GERAÇÃO DE VAZÃO EM REGIÃO SEMI-ÁRIDA USANDO O MODELO ALTERNATING RENEWAL REWARD /

FRAGMENTOS (ARRF)

Marcos Airton de Sousa Freitas1 Resumo - Aqui é demonstrado o emprego do modelo ARRF para a geração de vazões em rios do semi-árido brasileiro. O modelo anual Alternating Renewal Reward baseia-se nas características (duração, severidade e magnitude) dos períodos de secas e cheias encontrados na série histórica. Ele faz uso da distribuição geométrica para a simulação da duração dos períodos de secas e cheias e da distribuição gama a dois parâmetros para a reprodução da severidade. Já o Método dos Fragmentos foi usado para desagregar as vazões anuais geradas em vazões mensais. O modelo ARRF conseguiu resultados satisfatórios quando aplicado a três bacias do Estado do Ceará Abstract - In this study it is presented the ARRF for generating annual flows, coupled with the Fragment Method to disaggregate the annual flows to monthly ones. This coupled developed model was applied to three typical intermittent basins in the State of Ceará. This model was able to preserve the analyzed statistical parameters of the historical time series, as well as to reproduce the persistence (long periods of low and high flow) encountered in the historical series, which are fundamental by the reservoir design. Palavras-Chave – geração de vazão; semi-árido; otimização. ___________________________________________________________ 1Institut fuer Wasserwirtschaft, Hydrologie und landwirtschaftlichen Wasserbau Universitaet Hannover - Alemanha; Prof. da Universidade de Fortaleza, Ceará, Brasil Appelstr. 9A 30167 Hannover - Deutschland (Alemanha);E-mail:freitas@feq.unifor.br

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INTRODUÇÃO O semi-árido brasileiro, com área de cerca de 1 milhão de km2 , é caracterizado, dentre outros aspectos, por uma acentuada variabilidade temporal e espacial de sua precipitação (400 a 1800 mm/a) e uma elevada taxa de evaporação (acima de 2000 mm/a), associada à condições geológicas restritivas (subsolo cristalino de reduzida potencialidade hídrica), tendo como conseqüência a apresentação de intermitência de seus cursos d’água. A construção de barragens artificiais ao longo dos principais rios da região, apresentou-se, a partir do início deste século, como necessidade indispensável no tocante à oferta hídrica, especialmente nos períodos de secas. Para o dimensionamento e operação desses sistemas de reservatórios superficiais, submetidos, via de regra, a usos múltiplos e concorrentes (abastecimento humano, irrigação, produção de energia, etc.), lança-se mão, normalmente, dentre outras ferramentas, de modelos determinísticos chuva-vazão e/ou de modelos de geração estocástica de vazão (FREITAS, 1996), dependendo principalmente da disponibilidade de dados. Diversos modelos autoregressivos têm sido apresentados na literatura especializada para a geração sintética de vazão em rios de regiões temperadas. Para o semi-árido, entretanto, tais modelos, não conseguem reproduzir satisfatoriamente as características típicas de intermitência. Com esse intuito, FREITAS (1995) modificou e aplicou à quatro bacias da região semi-árida do Brasil nove modelos, à nível mensal, na geração de vazões em rios intermitentes. Os modelos analisados apresentaram, em sua maioria, uma superestimativa da vazão média mensal, devido provavelmente ao caráter markoviano dos mesmos, conforme atestado também STEDINGER e TAYLOR (1982), dentre outros. O objetivo do presente trabalho é, portanto, analisar e discutir o desempenho de um novo modelo de geração de vazão, quando de sua aplicação na região semi-árida brasileira.

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DEFINIÇÃO DE SECA HIDROLÓGICA Conforme DRACUP et al. (1980) quatro considerações básicas devem ser avaliadas, quando da definição de secas, quais sejam: 1) qual o interesse maior na análise, isto é, qual a natureza do déficit d’água a ser investigado (meteorológico, hidrológico ou agrícola), 2) qual o intervalo de discretização utilizado na análise de série de tempo (anual, semestral, mensal, etc.), 3) qual o patamar estabelecido para separação entre eventos de cheia e de seca e 4) a escolha dos métodos de regionalização e padronização adotados. Para a análise dos parâmetros característicos dos períodos de secas e cheias adotou-se, neste estudo, um intervalo de discretização de um ano, devido ao caracter anual dos eventos de seca no Nordeste do Brasil. Além disso, deter-se-á aqui apenas ao aspecto hidrológico, ou seja, à modelagem de série de vazão. Optou-se, ainda, pela utilização da vazão média como patamar para distinção entre cheia e seca, resultando em uma mesma severidade média para os períodos de cheia e seca, quando de um ciclo completo do processo de alternância (LEE et al., 1986). Devido ao reduzido número da amostra a curva de freqüência da duração de uma seca para séries anuais apresenta-se de forma não suave. Daí a necessidade de utilização de dois procedimentos, os quais serão descritos posteriormente: a regionalização e a padronização. Uma seca hidrológica pode ser definida como um, ou uma seqüência de mais anos, onde a vazão média anual permanece abaixo da vazão anual média a longo prazo, considerando-se toda a série existente (DRACUP et al., 1980). Um evento de seca pode, destarte, ser caracterizado por meio de três parâmetros, a saber: a duração D, em anos; a severidade ou déficit acumulado S e a magnitude M, a qual representa o déficit médio acumulado abaixo da vazão média anual.

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ALTERNATING RENEWAL REWARD / FRAGMENTOS (ARRF) O modelo empregado resulta da unificação do modelo Alternating Renewal Reward (ARR), apresentado por KENDALL e DRACUP (1992), usado na geração de vazões anuais, ao Método dos Fragmentos (SVANIDZE, 1980), para a desagregação em valores mensais. Modelagem anual: Alternating Renewal Reward - ARR Uma hipótese básica no processo de modelagem das vazões anuais por meio do modelo ARR é a de que os eventos de secas sejam oriundos de populações distintas, ou seja, o déficit Yi (déficit no ano i) seja independente e uniformemente distribuído, dependente, entretanto, da duração. Para a geração anual são efetuados dois estágios: 1) modelagem do processo seca/cheia, 2) modelagem da vazão dentro de período de seca ou cheia. O modelo pode, portanto, se encontrar em um dos dois estados possíveis. Caso, por exemplo, o sistema seja a priori adotado como sendo cheia, gera-se, então, DH1 anos de cheias. A seguir, adota-se o sistema como seca e gera-se DL1 anos de seca e assim por diante. Sendo DHn e DLn distribuições de probabilidades independentes e uniformemente distribuídas. O problema, portanto, resume-se à identificação de funções de distribuições de probabilidade para os dois estágios do modelo. Para a modelagem do processo cheia/seca foi utilizada a distribuição geométrica e para a modelagem da severidade das cheias e secas foi usado a distribuição gama a dois parâmetros. Um fator restritivo no ajuste das distribuições para a duração, bem como para a severidade, diz respeito à pequena amostra. Em um período de cerca de 80 anos de dados tem-se, por exemplo, aproximadamente 15 períodos de seca. Para superar essa deficiência foram empregados, então, dois procedimentos: decimação e padronização (LEE e DRACUP, 1982). Na análise de série de tempo com intervalo menor do que um ano, isto é, caso haja periodicidade, a variável

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original pode ser substituída através de uma padronização, com o objetivo de remover essa periodicidade. Empregou-se o procedimento de decimação (BLOOMFIELD, 1976) para a obtenção de n (número de meses) séries de vazão, por meio do uso dos valores de vazões padronizados de anos seguidos, para cada seca (cada cheia), em cada uma das n séries. As severidades dos períodos de cheias e secas são, deste modo, avaliados. Esse procedimento simula uma regionalização, através de n séries de vazões de n diferentes postos de uma região homogênea, submetidos às mesmas condições climáticas. Para a simulação da duração dos períodos de cheias e secas utilizou-se a distribuição geométrica, conforme a equação a seguir: f x pqx

x( ) = −1 (1) Para a severidade empregou-se distribuições gama a dois parâmetros para cada duração, segundo KENDALL e DRACUP (1992):

f Y e YrD

YD

rD

( ) ( )( )

=− −λ λλ 1

Γ (2)

com Γ = a função gama; r = o parâmetro de forma; λ = o parâm. de escala. Modelagem mensal: Método dos Fragmentos O Método dos Fragmentos de SVANIDZE (1980) norteia-se na desagregação, em vazões mensais (ou intervalo de tempo menor), de vazões anuais pré-geradas por algum modelo anual (neste caso, pelo modelo ARR). O cerne do modelo caracteriza-se pela estimativa, para cada mês e para todos os anos i da série histórica, dos denominados fragmentos, dados por:

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fQ

Qi j

i j

i jj

n,,

,

=

=∑

1

(3)

n = número de meses (n=12); Qi j, = vazão no mês j do ano i. Os fragmentos f i j, correspondem ao valor percentual da vazão anual (denominador da equação acima) no ano i. A seguir os valores anuais históricos de vazão são ordenados de forma crescente e divididos em intervalos de classes. Os limites dos intervalos de classes são formados pela média entre valores sucessivos de vazão. O número total de classes é igual ao número de anos de vazão da série medida. A primeira classe tem como limite inferior zero e a última classe tem limite superior infinito. As vazões anuais geradas são, então, distribuídas conforme os intervalos de classe e fragmentadas em valores mensais. APLICAÇÃO DO MODELO Para a verificação da aplicabilidade do modelo a rios intermitentes do semi-árido brasileiro, aplicou-se o modelo composto a três bacias do Estado do Ceará, bacias essas correspondendo aos seguintes açudes: Paulo Sarasate, Aires de Souza e Carão (Tabela 1).

Tabela 1 - Características das bacias hidrográficas analisadas

Posto

Volume do açude

(milhões m3)

Área da bacia (km2)

Vazão média anual (m3/s)

Período

P. Sarasate 891 3501 242.0 1912-88 A. de Souza 104 1092 91.3 1912-88

Carão 20 305 10.9 1912-88 Na tabela 2 encontram-se os valores do parâmetro p das distribuições geométricas ajustadas às bacias em questão para a duração

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da seca e cheia. É apresentada, na figura, a curva de duração de seca, resultante do ajuste da distribuição geométrica, após processo de decimação para a bacia do açude Paulo Sarasate.

Tabela 2 - Parâmetros da distribuição geométrica

Posto pc(%) ps(%) Paulo Sarasate 52.5 27.5 Aires de Souza 49.5 35.0

Carão 66.0 22.5

Curva de Duração da Seca

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Duração (anos)

P(D

=t)

HistoricoDist. GeometricaDecimação

Figura 1 - Curvas de duração de seca

A tabela 3 contem os parâmetros da distribuição gama para as diversas duração de cheias e secas para o posto do aç. Paulo Sarasate. Foram geradas para cada bacia mil séries mensais sintéticas de vazão. Na figura 2 são apresentados os valores da média. São mostrados, para cada mês, os valores mínimo, máximo, mediano, bem como o valor histórico. Na tabela 4 encontram-se os desvios médios relativos (bias) e os erros quadráticos médios (rmse) para as três bacias analisadas.

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Tabela 3 - Parâmetros da distribuição gama (posto aç. Paulo Sarasate)

duração

(ano) cheia

r cheia

λ seca

r seca λ

1 3.212 0.018 38.199 0.306 2 4.653 0.026 35.526 0.299 3 7.052 0.044 27.858 0.236 4 4.101 0.029 47.147 0.373 5 - - 27.424 0.240 6 - - 16.418 0.146 7 - - 14.994 0.138 8 - - 49.307 0.437 9 - - 39.137 0.324

Figura 2 - Parâmetros estatísticos das séries geradas e histórica (média)

Vazão Média Mensal

0

20

40

60

80

100

120

140

160

j f m a m j j a s o n d

Meses

m3/

s

Maximo

Mediano

Historico

Minimo

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CONCLUSÃO Neste trabalho apresentou-se a aplicação do modelo ARRF na geração de vazão em região semi-árida. O modelo, ao contrário dos modelos autoregressivos, baseia-se nas características (duração, severidade e magnitude) dos períodos de cheias e secas, e quando aplicado a diversas bacias do semi-árido brasileiro apresentou resultados satisfatórios, sendo assim uma ferramenta útil no projeto e otimização de sistemas de reservatórios em regiões semi-áridas.

Tabela 4 - Erros médios de ajuste (bias e rmse)

Parâmetros

Paulo Sarasate Bias rmse

Aires de Souza bias rmse

Carão

Bias rmse µ -0.024 0.406 -0.038 0.451 0.005 0.545 σ -0.025 0.340 0.085 0.465 0.061 0.492

CV 0.053 0.326 0.094 0.395 0.103 0.229 γ 0.007 0.355 0.905 1.358 0.004 0.392 ρ 0.058 0.502 0.119 0.538 -0.009 0.281

ρ lag-1 0.193 0.726 -0.571 0.605 0.340 1.193 BIBLIOGRAFIA BLOOMFIELD, P. -- Fourier Analysis of Time Series: An Introduction 1976 -- Wiley-Interscience, 258p. DRACUP, J. A.; LEE, K. S.; PAULSON, E.G. -- On the Definiton of Droughts, WATER RESOURCES RESEARCH, 16(2), 297-302. FREITAS, M. A. S. -- Stochastische Abflussgenerierung in intermittierenden semiariden Gebieten (NO-Brasilien). Abschlussarbeit Weiterbildendes Studium Bauingenieurwesen, Univ. Hannover, Deutschland, 1995.

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FREITAS, M. A. S. -- Regionale Duerreanalyse anhand statistischer Methoden und Neuro-Fuzzy-Systemen mit Anwendung fuer Nordost-Brasilien, Promotionsarbeit, Inst. fuer Wasserwirtschaft, Hydrologie und landwirtschaftl. Wasserbau, Univ. Hannover, 1996. KENDALL, D.R.; DRACUP, J. A. -- On the Generation of Drought Events Using an Alternating Renewal-Reward Model, STOCHASTIC HYDROL. HYDRAUL., 6, 55-68, 1992. LEE, K.S.; DRACUP, J.A. -- A Stochastic Frequency Analysis of Multiyear Droughts, National Science Foundation 1982, University of California Water Resources Center. LEE, K.S.; SADEGHIPOUR, J.; DRACUP, J.A. -- An Approach for Frequency Analysis of Multiyear Drought Durations, WATER RESOURCES RESEARCH, 22(5), 655-662, 1986. STEDINGER, J. R.; TAYLOR, M. R. -- Synthetic Streamflow Generation, 1: Model Verification and Validation, Water Resources Research, 18(4), 909-918, 1982. SVANIDZE, G.G. -- Mathematical Modeling of Hydrologic Series for Hydroelectric and Water Resources Computations, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado, USA, 1980.