giới thiệu môn học - tinhgiac.com´n học thuộc lĩnh vực lý thuyết điều khiển,...

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

BÀI GIẢNG MÔN

CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Giảng viên: Ths. Vũ Anh Đào

Điện thoại/E-mail: [email protected]

Bộ môn: Kỹ thuật điện tử

Học kỳ/Năm biên soạn: 2009

Giới thiệu môn học

• Mục đích:Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản để phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển kỹ thuật trong miền thời gian và miền tần số bằng công cụ toán học, tập trung chủ yếu là các vấn đề trong miền liên tục. Môn học thuộc lĩnh vực lý thuyết điều khiển, và là những cơ sở cơ bản nhất của lý thuyết hệ thống điều khiển được ứng dụng cho kỹ thuật. Các phương pháp được đề cập đến để phân tích và tổng hợp hệ thống là phương pháp kinh điển và phương pháp không gian trạng thái. Sinh viên được làm quen với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng và tổng hợp hệ thống

• Thời lượng: 3 đvht– Lý thuyết : 37 tiết– Kiểm tra : 2 tiết– Thí nghiệm: 6 tiết

• Điểm thành phần:– Chuyên cần : 10%– Kiểm tra : 10%– Thí nghiệm : 10%– Thi kết thúc học phần: 70%

Nội dung môn học

PHẦN I. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

Chương 1: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ liên tục

Chương 2: Đặc tính của các khâu cơ bản và của hệ thống ĐKTĐ liên tục

Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống ĐKTĐ liên tục

Chương 4: Khảo sát chất lượng hệ thống ĐKTĐ liên tục

Chương 5: Tổng hợp hệ thống ĐKTĐ liên tục

PHẦN II. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chương 6: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ rời rạc

Chương 7: Phân tích và thiết kế hệ thống ĐKTĐ rời rạc

Tài liệu tham khảo

[1]. Vũ Anh Đào, Đặng Hoài Bắc, Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động, HVCNBCVT, 2008.

[2]. Phạm Công Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001

[3]. Nguyễn Văn Hoà, Cơ sở Lý thuyết điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001.

[4]. Nguyễn Thương Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động thông thường và hiện đại, NXB KHKT, 2005.

[5]. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice - HallInternational Editions, Seventh Edition 1995.

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ

1.1 Giới thiệu chung• ĐK học là khoa học nghiên cứu về các quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều

khiển trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học công nghệ, môi trường... • Điều khiển học kỹ thuật là khoa học nghiên cứu về quá trình thu thập, xử lý tín hiệu

và điều khiển các quá trình và hệ thống thiết bị kỹ thuật. Khái niệm điều khiển đượchiểu là tập hợp tất cả các tác động mang tính tổ chức của một quá trình nhằm đạtđược mục đích mong muốn của quá trình đó. Hệ thống điều khiển mà không có sựtham gia trực tiếp của con người trong quá trình điều khiển được gọi là điều khiểntự động.

• Một HTĐKTĐ hở (không có đường phản hồi) mô tả trong hình 1.1 gồm hai thànhphần cơ bản là đối tượng điều khiển (Object) và thiết bị điều khiển (Controller):

• Nhiệm vụ cơ bản của điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển để có được giá trị đầu ramong muốn. Những tác động từ bên ngoài lên hệ thống được gọi là tác động nhiễu

12/31/2009 5Vũ Anh Đào - PTIT

Thiết bịđiều khiển

Đối tượngđiều khiển

Tín hiệu vào Tín hiệu raTín hiệu điều khiển

Hình 1.1 Hệ thống điều khiển hở

Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...

1.1.1 Sơ đồ khối• Hệ thống có đường phản hồi gọi là hệ kín, mô tả trong hình 1.2. f được gọi là tín

hiệu phản hồi, e là sai lệch. Trong thực tế, các hệ thống điều khiển được sử dụngđều là các hệ kín, tức thông tin đầu ra được đưa quay trở về đầu vào để góp phầntạo ta tín hiệu điều khiển.

• Có ba phương thức điều khiển là phương thức điều khiển theo chương trình, phương thức bù nhiễu và phương thức điều khiển theo sai lệch (đây là phương phápđiều khiển phổ biến nhất)


Thiết bịđiều khiển

Đối tượngđiều khiển

Tín hiệu raTín hiệu điều khiển

Hình 1.2 Hệ thống điều khiển kín

Thiết bịđo

u e x y

f


1.1.2 Phân loại hệ thống ĐKTĐ• Theo tính chất của các phần tử, HTĐKTĐ được phân làm 2 loại chính là hệ

tuyến tính và hệ phi tuyến.– Hệ tuyến tính: tất cả các phần tử đều tuyến tính.– Hệ phi tuyến: có ít nhất 1 phần tử có tính phi tuyến.

• Dựa vào tính chất truyền tín hiệu, HTĐKTĐ được phân làm 2 loại là hệliên tục và hệ rời rạc (các khái niệm liên tục và rời rạc ở đây được hiểu theobiến thời gian).– Hệ liên tục: thông tin truyền đi liên tục ở tất cả các khâu.– Hệ rời rạc: thông tin truyền đi bị gián đoạn ở một khâu nào đó

• Dựa vào lượng thông tin thu thập ban đầu về ĐTĐK và tính chất của nó, HTLTTT được phân ra làm 2 loại là hệ thông thường và hệ thích nghi– Hệ thông thường: cấu trúc và tham số của thiết bị điều khiển là khôngđổi với đối tượng điều khiển cụ thể

– Hệ thích nghi: Khi đối tượng điều khiển có thông tin ban đầu khôngđầy đủ hay quá trình công nghệ có yêu cầu đặc biệt



1.2 Các phương pháp mô tả động học1.2.1 Mô tả trong miền thời gian• Hàm truyền đạt: : là tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo biến đổi Laplace với

điều kiện đầu triệt tiêu– Một HTĐKTĐ thường được biểu diễn dưới dạng PTVP dạng tổng quát:

Biến đổi Laplace 2 vế, ta có hàm truyền đạt:

Và phương trình đặc trưng:

– Nghiệm tử số của hàm truyền đạt được gọi là các điểm không (zero) và nghiệm mẫusố được gọi là các điểm cực (pole)


( ) ( ){ }( ){ }

L y tW p

L u t=

1 1

0 1 1 0 1 11 1...

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d y dua a a a y b b b b u

dt dtdt dt dt dt

− −

− −− −+ + + + = + + + +…

10 1 1... 0n n

n na p a p a p a−−+ + + + =


• Hệ phương trình không gian trạng thái

x, dx/dt là các vector các biến trạng thái n chiều, u là vector tín hiệu vào r chiều, y làvector tín hiệu ra m chiều


x Ax Bu

y Cx Du

= +⎧⎨ = +⎩

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...,

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n r

n r

n n nn n n nr

a a a b b b

a a a b b bA B

a a a b b b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...,

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n r

n r

m m mn m m mr

c c c d d d

c c c d d dC D

c c c d d d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B ( )t

odτ∫ C

A

D

+

++

+ ( )x t ( )x t ( )y t( )u t Hình 1.3 Sơ đồ cấu trúctrạng thái hệ liên tục


• Chuyển từ hàm truyền đạt sang hệ phương trình trạng thái:– Nếu hệ thống có hàm truyền đạt dạng:

– Đặt: Ta có hệ PTTT:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10

( ) ( )( ) 1

1 1...n nn n

Y p KW p

U p p A p A p A−−

= =+ + + +

1

12 1 1

23 2 1

11 1

1

...

nn n

nn

y x

dxx A x

dtdx

x A xdt

dxx A x

dtdx

Ku A xdt

−−

=⎧⎪⎪ = −⎪⎪

= −⎪⎪⎨⎪⎪

= −⎪⎪⎪

= −⎪⎩

1 1

2 2

1 1

0 1 ... 0 0

0 0 ... 0 0

... ... ... ... ... ... ...

n n n n

x x

x xu

x A A A x K−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) [ ]1

21 0 ... 0...

n

x

xy t

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x Ax Bu

y Cx Du

= +⎧⎨ = +⎩


• Trên cơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệ thống(hình 1.5) và sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống (hình 1.6)

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11

Hình 1.5 Mô hình hệ thống

0k 1

p

1nA − 1A 2A nA

1

p

1

p

1

p

u 1y y=2y2y 1y nyny 1ny −

B ( )0

tdτ∫

C

A

+

++ ( )y t( )u t yy

Hình 1.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống

1

12 1 1

23 2 1

11 1

1

...

nn n

nn

y x

dxx A x

dtdx

x A xdt

dxx A x

dtdx

Ku A xdt

−−

=⎧⎪⎪ = −⎪⎪

= −⎪⎪⎨⎪⎪

= −⎪⎪⎪

= −⎪⎩

x Ax Bu

y Cx Du

= +⎧⎨ = +⎩


– Nếu hệ thống có hàm truyền đạt dạng:

– Đặt: Ta có hệ PTTT:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12

( ) ( )( )

10 1 1

11 1

...

...

m mm m

n nn n

Y p B p B p B p BW p

U p p A p A p A

−−

−−

+ + + += =

+ + + +

1

12 1 1 0

23 2 1 1

11 1 1

1

...

nn n m

nm n

y x

dxx A x B u

dtdx

x A x B udt

dxx A x B u

dtdx

B u A xdt

−− −

=⎧⎪⎪ = − +⎪⎪

= − +⎪⎪⎨⎪⎪

= − +⎪⎪⎪

= −⎪⎩

1 1 1 0

2 2 2 1

1 ... 0

0 ... 0

... ... ... ... ... ... ...

0 ... 0n n n m

x A x B

x A x Bu

x A x B

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) [ ]1

21 0 ... 0...

n

x

xy t

x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x Ax Bu

y Cx Du

= +⎧⎨ = +⎩


• Chú ý: Hệ luôn phải thoả mãn điều kiện n-m=1 bằng cách thêm vào tử số các hệ sốB0=0, B1=0… Trên cơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệthống (hình 1.7) và sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống (hình 1.8)

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13

Hình 1.7. Mô hình hệ thống

1

p

1nA −nA

2y 1y ny ny 1ny −mB

1A2A

u

1mB − 0B 1B

1

p

1

p

1

p

1y y=

B ( )0

tdτ∫

C

A

+

+ + ( )y t( )u t y y

Hình 1.8. Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống

1

12 1 1 0

23 2 1 1

11 1 1

1

...

nn n m

nm n

y x

dxx A x B u

dtdx

x A x B udt

dxx A x B u

dtdx

B u A xdt

−− −

=⎧⎪⎪ = − +⎪⎪

= − +⎪⎪⎨⎪⎪

= − +⎪⎪⎪

= −⎪⎩

x Ax Bu

y Cx Du

= +⎧⎨ = +⎩


1.2.2 Mô tả hệ thống trong miền tần số• Để xác định các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết ta phải xác định được hàm

truyền đạt tần số bằng cách thay vào hàm truyền đạt của hệ thống đã cho

1.2.2.1 Các đặc tính tần số của hệ hở

Giả sử hệ thống hở được mô tả bởi hàm truyền đạt:

Nếu hàm truyền tần số của các phần tử được mô tả dưới dạng:

thì hàm truyền tần số của hệ hở được tính theo biểu thức:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14

p jω=

Hình 1.9 Sơ đồ hệ thống hở (a) và hệ thống kín (b)

(a)

( )hW p U Y

(b)

( )hW p U Y

( ) ( ) ( ) ( )1 2. ...h nW p W p W p W p=

( ) ( ) ( ). iji iW j A e ϕ ωω ω=

( ) ( )( )

1

1

.

n

ii

n j

h ii

W j A eϕ ω

ω ω =

=

∑=∏


• Các đặc tính tần số của hệ hở là:– Đặc tính biên tần (BT):

– Đặc tính pha tần (hay pha tần logarithm – PT- PTL)

– Đặc tính biên tần logarithm (BTL)

– Như vậy, đặc tính BTL và PTL của hệ hở bằng tổng đại số của các đặc tínhBTL và PTL của các phần tử thành phần.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15

( ) ( )1

n

ii

A Aω ω=

=∏

( ) ( )1

n

ii

ϕ ω ϕ ω=

=∑

( ) ( ) ( ) ( )1 1

20lg 20lgn n

i ii i

L A A Lω ω ω ω= =

= = =∑ ∑


1.2.2.2 Các đặc tính tần số của hệ kín

• Hàm truyền đạt tần số của hệ kín là:

• Sử dụng công thức Eurler:

ta được:

• Tách phần thực và phần ảo, ta có:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )1

j

k j j

A e AW j

A e e A

ϕ ω

ϕ ω ϕ ωω ω

ωω ω−

= =+ +

( ) ( ) ( )cos sinje jϕ ω ϕ ω ϕ ω− = −

( ) ( )( ) ( ) ( )cos sink

AW j

A j

ωω

ω ϕ ω ϕ ω=

+ −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

cos sin

1 2cos 1 2cosk

A A AW j j

A A A A

ω ω ϕ ω ω ϕ ωω

ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω

+⎡ ⎤⎣ ⎦= ++ + + +


• Các đặc tính tần số của hệ hở là:

– Đặc tính biên tần (BT):

– Đặc tính PT

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17

( ) ( )( ) ( ) ( )21 2cos

kA

AA A

ωω

ω ϕ ω ω=

+ +

( ) ( )( ) ( )

sinarctg

cosk A

ϕ ωϕ ω

ω ϕ ω=

+


1.3 Các nguyên tắc biến đổi sơ đồ khối

1.3.1 Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp• Các phần tử mắc nối tiếp nhau nếu tín hiệu ra của phần tử trước là tín hiệu vào của

phần tử sau (hình 1.10)

• Từ hình 1.10 ta có:

• Vậy hàm truyền đạt của hệ thống:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18

Hình 1.10 Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

1W 2W nW 1 2. ... nW W W U Y U Y1U 2U

1 1 2 2 1 1, , n nW U U W U U W Y U −= = =

( ) 1 2. ... nY

W p W W WU

= =


1.3.2 Hệ thống gồm các phần tử mắc song song• Các phần tử mắc song song nếu chúng có cùng tín hiệu vào, tín hiệu ra bằng tổng

đại số của các tín hiệu ra thành phần(hình 1.11).

• Từ hình 1.11, ta có:

• Hàm truyền đạt:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19

Hình 1.11. Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc song song

1W

2W

nW

1 2 ... nW W W+ + + UY U Y

1U U=

2U U=

nU U=

1Y

2Y

nY

1 1

2 2 , ...

n n

Y W U

Y W U

Y W U

===

1 2 ... nY Y Y Y= + + +

( ) 1 2 ... nY

W p W W WU

= = + + +


1.3.3 Hệ thống gồm các phần tử mắc phản hồi (hồi tiếp)• Hệ thống có mạch mắc phản hồi gồm hai loại là phản hồi âm và phản hồi dương

(hình 1.12).

– Hệ phản hồi âm (hình 1.12a) Hệ phản hồi dương (hình 1.12b):

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20

Hình 1.12 Sơ đồ hệ thống có mạch phản hồi âm (a) và dương (b)

1W

2W

U Y

F

E

(a)

1W

2W

U Y

F

E

+

(b)

1

2

E U F

Y W E

F W Y

= −⎧⎪ = ⇒⎨⎪ =⎩

( ) 1

1 21

WYW p

U W W= =

+ 1

2

E U F

Y W E

F W Y

= +⎧⎪ = ⇒⎨⎪ =⎩

( ) 1

1 21

WYW p

U W W= =

−


1.3.4 Chuyển đổi vị trí các tín hiệu1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệu vào

• Từ trước ra sau một khối (hình 1.13):

– Từ hình 1.13 (a):

– Từ hình 1.13 (b):

– Vậy tín hiệu chuyển từ trước ra sau một khối thì tín hiệu đó phải đi qua mộtkhối mới có hàm truyền đạt chính bằng khối đó.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21

W Y

1U

2U

W

Y1U

2UW

Hình 1.13 Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối

(a) (b)

( )1 2Y U U W= +

( )1 2 1 2Y U W U W U U W= + = +


• Từ sau ra trước một khối (hình 1.14):

– Từ hình 1.14 (a):

– Từ hình 1.14 (b):

– Vậy tín hiệu chuyển từ sau ra trước một khối thì tín hiệu đó phải đi qua mộtkhối mới có hàm truyền đạt chính bằng nghịch đảo của khối đó.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22

Hình 1.14 Chuyển tín hiệu vào từ sau ra trước một khối

W Y

1U

2U

(a)

1 W

Y

1U

2U W

(b)

1 2Y U U W= +

( )( )1 2

1 2

. 1Y U W U W

U U W

= +

= +


1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệu ra• Từ trước ra sau một khối (hình 1.15):

– Từ hình 1.15 (a):

– Từ hình 1.15 (b):

– Vậy muốn chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối thì tín hiệu đó phải điqua một khối mới có hàm truyền đạt chính bằng nghịch đảo của khối đó

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23

Hình 1.15 Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối

W

(a)

U

1Y

2Y W

(b)

1 W

U

1Y

2Y 1

2

Y U

Y UW

=⎧⎨ =⎩

( )1

2

1Y UW W U

Y UW

⎧ = =⎪⎨

=⎪⎩


• Từ sau ra trước một khối (hình 1.16):

– Từ hình 1.16 (a):

– Từ hình 1.16 (b):

– Vậy muốn chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối thì tín hiệu đó phải điqua một khối mới có hàm truyền đạt chính bằng chính khối đó

1.3.4.3 Các bộ cộng liền nhau có thể đổi chỗ cho nhau (hình 1.17)

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24

Hình 1.16 Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối

W

(a)

U

1Y

2Y W

(b)

U

1Y

2Y

W

1

2

Y UW

Y UW

=⎧⎨ =⎩

1

2

Y UW

Y UW

=⎧⎨ =⎩

Hình 1.17

Y1U

2U(a)

3U

Y1U

2U

(b) 3U


• Ví dụ 1.1. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có sơ đồ như hình 1.18:– Cách 1: Chuyển A về B (chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước khối W3), sau đó

hoán đổi vị trí của A và B.

– Cách 2: Chuyển B về A (chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau khối W3), sau đóhoán đổi vị trí của A và B.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25

W1 W2 W3 W4

W5

W6

+ +

U A

B Y

Hình 1.18


• Theo cách 1, hệ thống tương đương hình 1.19.

• Từ hình 1.20:

• Hàm truyền đạt hở:

• Hàm truyền đạt kín:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26

Hình 1.19

W1 W2 W3 W4

W5

++

U A’

B Y

W3 W6

2236

2 3 61 . .

WW

W W W=

−

Hình 1.20

W1 W3 W4

W5

U B Y W236

1 23612356

5. 1 236

.

1 .

W WW

W W W=

+

12356 3 4. .hW W W W=

12356 3 4

12356 3 4

1

. .

1 . .

hk

h

WW

W

W W W

W W W

=+

=+


1.4 Graph tín hiệu

• Ở các nhánh của Graph đánh dấu mũi tên và hàm truyền tương ứng. Ở các nút của Graph đánh dấu mối liên hệ giữa các phần tử.

• Graph được dùng để xác định hàm truyền đạt của hệ thống điềukhiển tự động với các đặc điểm sau:– Graph là đồ hình gồm các nhánh và các nút.

– Mỗi một nút của graph được biểu diễn bằng một điểm và ghi tên một đạilượng nào đó. Nút gốc là lượng vào, nút ngọn là lượng ra.

– Một nhánh nối nút gốc và nút ngọn có mũi tên, trên đó ghi giá trị hàmtruyền đạt tương ứng với một khâu nào đó (hình 1.21). Hàm truyền đạt củamột nhánh bằng tỉ số giữa giá trị nút ngọn và giá trị nút gốc:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27

ij j ia y y=

Hình 1.21 Các biểu hiện nhánh và nút của Graph

jy iy ija


• Các tính chất quan trọng của Graph tín hiệu:– Graph tín hiệu chỉ sử dụng cho các hệ thống tuyến tính.

– Các phương trình dùng để vẽ Graph phải là các phương trình đại số.

– Các nút được dùng để biểu thị các biến. Thông thường các nút được sắp xếp từtrái qua phải, từ đầu vào đến đầu ra.

– Trong nhánh, các tín hiệu chỉ đi theo hướng mũi tên.

– Nhánh hướng từ nút đến biểu diễn sự phụ thuộc của vào chứ không có chiềungược lại.

– Tín hiệu đi qua nhánh từ đến sẽ được nhân với hệ số khuếch đại của nhánh, .

• Ví dụ 1.2. Dùng Graph biểu diễn hệ phương trình sau:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28

2 12 1 32 3

3 23 2 43 4

4 24 2 34 3 44 4

5 25 2 45 4

y a y a y

y a y a y

y a y a y a y

y a y a y

= +⎧⎪ = +⎪⎨ = + +⎪⎪ = +⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29

ì Cá ớ â G í iệ í

d.

2 12 1 32 3

3 23 2 43 4

4 24 2 34 3 44 4

5 25 2 45 4

y a y a y

y a y a y

y a y a y a y

y a y a y

= +

= +

= + +

= +

1y 2y

1y 2y

5y

4y3y 5y

4y 3y 5y

12a 32a

12a

32a

23a43a

1y 2y 4y 3y

12a

32a

23a

43a

34a

24a

44a

1y 2y 4y 3y

12a

32a

23a43a

34a

24a

44a

45a

25a

a. 2 12 1 32 3y a y a y= +

b. 2 12 1 32 3

3 23 2 43 4

y a y a y

y a y a y

= +

= +

c. 2 12 1 32 3

3 23 2 43 4

4 24 2 34 3 44 4

y a y a y

y a y a y

y a y a y a y

= +

= +

= + +

5y


12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30

Hình 1.23. Graph của nhánh mắc song song

1 2 3a a a+ +

1y 2y1a

2a

3a

Hình 1.24 Graph của nhánh mắc nối tiếp

1y 2y 3y

1a 2a 1y 4y

1 2 3. .a a a

4y

3a

Hình 1.25. Graph của nhánh mắc phản hồi

1

1 21

a

a a+

1y 2y1a

2a−

1y 2y

Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục

2.1 Giới thiệu chung• Có hai loại tín hiệu bên ngoài tác động và hệ thống, đó là tín hiệu đặt trước và

nhiễu. Trong các HTĐK, tín hiệu đặt trước thường là một hằng số.

• Nhiễu sẽ làm cho đầu ra của hệ thống bị lệch khỏi giá trị mong muốn. Nó có thể lànhững đột biến tăng (đường 1) hay giảm (đường 2), có thể theo một đường nhấtđịnh (tiền định) (đường 3) hay ngẫu nhiên (đường 4 – hình 2.1).

• Dựa vào miền làm việc của tín hiệu thì HTĐKTĐ có hai đặc tính cơ bản là đặc tínhthời gian và đặc tính tần số. Dựa vào đặc tính của hệ thống thì ta có đặc tính động(đặc trưng cho quá trình quá độ ) và đặc tính tĩnh (đặc trưng cho quá trình xác lập).


1

2

3

4

x(t)

t

Hình 2.1

Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…

2.2 Đặc tính thời gian của hệ thống• Khi phân tích một HT, ta thường dùng tín hiệu chuẩn làm tín hiệu vào, đặc tính của

hệ thống được đánh giá bằng cách nghiên cứu đáp ứng của hệ thống trong miền thờigian. Việc đánh giá cuối cùng các đặc tính của HTĐK là dựa vào các đáp ứng thờigian.

• Đáp ứng thời gian thường được chia thành hai phần là đáp ứng ở trạng thái quá độvà đáp ứng ở trạng thái xác lập. Ký hiệu y(t) là đáp ứng của một hệ thống liên tụcthì ta có thể viết:

trong đó yqd(t) là đáp ứng ở trạng thái quá độ và yxl(t) là đáp ứng ở trạng thái xác lập.• Đáp ứng quá độ là phần đáp ứng thời gian mà nó tiến tới 0 sau một khoảng thời

gian rất lớn:

• Đáp ứng xác lập là phần đáp ứng thời gian sau khi quá trình quá độ kết thúc. Đápứng xác lập vẫn có thể thay đổi trong những trường hợp cố định, ví dụ như khi đầuvào là sóng sin, hàm dốc tăng theo thời gian.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2

( ) ( ) ( )qd xly t y t y t= +

( )lim 0qdt

y t→∞

=


• Để đơn giản khi xét tính chất của một hệ thống, ta thường chia nhỏ nó thành cácphần tử. Đặc tính thời gian của phần tử là sự thay đổi của phần tử theo thời gian khitác động ở đầu vào là những tín hiệu chuẩn. Các đặc tính đó bao gồm hàm quá độ, đường quá độ, hàm quá độ xung và đường quá độ xung.

• Các hàm thời gian này đều mô tả sự biến thiên của tín hiệu ra khi phần tử chuyển từtrạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác do sự tác động của một trongcác nhiễu chuẩn. Để đơn giản, ta xét trạng thái cân bằng ban đầu của các phần tử làkhông ( y(0)=0)


Hình 2.2 Mô hình biểu diễn phần tử

Phần tử Tín hiệu ra Tín hiệu vào

x y


2.2.1 Tín hiệu tác động ở đầu vào• Tín hiệu bậc thang đơn vị 1(t):

• Tín hiệu xung đơn vị δ(t):

– Hàm δ(t) có tính chất:

• Tín hiệu tuyến tính:

trong đó là hằng số thực.


( )0 khi 0

11 khi 0

tt

t

≤⎧= ⎨ >⎩

( ) ( )0 khi 0

1khi 0

tdt t

tdtδ

≠⎧= = ⎨∞ =⎩

( ) 1tδ∞

−∞=∫

( ) ( )y t atu t=

Hình 2.3. (a). Đồ thị hàm ( )1 t ; (b). Đồ thị hàm ( )tδ

c. Hàm tuyến tính; d. Hàm parabol

1

0

( )1 t

t

(a)

0

( )tδ

t

(b)

0

( )1 t

t

(c)

0

( )1 t

t

(d)

( ) ( )2y t at x t=( ) ( )y t atx t=


• Hàm parabol:

trong đó là hằng số thực

• Tín hiệu có dạng bất kỳ x(t): có thể được mô tả thông qua hàm 1(t) và δ(t):

– Biểu diễn x(t) qua hàm 1(t): dựa vào tích phân Duyamen (khi α→0):

– Biểu diễn x(t) qua hàm δ(t): (khi α→0):


( ) ( )2y t at x t=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

.1 .1t dx

x t x t t dd

τα τ τ

τ= + −∫

( ) ( ) ( ).t

x t x t dα

ατ δ τ τ

+= −∫


2.2.2 Phản ứng của phần tử• Hàm quá độ h(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm 1(t).

Nếu thì

Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và hàm quá độ của phần tử là:

• Đường quá độ:

Được ký hiệu là H(t), là phản ứng của phần tử khi tín hiệu tác động ở đầu vào lànhiễu bậc thang có biên độ bằng A dạng A.1(t). Dựa vào nguyên lý xếp chồng củaphần tử tuyến tính:


( ) ( )1x t t= ( )1 1L t p=⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

.1

L h t W pW p p L h t L h t

pL t= = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )..

AW pH t A h t L H t

p= ⇒ =


• Hàm quá độ xung (hàm trọng lượng) k(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào làhàm δ(t).

• Đường quá độ xung K(t):là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm A.δ(t)

Theo tính chất của δ(t) ta có thể viết:

Trong đó x(τ) là giá trị hàm x(t) tại thời điểm t= τ và δ(t-τ) là giá trị hàm δ(t) đượcphát tại thời điểm t= τ .

Theo nguyên lý xếp chồng, ta có thể xác định đáp ứng y(t) của phần tử:


( ) ( ) ( )1L t L k t W pδ = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

. . .t t

x t x t t d x t dδ τ τ τ δ τ τ= − = −∫ ∫

( ) ( ) ( )0

.t

y t x k t dτ τ τ= −∫


• Mối liên hệ giữa hàm quá độ h(t) và hàm trọng lượng k(t):

Ta nhận thấy và

Vì .

Vậy:


( ) ( )W pL h t

p=⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )L k t W p=⎡ ⎤⎣ ⎦

( ){ }.dh

L p L h tdt

⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭

( ) ( )'k t h t=


2.3 Đặc tính tần số của hệ thống• Đặc tính tần số của phần tử mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của

phần tử ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số dao động điều hòa tác động ở đầuvào của phần tử.

• Muốn tìm các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết ta phải tìm hàm truyền đạt tầnsố của hệ thống bằng cách thay p=jω vào hàm truyền đạt của nó

• Tách riêng phần thực, phần ảo của tử số và mẫu số trong (2.29) ta được:

Trong đó là đặc tính biên tần của phần tử; là đặc tínhphần thực của tử số và mẫu số; là đặc tính phần ảo của tử số và mẫu số


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

10 1 1

10 1 1

. . ... .

. . ... .

m mj m mr

n nv n n

b j b j b j bAW j e

A a j a j a j a

ϕ ω ω ω ωω

ω ω ω

−−

−−

+ + + += =

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2. j R jI

W j A eR jI

ϕ ω ω ωω ω

ω ω+

= =+

( ) r vA A Aω =

( ) r vA A Aω = ( ) ( )1 2,R Rω ω( ) ( )1 2,I Iω ω


• Tách phần thực và phần ảo của biểu thức trên ta được:

• Đặc tính phần thực của phần tử:

• Đặc tính phần ảo của phần tử:

• Ta nhận thấy R(ω) là hàm chẵn, nghĩa là R(ω) = R(-ω); còn I(ω) là hàm lẻ, nghĩa làI(ω) = -R(-ω)

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2

. . . .. j R R I I R I R I

A e jR I R I

ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ωω

ω ω ω ω

+ −= +

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 22 22 2

. .R R I IR

R I

ω ω ω ωω

ω ω

+=

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 1 22 22 2

. .R I R II

R I

ω ω ω ωω

ω ω

−=

+


• Đặc tính biên tần của phần tử được xác định theo biểu thức:

• Đặc tính pha tần của phần tử được xác định theo biểu thức:

• Đặc tính biên tần logarithm thường được đo bằng decibel (dB). Khi tính theodecibel, đặc tính BTL được xác định theo công thức:

• Cho ω thay đổi từ -∞ đến ∞, ta sẽ xây dựng được các đặc tính BT và PT. Trong hệtoạ độ R(ω) và I(ω) sẽ xây dựng được đặc tính tần biên pha (TBP) đối xứng qua trục thực. Khi xây dựng các đặc tính BT, PT, TBP, ta chỉ xét ω thay đổi từ 0 đến ∞

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11

( ) ( ) ( )2 2A R Iω ω ω= +

( ) ( )( )

arctgI

R

ωϕ ω

ω=

( ) ( )20lgL Aω ω=


2.4 Các khâu động học cơ bản• Tính chất của quá trình quá độ toàn hệ thống phụ thuộc vào tính chất động học của

các phần tử hợp thành. Các phần tử hợp thành đó thường được phân tích thành nhữngkhâu cơ bản

• Các khâu động học cơ bản là các phần tử của HTĐKTĐ có các tính chất sau:

– Chỉ có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra

– Tín hiệu chỉ truyền đi một chiều

– Quá trình động học của phần tử được biểu diễn bằng ptvp không quá bậc hai.

• Có 4 khâu động học cơ bản:

– Khâu nguyên hàm (khâu khuếch đại, khâu quán tính bậc 1, khâu dao động bậc 2)

– Khâu tích phân

– Khâu vi phân

– Phần tử trễ

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


2.4.1 Khâu nguyên hàm

2.4.1.1 Khâu khuếch đại• Phương trình vi phân: y=k.x

trong đó k là hệ số khuếch đại

Các phần tử có hàm truyền đạt là khâu khuếch đại: các phần tử đo lường (sensor, biến trở, bộ phát tín hiệu cảm ứng…), phần tử khuếch đại (bộ khuếch đại điện tử, bán dẫn, ion…).

• Hàm truyền đạt: W(p)=k

• Các đặc tính thời gian:

– Hàm quá độ: h(t)=k.1(t)

– Hàm trọng lượng: k(t)=k.δ(t)

– Các đặc tính thời gian được mô tả trên hình 2.4

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13

Hình 2.4. Các đặc tính thời gian của khâu khuếch đại

k

0

( )h t

t

0

( ).k tδ

t


• Các đặc tính tần số:

– Hàm truyền tần số: W(jω)=k

– Đặc tính BT: A(ω)=k

– Đặc tính PT: ϕ(ω)=0

– Đặc tính BTL: L(ω)=20.lgk

– Các đặc tính tần số được mô tả trên hình 2.5

• Nhận xét:

– Tín hiệu vào và ra cùng pha với nhau.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14

( )A ω ( )ϕ ω

( )I ω

( )R ω lgω

( )L ω

ω ω

k

20.lg k

0

0 0

0

k

BT PT

TBP BTL

Hình 2.5 Các đặc tính tần số của khâu khuếch đại


2.4.1.2 Khâu quán tính bậc 1• Phương trình vi phân:

trong đó k là hệ số truyền và T là hằng số thời gian của khâu

Các phần tử thuộc khâu quán tính bậc nhất: khuếch đại từ, máy phát điện một chiều, mạch điện R-C, L-R, lò điện trở, động cơ điện không đồng bộ hai pha và ba pha nếulượng ra là tốc độ quay…



– Hàm quá độ h(t):

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15

.dy

T y kxdt

+ =

( )1

kW p

Tp=

+

( ) ( )( )

( )

1 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1 , 1t

W p kh t L L

p p Tp

TL k L k

p Tp p p T

k e Tα α

− −

− −

−

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= − =


– Hàm trọng lượng:



– Hàm truyền tần số:

– Đặc tính BT:

– Đặc tính PT:

– Đặc tính TBP: Từ mối liên hệ A2(ω)= R2(ω)+ I2(ω) , qua một số phép biến đổita tìm được:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16

( ) ( )' . . tk t h t k e αα −= =

Hình 2.6 Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc 1

0 t

( )k t

kα

0 t

( )h tk

( )( ) ( )

( ) ( )2 21 1 1

k k kTW j j R jI

Tj T T

ωω ω ωω ω ω

= = − = ++ + +

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 1

kA R I

Tω ω ω

ω= + =

+

( ) ( )( ) ( )arctg arctg

IT

R

ωϕ ω ω

ω= = −

( ) ( )2 2

2

2 2

k kR Iω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Đây chính là phương trình đường tròn có tâm (k/2;0) và bán kính bằng k/2. Nếu lấyω thay đổi từ 0 đến ∞ nó là nửa đường tròn nằm ở góc phần tư thứ IV.

– Đặc tính BTL:

Vẽ chính xác thì L(ω) là một đường cong nhưng ta có thể vẽ gần đúng bằng cáchtuyến tính hóa từng đoạn:

+

+

ωc =1/T được gọi là tần số cắt

Đặc tính tần số của khâu quán tính

bậc 1 được mô tả trên hình 2.7

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17

( ) ( ) ( )220.lg 20.lg 20.lg 1L A k Tω ω ω= = − +

( )1 , 20.lgT L kω ω<< ≈

( )1 , 20.lg 20.lgT L k Tω ω ω>> ≈ −

( )A ωK

ω0

BT ( )ϕ ω

2

π−

ω0

PT

( )R ω

( )I ω

0 0ω =

ω =∞

TBP

lgω

( )L ω 20.lgK

-20dB/dec

lg cω0

BTL

Hình 2.7 Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc 1.


• Nhận xét:– Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1

không đạt ngay giá trị k mà tiến từ từ đến giá trị k theo quy luật hàm mũ (vì thếkhâu quán tính bậc 1 còn được gọi là khâu phi chu kỳ). Như vậy, quá trình tíchluỹ năng lượng và giải phóng năng lượng không xảy ra đồng thời, gây ra hiệntượng quán tính.

– Hàm trọng lượng k(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khi hàm quá độh(t) đạt giá trị xác lập hàm trọng lượng k(t) sẽ giảm về 0, có nghĩa là lúc nàykhâu quán tính bậc 1 được giải phóng sức ì quán tính.

– Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1 không làm việc được vớitín hiệu cao tần (đặc tính A(ω) giống như bộ lọc thông thấp)

– Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệu ra của khâu quán tính bậc 1 luôn chậmpha so với tín hiệu vào một góc từ 0 đến π/2, nghĩa là khâu quán tính bậc 1 cóđộ tác động chậm.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


2.4.1.3 Khâu dao động bậc 2• Phương trình vi phân:

trong đó: : T là hằng số; k là hệ số truyền và ξ là hệ số

Các phần tử thuộc khâu dao động: mạch điện R-L-C, động cơ điện một chiều kíchtừ độc lập lượng vào là điện áp phần ứng, lượng ra là tốc độ quay; hệ cơ học đànhồi; con quay hồi chuyển trong bộ phận lái máy bay…

• Hàm truyền đạt của khâu:

Dùng biến đổi Laplace, chuyển PTVP sang dạng toán tử p, ta được:

Vậy hàm truyền đạt là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19

22

2. 2. . . .d y dy

T T y k xdtdt

ξ+ + =

( ) ( ) ( )2 2. 2. . . 1 . .T p T p Y p k X pξ+ + =

( ) ( )( ) 2 2. 2. . . 1

Y p kW p

X p T p T pξ= =

+ +


Ta nhận thấy phương trình đặc trưng của khâu dao động là phương trình bậc 2 nên nósẽ có hai nghiệm. Nếu Δ’≥0 thì phương trình này sẽ có hai nghiệm thực:

Vì ξ là hệ số nên ξ >0. Vậy điều kiện để phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực làξ ≥1. Khi đó ta có thể tách khâu dao động bậc hai thành hai khâu quán tính bậc 1 :

Nếu như vậy thì khâu dao động không thể có tính chất dao động được. Vậy để phươngtrình vi phân trên biểu diễn khâu dao động bậc 2 thì 0< ξ <1.


Phương trình đặc trưng của khâu dao động:

Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20

( )2 2 2 2 2' 1 0 1T T Tξ ξ ξΔ = − = − ≥ ⇔ ≥

( ) 1 2

1 2

.1 1

k kW p

T p T p=

+ +

2 2. 2. . . 1 0T p T pξ+ + =2

1,21

p j jT T

ξξ α β−

= − ± = − ±


• Hàm quá độ h(t):

Trong đó:

• Hàm trọng lượng:

Hình 2.8 mô tả các đặc tính thời gian của khâu dao động

Từ đồ thị của h(t) ta xác định được các tham số

k, A1, A1 và T. Từ đó tính ra:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21

( )

( )

12 2

1.

. 2. . . 1

.1 . 1 cos sint

kh t L

pT p T p

k t e t tα

ξ

αβ ββ

−

−

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦2

0 0 01

. ; 1 . ;T

α ξ ω β ξ ω ω= = − =

( ) ( ) ( )20.

.1 . .sintdh t kk t t e t

dtαω β

β−= =

1T

( )1 tk e α−+

( )1 tk e α−− t

( )h t

1A 2A

k

0

1T

t

( )k t

1A

0

Hình 2.8 Các đặc tính thời gian của khâu dao động

1

1 1 2

2 20

2 1= ; .ln

T

1

.

A

T A

TT

πα β

ω α β

ξ α

⎧ =⎪⎪⎪

= + =⎨⎪

=⎪⎪⎩







– Hình 2.9 mô tả các đặc tính tần số của khâu dao động.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22

( ) 2 2. 2 . . 1

kW j

T T jω

ω ξ ω=− + +

( )( )22 2 2 2 21 . 4. . .

kA

T T

ωω ξ ω

=

− +

( ) 2 2

2. . .arctg

1 .

T

T

ξ ωϕ ωω

= −−

( ) ( ) ( )22 2 2 2 220.lg 20.lg 20.lg 1 . 4. . .L A k T Tω ω ω ξ ω= = − − +

0ω =ω = ∞

0

2

k

ξ

( )P ω

( )jQ ω

lgω

( )L ω

cω-40 dB/dec

20.lg k

Hình 2.9 Đặc tính tần số của khâu dao động

cω

ω

( )ϕ ω

0

0

2π−

π−


• Nhận xét:

– Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1 không đạt ngay giá trị k mà dao động tiến đến giá trị k. Muốn hệ dao động, trong hệ phải có bộ tích động năng và một bộ tích thế năng, ví dụ trong mạchR-L-C thì C tích thế năng còn L tích động năng.

– Hàm trọng lượng k(t) của khâu dao động cho ta thấy, khi hàm quá độ h(t) đạtgiá trị xác lập hàm trọng lượng k(t) sẽ giảm về 0, có nghĩa là lúc này khâu daođộng được giải phóng sức ì quán tính.

– Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu dao động cũng không làm việc được với tínhiệu cao tần và đạt giá trị Amax(ω) tại ωc

– Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệu ra của khâu dao động cũng luôn chậmpha so với tín hiệu vào tức là khâu dao động có độ tác động chậm.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23


2.4.2 Khâu tích phân• Phương trình vi phân:

trong đó T=1/k là hằng số thời gian tích phân



– Hàm quá độ:


– Hình 2.10 mô tả các đặc tính thời gian của khâu tích phân

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24

.y k x dt= ∫

( ) 1W p

Tp=

( ) ( ). 1 .h t k t dt kt= =∫

( ) ( )'k t h t k= =

( )h t

tg kα =

α 0 t

( )k t

k

0 t

Hình 2.10 Các đặc tính thời gian của khâu tích phân




– Đặc tính BT: A(ω) = 1/Tω

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= -π/2


L(ω) =20.lgA(ω)=-20.lgTω

– Hình 2.11 mô tả các đặc tính

tần số của khâu tích phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25

( ) 1 1

.W j j

T j Tω

ω ω= = −

( )I ω ( )R ω

0

TBP

0ω =

ω = ∞

Hình 2.11 Các đặc tính tần số của khâu tích phân

( )A ω

ω 0

BT

( )ϕ ωω

0

PT

-2

π

( )L ω

lgω0

BTL

20.lgT 20dB/dec−

0


• Nhận xét:– Hàm quá độ h(t), hàm trọng lượng k(t) của hệ thống của tích phân cho ta thấy,

khâu tích phân có tính chất có nhớ. Nghĩa là, khâu tích phân sẽ giữ nguyêntrạng thái tại thời điểm dừng tác động đầu vào.

– Đặc tính PT của khâu tích phân bậc 1 là tín hiệu ra luôn chậm pha so với tínhiệu vào một góc bằng π/2.

2.4.3 Khâu vi phân• Phương trình vi phân:trong đó T là hằng số thời gian vi phân

• Hàm truyền đạt:• Các đặc tính thời gian:

– Hàm quá độ: – Hàm trọng lượng:– Hình 2.12 mô tả các đặc tính thời gian của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26

y T dx dt=

( )W p Tp=

( ) ( ) ( ).1' .h t T t T tδ= =

( ) ( ) ( )' . 'k t h t T tδ= =

Hình 2.12. Các đặc tính thời gian của khâu vi phân

0

( ). 'T tδ

t

( )k t

0

( ).T tδ

t

( )h t



– Hàm truyền tần số: W(jω)=T. jω

– Đặc tính BT: A(ω) = Tω

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= π/2


L(ω) =20.lgA(ω)=20.lgTω


tần số của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27

( )A ω ( )I ω

( )R ω0

TBP

0ω =

ω = ∞

( )ϕ ω

ω

0

PT

2

π

( )L ω

lgω0

BTL

20.lgT 20dB/dec

Hình 2.13 Các đặc tính tần số của khâu vi phân

ω0

BT


• Nhận xét:

– Các đặc tính quá độ h(t) và trọng lượng k(t) của khâu vi phân cho thấy khâu vi phân có xu hướng mất ổn định.

– Khâu vi phân có tín hiệu ra luôn sớm pha hơn tín hiệu vào một góc bằng π/2, đây là đặc tính nổi bật của khâu vi phân khiến cho hệ thống tác động nhanh.

2.4.4 Phần tử trễ• Phương trình vi phân: y(t)=x(t-τ)• Hàm truyền đạt:


– Hàm quá độ: h(t)=1(t-τ)– Hàm trọng lượng: k(t)=h’(t)=δ(t-τ)– Hình 2.14 mô tả các đặc tính

thời gian của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28

Hình 2.14 Các đặc tính thời gian của khâu trễ

0

( )1 t τ−

t

( )h t

1

τ

0 t

( )k t( )tδ τ−

τ



Nếu tín hiệu vào có dạng: x(t)=A. ejωt

thì tín hiệu ra sẽ có dạng: x(t)=A. ejω(t- τ)

– Hàm truyền tần số: W(jω)=ejωτ

– Đặc tính BT: A(ω) = 1

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= -ωτ– Đặc tính BTL:

L(ω) =20.lgA(ω)=0

– Hình 2.15 mô tả các đặc

tính tần số của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29

Hình 2.15 Các đặc tính tần số của khâu trễ

( )L ω

lgω0

BTL

( )A ω

ω0

BT

( )ϕ ω

ω 0

PT

( )I ω

( )R ω

-1

TBP

-1

1

1 0


• Nhận xét:

– Ta thấy rằng khâu trễ sẽ luôn có tín hiệu ra chậm pha so với tín hiệu vào

2.5 Tổng kết• Sau khi đã nghiên cứu các khâu cơ bản trên ta thấy rằng:

– Khâu khuyếch đại có tín hiệu ra trùng pha tín hiệu vào. Khâu tích phân, khâuquán tính bậc 1, khâu dao động, khâu trễ là các khâu có tín hiệu ra chậm phahơn so với tín hiệu vào. Chỉ có duy nhất khâu vi phân là tín hiệu ra nhanh phahơn so với tín hiệu vào.

– Các đặc tính biên độ tần số logarith BTL có những đặc điểm theo bậc n của PTĐT như sau:

– n = 0 độ dốc 0db/dec

– n = 1 độ dốc ±20 db/dec


– Dấu + cho biết tín hiệu ra nhanh pha hơn so với tín hiệu vào.

– Dấu - cho biết tín hiệu ra chậm pha hơn so với tín hiệu vào.12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30

Chương 3. Khảo sát tính ổn định của hệ thống

3.1 Giới thiệu chung• Ổn định là tiêu chí đặt lên hàng đầu khi xét một hệ thống điều khiển tự động. Một

hệ thống nếu không thể hoạt động ổn định thì dù nó có thỏa mãn rất nhiều tiêu chíđặt ra tại một thời điểm nào đó thì hệ thống đó cũng không thể sử dụng được.

• HTKĐTĐ được gọi là ổn định nếu sau khi bị phá vỡ trạng thái cân bằng do tácđộng của nhiễu, nó sẽ tự điều chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Nếu nó không trởlại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn định, khi đó tín hiệu ra của hệ thống dao động với biên độ không đổi.

• Trong chương này sẽ trình bày điều kiện để một HTĐKTĐ ổn định; các tiêu chuẩnđại số và tần số thường dùng để xét tính ổn định của hệ thống có thông số bất biến; phương pháp quỹ đạo nghiệm số dùng để xét tính ổn định cho hệ thống có thông sốbất biến và khái niệm độ dự trữ ổn định của hệ thống.


3.2 Điều kiện ổn định của hệ thống• Hệ thống sẽ ổn định nếu

• Hệ thống sẽ không ổn định nếu .

• Hệ thống sẽ ở biên giới ổn định nếu

dao động có biên độ không đổi

• Khảo sát tính ổn định của hệ thống chính

là khảo sát hệ thống ở 2 quá trình: quá độ và

xác lập. Ta thấy rằng ở quá trình xác lập, hệ thống luôn ổn định. Xét sự ổn định của hệthống chính là khảo sát hệ thống ở quá trình quá độ.

• Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ của nó tắtdần theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần theo thờigian và ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên độ khôngđổi hoặc bằng hằng số.


Chương 3. Khảo sát tính ổn định của hệ thống…

Hình 3.1 Đáp ứng của HTĐKTĐ

tqđ t 0

tín hiệu ra ( )y t

a

( )lim 0t

e t→∞

→

( )limt

e t→∞

→∞( )lim

te t

→∞→

• Hình 3.2 mô tả 5 trạng thái quá độ của HTĐKTĐ:– (1): Hệ thống ổn định và không dao động.

– (2): Hệ thống ổn định và dao động.

– (3): Hệ thống không ổn định và không dao động.

– (4): Hệ thống không ổn định và dao động.

– (5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định).



(1) (4)

(2)

(5) (3)

t

yqđ (t)

Hình 3.2. Các trạng thái của hệ thống ĐKTĐ

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân:

Nghiệm của PTVP này gồm hai phần: y(t) = yc(t)+yr(t) = yqd(t)+yxl(t)Với: yqd(t) là nghiệm tổng quát, đặc trưng cho quá trình quá độ và yxl(t) là nghiệmriêng, đặc trưng cho quá trình xác lập của hệ thống

yqd(t) có được bằng cách giải PTVP đồng nhất:

• yxl(t) phụ thuộc tác động đầu vào, nếu tác động đầu vào cố định thì yxl(t) cũng cốđịnh, như vậy nó không ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống.

• Tính ổn định của hệ thống được phản ánh qua nghiệm tổng quát, nghiệm này hoàntoàn không chịu ảnh hưởng của tác động bên ngoài, vậy tính ổn định là tính chấtbên trong của hệ thống, là bản chất của hệ thống. Một khi hệ thống đã ổn định thìcác tác nhân bên ngoài không thể làm thay đổi tính chất ổn định của hệ thống.

• Để xác định yqd(t), ta phải tìm nghiệm của PTĐT:



1 1

0 1 1 0 1 11 1...

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d y dua a a a y b b b b u

dt dtdt dt dt dt

− −

− −− −+ + + + = + + + +…

1

0 1 11... 0

n n

n nn n

d y d y dya a a a y

dtdt dt

−

−−+ + + + =

10 1 1... 0n n

n na p a p a p a−−+ + + + =

• Dạng tổng quát của yqd(t) là:

trong đó ci là các hằng số. Nghiệm pi có thể tồn tại một trong các dạng sau:

– Nghiệm thực: pi =αi

– Nghiệm phức: pi =αi ± jωi

– Nghiệm thuần ảo: pi = jωi

• Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chất của hệ thống:

– Nghiệm của PTĐT là nghiệm thực (hệ không dao động):

– Nghiệm của PTĐT là nghiệm phức (hệ dao động):

– Nghiệm của PTĐT là nghiệm thuần ảo:

dao động với biên độ không đổi



( )1

i

np t

qd ii

y t c e=

=∑

0 khi 0lim

khi 0i it

t ieα

αα→∞

→ <⎧⎨ →∞ >⎩

( ) 0 khi 0lim

khi 0i ij t i

t ie α ω α

α+

→∞

→ <⎧⎨→∞ >⎩

lim it

teω

→∞→

• Như vậy:

– HTĐKTĐ ổn định (lim yqd→0 khi t→∞) nếu tất cả các nghiệm của PTĐT cóphần thực âm (các nghiệm nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức).

– HTĐKTĐ không ổn định (lim yqd→∞ khi t→∞) nếu PTĐT chỉ cần có mộtnghiệm có phần thực dương (nghiệm nằm ở nửa bên phải mặt phẳng phức).

– HTĐKTĐ sẽ nằm ở biên giới ổn định nếu PTĐT chỉ cần có 1 nghiệm có phầnthực = 0 và các nghiệm còn lại có phần thực <0 (có 1 nghiệm nằm trên trục ảo, các nghiệm còn lại nằm trên mặt trái mặt phẳng phức).

Ví dụ 3.1:

Hệ thống ĐKTĐ có phương trình đặc trưng là: 2p2-5p+1 = 0

Hệ thống này có ổn định không?

Giải:

Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:

Δ = 25-4*2 = 17 → Vậy hệ thống đã cho không ổn định



( )1,2 5 17 4p = ±

3.3 Các tiêu chuẩn ổn định đại số3.3.1 Điều kiện cần

• Điều kiện cần thiết để một hệ thống điều khiển tuyến tính ổn định là các hệ số củaphương trình đặc trưng dương.

Ví dụ 3.2:

HTĐKTĐ có phương trình đặc trưng: 0.2p3+ 3p2 + 0.1p + 5 = 0

Có các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điều kiện cần.

HTĐKTĐ có phương trình đặc trưng: 2p4 + 5p2 + 3p + 2 = 0 ???

3.3.2 Tiêu chuẩn Routh (1875)

• Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hạngtrong cột thứ nhất của bảng Routh dương.

• Bảng Routh:

Giả sử hệ thống có phương trình đặc trưng bậc n:



10 1 1 0n n

n na p a p a p a−−+ + + + =…

a0 a2 a4 a6 ...a1 a3 a5 a7 ...b0 b2 b4 ...b1 b3 b5 ...… … … …z0

z1



– Cách lập bảng:Dòng đầu tiên của bảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai

ghi các số hạng có chỉ số lẻ.Mỗi số hạng trong một hàng của bảng Routh là một số âm có giá trị là một

định thức bậc hai với cột thứ nhất là cột thứ nhất của hai hàng ngay sát trênhàng có số hạng đang tính; cột thứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằm bênphải hàng có số hạng đang tính.

Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng

– Cách tính các hệ số của bảng Routh:

0 2 0 40 2

1 3 1 5

1 3 1 51 3

0 2 0

0 6 0 24 0

1 7 1 3

,

,0

,

a a a ab b

a a a a

a a a ab b

b b b

a a b bb c

a a b b

= − = −

= − = −

= − = −

• Tính chất của bảng Routh:

– Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh với mộtsố dương

– Hệ ổn định khi tất cả các số dạng trong cột đầu tiên của bảng Routh dương.

– Hệ không ổn định nếu cột đầu tiên của bảng có một số hạng bằng âm hoặcbằng 0. Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằngsố nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương.

– Hệ ở biên giới ổn định khi các số hạng cuối cùng trong cột đầu tiên của bảngRouth bằng 0, những số hạng còn lại dương.

• Ứng dụng:

– Tiêu chuẩn này được sử dụng để xét ổn định cho cả hệ hở và kín.



Ví dụ 3.3: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:12p5 + 6p4 + 18p3 + 6p2 + 6p + 1 = 0

Giải:• Điều kiện cần: Các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điều kiện cần.• Điều kiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh:

– Lập bảng Routh:

(chia các số hạng thuộc hàng 1 của bảng Routh cho 6).Các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh dương nên hệ thống ổn định.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10


0 2

1 3

0

1

12 18 6

6 6 1

b b

b b

c

c

0 2

1 3

0

1

2 3 1

6 6 1

b b

b b

c

c

⇔

0 2 1

3 0 1

2 3 2 1 6 66; 4; 12

6 6 6 1 6 4

6 1 6 4 12 66; 12; 72

6 0 12 6 12 0

b b b

b c c

= − = = − = = − =

= − = = − = = − =

Ví dụ 3.4: Cho hệ thống có đối tượng điều khiển:

và bộ điều khiển (bộ điều khiển PD)

Tìm khoảng hiệu chỉnh các tham số của bộ điều khiển?

Giải:

Bước1: Tìm đa thức đặc trưng của hệ kín :

• Hàm truyền đạt của hệ hở:

• Hàm truyền đạt của hệ thống kín:

• Phương trình đặc trưng của hệ thống kín là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11


0 3 2

1( )

5 8 4W p

p p p=

+ + +

0 3 2

1( ) ( ). ( ) .( )

5 8 4h C P DW p W p W p K K p

p p p= = +

+ + +

3 2

( )( )

1 ( ) 5 (8 ) (4 )h P D

kh D P

W p K K pW p

W p p p K p K

+= =

+ + + + + +

( )C P DW p K K p= +

+ ( )CW p ( )OW p y u

Hình 3.3. Hệ thống kín

3 2( ) 5 (8 ) (4 ) 0D PA p p p K p K= + + + + + =

Bước 2: Xét ổn định:

• Điều kiện cần: Các hệ số ai > 0:

Trên thực tế KD > 0, KP ≥ 0 nên ta có điều kiện cần để hệ ổn định là :

• Điều kiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh:

– Lập bảng Routh:

– Điều kiện ổn định: Kết hợp điều kiện cần:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


8 0 8

4 0 4D D

P P

K K

K K

⎧ + > >⎧⎪ ⇔⎨ ⎨+ > > −⎪ ⎩⎩ 8

0D

P

K

K

>⎧⎨ ≥⎩

0

1

1 8

5 4D

P

K

K

b

b

++

0

1 00

1 836 5

5 4

5 4(4 )

0

DD p

p

pp

Kb K K

K

Kb K b

b

+= − = + −

+

+= − = +

0

1

36 5 0 36 50

0 4 0 4

D p p D

p p

K K K Kb

b K K

+ − > < +⎧ ⎧>⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨> + > > −⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎩

• Kết hợp điều kiện cần:

3.3.3 Tiêu chuẩn Hurwitz (1895).

• Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính có phương trình đặc trưngvới các hệ số dương ổn định là tất cả các định thức Hurwitz dương.

• Cách lập định thức Hurwitz:

– Định thức Hurwitz bậc n:

Đường chéo chính của bắt đầu từ a1 đến an. Trong cùng một cột, các số hạng trênsố hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số tăng dần; các số hạng dưới số hạng thuộcđường chéo chính có chỉ số giảm dần. Nếu chỉ số lớn hơn n hoặc nhỏ hơn 0 thì ghi0. Có tất cả n định thức Hurwitz từ bậc 1 đến bậc n.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13


0

0

36 5

D

P

P D

K

K

K K

≥⎧⎪ >⎨⎪ < +⎩

PK

DK

36

-36/5

Miền ổn định

36 5p DK K= +

Hình 3.4. Phân bố nghiệm của hệ thống

Giả sử hệ thống có phương trình đặc trưng bậc n:

• Ứng dụng:– Dùng cho hệ thống có phương trình đặc trưng bậc thấp (n < 4).– Dùng để xét ổn định cho cả hệ hở và kín.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14


10 1 1( ) 0n n

n nA p a p a p a p a−−= + + + + =…

1 3 5

0 2 4

1 3

2

3 1

4 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

n

n n

n n

n n n

a a a

a a a

a a

a a

a a

a a a

−

− −

− −

Δ =

1 1aΔ =

1 32

0 2

a a

a aΔ =

1 3 5

3 0 2 4

1 30

a a a

a a a

a a

Δ =

Ví dụ 3.5: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng sau theo tiêu chuẩnHurwitz:

3p3 + 5p2 + 6p + 1 = 0Giải:• Điều kiện cần: Các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điều kiện cần• Điều kiện ổn định theo Hurwitz:Lập định thức Hurwitz:

Ta nhận thấy tất cả các định thức Hurwitz đều dương nên hệ thống đã cho ổn định.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15


1 31 1 2

0 2

1 3

3 0 2 3 2

1 3

5 15 0; 27 0

3 6

0

0 . 1.27 27 0

0

a aa

a a

a a

a a a

a a

Δ = = > Δ = = = >

Δ = = Δ = = >

3.4 Các tiêu chuẩn ổn định tần số3.4.1 Tiêu chuẩn Mikhailope

• Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc tính để xét tính ổn định của hệ thống.

• Giả sử HTĐKTĐ có PTĐT dạng:

• Đa thức đặc trưng có n nghiệm nên ta có:

• Nếu xét trên mặt phẳng phức thì mỗi số

hạng trong đa thức trên là một vector có

chân tại điểm pi và đỉnh nằm trên trục ảo .

• Vector quay theo chiều kim đồng hồ, góc tạo

thành mang dấu âm còn ngược lại lấy dấu dương

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16


10 1 1( ) 0n n

n nA p a p a p a p a−−= + + + + =…

Hình 3.5 Vector ij pω − trên mặt phẳng phức

jω

jω−

α ip

ip

jω

( ) ( )01

n

ii

A p a p p=

= −∏

– Nếu pi nằm bên trái trục ảo thì

– Nếu pi nằm bên phải trục ảo thì

• Biểu đồ vector đa thức đặc tính có thể biểu diễn như sau:

Vậy

với k là số nghiệm của PTĐT có phần thực dương. Hệ thống ổn định khi k = 0 nên:

vì thường xét ω biến đổi từ 0 đến ∞.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17


( )-

arg ij pω

ω π∞≤ ≤∞

Δ − =

( )-

arg ij pω

ω π∞≤ ≤∞

Δ − = −

( ) ( )( )

1arg -

0 01 1

.

n

ii

n n j j p

i ii i

A p a p p a j p eω

ω =

= =

∑= − = −∏ ∏

( ) ( ) ( ) ( )- 1

arg arg - 2n

ii

A j j p n k k n kω

ω ω π π π∞≤ ≤∞ =

Δ = Δ = − − = −∑

( ) ( )- 0

arg hay arg . 2A j n A j nω ω

ω π ω π∞≤ ≤∞ ≤ ≤∞

Δ = Δ =

• Từ những phân tích trên, Mikhailope đã phát biểu thành tiêu chuẩn ổn định nhưsau:

HTĐKTĐ có đa thức đặc tính bậc n với các hệ số dương sẽ ổn định nếu biểu đồvector đa thức đặc tính A(jω) xuất phát từ một điểm trên phần dương trục thựcquay một góc bằng nπ/2 quanh gốc tọa độ và ngược chiều kim đồng hồ khi ω thayđổi từ 0 đến ∞.

• Hình 3.6 là biểu đồ vector đa thức đặc tính cho hệ thống ổn định (a) và không ổnđịnh (b).

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


Re(ω)

Im(ω)

n=3 n=4

(b)

n=1

Re(ω)

Im(ω) n=2

n=4

(a)

n=1

Hình 3.6. Các dạng biểu đồ vector đa thức đặc tính

3.4.2 Tiêu chuẩn Nyquist

• Dùng xét ổn định cho hệ kín dựa vào đặc tính tần – biên – pha của hệ hở

• Phát biểu: Nếu PTĐT của hệ hở có k nghiệm nằm bên phải trục ảo thì hệ kín tươngđương sẽ ổn định nếu đặc tính TBP của hệ hở bao điểm (-1; j0) một góc bằng kπkhi ω thay đổi từ 0 đến ∞.

• Khái niệm đường cong bao một điểm:

• Kẻ một vector có chân là điểm được bao còn đầu ở trên đường cong. Cho đầuvector trượt từ đầu đường cong đến cuối đường cong. Góc quay của vector bằngbao nhiêu thì ta nói đường cong bao điểm đã cho bấy nhiêu.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19


M1 M2

0ϕ =2ϕ π=

Hình 3.7 Sơ đồ mô tả góc bao

• Chứng minh tiêu chuẩn Nyquist:

– Giả sử hệ thống hở có hàm truyền đạt:

Trong đó P(p) là đa thức đặc tính bậc n và là Q(p) đa thức bậc m với m<n. Giả sửP(p) có k nghiệm nằm bên phải trục ảo. Như vậy:

– Hàm truyền đạt của hệ thống kín:

– Đa thức đặc tính của hệ thống kín là Q(p) + P(p). Theo tiêu chuẩn Mikhailope, hệ kín sẽ ổn định nếu:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20


( ) ( )( )h

Q pW p

P p=

( ) ( ) ( )0

arg 2 2 2 2P j n k k n kω

ω π π π≤ ≤∞

Δ = − − = −

( ) ( )( )

( )( ) ( )1

hk

h

W p Q pW p

W p Q p P p= =

+ +

( ) ( )0

arg 2Q j P j nωω ω π≤ ≤∞

Δ + =⎡ ⎤⎣ ⎦

• Xét biểu thức

• Khi hệ kín ổn định thì

• Như vậy, khi ω thay đổi từ 0 đến ∞, biểu đồ vector J(jω) sẽ bao tâm tọa độ một gócbằng kπ. Biểu đồ J(j ω) chính là do đặc tính TBP của hệ thống hở chuyển sang bênphải 1 đơn vị. Do đó, nếu J(jω) bao tâm tọa độ một góc bằng kπ thì đặc tính TBP của hệ hở sẽ bao điểm (-1; j0) một góc bằng kπ.

• Trong thực tế thường gặp hệ hở ổn định hay ở biên giới ổn định (k = 0), lúc đó hệkín sẽ ổn định nếu đặc tính TBP của hệ hở không bao điểm (-1; j0).

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21


( ) ( ) ( ) ( )( )

1 hQ j P j

J j W jP j

ω ωω ω

ω+

= + =

( ) ( ) ( ) ( )0 00

arg arg argJ j Q j P j P jω ωω

ω ω ω ω≤ ≤∞ ≤ ≤∞≤ ≤∞

Δ = Δ + − Δ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0

arg 2 2 2J j n n k kω

ω π π π≤ ≤∞

Δ = − − =

• Trong nhiều trường hợp, hệ hở ổn định hay ở biên giới ổn định có đặc tính TBP rấtphức tạp nên việc xác định nó bao hay không bao điểm (-1; j0) rất khó khăn. Đốivới trường hợp này, ta có thể sử dụng số lần chuyển từ âm sang dương (C+) và từdương sang âm (C-) của đặc tính TBP của hệ hở trên nửa đường thẳng từ -∞ đến –1 thuộc trục thực.

– Nếu C+ = C- thì hệ kín ổn định (đặc tính TBP hệ hở không bao điểm ).

– Nếu C+ ≠ C- thì hệ kín không ổn định.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22


Hình 3.8 Cách xét ổn định cho các đường đặc tính TBP phức tạp

-1 C-

C+C-

C+

1

2

ω

jω

0ω = ω = ∞

3.5 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số3.5.1 Đặt vấn đề

• Quỹ đạo nghiệm số là quỹ tích các nghiệm số của phương trình đặc trưng khi thôngsố của hệ thay đổi từ 0 đến ∞.

• Phương pháp quỹ đạo nghiệm số dùng để phân miền ổn định của HTĐKTĐ trongtọa độ thay đổi thông số của nó. Ứng với một giá trị cố định của thông số biến đổi, hệ thống có một trạng thái ổn định nào đó. Ta có thể biểu diễn trạng thái ổn địnhcủa hệ bằng vị trí nghiệm số của PTĐT trên mặt phẳng phức. Khi giá trị thông sốbiến đổi thì vị trí nghiệm của PTĐT trên mặt phẳng phức cũng thay đổi. Do sự thayđổi đó mà vị trí các nghiệm số phương trình đặc tính sẽ tạo nên một số quỹ đạo nàođó trong mặt phẳng phức.

• Những đoạn quỹ đạo nghiệm số nằm bên trái trục ảo ứng với hệ thống ổn định; giaođiểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo cho ta trạng thái hệ thống ở biên giới ổnđịnh và nếu quỹ đạo nghiệm số nằm bên phải trục ảo thì hệ thống không ổn định.

• Phương pháp này thường dùng cho hệ có một thông số biến đổi tuyến tính.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23


3.5.2 Phương pháp xây dựng quỹ đạo nghiệm số

• Xét hệ thống có PTĐT bậc n:

• Nếu trong hệ thống có một thông số λ biến đổi thì PTĐT sẽ có dạng:

A(p) = N(p) + λM(p) = 0

trong đó N(p) là đa thức bậc n và M(p) là đa thức bậc m với n ≥ m.

• Từ phương trình trên ta có:

Gọi: p’’j (j = 0, 1, 2, …, m) là các nghiệm của phương trình M(p) = 0

p’i (j = 0, 1, 2, …, n) là các nghiệm của phương trình N(p) = 0

pi (j = 0, 1, 2, …, n) là các nghiệm của phương trình A(p) = 0

• Ta có thể biểu diễn M(p), N(p) và A(p) thông qua dạng tích của các thừa số:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24


( ) 10 1 1... 0n n

n nA p a p a p a p a−−= + + + + =

( )( )

N p

M pλ

−= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' '

1 1 1

; ;m n n

j i ij i i

M p p p N p p p A p p p= = =

= − = − = −∏ ∏ ∏

• Khi đó, phương trình trên sẽ có dạng:

• Để xây dựng quỹ đạo nghiệm số ta cần xác định: điểm xuất phát và điểm kết thúccủa quỹ đạo nghiệm số; số lượng quỹ đạo trên mặt phẳng nghiệm; các đường tiệmcận của quỹ đạo, hướng dịch chuyển của quỹ đạo và các điểm đặc biệt.

1. Xác định điểm xuất phát của quỹ đạo nghiệm số

• Ứng với giá trị λ = 0. Theo phương trình trên, các nghiệm p’i của N(p) = 0 cũngchính là nghiệm pi của A(p) = 0. Vì bậc của N(p) bằng bậc của A(p) nên quỹ đạonghiệm số có n điểm xuất phát từ p’i.

2. Xác định điểm kết thúc của quỹ đạo nghiệm số

• Ứng với giá trị λ = ∞, PTĐT trên có thể viết dưới dạng:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25


( ) ( ) ( )' ''

1 1

0n m

i ji j

A p p p p pλ= =

= − + − =∏ ∏

( ) ( )' ''

1 1

10

n m

i ji j

p p p pλ = =

− + − =∏ ∏

• Do đó, các nghiệm p’’j của M(p) = 0 cũng chính là nghiệm pi của A(p) = 0. Vậy, với λ = ∞, quỹ đạo nghiệm số sẽ kết thúc ở m điểm là nghiệm p’’j của M(p) = 0.

3. Xác định số lượng quỹ đạo trên mặt phẳng nghiệm:

• Ứng với một giá trị λ xác định, PTĐT A(p) = 0 có n nghiệm sẽ được biểu diễntương ứng n vị trí trên mặt phẳng phức. Khi λ biến đổi từ 0 đến ∞, các nghiệm pi sẽbiến đổi, do đó n nghiệm sẽ vạch nên n đường trên quỹ đạo nghiệm số.

• + Nếu m < n, quỹ đạo nghiệm số có m đường khởi đầu từ n nghiệm p’i và kết thúcở m nghiệm p’’j. Vì quỹ đạo nghiệm số có n đường nên sẽ có (n-m) đường khởi đầutừ (n-m) nghiệm p’i và tiến xa vô cùng.

• + Vì các nghiệm của A(p) = 0 có thể có các nghiệm phức liên hợp nên các quỹ đạonghiệm số đó sẽ đối xứng qua trục thực.

4. Xác định các đường thẳng tiệm cận

• Có (n-m) đường tiến xa vô cùng nên ta phải tìm các đường thẳng tiệm cận cho (n-m) đường đó.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26


với

• là phương trình các đường thẳng tiệm cận của (n-m) quỹ đạo tiến xa vô cùng

• Theo đó, khi λ = 0 thì p = R0 = const, tức (n-m) đường tiệm cận đều đi qua 1 điểm(tâm) trên trục hoành có hoành độ R0. Các đường tiệm cận này tạo nên một hình saogồm (n-m) tia. Mỗi tia của hình sao tạo với trục hoành một góc nghiêng là:

Ví dụ 3.6.

• Nếu n-m =1 thì từ phương trình trên:

Đường thẳng tiệm cận chính là một nửa trục hoành tiến ra xa vô cùng như hình 3.9a

• Nếu n-m =2 thì ta có hai đường tiệm cận như hình 3.9b là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27


( )1 2 1

0 0, 1,.., 1k

jn m n mp e R k n m

πλ

+− −≈ + = − −

' ''0

1 1

1 n m

i ji j

R p pn m = =

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

( )2 10, 1,..., 1k

kk n m

n mα π+

= = − −−

0 n m

πα π= =−

• Nếu n-m =3 thì ta có ba đường tiệm cận như hình 3.9c là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28


( )

( )

0

1

02

2 1 1 31

2 2

kn m

k

π πα

πα π

= = =−× +

= = =

( ) ( )

( )

0 1

2

2 1 1khi 0 ; khi 1

3 32 2 1 5

khi 23 3

k kn m

k

π πα α π π

πα π

× += = = = = =

−× +

= = =

α

jω

0 0R

λ = ∞ π

(a)

α

jω

0

λ = ∞

(b)

3

2

π2

π

λ = ∞

α

jω

00R

(c)

λ = ∞

λ = ∞ 5

3

π

π

3π

Hình 3.9. Đường tiệm cận với 1, 2n m− = và 3

5. Xác định hướng dịch chuyển của quỹ đạo nghiệm

• Từ phương trình A(p) = N(p) + λM(p) = 0 → -λ = N(p)/M(p)

• Giả thiết p là số thực, ta xây dựng đồ thị hàm f(p) = N(p)/M(p). Giao điểm củađường cong f(p) với đường thẳng -λ sẽ xác định các nghiệm pi của A(p) = 0 ứng vớicác trị số λ xác định.

• Từ các điểm cực trị (df(p)/dp = 0) sẽ xác định các điểm các điểm tách khỏi trụcthực của mặt phẳng nghiệm.

• Từ đồ thị f(p) và đường thẳng -λ, tùy thuộc vào sự biến đổi của λ mà ta xác địnhđược hướng dịch chuyển của quỹ đạo.

6. Xác định các giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo của mặt phẳng nghiệm

• Nghiệm nằm trên trục ảo có giá trị p=jωc, khi đó PTĐT có dạng:

A(jω) = PA(ωc) + jQA(ωc) = 0

Trong pt này còn có thông số λc chưa biết nên phối hợp giải hai phương trình sau, ta sẽ tìm được giá trị tần số ωc và λc ở giao điểm quỹ đạo nghiệm số và trục ảo.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29


( ) ( )0; 0A c c A c cP Qω λ ω λ= =

3.5.3 Trình tự xây dựng quỹ đạo nghiệm số

• Xác định các điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo– Viết PTĐT dạng: N(p) + λM(p) = 0

– Điểm đầu của quỹ đạo ứng với n nghiệm của N(p) = 0

– Điểm cuối của quỹ đạo ứng với m nghiệm của M(p) = 0

• Xác định các đường thẳng tiệm cận của (n-m) quỹ đạo tiến ra xa vô cùng– Tâm hình sao của các tia tiệm cận có hoành độ:

– Góc tạo bởi các tia của hình sao và trục hoành:

• Xác định điểm tách khỏi trục thực và hướng dịch chuyển của quỹ đạo– Vẽ đồ thị hàm để tìm hướng dịch chuyển của quỹ đạo:

– Tính đạo hàm để tìm điểm tách khỏi trục thực (df(p)/dp = 0).

– Nếu có nhiều điểm cực đại. ta phải chọn điểm có để phù hợp với phương trình -λ = N(p)/M(p)

• Xác định giao điểm của trục ảo và quỹ đạo nghiệm

• Giải các phương trình để tìm ra ωc và λc.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30


' ''0

1 1

1 n m

i ji j

R p pn m = =

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

( )2 10, 1,..., 1k

kk n m

n mα π+

= = − −−

( ) ( )0; 0A c c A c cP Qω λ ω λ= =

Ví dụ 3.7. Vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có hàm truyền đạt hở:

với k thay đổi từ 0 đến ∞ và T1=0.001s, T2=0,005s,

Giải: Từ hàm truyền đạt của hệ hở, ta có PTĐT của hệ kín tương ứng:

Với

n=3, m=0, tức là n-m=3 nên hệ thống này có ba đường tiệm cận (hình 3.9c).

• Xác định điểm R0:

• Vậy quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ

khi λ = 0 và tiệm cận với 3 tia khi λ = ∞.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 31


( ) ( )( )1 21 1hk

W pp pT pT

=+ +

( )1 2 1 2

1 10

kA p p p p

T T T T

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )1 2 1 2

1 1; 1;

kM p p p p N p

T T T Tλ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2 2 01 2

1 1 1000 2000, 1000; 200 400

3p p p R

T T

− −= = − = − = − = − ⇒ = = −

1 2 21 2

1 10, 1000; 200p p p

T T= = − = − = − = −

3.6 Độ dự trữ ổn định• Để đánh giá được chính xác quá trình quá độ ta phải biết chính xác nghiệm của

PTĐT. Có thể không cần giải PTĐT mà vẫn biết được vùng phân bố nghiệm số củanó trên mặt phẳng phức. Ví dụ, có thể tìm được giá trị λ là giá trị phần thực củanghiệm số gần trục ảo nhất so với các nghiệm khác. Vùng gạch sọc trên hình 3.10a là vùng phân bố nghiệm số của PTĐT. Giá trị λ được gọi là hệ số tắt dần, mức độổn định hay độ dự trữ ổn định của hệ thống. Nếu độ dự trữ nhỏ, hệ thống có thể từổn định trở nên mất ổn định. Bởi vậy, khi thiết kế cần phải lựa chọn độ dự trữ ổnđịnh có độ lớn cần thiết.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 32


Hình 3.10 Các vùng phân bố nghiệm số

(a)

λ

jω

α

(b)

jω

α ϕ

ϕ

(c)

jω

α

λϕ

ϕ

• Cũng có thể không cần giải PTĐT mà tìm được giá trị góc 2ϕ, tương ứng với phầngạch sọc trên hình 3.10b, trong đó phân bố tất cả các nghiệm số của PTĐT. Giá trịm=-cotgϕ được gọi là mức độ dao động của hệ thống. Cả λ và m đều là những chỉtiêu gián tiếp đánh giá chất lượng của quá trình quá độ. Nếu kết hợp λ và m ta sẽđược sự phân bố nghiệm của PTĐT trong phần gạch sọc trên hình 3.10c.

Ví dụ 3.8.

• Tìm k để HTĐKTĐ sau có hệ số tắt dần λ=0.1

Giải:

• Hàm truyền đạt của hệ hở:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 33


( ) ( )( )( )

( )( )2 2

2 11 11

2 3 2 1 1 2 3 2 1 1h

k pW p k

p p p p p p p p

⎛ ⎞ +⎛ ⎞⎜ ⎟= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Hình 3.11 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển

11

2k

p

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )( )2

1

3 2 1 1p p p+ + + ( )U p ( )Y p

• Hàm truyền đạt của hệ kín:

• PTĐT của hệ thống kín:

• Thay p = s - 0.1vào phương trình đặc trưng:

• Hệ có hệ số tắt dần λ trong tọa độ p sẽ tương ứng với hệ ở biên giới ổn định trongtọa độ s. Giả sử dùng tiêu chuẩn Routh để xét hệ thống

• Lập bảng Routh:

• Vậy hệ ở biên giới ổn định khi:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 34


( ) ( )( )

( )( )( ) ( )2

2 1

1 2 3 2 1 1 2 1

hk

h

W p k pW p

W p p p p p k p

+= =

+ + + + + +

( )4 3 26 10 6 2 1 0p p p p k k+ + + + + =

( )4 3 26 7.6 3.36 2 1.076 0.8 0.1494 0s s s k s k+ + + + + − =

2

6 3.36 0.8 0.1494

7.6 2 1.076 0

19.08 12 6.08 1.13544 0

24 20.96 29.16

k

k

k

k k

−+

− −

− − +

( )2

19.08 12 00.749 0

24 20.96 29.16 0

kk k

k k

− >⎧⎪ ⇔ = >⎨− − + =⎪⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 35


0 σ

mặt phẳng p jω

0

1

t

y(t)

0

1

t

y(t)

0 σ

mặt phẳng p

jω

Hình 3.12 Ví trí phân bố nghiệm trong mặt phẳng p

0

1

t

y(t)

σ

0 σ

mặt phẳng p jω

0

1

t

y(t)

0

1

t

y(t) jω

0 σ

mặt phẳng p

0

mặt phẳng p jω

3.7 Kết luận• Nếu phương trình đặc trưng của hệ thống có ít nhất một hệ số âm thì có thể kết luận

hệ thống đó không ổn định• Tiêu chuẩn Routh thường được dùng để xét ổn định của hệ thống vì đối với các hệ

thống có phương trình đặc tính bậc cao, việc tính toán các định thức Hurwitz rấtphức tạp

• + Các tiêu chuẩn ổn định tần số (Mikhailope, Nyquist) thường được dùng khi có sựtrợ giúp của máy tính vì chúng xét ổn định của hệ thống dựa vào biểu đồ vector đathức đặc trưng.

• + Phương pháp xét ổn định cho hệ thống có thông số thay đổi dựa trên quỹ đạonghiệm số ít được sử dụng vì chúng ta thường xét các hệ thống có thông số bấtbiến theo thời gian (hệ thống dừng).

• + Độ dự trữ ổn định của hệ thống điều khiển tự động không những đảm bảo khảnăng ổn định của hệ thống khi có thông số thay đổi mà còn ảnh hưởng đến tính chấtquá độ của hệ thống. Trị số cụ thể của độ dự trữ ổn định được chọn dựa vào yêu cầucủa quá trình quá độ

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 36


Chương 4. Đánh giá chất lượng hệ thống

4.1 Giới thiệu chung• Ổn định mới là tiêu chí đầu tiên xem hệ thống có làm việc được hay không, còn

chất lượng của hệ thống nói lên rằng hệ thống đó có sử dụng được hay không? Cóba chỉ tiêu chất lượng cơ bản là chỉ tiêu ở trạng thái tĩnh, chỉ tiêu quá độ và chỉ tiêutích phân.

• + Ở trạng thái quá độ, hệ thống được đánh giá thông qua các tham số như thời gianđiều khiển, độ quá điều khiển, thời gian quá độ, thời gian đáp ứng...

• + Ở trạng thái xác lập, hệ thống được đánh giá thông qua sai số ở trạng thái xác lập.

4.2 Chỉ tiêu chất lượng hệ thống ở trạng thái xác lập• Một trong các tiêu chí của hầu hết các hệ thống điều khiển tự động là ở trạng thái

xác lập, đáp ứng đầu ra theo tín hiệu chuẩn ở đầu vào chính xác đến đâu? Sai lệchgiữa đầu ra và tín hiệu chuẩn đầu vào ở trạng thái xác lập được gọi là sai số xáclập. Trên thực tế, do ma sát, do thiết bị không hoàn hảo, do điều kiện môi trường... nên hiếm khi không có sai số xác lập. Khi thiết kế hệ thống, một trong các tiêu chíđặt ra là làm cách nào để sai số xác lập là nhỏ nhất hoặc thấp hơn sai số ngẫu nhiênvà cùng với nó là đáp ứng quá độ phải thoả mãn các chỉ tiêu đặt ra.


Trạng thái xác lập của hệ thống được đánh giá

bằng sai lệch dư của điều khiển, nó là giá trị

sai lệch còn tồn tại sau khi quá trình điều khiển

kết thúc. Chỉ tiêu về độ chính xác của điều

khiển này do yêu cầu của quy trình công nghệ

đặt ra mà hệ thống điều khiển nhất thiết phải

đáp ứng được. Giá trị sai lệch dư theo lý thuyết

được ký hiệu là ∂ và được tính theo công thức:

Trong đó e(t) là sai lệch động.

Xét hệ thống như hình 4.2 với Wh(p) là hàm truyền đạt hở:


Chương 4. Đánh giá chất lượng hệ thống…

( )limt

e t→∞

∂ =

Hình 4.1 Đáp ứng của hệ thống ĐKTĐ

∂

( )u t

t 0

tín hiệu ra ( )y t

y∞

( )Y p( )E p ( )hW p

( )U p

Hình 4.2. Hệ thống kín ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

1. hh

E p U p Y pE p U p

W pY p E p W p

= −⎧⎪ ⇒ =⎨ +=⎪⎩

• Theo định lý tiến tới giới hạn ảnh và gốc trong biến đổi Laplace:

• Khi tín hiệu vào

Ta có

• Khi tín hiệu vào

Ta có:

Ví dụ 4.1: Tín hiệu vào có dạng bậc thang đơn vị :

• Nếu hệ là khâu dao động bậc 2:



( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim lim lim1t p t p h

pe t pE p e t U p

W p→∞ → →∞ →= ⇒ ∂ = =

+

( ) ( ) ( )0 khi 0 1

11 khi 0

tu t t U p

t p

<⎧= = ⇒ =⎨ ≥⎩

( )0

1lim

1p hW p→∂ =

+

( ) ( ) 2u i kt U p k p= ⇒ =

( )0

1lim .

1p h

k

W p p→∂ =

+

( ) ( ) ( ) 11u t t U p

p= ⇒ =

( ) 2 02

1 1lim

12 1 12 1

p

k pW p

k p kTp TpTp Tp

ξξ

→= ⇒ ∂ = =

++ + ++ +

• Nếu hệ là khâu dao động bậc hai mắc nối tiếp với một khâu tích phân:

Ví dụ 4.2: Nếu tín hiệu vào là hàm tăng dần đều u(t)=t → U(p)=1/p2, hệ vẫn là khâudao động bậc hai mắc nối tiếp một khâu tích phân. Sai lệch tĩnh được tính như trên:

• Khâu tích phân và hệ số khuếch đại có ảnh hưởng lớn trong việc xác định sai lệchtĩnh của hệ thống. Tách riêng hai thành phần này trong hàm truyền đạt hở:

r được gọi là bậc vô sai tĩnh của hệ thống



0

2

1lim 0

11

2 1

p

p

pkp Tp Tpξ

→∂ = =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

20

2

1 1lim

11

2 1

p

p

kpkp Tp Tpξ

→∂ = =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

( )1

0 11

0 1

... 1

... 1

m m

h r n r n r

b p b pkW p

p a p a p

−

− − −+ + +

=+ + +

• Bảng 4.1 là kết quả của một số trường hợp thường gặp. Ở đây kp, kv, ka

tương ứng là hệ số khuếch đại với trường hợp tín hiệu vào là không đổi, tốcđộ tín hiệu vào không đổi và gia tốc của tín hiệu vào không đổi.



Bảng 4.1

Bậc vô sai

tĩnh Tín hiệu vào

0r = 1r = 2r =

( ) ( ) ( )1 , 1u t t U p p= = ( )1 1 pK+ 0 0

( ) ( ) 2, 1u t t U p p= = ∞ 1 vk 0

( ) ( ) ( )2 31 2 , 1u t t U p p= = ∞ ∞ 1 ak

4.3 Chỉ tiêu chất lượng ở quá trìnhquá độ

• Xét hệ có đầu vào bậc thang đơn vị• Đáp ứng quá độ của một hệ thống là

rất quan trọng vì cả biên độ và thờigian quá độ đều phải được giữ trongphạm vi cho phép.

• Đối với một hệ thống điều khiển, đápứng quá độ thường có được bằngcách ta cho tín hiệu vào hệ thống códạng bậc thang đơn vị. Đầu ra của hệthống lúc đó được gọi là đáp ứngbậc thang đơn vị. Hình 4.3 là đápứng bậc thang đơn vị của một hệ điềukhiển tuyến tính. Các chất lượngđược đánh giá trực tiếp gồm:



0

0.1

0.5

0.9 0.95

1 1.05

( )y t

t

vào bậc thang đơn vị

σ

qdt

tσ

rt mtdt

2Δ

Hình 4.3 Đáp ứng quá độ của một hệ điều khiển

• Độ quá điều chỉnh cực đạihoặc

Độ quá điều chỉnh cực đại thường được sử dụng để kiểm tra tính ổn định tương đốicủa hệ thống điều khiển. Một hệ thống có độ quá điều chỉnh cực đại lớn thườngkhông phải là mong muốn. Khi thiết kế, người ta xem độ quá điều chỉnh cực đại nhưlà một tiêu chí trong miền thời gian. Trên hình 4.3, độ quá điều chỉnh cực đại xảy ra ởlần quá điều chỉnh đầu tiên. Ở một số hệ thống, độ quá điều chỉnh cực đại có thể xảyra ở đỉnh sau đó. Nếu hàm truyền đạt của hệ thống có số điểm không (zero) nằm bênphải mặt phẳng p lẻ thì hiện tượng độ quá điều chỉnh âm có thể xảy ra.

• Thời gian trễ:Thời gian trễ td được định nghĩa là thời gian yêu cầu để đáp ứng đạt 50% giá trị xác lập.• Thời gian tăng:

Thời gian tăng là thời gian yêu cầu để đáp ứng tăng từ 10% lên 90% giá trị xác lập. Có một cách định nghĩa khác, thời gian tăng là nghịch đảo của đường đáp ứng tại thờiđiểm nó đạt 50% giá trị xác lập.



maxy yσ ∞= − max% 100y y

yσ ∞

∞

−=

• Thời gian quá độThời gian quá độ tqd được xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ y(t) không vượt rakhỏi biên giới của miền giới hạn Δ quanh trị số xác lập.

• Thời gian đáp ứngThời gian đáp ứng tm xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ lần đầu tiên đạt đượctrị số xác lập y∞ khi có quá điều chỉnh.

• Thời gian có quá điều chỉnhThời gian có quá điều chỉnh tσ được xác định bởi thời điểm hàm quá độ đạt cựcđại.

• Số lần dao độngSố lần dao động N được tính bởi số lần mà hàm quá độ dao động quanh trị số xác

lập trong thời gian quá độ.σ , tσ và N đặc trưng cho tính chất suy giảm của quá trình quá độ.tqd và tm đặc trưng cho tính chất tác động nhanh của hệ.

• Trên đây là các chỉ tiêu đánh giá chất lượng quá trình quá độ của đáp ứng bậc thangđơn vị. Các chỉ số này tương đối dễ đo đối với đáp ứng bậc thang. Tuy nhiên, theophép phân tích thì những đại lượng này rất khó xác định trừ khi hệ thống có bậcnhỏ hơn 3.



4.4 Đánh giá chất lượng hệ thống• Đánh giá chất lượng hệ thống qua tiêu chuẩn tích phân. Quá trình quá độ điều khiển

có thể được đánh giá là tốt hay xấu thông qua giá trị tích phân của sai lệch giữa giátrị chủ đạo và giá trị tức thời đo được của đại lượng cần điều khiển.

• Gọi tín hiệu ra của hệ thống là y(t), giá trị của nó ở trạng thái xác lập là y(0), sailệch của cả quá trình điều khiển là e(t) = y(t) - y(0).

• Đối với hệ thống không dao động với sai lệch của tín hiệu điều khiển được mô tảtrong hình 4.4 có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân dạng I1 để đánh giá chất lượngcủa quá trình quá độ.

• I1 chính là diện tích hình được tạo bởi đường congvà hai trục tọa độ. Theo hình 4.4, quá trình quá độtrường hợp 1 tốt hơn, giá trị của I1 trong trường hợp 1 nhỏ hơn. Vậy I1 càng nhỏ thì quá trình quá độ xảy racàng nhanh và ngược lại. Quá trình quá độ sẽ tốt nhấtnếu I1→min



e

t

1

2

Hình 4.4 Quá độ không dao động

( )1 0I e t dt

∞= ∫

• Đối với hệ có dao động thì I1 lại không sử dụng được. Theo hình 4.5, quá trình quáđộ theo đường 1 tốt hơn nhưng nếu tính theo I1 thì nó lại cho giá trị lớn hơn. Trongtrường hợp này, ta phải sử dụng tích phân dạng:

• Với công thức này, dấu của không còn ảnh hưởng tới giá trị của tích phân nữa. Theo hình 4.5, giá trị I2 của đường 1 nhỏ hơn đường 2 và quá trình điều khiển sẽ tốtnhất nếu I2→min.

• Tuy I2 có thể sử dụng để đánh giá chất lượng của quá trình quá độ có hay không códao động nhưng trên thực tế nó ít được sử dụng vì muốn tính I2 thì phải biết trướcđường biến thiên của e.

• Để thuận tiện cho việc đánh giá quá trình quá độ, người ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân bình phươngsai lệch được tính theo công thức dạng:

I3 cho phép tính toán và thực hiện đơn giản hơn I2

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10


Hình 4.5 Quá độ có dao động

e

t

1

2

2 0I e dt

∞= ∫

23 0

I e dt∞

= ∫

• Các tích phân trên có một nhược điểm cơ bản là chưa đánh giá ảnh hưởng của tốcđộ thay đổi của e lên chất lượng quá trình quá độ. Để khắc phục nhược điểm này, có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân dạng:

trong đó α là giá trị cố định, thông thường được chọn trong khoảng

• I4 cho ta sự đánh giá đầy đủ về chất lượng quá trình quá độ. Khi I4→min nghĩa làđạt được I4 nhỏ nhưng tốc độ thay đổi của sai lệch cũng không cao. Đối với từng hệthống riêng biệt phải chọn được giá trị α thích hợp, có thể chọn α nhỏ cho quá trìnhcho phép dao động lớn.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11


6 3qd qdt t

α< <

22

4 0

deI e dt

dtα

∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

4.5 Tổng kết• + Chỉ tiêu ở trạng thái tĩnh: được đánh giá dựa vào sai lệch dư của điều khiển và

được tính theo công thức:

• + Chỉ tiêu ở trạng thái quá độ: được đánh giá bằng hai chỉ tiêu cơ bản là thời giankéo dài của quá trình điều khiển và tính dao động của điều khiển. Các chỉ tiêu nàydo yêu cầu về chất lượng của quy trình công nghệ đặt ra. Nó được thể hiện qua mộtsố tiêu chí như thời gian điều chỉnh, độ quá điều chỉnh, số lần dao động…

• + Chỉ tiêu tích phân: Dùng để đánh giá chất lượng của quá trình quá độ. Dựa vàođặc điểm của từng loại quá trình quá độ mà ta có thể dùng các chỉ tiêu tích phânkhác nhau như quá trình quá độ có dao động, không có dao động…

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ

5.1 Giới thiệu chung• Thiết kế một hệ thống điều khiển tuyến tính có thể được thực hiện trong miền thời

gian hoặc trong miền tần số. Ví dụ, khi đầu vào có dạng bậc thang, xung Diract hoặc là đường parabol và cần xác định độ chính xác thì ta tiến hành phân tích hệthống trong miền thời gian. Khi xét các chỉ tiêu như độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian đáp ứng, thời gian quá độ thì việc phân tích hệ trong miền thời gian đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong miền tần số, ta thường xét đồ thị Bode, toạ độ các điểm cực, đồ thi biên độ - pha và biểu đồ Nichols. Đối với hệ bậc hai, ta có thể dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các đặc điểm trong miền thời gian và trong miền tần số nhưng với các hệ thống có bậc cao hơn, việc này rất khó thực hiện.

• Hầu hết các phương pháp thiết kế một hệ thống điều khiển thông thường đều có cấu hình “cứng”. Nhiệm vụ ở đây là phải chọn bộ điều khiển có cấu trúc như thế nào? Bộ điều khiển là cơ cấu có cấu trúc nhất định và thông số có thể thay đổi trong phạm vi nhất định. Khác với bộ điều khiển, khâu điều khiển được lắp ráp với thông số cố định, sau đó tính toán đối với một đối tượng cụ thể. Chức năng của bộ điều khiển và khâu điều khiển là như nhau. Có thể mắc cả khâu điều khiển và bộ điều khiển trong cùng một hệ thống để nâng cao chất lượng.


• Theo chức năng, bộ điều khiển được phân thành các loại là bộ điều khiển tỉ lệ (P - Proportional), bộ điều khiển tích phân (I – Integration), bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI), bộ điều khiển tỉ lệ -vi phân (PD -Proportional Derivative) và bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân (PID).

• Vị trí của bộ điều khiển trong một hệ thống điều khiển tương đối linh hoạt. Hình 5.1 biểu diễn một số cấu hình hệ thống thường được sử dụng


Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ…

Hình 5.1. Cấu hình hệ thống điều khiển tự động

C O u ye x

a. C

O u y e x

b.

C A

B

u

y

e x

c. C2

O u y e x C1

d.

C2 O y e x

C1 u

e.

C2 O y

e

x

C1

u

f.

• Hệ thống trên hình 5.1 a, b, c chỉ yêu cầu một bộ điều khiển, thậm chí nó dùng được cho hệ thống có nhiều hơn một tham số thay đổi. Nhược điểm của các hệthống này là nó giới hạn các chỉ tiêu kỹ thuật yêu cầu.

• Bộ điều khiển thường sử dụng trong các hình 5.1 d, e, f là PID vì nó xử lý tín hiệu vào theo ba thành phần là tỉ lệ, vi phân và tích phân. Do các tín hiệu này rất dễ nhận ra và phân biệt trong miền thời gian nên bộ điều khiển PID được sử dụng để phân tích hệ thống trong miền thời gian.

• Sau khi đã chọn được cấu hình cho bộ điều khiển, người điều khiển lại phải chọn cách điều khiển cho phù hợp với đối tượng nhằm thoả mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đã đặt ra.

• Tiếp theo là chọn thông số cho bộ điều khiển. Các thông số này thường là một hoặc nhiều thông số của hàm truyền đạt của bộ điều khiển. Cách thông thường là sử dụng công cụ phân tích đã giới thiệu ở các chương trước để xác định sự ảnh hưởng của từng tham số riêng rẽ lên hệ thống. Dựa vào thông tin này mà các tham số được chọn nhằm thoả mãn các yêu cầu đặt ra

• Khithiết kế phải vạch ra được các điểm chính hay tìm được luật thiết kế. Trong miền thời gian thì sử dụng phương pháp biến đổi Laplace (mặt phẳng p) còn trong miền tần số thì sử dụng đồ thị biên độ - pha.



5.2 Các phương pháp nâng cao chất lượng hệ thống• Khi đã xác định được tham số tối ưu của thiết bị điều khiển mà vẫn không đáp ứng

được chất lượng của quá trình điều khiển thì ta phải tìm các biện pháp khác để nâng cao chất lượng, đó là thay đổi cấu trúc của hệ thống điều khiển tự động.

5.2.1 Phương pháp bù tác động nhiễu

• Trong hệ thống điều khiển tự động thường có nhiễu tác động làm ảnh hưởng chất lượng của quá trình điều khiển. Nếu các nhiễu này đo được thì có thể sử dụng nguyên lý bất biến bù tác động nhiễu để nâng cao chất lượng điều khiển của hệthống. Nếu có một nhiễu nào đó tác động lên hệ thống nhưng cả tín hiệu ra và sai lệch đều không đổi thì hệ thống bất biến với tác động của nhiễu đó. Như vậy, nếu chúng ta xây dựng được hệ thống bất biến với nhiễu tác động thường xuyên thì chất lượng của quá trình điều khiển được nâng cao rất nhiều. Nhiễu của hệ thống được chia ra làm hai loại là nhiễu phụ tải và nhiễu đặt trước.

5.2.1.1 Bù nhiễu phụ tải• Hệ thống điều khiển tự động chịu tác động của nhiễu phụ tải z(t). Yêu cầu đặt ra là

phải xây dựng lại hệ thống sao cho nó bất biến với tác động đó. Muốn vậy, trong hệthống phải ghép thêm phần tử bù với hàm truyền đạt Wb(p) như hình 5.2.



• Để y(t) bất biến với nhiễu z(t), nghĩa là khi có z(t) tác động thì y(t) vẫn cố định thìcấu trúc của hệ thống phải thỏa mãn điều kiện:

• Vậy, hàm truyền đạt của phần tử bù phải được xây dựng theo công thức:



( ) ( ) ( ) ( )1 2 3. . 0bW p W p W p W p+ =

( ) ( )( ) ( )

3

1 2.bW p

W pW p W p

= −

( )bW p

( )( )

3

2

W p

W p

( )1W p

( )Z p

( )Y p( )E p ( )U p

Đối tượng

Hình 5.2 Xây dựng hệ thống bất biến với nhiễu phụ tải

• Khi khối bù có hàm truyền đạt như trên thìy(t) sẽ hoàn toàn cố định khi có tác động z(t). Ta nói y(t) bất biến tuyệt đối so với tác động z(t).

5.2.1.2 Bù nhiễu đặt trước• Trong hệ thống điều khiển chương trình, tín hiệu vào thường thay đổi liên tục. Việc

xây dựng hệ thống điều khiển chương trình có độ chính xác cao là rất cần thiết. Nếu chỉ sử dụng các hệ thống điều khiển thông thường thì luôn tồn tại sai lệch dư (xem chương 4). Có thể làm cho hệ thống điều khiển có độ chính xác cao hơn bằng cách sử dụng nguyên lý bất biến theo tác động của tín hiệu vào( hình 5.3).

• Điều kiện bất biến ở đây là giá trị ra y(t) của hệ thống phải luôn luôn bằng giá trị đặt u(t), tức giá trị sai lệch e(t)=0 khi u(t) thay đổi. Để điều kiện này xảy ra thì cấu trúc của hệ thống phải đảm bảo được đẳng thức:



Hình 5.3 Sơ đồ hệ thống điều khiển bù nhiễu đặt trước

( )bW p

( )1W p ( )Y p( )E p ( )U p ( )2W p

• Như vậy, hàm truyền đạt của khối bù phải được xây dựng theo công thức:

( ) ( )2. 1bW p W p =

( ) ( )2

1bW p

W p=

• Khi cấu trúc của khối bù được xây dựng hoàn toàn chính xác theo công thức trên thìsẽ luôn đảm bảo y(t)=u(t) và ta có thể nói hệ thống bất biến với nhiễu đặt trước.

• Trong thực tế, W2(p) là hàm truyền đạt của đối tượng điều khiển có cấu trúc phức tạp nên việc xây dựng hàm truyền đạt của khối bù theo công thức trên không thểthực hiện được, có nghĩa là không thể tạo được bất biến tuyệt đối mà chỉ có thể xây dựng hệ thống bất biến tương đối. Có thể sử dụng phép bù tĩnh là phép bù đơn giản nhất. Trong phép bù tĩnh, hàm truyền đạt của khối bù chỉ là khâu khuếch đại có hệsố khuếch đại bằng giá trị nghịch đảo hệ số truyền của đối tượng.

5.2.2 Phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng• Sự chậm trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu theo kênh điều khiển của đối

tượng là những nguyên nhân cơ bản làm cản trở tốc độ tác động của thiết bị điều khiển và vì vậy, làm giảm độ chính xác của điều khiển. Trong trường hợp này, nhiều hệ thống điều khiển có cấu trúc mạch vòng không đáp ứng được yêu cầu vềchất lượng của quá trình điều khiển ngay cả khi sử dụng các quy luật điều khiển phức tạp với tham số tối ưu của nó. Để nâng cao chất lượng của các hệ thống điều khiển đó, tốt nhất là sử dụng hệ thống điều khiển tầng có sơ đồ cấu trúc được mô tả như trong hình 5.4.



• Hệ thống có hai thiết bị điều khiển. Đại lượng cần điều khiển ở đây là y(t), tín hiệu vào là u(t), thiết bị điều khiển có hàm truyền đạt Wm1(p) và đối tượng có hàm truyền đạt W1(p). Do tính chất trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu điều khiển theo kênh nên chất lượng của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu. Chất lượng của hệthống điều khiển sẽ được nâng cao nếu chúng ta xây dựng thêm một mạch điều khiển phụ tự ổn định và một tham số trung gian của đối tượng điều khiển y1(t), cóhàm truyền đạt là W2(p). Để ổn định đại lượng trung gian này, thiết bị điều khiển Wm2(p) được sử dụng.



Hình 5.4 Hệ thống điều khiển tầng

( )1mW p ( )1W p ( )Y p ( )E p ( )U p ( )2mW p

( )2W p

( )Z p

( )1Y p

( )1X p

• Điều cơ bản ở đây là tín hiệu truyền qua đối tượng theo kênh W2(p) phải nhanh hơn kênh W1(p). Thiết bị điều khiển Wm1(p) không tác động trực tiếp lên đối tượng điều khiển mà tín hiệu ra của nó là tín hiệu chủ đạo cho thiết bị điều khiển Wm2(p).

• Trong khi tổng hợp hệ thống phải đảm bảo quá trình quá độ của mạch vòng trong (Wm2(p)-W2(p)) phải xảy ra nhanh hơn rất nhiều so với mạch vòng ngoài (mạch vòng chính với thiết bị điều khiển Wm1(p)). Như vây, khi có nhiễu z(t) tác động thìmáy điều khiển Wm2(p) sẽ nhanh chóng tác động theo tín hiệu trung gian y1(t) đểkhử ảnh hưởng của nhiễu này lên mạch vòng chính. Rõ ràng, chất lượng của quátrình điều khiển được nâng cao rất nhiều.

• Đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm2(p) là W2(p), còn đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm1(p). phải được xác định theo công thức:



( ) ( ) ( )( ) ( )

2 11

2 2

.

1 .m

dm

W p W pW p

W p W p=

+

5.3 Bộ điều khiển5.3.1 Bộ điều khiển tỉ lệ (P)

• Trong các ví dụ về hệ thống điều khiển, bộ điều khiển thường là một bộ khuếch đại đơn giản với hệ số khuếch đại là hằng số K. Đây được gọi là bộ điều khiển tỉ lệ vìmối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra tuân theo quy luật tỉ lệ.

• Tín hiệu điều khiển trong quy luật tỉ lệ được hình thành theo công thức:

x=KP.e• Trong đó KP là hệ số khuếch đại của quy luật.

• Đặc điểm:

– Tín hiệu ra luôn trùng pha với tín hiệu vào.

– Tồn tại sai lệch tĩnh khi sử dụng cho các đối tượng tĩnh.

• Trong công nghiệp, quy luật tỉ lệ thường được dùng cho những hệ thống cho phép tồn tại sai lệch tĩnh. Để giảm sai lệch tĩnh, quy luật tỉ lệ thường được hình thành theo biểu thức.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10


x =x0 + KP.e

• Trong đó x0 là điểm làm việc của hệ thống. Tác động điều khiển luôn giữ cho tín hiệu điều khiển thay đổi xung quanh giá trị này khi xuất hiện sai lệch. Hình 5.5 mô tả quá trình điều khiển với các hệ số KP khác nhau

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11


1K 2K

3K 1 2 3K K K> >

t

e

0

Hình 5.5 Quá trình điều khiển với các hệ số pK khác nhau

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


5.3.2 Bộ điều khiển tích phân (I)

• Trong quy luật tích phân, tín hiệu điều khiển được xác định theo biểu thức:

trong đó Ti=1/Ki được gọi là hằng số thời gian tích phân

• Giá trị điều khiển x chỉ đạt được giá trị xác lập khi e = 0. Như vậy ưu điểm của quy luật tích phân là triệt tiêu sai lệch tĩnh.

• Hàm truyền đạt tần số của khâu tích phân:

• Vậy, tín hiệu ra luôn chậm pha so với tín hiệu vào một góc π/2 độ tác động chậm hệ kém ổn định ít được sử dụng

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1. . L

ii i i

X px K e dt e dt X p E p W p

T T p E p T p= = ⎯⎯→ = ⎯⎯→ = =∫ ∫

( ) 1 1Re 0; Im 1 i

i i

W j j Tj T T

ω ωω ω

= = − ⎯⎯→ = = −

( ) ( )Im

Re 2arctg arctg

πϕ ω⎯⎯→ = = −∞ = −

5.3.3 Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD)

• Tác động điều khiển của quy luật PD được hình thành theo công thức:

• Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân.

• Hàm truyền tần số của quy luật PD:

• Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ 0 đến π/2, tốc độ tác động của PD nhanh hơn P. PD cải thiện quá trình quá độ, giảm độ quá điều chỉnh cực đại. Do cóthành phần vi phân nên hệ thống phản ứng với các nhiễu cao tần có biên độ nhỏ, PD cũng không làm giảm sai lệch dư PD chỉ sử dụng khi cần tốc độ tác động nhanh như điều khiển tay máy…

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13


( ) ( )( ) ( ). . . . 1 .P D P D P D P D

X pde dex K e K K e T W p K K p K T p

dt dt E p⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→ = = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

1 . Re ; Im . .

Imarctg arctg .

Re

P D P P D

D

W j K jT K K T

T

ω ω ω

ϕ ω ω

= + ⎯⎯→ = =

⎯⎯→ = =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14


Hình 5.7 Dạng sóng của ( ) ( ),y t e t và de dt

( )y t

t 0

1

( )e t

t

0

1

de dt

t

0

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15


5.3.4 Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI)

• PD cải thiện quá trình quá độ và thời gian lên của hệ thống, tăng băng thông và tần số cộng hưởng. Tuy nhiên, nó không thể triệt tiêu sai số xác lập, nhất là với các hệthống có nhiễu. Do vậy, rất nhiều trường hợp không thể sử dụng bộ điều khiển PD.

• Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức:

• Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân.

• Hàm truyền tần số của quy luật PI:

• Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ -π/2 đến 0.

( ) ( )( )

1 1. . . 1

.I

P I P P PI I

X p Kx K e K e dt K e e dt W p K K

T E p p T p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⎯⎯→ = = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( )

( )

11 Re ; Im

. .

Im 1arctg arctg

Re .

PP P

I I

I

KW j K j K

T T

T

ωω ω

ϕ ωω

⎛ ⎞= − ⎯⎯→ = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⎯⎯→ = = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16


• Phương pháp khả thi khi thiết kế bộ điều khiển PI đó là chọn điểm không ở vị tríp=-KI/KP, vì nó rất gần với gốc toạ độ và xa các điểm cực của quá trình, các giá trị

của Kp và Kp phải tương đối nhỏ.

t

e

0

1

2 3

54

Hình 5.10 Các quá trình quá độ điều khiển của quy luật PI

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17


5.3.5 Bộ điều khiển tỉ lệ -vi phân - tích phân (PID)

• PID được tạo thành từ việc mắc song song hai bộ điều khiển PI và PD:

• + Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển PD: chọn hệ số khuếch đại sao cho đạt được độ ổn định theo yêu cầu. Trong miền thời gian, độ ổn định có thể được đo bằng độ quá điều chỉnh cực đại và trong miền tần số là độ dự trữ pha.

• + Lựa chọn tham số của hai thành phần tỉ lệ trong hai bộ điều khiển để thoả mãn các yêu cầu đã đặt ra trên cơ sở tính ổn định của hệ thống

• Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức:

• Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân, TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân

( )

1. . . . .

1. 1 .

.

P I D P DI

IP D P D

I

de dex K e K e dt K K e e dt T

dt T dt

KW p K K p K T p

p T p

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⎯⎯→ = + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


• Hàm truyền tần số của khâu PID:

• Đặc tính pha tần:

( ) 1 11 Re ; ImP D P P D

i IW j K j T K K T

j T Tω ω ω

ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + ⎯⎯→ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2 . 1Im

arctg arctgRe

I D

I

T T

T

ωϕ ωω

⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

5.4 Tính điều khiển được và quan sát được5.4.1 Tính điều khiển được

• Điều khiển được nếu có một vector điều khiển để với một tác động đầu vào, hệthống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian hữu hạn .

• Hình 5.11, tín hiệu u(t) không có ảnh hưởng gì đến biến trạng thái x1 nên hệ này không điều khiển được hoàn toàn

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19


Hình 5.11 Hệ thống không điều khiển được hoàn toàn

u 2x 2x 1x 1x y1p−1p− 1 1

• Định lý 5.1. (định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ thống tuyến tính được mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n:

điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằngn:

• Ví dụ: Cho hệ thống:

Hệ có điều khiển được hoàn toàn không?

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20


( ) ( ) ( ). .x t A x t B u t= +

2 1. . ... .nP B A B A B A B−⎡ ⎤= ⎣ ⎦

[ ]

0.5 0 1. .

2 1 0

1 1 .

X X U

y X

⎧ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎪ =⎩

5.4.2 Tính quan sát được

• Quan sát được nếu từ các tọa độ đo được ở đầu ra của hệ thống có thể khôi phục được các vector trạng thái x(t) trong một khoảng thời gian hữu hạn.

• Hệ thống trong hình 5.13 không quan sát được hoàn toàn vì tín hiệu ra y(t) không có thông tin gì về biến trạng thái x2.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21


Hình 5.13 Hệ thống không quan sát được hoàn toàn

u 2x 2x 1x 1x y1 1p− 1p−

• Định lý 5.2. (Đây là định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ tuyến tính dừng liên tục được mô tả bởi phương trình trạng thái:

• được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n:

• Ví dụ: Cho hệ thống:

• Xét tính quan sát được của hệ thống?

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22


( ) ( ) ( ). .x t A x t B u t= +

( ) ( )2 1' '. ' ' . ' ... ' . 'nL C A C A C A C−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]

0 1 0 0

0.5 0.2 0.3 . 0 .

30 65 5 30

1 0 0 .

X X U

y X

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪ =⎩

5.5 Tổng kết• Có những hệ thống không thể thỏa mãn được các yêu cầu kỹ thuật đặt ra dù các

tham số của bộ điều khiển đã được chọn tối ưu. Trong trường hợp đó, ta phải thay đổi cấu trúc của nó theo các phương pháp khác nhau như phương pháp bù tác động nhiễu (nếu biết được nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu phụ tải hoặc nhiễu đặt trước), phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng, phương pháp phân ly…

• Theo chức năng, các bộ điều khiển được phân ra thành bộ điều khiển tỉ lệ, bộ điều khiển tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân và bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân. Bộ điều khiển P làm giảm sai lệch nhưng không thểtriệt tiêu vì hệ số khuếch đại không thể quá lớn. Bộ điều khiển I có thể triệt tiêu sai lệch tĩnh nhưng có độ tác động chậm. Bộ điều khiển PI có thể thay đổi được tốc độgiảm sai lệch Bộ điều chỉnh PD cải thiện được chất lượng động nhưng không triệt tiêu được sai lệch tĩnh còn bộ điều khiển PID kết hợp được các đặc điểm của cả ba thành phần PID là hệ thống có thể làm việc ổn định với mọi đối tượng, triệt tiêu được sai lệch tĩnh của hệ thống và bộ điều khiển có tác động nhanh.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23



Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc

Nội dung6.1 Giới thiệu chung6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc6.3 Mô tả toán học hệ thống rời rạc6.4 Hàm truyền đạt trong hệ rời rạcTổng kết



Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc…

6.1 Giới thiệu chung• Chuyển tín hiệu liên tục thành gián đoạn gọi là quá trình lấy mẫu.

– Theo mức: giá trị tín hiệu ra chia theo những mức phụ thuộc vào giá trị tín hiệu vào.

– Theo thời gian: thực hiện sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ lấy mẫu T. Phần tử thực hiện điều này làphần tử xung

– Hỗn hợp: chia giá trị tín hiệu ra những mức đều nhau. Chu kỳlấy mẫu là cố định, giá trị tín hiệu ra bằng giá trị mức lấy mẫu gần với giá trị tín hiệu vào tại thời điểm lấy mẫu nhất.

• Hệ gián đoạn sử dụng phần tử xung gọi là hệ xung. Quá trình hình thành xung ở đầu ra của phần tử xung phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu tại thời điểm lấy mẫu, và được gọi là quá trình điều chếxung. Có bốn phương pháp điều chế xung là theo biên độ, theo độrộng, theo pha và theo tần số. Hệ xung sử dụng phương pháp điều chế theo biên độ hoặc độ rộng xung.



54321

(a)

0 T 2T 3T 4T 5T

(b)

Một số phương pháp lấy mẫu(a). Lấy mẫu theo mức(b). Lấy mẫu theo thời gian(c). Lấy mẫu hỗn hợp

54321

(c)

0 T 2T 3T 4T 5T



6.1.1 Sơ đồ khối hệ thống

6.1.2 Bộ lưu giữ bậc 0 (ZOH – Zero Order Hold)

• Trong khoảng thời gian T, giá trị hàm rời rạc được giữ không đổi.

• Hàm truyền đạt của khâu ZOH:

( ) ( )-11- pT

LGW p ep

=

( )FHW p

( )u t ( )e t ( )e iT ( )1u t ( )y t

( )f t

T ( )LTW p ZOH



6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc6.2.1 Biến đổi Z

Định nghĩa– Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k):

Trong đó:

Z=eTp với p là biến Laplace

X(z) là biến đổi z của chuỗi x(k)

− Nếu x(k)=0, ∀k<0:

( ) ( ){ } ( ) k

k

X z Z x k x k z∞

−

=−∞

= = ∑

( ) ( ){ } ( )0

k

k

X z Z x k x k z∞

−

=

= =∑



• Miền hội tụ ROC (Region Of Convergence): Là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn

• Giả xử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ T ta được chuỗi rời rạc x(k)=x(kT).

• Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t):

• Biểu thức biến đổi Z của chuỗi x(k)=x(kT):

• Do z=epT nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi z là như nhau. Vậy bản chất của việc biến đổi z một tín hiệu là rời rạc hoá tín hiệu đó.

( ) ( )*

0

kTp

k

X p x kT e∞

−

=

=∑

( ) ( )0

k

k

X z x k z∞

−

=

= ∑



Tính chất của biến đổi Z:

• Cho x(k), y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là X(z), Y(z):



Biến đổi Z của các hàm cơ bản

• Hàm δ(t):

• Hàm 1(t):



12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10


6.2.2 Sai phân

• Nếu dãy xung x(nT) có độ rộng vô cùng nhỏ, có thể xem đó là xung tức thời (hàm rời rạc x(i)).

• Với hàm rời rạc x(i), không có phép tính đạo hàm, tích phân, vi phân nhưng có phép tính tương tự là sai phân và tổng.

6.3 Mô tả toán học hệ rời rạc6.3.1 Mô tả toán học bằng phương trình sai phân và hàm truyền đạt

Trong đó n>m, n là bậc của hệ thống. Biến đổi Z hai vế phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1

0 1 1

1 ... 1

1 ... 1

n n

m m

a y i n a y i n a y i a y i

b u i m b u i m b u i b u i

−

−

+ + + − + + + +

= + + + − + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

10 1 1

10 1 1

...

...

n nn n

m mm m

a Z Y Z a Z Y Z a ZY Z a Y Z

b Z U Z b Z U Z b ZU Z b U Z

−−

−−

+ + + +

= + + + +

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11



Hoặc

• Ví dụ:Tìm hàm truyền đạt của hệ có phương trình sai phân:

• Giải: Biến đổi Z cả hai vế của phương trình, ta được:

• Hàm truyền đạt của hệ là:

( ) ( )( )

10 1 1

10 1 1

...

...

m mm m

n nn n

Y z b Z b Z b Z bW Z

U z a Z a Z a Z a

−−

−−

+ + + += =

+ + + +

( ) ( )( )

( ) ( )1 10 1 1

1 10 1 1

...

...

n m m mm m

n nn n

z b b Z b Z b ZY zW Z

U z a a Z a Z a Z

− − − − + −−

− − + −−

+ + + += =

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 3 1 2 3 3 2 1 2y i y i y i y i u i u i u i+ − + + + − = + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 35 3 2 3 2 2Z Y z Z Y z ZY z Y z Z U z ZU z U z− + − = − +

( ) ( )( )

3

4 3

3 2 2

5 3 2

Y z Z ZW z

U z Z Z Z

− += =

− + −

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


• Cấu hình thường gặp của các hệ điều khiển rời rạc:


Trong đó:

( )FHW p

( )u t ( )e t ( )e iT

( )1u t ( )y t

( )f t

T ( )LTW p ZOH WC(p)

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ).

1 .C LT

kC

Y z W z W zW z

U z W z W z= =

+

( ) ( ) ( )11 LTLT

W pW z z Z

p− ⎧ ⎫

= − ⎨ ⎬⎩ ⎭

( ) ( ) ( ) ( )1 .1 LT PHW p W p

W z z Zp

− ⎧ ⎫= − ⎨ ⎬

⎩ ⎭

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13


• Ví dụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống:

• Hàm truyền đạt hệ hở

• Hàm truyền đạt hệ kín:

U(p) Y(p)WLT(p)

( ) 3

2LTW pp

=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0.949

1 12 0.368

LTLT

W pW z z Z z Z

p p p z− − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) ( )( )

0.948

1 0.580LT

kLT

W zW z

W z z= =

+ +

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14



ZOH ( )LTW p

( )U p ( )Y p

T=0.5

( )FHW f

( )

( )

3

3

1

1

p

LT

FH

eW p

p

W pp

−

=+

=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

2

31 1

3

0.777

0.223

pLT

LT

W p eW z z Z z Z

p p p

z z

−− − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

=−

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15



( ) ( )( )

( )( )

( )4 3 2

0.777 0.607

1 0.83 0.135 0.202 0.104LT

k

Y z W z zW z

U z W z z z z z

−= = =

+ − + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

12

. 0.202 0.1041

0.223 0.607LT PHW p W p z

W z z Zp z z z

− ⎧ ⎫ +⎯⎯→ = − =⎨ ⎬ − −⎩ ⎭

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1 2

3 0.5 1 0.5

.1 3 1

1LT PHW p W p z Az B

W z z Z z zp z z e z e

− − −− × − ×

+⎧ ⎫= − = −⎨ ⎬

− − −⎩ ⎭( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 0.5 0.5

3 0.5 0.5 0.5 3 0.5

1 3 10.0673

3 1 3

3 1 10.0346

3 1 3

e eA

e e e eB

− ×

− × − − − ×

− − −= =

−

− − −= =

−

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16



• Trong đó:

Bộ điều khiển có mối quan hệ vào – ra theo phương trình:

ZOH ( )LTW p ( )U p ( )Y p

T=0.5

( )FHW f

( )CW z e(i) u(i)

( ) ( ) ( )10 2 1u i e i e i= − −

( ) ( )0.2

2

5, 0.1

p

LT FH

eW p W p

p

−

= =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17


• Hàm truyền đạt của bộ điều khiển


( ) ( )( )

110 2C

U zW z z

E z−= = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0.21 1

23

0.1 151 1

1

pLT

LT

W p zeW z z Z z Z

p p z z

−− − +⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0.21 1

23

. 0.01 15 0.11 1

1

pLT PHW p W p ze

W z z Z z Zp p z z

−− − +⎧ ⎫ ⎧ ⎫×

= − = − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎩ ⎭⎩ ⎭

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

4 3 2

. 0.8 0.2

1 . 2 1.1 0.08 0.02C LT

kC

Y z W z W z z zW z

U z W z W z z z z z

+ −= = =

+ − + + −

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


• Là phương trình sai phân bậc 1 dạng:

• Trong đó:

dB Trễ dC

dA

dD

+

+ + ( )y i ( )u i ( )x i ( )1x i +

Hình 6.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ rời rạc

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 d d

d d

x i A x i B u i

y i C x i D u i

+ = +⎧⎪⎨

= +⎪⎩

6.3.2 Mô tả trong không gian trạng thái

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19


6.4 Thành lập hệ PTTT từ PTSP6.4.1 Vế phải PTSP không chứa sai phân TH vào

• Cách 1: Đặt biến trạng thái theo quy tắc:

– Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra

– Biến thứ i (i=2..l) bằng sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 11 ... 1n na y i n a y i n a y i a y i ku i−+ + + − + + + + =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2

2 3

1

1 1 2 2 1 1

1

1

...

1

1 ...

n n

n n n n n

x i y i

x i x i

x i x i

x i x i

x i A x i A x i A x i A x i Ku i

−

− −

=⎧⎪

+ =⎪⎪ + =⎪⎨⎪⎪ + =⎪⎪ + = − − − − − +⎩

( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

1 ...

1n n

y i n A y i n

A y i A y i Ku i−

+ + + − +

+ + + =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20


• Hệ PTTT:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) [ ]

( )( )

( )( )

1 1

2 2

1 1

1 2 1

1

2

1

0 1 ... 0 01 0

0 0 ... 0 01 0

...

0 0 ... 0 11 0

...1

1 0 ... 0 0

n n

n nn n

n

n

x i x i

x i x i

u i

x i x i

A A A Ax i x i K

x i

x i

y i

x i

x i

− −

−

−

⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21


• Cách 2: đặt

• Hệ PTTT:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2 1 1

2 3 2 1

1

1

1

...

1n n

x i y i

x i x i A x i

x i x i A x i

x i Ku i A x i

=⎧⎪

+ = −⎪⎪ + = −⎨⎪⎪⎪ + = −⎩

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) [ ]

( )( )

( )( )

11 1

22 2

11 1

1

2

1

1 ... 0 01 0

0 ... 0 01 0

...

0 ... 0 11 0

0 ... 0 01

1 0 ... 0 0

nn n

nn n

n

n

Ax i x i

Ax i x i

u i

Ax i x i

Ax i x i K

x i

x i

y i

x i

x i

−− −

−

⎧ −+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22


Ví dụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP:

Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 5 2 1 2 5y i y i y y y i y i u i+ − + − + − + + =

K 1z−

1A2A

1z− 1z− 1z−( )u i

1nA − nA

( )nx i ( )1nx i + ( )1 1nx i− +

( ) ( )1x i y i=

( )1 1x i + ( )2 1x i +

( )2x i

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23


• Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có:

• Đặt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 0.75 3 1.25 2 0.25 1 0.5 1.25y i y i y i y i y i u i+ − + − + − + + =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2

2 3

3 4

4 4 3 2 1

1

1

1

1 0.75 1.25 0.25 0.5 1.25

x i y i

x i x i

x i x i

x i x i

x i x i x i x i x i u i

=⎧⎪

+ =⎪⎪ + =⎨⎪ + =⎪⎪ + = + + − +⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24


• Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )

( ) [ ]

( )( )( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2

3

4

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0.5 0.25 1.25 0.75 1.25

1 0 0 0

x i x i

x i x iu i

x i x i

x i x i

x i

x iy i

x i

x i

⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ = ×⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25


6.4.2 Vế phải PTSP chứa sai phân tín hiệu vào:

• Đặt biến theo quy tắc:

– Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra

– Biến thức i (i=2..n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i-1 một chu kỳlấy mẫu và trừ một lượng tỉ lệ với tín hiệu vào:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1

0 1 1

1 ... 1

1 1

n n

m m

a y i n a y i n a y i a y i

b u i m bu i m b u i b u i

−

−

+ + + − + + + +

= + + + − + + + +…

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 1 1

1 ... 1

1 1

n n

m m

y i n A y i n A y i A y i

B u i m B u i m B u i B u i

−

−

+ + + − + + + +

= + + + − + + + +…

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 2 1 1 0

2 3 2 1 1

1 1 1 1

1

1

1

...

1

1

n n n m

n n m

x i y i

x i x i A x i B u i

x i x i A x i B u i

x i x i A x i B u i

x i A x i B u i

− − −

=⎧⎪

+ = − +⎪⎪ + = − +⎪⎨⎪⎪ + = − +⎪⎪ + = − +⎩

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) [ ] ( )

1 01 1

2 12 2

1 11 1

1 ... 0 01

0 ... 0 01

0 ... 0 11

0 ... 0 01

1 0 ... 0 0

n mn n

n mn n

A Bx i x i

A Bx i x i

u i

A Bx i x i

A Bx i x i

y i x i

− −− −

⎧ −+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ −+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ −+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

= ×⎪⎩

Hệ PTTT:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27


• Ví dụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP:

Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT?

mB 1z−

1A 2A

1z− 1z− 1z− ( )u i

1mB − 0B 1B

1nA − nA

( ) ( )1x i y i=( )1 1x i + ( )2 1x i +

( )2x i

( )1 1nx i− +( )1nx i +

( )nx i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 5 2 1 2 3 2 2 1 5y i y i y y y i y i u i u i u i+ − + − + − + + = + − + +

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28


• Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có:

• Đặt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4 0.75 3 1.25 2 0.25 1 0.5

0.75 2 0.5 1 1.25

y i y i y i y i y i

u i u i u i

+ − + − + − + +

= + − + +

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 2 1

2 3 1

3 4 1

4 1

1 0.75

1 1.25 0.75

1 0.25 0.5

1 0.5 1.25

x i y i

x i x i x i

x i x i x i u i

x i x i x i u i

x i x i u i

=⎧⎪

+ = +⎪⎪ + = + +⎨⎪ + = + −⎪⎪ + = − +⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29


• Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống:

• BT: Chuyển hệ sau sang dạng hệ PTTT và vẽ mô hình hệ thống?

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )

( ) [ ]

( )( )( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2

3

4

1 0.75 1 0 0 0

1 1.25 0 1 0 0.75

1 0.25 0 0 1 0.5

1 0.5 0.25 1.25 0.75 1.25

1 0 0 0

x i x i

x i x iu i

x i x i

x i x i

x i

x iy i

x i

x i

⎧ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × +⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ = ×⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 2 1 2 4 1 5y i y i y i y i u i u i+ − + + + + = + −

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30


6.5 Chuyển từ hệ liên tục sang hệ rời rạc:

• Phương pháp 1: Dùng biến đổi Laplace:

Trong đó với I là ma trận đơn vị

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 d d

d d

x t Ax t Bu t x i A x i B u i

y t Cx t Du t y i C x i D u i

= + + = +⎧ ⎧⎪ ⎪⎯⎯→⎨ ⎨= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩

( ) ( ){ }11t L pI A −−Φ = −

( )

( )0

d

Td

d

d

A T

B Bd

C C

D D

τ τ

= Φ⎧⎪⎪ = Φ⎪⎨⎪ =⎪

=⎪⎩

∫

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 31


• Phương pháp 2:Tính gần đúng đạo hàm cấp 1:

• Phương pháp 3: Phương pháp hình thang

d

d

d

d

A I TA

B TB

C C

D D

= +⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

1

1

.2 2

. .2

d

d

d

d

TA TAA I I

TAB I T B

C C

D D

−

−

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎨ = −⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪ =⎪⎪ =⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 32


• Ví dụ: . Cho hệ liên tục:

Chuyển sang miền rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T=0.5(s)

• Phương pháp 1: Tìm ma trận quá độ Φ(t):

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

0 1 0

0 2 1

10 0

x t x t u t

y t x t

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨

⎪ =⎩

( ) ( ) ( )

1

1

1 1 1 11 2 1 2 21

0 2 02 10

2

p p p p pp pI A

p pp p

p

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ − ⎞ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎢ ⎥Φ = − = = =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎢ ⎥+⎣ ⎦

( ) ( ) ( )211

2

11 1

20

t

t

et L pI A

e

−−−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤Φ = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 33


• Hệ rời rạc tương ứng:

( ) ( ) ( )2 2 0.5

2 2 0.5

1 11 0.3161 1 1 1

2 20 0.368

0 0

T

dT

e eA T

e e

− − ×

− − ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Φ = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2

0 02

10 0.0921 1

21 0.316

0

T T

d

eB Bd t d

e

τ

ττ τ τ

−

−

⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= Φ Φ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫

[ ]10 0dC C= =

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0.316 0.0921

0 0.368 0.316

10 0

x i x i u i

y i x i

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 34


• Phương pháp 2:

– Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục

– Hệ rời rạc tương ứng:

[ ]

1 0 0 1 1 0.50.5

0 1 0 2 0 0

0 00.5

1 0.5

10 0

d

d

d

A I TA

B TB

C C

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = = =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎪ = =⎪⎪⎩ ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0.5 01

0 0 0.5

10 0

x i x i u i

y i x i

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 35


• Phương pháp 2:

– Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục1 11 1 0 0 1 1 0.25 1 0.1670.5

0 1 0 2 0 1.5 0 0.6672 2

TAI

− −− ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 0 0 1 1 0.250.5

0 1 0 2 0 0.52 2

TAI

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦1 1 1 0.167 1 0.25 1 0.334

0 0.667 0 0.5 0 0.3342 2dTA TA

A I I− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − × + = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 0.167 0 0.084. . 0.5

0 0.667 1 0.3342dTA

B I T B− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = × × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]10 0dC C= =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 36


– Hệ rời rạc tương ứng:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

1 0.334 0.0841

0 0.334 0.334

10 0

x i x i u i

y i x i

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ =⎩


Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc

Nội dung7.1 Giới thiệu chung7.2 Tính ổn định của hệ thống rời rạc7.3 Đánh giá chất lượng hệ thống rời rạc7.4 Tổng hợp hệ rời rạcTổng kết



Chương 7. Tổng hợp hệ rời rạc…

7.1 Giới thiệu chung

Hệ rời rạc được thiết kế phải thỏa mãn những yêu cầu chất lượng đề ra:

• Tính ổn định của hệ thống sẽ quyết định hệ thống đó hữu dụng hay vô dụng. Các tiêu chuẩn xét tính ổn định của hệ thống:

– Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng

– Tiêu chuẩn Jury

– Tiêu chuẩn Nyquyst…

– Tiêu chuẩn nguyên lý góc quay...

• Chất lượng hệ rời rạc phụ thuộc vào chất lượng hai quá trình quá độ vàxác lập. Quá trình quá độ quan tâm đến độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian quá độ… Quá trình xác lập đánh giá sự chênh lệch giữa giá trịmong muốn và giá trị đo được ở thời điểm vô cùng - sai số xác lập.



7.2 Tính ổn định7.2.1 Khái niệm ổn định của hệ thống rời rạc

• Cho hệ biểu diễn bằng PTSP:

• Nghiệm của PTSP : trong đó lànghiệm tổng quát, đặc trưng cho quá trình quá độ, là nghiệm riêng, đặc trưng cho quá trình xác lập.

• Xét tính ổn định của hệ thống bằng cách tìm nghiệm PTSP:

• Chuyển 2 vế sang miền Z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 11 ... 1 ...n ma y i n a y i n a y i b u i m b u i m b u i+ + + − + + = + + + − + +

( ) ( ) ( )0qdy nT y nT y nT= + ( )qdy nT

( )0y nT

( ) ( ) ( ) ( )0 1 11 ... 1 0n na y i n a y i n a y i a y i−+ + + − + + + + =

10 1 1... 0n n

n na z a z a z a−−+ + + + =



• Ta có:

( ) .j TpT T j T Tz e e e e z eα ω α ω α+= = = ⎯⎯→ = ⎯⎯→0, 1

0, 1

0, 1

z

z

z

ααα

> >= =< <

Mặt phẳng p Mặt phẳng z

0α > : Nửa bên phải mặt phẳng p 1z > : Bên ngoài đường tròn đơn vị

0α = : Trục ảo jω 1z = : Đường tròn đơn vị

0α > : Nửa bên phải mặt phẳng p 1z < : Bên trong đường tròn đơn vị



• Miền ổn định của hệliên tục là nửa mặt phẳng p

• Miền ổn định của hệ rời rạc là vùng nằm trong vòng tròn đơn vị



t

t

t

5

C

6

(d) t

1

t

A

t

2

(b)

t

3

t

B

t

4

(c)

(a)

I

IV

II

III

0 1 A 2

3

B

4

5 C

6



• Cho hệ thống có sơ đồ khối:

Phương trình đặc trưng:

• Cho hệ có PTTT:


( )FHW p

( )u t ( )e t ( )e iT

( )1u t ( )y t

( )f t


( ) ( ) ( ) ( )1 .. 1 0LT PH

C

W p W pW z z Z

p− ⎧ ⎫

− =⎨ ⎬⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

= +⎧⎪⎨

=⎪⎩

( )det 0dzI A− =



7.2.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

7.2.2.1 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

• Phương trình đặc trưng hệ rời rạc:

• Đặt:

• Phương trình đặc trưng trở thành:

10 1 1... 0n n

n na z a z a z a−−+ + + + =

1

1

vz

v

+=

− ω

α

1v − 1v + 1v −

1v −

1v +

1v +

v v

v

10 1 1... 0n n

n nA v A v A v A−−+ + + + =



• Miền ổn định: trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z

• Miền ổn định: nửa trái mặt phẳng V

• Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: biến đổi z v, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz với biến là v.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10


Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống sau:


Trong đó:

( )

( )

3

3

1

1

p

LT

FH

eW p

p

W pp

−

=+

=+

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

12

. 0.202 0.1041

0.223 0.607LT PHW p W p z

W z z Zp z z z

− ⎧ ⎫ += − =⎨ ⎬ − −⎩ ⎭

ZOH ( )LTW p

( )U p ( )Y p

T=0.5

( )FHW f

( )1 0W z+ =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11

Vậy phương trình đặc trưng:

Đổi biến: đặt ta có:


( )( )2

4 3 2

0.202 0.1041 0

0.223 0.607

0.83 0.135 0.202 0.104 0

z

z z z

z z z z

++ =

− −

⎯⎯→ − + + + =

1

1

vz

v

+=

−4 3 2

4 3 2

1 1 1 10.83 0.135 0.202 0.104 0

1 1 1 1

0.611 1.79 6.624 5.378 1.597 0

v v v v

v v v v

w w w w

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎯⎯→ + + + + =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


• Bảng Routh:

• Kết luận: Hệ ổn định vì tất cả các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh dương

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13


7.2.2.1 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Xét ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:

• Bảng Jury có (2n+1) hàng:

– Hàng 1: Các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần

– Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các số hạng của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại

– Hàng lẻ (bất kỳ) ít hơn hàng chẵn trước đó một cột.

• Điều kiện ổn định: Tất cả các số hạng thuộc hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury dương

10 1 1... 0n n

n na z a z a z a−−+ + + + =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14


• Bảng Jury:

Hàng thứ

1 0a 1a … 1na − na

2 na 1na − … 1a 0a

3 0b 1b … 1nb −

4 1nb − 2nb − 0b

… … … …

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15


• Tính bảng Jury:

• Ví dụ: Xét ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:

0

00

1 n

n n

a ab

a aa= 0 1

110

1 n

n

a ab

a aa−=

… 0

0

1 n kk

n k

a ab

a aa−=

0 10

1 00

1 n

n

b bc

b bb−

−= 0 2

11 10

1 n

n

b bc

b bb−

−=

… 0 1

10

1 n kk

n k

b bc

b bb− −

−=

… … … …

3 25 2 3 1 0z z z+ + + =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16


12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17


7.2.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số

7.2.3.1 Nguyên lý góc quay

• Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc tính để xét tính ổn định.

• Giả sử HTĐKTĐ có PTĐT dạng:

• Trên mặt phẳng z, mỗi số hạng trong đa thức trên là một vector cóchân tại điểm zi và đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị:

• Hình sau mô tả phân bố của các vector này cho hai trường hợp zi

nằm trong đường tròn đơn vị và zi nằm ngoài đường tròn đơn vị.

( ) ( ) ( )10 1 1 0

1

0n

n nn n i

i

A z a z a z a z a A z a z z−−

=

= + + + + = ⎯⎯→ = −∏…

( ) ( )1

, arg argn

jT ji

i

z e e T A z z zω

π π π ππ ω πΩ

− ≤Ω≤ − ≤Ω≤=

= = − ≤ Ω = ≤ ⎯⎯→ Δ = Δ −∑

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


• Khi zi nằm trong đường tròn đơn vị:

• Khi nằm ngoài đường tròn đơn vị:

• Hệ ổn định khi các nghiệm của PTĐT đều nằm trong đường tròn đơn vị. Góc quay của biểu đồ vector đa thức đặc tính là:

• Hệ rời rạc có PTĐT bậc n ổn định nếu biểu đồ vector đa thức đặc tính quay một góc nπ quanh gốc tọa độ khi thay đổi từ 0 đến ∞.

iz

iz

A

D

C

B

α 1α

2α( )arg 2iz zπ π

π− ≤Ω≤

Δ − =

( )arg 0iz zπ π− ≤Ω≤

Δ − =

( ) ( )0

arg 2 argi iz z n z z nπ π π

π π− ≤Ω≤ ≤Ω≤

Δ − = ⎯⎯→ Δ − =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19


• Ví dụ: Xét ổn định của hệ có PTĐT:

• Giải: Thay vào PTĐT ta có:

0 1 0a z a+ =

cos sinjz e jΩ= = Ω+ Ω

( )( )

0 10 1 0

0

coscos sin 0

sin

R a aa a ja

I a

Ω = Ω+⎧⎪Ω+ + Ω = ⎯⎯→⎨Ω = Ω⎪⎩

1

2

3

( )R Ω

( )I Ω

a)

1 2

3

( )R Ω

( )I Ω

4

b)

Hình a: ổn địnhHình b: không ổn định

BGÔD:1 0a a< 1 0a a>

1 0a a=

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20


7.2.3.2 Tiêu chuẩn Nyquist • - Dùng xét ổn định cho cả hệ xung hở và hệ xung kín dựa vào đặc

tính tần – biên – pha của hệ thống hở. • Phát biểu: Nếu hệ thống điều khiển xung hở ổn định hoặc ở biên

giới ổn định thì hệ thống kín sẽ ổn định nếu đặc tính TBP của hệ hở không bao điểm (-1,j0).

• C/m: Giả sử hệ thống xung hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định cóhàm truyền đạt:

• Trong đó R(z) là đa thức bậc n và Q(z) là đa thức bậc <n. • Do hệ hở ổn định nên:

( ) ( )( )h

Q zW z

R z=

( )0

arg R z lπ

π≤Ω≤

Δ =

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21



• Theo tiêu chuẩn Mikhailope, hệ kín sẽ ổn định nếu:

• Xét:

• Khi hệ kín và hệ hở ổn định thì:

• Biểu đồ vector J(z) không bao tâm tọa độ. Như vậy, đặc tính TBP của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì biểu đồ vector J(z) chính là đặc tính TBP của hệ hở dịch sang phải 1 đơn vị (đpcm)

( ) ( )( )

( )( ) ( )1

hk

h

W z Q zW z

W z R z Q z= =

+ +

( ) ( )( )0

arg Q z R z lπ

π≤Ω≤

Δ + =

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 hQ z R z

J z W zR z

+= + =

( ) ( ) ( ) ( )0 00

arg arg + arg 0J z Q z R z R z n nπ ππ

π π≤Ω≤ ≤Ω≤≤Ω≤

Δ = Δ − Δ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22


7.3 Đánh giá chất lượng hệ rời rạc

7.3.1 Quá trình quá độ

• Đáp ứng hệ rời rạc có thể tính theo 2 cách:

– C1: Nếu hệ mô tả bằng hàm truyền đạt thì tính Y(z), sau đó dùng biến đổi Z ngược tìm y(i).

– C2: Nếu hệ mô tả bằng hệ PTTT thì tính nghiệm x(i) của PTTT, sau đó tìm y(i).

• Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất

• Cách 1: đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gian y(i) của hệ rời rạc

– Độ quá điều chỉnh:

Trong đó ymax và y∞ là giá trị cực đại và giá trị xác lập của y(i).

max% 100y y

yσ ∞

∞

−=

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23


– Thời gian quá độ:

Trong đó phải thoả mãn điều kiện:

• Cách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định

– Cặp cực quyết định:

.qd qdt k T=

qdk

( ) .,

100 qd

yy i y k k

ε ∞∞− ≤ ∀ ≥

( )1 1 ,100 100 qdy y i y k kε ε

∞ ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ ≤ + ∀ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

*1,2

jz re ϕ=

( )

( )

2 2

2 2

ln

ln

1ln

r

r

rT

ξϕ

ω ϕ

−⎧ =⎪⎪ +⎯⎯→⎨⎪

= +⎪⎩

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24


– Độ quá điều chỉnh:

– Thời gian quá độ:

(đối với tiêu chuẩn 5%)

7.3.2 Quá trình xác lập

( )2

% exp 1001

ξπσξ

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ×⎜ ⎟−⎝ ⎠

3qd

n

tξω

=

( )FHW p

( )u t ( )e t ( )e iT

( )1u t ( )y t

( )f t


12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25


• Biểu thức sai số:

• Sai số xác lập:

– Khi

– Khi

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )1

1 . .LG LT FHE z U z

Z W p W p W p=

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1lim lim 1 limi T z z

ze e iT z E z E z

z−

→ → →

−∞ = = − =

( ) ( ) ( )11

zu t t U z

z= → =

−

( ) ( ) ( ) ( ){ }1

1lim

1 . .z LG LT FHe

Z W p W p W p→⎯⎯→ ∞ =

+

( ) ( )( )21

Tzu t t U z

z= → =

−

( )( ) ( ) ( ) ( ){ }1

lim1 1 . .z LG LT FH

Te

z Z W p W p W p→⎯⎯→ ∞ =

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26


7.4 Tổng hợp hệ rời rạc7.4.1 Tính điều khiển được

• Điều khiển được khi có thể chuyển hệ từ trạng thái này đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian giới hạn.

• Cho hệ RR:

• Ma trận điều khiển được

• Hệ ĐK được hoàn toàn khi và chỉ khi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 d d

d d

x i A x i B u i

y i C x i D u i

+ = +⎧⎪⎨

= +⎪⎩

1 2. . ...n nd d d d dM A B A B B− −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

( )rank M n=

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27


7.4.2 Tính quan sát được

• Quan sát được nếu từ các số liệu đo được ở đầu ra có thể xác định được các trạng thái.

• Ma trận quan sát được

• Hệ quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi:

( ) 1' ' ' ' '. ... .n

d d d d dN C A C A C−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )rank N n=

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28


• Hệ rời rạc tuyến tính giống hệ liên tục tuyến tính:• + Về tính ổn định của hệ thống (bảng Slice 4) • + Hệ bậc thấp: có thể áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

của hệ liên tục, Hệ bậc cao: dùng tiêu chuẩn Jury.• + Tiêu chuẩn nguyên lý góc quay trong hệ rời rạc tương đương với

tiêu chuẩn Mikhailope dùng xét ổn định cho hệ liên tục tiêu tiêu chuẩn tần số.

• + Khi xét các chỉ tiêu chất lượng của hệ rời rạc, ta cũng chú đến các thông số như độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian quá độ… và sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập.

• + Xét đặc điểm của hệ thống trong không gian trạng thái ta cũng xét tính điều khiển được hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn của hệthống.

• Một đặc điểm của hệ thống rời rạc mà hệ thống liên tục không có làtồn tại khả năng ổn định vô hạn của hệ thống.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 37


6.5 Tổng kết• Hệ thống rời rạc mà ta xét trong chương này chỉ có phần tử tạo

xung lý tưởng là rời rạc, các phần tử còn lại trong hệ thống đều làcác phần tử liên tục tuyến tính. Phần tử ZOH (khâu lưu giữ bậc 0) có tác dụng định hình xung từ phần tử tạo xung lý tưởng.

• Nếu hệ thống liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân thì hệthống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân và trong phương trình sai phân, cấp cao nhất của phương trình không trùng với cấp của sai phân cao nhất. Phương trình sai phân có bậc khi nóthỏa mãn điều kiện .

• Có ba phương pháp chuyển từ hệ liên tục sang hệ rời rạc với chu kỳ cắt mẫu là dùng biến đổi Laplace, tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và phương pháp hình thang, trong đó phương pháp hình thang cho kết quả chính xác nhất

Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục

2.1 Giới thiệu chung• Có hai loại tín hiệu bên ngoài tác động và hệ thống, đó là tín hiệu đặt trước và

nhiễu. Trong các HTĐK, tín hiệu đặt trước thường là một hằng số.

• Nhiễu sẽ làm cho đầu ra của hệ thống bị lệch khỏi giá trị mong muốn. Nó có thể lànhững đột biến tăng (đường 1) hay giảm (đường 2), có thể theo một đường nhấtđịnh (tiền định) (đường 3) hay ngẫu nhiên (đường 4 – hình 2.1).

• Dựa vào miền làm việc của tín hiệu thì HTĐKTĐ có hai đặc tính cơ bản là đặc tínhthời gian và đặc tính tần số. Dựa vào đặc tính của hệ thống thì ta có đặc tính động(đặc trưng cho quá trình quá độ ) và đặc tính tĩnh (đặc trưng cho quá trình xác lập).


1

2

3

4

x(t)

t

Hình 2.1


2.2 Đặc tính thời gian của hệ thống• Khi phân tích một HT, ta thường dùng tín hiệu chuẩn làm tín hiệu vào, đặc tính của

hệ thống được đánh giá bằng cách nghiên cứu đáp ứng của hệ thống trong miền thờigian. Việc đánh giá cuối cùng các đặc tính của HTĐK là dựa vào các đáp ứng thờigian.

• Đáp ứng thời gian thường được chia thành hai phần là đáp ứng ở trạng thái quá độvà đáp ứng ở trạng thái xác lập. Ký hiệu y(t) là đáp ứng của một hệ thống liên tụcthì ta có thể viết:

trong đó yqd(t) là đáp ứng ở trạng thái quá độ và yxl(t) là đáp ứng ở trạng thái xác lập.• Đáp ứng quá độ là phần đáp ứng thời gian mà nó tiến tới 0 sau một khoảng thời

gian rất lớn:

• Đáp ứng xác lập là phần đáp ứng thời gian sau khi quá trình quá độ kết thúc. Đápứng xác lập vẫn có thể thay đổi trong những trường hợp cố định, ví dụ như khi đầuvào là sóng sin, hàm dốc tăng theo thời gian.


( ) ( ) ( )qd xly t y t y t= +

( )lim 0qdt

y t→∞

=


• Để đơn giản khi xét tính chất của một hệ thống, ta thường chia nhỏ nó thành cácphần tử. Đặc tính thời gian của phần tử là sự thay đổi của phần tử theo thời gian khitác động ở đầu vào là những tín hiệu chuẩn. Các đặc tính đó bao gồm hàm quá độ, đường quá độ, hàm quá độ xung và đường quá độ xung.

• Các hàm thời gian này đều mô tả sự biến thiên của tín hiệu ra khi phần tử chuyển từtrạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác do sự tác động của một trongcác nhiễu chuẩn. Để đơn giản, ta xét trạng thái cân bằng ban đầu của các phần tử làkhông ( y(0)=0)


Hình 2.2 Mô hình biểu diễn phần tử

Phần tử Tín hiệu ra Tín hiệu vào

x y


2.2.1 Tín hiệu tác động ở đầu vào• Tín hiệu bậc thang đơn vị 1(t):

• Tín hiệu xung đơn vị δ(t):

– Hàm δ(t) có tính chất:

• Tín hiệu tuyến tính:

trong đó là hằng số thực.


( )0 khi 0

11 khi 0

tt

t

≤⎧= ⎨ >⎩

( ) ( )0 khi 0

1khi 0

tdt t

tdtδ

≠⎧= = ⎨∞ =⎩

( ) 1tδ∞

−∞=∫

( ) ( )y t atu t=

Hình 2.3. (a). Đồ thị hàm ( )1 t ; (b). Đồ thị hàm ( )tδ

c. Hàm tuyến tính; d. Hàm parabol

1

0

( )1 t

t

(a)

0

( )tδ

t

(b)

0

( )1 t

t

(c)

0

( )1 t

t

(d)

( ) ( )2y t at x t=( ) ( )y t atx t=


• Hàm parabol:

trong đó là hằng số thực

• Tín hiệu có dạng bất kỳ x(t): có thể được mô tả thông qua hàm 1(t) và δ(t):

– Biểu diễn x(t) qua hàm 1(t): dựa vào tích phân Duyamen (khi α→0):

– Biểu diễn x(t) qua hàm δ(t): (khi α→0):


( ) ( )2y t at x t=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

.1 .1t dx

x t x t t dd

τα τ τ

τ= + −∫

( ) ( ) ( ).t

x t x t dα

ατ δ τ τ

+= −∫


2.2.2 Phản ứng của phần tử• Hàm quá độ h(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm 1(t).

Nếu thì

Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và hàm quá độ của phần tử là:

• Đường quá độ:

Được ký hiệu là H(t), là phản ứng của phần tử khi tín hiệu tác động ở đầu vào lànhiễu bậc thang có biên độ bằng A dạng A.1(t). Dựa vào nguyên lý xếp chồng củaphần tử tuyến tính:


( ) ( )1x t t= ( )1 1L t p=⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

.1

L h t W pW p p L h t L h t

pL t= = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )..

AW pH t A h t L H t

p= ⇒ =


• Hàm quá độ xung (hàm trọng lượng) k(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào làhàm δ(t).

• Đường quá độ xung K(t):là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm A.δ(t)

Theo tính chất của δ(t) ta có thể viết:

Trong đó x(τ) là giá trị hàm x(t) tại thời điểm t= τ và δ(t-τ) là giá trị hàm δ(t) đượcphát tại thời điểm t= τ .

Theo nguyên lý xếp chồng, ta có thể xác định đáp ứng y(t) của phần tử:


( ) ( ) ( )1L t L k t W pδ = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

. . .t t

x t x t t d x t dδ τ τ τ δ τ τ= − = −∫ ∫

( ) ( ) ( )0

.t

y t x k t dτ τ τ= −∫


• Mối liên hệ giữa hàm quá độ h(t) và hàm trọng lượng k(t):

Ta nhận thấy và

Vì .

Vậy:


( ) ( )W pL h t

p=⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )L k t W p=⎡ ⎤⎣ ⎦

( ){ }.dh

L p L h tdt

⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭

( ) ( )'k t h t=


2.3 Đặc tính tần số của hệ thống• Đặc tính tần số của phần tử mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của

phần tử ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số dao động điều hòa tác động ở đầuvào của phần tử.

• Muốn tìm các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết ta phải tìm hàm truyền đạt tầnsố của hệ thống bằng cách thay p=jω vào hàm truyền đạt của nó

• Tách riêng phần thực, phần ảo của tử số và mẫu số trong (2.29) ta được:

Trong đó là đặc tính biên tần của phần tử; là đặc tínhphần thực của tử số và mẫu số; là đặc tính phần ảo của tử số và mẫu số


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

10 1 1

10 1 1

. . ... .

. . ... .

m mj m mr

n nv n n

b j b j b j bAW j e

A a j a j a j a

ϕ ω ω ω ωω

ω ω ω

−−

−−

+ + + += =

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2. j R jI

W j A eR jI

ϕ ω ω ωω ω

ω ω+

= =+

( ) r vA A Aω =

( ) r vA A Aω = ( ) ( )1 2,R Rω ω( ) ( )1 2,I Iω ω


• Tách phần thực và phần ảo của biểu thức trên ta được:

• Đặc tính phần thực của phần tử:

• Đặc tính phần ảo của phần tử:

• Ta nhận thấy R(ω) là hàm chẵn, nghĩa là R(ω) = R(-ω); còn I(ω) là hàm lẻ, nghĩa làI(ω) = -R(-ω)

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2

. . . .. j R R I I R I R I

A e jR I R I

ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ωω

ω ω ω ω

+ −= +

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 22 22 2

. .R R I IR

R I

ω ω ω ωω

ω ω

+=

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 1 22 22 2

. .R I R II

R I

ω ω ω ωω

ω ω

−=

+


• Đặc tính biên tần của phần tử được xác định theo biểu thức:

• Đặc tính pha tần của phần tử được xác định theo biểu thức:

• Đặc tính biên tần logarithm thường được đo bằng decibel (dB). Khi tính theodecibel, đặc tính BTL được xác định theo công thức:

• Cho ω thay đổi từ -∞ đến ∞, ta sẽ xây dựng được các đặc tính BT và PT. Trong hệtoạ độ R(ω) và I(ω) sẽ xây dựng được đặc tính tần biên pha (TBP) đối xứng qua trục thực. Khi xây dựng các đặc tính BT, PT, TBP, ta chỉ xét ω thay đổi từ 0 đến ∞

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11

( ) ( ) ( )2 2A R Iω ω ω= +

( ) ( )( )

arctgI

R

ωϕ ω

ω=

( ) ( )20lgL Aω ω=


2.4 Các khâu động học cơ bản• Tính chất của quá trình quá độ toàn hệ thống phụ thuộc vào tính chất động học của

các phần tử hợp thành. Các phần tử hợp thành đó thường được phân tích thành nhữngkhâu cơ bản

• Các khâu động học cơ bản là các phần tử của HTĐKTĐ có các tính chất sau:

– Chỉ có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra

– Tín hiệu chỉ truyền đi một chiều

– Quá trình động học của phần tử được biểu diễn bằng ptvp không quá bậc hai.

• Có 4 khâu động học cơ bản:

– Khâu nguyên hàm (khâu khuếch đại, khâu quán tính bậc 1, khâu dao động bậc 2)

– Khâu tích phân

– Khâu vi phân

– Phần tử trễ

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12


2.4.1 Khâu nguyên hàm

2.4.1.1 Khâu khuếch đại• Phương trình vi phân: y=k.x

trong đó k là hệ số khuếch đại

Các phần tử có hàm truyền đạt là khâu khuếch đại: các phần tử đo lường (sensor, biến trở, bộ phát tín hiệu cảm ứng…), phần tử khuếch đại (bộ khuếch đại điện tử, bán dẫn, ion…).

• Hàm truyền đạt: W(p)=k


– Hàm quá độ: h(t)=k.1(t)

– Hàm trọng lượng: k(t)=k.δ(t)


12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13

Hình 2.4. Các đặc tính thời gian của khâu khuếch đại

k

0

( )h t

t

0

( ).k tδ

t



– Hàm truyền tần số: W(jω)=k

– Đặc tính BT: A(ω)=k

– Đặc tính PT: ϕ(ω)=0

– Đặc tính BTL: L(ω)=20.lgk

– Các đặc tính tần số được mô tả trên hình 2.5

• Nhận xét:

– Tín hiệu vào và ra cùng pha với nhau.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14

( )A ω ( )ϕ ω

( )I ω

( )R ω lgω

( )L ω

ω ω

k

20.lg k

0

0 0

0

k

BT PT

TBP BTL

Hình 2.5 Các đặc tính tần số của khâu khuếch đại


2.4.1.2 Khâu quán tính bậc 1• Phương trình vi phân:

trong đó k là hệ số truyền và T là hằng số thời gian của khâu

Các phần tử thuộc khâu quán tính bậc nhất: khuếch đại từ, máy phát điện một chiều, mạch điện R-C, L-R, lò điện trở, động cơ điện không đồng bộ hai pha và ba pha nếulượng ra là tốc độ quay…



– Hàm quá độ h(t):

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15

.dy

T y kxdt

+ =

( )1

kW p

Tp=

+

( ) ( )( )

( )

1 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1 , 1t

W p kh t L L

p p Tp

TL k L k

p Tp p p T

k e Tα α

− −

− −

−

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= − =








– Đặc tính TBP: Từ mối liên hệ A2(ω)= R2(ω)+ I2(ω) , qua một số phép biến đổita tìm được:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16

( ) ( )' . . tk t h t k e αα −= =

Hình 2.6 Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc 1

0 t

( )k t

kα

0 t

( )h tk

( )( ) ( )

( ) ( )2 21 1 1

k k kTW j j R jI

Tj T T

ωω ω ωω ω ω

= = − = ++ + +

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 1

kA R I

Tω ω ω

ω= + =

+

( ) ( )( ) ( )arctg arctg

IT

R

ωϕ ω ω

ω= = −

( ) ( )2 2

2

2 2

k kR Iω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Đây chính là phương trình đường tròn có tâm (k/2;0) và bán kính bằng k/2. Nếu lấyω thay đổi từ 0 đến ∞ nó là nửa đường tròn nằm ở góc phần tư thứ IV.


Vẽ chính xác thì L(ω) là một đường cong nhưng ta có thể vẽ gần đúng bằng cáchtuyến tính hóa từng đoạn:

+

+

ωc =1/T được gọi là tần số cắt

Đặc tính tần số của khâu quán tính

bậc 1 được mô tả trên hình 2.7

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17

( ) ( ) ( )220.lg 20.lg 20.lg 1L A k Tω ω ω= = − +

( )1 , 20.lgT L kω ω<< ≈

( )1 , 20.lg 20.lgT L k Tω ω ω>> ≈ −

( )A ωK

ω0

BT ( )ϕ ω

2

π−

ω0

PT

( )R ω

( )I ω

0 0ω =

ω =∞

TBP

lgω

( )L ω 20.lgK

-20dB/dec

lg cω0

BTL

Hình 2.7 Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc 1.


• Nhận xét:– Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1

không đạt ngay giá trị k mà tiến từ từ đến giá trị k theo quy luật hàm mũ (vì thếkhâu quán tính bậc 1 còn được gọi là khâu phi chu kỳ). Như vậy, quá trình tíchluỹ năng lượng và giải phóng năng lượng không xảy ra đồng thời, gây ra hiệntượng quán tính.

– Hàm trọng lượng k(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khi hàm quá độh(t) đạt giá trị xác lập hàm trọng lượng k(t) sẽ giảm về 0, có nghĩa là lúc nàykhâu quán tính bậc 1 được giải phóng sức ì quán tính.

– Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1 không làm việc được vớitín hiệu cao tần (đặc tính A(ω) giống như bộ lọc thông thấp)

– Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệu ra của khâu quán tính bậc 1 luôn chậmpha so với tín hiệu vào một góc từ 0 đến π/2, nghĩa là khâu quán tính bậc 1 cóđộ tác động chậm.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18


2.4.1.3 Khâu dao động bậc 2• Phương trình vi phân:

trong đó: : T là hằng số; k là hệ số truyền và ξ là hệ số

Các phần tử thuộc khâu dao động: mạch điện R-L-C, động cơ điện một chiều kíchtừ độc lập lượng vào là điện áp phần ứng, lượng ra là tốc độ quay; hệ cơ học đànhồi; con quay hồi chuyển trong bộ phận lái máy bay…

• Hàm truyền đạt của khâu:

Dùng biến đổi Laplace, chuyển PTVP sang dạng toán tử p, ta được:

Vậy hàm truyền đạt là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19

22

2. 2. . . .d y dy

T T y k xdtdt

ξ+ + =

( ) ( ) ( )2 2. 2. . . 1 . .T p T p Y p k X pξ+ + =

( ) ( )( ) 2 2. 2. . . 1

Y p kW p

X p T p T pξ= =

+ +


Ta nhận thấy phương trình đặc trưng của khâu dao động là phương trình bậc 2 nên nósẽ có hai nghiệm. Nếu Δ’≥0 thì phương trình này sẽ có hai nghiệm thực:

Vì ξ là hệ số nên ξ >0. Vậy điều kiện để phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực làξ ≥1. Khi đó ta có thể tách khâu dao động bậc hai thành hai khâu quán tính bậc 1 :

Nếu như vậy thì khâu dao động không thể có tính chất dao động được. Vậy để phươngtrình vi phân trên biểu diễn khâu dao động bậc 2 thì 0< ξ <1.


Phương trình đặc trưng của khâu dao động:

Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20

( )2 2 2 2 2' 1 0 1T T Tξ ξ ξΔ = − = − ≥ ⇔ ≥

( ) 1 2

1 2

.1 1

k kW p

T p T p=

+ +

2 2. 2. . . 1 0T p T pξ+ + =2

1,21

p j jT T

ξξ α β−

= − ± = − ±


• Hàm quá độ h(t):

Trong đó:

• Hàm trọng lượng:

Hình 2.8 mô tả các đặc tính thời gian của khâu dao động

Từ đồ thị của h(t) ta xác định được các tham số

k, A1, A1 và T. Từ đó tính ra:

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21

( )

( )

12 2

1.

. 2. . . 1

.1 . 1 cos sint

kh t L

pT p T p

k t e t tα

ξ

αβ ββ

−

−

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦2

0 0 01

. ; 1 . ;T

α ξ ω β ξ ω ω= = − =

( ) ( ) ( )20.

.1 . .sintdh t kk t t e t

dtαω β

β−= =

1T

( )1 tk e α−+

( )1 tk e α−− t

( )h t

1A 2A

k

0

1T

t

( )k t

1A

0

Hình 2.8 Các đặc tính thời gian của khâu dao động

1

1 1 2

2 20

2 1= ; .ln

T

1

.

A

T A

TT

πα β

ω α β

ξ α

⎧ =⎪⎪⎪

= + =⎨⎪

=⎪⎪⎩







– Hình 2.9 mô tả các đặc tính tần số của khâu dao động.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22

( ) 2 2. 2 . . 1

kW j

T T jω

ω ξ ω=− + +

( )( )22 2 2 2 21 . 4. . .

kA

T T

ωω ξ ω

=

− +

( ) 2 2

2. . .arctg

1 .

T

T

ξ ωϕ ωω

= −−

( ) ( ) ( )22 2 2 2 220.lg 20.lg 20.lg 1 . 4. . .L A k T Tω ω ω ξ ω= = − − +

0ω =ω = ∞

0

2

k

ξ

( )P ω

( )jQ ω

lgω

( )L ω

cω-40 dB/dec

20.lg k

Hình 2.9 Đặc tính tần số của khâu dao động

cω

ω

( )ϕ ω

0

0

2π−

π−


• Nhận xét:

– Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc 1 cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1 không đạt ngay giá trị k mà dao động tiến đến giá trị k. Muốn hệ dao động, trong hệ phải có bộ tích động năng và một bộ tích thế năng, ví dụ trong mạchR-L-C thì C tích thế năng còn L tích động năng.

– Hàm trọng lượng k(t) của khâu dao động cho ta thấy, khi hàm quá độ h(t) đạtgiá trị xác lập hàm trọng lượng k(t) sẽ giảm về 0, có nghĩa là lúc này khâu daođộng được giải phóng sức ì quán tính.

– Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu dao động cũng không làm việc được với tínhiệu cao tần và đạt giá trị Amax(ω) tại ωc

– Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệu ra của khâu dao động cũng luôn chậmpha so với tín hiệu vào tức là khâu dao động có độ tác động chậm.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23


2.4.2 Khâu tích phân• Phương trình vi phân:

trong đó T=1/k là hằng số thời gian tích phân



– Hàm quá độ:


– Hình 2.10 mô tả các đặc tính thời gian của khâu tích phân

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24

.y k x dt= ∫

( ) 1W p

Tp=

( ) ( ). 1 .h t k t dt kt= =∫

( ) ( )'k t h t k= =

( )h t

tg kα =

α 0 t

( )k t

k

0 t

Hình 2.10 Các đặc tính thời gian của khâu tích phân




– Đặc tính BT: A(ω) = 1/Tω

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= -π/2


L(ω) =20.lgA(ω)=-20.lgTω


tần số của khâu tích phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25

( ) 1 1

.W j j

T j Tω

ω ω= = −

( )I ω ( )R ω

0

TBP

0ω =

ω = ∞

Hình 2.11 Các đặc tính tần số của khâu tích phân

( )A ω

ω 0

BT

( )ϕ ωω

0

PT

-2

π

( )L ω

lgω0

BTL

20.lgT 20dB/dec−

0


• Nhận xét:– Hàm quá độ h(t), hàm trọng lượng k(t) của hệ thống của tích phân cho ta thấy,

khâu tích phân có tính chất có nhớ. Nghĩa là, khâu tích phân sẽ giữ nguyêntrạng thái tại thời điểm dừng tác động đầu vào.

– Đặc tính PT của khâu tích phân bậc 1 là tín hiệu ra luôn chậm pha so với tínhiệu vào một góc bằng π/2.

2.4.3 Khâu vi phân• Phương trình vi phân:trong đó T là hằng số thời gian vi phân

• Hàm truyền đạt:• Các đặc tính thời gian:

– Hàm quá độ: – Hàm trọng lượng:– Hình 2.12 mô tả các đặc tính thời gian của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26

y T dx dt=

( )W p Tp=

( ) ( ) ( ).1' .h t T t T tδ= =

( ) ( ) ( )' . 'k t h t T tδ= =

Hình 2.12. Các đặc tính thời gian của khâu vi phân

0

( ). 'T tδ

t

( )k t

0

( ).T tδ

t

( )h t



– Hàm truyền tần số: W(jω)=T. jω

– Đặc tính BT: A(ω) = Tω

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= π/2


L(ω) =20.lgA(ω)=20.lgTω


tần số của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27

( )A ω ( )I ω

( )R ω0

TBP

0ω =

ω = ∞

( )ϕ ω

ω

0

PT

2

π

( )L ω

lgω0

BTL

20.lgT 20dB/dec

Hình 2.13 Các đặc tính tần số của khâu vi phân

ω0

BT


• Nhận xét:

– Các đặc tính quá độ h(t) và trọng lượng k(t) của khâu vi phân cho thấy khâu vi phân có xu hướng mất ổn định.

– Khâu vi phân có tín hiệu ra luôn sớm pha hơn tín hiệu vào một góc bằng π/2, đây là đặc tính nổi bật của khâu vi phân khiến cho hệ thống tác động nhanh.

2.4.4 Phần tử trễ• Phương trình vi phân: y(t)=x(t-τ)• Hàm truyền đạt:


– Hàm quá độ: h(t)=1(t-τ)– Hàm trọng lượng: k(t)=h’(t)=δ(t-τ)– Hình 2.14 mô tả các đặc tính

thời gian của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28

Hình 2.14 Các đặc tính thời gian của khâu trễ

0

( )1 t τ−

t

( )h t

1

τ

0 t

( )k t( )tδ τ−

τ



Nếu tín hiệu vào có dạng: x(t)=A. ejωt

thì tín hiệu ra sẽ có dạng: x(t)=A. ejω(t- τ)

– Hàm truyền tần số: W(jω)=ejωτ

– Đặc tính BT: A(ω) = 1

– Đặc tính PT: ϕ(ω)= -ωτ– Đặc tính BTL:

L(ω) =20.lgA(ω)=0

– Hình 2.15 mô tả các đặc

tính tần số của khâu vi phân.

12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29

Hình 2.15 Các đặc tính tần số của khâu trễ

( )L ω

lgω0

BTL

( )A ω

ω0

BT

( )ϕ ω

ω 0

PT

( )I ω

( )R ω

-1

TBP

-1

1

1 0


• Nhận xét:

– Ta thấy rằng khâu trễ sẽ luôn có tín hiệu ra chậm pha so với tín hiệu vào

2.5 Tổng kết• Sau khi đã nghiên cứu các khâu cơ bản trên ta thấy rằng:

– Khâu khuyếch đại có tín hiệu ra trùng pha tín hiệu vào. Khâu tích phân, khâuquán tính bậc 1, khâu dao động, khâu trễ là các khâu có tín hiệu ra chậm phahơn so với tín hiệu vào. Chỉ có duy nhất khâu vi phân là tín hiệu ra nhanh phahơn so với tín hiệu vào.

– Các đặc tính biên độ tần số logarith BTL có những đặc điểm theo bậc n của PTĐT như sau:

– n = 0 độ dốc 0db/dec



– Dấu + cho biết tín hiệu ra nhanh pha hơn so với tín hiệu vào.

– Dấu - cho biết tín hiệu ra chậm pha hơn so với tín hiệu vào.12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30

giới thiệu môn học - tinhgiac.com´n học thuộc lĩnh vực lý thuyết điều khiển,...

Documents