distinta a la de variabilidad.

Desvío medioSe necesita, además del promedio (o media), otro parámetro que mida cómo están

dispersos los datos con relación a ese promedio.Ese parámetro se denomina desvío medio y permite estimar la variación (o dispersión),

es decir, en qué medida los datos se diseminan o reparten alrededor del valor medio. Es sumamente útil en estadística ya que indica, si su valor es pequeño, que los datos obtenidos están muy cercanos al promedio. Esto significa que la población estudiada no presenta una gran dispersión.

La utilización del desvío estándar es muy común cuando se hace un estudio estadístico acerca de un suceso social, biológico, matemático, físico, etc.

Veamos un ejemplo:Las estaturas correspondientes a tres equipos de fútbol A, B y C se distribuyen según las

gráficas y con los parámetros que se dan a continuación.A, B y C tienen la misma media 175. Observemos las gráficas:

1 1 1

3 3 3

5 5 5

8 8

2 2 2

4 4 4

7 7

6 6 6

9 9

160-164

160-164

160-164

Equipo A

Equipo B Equipo C

165-169

165-169

165-169

170-174

170-174

170-174

175-179

175-179

175-179

180-184

180-184

180-184

185-190

185-190

185-190

Los valores de las variables son los intervalos que van de 5 en 5 cm.



Los tres equipos tienen igual media o promedio de estatura, pero en el equipo B los valores son más extremos que en los otros dos, la dispersión es alta, la muestra es más heterogénea. En el A los valores son más cercanos a la media, hay más homogeneidad.

En el equipo C la mayoría de los jugadores tienen tallas cercanas al promedio, la dispersión es media.

Para calcular la desviación media se usa la siguiente fórmula:

DM = Σ Xi- X n

La desviación media es igual a la sumatoria de los valores absolutos de las frecuencias absolutas menos la media, dividido el total de observaciones de la muestra.

Analicemos un ejemplo:

En la muestra A, 5 alumnos obtienen las siguientes calificaciones en una evaluación de Matemática: 10 , 10 , 8 , 2 , 6.

En la muestra B, otros 5 alumnos obtiene estas calificaciones para la misma evaluación: 7, 8 , 9 , 7 , 6.

Organizamos los datos y obtenemos la media aritmética (o promedio) para cada muestra:

MUESTRA B

X = 7+8+9+7+6 = 7,45

MUESTRA A

X = 10+10+8+2+6 = 7,25

DM = (10-7,5) + (10-7,2) + (8-7,2) + (2-7,2) + (6-7,2) = (2,8+2,8+0,8+5,2+1,2)/5 = 2,56 5

DM = (7-7,4) + (8-7,4) + (9-7,4) + (7-7,4) + (6-7,4) = (0,4+0,6+1,6+0,4+1,4)/5 = 0,88 5

Como podemos observar el DM en la muestra B es menor que en la muestra A.Las barras azules corresponden a la muestra A y las vemos más desparejas, las bordó

son de la muestra B y las alturas son más semejantes.

Gráficamente nos damos cuenta de la diferencia con respecto a la media.



ACTIVIDAD 6»El siguiente, es un gráfico realizado por la OMS (Organización Mundial para la Salud) en el marco de la prevención de enfermedades de transmisión sexual en el mundo.

Figura 3b). Estimación de la prevalencia del virus del herpes simple del tipo 2, por región y por sexo, 2012.

90

80

60

40

20

70

50

30

10

Africa Américas EuropaMediterráneo Oriental

AsiaSudoriental

PacíficoOccidental

0

mill

ones

Observar el gráfico y calcular la media y el DM para varones como para mujeres y decidir qué muestra es más homogénea y justificar.



1. Probabilidad de un suceso

Muy posiblemente pensaron alguna vez en los juegos de azar: Quini 6, el Loto, quiniela, ruleta. Los llamados ”juegos de azar” no responden a reglas generales, son aleatorios, no se puede predecir el resultado aunque a veces se pueda anticipar las posibilidades de que ocurra algún suceso. Por ejemplo: si tiramos un dado tenemos la seguridad de que caerá entre el 1 y el 6, nunca saldrá un 8… Pero no podemos asegurar cuál de los números entre 1 y 6 saldrá. Éste es un suceso aleatorio.

Importantes matemáticos comenzaron a desafiarse presentándose mutuamente situaciones en las cuales se pretendían analizar todas las “probabilidades” de ganar que tenían. Los matemáticos comenzaron a preocuparse no sólo por los resultados exactos sino también por la resolución de problemas en los cuales interviene el azar.

Los hechos que dependen del azar se llaman “sucesos aleatorios” y la rama de la matemática que los estudia es el cálculo de probabilidades.

Hasta ahora estuvimos trabajado con resultados exactos, por ejemplo ecuaciones, operaciones combinadas, promedios, etc.

En uno de los grupos de Educación a Distancia hay un 30% de personas casadas. Alguien elige al azar uno de los alumnos y le pregunta: ¿es casado? Nada puede afirmarse como respuesta, sólo podría decirse que hay más probabilidades de que no lo sea, pero la respuesta no puede predecirse.

Pensar este tipo de situaciones implica desarrollar el pensamiento aleatorio, es decir aquél en el que no hay uno o varios resultados exactos o con un cierto margen de error acotado.

Hay sucesos que ocurren indefectiblemente, por ejemplo: que mañana sea lunes (si hoy es domingo) o ver una persona que tiene menos de 180 años en un partido de fútbol. Estos son sucesos seguros.

También existen sucesos que no ocurrirán nunca, es decir que con total certeza no sucederán. Por ejemplo: que mañana sea sábado (si hoy es miércoles) o que la primera persona que vea a través de la ventana sea la madre del general San Martín. Estos son sucesos imposibles.

Los sucesos que ahora nos interesa estudiar no son ni los seguros ni los imposibles, sino aquellos en los que algo puede o no ocurrir; estos son los sucesos probables. Por ejemplo: que gane nuestro equipo en el próximo partido o que la primera persona que entre por la puerta sea una mujer.

Pensemos los siguientes sucesos aleatorios:1) Salir un 3 al tirar un dado.2) Elegir una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.3) Tirar una moneda y que caiga “cara”.4) Que en una jugada de ruleta salga el 20.5) Dar vuelta una carta y que no sea un rey.

Apunte de clase: Probabilidad

UNIDAD 3 Probabilidad



Todos estos sucesos pueden o no ocurrir; es probable que ocurran y también es probable que no ocurran. Pero... ¿son igualmente probables? Es decir, ¿tienen la misma probabilidad de ocurrir como de no ocurrir? Evidentemente no.

Algunos de estos sucesos son “poco probables”, otros “altamente probables” y algunos “igualmente probables”.

Los casos 1, 2 y 4 son poco probables, son mayores las posibilidades de que no ocurran.

El caso 5 es altamente probable, son mayores las chances de que ocurra a que esto no suceda. Hay muchas más cartas que no son reyes que las que lo son.

El caso 3 es igualmente probable; las posibilidades de que suceda son tantas como las de que no ocurra.

Supongamos que en un juego se tiran simultáneamente dos monedas y se puede apostar a:

1) Dos caras;2) Una cara y una ceca (no importa el orden);3) Dos cecas.

Al arrojar dos monedas, esas tres son las únicas posibilidades que pueden darse, pero... ¿son igualmente probables?

Para responder esta pregunta hagamos el siguiente análisis:

Cara Cara

CecaCara Cara

Ceca

Moneda 1 Moneda 2

Obtendríamos los siguientes pares:

(cara; cara) (cara; ceca) (ceca; cara) (ceca; ceca)

La tabla muestra las diferentes formas en que puede caer una moneda. La primera puede caer cara o ceca; y para cada una de estas posibilidades hay dos alternativas para la segunda moneda, cara o ceca.

En este esquema, denominado “diagrama de árbol”, se advierte que las posibilidades son cuatro:

CARA

CECA

Cara

Cara

Ceca

Ceca

Moneda 1 Moneda 2

Tenemos los mismos pares:(cara; cara)(cara; ceca)(ceca; cara)(ceca; ceca)



En general, decimos que la probabilidad (P) de que ocurra el suceso (s) es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

Por lo tanto, si apostamos por ejemplo a sacar dos caras, existe una sola posibilidad de ganar. Esto quiere decir que uno solo de los posibles resultados es favorable sobre un total de 4 resultados (casos) posibles. Muchas personas suelen decir que hay un 25% de probabilidades porque es 1 de cada 4 casos el favorable. Lo mismo podría decirse de la probabilidad de sacar dos cecas, porque de cada 4 casos posibles uno solo es favorable. También suele decirse que son equiprobables (igual probabilidad).

En cambio, si apostamos a una cara y una ceca tendremos más chances de ganar, pues de los 4 resultados posibles 2 son favorables. Dicho de otra forma tenemos la mitad de las posibilidades de ganar, lo que es equivalente al 50%.

Sacar una y una tiene el doble de posibilidades que sacar dos caras o dos cecas, es decir que las tres posibilidades de apuestas no son equiprobables.

Queremos medir la probabilidad de sacar un tres al tirar un dado cúbico.Al hacerlo puede salir cualquiera de los números del 1 al 6. Hay 6 resultados posibles.

Éste es el total de casos posibles, o sea la cantidad de resultados diferentes que pueden obtenerse. Todos ellos tienen la misma probabilidad de salir, son casos equiprobables o igualmente posibles. En esta situación son 6 los casos posibles.

De estos 6 casos posibles sólo 1 es favorable a sacar un 3.La probabilidad de sacar un 3 es: 1 entre 6 1 de cada 6 1 en 6 De cada 6 posibles 1 es favorable

Todas estas expresiones son equivalentes, y se expresan matemáticamente como 1. Como son 6 los casos posibles, y uno solo el caso favorable, la 6

probabilidad de sacar un tres es (una en seis).En símbolos:

Casos favorablesCasos posibles

P(s) = CF CP

Analicemos otro caso: Sacar una carta de un mazo de 40 y que sea una espada.



La cantidad de casos favorables es 10 (hay 10 espadas) y los casos posibles son 40 (hay 40 cartas en total y todas tienen las mismas posibilidades de salir).

Los tres resultados pueden leerse como:“10 de 40” o “uno de cada cuatro” : 0,25 es el número que expresa la probabilidad.Apliquemos la fórmula vista:P(E) = 10 = 0,25 40

Corroboramos de esta forma, que la posibilidad de sacar una espada del mazo de 40 cartas es del 25%.

Casos especialesAl tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor que 9?Los casos favorables son 6, ya que todos los números de un dado son menores que 9.

Es seguro que el número que obtendremos es menor que 9.Los casos posibles también son 6, entonces P(<9) = 6 = 1. 6

Si un suceso es seguro la probabilidad es 1.

Si un suceso es imposible la probabilidad es 0.

Si tenemos 5 monedas y en total suman $0,80, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea de $1? Si las 5 monedas suman $0,80, es imposible que una sea de $1. Por lo tanto: P($1) = 0= 0

6

Es lícito entonces, resumir que la probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, lo que ocurre es que tendemos a hablar en términos de porcentajes, entonces a la fórmula anterior la multiplicamos por 100 y así obtenemos el porcentaje buscado.

El porcentaje permite apreciar con mayor facilidad cuán probable es que ocurra o no cierto suceso. Cuánto más se aproxime al 100% mayor será la probabilidad. Si nos da 50% significa que es tan probable que ocurra como que no ocurra.

ACTIVIDAD 7»1) Indicar qué tipo de suceso es cada uno de los siguientes. Que mañana llueva Que un pez salte del agua y empiece a volar Vivir hasta los 100 años Encender el televisor y que estén dando una propaganda Que nuestro gato atienda el teléfono Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.2) Calcular la probabilidad de: Sacar un as (mazo de 40 cartas). Obtener un número mayor que 1 al lanzar un dado. Acertar a color negro en una jugada de ruleta.3) Calcular la P y expresarla como porcentaje. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una figura (sotas, caballos o reyes) de un mazo de 52 cartas? Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor que cinco? En una urna hay 5 bolas blancas, 8 azules y 3 amarillas; al sacar una sola bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?



Para ver más acerca del tema, pueden ver:“Principio multiplicativo | ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=pccJlNT38fE&list=PLEwR-RTQiRPWPR3ImvqTTF9-VIchUeQEK

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2. Técnicas de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones

Las técnicas de conteo son usadas para enumerar los eventos difíciles de cuantificar.En el enfoque clásico como vimos hasta ahora, el valor de la probabilidad es la razón

entre el número de resultados favorables respecto del número resultados posibles.Cuando los problemas son simples, el número de resultados pueden contarse

directamente. Sin embargo, en problemas más complejos, por ejemplo todas las combinaciones posibles en un grupo de 20 personas de varones y mujeres.

Para eso, es necesario usar técnicas de conteo para determinar el número de resultados posibles.

Una de las técnicas es el “diagrama de árbol” que vimos antes, que es una combinación de todos los casos posibles.

Las bases para entender las técnicas de conteo son; el principio multiplicativo y el aditivo:

Principio multiplicativo: El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.

Este principio establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras = N1 * N2… * Nx maneras.

Por ejemplo, calculemos la cantidad de números telefónicos que pueden existir en una ciudad donde los números constan de 7 dígitos, el primero no puede ser 0 y los demás pueden tomar valores del 0 al 9.

Aplicando el principio multiplicativo tendremos:1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º(9) (10) (10) (10) (10) (10) (10) = 9 000 000Tendremos 9.000.000 de posibles números telefónicos.



1) Resolver aplicando alguno de los principios vistos. Antonio quiere hacer un viaje pero no decide a cuál destino; en la Agencia de Turismo del Norte le ofrecen una promoción para viajar a Salta o a Cataratas del Iguazú, mientras que la Agencia de Turismo del Sur le recomienda viajar a Calafate, Ushuaia o Bariloche. ¿Cuántas alternativas de viajes diferentes le ofrecen Antonio entre las dos agencias? Marta es maestra de adultos y preparó una merienda para sus alumnos en ocasión del festejo del día del estudiante. Quiso comprar jugos en un mayorista. Las posibilidades eran las siguientes: dos tamaños: grande y pequeño; y cuatro sabores: manzana, naranja, limón y uva. ¿De cuántas maneras puede Marta elegir el jugo?2) Realizar un diagrama de árbol y especificar todas las elecciones posibilidades. Paula tiene un cumpleaños y decide vestirse con pollera y blusa. Elige 3 polleras que le gustan y 3 blusas. ¿Cuántas combinaciones posibles tiene?

ACTIVIDAD 8»

Principio aditivo: El principio aditivo establece que, si dos eventos m y n no pueden ocurrir al mismo tiempo, el número de formas como puede ocurrir el primer o segundo evento será la suma de m + n:

Número de formas = m + n… + x formas diferentes.Veamos un ejemplo: Joaquín desea comprar una memoria USB para guardar sus

archivos de estudio. Buscando precios, en un comercio le ofrecen dos marcas diferentes y en otro le dan a elegir entre 3 marcas (distintas a las anteriores). Quiere establecer cuántas posibilidades tiene:

Comercio A: 2 alternativas m Comercio B: 3 alternativas. nNúmero de formas = m + n = 2+3 = 5Joaquín tiene 5 opciones posibles para la adquisición de la memoria USB.

Para seguir con este tema, les recomiendo ver los siguientes videos: “Principio multiplicativo | ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=pccJlNT38fE&list=PLEwR-RTQiRPWPR3ImvqTTF9-VIchUeQEK

“Diagrama de árbol para contar los resultados”https://www.youtube.com/watch?v=1leOxpF8WcM

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3. Probabilidad condicional: sucesos dependientes, independientes y excluyentes

Sucesos dependientes: Son los sucesos que pueden afectar la probabilidad de que suceda otro evento; por ejemplo, el ser elegido para un puesto de trabajo dependerá de cuánta experiencia tenga una persona para ese trabajo o la preparación académica que posea.

Sucesos disjuntos o excluyentes: Son los sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo; por ejemplo, que un billete tenga a la vez el valor de $10 y de $50.

Sucesos independientes: Son los sucesos que no se ven afectados por otros sucesos; por ejemplo, el color de mi ropa no afectará la probabilidad de que llueva el día de hoy.



Pueden seguir con el tema viendo: “Distribución binomial (Ejercicio resuelto)”https://www.youtube.com/watch?v=EisaSQ1j_Kk

Pueden encontrar algunas características de este modelo de distribución en:“01 Qué es la distribución normal”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=phY8Z9-TXCY

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Distribución de probabilidad:Recordemos que la probabilidad de un suceso es un número que cuantifica (da un

valor) en términos relativos las opciones de que ese suceso se verifique.La probabilidad es un concepto ideal (no real) que se refiere a las frecuencias con

las que ocurrirían las cosas en el caso hipotético de que los eventos se repitiesen un número grande de veces y con las mismas condiciones.

Distribución binomial:La distribución binomial es un modelo de distribución usado para variables discretas.

Para saber si una variable se ajusta al modelo binomial debe cumplir tres requisitos:Ajustarse al cumplimiento o incumplimiento de una condición (llueve o no llueve;

asistió o no asistió; aprobó o no aprobó).Producir una secuencia de n observaciones de esos ensayos dicotómicos en los que

la probabilidad de verificación de la condición en cada repetición es constante.Definir una variable aleatoria (azarosa) X como el número de casos de esa secuencia

en los que se cumple la condición.

Distribución normal:Este tipo de distribución es usado para variables continuas. En la mayor parte de las

variables existe un valor central (la media o promedio) en torno al cual se concentra la mayor parte de las observaciones, a medida que nos alejamos de la media, los valores son menos frecuentes dibujando una curva en la representación gráfica. A la gráfica se la conoce como campana de Gauss.

La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro, la media que se denomina μ (letra griega mu).



Prueba de hipótesis:Una prueba de hipótesis es un procedimiento, con el que se busca tomar una decisión

sobre el valor de verdad de una hipótesis estadística.Al realizar una prueba de hipótesis decidimos si rechazar o no rechazar esa hipótesis

estadística. Basamos la decisión en la evidencia muestral.Muchas veces se la compara con un juicio: se deben recolectar evidencias para

analizar si la hipótesis de base se sostiene o se rechaza.

Analicemos un caso:Un fabricante de galletitas produce paquetes en los cuales el peso nominal impreso

es de 500 gramos. Pero el contenido real en gramos es una variable aleatoria. No tienen exactamente 500 gramos todos los paquetes. El fabricante, basándose en información histórica, afirma que la media de esa variable X es μ=500 gramos con un desvío estándar de 5 gramos. Se desconfía de la afirmación del fabricante acerca de que μ=500 gramos. Se quiere analizar si en realidad el peso promedio de los paquetes es inferior a 500 gramos.

La variable que nos interesa observar es X: peso en gramos de un paquete de galletitas de la fábrica.

Las dos afirmaciones que se contraponen en esta situación son: Afirmación del fabricante, que llamaremos hipótesis nula: la media de X es 500: μ=500. Afirmación alternativa: hipótesis alternativa: la media de X es menor que 500: μ<500.

Como se trata de una discusión acerca del valor de un parámetro, no es fácil decidir cuál afirmación es correcta. Habría que medir todos los paquetes de la producción para conocer la verdadera esperanza de X. En general esto es inviable. Para no tener que medir el peso en todos los paquetes de la producción se puede tomar una muestra aleatoria de n paquetes, y analizar si los valores observados de X son o no coherentes con la afirmación del fabricante.

Para lo que sigue a continuación es requisito saber sobre la distribución de la variable media muestral.

Supongamos que se toma una muestra aleatoria de 100 paquetes, y se mide el peso (utilizando una balanza muy precisa) en cada uno de los 100 paquetes. Obtenemos entonces una muestra aleatoria de la variable X:

X1,X2,X3…,X100

Sabemos que la medía muestral X es un buen estimador de la media poblacional μ. Entonces vamos a calcular la media muestral del peso de los 100 paquetes, para contrastarla con la hipótesis nula.

Si obtenemos un valor de X “muy inferior a 500”, rechazaremos la hipótesis nula. Si obtenemos un valor de X “muy cercano a 500”, diremos que no existe evidencia

suficiente para rechazar la hipótesis nula. Si se obtiene que el promedio de los pesos es de X = 421,3 gramos, podríamos

concluir que la evidencia muestral no es compatible con la afirmación del fabricante. Si se obtiene que el promedio de los pesos es de X =499,8 gramos, podríamos

pensar que el valor de X obtenido es muy cercano al valor de μ propuesto por la hipótesis inicial… Y entonces concluir que no hay evidencia contraria a esa hipótesis.

Para profundizar y afianzar contenidos, pueden leer:http://probafacil.com/prueba-de-hipotesis-estadistica/

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1. Cuerpos geométricos

Cuando hablamos de los cuerpos geométricos dijimos que ocupaban un lugar tridimensional en el espacio y que, por lo tanto, contaban con largo, ancho y profundidad.

Apunte de clase: Cuerpos geométricos

UNIDAD 4 Cuerpos geométricos

Para recordar la clasificación y características de cada cuerpo y sus elementos (poliedros y redondos), pueden ver: “Poliedros - Geometria”https://www.youtube.com/watch?v=3gWNfO1lgvs “Los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos redondos”https://www.youtube.com/watch?v=lqv0dYnKTxA&t=12s

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Algo más acerca de áreas:http://www.calculararea.com/index.htm

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2. Volumen. Medición y cálculo del volumen de un cuerpo

Cuando hablamos de los cuerpos geométricos dijimos que ocupaban un lugar tridimensional en el espacio y que, por lo tanto, contaban con largo, ancho y profundidad.

El espacio que ocupa un cuerpo se denomina volumen y depende de las dimensiones del cuerpo. Así como vimos fórmulas para el cálculo del área de las figuras, también existen fórmulas para el cálculo del volumen de los cuerpos.

Si queremos levantar una construcción de hormigón, llenar un camión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la vajilla en un armario o la mercadería que compramos (latas de tomates, paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en un estante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debemos estimar los respectivos volúmenes.

Para medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal como se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- y adoptar una unidad de medida común.

Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemos que entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior del baúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir por un baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, entonces podría decir mide sesenta.

Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene el sólido en cuestión.

El metro cúbico (m3) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.El centímetro cúbico (cm3) es el volumen que tiene un cubo de 1 cm de arista.

Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un balde es conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm3) .

Si se quiere medir el volumen de aire que contiene una habitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m3).

Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene indicada en centímetros cúbicos (cm3) o en milímetros cúbicos (mm3).

Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm3 y la cantidad de cubitos de 1 cm de arista (1 cm3) necesarios para llenarlo podrá recordar que en las unidades de volumen del SIMELA la relación entre las diferentes unidades es de potencias de 10.



1 cm3

1 dm3

Recordar: 1 dm= 10 cm, 1 dm2 = 10 cm . 10 cm = 100 cm2

1 dm3 = 10 cm . 10 cm . 10 cm = 1000 cm3

La medida del volumen se puede obtener calculándola a partir de conocer algunas longitudes.

Por ejemplo, la fórmula del prisma es:

Volumen del prisma = área de la base x altura o largo x ancho x alto.

Analicemos este ejemplo.Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubos de 1 cm3 .

Observamos que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho, con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego, en el alto caben 3 cubos. Finalmente contamos todos los cubos y se obtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos.

Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directamente multiplicando los valores del largo por el ancho por el alto o lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura.

Analicemos estos datos:Longitud del largo = 6 cmLongitud del ancho = 5 cmLongitud del alto = 3 cm

Volumen del prisma = 6 cm x 5 cm x 3 cm = 90 cm3.O averiguamos el área de la base= 6 cm x 5 cm= 30 cm2 y la multiplicamos por la altura:

30 cm2 x 3 cm = 90 cm2.

Para ahondar en el tema pueden visitar:http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/geometria-basica/clase-8-volumenes-los-cuerpos-geometricos/

WEB

3. Fórmulas

Para calcular el volumen de cualquier cuerpo geométrico, usamos las fórmulas. En el cuadro se las presentamos, tomando como base al prisma para desarrollar las siguientes:

CUERPO

Cubo

Prisma

VOLÚMEN(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cubo)

a: arista volúmen: a3

V = área de la b x h oV = L x a x h

(El área de la base te dará una medida al cuadrado que al

multiplicarla por la altura (h) obtendrás una medida elevada al

cubo).

área = 1 cara x 6Atotal = a2 x 6

Atotal = cara lateral x 4 + 2x base

ÁREA(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cuadrado)



CUERPO

Pirámide

Esfera

Cilindro

Cono

VOLÚMEN(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cubo)

V = 1 B x h 3

(La pirámide es 1/3 del prisma, por lo tanto su volúmen es 1/3 del

volúmen del prisma)

V = π B x h(π r2 es el área de la base circular)

V = 4 π r3 3

V = 1 π r2 h 3

Atotal = 1 x n a + B 2x = longitud de cada lado de la base

n= cantidad de ladosa= apotema

b= base

Atotal = 2 π r h + 2 π r2

(el primer término equivale al área lateral y el segundo área de las dos bases)

Atotal = 4 π r2

Atotal = π r2 + π r g

ÁREA(siempre obtendrás resultados con la

unidad de medida elevada al cuadrado)

Para seguir con el tema les propongo dos enlaces antes de pasar a las actividades: “Área y volúmen de cuerpos geométricos ”https://colbuenosaires.edu.co/portal/prueba-2/ “Cuerpos - Trigonometría - Educatina”https://www.youtube.com/watch?time_continue=15&v=NxmH01Oou6k

WEB Y VIDEO

4. Algunos problemas

Resolvamos juntos algunos problemas:a) Sabemos que cuando un objeto se sumerge en un recipiente con un fluido, lo

desplaza ocupando su lugar. El volumen del fluido desplazado es igual al volumen del objeto sumergido.



Puede resultarles de interés este sitio:http://data.imatematicas.es/suprevol/revolucion.htm

WEB

Este prisma tiene una base de 5 cm x 10 cm y 15 cm de altura. Tiene agua hasta sus 2/3 partes. ¿Qué volumen debe tener un objeto sumergido en él para que el líquido llegue hasta el borde superior?

Primero calculamos el volumen del agua contenida en el prisma:Usamos la fórmula, tomando 10 cm como altura ya que contiene 2/3 del total:

V = área de la base x h

El área de la base la obtenemos calculando:

L x l= 5 cm x 10 cm = 50 cm²

V = 50 cm2 x 10 cm = 500 cm3 (teniendo en cuenta la altura hasta 2/3)

El volumen del objeto sebe ser de 250 cm3 para que el líquido llegue hasta el extremo superior del recipiente.

Luego, calculamos el volumen total del prisma:V = 5 cm x 10 cm x 15 cm = 750 cm3 (con la h total del recipiente).Para su llenado total nos faltan 750 cm3 – 500 cm3 = 250 cm3

b) Un tanque de forma cilíndrica tiene las siguientes dimensiones: área de la base = 157 m2. Su altura es el doble de la medida del diámetro. Calcular la altura y el volumen.

Primero hallamos la altura que, como está relacionada con el diámetro, tenemos que despejarla de la fórmula del área de la base para encontrarlo.

π r2 = 3,14 x r2 = 157 m2

r2 = 157 m2 / 3,14= 50 m2

r = 50 m2 = 7,07 m

Si r = 7,07 entonces D = 2 x r = 14,14 m (medimos longitud, usamos m)La altura, que es el doble del D, será 2 x D = 2 x 14,14 m = 28,28 mAhora que sabemos la altura, podemos calcular el volumen del cilindro:

V= π r2 x h = 157 m2 x 28,28 m = 4439,96 m3



Completar con el volumen de los cuerpos pedidos. Recordar las fórmulas y el procedimiento para despejar la incógnita que se quiere calcular.

ACTIVIDAD 9»

Una pecera de base rectangular de 15 cm por 25 cm está llena hasta sus 45 partes con 9 dm3 de agua. ¿Cuál es su altura? Si se hace girar este rectángulo alrededor de su lado marcado con rojo, ¿qué cuerpo se genera?

Calcular el área total y el volumen del cuerpo que se genera.



Bibliografía y Webgrafía

Apuntes de Cátedra Gutiérrez. (2016) Matemática. Buenos Aires, Argentina. UBA, CBC Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 4. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 5. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación del Ministerio de Educación. Matemática 6. Buenos Aires, Argentina. Ministerio de Educación de la Nación. Meana, M.G. Matemática: Iniciación al Álgebra. Ministerio de Educación de la Nación. Buenos Aires, Argentina. Muiños, R. Apuntes de cátedra: Estadística. (2015). Buenos Aires, Argentina. UBA. Tapia, C; Tapia, A; Vázquez, N. (1994). Matemática 2. Buenos Aires, Argentina. Estrada.



Unidad 1: Límites Apuntes de clase: Límites -1. Límite finito -2. Límite laterales -3. Límite infinito -4. Cálculo de límites -5. Indeterminación del tipo ∞/ ∞ -6. Asíntotas lineales -7. Continuidad de una función en un punto

Unidad 2: Derivadas Apuntes de clase: Derivadas -1. Derivada de una función en un punto -2. Interpretación geométrica de la derivada -3. Función derivada -4. Cálculo de derivadas -5. Recta tangente y normal -6. Derivadas sucesivas

Unidad 3: Aplicaciones de las derivadas Apuntes de clase: Aplicaciones de las derivadas -1. Introducción -2. Signo de la primera derivada

• 2.1. Intervalos de monotonía• 2.2. Determinación de máximos y mínimos

-3. Signo de la segunda derivada• 3.1. Determinación de máximos y mínimos• 3.2. Puntos de inflexión

Unidad 4: Antiderivadas Apuntes de clase: Antiderivadas -1. Antiderivadas -2. Integrales indefinidas -3. Métodos de integración. Integración por sustitución -4. Cálculo de derivadas -5. Integral definida

• 5.1. Regla de Barrow• 5.2. Propiedades

-6. Cálculos de áreas en diferentes casos -7. Cálculos de áreas encerradas entre 2 funciones

Bibliografía



1. Límite finito

Vamos a ver en qué condiciones los valores de una función se aproximan a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto a, que puede o no pertenecer al dominio.

Consideremos la función:f(x)=2x-1 con la restricción de que x≠3

Apunte de clase: Límites

UNIDAD 1 Límites



Estudiemos la variación de la función en un entorno reducido del punto 3, sin preocuparnos de lo que sucede en ese punto, es decir cuando la variable x se aproxima ilimitadamente a 3, sin hacerse igual a 3, lo que se designa x→3 (x tiende a 3).

Realizamos una tabla de valores:

Los valores de f(x) se aproximan a 5 cuando x→3Entonces podremos afirmar que:

x→3 f(x) = 5

x 2,8 2,99 3,001... 3,01 3,1 3,22,99 ...

...

2,999 3

F (x) 4,6 4,98 5,0024,8 4,998 ... 5,02 5,2 5,4

La fórmula general del límite queda expresada como

x→a f(x) = l

Donde a será el punto de acumulación donde deseamos saber que ocurre, y l el valor finito que satisface a la f(x)

Definimos entonces al límite, como una forma para saber qué sucede con la función en determinado punto del dominio.

Para resolver los límites, reemplazaremos las x de la función por el valor a.Por ejemplo:

x→-1 2x+8 = 2 . (-1)+8 = 6

x→-1 x²+x = 1²+1-3 = -1

ACTIVIDAD 1»Calcular los siguientes límites:a) x→3 X X2

b) x→-2 x2+9-x

c) x→0 x7-3

d) x→-1 1+x

2. Límite laterales

Hasta ahora, al hablar de límite consideramos puntos próximos al punto de acumulación “a” a ambos lados de dicho punto. En algunos casos interesa el comportamiento de la función en puntos del dominio a un solo lado, es decir en un semientorno a la derecha o a la izquierda.

Consideremos la siguiente función:

f (x) = lxl con x ≠ 0 x

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim



Con su respectivo gráfico:

Observamos que para elementos del dominio mayores a cero se satisface la definición de límite con el número.

x→0 |x| = 1 xAnálogamente, para los valores menores a cero el límite es -1. x→0 |x| = -1 xA modo de conclusión, podemos afirmar que si una función admite el mismo número

como límite por la derecha y por la izquierda de un punto de acumulación “a”, entonces dicha función tiene límite finito en ese punto.

En nuestro ejemplo anterior, la función no posee límite finito en el punto de acumulación cero.

En el siguiente ejemplo donde f(x) es una función partida, es decir que está formada por dos o más funciones restringidas a una pequeña parte del dominio.

lim

lim

f (x) = -1 si x < 1 Calcular lim f(x) 2x si x > 1 x→1



Podemos observar que la primera función es una constante de valor -1, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean menores o iguales a 1.

La segunda función es una lineal, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean mayores a 1.

Entre las dos logran que el dominio de f(x) sean todos los números reales.Ahora volviendo al cálculo del límite, cuando se trata de este tipo de funciones

procederemos a analizarla por izquierda y por derecha:Por la derecha: (colocamos como índice de x el signo +).

x→1 + 2x = 2Por la izquierda (colocamos como índice de x, el signo -)

x→-1 - 1 = -1

Si el límite por ambos lados es igual, podremos decir que existe un límite finito. Caso contrario diremos que no existe límite en el punto.

En nuestra función entonces:

x→1 f(x) Ǝ

Para seguir con el tema pueden visitar:http://matematica.50webs.com/limite-finito.html

WEB

ACTIVIDAD 2»Calcular si las siguientes funciones por partes poseen límites finitos en el punto:a) f (x) = x² si x<2 cuando x→2 2x si x<2

b) f (x) = x si x< 4 cuando x→4 -1 si x> 4

c) f (x) = x² si x< 0 cuando x→0 x si x> 0

3. Límite infinito

La inexistencia de límite finito en un punto de acumulación “a” puede significar, como ya hemos visto, que no coincidan los límites laterales a derecha e izquierda, o bien, que cuando x se aproxima al punto de acumulación “a” los valores de la función superan, en valor absoluto, a cualquier número prefijado.

Consideremos la funciónf (x) = Como sabemos x≠0 y ahora veremos por qué.Tomemos valores en un entorno reducido del punto cero.

x 0,1 0,001 -0,01-0,001 -0,10,01 00,0001 -0,0001

F (x) 10 1000 -100100 10000 -10000 -1000 -10

1 x

lim

lim

lim



A medida que x toma valores próximos a cero, la función toma, en valor absoluto, valores cada vez más grandes.

Se dice entonces que el x→0 1 → ∞ x

Entendiéndose por ello que la función en valor absoluto toma valores tan grandes como se quiera.

4. Cálculo de límites

Indeterminación del tipo 0 0

Consideremos el siguiente límite: x →2 x²-4 = 2² - 4 = 0 x-2 2-2

Tanto la función del numerador como la función del denominador tienen límite 0. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo 0

0

lim

lim



Para poder calcular el límite debemos “salvar” la indeterminación, es decir, aplicar algún procedimiento algebraico para poder simplificarla.

En este caso factorizaremos el numerador:

x →2 x²-4 = x →2 (x-2) (x+2) x-2 x-2

Procedemos a cancelar el factor (x-2) que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x →2 x+2 = 2+2 = 4

De esta forma obtuvimos que cuando x tienda a 2, el límite será 4.

ACTIVIDAD 3»Calcular los siguientes límites:a) x→1 5x²+2x x

b) x→1 x³+x²+x x²-2x

c) x→1 x-1 x²-2x+1

5. Indeterminación del tipo ∞/∞

Consideremos el siguiente límite:x→∞ 2x+1 = 2∞+1 x−3 ∞−3

El símbolo ∞ nos indica un número demasiado grande, al cual no lo influyen las operaciones comunes (como la adición, sustracción, o multiplicación; si lo hará la división, explicada más adelante), por eso el límite nos quedará de la siguiente forma:

2∞+1 = ∞ ∞−3 ∞

Entonces, tanto la función numerador como la función denominador tienen limite infinito. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo ∞

∞Para poder calcular el límite, sacaremos factor común la x de mayor exponente en el

numerador y el denominador, es decir:

x→∞ 2x+1 = x→∞ x(2+1/x) x−3 x (1-3/x)

lim lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim lim



Procedemos a cancelar el factor x que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x→∞ 2+1/x 1-3/x

Para tener en cuenta: k → ∞ 0

Si poseemos una constante cualquiera sobre cero diremos que el resultado va a tender a infinito: k → 0

∞

Si poseemos una constante cualquiera sobre infinito diremos que el resultado va a tender a cero.

Entonces continuando con el ejemplo anterior:

2+1/∞ = 2+0 = 21−3/∞ 1−0

Cuando los elementos del dominio tiendan al infinito, el límite será 2.

ACTIVIDAD 4»Calcular los siguientes límites:a) x→∞ x²-4+3 x²+1

b) x→∞ x³-2x+3 3 x³ -5x+1

c) x→∞ x-2 x³+2

Pueden mirar el siguiente video en el cual se resuelve una indeterminación del tipo 0 0“LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=rrbS5l--1Ss

VIDEO

6. Asíntotas lineales

Se le llama así a una recta que se aproxima continuamente a la gráfica de una función, pero nunca llegara a tocarla.

Poseemos asíntotas verticales, las cuales son paralelas al eje de ordenadas; y asíntotas horizontales, las cuales son paralelas al eje de abscisas.

Asíntota verticalLa recta x=a es asíntota vertical al gráfico de la función si y sólo si:

x→a f(x)→∞

En el caso de obtener una constante k, el valor a nos indicará donde la función tiene un “agujero”, es decir que el punto (a;k) no pertenece a la función.

lim

lim

lim

lim

lim



Asíntota horizontalLa recta y=l es asíntota horizontal al gráfico de la función si y sólo si:

x→∞ f(x)=l

Aplicación de las asíntotas en funciones racionalesLas funciones racionales son aquellas cuya fórmula está dada por el cociente entre

dos polinomios.f(x) = p(x) con q(x)≠0 q(x)

Sea entonces

F(x) = 3x+1 x-2

Indicaremos el dominio de la función. Recordamos que son los valores de x para los cuales existe valor en el eje y.

Como dijimos antes q(x) no podrá ser igual a cero, entonces:x-2≠0x≠2

EntoncesDom f(x)=R-2

Es decir, que todos los números reales del dominio satisfacen a f(x), a excepción del número 2.

Ahora averiguaremos qué sucede con la función en ese valor, aplicando los conocimientos antes vistos:

x→2 3x+1 = 3.2+1 = 6+1 → ∞ x-2 2-2 0

Podremos decir que x=2 es asíntota vertical.Ya que cumple con la condición antes mencionadaNos faltaría saber qué sucede cuando x→∞

x→∞ 3x+1 = 3∞+1 = ∞ x-2 ∞-2 ∞

x→∞ x(3+1/x) = 3 + 1/∞ = 3+0 = 3 x (1-2/x) 1 - /∞ 1-0

Entonces y=3 es asíntota horizontal.Si graficamos la función, obtendremos lo siguiente:

lim

lim

lim

lim



Evitable cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder Ǝ f(a) f(a)≠x→a f(x)

Esencial cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder x→∞ f(x)=∞ x→a+ f(x)≠ x→a- f(x)

ACTIVIDAD 5»Calcular las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales:a) F(x) = x²-x x²-2x-3

b) F(x) = x²-5x+6 x²-3x+2

b) F(x) = x²+x-6 x²-6x+9

7. Continuidad de una función en un punto

Sea f una función y a un punto de acumulación1) Ǝ f(a)

f es continua en a si y sólo si 2) Ǝ x→a f(x)=l (finito)

3) f(a)= x→a f(x)

Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, la función es discontinua en a.Existen 2 tipos de discontinuidad:

lim

lim

limlim

limlim

limlim



Por ejemplo:f(x) = f(x) = x²−1 x+1 Aclaramos los elementos del dominio que no pertenecen a la funciónen este caso x ≠ -1Y ahora procedemos a averiguar que sucede en el ese punto

x→ -1 (x+1)(x−1) = -1-1 = -2 x+1

Como no existe f(-1) podemos asumir que hay una discontinuidad evitable en x=1Si la graficamos podemos observarla mejor.El ser evitable nos permite recorrer la función “salteando” solo el punto que no

pertenece a la función.

Otro ejemplof(x)= 1 En este caso x≠4 x−4

x→4 1 = 1 → ∞ x−4 0

Por tratarse de una asíntota, diremos que es una discontinuidad esencial. Si observamos su gráfico podemos decir que como es esencial no podemos recorrer

la función y solo “saltear” el punto que no pertenece.

lim

lim



Apunte de clase: Derivadas

UNIDAD 2 Derivadas

1. Derivada de una función en un punto

Sea f una función continua definida en un intervalo abierto y sea a un punto cualquiera perteneciente a dicho intervalo.

Cuando del valor a pasamos al valor x decimos que la variable ha experimentado un incremento ∆x

∆x=x-a

De la misma manera la ordenada ha pasado del valor f(a) al valor f(x) y experimenta el incremento ∆y

∆y=f(x)-f(a)

Definición:La función f tiene derivada en el punto a si y sólo si existe el limite finito del cociente

incremental Δy cuando ∆x→0 Δx

f’(a) = ∆x→0 Δy o f’(a)=x→a f(x)−f(a) Δx x−a

Ejemplo:Queremos hallar la derivada de la función f(x)=3x² en x=2Aplicamos la fórmula utilizando el valor 2 como punto a:f’(2)= x→2 x²−3.2² x−2

lim lim

lim



f’(2) = 3.2²−2 = 12−12 = 0 2−2 0 0

Como vimos anteriormente, al obtener una indeterminación 0 0 debemos “salvarla” utilizando algún procedimiento algebraico. En este caso primero

sacamos como factor común al 3, y luego aplicamos el método de diferencia de cuadrados.

Si no recuerdan el método, pueden mirar el siguiente video:

“DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=5RtsQZLIDSY

VIDEO

f’(2)= x→2 3(x²−4) = x→2 3(x+2)(x−2) x−2 x−2

x→2 3(x+2) = 3(2+2)=12

Entonces la derivada de la función f(x)=3x² en x=2 es 12

ACTIVIDAD 6»Hallar las siguientes derivadas de la función en el punto:a) f(x)=x2+4x-5 en x=1

b) f(x)=x3+2x-5 en x=1

2. Interpretación geométrica de la derivada

lim lim

lim



Recordamos que una recta tangente es aquella que intersecta a una curva en un solo punto.

De esta forma, en una función f(x) por cada punto a obtendremos una recta tangente diferente, ya que modifica su pendiente.

La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

3. Función derivada

Hasta ahora hemos calculado f’(a), pero si consideramos al punto a como variable, se tiene f’(x) que se llama función derivada primera de f.

Ejemplo:Sea f(x)=5x²+3x hallar f’(x)

Esta vez como no poseemos valor para a ya que es variable, la colocamos en la fórmula como si fuera una incógnita más, de esta forma:

f’(a)= x→a 5x²+3x−(5a²+3a) = 5a²+3a−5a²−3a = 0 x−a a−a 0

Observamos que hay que realizar el límite, al hacerlo, obtenemos una indeterminación, por lo tanto, procedemos sacando factor común 5 y 3 de la siguiente manera:

lim

f’(a)= x→a 5(x²−a²) + 3(x−a) = 5(x+a)(x−a)+3 (x−a) x−a x−a

f’(a)= x→a 5(x+a)+3 = 5(a+a)+3 = 5 . 2a+3 = 10a+3

Para terminar, expresaremos el resultado en función de x cambiando la a por una x:f’(x)=10x+3Acabamos de obtener la función derivada con la cual podremos hallar todas las derivadas

puntuales que deseemos, sólo hará falta reemplazar la x por el punto correspondiente.Por ejemplo: hallamos f’(2) y f’(-1)

f’(2)=10 . 2+3=23f’(-1)=10 . (-1)+3=-7

Tienen otro ejemplo en el siguiente video:

“DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg

VIDEO

ACTIVIDAD 7»Hallar la función derivada de f(x)=8x2+2x+5 y las derivadas puntuales en:a) x=1b) x=12c) x=0

4. Cálculo de derivadas

Como vimos, hay que hacer demasiados pasos para obtener la derivada de una función, por eso, para un cálculo más rápido y práctico utilizaremos las siguientes reglas de derivación.

Donde u, v y w son funciones; k, n y a son constantes; e es el número irracional euler.

1) Derivada de la función constantef(x)=k f’(x)=0

2) Derivada de la función identidadf(x)=x f’(x)=1

3) Derivada de una potenciaf(x)=un f’(x)=n . un-1 . u’

4) Derivada de la raíz cuadradaf(x)= √u f’(x) = 1 . u’ ²√u

lim

lim



5) Derivada de una suma algebraica de funcionesf(x)=u+v-w f’(x)=u’+v’-w’

6) Derivada del producto de una constante por una funciónf(x)=k . u f’(x)=k . u’

7) Derivada del producto de 2 funcionesf(x)=u . v f’(x)=u’. v+u . v’

8) Derivada del cociente de 2 funcionesf(x)= u f’(x)= u′.v−u.v′ v v2

9) Derivada del logaritmo neperianof(x)=ln u f’(x)= 1 . u’ u

10) Derivada del logaritmo en base af(x)=log u f’(x)= 1 . u’ u.lna

11) Derivada de la función senof(x)=sen(u) f’(x)=cos (u) . u’

12) Derivada de la función cosenof(x)=cos (u) f’(x)=-sen(u) . u’

13) Derivada de la función tangentef(x)=tg(u) f’(x)=sec2(u) . u’ = u′ cos²(u)

14) Derivada de la función exponencialf(x)=eu f’(x)=eu . u’f(x)=au f’(x)=au . ln a . u’

Ejemplo de aplicaciónCalcularemos la derivada de la siguiente función:f(x) = 3x4+2x3-3x+8

Si aplicamos la regla 5, podemos derivar cada término y sumar algebraicamente sus resultados:

f’(x)=(3x4)’+(2x3)’-(3x)’+(8)’

Podemos observar que para el primer término podemos aplicar la regla 3:(3x4)’=4 . 3x4-1 . (x)’

Aplicando la regla 2 y resolviendo algebraicamente obtenemos:(3x4)’=12x3 . 1=12x3



Las mismas reglas podemos utilizarlas para el segundo término:(2x3)’=3 . 2x2 . 1= 6x2

Para el término 3 podemos aplicar la regla 6:(3x)’=3 . 1= 3

Y por último aplicamos la regla 1 al término independiente:(8)’=0

Ahora sumamos algebraicamente los resultados y nos quedaf(x)’=12x3+6x2-3

ACTIVIDAD 8»Derivar las siguientes funciones utilizando las reglas de derivación:a) f(x) = 1 x3

b) f(x) = x2+cos(x)

c) f(x) = x . ln x

5. Recta tangente y normal

Habíamos comentado anteriormente que la derivada era la pendiente de una recta tangente a la función en un punto.

Ahora supongamos que deseamos saber más sobre esa recta tangente. Su ecuación será la siguiente:

t(x)=f’(a) .(x-a)+f(a)Si deseamos saber su recta normal tendremos en cuenta lo siguiente:n(x)= -1 .(x-a)+f(a) f′(a)Como observamos son similares, salvo por la pendiente, la cual en la recta normal es

la inversa y opuesta que la de la recta tangente.Gráficamente observamos lo siguiente:

Ambas rectas intersectan en el punto a y forman un ángulo de 90º entre ellas.



Ejemplo de aplicación:Si f(x)=x2-5x+3 hallaremos las rectas tangente y normal al punto a=1Comenzamos calculando f(a)f(1)=12-5 . 1+3=-1Continuamos calculando la f’(x)f’(x)=2x-5La evaluamos en el punto af’(1)=2 . 1-5=-4

Ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula para obtener la recta tangentet(x)=f’(1) .(x-1)+f(1)t(x)=-4 . (x-1)-1

Aplicamos la propiedad distributivat(x)=-4x+4-1t(x)=-4x+3

Una vez obtenida la recta tangente, calculamos la recta normaln(x)= - 1 . (x-1)+ f (1) f’(1)n(x)= - 1 . (x-1)-1 -4n(x)= 1 x -1 -1 4 4n(x)= 1 x - 5 4 4

ACTIVIDAD 9

ACTIVIDAD 10

»

»

Hallar las rectas tangentes y normales a las siguientes funciones:a) f(x)=6x-2 en a=8b) f(x)=3x2+x en a=-1

Calcular la derivada primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:a) f(x)=x3+3x2-2x+8b) f(x)=x2-8x+14c) f(x)=2x5+5x3-9x2

6. Derivadas sucesivas

A una función la podremos derivar las veces que deseemos, siempre y cuando no sea igual a cero.

A continuación hallaremos la f’(x), f’’(x), f’’’(x) de las siguientes funciones: f(x)=sen(x) f’(x)=cos (x) f’’(x)=-sen(x) f’’’(x)=-cos(x)

f(x)=ln (x) f’(x)=1 que es igual a x-1 f’’(x)=-x-2 f’’’(x)=2x-3

x



Apunte de clase: Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 3 Aplicaciones de las derivadas

1. Introducción

En esta unidad veremos qué datos se pueden obtener a través del uso de derivadas.En las funciones de grado 2 o superior, las derivadas nos ayudarán a calcular los

puntos extremos (E) y los puntos de inflexión (I).



Si una función f tiene derivada primera negativa en un punto a, entonces la función es estrictamente decreciente en dicho punto.

f’(a)<0

2. Signo de la primera derivada

El crecimiento y decrecimiento de una función está vinculado al signo de la derivada primera.

Si una función f tiene derivada primera positiva en un punto a, entonces la función es estrictamente creciente en dicho punto.

f’(a)>0



Ejemplo:Analizar el crecimiento o decrecimiento en los puntos x=-2 y x=1 de la función f(x)=x2

Calculamos la derivada segunda de la función:f’(x)=2x

Y evaluamos ambos puntos:f’(-2)=2 . (-2)=-4 f’(1)=2 . 1=2f’(-2)<0 f’(1)>0

Como conclusión decimos que la función crece en el punto x=1 y decrece en el punto x=-2

2. 1. Intervalos de monotonía

Son los intervalos en donde se contemplan todos los puntos donde la función crece o decrece.



Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es negativo, el extremo será un máximo de la función.

Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es positivo, el extremo será un mínimo de la función.

2. 2. Determinación de máximos y mínimos

La derivada de una función en un máximo o un mínimo es nula, ya que la pendiente de la recta tangente a ese extremo será cero.

Ejemplo:Teniendo la función f(x)=x3+3x2-1 analizaremos en que puntos se encuentran los

extremos.Primero procedemos a calcular la derivada primera y segunda de la función:f’(x)=3x2+6xf’’(x)=6x+6

Ahora igualamos f’(x)=0 para obtener los extremos máximos y mínimos3x2+6x=0

Aplicando la fórmula resolvente obtenemos 2 valores posible para xx1=-2 x2=0

Luego procedemos a evaluar ambos valores en la f’’(x)f’’(x1)=6 . (-2)+6 f’’(x2)=6 . 0+6f’’(-2)=-6 f’’(0)=6

A modo de conclusión decimos que:

Como f’’(-2)<0 la función tiene un máximo en x=-2

Como f’’(0)>0 la función tiene un mínimo en x=0



Para obtener los valores de y de ambos extremos, los evaluamos en la función original.f(-2)=(-2)3+3 . (-2)2-1 =3f(0)=03+3 . 02-1 =-1

Máximo en (-2;3) Mínimo en (0;-1)

Ahora procedemos a indicar los intervalos de monotonía. Podemos observar que en los extremos, la función modifica los mismos. (Observen la gráfica anterior).

Teniendo en cuenta los valores del dominio, analizamos la función por tramos.Desde el -∞ hasta el -2 la función crece, ya que los valores de y aumentan conforme

aumentan los de x.Desde del -2 hasta el 0 la función decrece, ya que los valores de y disminuyen conforme

aumentan los de x.Desde el 0 hasta el +∞ la función crece, ya que los valores de y aumentan

nuevamente.Escribiéndolo de forma de intervalos:(-∞;-2) U (0;+∞) intervalo de crecimiento(-2;0) intervalo de decrecimiento

ACTIVIDAD 11»Hallar los extremos de las siguientes funciones e indicar los intervalos de monotonía:a) f(x)=3x2+6xb) f(x)=x3+3x2-1c) f(x)=x2-3x+10



3. Signo de la segunda derivada

La concavidad de una función está vinculada al signo de la derivada segunda.Si una función f tiene derivada segunda positiva en un punto a, entonces la función es

cóncava hacia arriba en dicho punto.f’’(x)>0

Si una función f tiene derivada segunda negativa en un punto a, entonces la función es cóncava hacia abajo en dicho punto.

f’’(x)<0

3. 1. Intervalos de concavidad

Son los intervalos en donde se contemplan todos los puntos en los cuales la función posee concavidad positiva o negativa.



3. 2. Puntos de inflexión

La derivada segunda de una función en punto de inflexión es nula, sabiendo esto, calcularemos los intervalos de concavidad de la siguiente función.

f(x) = 1 x3-4x 3

Primero procedemos a calcular la derivada segunda de la función.f’(x)=x2-4f’’(x)=2x

Luego igualamos f’’(x)=0 y despejamos x:2x=0x=0

Los valores de x obtenidos serán los posibles puntos de inflexión.Para verificarlos, procedemos a tomar un valor por derecha y un valor por izquierda al

posible punto, y evaluarlo en la derivada segunda de la función:f’’(-1)=2 . (-1)=-2f’’(1)=2 . 1=2

Como podemos observar, con los valores por derecha e izquierda obtuvimos signos opuestos, es decir:

f’’(-1)<0f’’(1)>0

Eso nos demuestra que en x=0 se encuentra un punto de inflexión, ya que modificó la concavidad de la función (signo de la segunda derivada).

Para conocer el valor de y solo hará falta evaluar el valor de x en la función principal:f(0) = 1 x3-4x = 1 . 03-4 . 0 = 0 3 3



ACTIVIDAD 12»Hallar los puntos de inflexión de las siguientes funciones e indicar los intervalos de concavidad:a) f(x)=x3+x2-x+2b) f(x)=x3-3x+2c) f(x)=x2+2x-8

Ahora procedemos a indicar los intervalos de concavidad. Teniendo en cuenta los valores del dominio, analizamos la función por tramos.Desde el -∞ hasta el 0 la función posee concavidad negativa.Desde el 0 hasta el +∞ la función posee concavidad positiva.Escribiéndolo de forma de intervalos:

(-∞;0) intervalos de concavidad negativa(0;+∞) intervalo de concavidad positiva



Apunte de clase: Antiderivadas

UNIDAD 4 Antiderivadas

1. Antiderivadas

Llamaremos a F(x) “primitiva” o “antiderivada” de f(x) ya que F’(x)=f(x)Para hallar la primitiva de f(x) debemos encontrar una función F(x) que al derivarla

nos de f(x).Por ejemplo: hallaremos la primitiva de f(x) = x2

Al tanteo vemos que si derivamos x3 obtenemos 3x2 que “se parece bastante” a f(x), con la diferencia de que nos sobra un 3 que multiplica a la x. Para anularlo podemos colocar un 3 dividiendo; por lo que propondremos como primitiva:

F(x) = x3

3

Para verificar, derivamos a F(x)F’(x)= 3x2 =x2

3

Observamos que F’(x) = f(x)Como segundo ejemplo, hallaremos la primitiva de f(x) = cos xObtenemos como resultado F(x) = sen xPero debemos preguntarnos, ¿es éste el único resultado posible?Si en el ejemplo anterior tomamos F(x) = sen x + 6, su derivada esF’(x) = cos x por lo que también verifica F’(x) = f(x)Ambas cumplen con la definición de primitiva ya que, al derivar la constante, ésta

desaparece.Entonces podemos decir que F(x) = sen x + C es una primitiva de f(x) = cos x, donde C contempla a los infinitos valores que pueden tomar las constantes.Así como el cálculo que derivadas conduce a un único resultado, el cálculo de primitivas

tiene infinitas soluciones que quedan expresadas en el siguiente teorema:

Todas las primitivas de una función difieren entre sí en una constante

2. Integrales indefinidas

Al conjunto de las primitivas de f se lo llama integral indefinida de f y se escribe:∫ f(x)dx=F(x)+C

Con los ejemplos antes vistos:∫ x2dx=x3+C ∫ cos x dx= sen x+C



Propiedades de las integrales:1) Si una constante multiplica una función, puedo sacarla de la integral∫ k . f(x) dx=k . ∫ f(x) dx

2) La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones

∫ [f(x)+g(x)-h(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx - ∫ h(x) dx

Algunas integrales saldrán inmediatamente, al utilizar la siguiente tabla:

∫ dx=x+C

∫ xn dx = xn+1+C n≠-1 n+1

∫ sen x dx=-cos x+C

∫ ex dx=ex+C

∫ tg x dx=-In(cos x) +C

∫ sec2 x dx=tg x+C

∫ k dx=kx+C

Si n=1 ∫ x−1 dx = ∫ 1 = In x+C x

∫ ax dx = ax +C lna

∫ cos x dx=sen x+C

∫ cotg x dx=In(sen x)+C

∫ cosec2 x dx=-cotg x+C

ACTIVIDAD 13»Resolver las siguientes integrales indefinidas:a) ∫ x dx=b) ∫ 2 dx=c) ∫ x3-3x2+1=

3. Métodos de integración. Integración por sustitución

A las integrales que no sean directas, las tenemos que resolver utilizando algunos de los siguientes métodos.

Integración por sustitución:Se aplica para integrar funciones compuestas y consiste en hacer un cambio de

variable para que la integral resulte inmediata, y podamos usar las tablas de integración.Por ejemplo:∫ (3x+1)2 dx=

Sustituimos a 3x+1 por la variable z, es decir z=3x+1Derivamos en ambos miembros por lo que nos queda dz=3 dx Despejamos a dx dx = dz 3

Ahora reemplazamos en la integral:∫ (3x+1)2 dx = z2 dz3



ACTIVIDAD 14»Realizar las siguientes integrales, utilizando el método de integración por sustitución:a) ∫ 1 dx 2x+5

b) ∫ cos(ln x ) dx

c) ∫ (1-5x)22 dx

Y procedemos a resolverla con ayuda de las propiedades y las tablas de integración:Gracias a la primera propiedad podemos sacar la constante que divide a dz hacia

afuera de la integral:∫ (3x+1)2 dx = 1 ∫ z2 dz 3

∫ (3x+1)2 dx = 1 . z3 +C 3 3

∫ (3x+1)2 dx = 1 . z3+C 9

No debemos olvidar de cambiar a la variable original, es decir, de z pasar a x∫ (3x+1)2 dx = 1 . (3x+1)3+C 9

Ahora procedemos a verificar para asegurarnos que el resultado es el correcto.Para ello derivamos el antes obtenido.F(x) = 1 (3x+1)3+C 9

F’(x) = 1 .3.(3x+1)2 . 3=(3x+1)2

9

4. Integración por partes

Se utiliza cuando no se puede integrar de forma inmediata o por sustitución.Consta de usar la siguiente fórmula, proveniente de la derivada de un producto:d(u.v) = v . du+u . dv

∫ d(u.v) = ∫ (v . du+u . dv)

u.v = ∫ v du + ∫ u dv

u.v - ∫ v du = ∫ u dv

∫ u dv = u.v - ∫ v du



Para elegir qué factor será u, basta con recordar la siguiente regla mnemotécnica:

I Inversas (del estilo 1/x)

L Logarítmicas (del estilo log, ln…)

P Potenciales (del estilo xn)

E Exponenciales (del estilo ex)

T Trigonométricas (del estilo sen, cos…)

Donde daremos la prioridad de arriba hacia abajo.Ejemplo de aplicación:∫ x . sen x dx =Llamaremos u a x ; y dv a sen x dxEn forma de cálculo auxiliar procedemos a calcular v y du.Si u=x; du será su derivada, entonces du=dxSi dv=sen x dx; v será su primitiva, entonces v=-cos x

Una vez conseguidos estos valores, los reemplazamos en la fórmula:∫ x . sen x dx=x . (-cos x) - ∫ -cos x dx

Y procedemos a resolver la integral inmediata:∫ x . sen x dx=- x . cos x +sen x+C

Para verificar nuestro resultado, solo hará falta derivarlo:F(x)=- x . cos x +sen x+CF’(x)=- 1 . cos x -x. (-sen x)+cos xF’(x)=-cos x+x . sen x+cos x F’(x)=x . sen x

ACTIVIDAD 15»Realizar las siguientes integrales, utilizando el método de integración por partes. Utilizar también el método por sustitución.a) ∫ x . ex dx=b) ∫ x .cos x dx=c) ∫ x . e3x+1dx=

5. Integral definida Una de las aplicaciones más importante de la integral es el cálculo de áreas.Supongamos que poseemos un rectángulo con 4 unidades de base y 2 unidades de

altura. Su área será el producto de ambas, es decir:A=b . h=4 . 2=8

Ahora bien, obtendremos el mismo resultado calculando la integral definida de la función equivalente. Más adelante les explicamos los procedimientos a realizar.



Tomaremos f(x)=2 para describir la altura, y los límites de integración 0 y 4 para definir la base, es decir:

A = 4 2 dx 0

A = 2x 4 0 A = 2 . 4 - 2 . 0A = 8

El teorema fundamental del cálculo integral nos lleva a definir la integral de f entre a y b como el número A(b).

a y b se llaman límites de integración; a es el inferior y b es el superior.

A(b) = b f(x) dx a

La integral se calcula por alguno de los métodos vistos y una vez obtenida la primitiva se reemplaza por la regla de Barrow para obtener el número buscado.

5. 1. Regla de Barrow

Esta regla indica que una vez obtenida la función primitiva, debemos evaluarla en el límite superior y restarle el límite inferior, de esta forma:

b f(x) dx=F(b)-F(a) a

Ejemplo:Sea f(x)=x2 calcular la integral entre los límites -2 y 1 1 x2 dx = x3 1 −2 3 -2

∫

∫

∫

∫



Aplicando la regla de Barrow: 1 x2dx = 13 - (−2) 3

−2 3 3

1 x2dx = 13 - (−8) = 3−2 3

5. 2. Propiedades

1) La integral definida entre el mismo límite de integración da como resultado un área igual a 0:

a f(x) dx = 0 Pues F(a) - F(a) = 0 a

2) La integral definida entre 2 puntos es igual a la integral negativa de los mismos 2 puntos cambiado el orden:

b f(x) dx = - a f(x) dx Pues F(b) - F(a) = - [F(a) - F(b)] a b

3) Si una constante multiplica una función, puedo sacarla de la integral: b k . f(x) dx = k . b f(x) dx a a

4) La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones

b [f(x)+g(x)-h(x)] dx = b f(x) dx + b g(x) dx - b h(x) dx a a a a

5) La integral definida entre 2 puntos, puede ser calculada como la suma de integrales definidas entre puntos intermedios

b f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx a a c

Área Total = Área A + Área B

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫



Les proponemos mirar el siguiente video: “INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=wuI5MFhvgsY

VIDEO

ACTIVIDAD 16»Resolver las siguientes integrales definidasa) 1 (x3+2x-3) dx = 0

b) e 1 dx = 1 x

c) 4 - 7 dx = −4

6. Cálculos de áreas en diferentes casos

Caso 1:Si la función es positiva en el intervalo [a;b]

Calcularemos el área como:A = b f(x) dx a∫

∫

∫

∫



Caso 2:Si la función es negativa en el intervalo [a;b]

Calcularemos el área como:A = - b f(x) dx a

Caso 3:Si deseamos calcular el área comprendida entre dos funciones distintas en el

intervalo [a;b]

Debemos calcular el área de f(x) y restarle el área de g(x)A = b [f(X)-g(x)] dx a

∫

∫



7. Cálculo de áreas encerradas entre 2 funciones

Deseamos saber el área encerrada entre las funciones f(x) = x3 y g(x) = xPrimero debemos saber en qué puntos intersectan, para ello procedemos a igualarlas.f(x) = g(x)x3 = xx3-x = 0

Sacamos factor común xx . (x2-1) = 0

Observamos una diferencia de cuadradosx . (x-1) . (x+1) = 0

Entonces sabemos que intersectan en 3 puntosx = -1 x = 0 x = 1

Podemos realizar un pequeño esquema para ayudarnos a calcular mejor:

Observamos que el área encerrada será la suma del área comprendida entre -1 y 0 y la comprendida entre 0 y 1.

Vamos con el primer intervalo:En la fórmula colocamos primero a f(x) ya que se encuentra por encima de g(x) (caso 3).

A-1 y 0 = 0 [f(x)-g(x)] dx −1∫



Y procedemos a calcular:

A-1 y 0 = 1 (x-x3) dx 0

A-1 y 0 = 0 x3 dx--10xdx −1

A-1 y 0 = x4 1 - x2 1 4 0 2 0

A-1 y 0 = (04 - (−1)4 )- (02 -(−1)2 ) 4 4 2 2

A-1 y 0 = (0 - 1) - (0 - 1) 4 2

A-1 y 0 = -1 + 1 4 2

A-1 y 0 = 1 4

Ya obtuvimos nuestra primer área, ahora seguimos con la otra.En la fórmula colocamos primero a g(x) ya que se encuentra por encima de f(x)

(caso 3).A0 y 1 = 1 [g(x)-f(x)] dx 0

Y procedemos a calcular:A0 y 1 = 0 - (x-x3) dx −1

A0 y 1 = 1 x dx - ∫ x3dx 0

A0 y 1 = x2| - x4 | 2 4

A0 y 1 = ( 12 - 02) - (14 - 04) 2 2 4 4

A0 y 1 = (1 - 0) - ( 1- 0) 2 4

A0 y 1 = 1 - 1 2 4

A0 y 1 = 1 4

∫

∫

∫

∫10

10

∫



Entonces el área total será:A = A-1 y 0+A0 y 1

A = 1 + 1 4 4

A = 1 2

Les proponemos mirar el siguiente video: “ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 2”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=kx4x2ki2bsY

VIDEO

ACTIVIDAD 17»Calcular el área encerrada por las siguientes funciones:a) f(x) = 3x2-x-3 y g(x) = -2x2+4x+7

b) f(x) = -x2+2x+1 y g(x) = x-1

c) f(x) = √x g(x) = x-2 y la recta que pasa por x=0

BIBLIOGRAFÍA

Material elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso, Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la integración a la Cultura Universitaria 2016-2019. UNRC- Secretaría Académica – CEPEIPER UTN (2016) MATEMÁTICA. Seminario de ingreso UTN Instituto Nacional Superior del Profesorado técnico. UNTREF (2009), Matemáticas. Material de cátedra ingreso Ingeniería. UTN BA (2012) Seminario de ingreso, módulo B Matemática/Física.



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