giẢng viÊn: ts. nguyỄn ĐỨc trung nĂm hỌc: 2016 -2017 … trinh toan... · Đối với...

TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP C2 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017)

GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/605/7 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TOÁN CAO CẤP C2 - GIẢI TÍCH


NĂM HỌC: 2016 -2017

TRANG CHỦ:

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7




LỜI NÓI ĐẦU

CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP

TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017

Chúc mừng các bạn đã bƣớc vào một ngƣỡng cửa mới của cuộc đời.

Việc đỗ Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhƣng

không kém thách thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi

trƣờng mà cơ hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những

giảng đƣờng lớn hàng trăm Sinh viên mà ở khối lƣợng kiến thức đồ xộ.

Tại bậc học Đại học, một môn học đƣợc chia ra làm các phân môn (hay

còn gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tƣơng đối về nội dung

kiến thức nên đƣợc tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.

Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào cuối chƣơng hoặc chuyên đề

chứ không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng đƣợc giải theo tính chủ

động học tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học

ở bậc Đại học nên kết quả học tập các môn học Đại cƣơng thƣờng thấp hơn

những môn học chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).

Tuy nhiên, chƣơng trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết

kế bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở

Moon.vn) và cuối các chƣơng (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm

quen với cách học ở Đại học, một số video bài tập đƣợc đƣa ra với mục đích

hƣớng dẫn các em cách làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học.




Thầy thiết kế chƣơng trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội

tiếp cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị

sớm và tốt, các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do

việc chuẩn bị.

Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chƣơng trình học, Thầy thiết kế

chƣơng trình đào tạo đƣợc đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến

thức tuần tự để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đƣờng link sau để

biết rõ về toàn bộ chƣơng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

Tại bậc Phổ thông, các em học một chƣơng trình Toán duy nhất còn đối

với Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn đƣợc thể hiện ở từng Trƣờng, thâm

chí từng khối ngành học trong Trƣờng.

Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sƣ phạm, KHTN), Công

nghệ, chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học là Toán A gồm có 4 học

phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán A

(http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: Đại số tuyến tính

o Toán A2: Giải tích 1



Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dƣợc, chƣơng trình Toán

Cao Cấp đƣợc học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng

link chính cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: Đại số tuyến tính

o Toán B2: Giải tích

Đối với các khối ngành Kinh tế, Thƣơng mại, Tài chính, Ngân hàng,

Luật hoặc Quản trị kinh doan ... chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học

là Toán C gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán

C (http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: Đại số tuyến tính

o Toán C2: Giải tích

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

http://moon.vn/Pro/7/212






Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã đƣợc bố trí với các nội dung chi tiết

cho từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy

đủ cũng nhƣ các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài

tập cho cả Toán A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ

liệu khổng bài tập đƣợc tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm

gần đây của các khối ngành:

Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập

Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập

Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập

Các bài tập trọng yếu đƣợc quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập

dễ dàng, tiếp cận phƣơng pháp giải nhanh chóng và chính xác.

Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại

học) rất vui đƣợc trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên

Facebook với đƣờng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với

đƣờng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu lƣợm đƣợc những kiến thức, hoàn thiện kỹ

năng và vận dụng sáng tạo !

https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan




MỤC LỤC

CHƢƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ ............................................................................ 9

§1: SỐ THỰC ....................................................................................................... 9

§2: SỐ PHỨC .....................................................................................................11

§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ .....................................................................................22

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ GIỚI HẠN DÃY SỐ ........................................................27

CHƢƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN .......................................................................35

§1: KHÁI NIỆM HÀM MỘT BIẾN SỐ ............................................................35

§2:GIỚI HẠN HÀM SỐ .....................................................................................37

§3: SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ....................................................................43

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ ...........................................................................................47

CHƢƠNG III: VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ ....................................................55

§1:ĐẠO HÀM ....................................................................................................56

§2:VI PHÂN .......................................................................................................59

§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ..........................................................60

§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ..............................61

§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ..................................................64

CHƢƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ................................67

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH .............................................................67

§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ..............................................................................73

§3 :TÍCH PHÂN SUY RỘNG ............................................................................79

CHƢƠNG V: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN ...................................................................86




§1. TỔNG QUAN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN............................................................86

1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến ...........................................................................86

1.1.1. Định nghĩa : ............................................................................................86

1.1.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số. ...............................................87

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số ....................................................................87

1.3. Tính liên tục của hàm số hai biến số :...........................................................88

1.3.1. Khái niệm: ..............................................................................................88

1.3.2. Chú ý: .....................................................................................................88

§2. ĐẠO HÀM RIÊNG. ..........................................................................................90

2.1. Đạo hàm riêng: ..............................................................................................90

2.1.1. Định nghĩa: .............................................................................................90

2.1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng: ....................................................90

2.2. Đạo hàm riêng cấp cao: .................................................................................91

2.2.1 Định nghĩa : .............................................................................................91

2.2.2 Định lý : ..................................................................................................92

§3: VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀ VI PHÂN CẤP HAI ..........................................98

3.1 Đinh nghĩa : ....................................................................................................98

3.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến : .....................................................98

3.3. Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng: ...................................99

3.4. Điều kiện để biểu thức , ,P x y dx Q x y dy là một vi phân toàn phần: ..99

3.5. Phƣơng trình của tiếp tuyến, pháp diện của đƣờng cong tại một điểm. .......99

3.5.1. Đƣờng cong trong không gian. ..............................................................99

3.5.2. Phƣơng trình của tiếp tuyến. ................................................................100

3.5.3. Pháp diện của đƣờng cong : .................................................................101




§4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN ..............104

4.1. Đạo hàm của hàm số hợp ............................................................................104

4.1.1. Định nghĩa: ...........................................................................................104

4.1.2. Định nghĩa 2: ........................................................................................104

4.2. Đạo hàm của hàm số ẩn ..............................................................................105

4.2.1. Định nghĩa hàm ẩn: ..............................................................................105

4.2.2. Đạo hàm của hàm ẩn ............................................................................105

§5. CỰC TRỊ ..........................................................................................................111

5.1. Cực trị tự do của hàm số hai biến số:..........................................................111

5.1.1. Định nghĩa ............................................................................................111

5.1.2. Điều kiện cần của cực trị .....................................................................111

5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị : .....................................................................111

5.2. Cực trị có điều kiện: ....................................................................................112

5.2.1. Khái niệm: ............................................................................................112

5.2.2. Định lý: ................................................................................................112

5.3. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến số trong một miền đóng giới

nội. ......................................................................................................................113

CHƢƠNG VI:PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN .........................................................115

§1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I. ..............................................................115

1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 1 .....................................................115

2. Phƣơng trình phân ly. .....................................................................................116

3. Phƣơng trình thuần nhất. ................................................................................116

4. Phƣơng trình khuyết biến. ..............................................................................117

5. Phƣơng trình tuyến tính. ................................................................................119

6. Phƣơng trình Bernoulli. .................................................................................121




7. Phƣơng trình vi phân toàn phần. ....................................................................121

§2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI .........................................................124

1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 2. ....................................................124

2. Phƣơng trình khuyết. ......................................................................................125

3. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất................................................................126

4. Phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất. ...................................................129

5. Phƣơng trình tuyến tính có hệ số không đổi. .................................................130




CHƢƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ

§1: SỐ THỰC

1) Sự cần thiết mở rộng tập hợp số hữu tỉ : Trong thực tế và nghiên cứu số

hữu tỷ không đáp ứng đƣợc,nên nhất thiết phải mở rộng tập hợp số

Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phƣơng số đó đƣợc kết quả bằng 2

2) Định nghĩa:

1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn đƣợc xem là biểu diễn một số vô

tỷ

2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số

thực

đƣợc xác định bởi I .

Nếu với mỗi tập X x có một số M sao cho x M thì nói tập X bị

chặn trên bởi số M.Trái lại nếu có số m để x m thì nói tập X bị chặn dƣới

.Tập bị chặn trên(dƣới) có thể không bị chặn dƣới(trên).Số M hay m đƣợc gọi

là cận trên hay dƣới của tập X.

Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dƣới) có vô số cận trên(dƣới).

3. Định nghĩa

Số bé nhất trong các cận trên đƣợc gọi là cận trên đúng và đƣợc gọi

làx X

M = SupX

.

Số lớn nhất trong các cận dƣới đƣợc gọi là cận dƣới đúng đƣợc gọi là

x Xm = inf X

.

3) Định lý




Số M đƣợc gọi là cận trên đúng của tập

X o ox X sao cho x M .

Số m đƣợc gọi là cận dƣới đúng của tập

X o ox X sao cho x m .




§2: SỐ PHỨC

2.1.Dạng đại số của số phức.

-Định nghĩa số i: Số i đƣợc gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 2i 1.

-Định nghĩa số phức: Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó

z a bi đƣợc gọi là số phức. Số thực a đƣợc gọi là phần thực và số thực b đƣợc

gọi là phần ảo của số phức z. Phần thực của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là

Re(z). Phần ảo của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là Im(z).

-Khi cộng (trừ) hai số phức ta cộng (trừ) phần thực và phần ảo tƣơng ứng.

-Khi nhân hai số phức ta thực hiện giống nhƣ nhân hai biểu thức đại số với

chú ý 2i 1.

-Muốn chia hai số phức ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

-Số phức z a bi đƣợc gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi.

*Tính chất của số phức liên hợp:

Cho z và w là hai số phức, z và w là hai số phức liên hợp tƣơng ứng. Khi đó:

(i) z z là một số thực.

(ii) z.z là một số thực.

(iii) z z khi và chỉ khi z là một số thực.

(iv) z w z w

(v) z.w z.w

(vi) z z




(vii) n

nz z với mọi n .

2.2.Dạng lƣợng giác của số phức.

Modun của số phức z a bi là một số thực dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau

2 2mod(z) z a b

Nếu coi số phức z a bi là một điểm có tọa độ a,b thì

2 22 2z a b a 0 b 0 là khoảng cách từ điểm a,b đến gốc tọa độ.

Góc đƣợc gọi là argument của số phức z và đƣợc kí hiệu là arg(z) .

Tìm argument số phức

2 2

2 2

a acos

r a b

b bsin

r a b

hoặc b

tana

với 0 2

Dạng lƣợng giác của số phức z a bi là z r cos isin




Nhân hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun nhân với nhau và argument

cộng lại.

Chia hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun chia cho nhau và argument trự

ra.

2.3.Dạng mũ của số phức.

Định lý Euler: ie cos isin .

2.4.Nâng số phức lên lũy thừa.

Lũy thừa bậc n của i: Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n ri i với r là phần dƣ

của n chia cho 4.

Ví dụ: Tính 1987z i

31987 4.496 3 z i i

Công thức De-Moivre: Cho r 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó

n nr cos isin r cosn isinn

Khai căn bậc n của số phức

n nnk

2k 2kz r cos isin z r cos isin

n n

2.5.Định lý cơ bản của đại số.

Đa thức P z bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.

Ví dụ: Giải phƣơng trình sau trong 9: z i 0

9 9 9z i z i z cos isin2 2




k

k2 k22 2z cos isin , k 0,1,...,8

9 9

2.6. Một số ví dụ số phức

Ví dụ 1: Tìm số phức z biết 3

2 2 1z z i i (1)

Giải:

Giả sử z a bi z a bi

(1) 3 2 2 32( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i

23 11 11 2 2 13 9a bi i i i i

133 13 13

939 3

9

a az i

bb

Ví dụ 2: Cho 1 22 3 , 1z i z i . Tính 1 23z z ; 1 2

2

z z

z

; 3

1 23z z

Giải:

+) 1 23 2 3 3 3 5 6z z i i i 2 2

1 23 5 6 61z z

+) 1 2

2

2

3 4 13 4 7

1 1 2

i iz z i i

z i i

1 2

2

49 1 5 2

4 4 2

z z

z

+) 3 2 3

1 23 8 36 54 27 3 3 49 6z z i i i i i 3

1 23 2437z z




Ví dụ 3: Tìm môđun của z biết

2(1 2) 1

2 (1)2

i iz z

i

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

(1) 2 2a bi a bi 2 2(1 2) 1 2 2 2 2

2 2

i i i i i

i i

2

(2 2 2) 2 (4 2 2) 4 2 23

4 5

i i ia bi

i

4 2 2 4 2 2;

15 5a b

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

225 15z

Ví dụ 4: Tìm tất cả các số phức z, biết 22 (1)z z z

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

2 2 2 2 2 2 2 2(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi

2

2

1 1;

2 22 0

2 2 0 0; 02 0

1 1;

2 2

a b

b ab a bi abi b a

b ab

a b




Vậy 1 1 1 1

0; ;2 2 2 2

z z i z i

Ví dụ 5: Tìm các căn bậc hai của số phức 5 12z i

Giải:

Giả sử ( ) ;m ni m n là căn bậc hai của z

Ta có: 2( ) 5 12m ni i

2 2 2 2 22 5 12 2 5 12m mni n i i m mni n i

2 22 2 5(1)

56

2 12 (2)

m nm n

mn mn

Thay (2) vào (1) ta có:

2

2 4 265 36 5n n n

n

4 2 2 25 36 0 4; 9( )n n n n loai

2 3

2 3

n m

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là 3 2i và 3 2 .i

Ví dụ 6: Tìm các căn bậc hai của số phức 164 48 5z i

Giải:




Giả sử ( ) ;m ni m n là căn bậc hai của z

Ta có: 2( ) 164 48 5m ni i

2 22 164 48 5m mni n i

2 22 2 164(1)

16424 5

2 48 5 (2)

m nm n

mn nm

Thay (2) vào (1) ta có: 2 2 4 224 5

( ) 164 164 2880 0m m mm

2 216; 180( )m m loai 4 6 5

4 6 5

m n

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , 4 6 5i i

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2 3z i

uz i

là

một số thuần ảo.

Giải:

Giả sử ( , )z a ib a b R , khi đó

2 2

2 3 ( 2 ( 3) )( ( 1) )

( 1) ( 1)

a bi i a b i a b iu

a b i a b

Tử số bằng 2 2 2 2 3 2(2 1)a b a b a b i




u là số thuần ảo khi và chỉ khi

2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 1) 5

2 1 0 ( ; ) (0;1), ( 2; 3)

a b a b a b

a b a b

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm ( 1; 1)I , bán

kính bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).

Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

) 3z

az i

) 3 4b z z i ) 4c z i z i

Giải:

a) Đặt ,z x yi x y

Ta có: 2

22 2 2 2 9 93 9 1

8 64z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng tròn tâm 9

0;8

I

, bán kính 3

.8

R

b) Đặt ,z x yi x y

Ta có 2 22 23 4 3 4 6 8 25z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng thẳng 6x 8 25.y

c) Đặt ,z x yi x y

Ta có 2 22 24 1 1 4z i z i x y x y




22

2 2 22 2 2

22 22

2 2 2 22

22

2 2

1 4

1 16 8 1 1

1 16 1 16

4 4 8 4 8 162 1 4

1 16 1

1 23 4

4 3

x y

x y x y x y

x y x y

x y y y yx y y

x y

x y

y

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và trên elip (2) và tung độ các điểm

nằm trên elip luôn thỏa mãn điều kiện 4.y

Vậy tập hợp các điểm M là elip có phƣơng trình 2 2

1.3 4

x y

Ví dụ 9: Viết số phức sau dƣới dạng đại số:

9

5

3

1

iz

i

Giải:

+ Xét 1

3 13 2 2 os isin

2 2 6 6z i i c

9 9 9

1

9 92 os isin 2 os isin

6 6 2 2z c c

+ Xét 2

1 11 2 2 os isin

4 42 2z i i c




5

5

2

5 5 5 52 os isin 4 2 os isin

4 4 4 4z c c

9

1

5

2

3 3 1 164 2 os isin 64 2 64 64

4 4 2 2

zz c i i

z

Ví dụ 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

2008

2009

2 6

5sin isin

3 6

iz

Giải:

2008

2008

2009 2009

1 32 2

2 6 2 2

5sin isin os isin

3 6 6 6

ii

z

c

2008

2009

2 2 os isin3 3

os isin6 6

c

c

2008 2008 2008

2 2 os isin3 3

2009 2009cos isin

6 6

c

2008 2008 2009 2008 2009

2 2 os isin3 6 3 6

c




3012 3012669 6692 os isin 2

2 2c i

Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012

.




§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) KHÁI NIỆM:

Cho dãy số 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy biến nx nếu bắt đầu từ một chỗ nào

đó tức là đối với mọi số thứ tự n khá lớn biến nx sai khác a nhỏ bao nhiêu

cũng đƣợc.

Hoặc: số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy nx nếu 0, N( ) N 0 sao

cho n N đều thỏa mãn nx a nnlim x a

. Khi đó ta có thể viết

nx a hoặc nlim x = a .

Khi đó ta nói dãy nx hội tụ đến a.Đặc biệt khi nx = a với mọi n thì lim nx = a.

Từ (1) có n nx a a x a và khoảng mở (a ,a ) đƣợc

gọi là lân cận của điểm a.Nhƣ vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các

giá trị của nx bắt đầu từ một giá trị nào đấy của n cần phải rơi vào lân cận đó.

Ví dụ

a. Chứng minh rằng 2n

n 1lim 0

n 2

Chứng minh: để 2 2

n 1 n 10

n 2 n 2

hay

2

1 1

n n hay

2 2n

n

Chọn 2

N 1

vậy với n N ta có

2

n 10

n 2

tức là

2n

n 1lim 0

n 2

b. Chứng minh rằng 2

2n

n 1 1lim

33n 2

Để 2

2

2 2

n 1 1 1 1 1 23n 2 n

3 3 33n 2 3n 2




Chọn 1 2

N 13 3

thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh.

1. Đại lƣợng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): biến nx đƣợc gọi là đại

lƣợng

vô cùng bé nếu lim nx = 0.

Ví dụ: n 1

n n n

1 1 ( 1)x ;x ;x

n n n

đó là các vô cùng bé

2. Đại lƣơng vô cùng lớn (VCL): Dãy nx đƣợc gọi là VCL nếu với các

giá trị n

khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0

lớn tùy ý cho trƣớc. Hay nnlim x

với A 0 đủ lớn

0 0 nN 0 sao cho n N x A

Ví dụ: nnx q khi q 1 là một VCL

Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng nhƣ 2310 cũng không phải là

VCL

+ Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB)

2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY

1. Định lý:

n 0 0 n nnlim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N : x p(x q)

Chứng minh: chọn a p a p thì n nnlim x a a x a

0 nkhi n N x p tƣơng tự cho trƣờng hợp a < q

2. Định lý 2: nnlim x a

thì a là duy nhất.




Chứng minh: Giả sử nnlim x a

và a a r :a r a

Do nnlim x a

nên có 1 1 nN 0 ; n N x r

và nnlim x a

nên có 2 2 nN 0 ; n N x r

Chọn N = max 1 2 n nN ,N n N x r ;x r .Điều này vô lý , nên a= a .

3. Định lý 3 :Nếu nx có giới hạn thì nx giới nội

Chứng minh: n nnlim x a a 1 x a 1

Chọn 1 2 NM max a 1,x ,x ,....x thì nx M n

4. Định lý 4:

Cho n n nx y z và n n nn n nlim x lim z a lim y a

( nguyên lý bị kẹp giữa)

Chứng minh: n 1 1 nnlim x a 0, N n N a x a

n 2 2 nnlim z a 0, N n N a z a

1 2Khi N max N ,N

n n n n nn

a x y z a a y a lim y a

5. Định nghĩa: Dãy 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Đƣợc gọi là dãy tăng nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Đƣợc gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ,..

Đƣợc gọi là dãy giảm nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Đƣợc gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ..

6. Định Lý n nCho x a;y b thì ta có các kết quả sau




xlim f (x)

n nx y a b khi , cosnt

n nx y ab

n

n

x akhi b 0

y b

n nx y a b

7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu nx đơn điệu

tăng(giảm) và

bị chặn trên(dƣới) thì hội tụ,

8. Dãy con: Cho dãy nx và một dãy k

nx đƣợc trích ra từ dãy nx ở đây

dãy kn

là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy k

nx gọi là dãy con

của dãy nx .

Lƣu ý:

1. 0x:0 x x

2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó

9. Định nghĩa:

Dãy n n 1

trong đó n n na ,b ; đƣợc gọi là dãy đoạn thắt nếu

n 1 n n 1,2,......

n nnlim (b a ) 0

10. Bổ đề: Nếu n n 1

là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất




thuộc mọi đoạn của dãy.

Chứng minh: Do n 1 n n 1,2,...... nên

1 2 n na a ..... a .... b nên na là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên

n n nnlim a a b n

. Giả sử có cũng thuộc mọi đoạn n ,

thế thì n n0 b a nhƣng n nnlim (b a ) 0

. Nên .

11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra đƣợc một dãy

con

hội tụ.

Chứng minh :Giả sử nx có na x b n .Chia a,b thành hai phần bằng

nhau ,khi đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của nx gọi đoạn đó

là 1 .lại chia 1 thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số

các phần tử của nx gọi là 2 .Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta thu đƣợc dãy đoạn thắt

n n 1

trong đó n n n

b ab a 0 khi n

2

.Nên có số thuộc mọi đoạn

n .Trong mỗi đoạn

n rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là k k

n nx và k

n n na x b nhƣng

n nn nlim a lim b

k

nnlim x

12. Định lý (Côsi):

Điều kiện cần và đủ để dãy nx hội tụ là

n m0, N sao cho n,m N: a a

Chứng minh :

n n mn

( )Do lim x a 0 N : x a n N; m N: x a2 2

n m n m n mx x x a x a x x




( ) Từ n mx x cố định một m thì hiển nhiên nx bị chặn nên tồn tại

dãy

con k

nx Thỏa mãn k

nnlim x

và do k k

n n n n nn

x x x x lim x

13. SỐ e:Cho dãy số

n

n

1x 1

n

tìm giới hạn của dãy số đó.

Chứng minh : Ta có

n

n 2 n

1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)..(n n 1) 1x 1 1 n. . ... .

n n 1.2 1.2.3..nn n

1 1 1 1 2 1 1 2 n 11 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 3! n n n! n n n

mặt khác

n 1

1 1 1 1 2 nx 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1

Hiển nhiên n n 1x x và n 2 n

1 1 1 1x 2 ... .. 2 3

12 2 2 12

Tức là dãy nx đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó nnlim x

và ngƣời ta

chứng minh đƣợc giới hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ.

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ GIỚI HẠN DÃY SỐ

Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số với n :

a) 2

2

4 1lim

3 2

n n

n




b) 2

2

3 2 5lim

7 8

n n

n n

c)

3 2

5

2 3 1lim

1 4

n n

n

d) 3

3

3 2 5lim

1 2

n n

n

Giải

a)

2

2 2

22

2

1 14

4 1lim lim 2

33 22

nn n n n

nn

n

b)

2

22 2

22

22

3 2 5 2 53

3 2 5 3lim lim lim

1 87 87 8 77

n nn n n n n

n nn n

n nn

c)

3 2

53 2

55

5

2 13 1

2 3 1 27lim lim

21 4 44

nn n n n

nn

n

d)

3

3 2 3 2 3

33

33

2 5 2 53 33 2 5 3

lim lim lim111 2 2

22

nn n n n n n

nn

nn


a) 2

2

3 1lim

1 2

n n

n




b) 2

2

4 1lim

1 2

n n

n

c) 29 1

lim4 2

n n

n

Giải

a)

2

2

2 2

2

1 1 11 333 1

lim lim lim 011 2 1 2

2

nn n n n nn n n

n n

n

b) 2 2 2

2 2

1 14 4 1

4 1 1lim lim lim

11 2 1 2 22

n nn n n n

n n

n

c) 2 2 2

1 1 1 19 lim 9

9 1 3lim lim

2 24 2 44 lim 4

n n n n n n

n

n n


nn

n

2 3lim

4

Giải

n n nn

n

2 3 2 3lim lim 0

4 4


a) n n

n 1 n 1

5.2 3lim

2 3




b) 3 5.4

lim4 2

n n

n n

Giải

a)

n

n

n n n n

n 1 n 1 n n n

n

23 5 1

35.2 3 5.2 3 1lim lim lim

2 3 2.2 3.3 323 2 3

3

b)

33 lim 5543 5.4 54

lim lim 54 2 11 1

1 lim 12 2

nn

n n

nn n n


a) 2

n cos nlim 3

n

b) 2

3

n cos5nlim 5

n

Giải

a) 2

ncosn cosnlim 3 lim 3 3

n n

vì cos ncos n 1

n n n mà

1 cosnlim 0 lim 0

n n

b) 2

3

n cos5n cos5nlim 5 lim 5 5

n n

vì cos5ncos5n 1

n n n mà

1 cos5nlim 0 lim 0

n n





a) 2 2lim n n n 1

b) 2 2lim n n 1 n 2

c) 3 3lim n 2 n

Giải

a) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n n 1 n n n 1lim n n n 1 lim

n n n 1

2 2

2

1n 1

n 1 1nlim lim

21 1n n n 1n 1 1

n n

b) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n 1 n 2 n 1 n 2lim n n 1 n 2 lim

n 1 n 2

2 2

2 2 2 2

2 2

n n 1 n 2 3n 3n 3lim lim lim

21 2n 1 n 2 n 1 n 2n 1 1

n n




c)

2 3 23 3 3 33

3 3

2 3 23 33

3 33 3

2 3 23 33

2 3 23 33

2 3 23 33

n 2 n n 2 n 2 n n

lim n 2 n limn 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

2lim 0

n 2 n 2 n n

Ví dụ 7: Chứng minh các giới hạn tiến đến 0:

a) nu n 1 n

b)

n

n n 1 n 1

1 1u

2 3

Giải

a) n 1 n n 1 n n 1 n

n 1 nn 1 n n 1 n

1

21 1 1 1

2 nn n 2 n

mà

1

21lim 0 lim n 1 n 0.

n

b)

n

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2




mà

nn

n 1 n 1

11 1lim 0 lim 0.

2 2 3


a) 3lim 2n 3n 1 .

b) 2lim n n 1

Giải

a) 3 3

2 3

3 1lim 2n 3n 1 lim n 2

n n

b) 2 2

2

1 1lim n n 1 limn 1

n n

Ví dụ 9: Tìm giới hạn của các dãy số với n :

a) 3 2lim n 2n n 1

2b) lim n 5n 2

2c) lim n n n

2d) lim n n n

Bài giải

3 2 3

2 3

2 1 1a) lim n 2n n 1 lim n . 1

n n n

Vì 3

2 3

2 1 1limn , lim 1 1 0

n n n




2 2

2

5 2b) lim n 5n 2 lim n . 1

n n

Vì 2

2

5 2lim( n ) , lim 1 1 0

n n

2 2 1c) lim n n n lim n 1 n

n

1 1lim n. 1 n lim n. 1 1 0

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 0n

2 2 1d) lim n n n lim n 1 n

n

1 1lim n. 1 n lim n. 1 1

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 2 0n




CHƢƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN

§1: KHÁI NIỆM HÀM MỘT BIẾN SỐ

1) Khái niệm hàm số: Hàm số là ánh xạ f: X Y trong đó X ;Y .Ta

gọi X là

tập xác định , còn f (X) Y gọi là tập giá trị.

2) Cách cho hàm số:

Lập bảng

Đồ thị

Biểu thức giải tích

3) Một số lớp hàm quan trọng:

a) Hàm sơ cấp

Hàm đa thức: n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 ny a x + a x a x a x .... a x a

Hàm hữu tỷ nguyên:

n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 n

n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 n

a x + a x a x a x .... a x ay

b x + b x b x b x .... b x b

Hàm lũy thừa: ay x với a là hằng số thực tùy ý.

Hàm mũ: xy a với a 0 và a ≠ 1

Hàm lôgarit: ay log x với a 0 và a ≠ 1; x 0

Hàm lƣợng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx

Hàm hypebonic

x x x xe e e e shx chxshx ;chx ;thx ;coth x

2 2 chx shx




b) Hàm ngƣợc:Giả sử hàm y = f(x) đƣợc cho trong miền X nào đó,và giả

sử Y là

tập tất cả các giá trị mà hàm đó lấy khi x biến thiên trong miền X.

Với 0 0 0 0y Y x X:f (x ) y . Nhƣ thế với mỗi y Y sẽ ứng với một hay

một số giá trị x X .Nhƣ vậy trong Y ta có hàm x = g(y) đƣợc gọi là hàm

ngƣợc của hàm f(x).

Hàm lƣợng giác ngƣợc

y = arcsinx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên ,2 2

Còn Arcsinx arcsinx k2

y = arccosx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên 0, và

arccosx arcsin x2

vì cos(arccosx) cos arcsin x x sin(arcsin x)

2

y arctgx thỏa mãn arc tgx2 2

Ngoài ra ta còn có mối liên hệ giữa arctgx và arcsinx

2 2

x xarc tgx arcsin khi ( , ) V arcsin x arc tg khi ( 1 x 1)

1 x 1 x

y arccotgx có miền xác định ( , ) và miền giá trị (0, )

Mặt khác còn có mối liên hệ arccotgx arc tgx2

.

Ngoài ra còn các hàm ngƣợc của các hàm siêu việt




§2:GIỚI HẠN HÀM SỐ

1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X và

nhận giá trị trên , 0x là một điểm giới hạn của tập X.

1. Định nghĩa : Số đƣợc gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới 0x nếu

0, 0 0sao cho x : x x thì f (x) 0

x xlim f (x)

Ví dụ : chứng minh x 2lim (3x 3) 9

2. Định lý: Nếu 0

x xlim f (x) A

thì A là duy nhất.

Chứng minh : Giả sử 0

1x xlim f (x) A

và 1A A ,đặt

1 1A A 2 0 A A

Vì 0

x xlim f (x) A

nên 1 0 10 sao cho A f (x) A x :0 x x thì

A f (x) A

Ta cũng có 2 1 1 0 20 sao cho A f (x) A x :0 x x

thì 1 1A f (x) A

Chọn 1 2min( , ) ,khi đó với mọi x thỏa mãn

00 x x 1 11

f (x) AA A <>A A 2

f (x) A

vô lý.Vậy 1A A .

3. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn trái của hàm f(x) khi 0x x 0

(nghĩa là 0x x nhƣng luôn bé hơn 0x ) nếu 0, 0 sao cho

0x:0 x x f (x) .Ký hiệu 0

0x x 0

lim f (x) f (x 0)




4. Định nghĩa :

Ta gọi số là giới hạn phải của hàm f(x) khi 0x x 0 (nghĩa là 0x x

nhƣng luôn lớn hơn 0x ), nếu

00, 0 sao cho x:0 x x f (x)

Ký hiệu 0

0x x 0

lim f (x) f (x 0)

5. Định lý :0 0 0

x x x x 0 x x 0lim f (x) lim f (x) lim f (x)

2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận

6. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x

nếu 0 , M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x > M. Ký

hiệuxlim f (x)

7. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x nếu 0

M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x <- M. Ký hiệuxlim f (x)

8. Định nghĩa :Nếu A 0 , (A) 0 sao cho f (x) A với

0x:0 x x

thì ta viết 0

x xlim f (x)

3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1. Định lý 1 :Nếu x alim f (x)

và A< <B thì tồn tại khoảng J chứa điểm a

sao cho

x C J,x a thì A f (x) B .

2. Định lý 2: x alim f (x)

và f (x)




3. Định lý 3 : x alim f (x)

và x alim g(x)

thỏa mãn thì tồn tại khoảng

J chứa a

sao cho f(x) > g(x) x C J , x a

4. Định lý 4: Cho hai hàm f(x) và g(x) cùng xác định trên tập C; f(x) > g(x)

x C . Nếu x alim f (x)

và x alim g(x)

thì

5. Định lý 5: Cho các hàm f(x) , h(x) và g(x) cùng xác định trên tập C,trong

đó

f(x) < h(x) < g(x) và x a x alim f (x) lim g(x)

thì x alim h(x)

Ví Dụ: Tìm

x

x

1lim 1

x

+ xét x :

Với mỗi x > 0 , luôn có số tự nhiên n thỏa mãn: n x n 1

n x n 11 1 1

khi n : n x n 1 1 1 1n 1 x n

n x n 1 x

x

1 1 1 1hay:e 1 1 1 e lim 1 e

n 1 x n x

Tƣơng tự cho trƣờng hợp x ta cũng có kết quả là e

Vậy

x

x

1lim 1

x

= e

Mở rộng: g(x)1

f (x)f (x) 0 g(x)

1lim 1 f (x) lim 1 e

g(x)

6. Định lý:Cho các hàm f(x) và g(x) xác định trên tập C và

x a x alim f (x), lim g(x)




Thì ta có các kết quả sau:

a) x a x a x alim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

b) x a x a x alim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x)

c) x a

x a x ax a

lim f (x)f (x)

lim khi lim g(x) 0g(x) lim g(x)

4)ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Định lý 1 : 0

x xlim f (x) A

là nx X , n 0nlim x x

thì nnlim f (x ) A

2. Định lý (Bônxanô-Côsi): f(x)xác định trên X khi đó

x alim f (x)

0, 0 x ,x :0 x a ;0 x a f (x ) f (x )

Chứng minh :

( ) Do x alim f (x) nên 0, 0, x :0 x a f (x)

2

với x ;x : 0 x a ;0 x a thì

f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

( ) Ta đã có với 0 x a ;0 x a thì f (x ) f (x )

Lấy một dãy bất kỳ n n n nx (x X,x a);x a

Khi đó n mN :0 x a ;0 x a Và ta có n mf (x ) f (x )

Ta phải chứng minh rằng n n nn

x : x a lim f (x )

Thật vậy, giả sử có hai dãy n nx a; x a




và cùng có nnlim f (x )

và nnlim f (x )

nhƣng

1xsin khi x 0

f (x) x

0 khi x 0

.

Khi đó n n n nN sao cho n N : f (x ) ; f (x ) ; f (x ) f (x )3 3 3

n n n nf (x ) f (x ) f (x ) f (x )

Điều đó mâu thuẫn với .Vậy , tức là nnlim f (x )

3. Định lý 3:Cho hàm số f(x) xác định trên tập X.Thìxlim f (x)

0, N sao cho x ,x : x N; x N f (x ) f (x )

4. Định nghĩa

Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) đƣợc gọi là một vô cùng bé , nếu

x alim f (x) 0 khi a (a,b)

hoặc xlim f (x) 0

.Ký hiệu là VCB

Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) đƣợc gọi là một vô cùng lớn ,

nếu:x alim f (x) khi a (a,b)

hoặc xlim f (x)

. Ký hiệu là VCL

5. Định nghĩa:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) khi x a (a hữu hạn hoặc vô

hạn). và x a

f (x)lim ,(g(x) 0)

g(x) .Nếu:

a) 0 < <+ ,thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

đặc biệt khi = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

là hai VCB (VCL) tƣơng đƣơng khi x a và viết f(x) g(x) khi x a

b) = 0 thì g(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn f(x) khi x a




và viết g(x) = 0(f(x)) khi x a

c) = thì f(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn g(x) khi x a

Chú ý :

d) nghịch đảo của một VCB(VCL) là một VCL(VCB) khi x a

e) Tổng của hai VCB(VCL) khi x a là VCB(VCL) khi x a

f) Tích của VCB(VCL) với một đại lƣợng bị chặn là VCB(VCL)

g) Trong khi lấy giới hạn ta có thể thay bằng các VCB(VCL) tƣơng

đƣơng.

Một số giới hạn cần biết:

kx

x 0

a 11, lim lna (a 0)

kx

đặc biệt

kx

x 0

e 1lim 1

kx

;

f (x) 0

ln 1 f (x)2, lim 1

f (x)




§3: SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1) Định nghĩa 1:

Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và 0x (a,b). Hàm số đó đƣợc gọi

là liên tại điểm 0x nếu: 0

0x xlim f (x) f (x )

Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm

1xsin khi x 0

f (x) x

0 khi x 0

tại 0x 0


Hàm số liên tục trong khoảng (a, b),nếu liên tục tại mọi điểm trên (a, b)


Hàm số liên tục trong a,b ,liên tục trên khoảng (a,b) và liên tục phảitại a,

liên tục trái tại b,hay x a 0

lim f (x) f (a 0)

hoặcx b 0

lim f (x) f (b 0)

.

Ví dụ: Xét sự liên tục trái và phải của

2

2

x khi x 1f (x)

3x 1 khi x 1

tại 0x 1

4) Định nghĩa 4: Hàm f(x) xác định trong khoảng (a, b) đƣợc gọi là gián

đoạn tại

0x (a,b). Nếu hàm số không liên tục tại 0x ,hoặc không liên tục trái (phải)

tại đó.

II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC

1) Định lý 1: Tổng, tích, thƣơng (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tại 0x là hàm

liên tục 0x




2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại 0x ,và hàm g(y) liên tục tại

0 0y f (x )

thì hàm hợp g f (x) liên tục tại 0x .

Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên tục tại đó.

III. TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC

1) Định lý: Nếu hàm số f liên tục tại điển a và f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì tồn

tại một

lân cận của a để sao cho với mọi x thuộc lân cận đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)

2) Định lý Bônxanô-Côsi thứ nhất:Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và

f (a)f (b) 0 .Khi đó c (a,b) để f(c) = 0

3) Định lý Bônxanô-Côsi thứ hai: Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và f(a)

= A

f(b) = B,thì C: A C B c (a,b) : f (c) C

Chứng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó vận dụng Bônxanô-Côsi thứ nhất

4) Định lý (Vâyestrat thứ nhất):

Hàm f xác định, liên tục trên a,b thì bị chặn trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không bị chặn trên a,b ,khi đó với mỗi

nn luôn x a,b nsao cho f (x ) n .

Từ k k

n n n 0x a,b x a,b : x x a,b và k

k

n 0nlim f (x ) f (x )

Nhƣng theo điều giả sử ở trên ta có k

n k 0 kf (x ) n f (x ) khi n (vô

lý).

Vậy f(x) bị chặn trên a,b .




5) Định lý (Vâyestrat thứ hai) Nếu hàm f xác định và liên tục trên a,b thì

đạt giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất trên a,b .

Chứng minh:Do f(x) bị chặn trên a,b nên

x a,b

M sup f (x)

,giả sử f (x) M

vì nếu trái lại thì M không đạt đến đƣợc .

Xét hàm 1

(x)M f (x)

liên tục trên a,b .

Nên 1

f (x) M

(trái với M là cận trên đúng).Vậy

0 0x a,b : f (x ) M

Tức M là giá trị lớn nhất của f(x) trên a,b

Tƣơng tự đối với giá trị bé nhất.

6) Định nghĩa: Hàm f(x) đƣợc gọi là liên tục đều trên (a, b) ((a, b) là khoảng

hữu

hạn,vô hạn,đóng hoặc mở) nếu:

0, x ,x (a,b),sao cho ( ) 0: x x f (x ) f (x )

7) Đlý (Canto):

Nếu hàm f (x) xác định và liên tục trên a,b thì liên tục đều trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không liên tục đều trên a,b .Tức là

0 n n n n n0 0, x ,x a,b : x x và nnlim 0

: n n 0f (x ) f (x )

Mặt khác các dãy nx và nx bị chặn nên có các dãy con k

nx và k

nx hội

tụ,




và k k k

n n nx x ;k

nnlim 0

sao cho k k

n n 0f (x ) f (x )

giả sử k

k

n 0nlim x x

vì k k

0 n nx x và k

nnlim 0

thì dãy con của dãy k

nx cũng hội tụ về 0x

Do f (x) liên tục trên a,b nên k

k


và ks

ks


Qua đó với ks

nx ,ks

nx thỏa mãn ks ks ks

n n nx x : 0 0 0f (x ) f (x ) 0

vô lý.Đpcm




§4: MỘT SỐ VÍ DỤ

1. Bài tập giới hạn hàm số

Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính

2

x 2

3x x 1lim

x 1

.

Giải :

+/ Hàm số 23x x 1

f (x)x 1

xác định trên \ 1 .

+/ Giả sử nx là dãy số tùy ý mà nx 2 .

Khi đó

2 2

n nn

n

3x x 1 3.2 2 1limf (x ) 11

x 1 2 1

+/ Vậy 2

x 2

3x x 1lim 11

x 1

.

Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính

2

2x 1

x 2x 3lim

2x x 1

.

Giải :

+/ Hàm số 2

2

x 2x 3f (x)

2x x 1

xác định trên 1

\ 1,2

.

+/ Giả sử nx là dãy số tùy ý mà nx 1 .

Khi đó




2n n

n 2n n

n n

n n

n

n

x 2x 3f (x ) lim

2x x 1

(x 1)(x 3)lim

12(x 1)(x )

2

x 3 4lim

1 32(x )

2

+/ Vậy 2

2x 1

x 2x 3 4lim

32x x 1

.

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

1/ 2

x 5

x 5lim

x 25

2/

2x 5

x 5lim

x 25

.

Giải :

1/ Ta có :

2

x 5 x 5 x 5

x 5 x 5 1 1lim lim lim

(x 5)(x 5) x 5 10x 25

.

2/ Ta có :

2

x 5 x 5 x 5

x 5 5 x 1 1lim lim lim

(x 5)(x 5) x 5 10x 25

.

Lƣu ý : Do 2 2

x 5 x 5

x 5 x 5lim lim

x 25 x 25

nên

2x 5

x 5lim

x 25

.

Ví dụ 4: Cho hàm số 27x 4x 3 khi x 1

f (x) 4x 2 khi x 1

.

Tính x 1limf (x)

.

Giải :




+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập .

+/ 2

x 1 x 1limf (x) lim(7x 4x 3) 6

.

+/ x 1 x 1limf (x) lim(4x 2) 6

.

+/ Do x 1 x 1limf (x) limf (x) 6

nên

x 1limf (x) 6

.

Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau

1/ 3 2x

1lim

3x x 2 3/

2

2x

x 7xlim (1 2x)(3 )

x 1

2/ 3

2x

3x x 1lim

x 3x 1

.

Giải :

1/ Ta có 3

3 2x x

3

11 xlim lim 0

1 23x x 2 3x x

.

3x

3x

1V× lim 0

x

1 2 lim 3 3.

x x




33 2 3

2x x 2

2

2 3

x

2

1 1x 3

3x x 1 x x2/ lim lim3 1x 3x 1

x 1x x

1 13

x xlim x3 1

1x x

= .

2

2x x

71

x 7x 1 x 3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 31xx 1 1x

.

x

x x

V× limx

71

1 x lim 2 2, lim 3 2 .1x

1x

Ví dụ 6: Tính

1/ 2

x 0

(x 3) 27lim

x

2/

3

x 2

3 x 1lim

x 2

2/ 2x 1

9 5x 2lim

x 1

4/

3 2

2x 1

5 x x 7lim

x 1

.

Giải :

1/ Ta cã




2 3 2

x 0 x 0

2

x 0

(x 3) 27 x 9x 27xlim lim

x x

lim(x x 27x) 27.

2/ Ta có

2 2 2x 1 x 1

x 1

x 1

9 5x 2 5 5xlim lim

x 1 (x 1) ( 9 5x 2)

5(1 x)lim

(x 1)(x 1)( 9 5x 2)

5 5lim .

9(x 1)( 9 5x 2)

3

x 2 x 2 2 33

2x 2 33

3/ Tacã

3 x 1 (3 x) 1lim lim

x 2 (x 2) (3 x) 3 x 1

1lim

(3 x) 3 x 1

1 = .

3

4/ Ta có

3 32 2

2 2 2x 1 x 1

5 x x 7 5 x 2 x 7 2lim lim

x 1 x 1 x 1

.

Mặt khác




2x 1 x 1

x 1

5 x 2 1 xlim lim

x 1 (x 1)(x 1)( 5 x 2)

1 =lim

(x 1)( 5 x 2)

1 = .

8

3 2 2

2 3x 1 x 1 2 2 2 23

32 2 2x 1 3

x 7 2 x 1lim lim

x 1 (x 1) (x 7) x 7 2

1lim

(x 7) x 7 2

1 =

12

Vậy 3 2

2x 1

5 x x 7 1 1 5lim

8 12 24x 1

.

Ví dụ 7: Tính giới hạn sau theo a.

2

2x a

2 2 2

3 2x a

(x 3x 2) x a1/ lim

x 5x 4

x 2(a 1)x 2a 1 x a2/ lim

x 5x 4x

HD:

1/ Ta có

2

2x a x a

(x 3x 2) x a (x 2)(x a)I = lim lim

x 4x 5x 4

+/ Trƣờng hợp 1: a 4 x 4

I lim(x 2) 2.

+/ Trƣờng hợp 2: a 4 I 0.




+/ Vậy 2 khi a=4

I0 khi a 4

.

2/ Ta có: a 0 .

2 2 2

3 2x a

x a

x 2(a 1)x 2a 1 x aJ lim

x 5x 4x

(x 1)(x 2a 1)(x a)(x a)lim

x(x 1)(x 4)

+/ Trƣờng hợp 1: a 1

x 1

(x 1)(x 3)(x 4)I lim 0

x(x 4)

.


x 4

(x 1)(x 9)(x 4) 10I lim

x(x 1) 3


a 4

I 0 .

Vậy

10khi a 4

I 3

0 khi a 4 .

2. Bài tập hàm số liên tục

Ví dụ 1:




Ví dụ 2:

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:




Ví dụ 5:




CHƢƠNG III: VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

§1:ĐẠO HÀM

1) Định nghĩa : Hàm y = f(x) xác định trên (a, b), 0x (a,b) .Cho 0x một số

gia

x sao cho 0x x (a,b) nếu 0 0

x 0 x 0

f (x x) f (x ) ylim lim

x x

thì giới hạn

đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại 0x và viết 0y f (x ) hoặc

0

dyf (x )

dx .

Chú ý:

Từ 0 00

x 0

f (x x) f (x )lim f (x )

x

0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x O( x)

Nếu hàm số có đạo hàm tại 0x thì liên tục tại đó.Đạo hàm của hàm số tại một

điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đƣờng tại điểm đó.

2) Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử u (x) có đạo hàm tại 0x và

x 0u (x ) ,hàm

y = f(u) có đạo hàm tại 0 0u (x ) là u u 0y f (u ) .Khi đó hàm hợp y f (x)

có đạo hàm tại 0x và x u 0 x 0y f (x ) (x ) ,hay gọn hơn x u xy f .u

3) Đạo hàm một phía : Nếu 0 00

x 0 0


x

thì đó đƣợc

gọi là

đạo hàm phải tại 0x . Còn nếu 0 00

x 0 0


x

thì đó đƣợc

gọi là đạo hàm trái tại 0x .

4) Đạo hàm của hàm ngƣợc




Giả sử y = f(x) có đạo hàm tại 0x là 0f (x ) 0 và là hàm số có hàm ngƣợc

x (y) .Khi đó đạo hàm của x (y) tại 0 0y f (x ) là 0

1(y)

f (x )

.

ví dụ:Đạo hàm của một số hàm ngƣợc

1. y arcsin x 2

1y

1 x

2. y arccosx 2

1y

1 x

3. y arctgx 2

1y

1 x

4. y arccotgx 2

1y

1 x

5. ay log x lna

yx

6. Đặc biệt : y ln x 1

yx

5) Quy tắc lấy đạo hàm

1. (UV) U V UV

2. U V U V

3. 2

U U V UV

V V

6) Đối với hàm số cho dƣới dạng tham số

x x(t)

y y(t)




thì đạo hàm cấp một của hàm y theo biến x đƣợc xác định x

y (t)y

x (t)

và đạo hàm cấp hai hàm y theo biến x đƣợc xác định

x 3

y (t)

x (t) y (t)x (t) x (t)y (t)y

x (t) x (t)

cứ nhƣ vậy ta có các đạo hàm cấp 3, 4,….




§2:VI PHÂN

1) Định nghĩa

Từ 0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x 0( x) 0 0f (x ) f (x ) x 0( x)

Khi đó hàm f(x) đƣợc gọi là khả vi và 2 n

x x x xe 1 .... ..

1! 2! n! gọi là vi

phân của f(x) tại 0x .Ký hiệu 0dy f (x ) x

Đặc biệt nếu y = x thì dx dy nên ta có thể viết dy y dx .

Từ định nghĩa vi phân nên các quy tắc lấy vi phân tƣơng tự nhƣ các quy tắc

lấy đạo

hàm

2) Tính bất biến của vi phân: Giả sử có dx (t)dt và tdy y dt với

y f (t)

Thì ta cũng có t x tdy y dt y x dt nhƣng

dx (t)dt 2 4 2n 2n

n n

n 0

x x x xcosx 1 ... ( 1) ... ( 1)

2! 4! (2n)! (2n)!

,nhƣ vậy

biểu thức vi phân không thây đổi khi biên độc lập hay biến hàm.Đó gọi là

tính bất biến của

vi phân.




§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

1) Định nghĩa các đạo hàm cấp cao:Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại

x (a,b) khi đó y f (x) cũng là một hàm số và giả sử nó cũng có đạo

hàm,đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai. ký hiệu 2

2

d yy f (x) hay

dx cứ tiếp tục nhƣ

vậy thì ta có đạo hàm cấp 2, 3,

3 5 2n 1 2n 1n n

n 0

x x x xarc tgx x ... ( 1) ..... ( 1)

3 5 2n 1 2n 1

hoặc n

n

d f (x)

dx

n 0,1,2,..

Quy ƣớc (0) (0)y f (x) f (x)

2) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao hoàn toàn tƣơng tự nhƣ quy tắc đạo hàm

cấp 1

Vi phân cấp cao:Giả sử xdy y dx là vi phân của hàm f(x) trên (a, b) cũng là

một hàm số khả vi, vi phân của 2 3 nx x x

ln 1 x x ..... ..2 3 n

đƣợc

gọi là vi phân cấp hai (lƣu ý dx là một số tùy ý không phụ thuộc x):

2 2x xd(dy) d(y dx) d y y dx Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta có các kết quả của vi

phân cấp cao và

n 1 (n 1) n 1 2 (n) nx xd(d y) d(y dx ) d y y dx

Lƣu ý:Các vi phân cấp cao không còn tính bất biến




§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1) Các định lý giá trị trung bình:

1. Bổ đề Fecma:Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và đạt giá

trị lớn

nhất(nhỏ nhất) tại một điểm c trong (a, b).Nếu f (c) f (c) 0

2. Định lý Roll :Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong (a,b) ,

f (a) f (b) Khi đó c (a,b) sao cho f (c) 0

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên a,b nên đạt giá trị lớn nhất M và giá trị

nhỏ nhất m trên đoạn đó

Nếu M = m thì m f (x) M f (x) cosnt f (c) 0

Nếu M > m,do f(a) = f(b) nên hàm số không thể đạt cả hai giá trị tại

hai đầu

mút.Nên nó phải đạt ít nhất một trong hai giá trị đó tại c (a,b) ,theo Fecma

thì

f (c) 0 .

3. Định lý Lagrăng: Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong

(a,b) ,

Khi đó f (b) f (a)

c (a,b) sao cho f (c)b a

.

Chứng minh: xét hàm f (b) f (a)

F(x) f (x) f (a) (x a)b a

thỏa mãn các điều

kiện

của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 ,tức là f (b) f (a)

f (c) 0b a




hay f (b) f (a)

f (c)b a

.

Chú ý:Nếu thay a,b bởi đoạn x,x x f (x x) f (x) f (c) x đƣợc

gọi là

công thức số gia giới nội,ở đó c x x với 0 1

4. Định lý Cô si: G/sử hàm f(x) và g(x) liên tục trên a,b , khả vi trong

(a,b)

g (x) 0 x (a,b) .Khi đó f (b) f (a) f (c)

c (a,b) sao chog(b) g(a) g (c)

Chứng minh:xét hàm f (b) f (a)

F(x) f (x) f (a) g(x) g(a)g(b) g(a)

thỏa mãn các

Điều kiện của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 hay

f (b) f (a) f (c) f (b) f (a)

f (c) g (c) 0g(b) g(a) g (c) g(b) g(a)

Chú ý: các số c đƣợc xác định là có trong các định lý trên và các định lý

không chỉ ra số lƣợng điểm c .

2) Công thức Taylo:

1. Công thức Taylo đối với hàm đa thức:Đối với đa thức n

kk

k 0

p(x) a x

đều viết đƣợc dƣới dạng n

kk

k 0

p(x) c (x a)

trong đó (k)

k

f (a)c k 0,n

k!

2. Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ:

Cho một hàm f(x) xác định trên (a, b) (hữu hạn hoặc vô hạn) và có đạo hàm

đến

cấp n + 1 tại 0x (a,b) .Khi đó




2 30 0 00 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x ) ...

1! 2! 3!

+

(n)

n00

f (x )(x x )

n! +

(n 1)n 1

0

f (c)(x x )

(n 1)!

đƣợc gọi là công thức Taylo của f(x) tại 0x ,trong đó c nằm giữa 0x và x.

Đặt (n 1)

n 1n 0 n

n

f (c)r (x x ) lim r 0

(n 1)!

vì khi n thì 0 0x x c x

nr đƣợc gọi là phần dƣ Taylo,khi đó có thể viết lại công thức Taylo

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )

1! 2! n!

Chú ý: Nếu 0x 0 thì khai triển Taylo còn gọi là khai triển Macloranh

3. Một số khai triển Macloranh hàm sơ cấp cơ bản

a) 2 n

x x x xe 1 .... ..

1! 2! n!

b) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xsin x x ... ( 1) ... ( 1)

3! 5! (2n 1)! (2n 1)!

c) 2 4 2n 2n

n n

n 0

x x x xcosx 1 ... ( 1) ... ( 1)

2! 4! (2n)! (2n)!

d) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xarc tgx x ... ( 1) ..... ( 1)

3 5 2n 1 2n 1

e) 2 3 nx x x

ln 1 x x ..... ..2 3 n

f) n 1

n

n 0

xln(1 x) ( 1)

n 1




§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1)Khảo sát hàm số:Việc khảo sát hàm số ta thực hiện nhƣ trong chƣơng

trình đã

học ở phổ thông trung học,nhƣng lƣu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp

trƣờng

hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1 ,thì ta xét

theo

kết quả:

2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại 0x (a,b) và (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1

và (n)0f (x ) 0 .Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số

có cực

trị tại 0x :

Khi 2 2

dx 1 x aln C a 0

2a x ax a

thì hàm số có cực đại tại

0x

Khi (n)0f (x ) 0 thì hàm số có cực tiểu tại 0x

Chứng minh : Trong khai triển Taylo của hàm f(x) tại

2 2

dx x xarcsin C arccos C

a aa x

ta có

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )

1! 2! n!

(n)n0

0 0

f (x )f (x) f (x ) (x x )

n!

Nếu n lẻ thì n0(x x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x dẫn đến

0f (x) f (x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x




Nếu n chẵn thì n0(x x ) nguyên mội dấu khi x biến thiên qua

0x dẫn đến 2

2 2 2 2x a xa x dx a x arcsin C (a 0)

2 2 a giữ

nguyên một dấu:

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) ,hàm đạt cực đại tại 0x

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) , hàm đạt cực tiểu tại 0x

3) Khử các dạng vô định 0

0:

1. Định lý:Các hàm f(x) và g(x) xác định trên a,b ,có các đạo hàm

f (x);g (x)

hữu hạn, trong đó g (x) 0 và x a x alim f (x) lim g(x) 0

.Đặc biệt x a

f (x)lim K

g (x)

.

Khi đó: x a x a

f (x) f (x)lim lim K

g(x) g (x)

Chứng minh:Theo Côsi ta có f (x) f (x) f (a) f (c)

g(x) g(x) g(a) g (c)

trong đó a < c < x

Khi x a thì c a nên x a c a

f (x) f (c)lim lim K

g(x) g (c)

Nếu vai trò của f (x);g (x) cũng nhƣ các hàm f(x) và g(x) thì ta có kết quả

tƣơng tự.

Tức là x a x a

f (x) f (x)lim lim K

g(x) g (x)

và quá trình này tiếp tục nếu các điều kiện

của giả

thiết đƣợc thỏa mãn.




2. Chú ý: Khi f (x)

g(x) có dạng khi x a

thì ta đã biết

1

f (x)và

1

g(x)là các

VCB khi x a .Nên ta lại quay về dạng 0

0.




CHƢƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1) Nguyên hàm: Hàm F(x) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x),nếu

F (x) f (x) .Nhƣvậy F(x) + C sẽ là họ nguyên hàm của f(x),với

C const .Khi đó

phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm

f(x)

và viết F(x) C f (x)dx

2) Các tính chất (Tự đọc)

3) Phƣơng pháp tính

1. Đổi biến số: đặt x (t) dx (t)dt thì f (x)dx f (t) (t)dt

2. Tích phân từng phần: UdV UV VdU

3. Tích phân truy hồi: thực tế là giải phƣơng trình tích phân,ví dụ nhƣ tính

tích phân

xI e sin xdx

4) Bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản:(Tự đọc)

Một số nguyên hàm khó nhớ

1. 2 2

dx 1 a xln C a 0

2a a xa x

2. 2 2

dx 1 x aln C a 0

2a x ax a

3. 2 2

dx x xarcsin C arccos C

a aa x




4. 2 2

2 2

dxln x x a C (a 0)

x a

5. 2

2 2 2 2x a xa x dx a x arcsin C (a 0)

2 2 a

6. 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a C

2 2

5) Một số dạng tích phân hàm thực

1. Tích phân dạng 1 2

dxI

ax bx c

Cách giải

2 22 b b 4ac

ax bx c a x2a 4ac

2 2 2

dx duI a

ax bx c u k

trong đó

22b b 4ac

x u; k2a 4ac

2. Tích phân dạng:

2 2 2

A Ab(2ax b) B

Ax Bx dx 2a 2aI dx

ax bx c ax bx c

2

2 2

A d(ax bx c) Ab dxB

2a 2aax bx c ax bx c

Ví dụ:3

2

2 2

x(2ax b) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

2

22

1 d(x 1)ln x 2x 5 4

2(x 1) 6

21 6 x 1 6ln x 2x 5 ln C

2 3 x 1 6




3. Tích phân dạng: 32

dxI

ax bx c

Nếu a 0 :

thì 3 2x (2ax b)(1 2x x ) với b

u x2a

và còn k phụ thuộc vào dấu

của 2b 4ac

4ac

2 2

2 2

duI ln u u k C

u k

Nếu a 0 thì 2 2

1 du 1 uI arcsin C

ka ak u

Ví dụ:2

dxI

2 3x 2x

2 2

1 dx 1 du 1 4x 3I arcsin C

52 2 21 u25 3x

16 4

với 4x 3

u5

4. Tích phân dạng 1 5 19

a ;b ;c ; 43 6 6

Cách giải 2

2 2 2

(Ax B)dx A d(ax bx c) Ab dxI B

2a 2aax bx c ax bx c ax bx c

5. Tích phân dạng 52

dxI

(Ax B) ax bx c




Cách giải :Đặt

3 22

2 2

x dx 2x 5x 19 dxI 1 2x x 4

61 2x x 1 2x x

khi đó

By 1x

Ay

thì ta sẽ đƣợc tích phân dạng 3.

6. Tích phân dạng 26I ax bx c dx

Nếu 2 26a 0 I a u k du trong đó

bu x

2a

Nếu 2 26a 0 I a k u du trong đó

bu x

2a

7. Tích phân dạng 27I R(x, ax bx c)dx

Nếu 21 1ax bx c a(x x )(x x ) ,đặt 2

1ax bx c z(x x )

Nếu 2ax bx c có nghiệm ảo:

a) đặt 2ax bx c ax z khi a 0

b) đặt 2ax bx c xz c khi c 0

Ví dụ:

22

2 2

1 x x 1

I dxx x x 1

đặt 2

2

2t 1x x 1 xt 1 x

1 t

2

22

2t 2t 2dx dt

1 t

2 2

2 2

2 2

t t 1 2t tx x 1 ; 1 x x 1

1 t 1 t




2

22 2

2 22 2

1 x x 12t dt (1 t ) 1 1 t

I dx 2 dt 2t ln C1 t1 t 1 tx x x 1

22

2

2 x x x 1 1x x x 1 1

I ln Cx x x x 1 1

8. Tích phân dạng n8

2

P (x)dxI

ax bx c

trong đó là nP (x) đa thức bậc n

2n 1

2

dxI Q (x) ax bx c (3)

ax bx c

trong đó là n 1Q (x) đa thức bậc

n-1 và đƣợc xác định bằng cách lấy đạo hàm đẳng thức (3).Tính các hệ số

của

n 1Q (x) và bằng phƣơng pháp hệ số bất định.

Ví dụ:3

2

x dxI

1 2x x

32 2

2 2

x dx dxI (ax bx c) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

32

2 2

x(2ax b) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

3 2x (2ax b)(1 2x x )

3 3 2x 3ax (5a 2b)x (3b 2a c)x b c

1 5 19a ;b ;c ; 4

3 6 6




3 22

2 2

x dx 2x 5x 19 dxI 1 2x x 4

61 2x x 1 2x x

2

22x 5x 19 x 11 2x x 4arcsin C

6 2

9. Tích phân dạng I x (a bx ) dx

a) Nếu 1

ta đặt ka bx z trong đó k là mẫu của phân số

b) Nếu 1

ta đặt kax b z trong đó k là mẫu của phân số

Ví dụ :

12 23

3 2

xdxI x 1 x dx

1 x

ta có

1 1 13

2

3

đặt

2

231 x z

2 2 5 3

3 2

xdx 3I 3 (z 1) dx z 2z 3z C

51 x

với

3 2z 1 x

10. Tích phân hàm lƣợng giác:

Tích phân dạng 1I R(sin x,cosx)dx R là hàm hữu tỷ

a) để tính ta đặt 2

2 2

x 1 t 2ttg t cosx ;sin x

2 1 t 1 t

b) Nếu R(sin x, cosx) R(sin x,cosx) thì đặt sin x t

c) Nếu R( sin x,cosx) R(sin x,cosx) thì đặt cosx t

d) Nếu R( sin x, cosx) R(sin x,cosx) thì đặt tgx = t




§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1)Định nghĩa, điều kiện tồn tại tích phân xác định:

Cho hàm f(x) xác định trên đoạn a,b ,chia a,b bởi các điểm chia kx với

k 0,n thỏa mãn 0 1 na x x ... x b đặt k k 1 kx x x với

k 0,n .Đặt kmax x .Trên mỗi đoạn k k 1x ,x lấy bất kỳ điểm

k k k k 1: x x .

Lập tổng n

k k

k 0

f ( ) x

và đƣợc gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên

a,b ,nếu tồn tại giới hạn n

k k0

k 0

lim f ( ) x

mà không phụ thuộc vào phép

chia a,b thì giới hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên a,b , và

viết

b

a

I f (x)dx .Khi đó hàm f(x) là hàm khả tích trên a,b .

Nếu ta gọi km và kM tƣơng ứng là cận dƣới và cận trên đúng của f(x) trên

k k 1x ,x

Tổng n

k k

k 0

s m x

và n

k k

k 0

S M x

đƣợc gọi là tổng Đacbu dƣới và trên

của hàm f(x) trên a,b s S .Ta đặt k k k 1 kS M (x x )

Nhận xét:

1. Nếu thêm các điểm chia mới thì tổng Đacbu dƣới chỉ có thể tăng lên và

tổng

Đacbu trên chỉ có thể giảm đi.




Chứng minh:Giả sử có k k 1x : x x x thì tổng Đacbu trên ở trên

k k 1x ,x là

k k k k k 1 k k k 1S M (x x ) M (x x ) do x ,x x ,x và

k 1 k k 1x ,x x ,x

nên k k k k k kM M ;M M S S

2. Mỗi tổng Đacbu dƣới không vƣợt quá mỗi tổng trên,mặc dù tổng trên

ứng

với cách chia khác nhau.

2) Định lý: Tích phân xác định tồn tại 0

lim (S s) 0

3) Các lớp hàm khả tích

1. Nếu hàm f(x) lien tục trên a,b thì khả tích trên đó.

2. Hàm f(x) giới nội trên a,b chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn,thì

khả tích trên a,b .

3. Hàm f(x) đơn điệu giới nội trên a,b thì khả tích trên đó.

4) Tính chất của tích phân xác định.

1.

b a

a b

f (x)dx f (x)dx

2.

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

3.

b b

a a

kf (x)dx k f (x)dx khi k cosnt




4. b b b

a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

5. Với b

a

f (x) 0 khi x a,b f (x)dx 0

6. Nếu f(x) và g(x) khả tích và f (x) g(x) trên a,b thì

b b

a a

f (x)dx g(x)dx

7.

b b

a a

f (x)dx f (x) dx

8. Nếu

b

a

m f (x) M m(b a) f (x)dx M(b a)

9. Định lý giá trị trung bình:Nếu m f (x) M và khả tích trên a,b thì

b

a

f (x)dx (b a) khi m M

10. Nếu g(x) và f(x).g(x) khả tích trên a,b ; m f (x) M và g(x) giữ

nguyên

một dấu,thì

b b

a a

f (x)g(x)dx g(x)dx .Đặc biệt nếu f(x) liên tục trên a,b

thì c a,b để

b b

a a

f (x)g(x)dx f (c) g(x)dx

11. Nếu f(x) khả tích trên a,b thì

x

a

(x) f (t)dt , hàm (x) t/mãn các tính

chất sau:




a. (x) liên tục trên a,b

b. (x) f (x)

x x x x

a a x

(x x) (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt x.f (x x)

(đl giá trị tr/

bình)

do đó x 0

(x x) (x)(x) lim f (x)

x

ở đó 0 1 .

12. Chú ý:

a. Nếu hàm f (x) là hàm số chẵn trên a,a thì

a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

b. Nếu hàm f (x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2k thì

k a 2k

k a

f (x)dx f (x)dx

với a bất kỳ

5) Cách tính tích phân xác định:

1. Công thức Newton-Lepnit:Nếu f(x) liên tục trên a,b và có nguyên hàm

F(x) thì

bx b

x aa

f (x)dx F(x) F(b) F(a)

2. Khi tính nguyên hàm của f(x) ta áp dụng các cách tính tích phân đã biết

trong

tích phân không xác định.

6)Tính gần đúng tích phân xác định

7) ứng dụng của tích phân xác định:




1. Diện tích hình phẳng:Miền phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong f(x) và

g(x)

liên tục trên a,b đƣợc xác định bởi

b

a

S f (x) g(x) dx

2. Diện tích miền phẳng đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số

x x(t)

y y(t)

trong đó 1 2t t t đƣợc xác định 2

1

t

t

1S x(t)y (t) x (t)y(t) dt

2

3. Trong tọa độ cực: Đƣờng cho bởi r r( ) với 1 2 đƣợc xác định

2

1

21S r ( )d

2

4. Độ dài đƣờng cong:

a. Xác định bởi y f (x) với a x b đƣơc tính

b2

a

L 1 f (x)dx

b. Xác định bởi x x(t)

y y(t)

với 1 2t t t đƣợc tính

2

1

t2 2

t

L x (t) y (t)dt

c. Trong tọa độ cực r r( ) với thì 2 2L r ( ) r ( )d

5. Thể tích vật thể:




a. Vật V có thể tích

b

a

V S(x)dx trong đó S = S(x) ( a x b ) là

thiết diện thẳng vuông góc với trục 0x

b. Do y f (x) (a x b) quay xung quanh 0x:

b2

0x

a

V f (x)dx

c. Do y f (x) 0 (a x b) quay xung quanh 0y:

b

0y

a

V 2 xf (x)dx

6. Diện tích mặt tròn xoay do đƣờng cong phẳng

y f (x) với

a k 1 a k 1 a k 1n 1 n 1 n 1

k 0 k 0 k 0a k a k a k

f (a k)dx f (x)dx f (a k 1)dx

quay xung quanh trục 0x:

b b2

0x

a a

S 2 f (x)ds 2 f (x) 1 f (x)dx

7. Diện tích mặt tròn xoay do đƣờng cong phẳng cho bởi phƣơng trình

tham số

x x(t)

y y(t)

với 1 2t t t quay xung quanh 0x :

2

1

t2 2

0x

t

S 2 y(t) x (t) y (t)dt




§3 :TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1) Tích phân với cận vô tận:

1. Đ/nghĩa:Cho hàm số y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu

hạn

b a .Ta gọi giới hạn

b

ba

lim f (x)dx

(nếu nó tồn tại) là tích phân suy rộng của

hàm y f (x) trên a, và ký hiệu

b

ba a

f (x)dx lim f (x)dx

.

Khi đó tích phân

a

f (x)dx

là hội tụ, trái lại thì

a

f (x)dx

gọi là phân kỳ.

Hoàn toàn tƣơng tự ta cũng có định nghĩa

b b

aa

lim f (x)dx f (x)dx

và

b

aab

lim f (x)dx f (x)dx

khi các giới hạn tồn

tại.

Chú ý: Ta cần có sự so sánh về sự tƣơng tác giữa chuỗi số và tích phân suy

rộng

2. Các tính chất đơn giản

a. Tính chất 1:Nếu tích phân

a

f (x)dx

hội tụ thì tích

phân

A

f (x)dx

cũng

hội tụ và ngƣợc lại ( A a ).Ngoài ra

A

a a A





b. Tính chất 2: Nếu tích phân

a

f (x)dx

hội tụ thì A

A

lim f (x)dx 0

c. Tính chất 4: Nếu tích phân

a

f (x)dx

và

a

g(x)dx

hội tụ thì

a

f (x) g(x) dx

hội tụ và a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

d. Định lý 1: Điều kiện ắt có và đủ để

a

f (x)dx

hội tụ là 00 A đủ

lớn

và 0A a sao cho với 1 0A A và 2 0A A thì

2 1 1

2

A A A

a a A


3. Điều kiện hội tụ:Ta xét những hàm f (x) 0 (liên hệ với chuỗi số

dƣơng)

a. Định lý 2:Điều kiện ắt có và đủ để

a

f (x)dx

trong đó f (x) 0

và

a x hội tụ là tích phân

A

a

f (x)dx bị chặn ( A a )

b. Định lý 3:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x và các hàm

f (x) ; (x)




khả tích trong mọi đoạn a,b với a b .Nếu

a

(x)dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

hội tụ và

a a

f (x)dx (x)dx

.Ngƣợc lại

a

f (x)dx

phân kỳ thì

a

(x)dx

phân kỳ.

Ví dụ:Xét sự hội tụ của x

1

x e dx

với const

Chứng minh:Ta có

x

2

xlim x e 0

(quy tắc Lôpitan)nên với x đủ lớn

:

x

2x e 1

do đó

x x xx 2 2 2x e x e e e

và

x

2

1

e dx

hội tụ, suy ra x

1

x e dx

hội tụ.

c. Định nghĩa :Tích phân

a

f (x)dx

đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

a

f (x) dx

hội tụ.Nhƣ vậy khi

a

f (x) dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

cũng hội tụ

d. Định lý 4: Cho y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu hạn

b a 0

Nếu 1 ,với C const 0 thỏa mãnC

f (x)x

thì

a

f (x)dx

hội tụ tuyệt đối




Nếu 0 1 và với x đủ lớn 1

f (x)x

, thì

a

f (x)dx

phân kỳ.

e. Định lý 5 (Abel) Giả sử f (x) và g(x) xác định trên a, hơn nữa

- Tích phân

a

f (x)dx

hội tụ

- Hàm g(x) đơn điệu bị chặn

thì tích phân

a

g.f dx

hội tụ

f. Định lý 6 (Dirichlet):Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với

x a .

Nếu tồn tại C const 0 sao cho a b :

b

a

(x)dx C thì

a

(x)dx

x

hội tụ.

2) Tích phân của hàm số không bị chặn:

1. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn a ,b với

0 b a ,

xác định trên a,b nhƣng không bị chặn tại lân cận x a .Nếu tồn tại

b

0a

lim f (x)dx

thì giới hạn đó gọi là tích phân của hàm không bị chặn

f (x) trên a,b và ký hiệu :

b

a

f (x)dx .

2. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn 1a,c ;

2c ,b ,




trong đó 10 c a ; 20 b c và không bị chặn ở lân cận điểm c.Khi tồn

tại các tích phân suy rộng

c

a

f (x)dx và

b

c

f (x)dx tức là tồn tại các giới hạn sau

1

1

c c

0a a

lim f (x)dx f (x)dx

và

2

2

b b

0c c

lim f (x)dx f (x)dx

khi đó ta có

b

a

f (x)dx =

c

a

f (x)dx +

b

c

f (x)dx

và ta có

b

a

f (x)dx hội tụ,trái lại thì tích phân gọi là phân kỳ.

Lƣu ý:

Trong tích phân

b

a

f (x)dx nếu hàm số f (x) không xác định tại x a hoặc x b

nhƣng tồn tại x a 0

lim f (x)

hoặc x b 0

lim f (x)

thì

b

a

f (x)dx vẫn tồn tại.

3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng:Giả sử Cho hàm f (x) khả

tích

trên mọi đoạn a ,b với 0 b a ,xác định trên a,b nhƣng không bị

chặn tại lân cận x a .Do đó

b b

0a a

f (x)dx lim f (x)dx

Đặt 1

x ay




ta có

1 1

b

21 1a

b a b a

1 dyf (x)dx f (a ) (y)dy

y y

trong đó 2

1 1(y) f (a )

yy

Khi đó

1

b

01 1a

b a b a

f (x)dx lim (y)dy (y)dy

4. Điều kiện hội tụ:Từ phân tích trình bày ở trên ta có các định lý sau

a. Định lý 1’:Điều kiện ắt có và đủ để

b

a

f (x)dx trong đó

f (x) 0; x a,b hội tụ là tích phân

b

a

f (x)dx

bị chặn với

0 ( 0 b a )

b. Định lý 2’:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x b

Nếu

b

a

(x)dx hội tụ thì

b

a

f (x)dx hội tụ và

b b

a a

f (x)dx (x)dx .Ngƣợc lại

b

a

f (x)dx phân kỳ thì

b

a

(x)dx phân kỳ

c. Định lý 3’: Đ/kiện ắt có và đủ để

b

a

f (x)dx hội tụ là 0 0 :

10 và 20 thì 2

1

a

a

f (x)dx




d. Định nghĩa :Tích phân

b

a

f (x)dx đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

b

a

f (x) dx hội tụ.Nhƣ vậy khi

a

f (x) dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

cũng hội tụ

e. Định lý 4:

Nếu 0 1 và x a đủ gần a mà 1

f (x)(x a)

thì

b

a

f (x)dx hội tụ tuyệt đối

Nếu 1 và x a đủ gần a để 1

f (x)(x a)

thì

b

a

f (x)dx phân kỳ.

g. Định lý 5:Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với x a .Nếu

tồn tại

C const 0 sao cho:

b

a

(x)dx C

thì

b

a

(x a) (x)dx hội tụ.




CHƢƠNG V: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

§1. TỔNG QUAN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến

1.1.1. Định nghĩa :

Cho 2D R , ánh xạ f : D R đƣợc gọi là hàm số hai biến số.

Kí hiệu là : :f D R

, ,x y Z f x y

D là miền xác định của f ; x,y là hai biến số độc lập.

, / ,f D z f x y x y D gọi là miền giá trị của hàm f

Hàm số n biến 1 2, ,..., nf x x x đƣợc định nghĩa tƣơng tự.

Miền xác định :

Cho hàm số ,Z f x y , miền xác định của hàm f là tập hợp các cặp

,x y sao cho ,f x y có nghĩa. Ký hiệu là D.

D đƣợc gọi là liên thông trong 2R nếu với 1 2,M M bất kỳ thuộc D luôn

có thể nối với nhau bởi đƣờng cong liên tục nằm hoàn toàn trong D

D đƣợc gọi là mở nếu những điểm biên L của D không thuộc D

D đƣợc gọi là đóng nếu mọi điểm biên L của D đều thuộc D

D đƣợc gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đƣờng cong kín rời

nhau từng đôi một.




1.1.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số.

Giả sử ,Z f x y xác định trong miền D của mặt phẳng xOy

MP // OZ và ,MP f x y Z

Khi M biến thiên trong D thì P biến thiên trong 3R

và sinh ra mặt S, S gọi là đồ thị của hàm ,Z f x y

và ,Z f x y còn gọi là phƣơng trình của mặt S.

Mỗi đƣờng thẳng song song với trục OZ cắt mặt S

không quá một điểm.

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số

Định nghĩa :

Cho hàm số ,f M f x y , xác định trong miền D chứa điểm

0 0 0,M x y , có thể trừ điểm 0M . Ta nói rằng L là giới hạn của ,f x y khi

điểm ,M x y dần tới điểm 0 0 0,M x y nếu với mọi dãy ,n n nM x y thuộc D

dần tới 0M ta đều có

lim ,n nn

f x y L

Kí hiệu :

0 0, ,

lim ,x y x y

f x y L

hay : 0

limM M

f M L




1.3. Tính liên tục của hàm số hai biến số :

1.3.1. Khái niệm:

Cho hàm số ,f M f x y , xác định trong miền D, 0 0 0,M x y là một

điểm thuộc D. Ta nói hàm số ,f x y liên tục tại 0M nếu tồn tại :

0 0, ,

lim ,x y x y

f x y

và

0 0

0 0, ,

lim , ,x y x y

f x y f x y

Hàm số ,f x y gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm

thuộc D.

1.3.2. Chú ý:

Đặt 0 xx x ;0 yy y ta có :

0 0, ;x yf x y f x y và 0 0 0 0; ,x yf f x y f x y

Có thể phát biểu: Hàm số ,f x y liên tục tại 0 0 0,M x y nếu :

, 0,0

lim 0x y

f

Ví dụ 1.1: Tìm giới hạn ( nếu có ) của hàm số sau




Lời giải:




§2. ĐẠO HÀM RIÊNG.

2.1. Đạo hàm riêng:

2.1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số ,z f x y xác định trong miền D, điểm 0 0 0,M x y D .

Nếu cho 0y y , với

0y là hằng số, mà hàm số một biến số 0,x f x y có

đạo hàm tại 0x x thì đạo hàm đó đƣợc gọi là đạo hàm riêng đối với x của

hàm số ,f x y tại 0 0,x y .

Ký hiệu : 0 0' ,xf x y hay 0 0,f

x yx

hay 0 0,

zx y

x

Nghĩa là : 0 0 0 0

0 00

, ,' , limx

x

f x x y f x yf x y

x

Tƣơng tự : Đạo hàm riêng đối với y của hàm số ,f x y tại 0 0,x y , kí

hiệu:

0 0 0 0

0 00

, ,' , limy

y

f x y y f x yf x y

y

Chú ý :

Đạo hàm riêng của hàm số n biến độc lập ( n > 2) định nghĩa

tƣơng tự.

Khi tính đạo hàm riêng của một biến nào đó xem biến còn lại nhƣ

một hằng số.

2.1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng:

Gọi S là đồ thị của hàm số ,z f x y .




1C là giao tuyến của S với mặt phẳng

0y y .

1T là tiếp tuyến của giao tuyến

1C của mặt phẳng S với mặt phẳng 0y y

tại điểm 0 0 0, ,P x y z .

(1C là đồ thị của hàm 1 biến số 0,y f x y trên mặt phẳng

0y y )

2T là tiếp tuyến của giao tuyến

2C của mặt phẳng S với mặt phẳng 0x x

0 0' ,xf x y = Hệ số góc của tiếp tuyến 1T của 1C tại 0 0 0, ,P x y z với

0 0 0,z f x y .

0 0' ,yf x y = Hệ số góc của tiếp tuyến 2T của 2C tại 0 0 0, ,P x y z với

0 0 0,z f x y .

2.2. Đạo hàm riêng cấp cao:

2.2.1 Định nghĩa :

Cho hàm số ,z f x y . Các đạo hàm ' , 'x yf f là những đạo hàm riêng cấp

một. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng

cấp hai. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp hai gọi là đạo hàm riêng

cấp ba,....

Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai nhƣ sau :

2

2//

2,

x

f ff x y

x x x

2

// ,yx

f ff x y

x y x y




2

// ,xy

f ff x y

y x y x

2

2//

2,

y

f ff x y

y y y

2.2.2 Định lý :

Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm 0 0 0,M x y hàm số

,z f x y có các đạo hàm riêng / / / /

yx,xyf f và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại

0M thì / / / /

yxxyf f tại 0M .

Ví dụ 2.1: Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau




Lời giải:




Ví dụ 2.2: Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của đạo hàm riêng của

các hàm số ,f x y sau :

Lời giải:




Ví dụ 2.3:

Lời giải:




Ví dụ 2.4:

Lời giải:




§3: VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀ VI PHÂN CẤP HAI

3.1 Đinh nghĩa :

Cho hàm số ,z f x y xác định trong miền 2D R , 0 0 0,M x y và

0 0;x yM x y là hai điểm thuộc D.

Nếu số gia 0 0 0 0 0 0, ; ,x yf x y f x y f x y có thể biểu diễn dƣới

dạng 0 0, x x yf x y A B y thì ta nói hàm số ,f x y khả vi tại

0 0 0,M x y , biểu thức x yA B gọi là vi phân toàn phần của hàm số ,f x y

tại 0 0,x y ứng với các số gia ,x y và đƣợc ký hiệu là 0 0,df x y hay dz.

Hàm số ,f x y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của

miền ấy.

Chú ý :

Nếu ,f x y khả vi tại 0 0,x y thì tồn tại các đạo hàm riêng

0 0 0 0' , , ' ,x yf x y f x y .

Khác với hàm số một biến , nếu hàm số hai biến ,f x y có các đạo

hàm riêng 0 0 0 0' , , ' ,x yf x y f x y thì chƣa chắc nó đã khả vi tại 0 0,x y .

3.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến :

Định lý :

Nếu hàm số ,z f x y có các đạo hàm riêng trong một miền D, chứa điểm

0 0 0,M x y và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại 0M thì hàm số ,f x y

khả vi tại 0M , vi phân toàn phần của ,f x y tại 0M đƣợc tính theo công thức

:




0 0 0 0 0 0, ' , ' ,x x y ydf x y f x y f x y

Chú ý : Ta có ;x ydx dy do đó :

0 0 0 0 0 0, ' , ' ,x ydf x y f x y dx f x y dy

3.3. Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng:

Khi ,x y khá nhỏ, ta có thể xem 0 0,f x y xấp xỉ bằng 0 0,df x y tức là:

0 0 0 0 0 0, ' , ' ,x x y yf x y f x y f x y hay

0 0 0 0 0 0 0 0; , ' , ' ,x y x x y yf x y f x y f x y f x y .

3.4. Điều kiện để biểu thức , ,P x y dx Q x y dy là một vi phân toàn

phần:

Định lý:

Giả sử các hàm số , , ,P x y Q x y có các đạo hàm riêng liên tục trong một

miền D nào đó. Biểu thức , ,P x y dx Q x y dy là một vi phân toàn phần khi

và chỉ khi :

; ,P Q

x y Dy x

3.5. Phƣơng trình của tiếp tuyến, pháp diện của đƣờng cong tại một

điểm.

3.5.1. Đường cong trong không gian.




Cho ,I R t I , Ánh xạ cho tƣơng ứng

mỗi số thực t với một vecto trong 3R duy nhất

r t gọi là một hàm vecto. Nếu , ,x t y t z t là

ba thành phần của vecto r t thì ta viết :

, ,r t x t y t z t

hay r t x t i y t j z t k .

Đặt OM r t , điểm M có tọa độ là , ,x t y t z t .Giả sử các hàm số

, ,x t y t z t liên tục trên I.

Khi t biến thiên trong I điểm M vạch nên một đƣờng cong C liên tục

trong 3R . Ta nói rằng , ,x x t y y t z z t là các phƣơng trình tham số

của đƣờng cong C.

r t x t i y t j z t k là phƣơng trình vecto của đƣờng cong C.

3.5.2. Phương trình của tiếp tuyến.

Giả sử các điểm

0 0 0 0, ,M x t y t z t và 0 0 0, ,M x t h y t h z t h

thuộc đƣờng cong C. Các hàm số , ,x t y t z t khả vi tại 0t thì

0 0 0 0' ' , ' , 'r t x t y t z t . Vị trí giới hạn của cát tuyến 0M M khi M dần

tới 0M trên đƣờng cong C nếu tồn tại là tiếp tuyến của C tại 0M . Điểm




, ,P x y z thuộc tiếp tuyến C tại 0M khi và chỉ khi

0M P cùng phƣơng với

0'r t , nghĩa là phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong C tại 0M là :

0 0 0

0 0 0' ' '

x x t y y t z z t

x t y t z t

3.5.3. Pháp diện của đường cong :

Mặt phẳng đi qua 0M vuông góc với tiếp tuyến của đƣờng cong C tại

0M gọi là pháp diện của đƣờng cong C tại 0M . Điểm , ,P x y z nằm trên pháp

diện của đƣờng cong C tại 0M khi và chỉ khi 0 0'M P r t hay 0 0. ' 0M P r t

, nghĩa là phƣơng trình pháp diện của đƣờng cong C tại 0M là :

0 0 0 0 0 0' ' ' 0x x t x t y y t y t z z t z t

Ví dụ 3.1:

Lời giải:




Ví dụ 3.2:

Lời giải:




§4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN

4.1. Đạo hàm của hàm số hợp

4.1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số ,z f u v , trong đó ,u u x v v x là những hàm số

của x. Ta nói rằng ,z f u x v x là hàm số hợp của x.

Định lý :

Nếu ,z f u v là hàm số khả vi của u, v và ,u u x v v x là những

hàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có :

dz f du f dv

dx u dx v dx

(1)

4.1.2. Định nghĩa 2:

Cho ,z f u v , trong đó , , ,u u x y v v x y là những hàm số của hai

biến số độc lập x,y. Khi đó , , ,z f u x y v x y là hàm số hợp của x,y.

Định lý :

Nếu hàm số ,z f u v là hàm số khả vi của u,v và các hàm số

,u u x y ,

,v v x y có các đạo hàm riêng ' , ' , ' , 'x y x yu u v v thì tồn tại các đạo hàm riêng

,z z

x y

và ta có :

z f u f v

x u x v x




z f u f v

y u y v y

4.2. Đạo hàm của hàm số ẩn.

4.2.1. Định nghĩa hàm ẩn:

Giả sử hai biến số x,y rằng buộc với nhau bởi phƣơng trình , 0F x y

. Ta nói y f x là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho

khi thế

y f x vào phƣơng trình , 0F x y ta đƣợc một đồng nhất thức.

4.2.2. Đạo hàm của hàm ẩn

Nếu ,F x y khả vi trừ một số điểm, hàm số y f x khả vi thì :

' ', , ' 0x yF x y F x y y

hay y'=

'

'

,'

,

x

y

F x yy

F x y nếu ' , 0yF x y

Ví dụ 4.1:

Lời giải:




Ví dụ 4.2:

Lời giải:

Ví dụ 4.3:




Lời giải:

Ví dụ 4.4:

Lời giải:




Ví dụ 4.5:

Lời giải:




§5. CỰC TRỊ

5.1. Cực trị tự do của hàm số hai biến số:

5.1.1. Định nghĩa :

Hàm số ,z f x y gọi là đạt cực trị tại điểm 0 0 0,M x y nếu mọi điểm

,M x y khá gần điểm 0M nhƣng khác

0M hiệu 0f M f M có dấu

không đổi.

0 0F M f M 0M điểm cực tiểu; 0f M giá trị cực tiểu.

f M - 0f M <0 0M điểm cực đại ; 0f M giá trị cực đại.

Cực đại hay cực tiểu gọi chung là cực trị , Điểm 0M đƣợc gọi là điểm

cực trị.

5.1.2. Điều kiện cần của cực trị

Định lý :

Nếu hàm số ,z f x y đạt cực trị tại điểm 0 0 0,M x y và tại đó các đạo

hàm riêng tồn tại thì 0 0' , 0xf x y , 0 0' , 0yf x y

Những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một bằng 0, gọi là điểm dừng.

5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị :

Giả sử 0 0 0,M x y là một điểm dừng của hàm số ,f x y và hàm số ,f x y

có các đạo hàm riêng cấp hai ở lân cận điểm 0M . Đặt

//

0 0,xxA f x y , //

0 0,xyB f x y , //

0 0,yyC f x y . Khi đó :

Nếu 2 0B AC thì ,f x y đạt cực trị tại 0M và đạt cực tiểu nếu

0A ., cực đại nếu 0A




Nếu 2 0B AC thì ,f x y không đạt cực trị tại 0M

Nếu 2 0B AC . thì chƣa kết luận đƣợc ,f x y đặt cực trị jay

không đạt cực trị tại 0M .

5.2. Cực trị có điều kiện:

5.2.1. Khái niệm:

Cực trị của hàm số ,z f x y trong đó các biến số x và y bị ràng buộc

bởi hệ thức , 0g x y là cực trị có điều kiện.

5.2.2. Định lý:

Giả sử 0 0 0,M x y là điểm cực trị có điều kiện , 0g x y . Nếu ở lân

cận 0M hàm số , , ,f x y g x y có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và các

đạo hàm riêng ' , 'x yg g không đồng thời bằng 0 tại 0M , khi đó ta có tại

0M :

' '

'0

'

x y

xx

f f

gg

Chú ý:

Nếu các điều kiện của định lý thỏa mãn thì tồn tại một số sao cho tại

điểm 0M ta có :

'

'

' , , 0

' , , 0

x x

y y

f x y g x y

f x y g x y

Hệ phƣơng trình này cùng với phƣơng trình , 0g x y giúp tìm

0 0, ,x y . Số đƣợc gọi là nhân tử Lagrange. Phƣơng pháp tìm 0 0, ,x y đƣơc

gọi là phƣơng pháp nhân tử Lagrange.




5.3. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến số trong một miền đóng

giới nội.

Muốn tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số ,f x y trong một

miền đóng giới nội D ta thực hiện các bƣớc sau:

Tính các giá trị của f tại các điểm dừng thuộc miền D

Tính các giá trị của f tại các điểm biên của D

Số lớn nhất trong các giá trị đã tính ở trên là giá trị lớn nhất, số bé nhất

trong các giá trị đã tính ở trên là giá trị bé nhất cần tìm.

Ví dụ 5.1:

Lời giải:




CHƢƠNG VI:PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I.

1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 1

Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp 1 là phƣơng trình dạng F(x,y,y') =

0. Nếu từ phƣơng trình đã cho giải đƣợc theo y' thì phƣơng trình có dạng y' =

f(x,y).

Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình y' = f(x,y)

thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0, trong đó (x0, y0) là các giá trị cho trƣớc. Bài

toán Cauchy đƣợc viết

0

0x x

y' f x,y 1

y y 2

Điều kiện (2) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy.

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (1), (2). Giả sử

f(x,y) liên tục trên 2D , và 0 0x ,y D . Khi đó, trong một lân cận nào đó

của x0, bài toán Cauchy (1), (2) luôn có nghiệm. Nếu có thêm điều kiện

'yf x,y liên tục trên D, thì nghiệm là duy nhất.

Nghiệm tổng quát. Ta gọi ghiệm tổng quát của phƣơng trình y' = f(x,y) là

hàm số y (x,C) , trong đó C là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Hàm số y (x,C) thỏa mãn phƣơng trình đã cho với mọi giá trị của

C.

b) 0 0x ,y D , với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất

nghiệm đƣợc thỏa mãn, luôn tìm đƣợc giá trị của hằng số 0C C , sao cho

nghiệm 0y (x,C ) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2).




Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát

hoặc tích phân tổng quát, ta cho C giá trị cụ thể C0, thì nghiệm nhận đƣợc gọi

là nghiệm riêng hoặc tích phân riêng.

Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng

quát.

Những nghiệm nhƣ vậy gọi là nghiệm kỳ dị.

2. Phƣơng trình phân ly.

Là phƣơng trình dạng f(x)dx + g(y)dy = 0.

Cách giải: Tích phân hai vế phƣơng trình, đƣợc f (x)dx g(y)dy C .

Gọi F(x) và G(y) là các nguyên hàm tƣơng ứng, thì tích phân tổng quát

của phƣơng

trình là F(x) + G(y) =C.

Ví dụ: Giải phƣơng trình xe 1 ydx y 1 dy 0 .

Giải: Nếu y 0 , chia hai vế cho y, đƣợc x 1e 1 dx 1 dy 0

y

Tích

phân hai vế,đƣợc xe x y ln y C . Ngoài ra, y(x) 0 cũng là nghiệm.

Nghiệm này không nằm trong họ nghiệm tổng quát, nên là nghiệm kỳ dị .

3. Phƣơng trình thuần nhất.

Là phƣơng trình có dạngy

y' fx

.

Cách giải: Đặt y = tx. Đạo hàm theo x, đƣợc y' = xt' + t. Thế vào phƣơng

trình đã cho,đƣợc xt ' f t t . Nếu f t t 0 , chia hai vế cho x(f(t) - t)

đƣợc




y

x

t

dt dx dt dxln x t lnC x Ce

f t t x f t t x

.

Nếu f(t) t, thì y' = y/x. Nghiệm tổng quát là y = Cx.

Nếu tồn tại t0 sao cho f(t0) = t0 thì thử trực tiếp, thấy y = t0x là nghiệm

riêng.

Ví dụ: Giải phƣơng trình x y

y'x y

.

Giải: Chia tử và mẫu cho x, dễ thấy đây là phƣơng trình thuần nhất. Đặt y

= tx, đƣợc

2

2

1 t 1 t 1 t dx 1 txt ' t xt ' t dt.

1 t 1 t 1 t x 1 t

Tích phận hai vế, đƣợc 21

ln x arctan t ln(1 t )2

+ lnC. Vậy

yarctan

2 2 xx y Ce

.

4. Phƣơng trình khuyết biến.

a) Phƣơng trình khuyết y. Dạng phƣơng trình là F(x,y') = 0.

+ Nếu giải đƣợc y' = f(x) thì nghiệm tổng quát là y = f x dx + C.

+ Nếu giải đƣợc x = g(y') thì đặt y' = t đƣợc

dy tdx tg' t dt y tg ' t dt

Ngoài ra x = g(t). Vậy nghiệm tổng quát dạng tham số là x = g(t);

y tg ' t dt

Ví dụ: Giải phƣơng trình x = y'2 + y' + 1.




Giải: Đặt y' = t, đƣợc x = t2 + t + 1. Từ đó dy = tdx = t(2t + 1)dt,

32t t

y C3 2

. Nghiệm của phƣơng trình là32t t

y C3 2

; x = t2 + t +

1.

+ Nếu giải đƣợc x, y' dạng tham số x = f(t) ; y' = g(t) thì dy = f(t)dx = g(t)f

'(t)dt.

Do đó y = g t f ' t dt +C. Vậy nghiệm tổng quát là

x f t

y g t f ' t dt C

Ví dụ: x2 + y'

2 = 1.

Giải: đặt x = cost ; y' = sint. Từ đó

2dy sin tdx sin tdt 1 cos2t dt / 2 .

Vậy t sin2t

y C4

. Đáp số { x = cost ;

t sin2ty C

4

}.

b) Phƣơng trình khuyết x. Dạng phƣơng trình là F(y,y') = 0.

+ Nếu giải đƣợc y' = f(y) thì dy dy

dx x Cf y ln y

.

+ Nếu giải đƣợc y = g(y') thì đặt y' = t. Do dy = tdx nên g'(t)dt = tdx. Vậy

g' t g ' t dtdx dt x C

t t . Vậy nghiệm tổng quát là

g ' t dtx C

t

y g t

Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 y 'y y' e .

Giải: Đặt y' = t, nhận đƣợc




2 t 2 t t ty t e . Có dy y'dx 2t t e dt tdx dx 2 t e dt x t 1 e

. Vậy nghiệm tổng quát là t 2 tx t 1 e C; y t e .

+ Nếu giải đƣợc y, y' dạng tham số y = f(t) ; y' = g(t) thì do dy = y'dx,

nên f '(t)dt = g(t)dx. Do đó

f ' t dtx dt C

g t Vậy nghiệm tổng quát là

y f t

f ' t dtx C

g t

Ví dụ: 2 2y y' 1 .

Giải: Từ phƣơng trình đã cho, đƣợc y cos t ; y sin t . Do dy = y'dx

nên costdt = costdx, dt = dx, x = t + C. Đáp số y sin t sin(x C) .

5. Phƣơng trình tuyến tính.

Là phƣơng trình có dạng y' + p(x)y = f(x).

Nếu f(x) 0 thì phƣơng trình trên đƣợc gọi là phƣơng trình thuần nhất

a) Giải phƣơng trình thuần nhất y' + p(x)y = 0.

Nếu y 0 , chia hai vế cho y, phƣơng trình trở thành phân ly biến

p x dxdy

p x dx, ln y p x dx ; y Cey

. Trƣờng hợp y = 0 cũng là

nghiệm

và là nghiệm riêng khi C = 0

b) Giải phƣơng trình không thuần nhất y' + p(x)y = f(x).

Chúng ta tìm nghiệm dƣới dạng p x dx

y C x e , trong đó C(x) là hàm số

cần tìm.




Tính đạo hàm từ biểu thức của y rồi thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc

p x dx p x dx'xC x e p x C x e

p x dx

p x C x e

p x dx p x dx'

x

f x

C x f x e ; C x f x e dx

Vậy nghiệm tổng quát là p x dx p x dx

y f x e dx K e .

Phƣơng pháp tìm nghiệm nhƣ trên gọi là phƣơng pháp biến thiên hằng số.

Nếu đã biết

một nghiệm riêng thì ta dễ dàng tìm đƣợc nghiệm tổng quát nhờ định lý

sau:

Định lý. Gọi Y(x) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất y' +

p(x)y = 0

và gọi y*(x) là nghiệm riêng của phƣơng trình không thuần y' + p(x)y =

f(x),

thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất là y = Y(x) +

y*(x).

Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình 2y

y' xx

, y(1) = 1.

Giải: Theo công thức nghiệm tổng quát, đƣợc

dx dx 32x x

xy e K x e Kx .

2

Khi x = 1, thay vào nghiệm tổng quát, đƣợc K = 1/2. Vậy nghiệm riêng

cần tìm là

y = x(1 + x2)/2 .

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình y ye xe 1 y' 0 .




Giải: Coi x là hàm của y, phƣơng trình đã cho viết thành eyx' + (xe

y - 1) =

0, hay

x' + x = e-y

. Vậy nghiệm tổng quát là

dy dyy yx e K e e dy e K y

6. Phƣơng trình Bernoulli.

Là phƣơng trình có dạng y p(x)y y q(x) (với 1 ).

Cách giải: Chia hai vế cho y , đƣợc - 1-y y' p(x)y q(x) . Đặt 1z y ,

đƣợc z (1 )y y . Phƣơng trình trở thành z (1 )z (1 )q(x) .

Đây là phƣơng trình tuyến tính đã biết cách giải.

Ví dụ: 2 4y

y' x yx

.

Giải: Chia hai vế cho y4 đƣợc

34 2y

y y' xx

. Đặt z = y

-3, đƣợc z' = -3y

-

4y'.

Phƣơng trình trở thành 4 23z

y y' 3xx

. Nghiệm tổng quát là

3dx 3dx

2 3 3x x

3

1z e K 3x e x K 3ln x , Thay z y , thì y

x. K ln x

7. Phƣơng trình vi phân toàn phần.

Là phƣơng trình dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

trong đó P, Q liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên miên D nào

đó.




Ngoài ra ' 'y yP Q , x,y D .

Cách giải: Với điểu kiện đã cho, vế trái của phƣơng trình là vi phân toàn

phần của hàm u(x,y) xác định bởi một trong hai công thức sau

0 0

yX

0

X y

u x,y P x ,y dx Q x,y dy hoặc

0 0

yX

0

X y

u x,y P x,y dx Q x,y dy

Trong đó (x0, y0) là điểm bất kỳ trong miền D. Khi đã có hàm u(x,y) nhƣ

trên thì nghiệm tổng quát là u(x,y) = C.

Ví dụ: Giải phƣơng trình (4xy2 + y)dx + (4x

2y + x)dy = 0.

Giải: Dễ kiểm tra điều kiện để vế phải là vi phân toàn phần. vậy tích phân

tổng quát của phƣơng trình là

1 1

2 2 2

0 0

0dx 4x y x dy C 2x y xy C .

Nhận xét: trong trƣờng hợp ' 'y yP Q , x,y D mà tồn tại hàm

(x,y) để phƣơng trình (x,y) P x,y dx Q x,y dy 0 là phƣơng trình

vi phân toàn phần.Khi đó hàm

(x,y) đƣợc gọi là thừa số tích phân.Nói chung không có phƣơng pháp

chung để tìm (x,y) khi nó phụ thuộc vào cả hai biến x,y.

Đặc biệt khi (x) thì ta có

y x

y x

P QP d Q dP Q Q

y dx x Q




Tƣơng tự khi (y) thì ta cũng tính đƣợc y xP Qd

P

qua đó ta tìm

đƣợc thừa số tích phân tƣơng ứng,từ đó có đƣợc phƣơng trình vi phân toàn

phần và tìm đƣợc nghiệm tƣơng ứng.




§2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

1. Đại cƣơng về phƣơng trình vi phân cấp 2.

Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình dạng F(x,y,y',y'')

= 0.

Nếu giải đƣợc phƣơng trình trên theo y' thì nó có dạng y'' = f(x,y,y').

Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình y' = f(x,y,y')

thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0, y'(x0) = y0' , trong đó x0, y0 ,y0' là các giá trị

cho trƣớc.

Bài toán Cauchy đƣợc viết

0 0

'0 0x x x x

y' f x,y,y' 3

y y ; y' y 4

Điều kiện (4) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (3, 4). Giả sử

các hàm số

f x,y,y' f x,y,y'

f x,y,y' , ,y y'

liên tục trên miền 3V .

Khi đó, với '0 0 0x y ,y V ,thì trong một lân cận nào đó của điểm x0, tồn

tại nghiệm

duy nhất y = y(x) của phƣơng trình (3) thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).

Nghiệm tổng quát. Ta gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình y' = f(x,y,y')

là hàm số

1 2y (x,C ,C ) , trong đó C1,C2 là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện

sau:




a) Hàm số 1 2y (x,C ,C ) thỏa mãn phƣơng trình đã cho với mọi C1,

C2.

b) '0 0 0x ,y ,y D , với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất

nghiệm đƣợc

thỏa mãn, luôn tìm đƣợc giá trị của các hằng số C1, C2 sao cho nghiệm

1 2y (x,C ,C ) thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).

Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát ta

cho C1, C2 các

giá trị cụ thể thì nghiệm nhận đƣợc gọi là nghiệm riêng.

Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng

quát.

Những nghiệm nhƣ vậy gọi là nghiệm kỳ dị.

2. Phƣơng trình khuyết.

a) Phƣơng trình khuyết y, y'. Dạng phƣơng trình F(x,y'') = 0.

Đặt y' = t, đƣợc F(x,t') = 0. Đây là phƣơng trình cấp 1 khuyết biến t đã biết

cách giải.

Nếu nghiệm của phƣơng trình này là t = f(x,C) thì nghiệm phƣơng trình

ban đầu là

y = T(x,C) + D, trong đó T(x) là nguyên hàm của f(x).

Ví dụ: Giải phƣơng trình y'' = x2 + xe

x + 1.

Giải:

3 4 2

2 x x x xx x xy' x xe 1 dx xe e x C y xe Cx D

3 12 2

b) Phƣơng trình khuyết y. Dạng phƣơng trình là F(x,y',y'') = 0.

Đặt y' = t, đƣợc F(x,t,t') = 0. Đó là phƣơng trình cấp 1 đối với t.




Ví dụ: Giải phƣơng trình 2

x 0 x 0y'' 1 x 2xy' ; y 1 , y' 3

.

Đặt t = y', đƣợc t'(1 + x2) = 2xt

2

2 2

t ' 2x 2xdxln t ln 1 x lnC

t 1+x 1+x

2 2 3Ct C 1 x y' C 1 x y x Cx D

3

Thay điều kiện đầu đƣợc x 0 x 0

y D 1; y' C 3. Nên y = x

3 + 3x +1.

c) Phƣơng trình khuyết x. Dạng phƣơng trình là F(y,y',y'')= 0.

Đặt y' = t, đƣợc ' ' 'y x yy'' t .y t t . Thế vào phƣơng trình, đƣợc F(y, t, t '

yt ) =

0. Đây là phƣơng trình cấp 1 đối với t(y).

Ví dụ: Giải phƣơng trình 2yy'' = y'2 +1.

Đặt y' = t, đƣợc yy t.t . Thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc

2y2yt t t 1 ;

2 2

2

2tdt dyln t 1 ln y lnC y C t 1

yt 1

.

Mặt khác, do y' = t, nên dy = tdx. Thế y từ kết quả trên vào đây,

đƣợc C2tdt tdx x 2Ct D .

Đáp số y = C(t2 + 1) ; x = 2Ct + D (dễ dàng viết dàng tƣờng minh).

3. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất.

Đó là phƣơng trình dạng y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. (5)

a) Cấu trúc nghiệm tổng quát.

Định lý. Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phƣơng trình thuần nhất (5),

thì 1 2y x Cy x Dy x cũng là nghiệm của phƣơng trình này.




Nếu có thêm điều kiện hai nghiệm riêng y1(x) và y2(x) độc lập tuyến tính

thì nghiệm

y = C y1(x) + D y2(x) là nghiệm tổng quát của (5).

(Hai hàm số y1(x), y2(x) đƣợc gọi là độc lập tuyến tính nếu phân thức

y1(x)/y2(x)

không đồng nhất bằng hằng số)

Chứng minh: Dễ kiểm tra rằng nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm của (5)

thì y(x) cũng là nghiệm của (5). Ta sẽ chứng minh y(x) là nghiệm tổng quát.

Xét điều kiện đầu bất kỳ 0 0

'0 0x x x x

y y ; y' y

. Khi đó

0 1 0 2 0

' ' '0 1 0 2 0

y Cy x Dy x

y Cy x Dy x

Đây là hệ phƣơng trình đại số tuyến tính với định thức của hệ khác 0(do

giải thiết về tính độc lập tuyến tính của y1 và y2). Vậy, hệ luôn có nghiệm, tức

là luôn tìm đƣợc các hằng số C, D để nghiệm y thỏa mãn điều kiện ban đầu.

ĐFCM.

Định lý trên cho thấy, để tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần

nhất, chỉ việc tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là đƣợc. Ngƣời ta chƣa

có cách chung để tìm hai nghiệm này. Tuy nhiên, nếu đã biết một nghiệm

riêng thì có thể tìm đƣợc nghiệm riêng thứ hai bằng phƣơng pháp dƣới đây.

b) Phƣơng pháp tìm nghiêm riêng thứ hai.

Bổ đề . Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm riêng của phƣơng trình (5) thì định

thức Wronsky

1 2

' '1 2

y x y xW=

y x y x thỏa mãn hệ thức

- p x dxW Ce .

Chứng minh. Vì y1(x), y2(x) là hai nghiệm của phƣơng trình (5), nên

1 1 1

2 2 2

y p(x)y q(x)y 0

y p(x)y q(x)y 0




Nhân hệ thức đầu với -y2, sau với y1, rồi cộng lại, đƣợc

1 2 2 1 1 2 2 1y y y y p x y y y y 0 Mà

'1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1W y y y y , W y y y y y y y y y y y y .

Thế vào kết quả trên, đƣợc

p x dxdW

W ' + p(x)W = 0 p x dx W(x) CeW

. ĐFCM.

Định lý. Nếu y1(x) 0 là một nghiệm riêng của phƣơng trình (5) thì

nghiệm riêng thứ hai y2(x), độc lập với y1(x) tìm đƣợc theo công thức

p x dx

2 1 21

1y x y x e dx

y x

Chứng minh. Theo bổ đề, có

- p x dx - p x dx - p x dx1 2 2 1

1 2 2 1 2 21 1

y y y y CW Ce y y y y Ce e

y y

(C=1,D=0)

- p x dx - p x dx - p x dx2 22 12 2 2

1 11 1 1

d y C y C 1e e dx +D y y e dx

dx y yy y y

Ví dụ: Giải phƣơng trình 21 x y'' 2xy' 2y 0 , biết một nghiệm riêng y

= x.

Giải: Chia hai vế cho 1- x2, thì

2

2 2

2x 2xdxp x p x dx ln x 1

1-x 1-x .

Vậy nghiệm thứ hai là

2ln x 1

p x dx p x dx

2 1 2 2 21

1 1 e 1y x y x e dx x e dx x dx x x

xy x x x

Từ đó nghiệm tổng quát y = Cx + D(x2 + 1).




4. Phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất.

Là phƣơng trình có dạng y'' p x y' q x y f x . (6)

Định lý. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình tuyến tính không thuần (6)

bằng tổng của nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng (5)

với một nghiệm riêng nào đó của phƣơng trình không thuần (6).

Nói cách khác, nghiệm tổng quát của (6) là y = Y(x) + y*(x), trong đó

Y(x) là nghiệm tổng quát của (5), y*(x) là nghiệm riêng của (6).

a) Phƣơng pháp biến thiên hằng số. Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của

phƣơng trình thuần nhất (5) là Y(x) = Cy1(x) + Dy2(x). Chỉ còn phải tìm

nghiệm riêng của (6) là xong. Ta Coi C, D là các hàm phụ thuộc x, và phải

tìm các hàm số này để biểu thức y(x) = C(x)y1(x) + D(x)y2(x) là nghiệm của

phƣơng trình (6).

Có 1 1 2 2y Cy C'y Dy D y . Chọn C, D sao cho 1 2C'y D'y 0 . Khi đó

y' = Cy1' + Dy2' (7)

Lấy đạo hàm, đƣợc 1 1 2 2y C'y Cy D'y Dy . Thế y' và y'' vào phƣơng

trình (6), đƣợc

1 1 2 2 1 2 1 2C'y Cy D'y Dy p Cy Dy q Cy Dy f x ;

1 1 1 2 2 2 1 2C y py qy D y py qy C'y D'y f x .

Vì y1, y2 là nghiệm của phƣơng trình thuần nhất, nên

1 2C'y D'y f x (8)

Tổng hợp điều kiện (7) (8) nhân đƣợc kết quả:

Định lý: Biểu thức y = Cy1 + Dy2 là nghiệm riêng của phƣơng trình không

thuần nhất (6) , nếu thỏa mãn hệ

1 2

1 2

C'y D'y 0

C'y ' D'y ' f x

Hệ trên là hệ đại số tuyến tính với ẩn C', D'. Từ đó tìm đƣợc C, D.




Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 21 x y 2xy 2y 1 x , biết một nghiệm

riêng của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng là y = x. (xem ví dụ ở mục trên)

Giải: Phƣơng trình viết thành 2 2

2x 2y' y' y 1

1-x 1 x

Theo bài giải đã có ở trên, nghiệm tổng quát của phƣơng tình thuần nhất

tƣơng ứng là

Y = Cx + D(x2 + 1), ở đây y1 = x ; y2 = x

2 + 1.

Để tìm nghiệm riêng, ta giải hệ

2 2

22

2 x 1C' 1 C x ln

C'x D' x 1 0 x 1x 1

x 1C' D'2x 1 D' D ln x 1x 1 2

Vậy nghiệm riêng là 2

2 2x 1 x 1y* x xln + ln x 1

x 1 2

. Nghiệm tổng

quát là

2

2 2 2x 1 x 1y Cx +D x 1 x xln + ln x 1

x 1 2

5. Phƣơng trình tuyến tính có hệ số không đổi.

Đó là phƣơng trình có dạng y'' + py' + qy = f(x), trong đó p, q là các hằng

số.

1) Giải phƣơng trình thuần nhất

y'' py' qy 0 (9)

Ta sẽ tìm các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phƣơng trình thuần nhất

dƣới dạng




y = ekx

, trong đó k là hằng số cần tìm. Có y' = kekx

; y'' = k2e

kx. Thế y'', y' ,

y

vào phƣơng trình đã cho, đƣợc

2 kx kx kxk e kpe +qe 0 hay 2 k +pk q 0 (10)

phƣơng trình (10) đƣợc gọi là phƣơng trình đặc trƣng. Xét các trƣờng hợp:

a) Nếu (10) có hai nghiệm đơn k1, k2. Khi đó phƣơng trình thuần nhất (9)

có hai nghiệm riêng 1 2k x k x1 2y e ; y e . Hai nghiệm này độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát là 1 2k x k xy Ce De .

b) Nếu (10) có nghiệm kép k0. Khi đó phƣơng trình thuần nhất (9) có một

nghiệm riêng 0k x1y e . Nghiệm tổng quát là 0k x

y C Dx e .

c) Nếu (10) có nghiệm phức k = a bi. Khi đó phƣơng trình thuần nhất (9)

có hai nghiệm riêng

a bi x a bi xax ax

1 2y e e cosb isinb ; y e e cosb isinb

.

Từ đó, ax ax1 2 1 2

1 2

y y y yz e cosb ; z e sin b

2 2i

cũng là hai nghiệm

riêng. Chúng độc lập tuyến tính, vậy nghiệm tổng quát là

axy Ccosb Dsinb e .

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của các phƣơng trình sau

(a) y 3y 2y 0

(b) y 4y 4y 0

(c) y 2y 5y 0

Giải: (a) Phƣơng trình đặc trƣng k2

- 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng

quát là

x 2xy Ce +De .




(b) Phƣơng trình đặc trƣng k2

+ 4k + 4 = 0, k = -2 là nghiệm kép. Nghiệm

tổng quát của phƣơng trình vi phân là 2xy C+Dx e .

(c) Phƣơng trình đặc trƣng k2

+ 2k + 5 = 0, (k +1)2 + 4 = 0, k = -1 2i.

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân là x y (C cos2 Dsin2 )e .

2) Phƣơng trình có vế phải đặc biệt.

Xét phƣơng trình y'' + py' + qy = f(x). Trong trƣờng hợp tổng quát, ta đã

biết cách giải phƣơng trình thuần nhất, nên có thể dùng phƣơng pháp biến

thiên hằng số để tìm một nghiệm riêng, từ đó tìm đƣợc nghiệm tổng quát của

phƣơng trình không thuần nhất đã cho.

Trƣờng hợp vế phải f(x) có dạng đặc biệt, chúng ta tìm đƣợc nghiệm riêng

một cách nhanh chóng nhƣ trình bày dƣới đây.

a) Trƣờng hợp xf (x) P(x)e , (P(x) là đa thức bậc n cho trƣớc).

Ta sẽ xác định dạng của nghiệm riêng y*(x), tùy theo các trƣờng hợp có

là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng hay không

+ Nếu không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng, xy e Q(x) .

+ Nếu là nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng, xy xe Q(x) .

+ Nếu là nghiệm kép của phƣơng trình đặc trƣng, 2 xy x e Q(x) .


(a) y'' 3y ' 2y 2x

(b) xy'' 3y' 2y xe

(c) xy'' 2y ' y 2 x 1 e


- 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng

quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng là Y = Cex

+ De2x

.




Vế phải f(x) = 2xe0x

, ( = 0). Vậy tìm nghiệm riêng dạng y* = ax + b.

Tính các đạo hàm của y* rồi thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc

- 3a + 2(ax + b) 2x, từ đó a = 1, b = 3/2.

Đáp số y = Cex

+ De2x

+ x + 3/2.

(b) Vế phải f(x) = xex. Có = 1 là một nghiệm riêng của phƣơng trình

đặc trƣng. Vậy tìm nghiệm riêng dạng y* = x(ax + b)ex = (ax

2 + bx)e

x. Tính

các đạo hàm:

2 x 2 x(y*) ax bx 2ax b e ax b 2a x b e

.

2 x 2 x(y*) ax b 2a x b 2ax b 2a e ax b 4a x 2a 2b e

Thế vào phƣơng trình đã cho, đƣợc

2 x

2 x x x

2 x

[ax (b 4a)x 2a 2b]e 1a

VF 3[ax (b 2a)x b ]e 2ax 2a b e xe 2

b 12[ax bx ]e

Đáp số x 2x xxy Ce De 1 e

2

.

(c) Phƣơng trình đặc trƣng k2

- 2k + 1 = 0, = 1 là nghiêm kép. Nghiệm

riêng có dạng 3 2 xy ax bx e . Tính các đạo hàm:

3 2 2 x 3 2 x(y*) ax bx 3ax 2bx e ax b 3a x 2bx e

.

3 2 2 x(y*) ax b 3a x 2bx 3ax 2 b 3a x 2b e

= 3 2 xax b 6a x 4b 6a x 2b e





3 2 x x

3 2 x x

3 2 x

[ax (b 6a)x 4a 6b x 2b]e 4a 2b x 2b e

VF 2[ax (b 3a)x 2bx ]e 2x 2 e

[ax bx + ]e a 1 ; b 1

Đáp số x xy C Dx e 1 x e .

b) Trƣờng hợp axf x e P x cosbx Q x sinbx ,ở đó P(x) và Q(x) là

đa thức

Ta sẽ xác định dạng của nghiệm riêng Y(x), tùy theo các trƣờng hợp a ib

có là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng hay không

+ Nếu a ib không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng, tìm Y dạng

axY e U x cosbx V x sinbx .

+ Nếu a ib là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng, tìm Y dạng

axY xe U x cosbx V x sinbx .

Trong đó, U và V là đa thức cần tìm có bậc bằng bậc cao nhất của P và Q.


(a) y'' 3y ' 2y 4sin x 2cos x

(b) y'' y cosx .


- 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng

quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng là Y = Cex

+ De2x

.

Vế phải f(x) = sinx + cosx. Có I không là nghiệm của phƣơng trình đặc

trƣng.

Bậc cao nhất của các đa thức P, Q là 0.

Vậy ta tìm nghiệm riêng dạng y* = asinx + bcosx. Tính các đạo hàm của

y*




(y*) acosx bsin x ; (y*) asin x bcosx .


- asin x bcosx 3 acosx bsin x 2 asin x bcosx 4sin x 2cosx

a 3b sin x b 3a cosx 4sin x 2cosx a 1 ; b 1.

Đáp số x 2xy Ce De sin x cosx .

(b) Phƣơng trình đặc trƣng k2

+ 1 = 0, i là nghiệm . Bậc cao nhất của

các đa thức

P, Q là 0. Vậy nghiệm riêng có dạng y ax sinx bx cosx . Có:

(y*) a bx sin x b ax cosx

(y*) b b ax sin x a a bx cosx 2b ax sin x 2a bx cosx


2b ax sin x 2a bx cosx ax sin x bx cosx

2bsinx 2acosx 2cosx . Từ đó a = 1, b = 0.

Đáp số y Ccosx Dsin x xsin x .

c) Trƣờng hợp axf x P x cosbx Q x sinbx e .

Đặt y = zeax

, sẽ đƣa về dạng đã xét.

Ví dụ: Giải phƣơng trình xy'' 2y' 2y xe sinx .

Giải: Đặt x x xy ze . Có y' z ' z e ; y'' z '' 2z' z e . Thế vào

phƣơng trình đã cho, đƣợc z'' + z = xsinx

Theo cách giải của phần (b), tìm đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình

này là Ccosx Dsinx sinx xcosx

y 4

. Vậy nghiệm của phƣơng trình đã

cho là




xCcosx Dsinx sinx xcosx

y e4

.

d) Trƣờng hợp f(x) = f1(x) + f2(x), trong đó f1(x), f2(x) có dạng nhƣ đã xét.

Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm sau đây:

Định lý(Nguyên lý chồng chất nghiệm). Cho phƣơng trình

1 2y'' p x y' q x y f x f x (11)

Nếu 1y x là nghiệm riêng của phƣơng trình 1y'' p x y' q x y f x và

2y x là nghiệm riêng của phƣơng trình 2y'' p x y' q x y f x , thì

1 2y y x y x là nghiệm riêng của phƣơng trình (11).

Chứng minh định lý là dễ dàng.

Ví dụ: Giải phƣơng trình y'' - y' = 2cos2x

Giải: Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất là xY C De

Để tìm nghiệm riêng, ta phân tích vế phải: 2cos2x = 1 + cos2x. Vậy xét hai

phƣơng trình:

(1) y'' y' 1 . Nghiệm là 1y x .

(2) y'' y' cos2x . Nghiệm là 2

2 1y cos2x sin 2x

10 10 .

Đáp số: x 2 1y C De x cos2x sin 2x

10 10

giẢng viÊn: ts. nguyỄn ĐỨc trung nĂm hỌc: 2016 -2017 … trinh toan... · Đối với...

Documents