geometrische optik 1. grundlagen licht elektromagnetische welle ( elektrodynamik ) elektrisches...
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Geometrische Optik1. Grundlagen
Licht elektromagnetische Welle ( Elektrodynamik )
Elektrisches Feld E
Magnetisches Feld BGegenseitige periodische
Anregung
BE
BE
E
E
Def.: Polarisationsrichtung
• Ausbreitungsrichtung im Vakuum:
• Vakuum-Dispersionsrelation:
• Vakuum-Lichtgeschwindigkeit:
• Im isotropen Medium:
BEk
λ
2πk k cω
00με1c
nλλ ncc
BrechungsindexBrechungsindex εμn nicht-ferromagnetische
Stoffe: nicht-ferromagnetische
Stoffe:
Näherung ( geometrische Optik ) Lichtstrahlen
Wellenlänge Objektgrößen ( Blenden, Löcher, Aperturgrenzen, ... )
Wellennatur unerheblich ( Beugung, Interferenz unwichtig )
nur Ausbreitungsrichtung und ggf. Polarisation relevant
Def.: Strahlenbündel durch Blenden (Aperturen) berandete Lichtwelle
Def.: Lichtstrahl Ausbreitungsrichtung
Isotrope Medien Normale auf Wellenfrontk
StrahlenPhasenflächen
Annahme: keine Absorption lineare Superposition von Strahlen
Beispiel: Beugung einer ebenen Lichtwelle am Spalt
L >> x
Ebene Welle
k
xk
erstes Beugungs-Minimum
Blende
Δx
λ
2
θ tan
Δx
λ
2
θ tan
paralleles Strahlenbündel
• Beugungseffekte klein
• jedoch für : Kugelwelle
1Δx
λ
2
Δθtan
ΔxΔθL
ΔxΔθL
Δx
λ2LΔθLΔx
1Lλ
ΔxF
2
Fresnel-Zahl
!
Lichtstrahlen in isotropen, inhomogenen Medien
Fermatsches Prinzip: Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten A und B
durchlaufen Wege kürzester Zeit ( bzgl. benachbarter Wege )
A BWmin
Wmin Wdsc
ndt
dt
ds
n
cv
dssnc
1Δt
B
A
optische Weglänge bzw. Eikonal L
Fermatsches Prinzip
0WLδWWLδL
ExtremumdssnL
minmin
B
A
0WLδWWLδL
ExtremumdssnL
minmin
B
A
Folgerung: Lichtwege sind umkehrbar.
minimal kürzeste Verbindung von A und B
Spezialfall: Ausbreitung im homogenen Medium, n const.
dsnLB
A
n·Weglänge
Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig ausLichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig aus
Anwendungen:
Fata Morgana
heiße Straße
n
Gradientenlichtleiter
n
n
Isochronen
n
2. Reflexion und Brechung
22
20
202
21
20
2011
zyxx
zyxxnL
z
x
y 0
x0x1 x2
A
B1 2
n1
n2
2.1. Reflexion
x
y
z
A( x1 , 0 , z1 )
( x0 , y0 , 0 )
( x2 , 0 , z2 )B
Grenzfläche zwischen zwei Medien
n1
n20y0
y
L0
0
Strahlebene Grenzfläche
Reflexionsgesetz
( Einfallswinkel Ausfallswinkel )
Reflexionsgesetz
( Einfallswinkel Ausfallswinkel )
2110
αsinαsinnx
L0
Tafelrechnung
•
Anwendungen: Lichtumlenkung durch Winkelspiegel (Umlenkwinkel unabhängig von Orientierung der Spiegelsysteme)
•
Umkehr Parallelverschiebung
45
90-Ablenkung
Passive Lichtumkehr ( 3-D )
• Katzenauge ( Verkehrsschilder,... )
• Laserreflexion von Mondoberfläche
• ...
2
22
022
21
2011
zxxn
zxxnL
2.2. Brechung
analog zur Reflexion Strahlebene Grenzfläche
z
x
y 0
x0x1
x2
A
B
1
2
n1
n2 ( n1 )
reflektierter Teilstrahl
Brechungsgesetz ( Snellius )
n1 sin n2 sin
Brechungsgesetz ( Snellius )n1 sin n2 sin
22110
αsinnαsinnx
L0
Tafelrechnung
Anwendung: Totalreflexion( beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium )
Grenzwinkel 2 G bei
sin
2
1G n
nαsin
Einfallswinkel G Totalreflexion
Beispiel: Luft n1 1
Wasser n2 1,33G
z
x
y 0
1
´
2
n1
2
•
2G
n2 ( n1 )
reflektierter Strahl
n1 sin n2 sin
3. Die optische Abbildung
optisches System
Reflexionen
Brechungen
Blenden ( Apertur )A
Objektpunkt
B
Bildpunkt
ideale, d.h. scharfe Abbildungideale, d.h. scharfe AbbildungFermat a) alle Strahlen (A B) haben gleiche Laufzeit sind isochron
b) Objekt- und Bildpunkt sind austauschbar (Lichtweg umkehrbar)
BF
Brennpunkt( focal point )
Spezialfall: A
parallele Strahlen optisches System
Reflexionen
Brechungen
Blenden ( Apertur )
Fallunterscheidung:
A Breelles Bild
darstellbar auf Bildschirm
virtuelles Bild
AB
nur darstellbar mit zweitem abbildenden System ( z.B. Auge )
A
Beispiele:
a) Ebener Spiegel:Spiegel
A
• virtuelles Bild• aufrecht• Abbildungs-Maßstab 1 1
Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.
Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.
b) Elliptischer Spiegel:
Spiegel
Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte )
ineinander ab.
Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte )
ineinander ab.
Brennpunkt Brennpunkt
Spezialfall:
Kugelspiegel Selbstabbildung des Mittelpunkts
c)Lochkamera:Schirm /
Film
a b
d
P
Pd
• Näherungsabbildung, Unschärfe d• invertiertes Bild
• Abbildungsmaßstab b a große Schärfe
• Loch d klein große Tiefenschärfe
kleine LichtstärkeBildfleck:
da
b1d
a
bad
Optimum:
opt
optB d
1λb2d
a
badd
λ2ba
bad opt
λ2
ba
bad opt
abhängig von Wellenlänge!
Beugungsfleck:
d
λb2dB
Grenze der geometrischen Optik
D f
d)Berechnung von Oberfächenformen ( Linsen ):
Zielsystem:
F
x
yRealisierung:
F
x
y
n( x , y )
L const.
fnDL1
( 1 )
( 2 )
222 xDfynxL
( Hyperbel )
1
b
y
a
xxLL
2
2
2
2M21
Übung
x
y
xM
a
Mxxa
by
Mxxa
by
D f
F
x
y
n
Bemerkung:• x(y) nur für diesen einen Strahlengang (achsparallele
Strahlen) korrekt sonst Abbildungsfehler• Vereinfachte Herstellung: sphärischer Schliff
gute Näherung für Wölbungsdicke ≪ f
x
y
xM
a
Mxxa
by
Mxxa
by
Gute Abbildung für dünne Linsen und achsnahe Strahlen
4. Elementare optische Bausteine4.1. Hohlspiegel
a)Achsparallele Srahlen:
y
x f
s1
s2
( x , y )
Fermat
2221 yxfxfssf2L
xf4y2 Parabolspiegel
z.B. für Astronomie, Autoscheinwerfer etc.
Bemerkung:
• x(y) nur für diesen einen (achsparallelen) Strahlengang korrekt sonst Abbildungsfehler
• Vereinfachte Herstellung: sphärische Hohlspiegel
gute Näherung für achsnahe Strahlen
.
Sphärische Hohlspiegel:
fM F
R
hR / 2
2cosα
11RFMRf
αcos
2RFM
achsnahe Strahlen:
1cosα,1αRh
2
Rf Brennweite des
Hohlspiegels
achsferne Strahlen: sphärische Aberration hff
R
hR
R
h1cosα
R
hsinα
22
2
2
hR
R
2
11Rhf
22
hR
R
2
11Rhf
22
0f
R0,87hd.h.60α
Grenzfall:
R
b) Punkt-zu-Punkt-Abbildung achsnaher Strahlen:
b
M
g
h
A
B
S Außenwinkel ASM Außenwinkel MSB
δ2βγ
2f
h
R
hsinδδ
b
htanββ
g
htanγγ
Rechnung bis O(h):
Abbildungsgleichung:f
1
b
1
g
1
g: Gegenstandsweiteb: Bildweitef: Brennweite
0 vor dem Spiegel 0 hinter dem Spiegel
gilt auch für Punkte
jenseits (aber nahe) der
optischen Achsegilt auch für Punkte
jenseits (aber nahe) der
optischen Achse
B
c)Abbildung eines Gegenstandes:
b
M
g
F
G
geometrische Konstruktion:
• Parallelstrahl Brennpunkt• Mittelpunktstrahl Selbstreflexion
• Brennpunktstrahl Parallelstrahl
Strahlensatz
bR
Rg
B
G
b
1g1
b1
g1
fb
fg
b2
2g
2
2
b2f
2fg
g R
R b
b
g
bgb
bgg
bgb
gbg
1
12
2
gb
bg
Abbildungsmaßstab:g
b
G
B
Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):
1) g R 2f :
Bild reell ( f b R 2f )
invertiert ( BG 0 )
verkleinert ( BG 1 )
BM
G
F
2) R g f :
Bild reell ( b R 2f )
invertiert ( BG 0 )
vergrößert ( BG 1 )
Strahlengang von Fall 1) invertiert
Strahlengang von Fall 1) invertiert
BM F
G
Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):
3) f g 0 :
Bild virtuell ( b 0 )
aufrecht ( BG 0 )
vergrößert ( BG 1 )
B
M F
G
Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):
Umkehrung des Strahlengangs in 3) Konkavspiegel
4) g 0 :
Bild virtuell ( f b 0 )
aufrecht ( BG 0 )
verkleinert ( BG 1 )
MF
G
F hinter Spiegel f 0B hinter Spiegel b 0G vor Spiegel g 0
F hinter Spiegel f 0B hinter Spiegel b 0G vor Spiegel g 0
B
g
b
G
B
f
1
b
1
g
1
universell mit obiger Vorzeichenkonvention
4.2. Prismen
n
C
21
12A
B
• Strahlablenkung
• Farbaufspaltung durch Dispersion ( Spektrographie )
Ablenkwinkel :
nγ,,αfββαα
βαβαδ
12121
2211
A,B,C: 21
22π
12π
ββγ
ββγπ
γααδ 21
Bemerkung: 2
n
Snellius121
n
Snellius1122 αβγββα :nγ,,ααα
Bemerkung: Umkehrbarkeit des Lichtweges
1221 α,αδα,αδ
n
γα2δ γα2δ Spezialfall: symmetrischer Strahlengang
βββααα 2121 βββααα 2121
2
γβ2βββγ 21
2γsinnαsin Snellius
21212121 dαdαdβdβ0dβdβγββ
Beweis: 2
2
1
1
dβ
dα
dβ
dαSymmetrie
q.e.d. 0dαdαdδγααδ 2121
Messung von min 2γsin
αsinn
Bemerkung: Symmetrie Extremum ( genauer: Minimum )
Farbaufspaltung (bei minimaler Ablenkung):
2γ
2γδ sinnsinαsinγα2δ
n
weißrotgrün
blau
2γ
2γ22
2γδ
21
2γ sin2
sinn1cos
sin
1
dδ
dn
dλ
dn
sinn1
sin2
dλ
dδ
dλ
dn
dn
dδ
2γ22
2γ
aus mikroskopischen
Modellen (klassisch bzw. quantenmechanisch)
Normale Dispersion: (durchsichtige Medien, fern von Absorption)
0dλ
dn 0dλ
dn
(sonst: anomale Dispersion)
also:
4.3. Linsen
4.3.1. Brechung an sphärischen Flächen
Licht
R
f b
f b
Licht
R
f b
f b
sphärische Fläche Grundelement der sphärischen Linse
Vorzeichenkonvention:
Abbildungsgleichung für achsnahe Strahlen:
Rechnung bis Oh:βα 11 Außenwinkel APM
2222 βααβ Außenwinkel BPM
22112211 βnβnαnαn Snellius
b1
R1
2R1
g1
1Rh
bh
2gh
1 nnβ,,
R
nn
b
n
g
n 1221
R
nn
b
n
g
n 1221
2hO
n1 n2 n1
Rh MR
A
g
B
b
11 12
β
2α1α P
(Analog: n2n1 divergierende Strahlen virtuelles Bild)
R
nn
b
n
g
n 1221
R
nn
b
n
g
n 1221
Rnn
nf
R
nn
f
n
12
22
12
2
2
Brennweiten:g
f2bb
f1g
Rnn
nf
R
nn
f
n
12
11
12
1
1
äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung:
1b
f
g
f 21
1b
f
g
f 21
1
1
2
221
f
n
f
n
b
n
g
n
1
1
2
221
f
n
f
n
b
n
g
n
4.3.2. Dünne Linsen
Dünne Linse 2 sphärische Grenzflächen; Dicke D ≪ Brennweiten
A ( g ) linke Fläche ( R1 ) Ã ( ):b~
1
1221
R
nn
b~n
g
n
2112
11
R
1
R
1nn
b
n
g
n
R2
n1n2
M1
R1
A
g
B
b
M2D0
nach Ã
b~
12
21
12
1
RR
RR
nn
nfmit
f
1
b
1
g
1
Abbildungsgleichung
à ( ) rechte Fläche ( R2 ) B ( b ):b~
2
2121
R
nn
b~
n
b
n
Interpretation von f:
gfb
bfg
f (beidseitige) Brennweite
LinsenumkehrLichtumkehr
12
21
RR
RR
f Linsen-Eigenschaft
f invariant
Definition: Die Größe 1/f heißt Brechkraft. Dioptriemf1 1 Dioptriemf1 1
Beispiel: n1 n2,5 R1 m R2 m f m
R1 0R2 0
1/f 0Sammellinse
R1 0R2 0
1/f 0Zerstreuungslinse
12
21
12
1
RR
RR
nn
nfmit
f
1
b
1
g
1
Abbildungsgleichung
Typen von Grenzflächen:
Licht
konvexR
konkavR
planR
Licht
bikonkavR1 R2
1 2
plankonkavR1 R2
konvexkonkavR1 R2
konkav f 0
Linsentypen:
Licht
bikonvexR1 R2
1 2
plankonvexR1 R2
konkavkonvexR1 R2
konvex f 0
Bi-Linsen Plan-Linsen Menisken-L.
b
B
4.3.3. Abbildung durch dünne Linsen
DParallelversetzung 0
für D 0
Sammellinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
reelles Bild
b
B
Zerstreuungslinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
Verwende rückwärtige Brennpunkte virtuelles Bild
Strahlensatz Abbildungsmaßstabg
b
G
B
f
x
x
f
Newtonsche Abbildungsgleichung fx x 2 fx x 2
b
B
Sammellinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
x
x
g
b
G
B
f
x
x
f fx x 2 fx x 2
• x x f BG eins-zu-eins-Abbildung
• Abstand Quelle-Schirm g b fest, verschiebe Linse 2 Stellungen mit scharfem Bild: x, x x, x Brennweitenmessung ohne absolute Linsenposition
b
B
Sammellinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
x
x
g
b
G
B
f
x
x
f fx x 2 fx x 2
b
B
Sammellinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
x
x
1G
B2fg
1G
B2fg
f
1
b
1
g
1
f
1
b
1
g
1
0f 0f
Bbfg
Bild reelles es,invertiertfg
Bild s virtuelle,aufrechtesfg
b
B
Zerstreuungslinse
G
F Fg
f f
Parallelstrahl
Mittelpunktstrahl
Brennpunktstrahl
f
1
b
1
g
1
f
1
b
1
g
1
g
b
G
B
g
b
G
B
0b
0f
0b
0f
• aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild
• 0 b f
Tangen
te
5. Matrixmethoden der geometrischen Optik5.1. Definitionen
s Entfernung entlang ReferenzstrahlReferenzstrahl Sollbahn optische Achse
x, y transversale Abweichungen eines Lichtstrahls vom Referenzstrahl
s
y
0s0
Hier: Betrachte nur eine transversale Projektion y. Annahme: x und y Lichtaus-breitung sind voneinanander unabhängig (entkoppelt).
Vollständige Beschreibung des Strahls:
0
0
0
0
0
0
sα
sy
sαtan
sy
sy
sy
Zustandsvektor
s0 beliebig
Transferabbildung:
sy
sys
a
a
a
a
sy
sy
y
y
e
e
e
e
sy
sy
y
y
Transferabbildung eines optischen Systems:
s
y
0 se
sa
Definition des Referenzstrahls
00,0g0,0f 00,0g0,0f
ee
ee
a
a
e
e
22
y,ygy,yf
yy
yy
: ℝ ℝ
Taylorentwicklung für achsnahe Strahlen:
2e
2ee
0,0ee
0,0eee
2e
2ee
0,0ee
0,0eee
y,yyy
gy
y
g0,0gy,yg
y,yyy
fy
y
f0,0fy,yf
O
O
a11
y
yM
y
y
e
e
a
a
y
yM
y
y
e
e
a
a
linearisierte Transfergleichung
2221
1211
aa
aaM
Transfermatrix
• i.a. eine Transfermatrix pro transversale Projektion
• falls x, y nicht entkoppelt Formalismus mit 44-Transfermatrizen und
4-komponentigen Zustandsvektoren ( x, x, y, y )
0
0
a12
a21 a22
5.2. Spezielle Transfermatrizena) Lichtausbreitung im homogenen, isotropen Medium (Driftstrecke):
ea
ea
yαtany
αtandyy
s
y
0se sa
ye
ya
d
ee ydy
10
d1M
b) Durchgang durch brechende Ebene:
s
y
0se sa
ye ya
2
1
nn0
01M
ee
ee
yαtan
αsinα
aaaa yαtanαsinα
e
n1 n2
e1a2
ea
ynyn
yy
Snellius
c) Durchgang durch sphärische Grenzfläche:
s
y
0se sa
2
1
2
12
nn
Rnnn
01M
n1 n2
e1 ya2 y
ae yyh
hR
ea yy
4.3.1.
enn
ennn
R1
a
11Rh
2122
1Rh
12Rh
2
yyy
nnnn
nn
2
1
2
21
5.3. Folge optischer Systeme
y
yM
y
y
0
01
1
1
y
yM
y
y
0
01
1
1
y
yM
y
y
1
12
2
2
y
yM
y
y
1
12
2
2
y
yMM
y
y
0
012
2
2
MMM 12tot MMM 12tot
Matrixmultiplikation
Allgemein:
211n2nn1nn21 MMMM 211n2nn1nn21 MMMM
s
y
0 s0 s1 s2
System 1 System 2
M1 M2
Mtot
Beispiele:
a) Dünne Linse:
s
y
0
ae ss
R2R1n1
n212 RR MMM
2
1
12
12
1
2
21
21
nn
Rnnn
nn
Rnnn
0101
1
01
1
01
211
12
11
12
21
21
R1
R1
nnn
Rnnn
Rnnn
1 / f
1
01M
f1
1
01M
f1
b) Dünne Linse Driftstrecke:
fd MMM
1
d1
1
01
10
d1
f1
fd
f1
s
y
0
f
sesa
d
Folgerung: d rechtsseitige Brennweite falls gilt:
0y0y ae für alle ye
d.h. fd0ayay0 11e11a
gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung
c) Driftstrecke dünne Linse:
df MMM
fd
f1
f1 1
d1
10
d1
1
01
s
y
0
f
sase
d
Folgerung: d linksseitige Brennweite falls gilt:
eae y 0y0y für alle
d.h. fd0ayay0 22e22a
gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung
1
d1M
fd
f1
1
d1M
fd
f1
s
y
0
f
sase
d
Bemerkung:
eef1
a y yyfd für alle
s
y
0
fF
Beliebig orientierte parallele Strahlen werden in die Brennebene abgebildet
(Punkt-Winkel-Abbildung)
Folgerung: Strahlengang-Konstruktion für beliebige Strahlen
F
Brennebene
parallelverschobener Mittelpunktstrahl
d) Abbildung durch dünne Linsen:
sy
0
f
FF
G
B
fg
b
fg
f1
fgb
fb
f1
fb
gfb1
bg1
10
g1
1
b1MMMM
MbMf Mg
Scharfe Abbildung ya f ye unabhängig von a12 0
(Abbildungsgleichung)
ey
f
1
b
1
g
1
f
1
b
1
g
1
g
b
b
1
g
1b1
f
b1a
G
BGayayB 1111e11a
Dann folgt:
5.4. Phasenraum einer Strahlenmenge
Alternative Definition: Zustandsvektor
Transfer
sysn
sy
ee
e
aa
a
yn
yM~
yn
y
Folge: Wegen det AB det A det B gilt dies auch für beliebige Kombinationen
Vorsicht: Werden Spiegelungen auch zugelassen, gilt nur 1M~
det
Optisches System
ne na
a
e
n
nMdet,1M
~det
Optisches System
n n
1Mdet,1M~
det
Folge: Driftstrecken, brechende Flächen, Linsen erfüllen alle
1M~
det
1M~
det 1M~
det so what?
Theorem von Liouville: Die Strahlenmenge nimmt in der ( y , n y )-Ebene, dem sogenannten Phasenraum, für alle s die gleiche Fläche ein:
const.syndsydsd 2 const.syndsydsd 2
Beweis: eee
eee
aaaaaaa
2 yndydyn,y
yn,yyndydd
e2d
Funktional-Determinante
1M
~det
yn,y
yn,y
ee
aa
e
aa
ee
a
e
a
ynyn
yyn
yny
yy
eee
aaa
q.e.d.,dd e2
a2
Beispiel:
Fast paralleles Strahlenbündel
s1 s2 s3
f
F
n 1
y
y
s1
Scherung
Sch
erun
g
s2
s3
Ellipsenfläche konstant
Ellipsenfläche konstant
Varianzen und Kovarianzen:2y 2y yy s
s1 max min 0 unkorreliert
s2 max max 0 maximal negativ korreliert
s3 min max 0 unkorreliert
Konsequenzen:
• Kein Strahlenbündel ist perfekt parallel kein Brennpunkt ist perfekt
f
sF
Strahleinhüllende
Strahltaille vor dem Brennpunkt
• Stochastische Prozesse (diffuse Streuung,...) vergrößern d2
• d2-Verkleinerung erfordert Einspeisung von InformationBeispiel: Stochastische Kühlung von Antiprotonstrahlen (S. van der Meer, Nobelpreis 1983)
Strahlform: i.a. gaußförmig, z.B. dy
dnyρ
y0
Gauß-Verteilung
2y yσ
2y
2
σ2
yexpyρ
• bleibt bei linearer Transferfunktion gaußförmig
• beschreibbar durch Breiten, d.h. (Ko-)Varianzen
sysysy
sysysysΣ
2
2
sysysy
sysysysΣ
2
2
-Matrix:
Mittelung über alle Strahlen des Bündels
2y
2y
yσ
yσ
11,σσyy yy
räumliche Breite
Winkeldivergenz
Korrelationsgrad
2y
2
σ2
yexpyρ
dy
dnyρ
y0
Gauß-Verteilung
2y yσ
• Transfer ( na ne ):
e
e
a
a
y
yM
y
y
Tea MΣMΣ
gaußsche
Fehlerfortpflanzung
• Folge ( na ne ): eT
ea ΣdetMdetΣdetMdetΣdet 11
Emittanz Phasenraumvolumenconst.Σdetε
sysysy
sysysysΣ
2
2
sysysy
sysysysΣ
2
2
h2
6. Dicke Linsen, Linsensysteme, Hauptebenen6.1. Das Hauptebenenkonzept Idee:Ersetze optisches System durch ein anderes (einfache Brechung ( f )
an zwei Hauptebenen (H1, H2)) mit gleicher Transfermatrix (aber i.a. unterschiedlichem Strahlengang innerhalb des Systems)
s
FB
f
FA
h1
f
f Systembrennweite
f Systembrennweite
H2H1
Konstruktionsvorschrift: • Driftstrecke bis H1
• Strahlübertragung nach H2
• Brechung an dünner Linse• Driftstrecke bis Systemende
1hM
22Id 1M fM
2hM
h2
s
FB
f
FA
h1
f
H2H1
f,h,hParameter freie 31Mdetmitaa
aaM 21
2221
1211
fh
f1
fhh
21fhd 5.3.
1
f1
21
212
1hh1
10h1
1001
101
10h1
M
Eindeutige Lösung:
a
1aa1fh
a
1aa1fh
a
1f
21
11112
21
22221
21
a
1aa1fh
a
1aa1fh
a
1f
21
11112
21
22221
21
6.2. System aus zwei Linsen
s
f1 f2
d
12 fdf MMMM
1
01
10
d1
1
01
12 f1
f1
22121
1
fd
ffd
f1
f1
fd
1
d1
ff
d
f
1
f
1a
f
1
212121
ff
d
f
1
f
1a
f
1
212121
da1fh
da1fh
1
2
ff
112
ff
221
da1fh
da1fh
1
2
ff
112
ff
221
Nahe Linsen (d 0): wie Einzellinse 0hh , f
1
f
1
f
1 21
21
Additionstheorem für n nahe Linsen: f
1
f
1
n
1i i
f
1
f
1
n
1i i
6.3. Dicke Linsen
12 RdR MMMM
2
1
12
12
1
2
21
21
nn
Rnnn
nn
Rnnn
01
10
d101
22
12
212
12
211
12
2
1
12
12
Rd
nnn
RRd
nnn
R1
R1
nnn
nn
Rd
nnn
1
d1
h2
sf
h1
G
Bn1
n1
FBn2
fFA
d
H1 H2R1 R2
h2
sf
h1
G
Bn1
n1FBn2
fFA
d
H1 H2R1 R2Vereinbarung: Messe g, b
von H1, H2 aus
bg
Vereinbarung + Konstruktion
b
1
g
1
f
1
b
1
g
1
f
1
g
b
G
B
g
b
G
B
12
12112
22
12221
R
fd
n
nna1fh
R
fd
n
nna1fh
12
12112
22
12221
R
fd
n
nna1fh
R
fd
n
nna1fh
RR
d
n
nn
R
1
R
1
n
nna
f
1
212
12
211
1221
RR
d
n
nn
R
1
R
1
n
nna
f
1
212
12
211
1221
Korrektur zur dünnen Linse
7. Linsenfehler • achsferne Strahlen• Strahlbündel asymmetrisch zur Achse• nicht-monochromatischer Strahl
7.1. Chromatischer Aberrationn n: Glas hat normale Dispersion, d.h. n f
chromatische Aberration
f
rotblau
Linse: 21 R
1
R
1ρmitρ1n
f
1
λdλd
ndρρnd
f
1d
Achromat: Linsensystem mit df /d bei einer mittleren Wellenlänge.
Erfordert Kombination von mehreren Linsen unterschiedlichen Materials.
kein perfekter Brennpunkt
λdλd
ndρ
λd
ndρ
f
1d
f
1d
f
1d0
22
11
21
Konstruktion eines zweilinsigen Achromats:
n1
n2
f1 f2
geklebt
f
1
f
1
f
1
21
f
1
f
1
f
1
21
λdnd
λdnd
ρ
ρ
1
2
2
1 jj
j
ρ1nf
1
λdnd1n
λdnd1n
f
f
12
21
1
2
1
2
Zielbrennweite f vorgegeben bestimme f1 und f2 aus und .1 2
Abhilfen:• Blenden gegen achsferne Strahlen Verringerung der Lichtstärke • besser als ; generell ex. optimale sphärische Form
• Kombinationen Sammel- / Streulinsen sphärische Korrektur
• nicht-sphärische Linsen aus gepresstem Kunststoff ( Acrylglas )
7.2. Sphärische Aberration
Sphärische Oberflächen kein perfekter Brennpunkt, nicht
einmal für achsparallele Strahlen sphärische Aberration
monochromatisch
f
Bildform
Sphärische Aberration bei schrägem Einfall: Koma
Koma
Bildform
7.3. Astigmatismus unterschiedliche Brechkraft in x- und y-Richtg.Extremfall: Zylinderlinse( Korrekturlinse für astigmatische Systeme )
sA
B
BildlinieAbbildung durch astigmatische Linse:
s
xy
Bemerkung: Stark unterschiedliche Einfallswinkel in x und y Astigmatismus durch sphärische Aberration auch bei perfekter (sphärischer) Linse
7.4. Bildfeldwölbung und VerzeichnungSphärische Aberration Ebenen werden in gewölbte Flächen abgebildet
s
G
B
Bildfeldwölbung
Bild in Brennebene
Randunschärfe
Abblenden
Verzeichnung
tonnenförmige kissenförmige
Entstehung der Verzeichnung:
s
Ideale Bildebene für achsnahe
Strahlen
Verzeichnung mit Kissenform
Blende
Ideale Bildebene für achsnahe
Strahlen
Entstehung der Verzeichnung:
s
Verzeichnung mit Tonnenform
Blende
8. Optische Instrumente
Aufgaben: • Bilderzeugung: Kamera, Diaprojektor, …• Vergrößerter Sehwinkel: Lupe, Mikroskop, Fernrohr, ...
Definition: Winkelvergrößerung α
αV
0
α
αV
0
Sehwinkel mit Instrument
Sehwinkel mit bloßem Auge
Definition: Deutliche Sehweite cm25s0 cm25s0 (ermüdungsfreie Akkomo-dation des Auges)
Auflösung des Auges bei s0: mrad0,31α min0 mrad0,31α min0
Kleinste sichtbare Objektgröße bei s0: μm70αsΔx min00
min μm70αsΔx min00
min
Wirkung eines Instruments: ΔxV
1Δx,α
V
1α minminmin
0min0 Δx
V
1Δx,α
V
1α minminmin
0min0
g
s
b
s
g
b
b
s
G
B
α
αV
s
Gα,
b
Bα 000
0Lupe
00
g f
G
8.1. Die Lupe
s
Lupe ( f )akkomodiertes
Auge
FF
B
b
aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild
aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild
b g,relles Bild
auf Netzhautrelles Bild
auf Netzhaut
f
sVfgb 0
Lupe entspanntes Auge:
f
s1V
s
1
f
1
g
1sb 0s
Lupe0
00
s0-akkomodiert:
G
Gf1
8.2. Das Mikroskop
s
Okular
F1
virtuelles Bild in
virtuelles Bild in
G Linse vergrößertes Zwischenbild Lupe Auge
F1
Objektiv
F2 F2
f2
Tubuslänge 21 f,ft g f1
entspanntes Auge
2
0Lupe
Okular1
2
f
sV,
f
t
g
ft
G
G
ff
stV
21
0Mikroskop
ff
stV
21
0Mikroskop
h
8.3. Das Fernrohr
f
f
fh
fh
α
βV
oku
obj
obj
okuF
2 Linsen im Abstand d f1 f2
f0ff
d
f
1
f
1
f
1
2121
teleskopisches System
Parallelstrahlen
Parallelstrahlen
a) Astronomisches ( Keplersches ) Fernrohr: f1, f2 0Okular ( f2
foku )Objektiv ( f1 fobj )
okufokuobj ff
s
Zwischen- bild
entspanntes Auge
Aperturblende Lichtstärke Gesichtsfeldblende
scharfe Bildfeldbegrenzung
• Bild invertiert Umkehrprisma für terrestrischen Einsatz
• Tubuslänge fobj ist i.a. sehr groß
b)Holländisches ( Galileisches ) Fernrohr: f1 0, f2 0
okuf
okuobj ff
s
Objektiv ( f1 fobj ) entspanntes Auge
Okular ( f2 foku )
f
fV
oku
objF
f
fV
oku
objF
• aufrechtes Bild• kompaktere
Bauweise
c) Weiter Systeme
• Spiegelteleskope
• Feldstecher
• ...
sehr kompakt
gleichmäßige Ausleuchtungscharfes Bild
der Glühwendel
8.4. Der Diaprojektor
KondensorDurchmesser großBrennweite klein
Projektions-Leinwand
Objektiv
Halogenlampe
Hohlspiegel
Bildbühne mit Diapositiv
scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs
scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs
Durchmesser d
8.5. Lichtstärke optischer InstrumenteBeispiel: Abbildung durch Linse (Kamera)
Linse ( f )Objekt Blende Eintrittspupille
Filmebene
Abstand 0
Bild (Größe B)
Bild der Blende Austrittspupille
Einfallende Lichtmenge d2 Lichtmenge pro Filmfläche 2
2
Bd
2Folge: Belichtungszeit 2 Blendenzahl Blende 1 1,4 2 2,8 4 5,6 8 11 16 22 32 45 64
1000 500 250 125 60 30 15 8 4 2 1 0,5 0,25 11 sT z. B.
B f Licht pro Film Def.: Blendenzahl df22 fd
z
9. Der Regenbogen Regentropfen, n 1,33
parallele Lichtstrahlen von der Sonne
x
α2β4βαβ2180βα180
R
R
zarcsin2
Rn
zarcsin4zφ
Rn
zβsin,
R
zαsin
Beobachtungsebene Sonne-Tropfen-AugeBeobachtungsebene
Sonne-Tropfen-AugeAblenkwinkel 180
R
zarcsin2
Rn
zarcsin4zφ
R
zarcsin2
Rn
zarcsin4zφ
zR
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
φd
Nd
42φ max 42φ max
Sonnenstrahlen (gleichverteilt in z)
divergierende LichtstrahldichteKaustik
Regenbogen bei 42
0i
i
i0 φzφ
zz
zdd
zdNd
d
Ndconst.
0zd
φd falls
φd
Nd
423
n4Rz0
zd
d max
2
0
• Regenbogen unter 42 Sonne im Rücken
• Höhe des Regenbogens hängt vom Sonnenstand ab
• normale Dispersion (Wasser) Rot außen, Blau innen
• im Prinzip beliebig viele weitere Kaustiken bei 2, 3, 4,... Reflexionen
• einzig sichtbare weitere Kaustik: 2 Reflexionen Nebenregenbogen bei 51, umgekehrte Farbfolge
• zwischen Haupt- und Nebenregenbogen: Dunkelzone
• Licht vom Regenbogen ist charakteristisch polarisiert ( beim Fotografieren: Effektverstärkung mit Polarisationsfiltern)
R
zarcsin2
Rn
zarcsin4zφ
R
zarcsin2
Rn
zarcsin4zφ
Monte-Carlo-Simulation des Regenbogens auf dem Computer:
a) Würfle mit Zufallszahlengenerator gleichverteilt RR,z
gleichverteilte Zufallszahl 0,1η1 Rη21z 1
b) Würfle mit Zufallszahlengenerator Polarisation des Lichtstrahls zerlege das unpolarisierte Licht von der Sonne in linear polarisierte Strahlen, 50% parallel, 50% senkrecht zur Beobachtungsebene ( Physik 3 )
gleichverteilte Zufallszahl 0,1η2
sonst0,5η falls||
onPolarisati 2
c) Berechne die Winkel und und mit Fresnel-Formeln ( Physik 3 ) die transmittierte und die reflektierte Strahlintensität. Fülle Histogramme für alle möglichen Strahlwege, jeweils gewichtet mit der Strahlintensität, bis die Gewichte sicher zu vernachlässigen sind ( d.h. Strahlintensität )
Wiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) StrahlenWiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) Strahlen
HauptregenbogenHauptregenbogen
NebenregenbogenNebenregenbogen
DunkelzoneDunkelzone
II
II
||
||
II
II
||
||
Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )
Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )