Glava 7?

Dodatak

Ova glava je posvecena nekim posledicama teorije izlozene u okvirukursa. Materijal koji se u njoj izlaze na pojedinim mestima zahteva do-datna proveravanja i preciziranja i sluzi, pre svega, da se ilustruju nekipravci istrazivanja u kojima teorija o Furijeovim redovima i o Furijeovojtransformaciji ima znacajnu ulogu.

7.1. Poasonova formula

Poasonova formula daje elegantnu vezu izmedu Furijeovih redova iFurijeove transformacije. Ona se zasniva na korisnom triku periodizacije.Neka je f apsolutno integrabilna funkcija i neka je L > 0. Tada je:

∞∑n=−∞

f(x + nL)

periodicna funkcija sa periodom L. Standardna verzija Poasonove formuleje data sledecom teoremom.

Teorema 7.1.1. Neka je data funkcija f takva da je:

|f(x)| ≤ C(1 + |x|)−p, |F (f)(ω)| ≤ C(1 + |ω|)−p, ∀x, ω ∈ R,

za neke konstante p > 1 i C > 0. Tada, za zadato L > 0, vazi:

∞∑n=−∞

f(x + nL) =2π

L

∞∑n=−∞

F

(2πn

L

)e2πinx/L, x ∈ R.

140 Glava 7?. Dodatak

Formula vazi tackasto za sve x ∈ R i obe sume su apsolutno konver-gentne.

Dokaz. Podsetimo se, ako je funkcija g periodicna sa periodom L > 0,njen Furijeov red u kompleksnom obliku glasi

∑∞n=−∞ cne2πin·/L, gde je:

cn =1

L

∫ L

0

g(x)e−2πinx/Ldx, n ∈ N.

Prema tome, za g(x) =∑∞

k=−∞ f(x + kL) vazi

cn =1

L

∫ L

0

∞∑

k=−∞f(x + kL)e−2πinx/Ldx

=1

L

∞∑

k=−∞

∫ L

0

f(x + kL)e−2πinx/Ldx

=1

L

∞∑

k=−∞

∫ (k+1)L

kL

f(y)e−2πiny/Le−2πinkdx

=1

L

∫ ∞

−∞f(y)e−2πiny/Ldx

=2π

LF

(2πn

L

), n ∈ N,

jer je e−2πink = 1 za sve k, n ∈ N. Pri tome smo koristili pretpostavke ofunkciji f koje dozvoljavaju razmenu sumiranja i integracije. Na osnovujedinsvenosti razvoja funkcije u Furijeov red (teorema 5.4.4), dobija setrazeno tvrdenje. 2

Na slican nacin se moze pokazati da, ako je F Furijeova transformacijafunkcije f i ako vaze uslovi teoreme 7.1.1, vazi sledeca formula:

(7.1)∞∑

n=−∞F (ω − nωs) =

1

2πT

∞∑n=−∞

f(nT )e−inTω, ω ∈ R,

pri cemu je T = 2π/ωs, a ωs > 0 zadata konstanta.

7.2. Senonova teorema o uzorcima 141

7.2. Senonova teorema o uzorcima

Senonova teorema opisuje jednostavan postupak izracunavanja bilokoje funkcije ogranicenog opsega sa frekvencijom L.

Definicija 7.2.1. Za signal (funkciju) f kazemo da je vremenski ogra-nicen1 ako postoji konstanta M takva da je f(x) = 0 za svako |x| ≥ M.Funkcija f ∈ G(R) je ogranicenog opsega2 ako postoji konstanta L takvada je F (f)(ω) = 0 za svako |ω| > L.

Funkcije ogranicenog opsega se mogu rekonstruisati iz svojih uzoraka(poznatih vrednosti u diskretnom nizu tacaka) na sledeci nacin.

Teorema 7.2.1. (Senonova teorema) Neka je f ∈ G(R) i neka za njenuFurijeovu transformaciju vazi: F (f)(ω) = 0 za svako |ω| > L. Tada zasvako ωs > 2L vazi:

f(x) =∞∑

n=−∞f(nT )

2 sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT ), x ∈ R,

pri cemu je T = 2π/ωs.

Dokaz. Neka je za zadato a ∈ R sa χa oznacena karakteristicnafunkcija intervala [−a, a], to jest:

χa(x) ={ 1, −a ≤ x ≤ a,

0, inace.

Na osnovu parnosti funkcije χa, primera 6.3.1 i posledice 6.3.1, sledi daje Furijeova transformacija funkcije 2 sin(aω)/ω jednaka sa χa.

Neka je ωs > 2L i neka vazi Fs(ω) =∑∞

n=−∞ F (ω − nωs), tada je Fs

periodicna funkcija sa periodom ωs i vazi:

F (ω) = Fs(ω)χωs2.

Na osnovu jedinstvenosti Furijeove transformacije, dovoljno je da se pokazeda je

F

( ∞∑n=−∞

f(nT )2 sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT )

)(ω) = Fs(ω)χωs

2(ω).

1Engl. time-limited.2Engl. band-limited.

142 Glava 7?. Dodatak

Lako se uocava da je:

F

(2π sin(ωsx/2)

ωsx/2

)(ω) = Tχωs

2(ω).

Prema tome:

F

(2π sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT )/2

)= Tχωs

2(ω)e−inωT .

Dakle:

F

( ∞∑n=−∞

f(nT )2 sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT )

)(ω) =

T

2π

∞∑n=−∞

f(nT )e−inωT χωs2

(ω)

=∞∑

n=−∞F (ω − nωs)χωs

2(ω) = Fs(ω)χωs

2(ω) = F (ω),

pri cemu je upotrebljena formula (7.1). Ovim je teorema dokazana. 2

Slika 7.1. Uslov ωs > 2ωc = 2L na gornjoj slici i ωs < 2ωc na donjoj slici

Prema teoremi 7.2.1, funkcija f ogranicenog opsega (sa frekvenci-jom L) potpuno je odredena svojim vrednostima u nizu ravnomerno ras-poredenih tacaka sa rastojanjem manjim od π/L izmedu susednih tacaka.Teorema daje formulu za odredivanje vrednosti funkcije f u svakoj tackina osnovu poznatih vrednosti u nizu uzoraka. Na primer, digitalni sig-nal na audio-kompakt-disku je uzorkovan 44 000 puta u sekundi. Ovo jeposledica cinjenice da ljudsko culo sluha ne registruje frekvencije iznad

7.2. Senonova teorema o uzorcima 143

20 000 Herca (20 kHz). Stoga se audio-signal najpre propusta kroz odgo-varajuci niskopropusni filter3 pa se tako dobijeni signal uzorkuje 44 000puta u sekundi, sto je, na osnovu Senonove teoreme, dovoljno za vernurekonstrukciju. Kao sto, pomalo saljivo, primecuje E. Behrends u knjizi,,Pet minuta matematike”: ,,U svetu u kojem bismo mogli da cujemofrekvencije proizvoljne visine CD ne bi postojao.”

Ako je poznato da je funkcija f ogranicenog opsega sa frekvencijomL, da bi rekonstrukcija bila moguca, ucestanost uzimanja uzoraka ωs

mora da bude veca od 2L. Frekvencija 2L se naziva Najkvistova frekven-cija. Ukoliko se signal uzorkuje rede nego sto je odredeno Najkvistovomfrekvencijom, moze da se desi da jednom nizu uzoraka odgovara vise raz-licitih signala, kao sto se vidi na slici 7.2.

Slika 7.2. Dva signala koja odgovaraju istom uzorku

Ova pojava preklapanja frekvencija naziva se aliasing i u tom slucajuoriginalni signal ne moze se rekonstruisati iz uzoraka na jedinstven nacin.Pri tome se moze desiti da se komponente visokih frekvencija zamenekomponentama niskih frekvencija.

Da bi se sprecio ili bar ublazio aliasing, postoje dve stvari koje semogu uciniti:

• povecati frekvenciju uzorkovanja na sve uzorke na kojima se pojavioaliasing;

• koristiti antialiasing filtere.

Antialiasing filter ogranicava opseg frekvencije signala tako da onzadovolji uslove za pravilno unapred odredeno uzorkovanje. Takva ogra-nicenja su moguca u teorijskom smislu, ali se ne mogu realizovati jerfilteri ne mogu biti idealno konstruisani. Stoga se kod antialiasing filterauvek javlja takozvano curenje visokih frekvencija. Antialiasing filteri sekoriste, na primer, u operativnom sistemu Windows 7.

3Videti poglavlje 7.4.

144 Glava 7?. Dodatak

Slika 7.3. Primer dejstva antialiasing filtera (desno)

Sledeci rezultat pokazuje da ne postoje netrivijalne funkcije iz G(R)koje su istovremeno vremenski ogranicene i ogranicenog opsega.

Teorema 7.2.2. Neka f ∈ G(R) i neka je F (f)(ω) = 0 za svako |ω| > L.Ako postoji M > 0 tako da je f(x) = 0 za sve |x| > M , onda je f ≡ 0.

Dokaz. Neka je ωs > 2L i T = 2π/ωs. Na osnovu Senonove teoreme,sledi da je:

f(x) =∞∑

n=−∞f(nT )

2 sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT ), x ∈ R.

Iz uslova f(x) = 0 za sve |x| > M sledi da postoji K ∈ N (za taj brojvazi K > LM/π + 1) tako da je:

f(x) =K∑

n=−K

f(nT )2 sin(ωs(x− nT )/2)

ωs(x− nT )

= 2 sinωsx

2

K∑n=−K

f(nT )(−1)n

ωs(x− nT ), x ∈ R,

pri cemu je koriscena formula za sinus razlike uglova. Sumiranjem izrazana desnoj strani jednakosti dobija se:

p(x)∏Kn=−K ωs(x− nT )

,

7.3. Princip neodredenosti 145

gde je p(x) neki polinom po x, stepena najvise 2K. Dakle:

K∏n=−K

ωs(x− nT )f(x) = 2p(x) sinωsx

2.

Kada je |x| > M , leva strana je jednaka nuli, pa sledi p(x) ≡ 0, odnosnof ≡ 0. 2

7.3. Princip neodredenosti

Furijeova analiza je, po svojoj prirodi, globalna. Vremensko-frekven-cijska lokalizacija je tema koja izlazi van okvira ovog kursa. Ipak, apara-tom Furijeove analize moguce je pokazati da ne postoji idealna lokaliza-cija. O tome govori princip neodredenosti.

Radi jednostavnijeg racuna pri izvodenju principa neodredenosti pret-postavlja da je data funkcija f za koju vazi

∫∞−∞ x|f(x)|2dx = 0 i da

je f normalizovana tako da je∫∞−∞ |f(x)|2dx = 1. Tada je, na osnovu

Planserelovog identiteta,∫∞−∞ |f(ω)|2dω = 2π. Velicinu |f(x)|2 je moguce

interpretirati kao raspodelu gustine ,,mase” signala, a srednji polozaj sig-nala ili njegov ,,centar gravitacije” je dat sa

∫∞−∞ x|f(x)|2dx. U ovom

slucaju, broj:

σ2(f) =

∫ ∞

−∞x2|f(x)|2dx

je mera srednje kvadratnog odstupanja od centra gravitacije ili stepen lo-kalizacije signala f oko svog sredista. U ovom slucaju centar gravitacijeje jednak nuli.

U frekvencijskom domenu ovo vazi za Furijeovu transformaciju F i zapromenljivu ω. Kada je ,,srednja frekvencija” signala jednaka nuli,

2π

∫ ∞

−∞ω|F (ω)|2dω = 0,

velicina:

σ2(F ) =

∫ ∞

−∞ω2|F (ω)|2dω

meri stepen lokalizacije signala F kao srednje kvadratno odstupanje od,,centra frekvencije”. Izrazi σ2(f) i σ2(F ) nazivaju se varijanse.

146 Glava 7?. Dodatak

Teorema 7.3.1. (Princip neodredenosti) Neka je data diferencijabilnakompleksna funkcija f tako da vazi:

∫ ∞

−∞x|f(x)|2dx = 0, 2π

∫ ∞

−∞ω|F (ω)|2dω = 0,

i neka su, pri tome, varijanse σ2(f) i σ2(F ) dobro definisane. Tada vazi:

σ2(f)σ2(F ) ≥ 1

4.

Dokaz. Neka je λ realan parametar. Posmatra se integral:

I(λ) =

∫ ∞

−∞|λxf(x)− f ′(x)|2dx = λ2

∫ ∞

−∞|x|2|f(x)|2dx

+λ

∫ ∞

−∞x(f(x)f ′(x) + f ′(x)f(x))dx +

∫ ∞

−∞|f ′(x)|2dx.

Jasno, I(λ) ≥ 0. Koristeci formulu za izvod proizvoda i s obzirom na toda iz pretpostavke σ2(f) < ∞ sledi da je limx→±∞ x|f(x)|2 = 0, dobijase: ∫ ∞

−∞x(f(x)f ′(x) + f ′(x)f(x))dx =

∫ ∞

−∞x(f(x)f(x))′dx

= x|f(x)|2∣∣∣∞

−∞−

∫ ∞

−∞|f(x)|2dx = −1.

Na osnovu tablica Furijeovih transformacija, sledi:

∫ ∞

−∞|f ′(x)|2dx =

∫ ∞

−∞ω2|F (ω)|2dω = σ2(F ).

Prema tome, I(λ) = λ2σ2(f) − λ + σ2(F ) ≥ 0. Ovo je nenegativnakvadratna funkcija po parametru λ, pa diskriminanta u formuli kojom seodreduju njene nule nije pozitivna. Dakle:

1− 4σ2(f)σ2(F ) ≤ 0, odnosno σ2(f)σ2(F ) ≥ 1

4. 2