Gerak Rotasi Benda Tegar

Gerak Rotasi Benda Tegar

Gerak benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar (poros) atau sumbu rotasi

disebut gerak rotasi. Contoh gerak rotasi diantaranya: gerakan putaran bumi terhadap

sumbunya, roda sepeda yang berputar, gerakan pintu yang berputar pada engselnya,

dan masih banyak lagi. Dengan menggunakan sistem koordinat polar, posisi benda

dapat dinyatakan dalam r dan θ. Pada gambar dibuat hubungan bahwa:

komponen pada sumbu x ; x = r cos θ

komponen pada sumbu y ; y = r sin θ

besar posisi;

arah posisinya;

Keterangan:

r = jarak titik P terhadap titik pusat benda melingkar

x = proyeksi titik P terhadap sumbu x

y = proyeksi titik P terhadap sumbu y

θ = sudut r terhadap x

Hubungan besaran-besaran s , r dan θ secara geometri adalah:

Jika θ dinyatakan dalam radian maka:

Keterangan :

s = panjang busur lingkaran dalam meter

r = jari-jari titik tinjauan terhadap pusat lingkaran dalam meter

θ = sudut yang dibentuk dalam radian (derajat)

1 putaran = 3600 = 2π rad

1 rad = 1800

𝜋

1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh suatu juring lingkaran yang

panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran.

Kecepatan Sudut

Dinotasikan dengan ω, satuannya rad/s atau putaran/s.

Kecepatan sudut rata-rata partikel adalah perubahan posisi sudut dibagi selang waktu.

Dengan persamaannya dirumuskan sebagai:

Keterangan:

∆θ = θ2 – θ1 = perubahan posisi sudut dalam rad atau putaran

∆t = t2 – t1 = selang waktu dalam sekon

Kecepatan sudut sesaat

Dinotasikan dengan ω, satuannya rad/s atau putaran/s.

Untuk Δθ yang diambil kecil sekali (mendekati nol) maka kecepatan sudut rata-

ratanya merupakan gradien garis singgung kurva posisi sudut terhadap waktu.

Kecepatan sudut tersebut dinamakan kecepatan sudut sesaat. Secara matematis

kecepatan sudut rata-rata dituliskan sebagai:

Keterangan: ∆𝜃

∆𝑡 = turunan posisi sudut terhadap waktu

ω = kecepatan sudut (radian /sekon) atau dengan satuan lain yaitu rpm (rotation

permenit)

Hubungan timbal balik posisi sudut dari kecepatan sudut

Posisi sudut didapat dari kecepatan sudutnya dengan cara mengintegralkan kecepatan

sudut. Apabila posisi sudut awal partikel (t=0) adalah θ0, maka posisi sudut pada

waktu t dapat dicari dengan persamaan sebagai berikut:

ω = Dengan menggunakan integral biasa dapat ditulis hubungan antara posisi sudut

dari kecepatan sudut sebagai berikut:

Keterangan:

θ0 = posisi sudut awal, satuannya radian

θt = posisi sudut setelah t sekon, satuannya radian

t = lamanya berputar, satuannya sekon

ω = kecepatan sudut, satuannya radian/sekon

Percepatan sudut rata-rata

Dinotasikan dengan 𝛼 , satuannya rad/s2 atau putaran/s2.

Percepatan sudut rata-rata dapat didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut

dibagi selang waktunya.

Keterangan:

∆ω = ω2 – ω1 = perubahan kecepatan sudut dalam rad/s

∆t = t2 – t1 = selang waktu dalam sekon

Percepatan sudut sesaat

Dinotasikan dengan , satuannya rad/s2 atau putaran/s2

Untuk Δt yang kecil (mendekati nol) maka percepatan sudut rata-rata merupakan

gradien garis singgung kurva kecepatan sudut terhadap waktu.

Besarnya percepatan sudut dirumuskan sebagai:

Penentuan kecepatan sudut dari percepatan sudut

Kecepatan sudut dicari melalui percepatan sudut dengan cara mengintegralkan

percepatan sudut yang telah diketahui. Secara matematis dapat diuraikan sebagai

berikut:

Bila konstan maka persamaannya menjadi:

Keterangan:

ωt = kecepatan sudut akhir, satuannya rad/s

ω0 = kecepatan sudut awal, satuannya rad/s

= percepatan sudut, satuannya rad/s2

t = waktu yang ditempuh, satuannya sekon

Sedangkan posisi sudut untuk konstan dicari dengan persamaan:

θt=θ0 + ωt dt

θt=θ0 + (ω0+ t) dt

Keterangan:

θ0 = posisi sudut awal, satuannya rad atau putaran

θt = posisi sudut akhir, satuannya rad atau putaran

Secara garis besar hubungan antara besaran-besaran dalam gerak rotasi dan gerak

translasi dibuat tabel berikut ini:

Hubungan antara Gerak Rotasi dan Translasi

Momen Gaya

Dinotasikan dengan 𝜏 (tau), satuannya N.m.

Benda dikenakan suatu gaya, salah satu akibatnya adalah terjadinya perubahan gerak

pada benda tersebut, yaitu gerak rotasi atau gerak translasi. Hal ini dapat diartikan

bahwa bila pada benda dikerjakan gaya, maka akan melakukan gerak rotasi saja atau

melakukan rotasi dan translasi atau melakukan gerak translasi saja.

Perhatikan gambar berikut!

Sebuah titik O dipengaruhi sebuah gaya F seperti gambar, momen gaya yang timbul

dapat dirumuskan sebagai:

Dengan = momen gaya, satuannya N.m

F = gaya, satuannya N

r = jarak titik O terhadap garis kerja gaya, satuannya meter

Untuk momen gaya karena pengaruh beberapa gaya, maka momen gaya totalnya

dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Momen gaya yang mengakibatkan putaran searah jarum jam diberi tanda (+) positif

sedangkan momen gaya yang menyebabkan putaran berlawanan dengan jarum jam

diberi tanda (-) negatif.

Bila gaya bukan tegak lurus dapat dilakukan dengan

a. mengeser gaya sepanjang garis kerja gaya sehingga tegak lurus dengan posisi

sumbu rotasi

b. menguraikan gaya atas komponen-komponennya

Momen Inersia Titik Partikel

Dinotasikan dengan I, satuannya kg.m2

Momen inersia suatu partikel adalah hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak

terhadap sumbu putarnya dan dirumuskan dengan:

Jika titik masa partikel lebih dari satu maka momen inersianya dapat dihitung dengan

rumus:

dimana:

I = momen inersia, satuannya kg.m2

m = massa partikel, satuannya kg

r = jarak partikel terhadap sumbu putar, satuannya m

Momen Inersia benda tegar

Perhatikan gambar berikut ini!

Sebuah elemen massa dm berjarak r terhadap sumbu rotasi. Apabila sebuah benda

pejal terdiri dari distribusi materi yang kontinue, maka kita dapat menganggap benda

terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang tersebar merata. Momen Inersia

benda adalah jumlah dari momen inersia semua elemen massa tersebut, r2 dm. Untuk

dm yang jumlahnya banyak, penjumlahan menjadi sebuah integral.

Dengan batas-batas integral yang dipilih sehingga mencakup seluruh benda.

Besar momen Inersia tergantung pada:

- Bentuk benda

- Massa benda

- Letak sumbu putarnya

Momen Inersia untuk berbagai bentuk benda:

a. Batang Homogen

- Diputar pada salah satu ujungnya:

- Diputar ditengah-tengahnya:

Dimana:

m = massa batang, satuannya kg

L = panjang batang, satuannya m

b. Cincin

- Berongga poros di pusat

- Pejal poros di pusat

- Pejal diputar pada salah satu sisi

Keterangan:

m = massa cincin, satuannya kg

R = jari-jari cincin, satuannya m

c. Silinder

- Silinder Berongga dengan poros melalui pusat

- Silinder Pejal dengan poros melalui pusat

- Silinder Berongga dengan 2 jari-jari dalam dan luar dengan poros melalui pusat

dengan:

m = massa silinder = kg

R1 = Jari-jari dalam = m

R2 = Jari-jari luar = m

R = Jari-jari silinder berongga atau pejal

d. Bola

- Bola Berongga dengan poros pusat bola

- Bola Pejal dengan poros pusat bola

Selanjutnya untuk mencari momen inersia dari benda-benda yang bentuknya seperti

di atas tetapi dengan sumbu putar pada jarak L dan sejajar dengan sumbu mula-mula,

melalui poros massa, dapat digunakan rumus sumbu sejajar:

dengan

I = Momen Inersia yang baru dalam kg. m2

I0 = momen inersia dengan poros melalui pusat massa dalam kg.m2

M = massa benda dalam kg

L = jarak sumbu mula-mula melalui pusat massa dengan yang baru dalam m

Energi Kinetik Rotasi

Energi kinetik rotasi sebuah benda pejal dapat diturunkan dari energi kinetik translasi

sebagai berikut:

dengan

m = massa benda dalam kg;

v = kecepatan linier benda dalam m/s2

Ek = energi kinetik benda dalam joule.

Mengingat v = ω R maka

Karena mR2 adalah momen inersia maka rumus energi kinetik rotasi dapat

dirumuskan sebagai:

dengan:

Ek rot = energi kinetik rotasi dalam joule

I = momen inersia benda dalam kg.m2

ω = kecepatan sudut dalam rad/s

Usaha dalam Gerak Rotasi

Perhatikan gambar berikut ini !

Sebuah gaya F bekerja pada jarak R dari sumbu putar benda.

Usaha yang dilakukan oleh sebuah momen gaya yang bekerja untuk merotasikan

sebuah benda tegar sejauh dθ dapat diperoleh dari rumus gerak linier sebagai berikut:

W = F.s = F. Rθ; karena F.R adalah momen gaya maka:

dengan

W = usaha gerak rotasi dalam joule

τ = momen gaya dalam kg.m

θ = sudut yang dibentuk dalam rad

Dalam gerak rotasi sebuah momen gaya melakukan kerja pada benda dan mengubah

energi kinetik rotasinya sesuai dengan hubungan

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya

Analogi dengan hubungan impuls dan momentum maka hubungan momentum sudut

dengan momen gaya dapat diperoleh :

τ dt = dL atau

dengan τ = momen gaya dan dL/dt adalah turunan dari momentum sudut terhadap

waktu

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Bila tidak ada gaya dari luar yang bekerja pada benda maka berlaku hukum kekekalan

momentum sudut yaitu :

a. untuk satu benda

I1 = momen inersia keadaan 1, ω1 = kecepatan sudut keadaan 1, L1 = momentum

sudut keadaan 1

I2 = momen inersia keadaan 2, ω2 = kecepatan sudut keadaan 2, L2 = momentum

sudut keadaan 2

b. untuk dua benda

I1. ω1 + I2. ω2 = ( I1 + I2 )ω Bila arah gerak searah

I1. ω1 - I2. ω2 = ( I1 + I2 )ω Bila arah gerak berlawanan arah

I1 = momen inersia benda 1 dalam kg.m2 ; ω1 = kecepatan sudut benda 1 dalam rad/s

I2 = momen inersia benda 2 dalam kg.m2 ; ω2 = kecepatan sudut benda 2 dalam rad/s

ω = kecepatan sudut benda gabungan benda 1 dan benda 2 dalam rad/s