gestion de la production industrielle

GESTION DE LA PRODUCTION

INDUSTRIELLEINDUSTRIELLE

ISA2 & LST:PCM S6

I. EL ABOUDI

2009-2010

[email protected]

PLAN

• Introduction

• Gestion des stocks

• Planification de la production

• Programmation linéaire de la production

• Méthodes de prévision

• Méthodes d’ordonnancement de la production

• Le lancement et le suivi directs

• La gestion globale MRP(manufacturing ressources planning)

2

INTRODUCTION A LA GESTION DE LA PRODUCTION

Objectif de l’entreprise Durer longtemps (éternellement)

Satisfaire ses clientsProposer des produits innovants

répondants aux exigences des clients

dans les meilleurs délais et avec un

meilleur rapport qualité/prixConserver ou même

meilleur rapport qualité/prixConserver ou même

augmenter sa part

de marché

Vente des produits: maintenir l’équilibre budgétaire (achat matières premières,

payement de la main d’œuvre, machines,…

But de la gestion de la production: fluidifier et flexibiliser la production de façon à

optimiser le flux de trésorerie de l’entreprise

3


Sur quoi on peut agir pour atteindre ce but ?- Réduire les délais

- Réduire les prix

- Améliorer la qualité

Quels sont les moyens dont on dispose pour atteindre ce but?

- Moyens: toutes les actions que l’ensemble du personnel va mettre en point dans

son plan d’entreprise (mise en place de la qualité totale)

1- Prévoir à long terme (mois, années) pour assurer l’avenir de l’entreprise: planification, c’est

la conversion du plan d’entreprise en décision d’investissement humain et matériel (plan dela conversion du plan d’entreprise en décision d’investissement humain et matériel (plan de

production industriel)

2- Engager (moyen terme: semaines, mois) les commandes le plus rapidement possible:

programmation, on définit aussi le programme directeur de production (P.D.P), celui-ci donne

une image précise des fabrications à engager en fonction des données fournies par le service

commercial.

3- Suivre (court terme): il s’agit de l’exécution contrôlée du P.D.P, c.à.d. respecter les directives

du P.D.P et contrôler leur réalisation. Cette phase englobe principalement les fonctions

d’ordonnancement, lancement, gestion des stocks et expédition (programme d’assemblage).

4


Planification

Programmation (P.D.P)

Ordonnancement

Lancement

Gestion des stocks

Actions qui dépendent du type

des produits et du type de la

production: classification des

entreprises

Actions

Critères de classification des entreprises ?

5

TYPOLOGIE DES ENTREPRISES

1- Mode de réponse au marché

A- Mettre à disposition des

clients, des produits conçus

et réalisés à la commande

B- Produit terminé au moment de

la commande: sous ensembles ou

modules standards. Finition qui

nécessite des phases de

conception, approvisionnement et

fabrication complémentaires

C- a partir des stocks de

produits finis. La seule activité

directe vis-à-vis du client est la

mise à disposition (transport,

installation, assistance)

2- La structure des produits2- La structure des produits

A-Transformation divergente:

obtenir à partir d’une seule

matière première, plusieurs

produits finis

B- Transformation convergente:

obtenir à partir de plusieurs

composantes ou matières

premières un seul produit fini.

C-Transformation linéaire:

fabriquer à partir d’une seule

matière de base, un seul

produit fini.

Divergence de type ET: un

processus avec lequel un seul

produit de base aboutit à

plusieurs produits semi-finis

Divergence de type OU: Un

processus qui permet d’aiguiller

la fabrication vers tel ou tel

produit fini 6

plastiques Chocolat Aciérie


3- Répétitivité de la production: quantité produite et fréquence

Répétitive (en série ou en lots). Desprocessus adaptés à chaque produitsuivent un chemin complexe parmi les

Non répétitive (unitaires ou ensérie): chaque centre deproduction agit sur une partie duproduit en vue d’un processus final

Unité fabrication 1



Produit




Unité fabrication 4suivent un chemin complexe parmi lesressources de production qui sontpolyvalents

De masse répétitive en processusdirect: les produits suivent une chaînede façon presque permanente etcontinue.

La production de masse répétitive encontinu: le mode de fabrication estidentique au précédent et se déroule enpermanence (absence totale d’arrêt).




Matière première

Matière première

Unité fabrication Unité fabrication

7

4- La nature de la valeur ajoutée au produit


Main d’œuvre direct

Main d’œuvre indirecte:

� Savoir faire études (capacité d’innovation, créativité…)

� Savoir faire fabrication (maitrise du métier)

Service qui traduit la volonté de fournir une solution au problème du client plutôt qu’un

simple produit

Méthodes correspondantes: A chaque cas évoqué, correspond une technique de Méthodes correspondantes: A chaque cas évoqué, correspond une technique de gestion de production optimale

Horizon Long terme Moyen terme Court terme

Principe à appliquer Prévoir Engager Suivre

Application planification programmation Exécution

Gestion de

productionPlan industriel P.D.P

Programme d’assemblage final

Niveau de détail grossier moyen Fin

Actions sur Grandes masses (usine) Grandes unités (ateliers)Unités élémentaires(postes de travail)8

PLAN

• Introduction







• La gestion globale MRP

9

GESTION DES STOCKS

Le succès d'une organisation est déterminé, entre autres, par sa capacité de proposer le

bon produit (ou service) au bon moment et au bon endroit. Un stockage intelligent

contribue de manière décisive à cet objectif stratégique .

� Stocks de produits finis

� Stocks d'entrants de fabrication (matières premières, pièces sous-traitées)

Quels sont les différents types de stockage ?

� Stocks d'entrants de fabrication (matières premières, pièces sous-traitées)

� Stocks de pièces de rechange et de produits pour la maintenance des équipements de

production

� Stocks d'outillages et d'accessoires

� En-cours: articles qui ne sont plus des matières premières mais pas encore des

produits finis

10

GESTION DES STOCKS

Quels sont les rôles positifs du stockage ?

� Lissage de la production dans les cas nombreux où la demande subit des variations

saisonnières

� Réduction des délais de mise à disposition (dans le cas des stocks de produits finis)

� Robustesse par rapport à des indisponibilités de ressources de production

☺Assurer la production et éviter le risque de rupture

� Immobilisation de moyens financiers importants (ils peuvent représenter 25 à 30 % du

capital immobilisé)

� Utilisation d'espace

� Occultation d'insuffisances graves en matière de prévision et de gestion.

Quels sont les inconvénients du stockage ?

☻Investissement considérable et improductif11

GESTION DES STOCKS

Le but d’entreprise est de vendre ses produitsaux clients avec un taux de service aussi élevéque possible.

Le taux de service est le rapport entre lenombre de clients servis dans les conditionsnormales (quantité, délai,…)sur le nombre totaldes clients. Il a un impact direct sur la massed’argent investie dans les stocks.

Taux de

service %

Co

ût

du

sto

ck

60 70 80 90 100

Combien de produits finis doit-on maintenir en stock pour assurer un taux de service

correct ?

Tous les produits n’ayant pas la même valeur, ne seront pas gérés de la même façon !

CLASSIFICATION DES PRODUITS EN STOCK: METHODE PARETO ou ABC

12

GESTION DES STOCKS: Classification des produits (ABC)

Principe: Tracer le diagramme de PARETO en suivant les étapes suivantes:

1. Définir les éléments à analyser ou rechercher les critères d’analyse correspondants à laclassification désirée, exemple: Valeur=f(quantité), bénéfices=f(produits), heures defabrications=f(produits), nombre de travaux=f(postes), heures d’’arrêts=f(postes)

Cette analyse très classique permet de focaliser l’attention des gestionnaires sur les articles vitaux: � Sont classés A, les 20% d’articles du stock qui correspondent aux valeurs annuelles les plus grandes. � Sont classés B , les 45% d’articles qui suivent (représente 15% de la valeur annuelle). � Les 35% subsistants sont classés C (représente moins de 5% de la valeur annuelle).. Il arrive fréquemment que les articles A correspondent à 80% de la valeur annuelle totale. Il va de soi que la plus grande attention doit être dévolue à cette catégorie d’articles.

2. Établir le classement de ces éléments selon leurs valeurs du critère sur la période concernée3. Ordonner ces éléments (ordre décroissant des pourcentages en valeur du critère)4. Réaliser leur cumul des pourcentages en valeur du critère5. Tracer le diagramme de PARETO (pourcentage en valeur du critère cumulé en fonction des

produits à classifier) (choisir des échelles qui représente la courbe dans un carré)6. Pour interpréter la courbe: déterminer les classes de répartition des produits en calculant le ratio

de discrimination:

7. Selon la valeur de RD, on détermine les valeurs des classes A, B et Cselon le tableau suivant (page suivante)

8. L’exploitation des résultats consistera à savoir quelle technique de gestion des stocks il faudraappliquer aux différents produits selon la classe à laquelle ils appartiennent (chapitre suivant)

LongueurAB

LongueurACRD = C

A

B

13

GESTION DES STOCKS: Classification des produits (ABC)

RD Zone A B C

0.9<RD<1 1 10 10 80

0.85<RD<0.9 2 10 20 70

0.75<RD<0.85 3 20 20 60

0.65<RD<0.75 4 20 30 50

RD<0.65 5 Non interprétable

Choix du critère de classification ABC: (affaire de bon sens) connaissance

Exemple Les informations concernant le stock d’une entreprise sont:

Produit consommation Prix unitaire Produit Consommation Prix unitaire

1 3000 20 6 15000 73

2 20000 150 7 10000 37

3 5000 70 8 1500 33

4 4000 199 9 8000 2

5 500 178 10 1000 198

Analyser le critère consommation avec la méthode ABC

Choix du critère de classification ABC: (affaire de bon sens) connaissance

des problèmes du terrain !

14

MESURE DE L’ETAT DES STOCKS

Exemples des méthodes d’inventaire

Inventaire permanent: le stock est comptabilisé et enregistré et valorisé à chaquemouvement. Cette technique n’est applicable qu’à des faibles volumes ou à l’aide de l’outilinformatique avec un enregistrement automatique des entrées/sorties (système à codebarre).

Inventaire périodique: le stock est contrôlé par comptage manuel, comparé àl’enregistrement fait en cours de période (manuel ou informatique), enregistré, remis àjour si nécessaire et valorisé. Cette technique est la plus utilisée en entreprise.jour si nécessaire et valorisé. Cette technique est la plus utilisée en entreprise.

A retenir:

- Les articles pourront se répartir en classes d’après la méthode de PARETO (ABC),

et suivant la classe à laquelle ils appartiennent on appliquera une des méthodes de

réapprovisionnement,

- Pour chaque article il sera nécessaire de calculer statistiquement un seuil de

sécurité en fonction du risque de rupture qu’on accepte de prendre.

15

Coûts des Stocks

1. Définition: Coût des stock

On distingue entre le coût de possession, le coût de passation et le coût de rupture.

�Le coût de possession ou de maintien en stock comprend:� Coût d’opportunité (ce qu’on aurait pu faire avec l’argent si on l’avait pas investi dans le stock� Les salaires et charges des sections: gestion de stock, magasinage� Loyer et amortissement des locaux utilisés� Frais d’éclairage, chauffage,… de ces locaux,� Prix de l’énergie dépensée pour conserver la qualité des produits en stock� Entretien du stock et du matériel nécessaire à cet entretien� Loyer et amortissement des moyens de manutention� Frais administratifs (assurances…)� Frais administratifs (assurances…)� Perte par obsolescence, vol, détérioration,…

Soit Cp le coût de possession d’un article pendent une période

�Le coût de passation (d’acquisition) d’une commande comprend:

� Salaires et charges des sections d’achat, de réception, et de comptabilité� Frais de déplacement des commerciaux,� Fournitures et imprimés nécessaires, timbres, téléphone, fax,…� Amortissement des matériels et mobiliers utilisés� Loyer et amortissement des locaux occupés� Energie nécessaire pour éclairer, chauffer ces locaux,� Utilisation du service informatique

Ce coût est toujours estimé proportionnel au nombre de commandes passées

�� Soit CC le coût d’une commande (!! ne comprend pas le prix de la commande) 16

Coûts des Stocks

Coût de rupture (�� pénurie)

� La perte d’une vente ou d’une commande = perte d’un profit ponctuel� Pénalités suite à un retard de livraison = détérioration de l’image de marque de l’entreprise

(plusieurs retards entraînera la perte d’un client)

� Démontage des produits achevés pour récupérer des pièces manquantes (!! Cannibalisme)� Mise en œuvre des procédures d’approvisionnement d’urgence � Remplacement d’une pièce par une autre plus coûteuse sans augmentation du prix de

livraison (diminution des bénéfices)

☺☺☺☺ Comment limiter la pénurie et les retards ?

livraison (diminution des bénéfices)

Définition:

Soit Cr le coût de rupture, selon le cas, Cr sera estimé proportionnel à:

� nombre de pénuries constatées

� nombre de produits manquants multiplié par le temps

� nombre de jours d’arrêt

17

Fonction économique: Le but de la gestion de stocks est de les minimiser en respectantle taux de service donné. Ce niveau de service est quantifié par la probabilité de rupture.Si e (t) et s (t) représentent les débits d' entrée et de sortie d'un stock donné, le contenuinstantané dudit stock correspond à :

Définitions:

( ) )0()()()(0

CdttstetCt

−−= ∫Dans le cas un peu idéalisé d'une fonction s(t) constante et d’une réception

Fonction économique

Dans le cas un peu idéalisé d'une fonction s(t) constante et d’une réception

instantanée, on obtient l'évolution de la figure ci-dessous:

Il existe une quantité optimale moyenne qui permetde minimiser le coût des stocks en évitant toutepénurie, il s’agit de la quantité économique.

e (t) = Q pour t = nT e (t) = 0 pour t ≠ nT

� Comment calculer cette quantité optimale (Q, T fixes) ?

(voir modèle de Wilson)

Niveau du stock en fonction du temps 18

METHODES DE REAPPROVISIONEMENT

Un stock est défini par son niveau et par les variations qu’il subit dans le temps, les questions

centrales dans la gestion des stocks se résument à:

Quant il faut approvisionner ?

Combien faut-il commander ?

Quant il faut approvisionner ?

� Faut-il s’approvisionner à un intervalle de temps T (gestion calendaire)� Lorsque le niveau du stock devient inférieur à un niveau S déterminé (gestion à point de commande)� On passe la commande si au bout d’un temps T le stock devient inférieur au niveau S (gestion

calendaire conditionnelle)

Réponses liéesCombien faut-il commander ?

� Une quantité q fixée par calcul ou règle empirique, cette valeur sera constante si la demande est stationnaire, et variable si la demande est dynamique

� La quantité nécessaire pour recomplèter le stock au niveau S le jour de la livraison

La réponse à ces deux questions constitue en elle-même la décision dans le choix de la méthode deréapprovisionnement. Celle-ci dépend de la connaissance que l’on a a sur la demande:

Demande constante: régulière (fluctuation autour d’une valeur moyenne avec un écart type faible) et stabledans le temps

Demande statistique: la demande est fluctuante, mais statistiquement prévisible, à partir de l’étude desdemandes passées,

Demande anticipée: la demande est déterminée par la connaissance des ventes futures (fermes ouprévisionnelles) et non par référence aux consommations passées.

Réponses liées

19

Méthodes de réapprovisionnement selon la valeur des produits

Période fixe Période variable

Méthode Modèle Méthode Modèle

Quantité

fixe

M1: Quantité économique de commande:

Demande constante

Modèle de Wilson

M3: gestion à point de commande:

Demande statistique Modèle (q, s)

Quantité M2: Recomplètement

calendaire:M4:

Réapprovisionnement à la Méthodes de

Méthodes de gestion des stocks: classées par ordre de complexité

Quantité

variablecalendaire:

Demande statistiqueModèle (T, S)

Réapprovisionnement à la demande:

Demande anticipée

Méthodes de Prévision de la demande

Valeur du produit et méthode de réapprovisionnement correspondante:

Pièces de faible valeur, utilisées en grand nombre: Quantité économique de commande

Produits de moyenne consommation (tel que les produits volumineux, responsables d’un fort

coût d’immobilisation): Méthode 2 et 3

Produits de valeur importante (Produits de Classe A-PARETO): Méthode 4 20

Méthode de réapprovisionnement 1: Modèle de Wilson

Modèle de Wilson (EOQ: Economic Order Quantity): Trouvé par Harris en 1915, appliqué par le conseiller d’entreprise Wilson:

Hypothèses:

-La demande D est connue et constante sur la période d’étude- La pénurie est interdite- Le délai de livraison est nul: L = 0- Le coût de passation est Cc par commande- Le coût de possession d’un article pendent une période est Cp

� Coût d’une commande: Cc, soit des coûts moyens de commande par article: fc = Cc/Q

� Coût de possession égale à: CpQ²/2D(*), soit des coûts moyens de possession par article: fP = CPQ/2D� Coût de possession égale à: CpQ²/2D , soit des coûts moyens de possession par article: fP = CPQ/2D

On cherche la valeur Q* qui minimise la fonction: DQCQCffQC pcpc 2//)( +=+=

*Q (en stock) = Demande x période T , la quantité en stock moyenne est Q/ 2, d’où l’expression du coût de possession

Q

Coût

fP = CPQ/2D

fc = Cc/Q

Q*

pc ffQC =⇔min)(

Quantité économique de commande: p

cC

DCQ

2* =

Coût de stockage minimum: D

CCQC

pc2*)( =

Intervalle entre deux commandes: p

cDC

CT

2=

21

Exemple

Dans une entreprise, la demande hebdomadaire d’une pièce est de 200, le coût depossession d’un article est estimé à 0.5 € par semaine. Le coût administratif d’unecommande s’élève à 500 € auquel il faut ajouter 500 € de frais de livraison.

1- Calculer la quantité économique de commande

2- Calculer le délai entre deux livraisons

3- Calculer le coût moyen de stockage

Méthodes de réapprovisionnement: Modèle de Wilson

3- Calculer le coût moyen de stockage

Résultats:

�Q* n’est pas un nombre entier, il faut choisir entre 894 et 895 pièces. Il se peut aussi que les pièces soient livrées par palettes de 10, il faut donc choisir entre 890 et 1000 pièces.� Il se peut qu’un délai de livraison de 4,47 soit peu commode à gérer et l’on se ramènera à une livraison toute les quatre semaines (soit 800 pièces) ou cinq semaines (soit 1000 pièces).

Ces arrangement remettent-elles en question le calcul de Q*? Quel choix doit –en faire?

22

Modèle de Wilson: Analyse de sensibilité

S’il on commande Q au lieu de Q*, comment varie le coût C(Q) en fonction de C(Q*)?

+=

*

*

2

1

*)(

)(

Q

Q

Q

Q

QC

QC

Une variation relative de: induit une variation relative du coût de stockage:

−=*

*

Q

QQα

+=

ααβ

22

2

ββββ en fonction de αααα, ou sensibilité - Le coût de stockage est peu sensible à

la variation de Q : 10% autour de Q*

entraîne une variation de ββββ inférieure àentraîne une variation de ββββ inférieure à

1%, et compte tenu des incertitudes sur

Cp et Cc, ce résultat est acceptable.

-Qu’elle quantité Q doit-on choisir pour

faciliter la gestion des tournées de

livraison ( 4 semaines, ou 5 semaines) ?

- A variation égale, on retient la valeur

de Q supérieure à Q*:une quantité supérieure de 20% induit une

augmentation du coût de 1,67%, et inférieure à 20%

induit une augmentation de 2,5%.23

Modèle de Wilson: Estimation du coût de possession Cp

Difficile d’estimer Cp! il existe une méthode simple qui consiste à déterminer le coût de

possession annuel, en prenant un pourcentage γγγγ de la valeur moyenne V de l’article. Ce

pourcentage γγγγ est de l’ordre de 20 à 30%.

Il faut considérer la demande annuelle Dan pour calculer Q*, C(Q*), et T*:

V

CDQ can

γ2

* =an

cD

VCQC

γ2*)( =

Vγ anD

an

cVD

CT

γ2

* =T* est exprimée en années

Exemple

La demande annuelle d’une pièce est de 10000. Le coût de la livraison est de 500 € , et la

valeur moyenne d’une pièce est de 100 €, L’entreprise utilise un taux de possession de

30%. Calculer Q*, C(Q*) et T*.

24

Modèle avec coût variable: Prix de l’article fonction de la quantité commandée

Lorsque les quantités commandées passent certains seuils, le fournisseur peut réduire le prix

unitaire.

Exemple:

� 10 € par article si la commande est inférieure à 400

� 9,5 € par article si la commande est supérieure à 400 mais inférieure à 600

� 9 € par article au-delà de 600 articles

La demande D est de 100 articles par jour, le coût d’acquisition Cc= 1000 euros et le coût de

possession Cp = 1 euro par article.

On partitionne les commandes en intervalles [ai, bi]

de prix d’achat p . On doit minimiser le coût de

Détermination de l’optimum

25

de prix d’achat pai. On doit minimiser le coût de

revient global d’un article, c’est-à-dire la somme du

coût d’achat, du coût de possession et du coût

d’acquisition(ces deux derniers coûts ne sont pas

modifiés). La fonction à optimiser sur [ai, bi] est:

DQCQCpaQR pcii 2//)( ++=

Compte tenu de l’intervalle [ai, bi], trois cas se

présentent:Si bi < Q*, alors Qopti=bi

Si ai ≤≤≤≤ Q*≤≤≤≤ bi alors Qopti=Q*

Si ai > Q*, alors Qopti=ai

Algorithme de résolution

p

cC

DCQ

2* =1- Calculer

2- Sur chaque intervalle i, déterminer Qopti

et R(Qopti)

3- Garder Qoptk donnant Min R(Qopti)Application: Reprendre l’exemple pour lequel Q*=447, et

suivre l’algorithme de résolution.

Modèle avec coût variable: Coût de commande dépendant de la quantité

Le coût administratif d’une commande est indépendant des quantités, néanmoins, le coût de

livraison est fonction de la quantité livrée.

DQCQCQC i 2//)( +=

Exemple: on a le choix entre deux modes de transport en fonction de la quantité à livrer:

� Si la quantité est inférieure à 400 pièces: le plus compétitif est la livraison par route et Cc = 1000 euros

� Si la quantité est au dessus de 400 pièces, le rail l’emporte et Cc = 1500 euros.

On a un coût de commande Cci sur l’intervalle [ai, bi]. On, doit minimiser la somme des coûts de

possession et d’acquisition. La fonction à optimiser sur [ai, bi] est celle du modèle de base:

26

DQCQCQC pici 2//)( +=

Sur l’intervalle [0,∞[. Le minimum est : . Compte tenu de l’intervalle existant [ai, bi],on a

trois cas: p

ic

C

DCQ

2* =

Si bi < Qi*, alors Qopti=bi

Si ai < Qi*< bi alors Qopti=Qi*

Si ai > Qi*, alors Qopti=ai

Algorithme de résolution

p

ic

iC

DCQ

2* =1- Calculer

2- Sur chaque intervalle i, déterminer Qopti

et C(Qopti)

3- Garder Qoptk donnant Min C(Qopti)

Application: Reprendre l’exemple pour

lequel Q*=447, et suivre l’algorithme de

résolution.

Modèle de Wilson avec rupture de stock

On suppose que la pénurie est permise avec ventes différées. Le coût de pénurie Cr est proportionnel au

nombre d’articles manquants et à la durée de pénurie.

Soit P le nombre d’articles manquants. A la livraison, ces P articles seront livrés immédiatement (vente

différée) et le stock initial sera (Q – P).

Au bout d’un temps T1=(Q-P)/D, il y aura rupture de stock, pendent un temps T2 = P/D. Le coût moyen

par article est:

QD

PC

QD

PQC

Q

CPQC rpc

22

)(),(

22

+−

+=

La condition nécessaire pour minimiser le coût du stock en tenant compte de la pénurie est:

27

0),(),( ==

dQ

PQdC

dP

PQdC

p

cC

DCQ

ρ2

* =pr

rCC

C

+=ρ

Quantité économique de commande:

avec

Modèle avec pénurie

Cette méthode est appliquée si le réapprovisionnement se fait à intervalle régulier de période T. La quantité

de commande Q est déterminée afin de recomplèter le stock de début de période à un niveau S

prédéterminé. Lorsqu’il y a une pénurie de p articles en fin de période précédente , Q sera égale à S si les

ventes sont perdues, Q sera égale à p+S si les ventes sont différés. En général si α % de ventes est différée,

le reste perdu, Q sera égale à ααααp+S .

Méthodes de réapprovisionnement: Recomplètement calendaire

Avantages: � La gestion administrative de la commande est simplifiée� Il permet la mise en place des tournées de livraison régulières�Le contrôle du stock se fait lui aussi de manière régulière au moment de la passation de la commande.

Paramètres: La politique calendaire dépend des deux paramètres T et S. La période T découle deconsidérations extérieures telle que la mise en place de tournées régulières de livraison, du lissage dela charge du service de réception, c’est pourquoi, la période T sera considérée comme une donnée, etnous recherchons à trouver le niveau optimal de recomplètement S. L’optimisation a pour butd’assurer un taux de service fixé par l’entreprise ou de minimiser le coût du stock.

Hypothèses: La demande pendent la période T est aléatoire, mais statistiquement prévisible. Pourdéterminer la loi de la demande, on relèvera les demandes faites sur n périodes consécutives.Soit X=(x1, x2,…xn) la série ordonnée croissante des différents valeurs, ni le nombre d’observation dexi, et , la probabilité d’observer une demande X de valeur xi est donnée par:∑=

i

inN

NnpxXP ixii /)( ===28

Recomplètement calendaire: Modèle basé sur le taux de service

Définitions:

� La loi de probabilité discrète (ou fonction de répartition):

� La loi de probabilité continue (ou fonction de répartition):

∑=

==≤=i

k

kii xXPxXPxF

1

)()()(

∫ ==≤=

x

zdzzfxXPxF

0)()()(

La quantité de commande est déterminée à l’aide du modèle basé sur le taux de service

Le rôle du stock est de fournir les matières et composants nécessaires à la production. Le

critère retenu sera la probabilité de fournir (ou de servir) la demande. Il existe deux

indicateurs de service notés α et β:

� Si le problème réside dans l’existence d’une rupture, l’indicateur retenu sera la

probabilité de satisfaire la demande sans interruption, il est noté α .

� Si l’on considère que l’important est le nombre d’articles manquants, l’indicateur sera

le rapport entre le nombre d’articles fournis et la demande, il est noté β.

29

Recomplètement calendaire: Modèle basé sur le taux de service

Exemple

�� Un pharmacien vend chaque jour 6 à 9 boites d’un certain vaccin infantile obligatoire. Sur le mois

précédent, la loi de demande journalière a été:

X px F(x)

6 35% 35%

7 50% 85%

8 10% 95%

9 5% 100%

Ce vaccin doit être conservé au réfrigérateur. La place étant

comptée .

85.6%5*9%10*8%50*7%35*6)( =+++=XELa demande moyenne est de:

Le pharmacien décide de fixer le seuil de réapprovisionnement

à 7 boites.9 5% 100%

à 7 boites.

Considérant une période de fonctionnement de 100 jours:

�Sur 100 jours, il y a 15 jours pour lesquels la demande est supérieure strictement à 7. Certains

clients repartiront sans vaccin, le stock étant épuisé. Le service est donc pleinement assuré 85% du

temps, donc α = 85%.

� La demande moyenne étant de 685, en 100 jours, 685 vaccin ont été demandés (en moyenne),

Les 10 jours où la demande était de 8, un seul vaccin n’a pu être fourni (soit 10 vaccins sur 10

jours). Les 5 jours où la demande était de 9, deux vaccins n’ont pu être livrés sur le champs (soit 10

vaccins sur 5 jours). Soit une pénurie de 20 vaccins. On a pu fournir sans retard 665 vaccins sur

685, ce qui donne une valeur de: β = 97%30

Calcul du taux de service en temps α�� Pour être en rupture, il suffit que la demande X sur la période T excède le stock S en début de

période.

� La probabilité de rupture est donnée par:

�� La probabilité de service sans rupture est: αααα = F(S)

)(1)(1)( SFSXPSXP −=≤−=>

Exemple discret(1):

�� Dans un magasin de pièces détachées, la référence RT35 fait l’objet d’un réapprovisionnement

mensuel. Sa demande mensuelle suit la loi de probabilité discrète ci-dessous:

X px F(x)

4 5% 5%

5 10% 15%

6 25% 40%

7 30% 70%

8 15% 85%

9 10% 95%

10 3% 98%

11 2% 100%

L’objectif fixé par le directeur du magasin est de

pouvoir satisfaire tous les clients 90% du temps. Pour

cela, nous devons prendre S = 9. Le taux effectif de

satisfaction est de 95%.

31

Calcul du taux de service en temps αExemple continu (2):

�Une pièce est gérée selon la méthode de recomplètement calendaire. Sa demande

pendent l’intervalle T suit une loi normale de moyenne 1000 et d’écart type 100. On s’est fixé

une valeur de α=99%. Pour cette valeur, le tableau de la loi normale N(0,1) nous donne

� z = 2,33=[(S-1000)/100]

(voir valeurs de Fs utilisé pour calculer le stock de sécurité)

�� Le stock S en début de période pour assurer la valeur voulue de α sera: S = 1000+2,33*100

S = 1233 piècesS = 1233 pièces

32

Calcul du taux de service en pièces ββ est le rapport entre le nombre d’articles fournis sur la demande moyenne. Le nombred’articles fournis est égal au nombre d’articles demandés moyen E(X) moins le nombred’articles manquants P(S):

)(

)(1

)(

)()(

XE

SP

XE

SXE −=Ρ−=β

En pénurie, la demande x est supérieure à S et le nombre de manquants est (x-S). La

rupture moyenne est donnée par:

� Cas discret: ∑∞

−= xpSxSP )()(

� Cas continu:

∑=Sx

x

∫∞

=−=

SxdxxfSxSP )()()(

La demande moyenne E(X) est calculée à partir de:

� Cas discontinu:

� Cas continu:

∑∞

=

=0

.)(

x

xpxXE

∫∞

=0

)(.)( dxxfxXE33

Exemple discret:

�On reprend l’exemple précédent (1), mais l’objectif est que dans 90% des cas, le client repart avec les

pièces qu’il était venu chercher.

� Calculer la demande moyenne: E(X)=

�Nous voulons ββββ ≥≥≥≥ 90%, calcul de P(S):

Calcul du taux de service en pièces β

6.92

[ ])(1)()()(

11

1

11

1

11

1

SFSSGpSxppSxSP

Sx

x

Sx Sx

xx −−=−=−= ∑∑ ∑+=+= +=

x px F(x) x.px G P(S) ββββ

4 5% 5% 0.2 6.72 2.92 57.80%

5 10% 15% 0.5 6.22 1.97 71.53%

6 25% 40% 1.5 4.72 1.12 83.82%

7 30% 70% 2.1 2.62 0.52 92.49%

8 15% 85% 1.2 1.42 0.22 96.82%

9 10% 95% 0.9 0.52 0.07 98.99%

10 3% 98% 0.3 0.22 0.02 99.71%

11 2% 100% 0.22 0.00 0.00 100.00%

Le calcul de G s’obtient par

sommation des termes (x.px) et G

de la ligne d’en dessous et en

initialisant G(11) à zéro.

Pour avoir ββββ ≥≥≥≥ 90%, nous

prenons S = 7 et nous pourrons

satisfaire 92,49% des

demandes.34

Calcul du taux de service en pièces βLa détermination de β repose sur le calcul de P(S). Lorsque la demande X suit la loi normaleN(µ,σσσσ) de moyenne µ et d’écart type σ, on se ramène à la variable centrée réduite z = (X-µ)/ σσσσde loi N(0,1) avec: P(S)= σσσσ P(z) (voir diapo 41 ).

P(z) est calculée à partir de la fonction de répartition de la loi normale F(z) selon*:

zzzFe

zPz

−+=−

)(2

)(2/2

π

Pour la loi normale, la demande moyenne est égale à µ, et l’on obtient: µ

zP σβ )(1 =−

Exemple continu:

�On reprend l’exemple précédent (2): µ = 1000, σσσσ=100, ββββ= 99%.

� P(z) = 0.1, z = 0.9 et

S = 1000 + 0.9*100 = 1090

35

*: H. Molet, une nouvelle gestion industrielle, Edition 1997

Gestion calendaire de stock: Modèle basé sur le coût global

Exemples : stock à rotation nulle :

1- Un marchand de journaux achète chaque jour une quantité fixée d’un certain quotidien.Il paye chaque exemplaire 4DH et le revend à 6DH, soit une marge de 2DH. Si la demandeest supérieure à son stock, le marchand constate un manque à gagner de 2DH, d’où Cr =

2DH. Tout exemplaire non vendu lui est racheté 3DH par le groupe de presse, ce quiengendre une perte sèche de 1DH, d’où Cp=1DH.

2- Une entreprise fabrique en série des articles de mode et des gadgets. Si les séries sont

On distingue entre la gestion calendaire de stock à rotation nulle et à rotation non nulle

2- Une entreprise fabrique en série des articles de mode et des gadgets. Si les séries sonttrop longues, les articles restants sont écoulés à bas prix chez un soldeur (Cp est égal à laperte sèche), si les séries sont très courtes, il perd les clients (Cr est égal au manque àgagner).

Gestion calendaire de stock à rotation nulle

Stock à rotation nulle: lorsqu’il n’y a pas de report possible des invendus aux périodes suivantes.

Cas où la demande suit une loi de probabilité discrète: Exemple du pâtissier []:

Objectif: déterminer le niveau du stock initial S, qui est donc ici la variable de commande. Remarque: la période de révision calendaire, c.-à-d. l’intervalle entre deux approvisionnements (T) est fixé

par la nature de l’approvisionnement. Par exemple, un pâtissier met en fabrication des gâteaux chaque jour. Le libraire commande des journaux chaque jour, des périodiques chaque semaine ou chaque mois.

Le coût de fabrication d’un gâteau est de 25 F l’unité et le prix de vente est de 60 F l’unité. Supposons quela demande quotidienne de ce gâteau, que nous noterons X, suive une loi de Poisson de moyenne égale à2,5 gâteaux par jour (λ=2,5). Le tableau ci dessous reprend la distribution de probabilité du nombre X declients par jour pour ce produit. Dans ce tableau x indique une valeur possible de la demande et P(X = x)indique la probabilité d’occurrence de cette valeur.indique la probabilité d’occurrence de cette valeur.

Question du pâtissier: combien mettre de gâteaux en fabrication chaque jour pour maximiser son bénéfice ?

� Le coût de possession, Cp, lié `a l’invendu en fin de journée est 25 F, c.-à-d. le coût de production.� Le coût de rupture, Cr lié à une vente manquée est égal à la marge, c.-à-d.: 60 F - 25 F = 35F.� Le coût de commande, c.-à-d. CC , correspond au coût de mise en route d’une fabrication de gâteaux.

Réponse à la question: On doit déterminer S, le stock initial, de manière à minimiser:

ccrrpp ICSICSICSC ++= )()()(

Ip(S): le stock moyen résiduel en fin de journée et Ir(S), nombre moyen de ruptures sur la

journée. Ic le nombre moyen de commandes fixé par jour.


Résolution numérique du problème

- On prend pour S différentes valeurs de 1 à 6- Calculer le nombre de rupture ( valeurs positives de (x-S)) en fonction du stock initial et de la demande

observée x.- Calculer Ir(S), le nombre moyen de ruptures, pour chaque valeur de S, faire la moyenne pondérée de ce

nombre par la probabilité d’observer x.

∑+=

−=n

Sx

xr pSxSI

1

)()( n demandes observées

38

- Calculer le stock final possédé en fonction du stock initial (S) et de la demande observée (x) : c’est la partie

positive de (S-x).

- Calculer Ip(S), le stock moyen possédé en fonction du stock initial (S): pour chaque valeur de S, faire la moyenne pondérée du stock final (S-x) par la probabilité d’observer x.

- Calculer le coût moyen de possession du stock en appliquant la formule suivante:

- Tracer le graphique C(S) et en déduire la valeur de S optimale: S*

∑+=Sx 1

∑=

−=S

x

xp pxSSI

0

)()(

)(25)(35)( SISISC pr +=


39

Le Coût est une fonction convexe de S


Résolution analytique du problème

Le stock optimal S* est celui pour lequel le coût de gestion C(S*) est inférieur à celui des stocks

immédiatement inférieur et supérieur:

)()1(

)()1(

**

**

SCSC

SCSC

>−

>+

Pour déterminer S*, il suffit d’étudier l’´evolution de la différence de coût de stocks successifs définiecomme : C(S + 1) − C(S),

La différence des coût de deux stocks initiaux consécutifs:

40

[ ] [ ])()1()()1()()1( SISICSISICSCSC rrrppp −++−+=−+

La différence des coût de deux stocks initiaux consécutifs:

−−−−+

−−−+= ∑∑∑ ∑

+=+=

+

= =

n

Sx

x

n

Sx

xr

S

x

S

x

xxp pSxpSxCpxSpxSC

12

1

0 0

)()1()()1(

))(1()()()(

10

SFCSFCSXPCSXPCpCpC rprp

n

Sx

xr

S

x

xp −−=>−≤=

−

= ∑∑

+==

[ ] rrp CCCSFSCSC −+=−+ )()()1(

Détermination de la solution optimale: stock initial S* qui minimise le coût global:


Résolution analytique du problème

Les conditions d’optimalité deviennent:

0*)()( >−+ rrp CSFCC

0)1*()( <−−+ rrp CSFCC*)()1*( SF

CC

CSF

pr

r <=+

<− ρ

Application: exemple du pâtissier

41

583,02535

35 =+

=+

=pr

rCC

Cρ

3* =S

On en conclut qu’il est optimale de mettre en production 3 gâteaux chaque jour

Voir tables de la loi

de poisson

7576,0)3*(583,05438,0)21*( ==<=<==− SFSF ρPour λ = 2,5, on a


Cas où la demande suit une loi de probabilité continue [1]:

Exemple : Marchand des journaux

Un marchand de journaux qui vent un quotidien à 3,5F l’unité, qui lui-même l’acquièreà 2,8F auprès de son grossiste qui lui reprend les invendus au prix de 2,6F l’unité.

Le coût de rupture, Cr est lié à l’invendu et vaut donc la marge bénéficiaire:

3,5F - 2,8F = 0,7F

Le coût de possession, C , vaut la perte enregistrée par invendu, c’est-à-dire:Le coût de possession, Cp, vaut la perte enregistrée par invendu, c’est-à-dire:

2,8F - 2,6F= 0,2 F.

On suppose que la demande quotidienne suit approximativement une loi normale demoyenne E(X) = 300 et d’´ecart type σ = 20.

Question: quel est le nombre d’exemplaires à commander S de manière àminimiser le coût de gestion :

)()()( SICSICSC rrpp += ∫∫∞

−+−=S

r

S

p dxxfSxCdxxfxSCSC )()()()()(0

[1]: Vincent Giard, Gestion de la production et des flux, Ed 2003

La condition d’optimalité s’écrit dans le cas d’une loi continue : C’(S*) = 0


1.)()()()()(00

rrpr

S

rp CSFCCdxxfCdxxfCC −+=−+= ∫∫∞

−−=−== ∫∫∫∫∫

∞∞ S

r

S

pS

r

S

p dxxfdxxfCdxxfCdxxfCdxxfCdS

SdCSC

0000)()()()()(

)()('

S* est optimal si: ρ=+

=rp

rCC

CSF *)(

ρρρρ est donc la probabilité de ne pas

être en rupture de stock lorsque le

niveau initial est S*

43

+ rp CC

Application: exemple du marchand des journaux

niveau initial est S*

78,02,07,0

7,0 =+

=+

=pr

rCC

Cρ

Comme on ne dispose que de la table de la normale réduite, il faut réduire la variable aléatoire X en lui retranchant sa

moyenne et en la divisant par son écart type. On obtient:

78,0)20

300*( =−S

F 765,020

300* =−S

315* ≈SL’approvisionnement périodique optimal:

Gestion calendaire de stock à rotation nulle:

Les conséquences économiques de la solution optimale

La rupture du stock

Cas discret

Le nombre moyen des ruptures Ir(S) correspond au

nombre de demandes non satisfaites:

∑∑∑+=+=+=

−=−=n

Sx

x

n

Sx

x

n

Sx

xr pSxppSxSI

111

)()(

Pour la distribution de Poisson de paramètre λ[1]: )1(

1

−>=∑+=

SxPxp

n

Sx

x λ

44

)()1()( SxSPSxPSI r >−−>= λ

Loi de demande continue )()()()()( SxSPdxxxfdxxfSxSIss

r >−=−= ∫∫∞∞

Pour la distribution normale N(µ, σ) [1] : [ ]

πσ

σσ

2)(;

)(

)(.)()()(2St

SS

SSssr

etf

XESt

tgttPttfSI

−=−=

=>−=

Gestion calendaire de stock à rotation nulle:

Les conséquences économiques de la solution optimale

Le stock moyen possédé

Il correspond au stock résiduel moyen. Cet indicateur s’obtient à partir de la rupture

moyenne aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation[1]:

)()()( SIXESSI rp +−=

Le coût moyen

45

Le coût moyen

Le coût moyen C(S) peut être calculé par la relation suivante :

)()()()( SICSICSICSC ccrrpp ++=

Gestion calendaire de stock à rotation non nulle

On parle de stocks à rotation non nulle lorsque les invendus d’une période seront vendusaux périodes suivantes (ventes différées). C’est de loin le cas le plus répandu.

La variable de commande du système est S, le niveau de recomplètement, c’est-`a-dire leniveau du stock que l’on cherche à retrouver périodiquement.

Remarques: La différence fondamentale avec le cas du stock à rotation nulle:

La commande à passer pour un approvisionnement en début de période n’est plus fixe. Deuxcas sont possibles :

46

� Il reste un stock résiduel positif : dans ce cas, on commande la différence entre Set le stock résiduel;

� Le stock résiduel est nul : dans ce cas, on commande S augmenté des demandesnon satisfaites de la période précédente qui ont pu être reportées.

On suppose que la demande hebdomadaire d’ampoules de 60Watt suit une loi normale demoyenne 300 et d’´ecart type 20. Le réapprovisionnement se fait en début de semaine chezle grossiste au prix d’achat de 3 F l’unité. Les ampoules sont vendues au prix de 3,5 F l’unité.On suppose que la valeur moyenne annuelle d’un article est de 3F, et que le pourcentage γest de 20 %, d’où un coût de possession annuel par ampoule en stock de : 3 F × 0,2 = 0, 6 F.

Pour arriver à un coût de possession hebdomadaire, il faut tenir compte du nombre desemaines sur lesquelles la demande s’exprime. Ici, on suppose le magasin ouvert 52

Exemples : Electricien


47

semaines sur lesquelles la demande s’exprime. Ici, on suppose le magasin ouvert 52semaines par an, d’où un coût unitaire de possession : Cp = 0, 6 F /52 = 0, 0115 F

Calculons maintenant le coût unitaire de rupture: il correspond à la marge non réalisée parampoule : 3, 5 F − 3 F = 0, 5 F.

Quel est le niveau de recomplètement optimal S*?

Il n’y a pas de rupture de stock. C’est l’exemple d’une demande observée de 310. Le stock defin de période vaut donc :

320 − 310 = 10 ampoules.


Supposons qu’un niveau de recomplètement de 320 ait été choisi.

Evolution du stock: on peut supposer que la demande de 310 ampoules est également répartie sur toute la semaine et on peut faire une interpolation linéaire:

Cas d’une demande inférieure à S

48

le stock moyen possédé Ip(S):

2

)(

2

10320)(

xSSSI p

−+=+=

2

2)(:)(

xSSISxSi p

−=≤

on observe une rupture de stock. C’est le cas, par exemple, d’une demande observée de 350.On détermine à partir de quand le stock est nul. La demande, comme dans le cas sansrupture, est supposée uniformément répartie sur la semaine (cinq jours).La demande journalière est: 350/5=70 ampoules par jour.


L’évolution du stock moyen possédé est obtenue par:

Cas d’une demande supérieure à S

Le stock est nul au bout de T1:

ttS 70320)( −=

49

Le stock est nul au bout de T1:

Tx

SjoursT

/57,4

70

3201 ===

Le stock moyen possédé pendent T1:

1602

0320 =+

Le stock moyen possédé par période T :

146350

320.

2

320)( ==SI p

x

SSISxSi p 2

)(:)(2

=>x

SS

T

TSSI p 2

1

2)( ==

T1 T2


Cas d’une demande supérieure à S

Le stock moyen de rupture par période T :

x

SxSx

T

TSxSI r

−−=−= .2

2

2)(

T1 T2

( )Sx 2−

50

( )x

SxSISxSi r 2

)(:)(2−=>

28,1350*2

)320350()(

2=−=SI r


Détermination de la solution optimale S*: cas discret

Le stock moyen possédé Par période T: ∑∑+==

+−=n

Sx

xS

x

xp x

pSp

xSSI

1

2

02

)2

()(

∑+=

−=n

Sx

xr px

SxSI

1

2

2

)()(Le nombre moyen de rupture par période T:

nnS

Le coût de gestion global par unité de période T :

51

∑∑∑+=+==

−+

+−=

n

Sx

xr

n

Sx

xS

x

xp px

SxC

x

pSp

xSCS

1

2

1

2

02

)(

2)

2()(γ

r

n

Sx

xrp C

x

pSSFCCSS −

+++=−− ∑+= 1

2

12)()()1()( γγ

Pour déterminer S*, il suffit d’étudier l’´evolution de la différence de coût de stocks successifs définiecomme : γ(S) − γ(S-1),

∑+=

=n

Sx

xx

PSG

1

)(

)()2

1()()( SGSSFSL ++=

Soit:

rrp CSLCCSS −+=−− )()()1()( γγ



Les conditions d’optimalité deviennent:

0*)()( >−+ rrp CSLCC

0)1*()( <−−+ rrp CSLCC*)()1*( SL

CC

CSL

pr

r <=+

<− ρ

Application:

Une pièce donnée est en approvisionnement tous les 15 jours. On estime que son coût de pénurie parpériode est équivalent à 20 fois son coût de possession sur la même période. La demande sur 15 jours

52

période est équivalent à 20 fois son coût de possession sur la même période. La demande sur 15 joursvarie de 20 à 27 avec les probabilités du tableau ci-dessous. Calculer la quantité de recomplètementcalendaire S*.

S, x Px (%) F(x) Px/x G(S) L(S)

20 4

21 8

22 16

23 20

24 16

25 16

26 14

27 6


Détermination de la solution optimale S*: cas continu

ρ=+

=rp

rCC

CSL *)(

)()()( SSGSFSL +=

∫∞

=S

dxx

xfSG

)()(

Exemple: Dans un supermarché, la demande d’un article de très grande consommation suit une demande que

53

Dans un supermarché, la demande d’un article de très grande consommation suit une demande que l’on a pu approximer par la fonction de densité (avec λ =1/2000):

Cet article revient à 10F la pièce et le supermarché applique un coefficient de 35% pour estimer lescoûts de possession annuels. La direction a jugé que l’absence prolongée de cet article deconsommation courante serait mal perçue par les clients. Aussi, on estime que le coût de rupturedoit être proportionnel au nombre d’articles manquants et au délai de rupture, et on évalue ce coûtà 20 fois le coût de possession. Le réapprovisionnement est assuré tous les mercredis.

xxexfxSi

xfxSi

λλ −=≥

=<2)();0(

0)();0(



Vu que le coût de rupture est élevé par rapport au coût de possession, la rupture de stock ne seproduira que rarement. Dans ce cas, elle ne se produira qu’en fin de période, et l’on simplifiera leproblème en supposant que: T1=T et T2=0.

Le stock moyen possédé par période T : ∑∑+==

+−=n

Sx

x

S

x

xp pS

px

SSI

102

)2

()(

54

∑+=

−=n

Sx

xr pSxSI

1

)()(Le nombre moyen de rupture pendent la période T:



*)(2

2)1*( SF

CC

CCSF

rp

pr <=+−

<− τ

τ=+−

== ∫ rp

prS

CC

CCdxxfSF

2

2)(*)(

0


Appliquons la méthode simplifiée aux données numériques de notre exemple de ventes d’ampoules électriques:

977,00115,05,0*2

0115,05,0*2 =+−=τ

Nous disposons des valeurs de la loi normale N(0,1) correspondante à la variable centrée réduite:

220

300*023,0)

20

300*( =−

⇒=−=− SSµXP

σ

340* =SLe niveau optimal de recomplètement

55

340* =SLe niveau optimal de recomplètement

Gestion calendaire de stock à rotation non nulle:Les conséquences économiques de la solution optimale

La rupture du stock

Cas discret

Le nombre moyen des ruptures Ir(S) correspond au

nombre de demandes non satisfaites:

∑∑∑+=+=+=

−=−=n

Sx

x

n

Sx

x

n

Sx

xr pSxppSxSI

111

)()(

Pour la distribution de Poisson de paramètre λ[1]: )1(

1

−>=∑+=

SxPxp

n

Sx

x λ

56

)()1()( SxSPSxPSI r >−−>= λ

Loi de demande continue )()()()()( SxSPdxxxfdxxfSxSIss

r >−=−= ∫∫∞∞

Pour la distribution normale N(µ, σ) [1] : [ ]

πσ

σσ

2)(;

)(

)(.)()()(2St

SS

SSssr

etf

XESt

tgttPttfSI

−=−=

=>−=

Gestion calendaire de stock à rotation non nulle:Les conséquences économiques de la solution optimale

Le stock moyen possédé

Il correspond au stock résiduel moyen. Cet indicateur s’obtient à partir de la rupture

moyenne aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation[1]:

2

)(

2

)()(

SIXESSI r

p +−=

Le coût moyen

57

Le coût moyen

Le coût moyen C(S) peut être calculé par la relation suivante :

)()()()( SICSICSICSC ccrrpp ++=

Gestion à point de commande

La gestion par point de commande se caractérise par:

� Une quantité de commande économique constante, notée q

� Une périodicité de commande variable

On commande lorsque le stock passe en dessous du point de commande, s

Il y a deux cas de figure:

� La gestion (q, S) en univers certain, c.à.d. la demande est certaine, on commande

58

� La gestion (q, S) en univers certain, c.à.d. la demande est certaine, on commande

avant rupture de stock et il n’ y a pas de coût de rupture. La commande correspond à la

quantité économique. Elle est déterminée en appliquant le modèle de Wilson.

� La gestion (q, s) en univers incertain: le coût de rupture intervient. Les variables de

décision sont q et s, le point de commande seront déterminés de manière à réaliser un

taux de service en temps ou en pièces ou à minimiser le coût de gestion.

Gestion à point de commande

Hypothèses pour une étude générale

- La demande est connue statistiquement

Remarque : la différence entre la gestion calendaire (T,S) et à point de commande (q, s) réside dans ladéfinition de la période. Si le réapprovisionnement avec (T,S) est hebdomadaire, on s’intéresse àconnaitre la loi de demande sur la semaine, et si le délai de livraison est de quelques jours, et que l’onveut passer pour le même article à une gestion (q, s) , la connaissance de la demande hebdomadaireest peu précise, et la loi de demande journalière doit être déterminée.

- On note X la demande d’une période élémentaire et f(x) sa densité.

59

Etude générale de l’évolution du stock

L’évolution du stock entre deux points de commande consécutifs est décomposée en

deux phases:

� Le passage du point de commande au point de livraison correspondant

� Le passage du point de livraison au point de commande suivant

Gestion à point de commande: Etude générale

Le passage du point de commande au point de livraison correspondant

Description de phase: correspond à l’attente de livraison où la pénurie peut se produire. Comment?

La pénurie dépend uniquement du niveau s du seuil de commande et de la demande globale durant

cette période d’attente de durée L.

La demande pendent la phase d’attente de livraison (comme la demande X est aléatoire) XL est aussi

aléatoire. On note f(XL) sa densité. On note xL la demande réelle pendent L.

60

Cas 1: Si s ≥≥≥≥ xL , il y aura un stock résiduel de s-xL articles à l’arrivée de la nouvelle commande. Le

stock résiduel moyen R(s) est exprimé par:

LLL

s

xL dxxfxssR

L

)()()( ∫ −=

Cas 2: Si s < xL , il y aura une pénurie P(s) de (xL-s) . La pénurie moyenne est exprimée par:

LLLsx

L dxxfsxsPL

)()()( ∫∞

=−=


Le passage du point de commande au point de livraison correspondant

Lorsque le délai de livraison L est constant, cette première phase se modélise exactement comme

une gestion calendaire (T,S) en prenant:

� Pour période T = L

� Niveau de recomplètement S=s

� La loi de demande fL(xL)

Le passage du point de livraison au point de commande suivant

Description de phase: A la suite de la livraison, le stock initial est noté SInit. Il diminue de SInit à s

61

Description de phase: A la suite de la livraison, le stock initial est noté SInit. Il diminue de SInit à s

selon la loi de la demande X. La valeur moyenne de SInit dépend du devenir de la pénurie (phase 1).

Cas 1: Si les demandes sont différées, la quantité livrée q vient s’ajouter au stock résiduel R(s) ou

bien est diminué du nombre d’articles manquants P(s) s’il y a pénurie.

)()()(0

LLLLx

L XEsqdxxfxsqSInitL

−+=−+= ∫∞

=Cas 2: Si les demandes sont perdues, SInit est égale (q+s- xL ) lorsqu’il y a un stock résiduel et q s’il

y a pénurie. En moyenne:

LLL

s

xL dxxfxsqSInit

L

)()(0∫ =−+=


Durée moyenne entre deux livraisons (entre deux points de commande s)

Pour estimer la durée T entre deux livraisons, considérons la demande globale sur unhorizon assez long correspondant à n commande. Celle-ci est exprimée en fonction de lademande moyenne pour une période élémentaire E(X), de n et de T:La quantité livrée à la suite des n commandes est (nq).

� Si les demandes sont différées sur l’horizon retenu, la demande globale et laquantité livrée s’équilibrent:

)( XE

qT =

TXnE )(

62

� Si les demandes sont perdues, la demande globale est égale aux quantités livréesnq plus le nombre de demandes perdues nP(s):

)( XE

)(

)(

XE

sPqT

+=


Détermination de la loi de demande XL à partir de la loi de demande X

Pour la gestion (q,s), il faut connaitre les deux lois de probabilité de XL et de X.

Exemple: Cas discret

Il est possible de déterminer la loi de probabilité de XL par combinaison des occurrences deX. Soit la demande journalière suivante:

Demande 2 3 4 5 6

Probabilité 5% 10% 10% 45% 30%

63

On note X1: la demande relative à une journéeX2: la demande sur deux jours qui varie entre 2x2 et 2x6X3: la demande sur 3 jours qui varie entre 3x2 et 3x6� Si X varie ente xmin et xmax, alors XL varie entre L xmin et Lxmax

Poser X1=XPour k de 2 à L faireInitialisation: P(Xk=x) = 0 ∀ x

Pour x de xmin à xmax fairePour y de (k-1)xmin à (k-1)xmax faire

P(Xk=x+y)←P(Xk=x+y)+P(X=x)*P(XK-1=y)Fin pour

Algorithme pour calcul itératif des lois de X1, X2, …XL

Si le délai L est une variablealéatoire variant de Lmin et Lmax, lesvaleurs de XL varie de Lmin.xmin etLmax.xmax avec:

∑=

====max

min

)()()(

L

Lk

kL kLPxXPxXP


Exemple: Cas discret

Demande 2 3 4 5 6

Probabilité 5% 10% 10% 45% 30%

64

Cas continu

Lorsque X suit une loi continue, le calcul de la densité fL(XL) de XL est difficile, y compris lorsque X suitune loi classique sauf dans le cas de la loi normale : Si X suit une loi normale N(µ,σσσσ), la demande XL

suit une loi normale de moyenne µL et d’écart type σσσσL1/2.

Gestion à point de commande: Délai de livraison L connu

Gestion (q,s) avec les deux indicateurs de service αααα et ββββ

Le taux de service αααα: Probabilité de ne pas avoir de rupture pendant le délai de livraison:

α==≤ )()( sFsxP LL

La valeur de s est déterminée par la fonction de répartition FL(xL) et par αααα.

La valeur de q est déterminée en minimisant le coût de possession et de commande: en utilisant lemodèle de Wilson. Elle correspond à la quantité économique de commande, mais, calculée à partir

de la demande moyenne par période E(X) (ici la demande est statistique, on prend E(X) au lieu de lademande D supposé fixe dans le modèle de Wilson):demande D supposé fixe dans le modèle de Wilson):

p

cC

CXEq

)(2* =

Exemple continu

La demande journalière d’une pièce peut s’approximer par une loi normale de moyenne 100 et d’écarttype 10. Le coût de passation d’une commande est de 1000 francs et le délai de livraison 4 jours. Lecoût de possession d’une pièce est 0,01 francs par jour. On se fait livrer q pièces. On met s pièces enréserve et le reste est mis directement dans l’atelier. Si on tombe en pénurie, on doit mettre en routeune procédure d’approvisionnement d’urgence, relativement onéreuse. On ne veut pas que cela arriveplus d’une fois toutes les 100 livraisons. Calculer q* et s.



Le taux de service ββββ: Dans le cas de demande différée, la demande est globalementsatisfaite, mais P(S) articles en moyenne sont livrées avec du retard:

q

SP

q

Sq )(1

)( −=Ρ−=β

Dans le cas de demande perdue, q articles sont fournis et P(S) demandes sont perdues. Lademande moyenne est la somme des deux: q+P(s), et on:

)(sPq

q

+=β

Dans les deux cas, ββββ est une fonction de deux variables (q,s). Pour déterminer (q,s), on suit la

démarche suivante:

Calculer q* par la formule de Wilson en remplaçant D par E(X)

Calculer Si la pénurie est différée

Si la pénurie est perdue

Déterminer le s* correspondant

)1(*)( β−= qsP

ββ /)1(*)( −= qsP



Exemple continu

La demande journalière d’une certaine pièce suit une loi normale de moyenne µ =100 et d’écart typeσ =10. Le coût de possession est estimé à 0.5F par jour et le coût de passation d’une commande est de1000F. Le délai de livraison est de deux jours. Lorsque cette pièce est manquante, on continue quandmême le montage du produit final et on monte la pièce plus tard. On désire que cette pratique n’arrivepas un plus qu’un produit sur 1000.


Gestion (q,s) avec minimisation du coût

Exemple continu

Il s’agit d’un électroménager de cuisine acheté par un supermarché au prix unitaire de 30 F et vendu40 F l’unité. La demande suit une loi normale de moyenne 2 400 unités et d’écart type 189,74. Le coût

de possession annuel reste de 6 F. Le coût unitaire de commande est de 300 F. Le coût de passationd’une commande est de 300 F et est indépendant de la quantité commandée. Le délai de livraison est

de 20 jours ouvrables. On considère que l’année comporte 48 semaines de 6 jours ouvrables, soit 288jours..

�La demande annuelle X suit une loi normale N(2400, 189,74) � La demande XL pendant�La demande annuelle X suit une loi normale N(2400, 189,74) � La demande XL pendantle délai de livraison L suit une loi normale N(µL, σσσσL) avec:

1672400288

20 === LµµL 5047,189288

20 === LL σσ

La fonction de coût à minimiser fait intervenir les trois variables que sont :

• Le nombre moyen de commandes, Ic

• Le stock moyen annuel, Ip

• La rupture moyenne annuelle, Ir

),(),(),(),( qsICqsICqsICqsC ccrrpp ++=

Pour résoudre le problème, On détermine s et q d’une manière indépendante

(séparation des variables) en se basant sur l’observation suivante:

� Dans l’expression du coût global, le nombre moyen de commandes dépend

essentiellement de la quantité commandée q tandis que le nombre moyen de ruptures

dépend essentiellement du point de commande s. On peut donc récrire l’expression de C

comme :


)()(),(),( qICsICqsICqsC ccrrpp ++=

69

� Le terme qui lie la variable q et la variable s est le stock moyen possédé Ip qui dépend àla fois de q et de s. On va déterminer une solution approchée en séparant le problème àdeux variables en deux problèmes à une variable de la manière suivante:

1. Déterminer la quantité économique q* en arbitrant entre le cout de commande et lecoût de possession à partir de la demande moyenne comme si on ´était en univers certain.

2. Déterminer le point de commande s en arbitrant entre le coût de rupture et le coût depossession en utilisant la gestion calendaire pendant le délai d’obtention L, en retenantcomme s le niveau de recomplètement optimal.


)()()( qICqICqC ccpp +=La solution optimum pour minimiser le coût: est:

1. Déterminer la quantité économique q* à partir de la formule de Wilson

4906

300*2400*2)(2* ===

p

cC

CXEq

2. Déterminer le point de commande s* en prenant s le niveau derecomplètement calendaire S qui minimise le coût d’une gest ioncalendaire durant le délai d’obtention L:

70

Avec Ip le stock moyen possédé durant L,

et Ir le nombre moyen d’articles non

fournis durant L.

calendaire durant le délai d’obtention L:

)()()( sICsICsC rrpp +=

� Hypothèse simplificatrice : En pratique, Le stock s est suffisamment grand pour que lapénurie soit un cas exceptionnel. Dans ce cas, que les demandes soient perdues oudifférées, le délai moyen T séparant deux livraisons est donné par:

)(

*

XE

qT =

204,02400

490)( ==annéesT joursjoursT 59

2400

288*490)( ==


2. Déterminer le point de commande s* en prenant s le niveau derecomplètement calendaire S qui minimise le coût d’une gest ioncalendaire durant le délai d’obtention L:

joursarticleFD

qCC pp 59//204,0*6' ==

Calcul du coût de possession du stock:Le stock moyen possédé Ip(S) correspond à une immobilisation sur 59 jours (durant toutela durée optimale de consommation de la commande q). Donc le coût unitaire (pararticle) de possession durant T est de :

71

joursarticleFD

CC pp 59//204,0*6==

)(10)(204,0*6)( sIsIsC rp +=Coût global de gestion calendaire à minimiser:

τ=+−

== ∫ rp

prS

CC

CCdxxfSF

2

2)(*)(

0Méthode simplifiée (voir diapo 60):

τσ

=+−

=−

rp

pr

L

LCC

CCµSF

2

2)

*(Ou:

884,010*2225,1

225,110*2)

*( =

+−=−

L

LµSF

σ2,1

* =−

L

LµS

σ 227* =S


Le stock de sécurité est défini comme la différence entre le niveau de recomplètement et la demande

moyenne durant L et vaut ici:

Conséquences économiques:

articlesXEs L 60167227)( =−=−

Le nombre moyen de commandes dépend uniquement de q et se calcule par la formule :

commandesq

DqIc 9,4

490

2400)( ===

Le nombre moyen de ruptures au cours d’un cycle (pendent la durée d’obtention L), noté Irc, se calcule

par la formule de la gestion calendaire :

72

81,20561,0*50)2,1(.)227( ===== Scr tgsI σ Voir l’expression de g(ts):

diapo 50

�or le nombre de cycles est égal au nombre de commandes Ic(q). Le nombre moyen de ventes manquées

par an Ir(q) s’élève donc à:

articlessIqIsI crcr 77,1381,2*9,4)().()( ===

Le calcul du stock moyen possédé est plus compliqué car il dépend à la fois de s et de q. On peut

montrer (voir Giard [1]) que :

� En cas de ventes manquées perdues (le cas ici):

� En cas de ventes manquées différées:

405,3062

)())((

2),( =+−+= sI

XEsq

qsIcr

Lp

)(2

))((2

),( sIq

DLXEs

qqsI c

rp +−+=


Conséquences économiques:

Que les ventes manquées soient perdues ou différées, le coût de gestion se calcule par la formule :

)()().(),(),( qICqIsICqsICqsC ccccrrpp ++=

F45,344581,2490

2400104,306*6

490

2400*300 =++=

La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant à la marge bénéficiaire sur la demande

73

La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant à la marge bénéficiaire sur la demande moyenne, le coût de gestion annuel:

q) C(s,)(q) C(s, - Dm),( u −−== DPAPVqsB

45,2055445,344524000),( =−=qsB

Vente par correspondance: qu’elle politique choisir: (T,S) ou (q,s)

But: Comparer les deux méthodes de gestion de stock vues à savoir• la gestion calendaire de stock,

• la gestion par point de commande sur un même exemple pratique.

Exemple:

Une société spécialisée dans le vente par correspondance un article peu vendu. Il s’agit d’un matelasorthopédique. La demande mensuelle de cet article suit une loi de Poisson de moyenne 8. L’acheteurresponsable de l’approvisionnement hésite entre trois systèmes :

1- La gestion calendaire avec une période de révision calendaire de deux mois. Le coût de passation decommande est estimé à 20 euros, le produit est acheté 200 euros et revendu 350 euros (y compris lecoût moyen de transport vers le client égale à 50 euros). La régularité de l’approvisionnement permet

74

coût moyen de transport vers le client égale à 50 euros). La régularité de l’approvisionnement permetd’avoir un délai d’obtention insignifiant. Une demande non satisfaite est différée avec un coût de10euros (frais administratifs).

2. Une gestion du type quantité économique de commande - point de commande avec les mêmes coûtsque précédemment, mais avec cette fois un délai d’obtention de 15 jours environ.

3. Servir d’intermédiaire en répercutant au fournisseur la commande, ce qui permet `a l’entreprise depercevoir une commission de 50 euros.

L’entreprise estime que la rentabilité marginale de son capital est de 24 %. Après étude du bénéfice netdans les trois cas, quel politique doit-on choisir ?

Indice: Comparer les bénéfices de chaque politique, en calculant d’abord les coûts de gestion

global

PLAN

• Introduction







• La gestion globale MRP

75

Ordonnancement

Objectifs

Transforme les décisions de fabrication définies par le programme directeur deproduction en instructions de d’exécution détaillées pour le pilotage et le contrôle àcourt terme de l’activité des postes de travail dans l’atelier

Les sous - fonctions d’ordonnancement

Elaboration des ordres de fabrication (OF): transformer les suggestions de defabrication (informations du PDP) en OF.

76

fabrication (informations du PDP) en OF.

Elaboration du planning d’atelier: En fonction des OF et de la disponibilité desressources consommables (matières premières, composants) et partageables(poste de travail), le calendrier prévisionnel de fabrication sera déterminé(transformer les prévisions à court terme en ordre d’exécution à très courtterme).

Lancement et suivi: distribuer aux postes de travail les documents nécessairesà la bonne exécution des fabrications et assurer leur suivi.

Ordonnancement

Objectifs : Transforme les décisions de fabrication définies par le programme directeur deproduction en instructions de d’exécution détaillées pour le pilotage et lecontrôle à court terme de l’activité des postes de travail dans l’atelier

Les sous - fonctions d’ordonnancement

Elaboration des ordres de fabrication (OF): transformer les suggestions de de fabrication(informations du PDP) en OF.

Elaboration du planning d’atelier: En fonction des OF et de la disponibilité des ressourcesconsommables (matières premières, composants) et partageables (poste de travail), le calendrierprévisionnel de fabrication sera déterminé (transformer les prévisions à court terme en ordred’exécution à très court terme).

77

d’exécution à très court terme).

Lancement et suivi: distribuer aux postes de travail les documents nécessaires à la bonneexécution des fabrications et assurer leur suivi.

Types d’ordonnancement

Le pilotage de la production:

� Centralisé (le plus répondu): elle propose un planning d’atelier très complet (de synthèse),la prise de décision est centralisée

� Décentralisée ou local: la décision est prise en fonction d’informations sur les lots en attentedevant un poste de charge sans avoir à considérer la situation des autres fils d’attente.

Ordonnancement: Elaboration des OF

Définition : Ensemble de documents donnant ordre à la fabrication des produits spécifiésavec des quantités données pour une date donnée. Les OF sont matérialisés parle dossier de fabrication.

PDPGammes de

production

Disponibilité des ressources:

(quantité à fabriquer, dates de

mise à disposition prévisionnelle…)

Politique de l’entreprise:

78

Elaboration des OF

OF

Politique de l’entreprise:

(priorité au délai, aux coûts, ou à

l’utilisation de certains moyens…)

- Taille des lots de fabrication et de transfert

- Processus de réalisation à adopter


- Détermination du lot de fabrication = déterminer la quantité de pièces lancées en

fabrication en une seule fois,

� Eclater en plusieurs lots (si lot important)

- De 1 à 500 pièces: lot petit- De 500 à 5000 pièces: lot moyen- Au-delà de 5000: lot important

79

� Regrouper (pour minimiser les effets de lancement de fabrication)

- Détermination du lot de transfert = déterminer la quantité de pièces transportées d’unposte de charge à un autre au cours de la fabrication des produits:

� Egal au lot de fabrication

� Inférieur au lot de fabrication: recouvrement des opérations de fabrication


- Détermination du processus de réalisation� En fonction des gammes opératoirespossibles et de substitution, de la disponibilité des ressources, et du lot de fabrication.

Coût ou délai ou,…

Gamme principale

Gamme de

substitution 1

Gamme de

substitution 2

Exemple: Choix de gamme

80

Quantité à fabriquer

substitution 1

Q1 Q2

Question: Selon la quantité à réaliserpour cet OF, déterminer les gammesles mieux adaptées à la politique del’entreprise.

gestion de la production industrielle

Documents

la gestion

la productionobjectif

la productionsur quoi

produit unit fabrication

type et

lancement et

typedes produits et

production mthodes