geometrie aﬁna˘ - babeș-bolyai...

Geometrie afina

Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

E-mail: cpintea math.ubbcluj.ro

Cuprins

1 Saptamana 1Structura afina a unui spatiu vectorial 11.1 Varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Spatiul director si dimensiunea unei varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Intersectia unei familii de varietati liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Apendix. Relatii de recurenta liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Saptamana 2 62.1 Invelitori si combinatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Dreptele unui spatiu afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Saptamana 3 93.1 Teorema dimensiunii. Paralelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Saptamana 4: Proprietati laticeale. Multimi convexe 114.1 Proprietati laticeale ale structurii afine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Structura afina a spatiului vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Submultimile convexe ale unui spatiu vectorial real . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3.1 Teorema lui Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Saptamana 5Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman si Motzkin 145.1 Teorema lui Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Teorema lui Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman si Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . 145.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Saptamana 6: Spatiul afin 166.1 Definitie si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Subspatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Combinatii afine ın spatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.4 Repere afine si repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

6.5 Schimbarea coordonatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Saptamana 7 227.1 Functii polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.1.1 Definitii si observatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.1.2 Functii polinomiale de gradul doi. Reprezentari matriceale . . . . . . . 22

8 Saptamana 8: Reducerea izometrica a polinoamelor de gradul doi ın doua variabile 248.1 Invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.2 Semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9 Saptamana 9: Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ındoua variabile 259.1 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 Saptamana 10: Reducerea izometrica a polinoamelor de gradul doi ın trei variabile 2810.1 Invarianti si semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10.1.1 Invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.1.2 Semiinvarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.2 Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ın trei variabile 3010.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 Saptamana 11. Morfisme liniare si aplicatii afine 3611.1 Ecuatiile unei aplicatii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.2 Imaginile inverse ale unei aplicatii afine. Teorema dimensiunii . . . . . . . . . 3711.3 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.4 Subspatii invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.5 Omotetii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12 Saptamana 12. Proiectii si simetrii 4112.1 Proiectii. Ecuatiile proiectiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.2 Simetrii. Ecuatiile simetriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.3 Translatiile ca produse de simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.5 Apendix. Proiectii si simetrii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.5.1 Proiectii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4612.5.2 Simetrii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 Saptamana 13. Izometriile spatiului afin euclidian 4913.1 Definitii si rezultate preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.2 Teorema Cartan-Dieudonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14 Saptamana 14. Perpendicularitate si distante 5114.1 Distanta de la un punct la un hiperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.2 Distanta de la un punct la o varietate liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

Coordonator: Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Departmentul de Mathematica,Universitatea “Babes-Bolyai”400084 M. Kogalniceanu 1,Cluj-Napoca, Romania

3

MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica

1 Saptamana 1Structura afina a unui spatiu vectorial

1.1 Varietati liniare

Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K.

Definitia 1.1. O varietate liniara ın V este o submultime a lui V de forma

a + U := {a + u|u ∈ U},

unde a ∈ V si U este un subspatiu vectorial al lui V, sau multimea vida. Multimea A(V) avarietatilor liniare ale lui V ordonata de incluziune se numeste structura afina a lui V.

Propozitia 1.1. Daca A = a + U ∈ A(V) si b ∈ A, atunci A = b + U.

Corolarul 1.2. O varietate liniara A este subspatiu vectorial daca si numai daca 0 ∈ A.

1.2 Spatiul director si dimensiunea unei varietati liniare

Propozitia 1.3. Daca a + U = a′ + U′ ∈ A(V), atunci U = U′.

Asadar, ın reprezentarea unei varietati liniare nevide A sub forma a +U, subspatiul vec-torial U este unic determinat de A. Acesta va fi notat cu D(A) si se va numi (sub)spatiul(vectorial) director al varietatii liniare A.

Definitia 1.2. Spunem ca varietatile liniare A, B ∈ A(V) sunt paralele, si scriem A‖B, dacaD(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A).

Definitia 1.3. Definim dimensiunea unei varietati liniare A astfel:

dim(A) :={

dim(D(A)) daca A 6= ∅−1 daca A = ∅.

Definitia 1.4. I Daca dim(A) = 1, 2 sau p, atunci A se numeste dreapta, plan sau p-plan.

I Daca dim(A) = 0, atunci A este formata dintr-un singur element numit punct.

I Daca 0 ∈ A, atunci A se numeste dreapta vectoriala, plan vectorial sau p-plan vectorial.

I Daca D(A) este un hiperplan vectorial, atunci A = a + D(A) se numeste hiperplan.

I Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional, atunci orice hiperplan al lui V are di-mensiunea n− 1.

Propozitia 1.4. Fie V, W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B este o varietate liniara a lui W, adica B ∈ A(W), atunci f−1(B) := {a ∈ V| f (a) ∈ B} esteo varietate liniara a lui V, adica f−1(B) ∈ A(V).

Corolarul 1.5. Fie V si W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B ∈ A(W) este astfel ıncat f−1(B) 6= ∅ si a ∈ f−1(B), atunci f−1(B) = a + f−1 (D(B)),fapt care arata ca D

(f−1(B)

)= f−1 (D(B)). In particular, daca pentru un element b ∈ W avem

f−1(b) 6= ∅ si a ∈ f−1(b), atunci D(

f−1(b))= f−1(0W) = ker( f ), adica f−1(b) = a+ker( f ).

Asadar solutia generala a ecuatiei neomogene f (x) = b este suma dintre o solutie particulara aecuatiei neomogene f (x) = b cu solutia generala a ecuatiei omogene f (x) = 0W .

Cornel Pintea Page 1 of 54 © ’Babes-Bolyai’ University 2016


1.3 Intersectia unei familii de varietati liniare

Propozitia 1.6. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V, atunci⋂i∈I

Ai ∈ A(V).

Corolarul 1.7. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V astfel ıncat⋂i∈I

Ai 6= ∅, atunci D

(⋂i∈I

Ai

)=⋂i∈I

D(Ai). In acest caz dim

(⋂i∈I

Ai

)= dim

(⋂i∈I

D(Ai)

).

Propozitia 1.8. Daca a si b sunt puncte distincte ın V, atunci exista o singura dreapta, notata cuab, care contine pe a si b.

Apendix. Relatii de recurenta liniare

Fie K este un corp. Notam prin KN multime tuturor sirurilor de elemente din K, adicamultime tuturor functiilor a : N −→ K. Vom nota cu a(n) sau cu an valoarea functiei a penumarul natural n. In cazul al doilea, vom nota cu (an)n≥0 sau, simplu, cu (an) sirul/functiaa. Daca α ∈ K si a, b ∈ KN, definim sirurile a + b, a · b si α · a prin (a + b)(n) := a(n) + b(n)(a · b)(n) := a(n)b(n) si (α · a)(n) = αa(n), sau, echivalent, (a + b)n = an + bn si (α · a)n =αan, for all n ∈N. Multimea KN este evident un K-spatiu vectorial fata de operatiile:

KN × KN −→ KN, (a, b) 7→ a + b (1.1)

K× KN −→ KN, (α, a) 7→ α · a. (1.2)

Putem scrie aceste operatii astfel:

KN × KN −→ KN, ((an), (bn)) 7→ (an) + (bn) := (an + bn) (1.3)

K× KN −→ KN, (α, (an)) 7→ α · (an) := (αan). (1.4)

De fapt KN este chiar o K-algebra fata de operatiile (1.1), (1.2) si

KN × KN −→ KN, (a, b) 7→ a · b sau (1.5)

KN × KN −→ KN, ((an), (bn)) 7→ (an) · (bn) := (anbn). (1.6)

De altfel operatia externa (1.2) (sau (1.4)) poate fi obtinuta din operatia binara (1.5) (sau(1.6)) prin restrictia scalarilor de la KN la K ⊆ KN. Intr-adevar K se scufunda ın KN prinincluziunea care asociaza scalarului k ∈ K sirul constant (kn), adica kn = k pentru oricen ∈N. Observam ca spatiul vectorial KN este infinit dimensional deoarece submultimea sainfinita {e1, e2, e3, . . . , }, unde

e1 := (1, 0, 0, . . .), e2 := (0, 1, 0, . . .), e3 := (0, 0, 1, . . .),

este libera (liniar independenta). De asemenea orice functie R : KN −→ KN de tipul

R(an)n≥0 = (cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an)n≥0 ,

unde c0, . . . , cr ∈ KN sunt r siruri date, este liniara. Asadar imaginea inversa

R−1( f ) :={

a ∈ KN : cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = f (n), ∀n ≥ 0}



a unui sir f ∈ KN este o varietate liniara a lui KN a carui directie este subsptiul

ker R = R−1(0) ={

a ∈ KN : cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = 0, ∀n ≥ 0}

.

Ecuatiacr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = f (n), ∀n ≥ 0, (1.7)

care defineste varietatea liniara R−1( f ), se numeste relatie de recurenta liniara neomogena deordin r, iar ecuatia

cr(n)an+r + cr−1(n)an+r−1 + · · ·+ c0(n)an = 0, ∀n ≥ 0, (1.8)

care defineste subspatiul ker R al lui KN, se numeste relatie de recurenta liniara omogena deordin r. Daca sirurile c0, . . . , cr ∈ KN sunt constante, atunci (1.7) si (1.8) devin

cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an = f (n), ∀n ≥ 0 (1.9)cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an = 0, ∀n ≥ 0 (1.10)

si se numesc relatie de recurenta liniara neomogena de ordin r cu coeficienti constanti respectivrelatie de recurenta liniara omogena de ordin r cu coeficienti constanti.

Examplul 1.1. ([2, p.62]) Relatia de recurenta liniara neomogena de ordin 1

an+1 = c(n)an + f (n) (1.11)

are solutia generala

an = a0c(0) · · · c(n− 1) + c(1) · · · c(n− 1) f (0) + c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2) + f (n− 1). (1.12)

Observam acum ca solutia generala (1.12) a relatiei de recurenta liniara neomogena deordinul 1 (1.11) are componenta a0c(0) · · · c(n − 1) care, atunci cand a0 parcurge ıntregulcorp K, genereaza nucleul ker R al transformarii liniare

R : KN −→ KN, R(an)n≥0 = (an+1 − c(n)an)n≥0,

iar sirul (ξn)n≥0, unde ξ0 = 0 si

ξn := c(1) · · · c(n− 1) f (0)+ c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2)+ f (n− 1), ∀n ≥ 1,

este o solutie particulara a ecuatiei R(an) = f (n), ∀n ≥ 0. In termenii aplicatiei liniaresolutia generala a recurentei liniare (1.11) este

ker R + (ξn)n≥0 = 〈(φn)n≥0〉+ (ξn)n≥0,

unde φ0 = 1, iar φn = c(0) · · · c(n− 1) pentru n ≥ 1.Daca sirul (c(n)) este constant si are termenii egali cu c, atunci relatia de recurenta liniara

neomogena de ordin 1 cu coeficienti constanti

an+1 = can + f (n)

are solutia generala

an = a0cn +n−1

∑k=0

ck f (n− k− 1).



Teorema 1.9. ([2, p.68]) Daca s este o radacina de ordin m a polinomului

crXr + cr−1Xn+r−1 + · · ·+ c1X + c0 ∈ C[X], (1.13)

atunci sirurile (nksn)n≥0, 0 ≤ k ≤ m− 1 sunt solutii ale relatiei de recurenta liniara omogena deordin r cu coeficienti constanti (1.10). Daca

crXr + cr−1Xn+r−1 + · · ·+ c1X + c0 = cr(X− s1)m1 · · · (X− sp)

mp , si 6= sj pentru i 6= j,

atunci solutia generala a recurentei liniare omogena de ordin r cu coeficienti constanti (1.10) estemultimea combinatiilor liniare a sirurilor (nksn

j )n≥0, 0 ≤ k ≤ mj − 1, 1 ≤ l ≤ r.

Asadar

ker R = 〈(sn1), (nsn

1), . . . , (nm1−1sn1), (s

n2), (nsn

2), . . . , (nm1−1sn2), . . . , (sn

p), (nsn1), . . . , (nmp−1sn

p)〉,

undeR : KN −→ KN, R(an)n≥0 = (cran+r + cr−1an+r−1 + · · ·+ c0an)n≥0 ,

iar s1, . . . , sr sunt radacinile polinomului (1.13), numit polinomul caracteristic al recurenteiliniare omogene de ordin r cu coeficienti constanti (1.10). Prin urmare ker R este un subspatiufinit dimensional al lui KR si dim ker R ≤ r.

Examplul 1.2. Vom determina sirul lui Fibonacci definit de relatia de recurenta

Fn = Fn−1 + Fn−2

si conditiile initiale F0 = 0 si F1 = 1.

1.4 Probleme

1. Se considera un corp finit K cu card(K) = q.

(a) Determinati numarul punctelor unei varietati p-dimensionale ale lui Kn.

(b) Determinati numarul dreptelor lui Kn care trec printr-un punct fixat.

2. In R4 se dau planul α = (2, 4, 1, 2) + 〈(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)〉 si dreapta D = (2, 3,−1, 1)+ 〈(1, 1,−1, 1)〉. Sa se determine D ∩ α.

3. (A se vedea si [3, Problema 1, p. 91]) Care dintre urmatoarele submultimi sunt varietatiliniare ale spatiilor lor ambiente ?

(a) A := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − x2 + x3 − 2 = 0}(b) B := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : (x1 + x2, 2x2 + x3, x3 − 2x1) ∈ A}(c) C := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1+x22+x2

3−2x1x2−2x1x3+2x2x3=0}(d) D := {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x4

1 + x2 − 2x3 + x4 = 0}

4. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn doua siruri finite de numere reale. Fie I ⊆ R un intervaldeschis s g : I −→ R o functie de clasa C∞. Care dintre urmatoarele submultimi suntvarietati liniare ale spatiului C∞(I) ?

(a) A := { f ∈ C∞(I) : f (n) + a1 f (n−1) + · · ·+ an−1 f ′ + an f + g = 0};(b) B := {h ∈ C∞(I) : h(n) + b1h(n−1) + · · ·+ bn−1h′ + bnh ∈ A};



(c) C := {ϕ ∈ C∞(I) : ϕ3 − 5ϕ2 + 6ϕ = 0}.

5. ([3, Problema 2, p. 91]) In spatiul R4 se dau varietatile liniare

a = (2, 1, 2, 1), D = (1, 3, 0, 0) + 〈(1, 1, 1, 1)〉α = (1, 0, 1, 0) + 〈(2, 1, 3,−1), (1, 0, 2,−2)〉H = 〈(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)〉.

Care dintre urmatoarele relatii au loc ?

I a ∈ D, I a ∈ α, I a ∈ H, I D‖α, I D‖H, I α‖H, I D ⊆ α, I α ⊆ H.

6. ([3, Problema 11, p. 94]) In spatiul vectorial V (dim V > 4) se dau trei puncte distinctea, b, c si un plan α = a + 〈d1, d2〉. Sa se determine o varietate liniara 4-dimensionalaA ∈ A(V) care contine punctele a, b si c si este paralel cu α.

7. ([3, Problema 13, p. 95]) Consideram un spatiu vectorial V, o varietate liniara r-dimensionala A ∈ A(V) si un punct b ∈ V. Sa se arate ca exista o singura varietateliniara r-dimensionala B ∈ A(V) astfel ıncat b ∈ B si B‖A.

8. Sa se arate ca un hiperplan H = a + 〈d1, . . . , dn−1〉 a lui Rn este caracterizat de ecuatia∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − a1 x2 − a2 · · · xn − an

d11 d2

1 · · · dn1

...... . . . ...

d1n1

d2n−1 · · · dn

n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

unde a = (a1, a2, . . . , an) si di = (d1i , d2

i , . . . , dni ) pentru 1 ≤ i ≤ n− 1.

9. Gasiti solutia generala a recurentei liniare neomogene de ordinul 1 cu coeficienti constanti

an+1 = can + dn.

10. Aratati ca∣∣∣∣∣∣∣∣∣a + ξ1η1 ξ1η2 · · · ξ1ηm

ξ2η1 a + ξ2η2 · · · ξ2ηm

...... . . . ...

ξmη1 ξmη2 · · · a + ξmηm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = am−1(a + ξ1η1 + · · ·+ ξmηm). (1.14)

Indicatie. Aratati mai ıntai ca determinatul de mai sus, sa-i spunem ∆m, satisface relatiade recurenta

∆m = a∆m−1 + ξmηmam−1.

11. Determinati sirul (an) dat prin relatia de recurenta an+2 = 2(an+1− an) si prin conditiileinitiale a0 = a1 = 1.

12. Determinati, ın functie de a0 si a1 sirul dat prin relatia de recurenta liniara

an+2 − (s1 + s2)an+1 + s1s2an = 0.

13. Daca (Fn) noteaza sirul lui Fibonacci (definit de relatia de recurencta Fn = Fn−1 + Fn−2si conditiile initiale F0 = 0 si F1 = 1), aratati ca

limn→∞

Fn+1

Fn=

1 +√

52

.



2 Saptamana 2

2.1 Invelitori si combinatii afine

Definitia 2.1. Daca M este o submultime a lui V, atunci varietatea liniara

af(M) :=⋂{A |M ⊆ A, A ∈ A(V)}

se numeste ınfasuratoarea sau anvelopa sau ınchiderea afina a lui M.

Propozitia 2.1. (Proprietatile operatorului af ) Fie M, N ∈ P(V) si A ∈ A(V).

1. M ⊆ af(M) si af(M) ∈ A(V).

2. Daca M ⊆ A si A ∈ A(V), atunci af(M) ⊆ A.1

3. M ⊆ N =⇒ af(M) ⊆ af(N).2

4. af(M) = M⇐⇒ M ∈ A(V).

5. af (af(M)) = af(M).3

In sectiunea urmatoare vom arata ca ınvelitoarea afina a multimii M este multimea combinatiilorafine de elemente din M.

Definitia 2.2. O combinatie liniaram

∑i=1

λixi a.ı.m

∑i=1

λi = 1, se numeste combinatie afina.

Propozitia 2.2. O submultime L a lui V este varietate liniara a lui V daca si numai daca(x1, . . . , xm ∈ L si λ1, . . . , λm ∈ K,

m

∑i=1

λi = 1

)⇒

m

∑i=1

λixi ∈ L. (2.1)

Propozitia 2.3. Daca M ∈ P(V), atunci

af(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣m∈N, xi∈M, λi ∈ K, i=1, . . . , m,m

∑i=1

λi = 1}

.

2.2 Dreptele unui spatiu afin

Amintim ca daca a si b sunt puncte distincte ın V, atunci exista o singura dreapta, notata cuab, care contine pe a si b. Mai precis ab = a + 〈b− a〉.

Propozitia 2.4. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. Osubmultime L a lui V este varietate liniara daca si numai daca, odata cu doua puncte distincte a, b ∈L, multimea L contine ıntreaga dreapta ab.

1af(M) este cea mai mica varietate liniara ce contine multimea M.2Operatorul ′′af′′ este crescator.3Operatorul ′′af′′ este idempotent.



Demonstratie. Avem de aratat ca

L ∈ A(V)⇐⇒ (x, y ∈ L, t ∈ K =⇒ (1− t)x + ty ∈ L.)

“ =⇒ “ Din x, y ∈ L deducem ca y ∈ L = x + D(L), adica y − x ∈ D(L) si implicit ca〈y− x〉 ⊆ D(L).

Asadar xy = x + 〈y− x〉 ⊆ x + D(L) = L.“ ⇐= “ Putem presupune ca L 6= ∅ deoarece, altfel n-am avea nimic de demonstrat. Con-sideram a ∈ L si aratam ca Y = L− a este un subspatiu vectorial al lui V.

Pentru aceasta consideram y1 = x1 − a, y2 = x2 − a ∈ Y, unde x1, x2 ∈ L. Daca t ∈ K,atunci observam ca (1− t)y1 + ty2 = (1− t)x1 + tx2 − (1− t)a− ta = (1− t)x1 + tx2 − a,care conform ipotezei ın care lucram, apartine lui L− a = Y. Am aratat deci ca

y1, y2 ∈ T, t ∈ K =⇒ (1− t)y1 + ty2 ∈ Y. (2.2)

Luand y1 = 0 obtinem cay ∈ Y, t ∈ K =⇒ ty ∈ Y.

Fie acum α ∈ K \ {0, 1}, adica α si 1− α sunt inversabile. Asadar (1− α)−1y1 ∈ Y si α−1y2 ∈Y pentru orice y1, y2 ∈ Y, fapt care arata, folosind (2.2), ca

y1 + y2 = (1− α)[(1− α)−1y1] + α[α−1y2] ∈ Y.

Asdar Y ≤ V si L = a + Y.

Examplul 2.1. Daca corpul K al scalarilor lui V are doar doua elemente, atunci propozitia 2.4nu are loc. Intr-adevar, daca K = Z2 = {0, 1}, atunci submultimea M := {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}a planului V = Z2

2 contine toate dreptele care trec prin cate doua puncte din M, ıntrucatdreptele planului Z2

2 sunt formate din doar doua puncte, si totusi M nu este varietate liniara.Intr-adevar, daca M ar fi varietate liniara a lui V, atunci M ar fi chiar subspatiu vectorial allui V deoarece 0 ∈ M. Dar atunci (1, 1) = (0, 1) + (1, 0) ar apartine lui M, ceea ce nu esteadevarat.

Observatia 2.1. Propozitia (2.4) poate fi rescrisa ın termenii aplicatiei

α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K} (2.3)

astfel:Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. O submultime L a lui Veste varietate liniara daca si numai daca α(L) ⊆ L.

Observatia 2.2. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K. Daca M ⊆ V, atunci

M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ af(M).

Intr-adevar, incluziunea M ⊆ α(M) este evidenta, fapt care arata ca

M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ αk(M) ⊆ · · · . (2.4)

Din relatia M ⊆ af(M) deducem α(M) ⊆ α(af(M)) ⊆ af(M), precum si ca αk(M) ⊆ af(M),pentru orice k ≥ 1.

O ıntrebare naturala care apare ın legatura cu sirul (2.4) este daca termanii acestuiaacopera ıntrega ınvelitoare afina a lui M ıncepand cu un anumit rang. Daca spatiul am-biant V a lui M este finit-dimensional, atunci raspunsul este afirmativ, asa cum vom vedeamai tarziu.



2.3 Probleme

1. Sa se arate ca doua varietati liniare r-dimensionale A si B ale unui spatiu vectorial Vsunt paralele daca si numai daca D(A) = D(B).

2. In R4 consideram urmatoarele varietati liniare

(L1)

{x1 + x3 − 2 = 0

2x1 − x2 + x3 + 3x4 − 1 = 0

(L2)

x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 1

x2 + x3 − 3x4 = −1x1 − x2 + 3x4 = 3

(a) Sa se determine dimensiunile lui L1 si L2 si sa se scrie ecuatiile lor paramertice sivectoriale.

(b) Sa se arate ca L1‖L2.

3. In spatiul afin Rn (n ≥ 2) se dau dreapta

∆ = (a1, . . . , an) + 〈(p1, . . . , pn)〉, (p21 + · · ·+ p2

n > 0)

si hiperplanul H : α1x1 + · · ·+ αnxn + β = 0, (α21 + · · ·+ α2

n > 0). Sa se arate ca ∆‖Hdaca si numai daca α1p1 + · · ·+ αn pn = 0.

4. Sa se arate ca pentru orice submultimi M si N ale spatiului vectorial V are loc relatia

af (af(M) ∪ af(N)) = af(M ∪ N). (2.5)



3 Saptamana 3Observatia 3.1. Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional si M ⊆ V este o multimenevida, atunci

af(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣1 ≤ m ≤ n + 1, λi ∈ K, xi ∈ M, i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

3.1 Teorema dimensiunii. Paralelism

Propozitia 3.1. Daca A, B ∈ A(V), a ∈ A, b ∈ B, atunci

af(A ∪ B) = a + D(A) + D(B) + 〈b− a〉 .

Propozitia 3.2. Fie A, B ∈ A(V), a ∈ A, b ∈ B. Atunci

A ∩ B 6= ∅⇐⇒ 〈b− a〉 ⊆ D(A) + D(B).

Propozitia 3.3. Daca varietatile liniare A si B au un punct comun a, atunci avem af(A ∪ B) =a + D(A) + D(B) si A ∩ B = a + D(A) ∩ D(B).

Examplul 3.1. Daca A, B sunt varietati liniare ıntr-un spatiu vectorial peste K 6' Z2 si A ∩B 6= ∅, atunci

af(A ∪ B) = {ta + (1− t)b | a ∈ A, b ∈ B, t ∈ K}. (3.1)

Ipotezele A ∩ B 6= ∅ si K 6' Z2 sunt esentiale.

Observatia 3.2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K.

1. Daca A, B ∈ A(V) sunt varietati liniare astfel ıncat A ∩ B 6= ∅, atunci se poate usorarata ca α(A ∪ B) = {λa + (1− λ)b | a ∈ A, b ∈ B, λ ∈ K}unde α este functia (2.3).Egalitatea 3.1) ne arata ca pentru M = A ∪ B invelitoarea afina af(M) = af(A ∪ B)este acoperita de la prima iterare α(M), adica egalitatea af(M) = αr(M) are loc pentrur = 1.

2. Daca A este o varietate liniara a spatiului vectorial V de dimensiune cel putin unu sic ∈ V \ A un punct dat, atunci α({c} ∪ A) =

⋃a∈A af(a, c). Faptul ca α({c} ∪ A) =⋃

a∈A af(a, c) nu este o varietate liniara (a se vedea problema 3.2(1)) arata ca egalitateaαr({c} ∪ A) = af({c} ∪ A) este satisfacuta pentru r ≥ 2. Se poate arata ca α2({c} ∪A) = af({c} ∪ A) ın cazul K 6∼= Z2.

Teorema 3.4. (Teorema dimensiunii) Fie A, B varietati liniare nevide de finit dimensionale.

1. Daca A ∩ B 6= ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim(A) + dim(B)− dim(A ∩ B).

2. Daca A ∩ B = ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim (D(A) + D(B)) + 1.

Propozitia 3.5. Presupunem ca dim(V) = n. Daca varietatea afina A ∈ A(V) nu are niciunpunct comun cu hiperplanul H, atunci A||H.

Observatia 3.3. Daca dreapta L intersecteaza hiperplanul H ıntr-un punct, atunci orice dreaptaparalela L′ la L intersecteaza H tot ıntr-un punct. Intr-adevar, altfel am avea L′||H, adicaL||H si deci L ⊆ H sau L ∩ H = ∅.



3.2 Probleme

1. Fie A o varietate liniara de dimensiune cel putin unu a unui spatiu vectorial V si c ∈V \ A un punct dat. Este multimea ⋃

a∈Aaf(a, c)

o varietate liniara ?

2. Sa se arate ca daca ın structura afina a unui spatiu vectorial 4-dimensional doua hiper-plane au un punct comun, atunci ele au un plan comun.

3. Se considera varietatile liniare A si B astfel ıncat A ∩ B = ∅ si dim A = dim B = p. Sase arate ca A‖B daca si numai daca A si B sunt incluse ıntr-o varietate de dimensiunep + 1.

4. Se considera ın R5 vectorii a = (1, 0, 0, 2, 0), b = (0, 2, 0, 0, 1), c = (1, 2, 0, 0, 0) si d =(0, 0, 0, 2, 1) si varietatile liniare A = a + 〈b, c〉, B = c + 〈b, d〉. Sa se afle A ∩ B siaf(A ∪ B).

5. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional peste corpul K, unde K 6' Z2. Se consideraaplicatia

α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K}

si iteratele α1 = α, α2 = α ◦ α, . . .. Sa se arate ca pentru orice M ∈ P(V) se poate gasiun numar natural r astfel ıncat

af(M) = αr(M).

Sa se arate ca ipoteza K 6' Z2 este esentiala.

6. Sa se determine toate pozitiile reciproce posibile a doua plane α si β dintr-un spatiuvectorial 4-dimensional precizand ın fiecare caz si dim(af (α ∪ β)).

7. Intr-un spatiu vectorial n-dimensional fie L1 si L2 doua varietati liniare de dimensiunep respectiv q (p > q, p + q ≤ n− 1), astfel ıncat L1 ∩ L2 = ∅ si L1 6 ‖L2. Sa se determinemultimea valorilor posibile pentru dim af(L1∪L2).

8. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional consideram doua hiperplane.Care sunt valorile posibile pentru dim(H1 ∩ H2) si dim af(H1 ∪ H2) ?

9. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional se considera un hiperplan H sio varietate lininara p-dimensionala (p < n− 1). Sa se arate ca atunci are loc una dintrerelatiile:

(a) dim(H ∩ Ap) = p− 1;

(b) H‖Ap.



4 Saptamana 4: Proprietati laticeale. Multimi convexe

4.1 Proprietati laticeale ale structurii afine.

Teorema 4.1. Structura afina A(V) este o latice completa. Pentru o familie oarecare {Ai}i∈I devarietati liniare ale lui V avem:

infi∈I

Ai =⋂i∈I

Ai si supi∈I

Ai = af(⋃

i∈I

Ai).

Observatia 4.1. 1. Daca A, B ∈ A(V) si a ∈ A, b ∈ B, atunci A∨ B = a + D(A) + D(B) +〈b− a〉 si A ∧ B = A ∩ B.

2. Daca A ∩ B 6= ∅ si a ∈ A ∩ B, atunci A ∨ B = a + D(A) + D(B) si A ∧ B = A ∩ B =a + D(A) ∩ D(B).

Propozitia 4.2. Daca spatiile vectoriale V si W, avand scalarii ın acelasi corp K, sunt izomorfe,atunci laticele A(V) si A(W) sunt izomorfe. Daca f : V −→ W este un izomorfism liniar, atunciaplicatia f : A(V) −→ A(W), f (A) := { f (a) | a ∈ A} = f (A) este un izomorfism laticeal.

4.2 Structura afina a spatiului vectorial Kn

Din Propozitia 4.2 reiese importanta structurii afineA(Kn) a lui Kn. Intr-adevar, orice spatiuvectorial n-dimensional peste K este izomorf cu Kn, structurile afine ale spatiilor vectori-ale n-dimensionale fiind laticeal izomorfe cu A(Kn). Fie A = x0 + D(A) ∈ A(Kn), iar{d1, . . . , dr} o baza a lui D(A), x0 = (x1, . . . , xn) si dj = (d1j, . . . , dnj), j = 1, 2, . . . , r. Asadar

A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn | xi = x0

i +r

∑j=1

dijλj, λj ∈ K}

.

Relatiile

xi = x0i +

r

∑j=1

dijλj, i = 1, . . . , n (4.1)

se numesc ecuatiile parametrice ale varietatii liniare A. Pe de alta parte, varietatile liniare alelui Kn coincid cu solutiile sistemelor liniare.

Mai precis, orice varietate liniara A ∈ A(Kn) poate fi caracterizata si astfel:

A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn |

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m}

.

Conditiile care figureaza aici, adica

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m,

se numesc ecuatiile implicite ale varietatii liniare A. Intersectia a doua varietati liniare A, B ∈A(Kn) se caracterizeaza usor daca A si B sunt date prin sisteme de ecuatii. Mai precis sis-temul de ecuatii a lui A ∩ B se obtine luand ecuatiile lui A si B. Varietatea liniara A ∨ B,subıntinsa de varietatile liniare A si B, se caracterizeaza ınsa mai usor daca avem reprezentarileparametrice ale varietatilor A si B.



4.3 Submultimile convexe ale unui spatiu vectorial real

Definitia 4.1. Fie V un spatiu vectorial real. O multime C ⊆ V se numeste convexa dacapentru orice x, y ∈ C segmentul [xy] := {(1− t)x + ty : t ∈ [0, 1]} este continut ın C.

Definitia 4.2. Daca M este o submultime a lui V, atunci multimea

conv(M) :=⋂{C |M ⊆ C si C− convexa}

se numeste ınvelitoarea convexa sau ınchiderea convexa a lui M.

Propozitia 4.3. (Proprietatile operatorului conv)

1. M ⊆ conv(M) si conv(M) este o multime convexa pentru orice M ∈ P(V).

2. Daca M ⊆ C si C este convexa, atunci conv(M) ⊆ C.4

3. M ⊆ N =⇒ conv(M) ⊆ conv(N).5

4. conv(M) = M daca si numai daca M este convexa.

5. conv (conv(M)) = conv(M) pentru orice M ∈ P(V).6

Observatia 4.2. 1. Daca {Ci}i∈I este o familie de submultimi convexe ale spatiului vec-torial real V, atunci intersectia

⋂i∈I

Ci este de asemenea o multime convexa.

2. Submultimea M a spatiului vectiral real V este convexa daca si numai daca

∀m ≥ 1, x1, . . . , xm, t1, . . . , tm ∈ [0, 1], t1 + · · ·+ tm = 1⇒ t1x1 + · · ·+ tmxm ∈ M.

Definitia 4.3. O combinatie liniaram

∑i=1

λixi a.ı.m

∑i=1

λi = 1 si λ1, . . . , λm ∈ [0, 1], se numeste

combinatie convexa.

Propozitia 4.4. Daca V este un spatiu vectorial real si M ⊆ V este o multime nevida, atunci

conv(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣m ≥ 1, xi ∈ M, λi ∈ [0, 1], i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

4.3.1 Teorema lui Caratheodory

Teorema 4.5. (Caratheodory) Daca V este un spatiu vectorial real n-dimensional si M ⊆ V este omultime nevida, atunci

conv(M) ={ m

∑i=1

λixi

∣∣∣1 ≤ m ≤ n + 1, xi ∈ M, λi ∈ [0, 1], i = 1, m,m

∑i=1

λi = 1}

.

4conv(M) este cea mai mica multime convexa ce contine multimea M.5Operatorul ′′conv′′ este crescator.6Operatorul ′′conv′′ este idempotent.



4.4 Probleme

1. Daca C1, C2 sunt doua submultimi convexe ale lui Rn, ara tati ca C1 +C2 este de aseme-nea convexa.

2. In spatiul vectorial R2 varfurile unui triunghi sunt A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3). Sase arate ca punctul M(x, y) este ın interiorul triunghiului A1A2A3 daca si numai daca

S12(x, y)S12(x3, y3) > 0,S23(x, y)S23(x1, y1) > 0,S31(x, y)S31(x2, y2) > 0,

unde

Sij(x, y) =

∣∣∣∣∣∣x y 1xi yi 1xj yj 1

∣∣∣∣∣∣ .

3. Fie A, B ⊂ Rn multimi convexe disjuncte si nevide, iar x un punct din Rn. Aratati ca

conv({x} ∪ A) = {ta + (1− t)x | a ∈ A, t ∈ [0, 1]}.

Aratati ca A ∩ conv({x} ∪ B) = ∅ sau B ∩ conv({x} ∪ A) = ∅.

4. Sa se arate ca pentru doua submultimi oarecare A si B ale lui Rn are loc egalitatea:

conv(A) + conv(B) = conv(A + B).

5. Sa se arate ca radacinile polinomului derivat al unui polinom neconstant cu coeficienticomplecsi apartin ınvelitorii convexe a radacinilor polinomului dat.(Teorema Gauss-Lucas)



5 Saptamana 5Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman siMotzkin

5.1 Teorema lui Radon

Teorema 5.1. (Radon) Daca M este submultime finita a unui spatiu vectorial real n-dimensionalformata din m ≥ n + 2 puncte, atunci exista submultimile disjuncte M1, M2 ale lui M astfel ıncatM = M1 ∪M2 si conv(M1) ∩ conv(M2) 6= ∅.

5.2 Teorema lui Helly

Teorema 5.2. (Helly) Daca submultimile convexe M1, . . . , Mr ale spatiului afin Rn sunt astfel ıncatr ≥ n + 1 si, luate cate n + 1 ın toate modurile posibile, au intersectia nevida, atunci

M1 ∩ · · · ∩Mr 6= ∅.

5.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman si Motzkin

Definitia 5.1. Un punct extremal al multimii convexe C este un punct x ∈ C cu urmatoareaproprietate

λy + (1− λ)z = x, y, z ∈ C, λ ∈ (0, 1) =⇒ y = z = x.

Teorema 5.3. (Minkowski) Orice submultime convexa si compacta a lui Rn este ınchiderea convexaa multimii punctelor sale extremale.

Teorema 5.4. (Krein-Milman) Orice submultime convexa si compacta K a unui spatiu local convexpoate fi reprezentata sub forma K = cl conv ext K, unde ext K este multimea punctelor extremaleale lui K.

Teorema 5.5. (Motzkin) Orice multime poliedrala este suma (Minkowski) dintre un politop si uncon convex.

5.4 Probleme

1. Gasiti o familie (infinita) de multimi convexe din plan avand intersectia vida, iar intersectiaoricaror 3 multimi din familie este nevida.

2. Se considera ınplan o multime finita cu proprietatea ca oricare trei puncte ale multimiisunt continute ıntr-un disc de raza 1. Sa se arate ca exista un disc de raza 1 care continetoate punctele multimii date.

3. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ın cat pentru oricare 3 dintre ele existao dreapta care le intersecteaza. Sa se arate ca exista o dreapta care intersecteaza toatesegmentele.

4. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ın cat pentru oricare 4 dintre ele existao parabola care le intersecteaza. Sa se arate ca exista o parabola care intersecteaza toatesegmentele.



5. (Jung) Sa se arate ca orice multime finita din plan de diametru 1 poate fi acoperita deun disc de raza 1√

3.



6 Saptamana 6: Spatiul afin

6.1 Definitie si exemple

Definitia 6.1. Se numeste spatiu afin un triplet (X,→X, ϕ), unde X este o multime ale carei

elemente se numesc puncte,→X este un spatiu vectorial, iar ϕ : X × X −→

→X este o aplictie a.

ı.:

1. ϕ(P, Q) + ϕ(Q, R) = ϕ(P, R), ∀P, Q, R ∈ X.

2. Pentru orice O ∈ X si orice a ∈→X, exista un singur punct A ∈ X astfel ca ϕ(O, A) = a.

Cu notatia−→PQ:= ϕ(P, Q), conditiile de mai sus se scriu:

1′−→PQ +

−→QR=

−→PR, ∀P, Q, R ∈ X.

2′ Pentru orice O ∈ X aplicatia ϕO : X →→X definita prin ϕO(M) =

−→OM este bijectiva.

Luand P = Q = R = A ın (1′) deducem−→AA= 0, ∀A ∈ X.

Examplul 6.1. 1. Tripletul (P ,V , ϕ), unde ϕ : P ×P −→ V , ϕ(A, B) =−→AB este un spatiu afin.

2. Tripletul (V, V, ϕ), unde V este un spatiu vectorial si ϕ : V×V −→ V, ϕ(v1, v2) = v2− v1, esteun spatiu afin.

Intrucat ϕO : X −→→X este bijectie, iar

→X este un spatiu vectorial, exista o unica structura de spatiu

vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data de operatiile:

1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=

−→OA +

−→OB.

2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ

−→OA,

iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la X ınpunctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegerea punctuluiO.

Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde de O ∈ X.



6.2 Subspatii afine

Intrucat ϕO : X −→→X este bijectie, iar

→X este un spatiu vectorial, exista o unica structura

de spatiu vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data deoperatiile:

1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=

−→OA +

−→OB.

2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ

−→OA,

iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la Xın punctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegereapunctului O. Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde deO ∈ X.

Propozitia 6.1. Varietatile liniare nevide ale lui TO(X) sunt submultimile lui X de forma

L = {M|−→AM∈ U}, (6.1)

unde A ∈ X si U ≤→X.

Observatia 6.1. In egalitatea 6.1 punctul A ∈ L poate fi ales arbitrar ın L, iar subspatiul U al

lui→X este unic determinat de L si U = {

−→AM |M ∈ L}.

Definitia 6.2. Se numeste varietate liniara sau subspatiu afin al lui X orice varietate liniara aspatiului vectorial TO(X). Multimea varietatilor liniare ale lui X se noteaza cu A(X). Spatiul

director al varietatii liniare L ∈ A(X) este spatiul director al varietatii liniare ϕO(L), adica {−→AM:

M ∈ L}.

6.3 Combinatii afine ın spatii afine

Fie (X,→X, ϕ) un spatiu afin si A1, . . . , Am ∈ X, iar λ1, . . . , λm scalari dati. Punctul

M = λ1 �O A1 ⊕O · · · ⊕O λm �O Am (6.2)

este doar atunci definit cand s-a ales un punct O ∈ X, iar M depinde de alegerea lui O.

Daca ınsa combinatia liniara 6.2 este o combinatie afina, adicam

∑i=1

λi = 1, atunci punctul M nu

depinde de alegerea punctului O ∈ X.

Definitia 6.3. Date fiind punctele A1, . . . , Am ∈ X si scalarii λ1, . . . , λm astfel ıncatm

∑i=1

λi = 1,

punctul M definit prin relatia 6.2 se numeste baricentrul sistemului de puncte A1, . . . , Am cuponderile λ1, . . . , λm.

Propozitia 6.2. Fie (X,→X, ϕ) un spatiu afin si S ⊆ X; atunci S este un subspatiu afin al lui X daca

si numai daca pentru orice sistem finit de puncte din S, orice baricentru al acestui sistem apartine luiS.



Propozitia 6.3. Fie A0, A1, . . . , Am puncte ale spatiului afin X. Atunci

M ∈ af{A0, A1, . . . , Am} ⇐⇒−→

A0M∈⟨ −→

A0A1, . . . ,−→

A0Am

⟩.

Corolarul 6.4. dim af{A0, A1, . . . , Am} ≤ m.

Corolarul 6.5. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. dim af{A0, A1, . . . , Am} = m.

2. vectorii−→

A0A1, . . . ,−→

A0Am sunt liniar independenti.

3. nici unul dintre punctele A0, A1, . . . , Am nu apartine subspatiului afin subıntins de celelalte.

Definitia 6.4. Punctele A0, A1, . . . , Am se numesc afin independente daca ele ındeplinesc unadintre conditiile corolarului 6.5. In caz contrar aceste puncte se numesc afin dependente.

6.4 Repere afine si repere carteziene

Definitia 6.5. Un sistem de puncte A0, A1, . . . , An afin independente, luate ıntr-o ordine de-terminata, se numeste reper afin al varietatii liniare L = af{A0, A1, . . . , An}.

De exemplu punctele A0 = (0, . . . , 0), Ai = (δ1i , . . . , δn

i ), unde δji este simbolul lui Kro-

necker, i = 1, . . . , n formeaza un reper afin al lui Kn.Fie A0, A1, . . . , An un reper afin al lui L ∈ A(X). Dat fiind M ∈ L, exista scalarii

ξ0, ξ1, . . . , ξn astfel ıncat, pentru orice O ∈ X sa avem:−→

OM=n

∑i=0

ξi

−→OAi si

n

∑i=0

ξi = 1. In

particular−→

A0M=n

∑i=0

ξi

−→A0Ai=

n

∑i=1

ξi

−→A0Ai, deoarece

−→A0A0=

−→0 .

Intrucat vectorii−→

A0A1, . . . ,−→

A0An sunt liniar independenti, rezulta ca scalarii ξ1, . . . , ξn,si prin urmare ξ0 = 1 − ξ1 − · · · − ξn, cu proprietatile de mai sus sunt unici. Scalariiξ0, ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatele baricentrice ale lui M, iar ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatelecarteziene ale lui M fata de reperul afin (A0, A1, . . . , An).

Definitia 6.6. Se numeste reper cartezian al varietatii liniare L ∈ A(X) orice pereche R =

(O, b), unde O ∈ L, iar b= [e1, . . . ,en] este o baza ordonata a spatiului director−→L . Punctele

(O, A1, . . . , An) cu proprietatea ca ei =−→

OAi, i = 1, . . . , n formeaza reperul afin asociat reperuluicartezian R.

Fie R = (O, e1, . . . , en) un reper cartezian al spatiului afin X. Vom folosi notatiile

[M]R = [−→

OM]b =

ξ1...ξn

sau M(ξ1 · · · , ξn).

Observam ca daca [M]R = [ξi] si [N]R = [ηi], atunci componentele vectorului−→

MN fata de

baza b sunt ηi− ξi, adica [−→

MN]b = [ηi− ξi], ıntrucat−→

MN=−→ON −

−→OM. Daca (A0, A1, . . . , An)

este un reper afin al spatilui afin X, atunci aplicatia

TA0 (X) −→ Kn, M(x1, . . . , xn) 7−→ (x1 . . . , xn)

defineste un izomorfism de spatii vectoriale, care determina, la randul sau, un izomorfismlaticeal A(X) −→ A(Kn).



Teorema 6.6. Fie R = (O, b) un reper cartezian al spatilui afin X si (x1, . . . , xn) coordonateleuni punct generic al spatiului X fata de acest reper. Atunci o varietate liniara r-dimensionala secaracterizeaza prin ecuatii parametrice de forma

xi = x0i +

r

∑j=1

dijλj, i = 1, . . . , n.

O varietate liniara (n−m)-dimensionala se identifica cu multimea solutiilor unui sistem de ecuatiiliniare

n

∑j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , m.

6.5 Schimbarea coordonatelor

Fie R = (O, b) si R′ = (O′, b′) doua repere carteziene ale lui X si T matricea de trecere de labaza b la baza b′. Pentru a stabili legatura dintre [M]R si [M]

R′ observam ca avem succesiv:

[M]R = [−→

OM]b = T · [−→

OM]b′ = T · [

−→OO′ +

−→O′M]b′

= T · [−→

O′M]b′ + T · [−→

OO′]b′ = T · [M]R′ + [

−→OO′]b

= T · [M]R′ + [O′]R

Propozitia 6.7. Schimbarea coordonatelor carteziene se face dupa formula

[M]R = T · [M]R′ + [O′]R .

In termenii coordonatelor carteziene formula schimbarii de coordonate devine

xi =n

∑i=0

tijx′j + αi, i = 1, . . . , n,

unde T = (tij) si [O′]tR= (α1 · · · αn).

6.6 Probleme

1. In spatiul vectorial Kn, unde K este un corp oarecare, se considera o varietate liniara p-dimensionala A. Sa se construiasca o aplicatie ϕ : A× A −→ Kp astfel ıncat (A, Kp, ϕ)sa fie un spatiu afin.

2. Fie A, B doua puncte ale unui spatiu afin real X si C, D punctele definite prin

C =1

1− λA +

λ

λ− 1B, D =

11 + λ

A +λ

λ + 1B,

unde λ ∈ R \ {−1, 1}. Aratati ca−→EA= λ2

−→EB, unde E =

12

C +12

D.

3. Fie A1, . . . , An puncte ale spatiului afin real X si λ1, . . . , λn scalari reali astfel ıncatn

∑i=1

λi = 1. Consideram punctele

B1 = λ1A1 + λ2A2 + · · · + λn−1An−1 + λn AnB2 = λ1A2 + λ2A3 + · · · + λn−1An + λn A1B3 = λ1A3 + λ2A4 + · · · + λn−1A1 + λn A2

...Bn−1 = λ1An−1 + λ2An + · · · + λn−1An−3 + λn An−2Bn−1 = λ1An + λ2A1 + · · · + λn−1An−2 + λn An−1.



Aratati ca cele doua sisteme de puncte au acelasi centru de greutate7, adica

1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An =1n

B1 +1n

B2 + · · ·+1n

Bn. (6.3)

4. Fie A1, . . . , An, B1, . . . , Bn puncte din spatiul afin real X. Aratati ca

−→A1B1 + · · ·+

−→AnBn= n

−→GG′,

undeG =

1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An, G′ =1n

B1 +1n

B2 + · · ·+1n

Bn

sunt centrele de greutate ale celor doua sisteme de puncte. Prin urmare cele doua

sisteme de puncte au acelasi centru de greutate ddaca−→

A1B1 + · · ·+−→

AnBn=→0 .

5. Se considera un reper afin (A0, A1, . . . , An) al spatiului afin X si baricentrele de ponderiegale8

Gi =n

∑j=0,j 6=i

1n

Aj.

Sa se arate ca

n⋂i=0

AiGi = {G} , unde G =1

n + 1A0 +

1n + 1

A1 + · · ·+1

n + 1An,

adica intersectia dreptelor AiGi, i ∈ {0, 1 . . . , n} este centrul de greutate al sistemuluide puncte A0, A1, . . . , An.

6. Intr-un spatiu afin tridimensional raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele O′(0, 3, 1) si vectorii e′1(2,−1,−1), e′2(2,−1, 2), e′3(3, 0, 1). Sa se scrie formulelede trecere de la reperul R la reperul R′ = (O′, e′1, e′2, e′3). Sa se determine coordonatelepunctului A(1,−2, 0) fata de reperul R′.

7. In planul afin K2 consideram un repoer afin R = (A0, A1, A2).

(a) Care sunt coordonatele lui A1 fata de R ?

(b) Sa se scrie ecuatia dreptei AB, unde A, B ∈ K2, unde

[A]R =

[a0

], [B]R =

[0b

].

(c) Sa se calculeze coordonatele punctelor A0, A si B fata de reperul R = (A1, A2, A3),unde

[A3]R =

[11

].

7Centrul de greutate al unui sistem de puncte A1, . . . , An dintr-un spatiu afin X este baricentrul sitemului

cu ponderi egale G =1n

A1 +1n

A2 + · · ·+1n

An.8Centrele de greutate ale fetelor simplexului A0 A1 . . . An.



8. In spatiul afin 4-dimensional X raportat la reperul cartezian

R = (A0,−→

A0A1,−→

A0A2,−→

A0A3,−→

A0A4)

se dau puntele B(1, 1, 0, 0), C(0, 1, 1, 0).

(a) Sa se arate ca

R = (A3,−→

A3A1,−→

A3A4,−→A3B,

−→A3A2)

este un reper cartezian.

(b) Sa se scrie formulele de trecere de la reperul R la reperul R.

(c) Sa se determine [M]R siind ca [M]tR= [5 − 1 0 2].

(d) Un subspatiu afin al lui X este dat, fata de reperul R, prin sistemul{x1 + 2x2 − x3 = 0x1 +x4 = 2.

Care sunt ecuatiile acestui subspatiu fata de reperul R ?

(e) Un subspatiu afin al lui X este dat, fata de reperul R, prin sistemul{x1− x2 + x3 −x4 = 0

x2 + x3 = 5.

Care sunt ecuatiile acestui subspatiu fata de reperul R ?

9. Se considera un plan π si R = (O,→i ,→j ) un reper cartezian ortonormat al sau. Con-

sideram de asemenea elipsa E a carei ecuatie fata de reprerul cartezian ortonormat

R′ = (O′,→i′,→j′) este 10x′2 + 5y′2 = 10, unde O′

(−4

5,

25

)si→i′=

2√5

→i −

1√5

→j si

→j′=

1√5

→i +

2√5

→j . Aflati ecuatia elipsei E fata de reperul R.

10. Se considera un plan π si R = (O,→i ,→j ) un reper cartezian ortonormat al sau. Con-

sideram de asemenea hiperbola H a carei ecuatie fata de reprerul cartezian ortonor-

mat R′ = (O′,→i′,→j′) este 4x′2 − y′2 = 36, unde O′ (3,−4) si

→i′=

1√5

→i +

2√5

→j si

→j′= − 2√

5

→i +

1√5

→j . Aflati ecuatia hiperboleiH fata de reperul R.



7 Saptamana 7

7.1 Functii polinomiale

7.1.1 Definitii si observatii

Fie X un spatiu afin real n-dimensional. O functie f : X −→ R se numeste functie poli-nomiala daca exista un reper cartezian R = (O, e1, . . . , en) al lui X si un polinom F ∈R[X1, X2, . . . , Xn

]astfel ıncat pentru orice punct X ∈ X de coordonate carteziene (x1, x2, . . . , xn)

fata de R sa avemf (X) = F(x1, x2, . . . , xn),

adica f este un polinom ın coordonatele lui X fata de R. Observam ca notiunea de functiepolinomiala nu depinde de alegerea reperului cartezian R. Intradevar, daca S este un altreper cartezian si f : X → R este un polinom ın coordonatele lui X fata de R, atunci f esteun polinom de acelasi grad si ın coordonatele lui X fata de S, deoarece formulele de trecerede la reperul R la reperul S sunt polinoame de gradul ıntai reversibile.

Prin urmare gradul polinomului F este invariant la schimbarea reperului si se numestegradul lui f. Alegerea convenabila a reperului poate conduce la o forma cat mai simpla apolinomului de reprezentare a lui f .

Definitia 7.1. Daca f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi pe spatiul afinn-dimensional X, atunci preimaginea Q = f−1(0) se numeste hipercuadrica. Daca n = 2,atunci Q se numeste conica, iar daca n = 3, atunci Q se numeste cuadrica.

7.1.2 Functii polinomiale de gradul doi. Reprezentari matriceale

Fie f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi care, fata de reperul cartezian

R = (O, e1, . . . , en) al lui X, are reprezentarea f (M) = a00 + 2n

∑i=1

ai0xi +n

∑i,j=1

aijxixj pentru

orice M(x1, . . . , xn) ∈ X. Aceasta se poate reprezenta matriceal astfel:

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR

A[M]R ,

unde

A :=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

.

Matricea A poate fi aleasa simetrica deoarece f admite si reprezentarea

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR

A + At

2[M]R .

Notam cu [ f ]R matricea A, atunci cand A este simetrica, adica

f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR· [ f ]R · [M]R ,

unde

[ f ]R :=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

, aij = aji, 1 ≤ i, jl.



Daca R′ = (O′, e′1, . . . , e′n) este un alt reper cartezian, atunci [M]R = T[M]R′ + [O′]R , ude

T este matricea de trecere de la baza b = (e1, . . . , en) la baza b′ = (e′1, . . . , e′n), fapt care arataca

f (M) = b00 + 2(b10 · · · bn0)[M]R′ + [M]t

R′(Tt[ f ]R T)[M]

R′ ,

undeb00 = a00 + 2(a10 , . . . , an0)[O

′]R + [O′]tR· [ f ]R [O

′]R = f (O′)

(b10 · · · bn0) = (a10 · · · an0)T +12[O′]t

R([ f ]R + [ f ]t

R)T.

Asadar [ f ]R′ = Tt[ f ]R T.

O alta matrice importanta legata de reprezentarea functiei polinomiale f fata de reperulR este

[[ f ]]R :=

a00 a01 a02 · · · a0n

a10 a11 a12 · · · a1n

a20 a21 a22 · · · a2n...

...... . . . ...

an0 an1 an2 · · · ann

unde a0i = ai0 , i = 1, n.

Intr-adevar avem

f (M) = (1 x1 x2 · · · xn)[[ f ]]R

1x1x2...xn

.

Daca [M]tR′= (x′1 x′2 · · · x′n), atunci avem

1x1x2...xn

=

1 0 0 · · · 0β1 t11 t12 · · · t1n

β2 t21 t22 · · · t2n...

...... . . . ...

βn tn1 tn2 · · · tnn

1x′1x′2...x′n

,

unde

[O′]R =

β1β2...βn

si T = (tij)1≤i,j≤n .

Prin urmare avem

f (M) = (1 x′1 x′2 · · · x′n)(St[[ f ]]R S)

1x′1x′2...x′n

,

unde

S =

1 0 0 · · · 0β1 t11 t12 · · · t1n

β2 t21 t22 · · · t2n...

...... . . . ...

βn tn1 tn2 · · · tnn

,



fapt care arata ca [[ f ]]R′ = St[[ f ]]R S.

8 Saptamana 8: Reducerea izometrica a polinoamelor de graduldoi ın doua variabile

8.1 Invarianti ortogonali

Fie π ⊆ P un plan afin si f : π → R o functie polinomiala de gradul doi reprezentata ın

raport cu reperul cartezian ortonormat R = (O,→i ,→j ) de polinomul

F = a00 + 2a10X + 2a20Y + a11X2 + 2a12XY + a22Y2, adica

[ f ]R =

(a11 a12a21 a22

)si [[ f ]]R =

a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

, aij = aji.

Definitia 8.1. O functie Φ : R6 → X se numeste invariant ortogonal al functiei polinomiale

f : π → R, f (M) = a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2

daca valoarea Φ(a00, a10, a20, a11, a12, a22) nu se schimba atunci cand schimbam reperul cartezianortonormat.

Propozitia 8.1. Polinomul caracteristic

P(λ) = det([ f ]R − λI2) =

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣= λ2 − I · λ + δ, (a21 = a12)

este invariant ortogonal al lui f. In particular

δ = det [ f ]R =∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣ = a11a22 − a212 si I = Tr [ f ]R = a11 + a22

sunt invarianti ortogonali ai lui f. De asemenea determinantul

∆ = det [[ f ]]R =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣ , (aik = aki)

este invariant ortogonal al lui f numit discriminantul lui f.

8.2 Semiinvarianti ortogonali

Definitia 8.2. semiinvariant ortogonal al functiei polinomiale f : π → R, f (M) = a00 +2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 daca valoarea Ψ(a00, a10, a20, a11, a12, a22) nu se schimbaatunci cand schimbam reperul cartezian ortonormat fara a schimba originea sa.

Propozitia 8.2. Polinomul PO(λ) =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 − λ a12a20 a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣∣ = ∆− Kλ + a00λ2 este un semi-

invariant ortogonal al lui f. Prin urmare,

K =

∣∣∣∣ a00 a01a10 a11

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a02a20 a22

∣∣∣∣este un semiinvariant ortogonal al lui f .



8.3 Probleme

1. Sa se calculeze invariantii si semiinvariantii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2:

(a) αx2 + 2βxy− (α− 2)y2 + 2x + 2y + 2 = 0;

(b) (α− 1)x2 + 2βxy− (α + 1)y2 + 2αx + 2βy− (α + 1) = 0,

α, β fiind coordonatele unui punct din plan.

2. Sa se calculeze invariantii si semiinvariantii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2:

(a) −2 + 16x− 8y + 9x2 − 4xy + 6y2;

(b) −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2;

(c) 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2.

9 Saptamana 9: Teorema de reducere izometrica a polinoamelorde gradul doi ın doua variabile

Teorema 9.1. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala f are unadin formele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;

2. Iy′′2 ± 2√−∆

I x′′, daca δ = 0, ∆ 6= 0;

3. Iy′′2 + KI , daca δ = ∆ = 0.

In procesul de reducere al functiilor polinomiale de gradul doi, matricea simetrica [ f ]R sediagonalizeaza cu ajutorul unei baze de vectori proprii ai acestei matrici. Directiile vectorilorunei astfel de baze, adica spatiile generate de ei, se numesc directii principale ale functieipolinomiale ın discutie.

Teorema 9.2. (Teorema de reducere izometrica a conicelor) Data fiind conica

Q : a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0

exista un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel ıncat ecuatia acesteia sa aiba una dinformele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + ∆δ = 0, daca δ 6= 0;

2. Iy′′2 ± 2√−∆

I x′′ = 0, daca δ = 0, ∆ 6= 0;

3. Iy′′2 + KI = 0, daca δ = ∆ = 0.



∆ 6= 0 δ > 0 I∆ > 0 elipsa imaginaraI∆ < 0 elipsa reala conice

δ < 0 hiperbola nedegenerateδ = 0 parabola

∆ = 0 δ > 0 doua drepte secante imaginareδ < 0 doua drepte secante reale coniceδ = 0 K > 0 doua drepte paralele imaginare degenerate

K < 0 doua drepte paralele realeK = 0 doua drepte reale confundate

Demonstratia teoremei de reducere a polinoamelor de gradul doi in doua variabile sug-ereaza o metoda de a aduce conicele la forma canonica, numita metoda valorilor si a vectorilor

proprii. In continuare vom prezenta o metoda alternativa de a gasi reperul R′ = (O′,→i′,→j′),

fata de care ecuatia unei conice cu centru unic (ex. elipsa, hiperbola) are forma are formaredusa.

Originea O′ este centrul conicei. Asadar, coordonatele sale date de unica solutie a sis-temului { 1

2 F′x(x, y) = 012 F′y(x, y) = 0

⇔{

a10 + a11x + a12y = 0a20 + a12x + a22y = 0 (9.1)

Daca θ = ^(→i ,→i′), atunci coordonatele lui

→i′ın raport cu baza initiala [

→i ,→j ] sunt (cos θ, sin θ)

iar coordonatele lui→j′

sunt (− sin θ, cos θ). Vectorii→i′,→j′

fiind directiile principale core-spunzatoare valorilor proprii λ1 respectiv λ2, coordonatele lor sunt solutiile sistemelor{

(a11 − λ1) cos θ + a12 sin θ = 0a12 cos θ + (a22 − λ1) sin θ = 0 (9.2){−(a11 − λ2) sin θ + a12 cos θ = 0−a12 sin θ + (a22 − λ2) cos θ = 0. (9.3)

Prin urmareλ1 = a11 + a12tgθ, λ2 = a11 − a12ctgθ. (9.4)

Adunand relatiile (9.4) si tinand seama de relatia a11 + a22 = λ1 + λ2, deducem relatia

a12tg2θ + (a11 − a22)tgθ − a12 = 0. (9.5)

Schimband eventual rolul lui λ1 cu cel al lui λ2, baza [→i′,→j′] poate fi astfel alesa ıncat

unghiul rotatiei sa fie ıntre 0 si π2 . Acest fapt ımpreuna cu relatia 9.5 determina ın mod

unic θ (cu exceptia cazului a12 = 0, a11 = a22, cand conica este un cerc si θ poate lua oricevaloare) care este unghiul rotatiei axelor de coordonte. Ecuatia 9.5 este echivalenta cu ecuatia(a11 − a22)tgθ = a12(1− tg2θ) sau cu ecuatia

tg2θ =2a12

a11 − a22(9.6)

Pantele directiilor asimptotice sunt date de ecuatia

a22m2 + 2a12m + a11 = 0. (9.7)

Notand cu m1, m2 cele doua radacini ale ecuatiei 9.7, ecuatiile asimptotelor sunt:

F′x + miF′y = 0, i ∈ {1, 2} (9.8)

ecuatia globala a celor doua asimptote este

F(x, y) =∆δ

(9.9)



9.1 Probleme

1. Sa se discute natura conicei(Qα,β

)αx2 + 2βxy− (α− 2)y2 + 2x + 2y+ 2 = 0, α, β fiind

coordonatele unui punct din plan.

2. Sa se discute natura conicei(Q′α,β

)(α− 1)x2 + 2βxy− (α + 1)y2 + 2αx + 2βy− (α + 1) = 0,

α, β fiind coordonatele unui punct din plan.

3. Sa se scrie ecuatia redusa a conicei 9x2 − 25y2 − 18x + 50y− 241 = 0.

4. Sa se aduca la forma redusa izometrica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) Q1 : −2 + 16x− 8y + 9x2 − 4xy + 6y2 = 0.

(b) Q2 : −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2 = 0.

(c) Q3 : 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2 = 0.



10 Saptamana 10: Reducerea izometrica a polinoamelor degradul doi ın trei variabile

10.1 Invarianti si semiinvarianti ortogonali

Fie g : P → R o functie polinomiala de gradul doi reprezentata fata de reperul cartezian

ortonormat R = (O,→i ,→j ,→k ) prin

g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + a22y2 + a33z2

= a00 +2(a10 a20 a30)[M]R + [M]tR· [g]R · [M]R ,

unde

[g]R =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Daca R′ = (O′,→i′,→j′,→k′) este un alt reper cartezian ortonormat, amintim ca [g]

R′ = Tt ·

[g]R · T, unde T este matricea ortonormata de trecere de la baza [→i ,→j ,→k ] la baza [

→i′,→j′,→k′].

Asadar, rangul matricii [g]R nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonormat R si senoteaza cu r. De altfel nici rangul matricii

[[g]]R =

a00 a01 a02 a03a10 a11 a12 a13a20 a21 a22 a23a30 a31 a32 a33

nu depinde de alegerea reperului cartezian ortonormat R si se noteaza cu r′, deoarece [[g]]

R′ =

St · [[g]]R · S, unde S are forma(

1 0∗ T

). Este usor de verificat ca r′ ∈ {r, r + 1, r + 2}. Am-

intim ca pe langa invariantii numerici r si r′ asociati functiei polinomiale g : P → R,

g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + a22y2 + a33z2

= a00 +2(a10 a20 a30)[M]R + [M]tR· [g]R · [M]R ,

,

un alt invariant numeric al sau asociat lui g este indicele pozitiv de inertie i al formei patratice

2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a11x2 + a22y2 + a33z2,

adica numarul valorilor proprii > 0 ale matricii [g]R .

Definitia 10.1. O aplicatie Φ : R10 → X se numeste invariant ortogonal al functiei polinomiale

g : P → R, g(M) = a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + 2a22y2 + a33z2

daca valoareaΦ(a00, a10, a20, a30, a12, a13, a23, a11, a22, a33) (10.1)

nu se schimba atunci cand schimbam reperul cartezian ortonormat. Aplicatia Φ se numestesemiinvariant ortogonal al functiei polinomiale g daca valoarea (10.1) nu se schimba atuncicand schimbam reperul cartezian ortonormat, fara a schimba originea sa.



10.1.1 Invarianti ortogonali

Propozitia 10.1. Polinomul caracteristic

P(λ) =

∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 a13

a21 a22 − λ a23a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = I0 − I1λ + I2λ2 − λ3,

unde aji = aij , este invariant ortogonal al lui g, adica

I0 = δ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣I1 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣I2 = a11 + a22 + a33

sunt invarianti ortogonali ai lui g. De asemenea determinantul

∆ = det[[g]]R =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02 a03a10 a11 a12 a13a20 a21 a22 a23a30 a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣ , (aik = aki)

este invariant ortogonal al lui g numit discriminantul lui g.

10.1.2 Semiinvarianti ortogonali

Propozitia 10.2. Polinomul

PO(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02 a03a10 a11 − λ a12 a13a20 a21 a22 − λ a23a30 a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= ∆− K1λ + K2λ2 − λ3

(10.2)

este un semiinvariant ortogonal al lui g, adica

K1 =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

a00 a01 a03a10 a11 a13a30 a31 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

a00 a02 a03a20 a22 a23a30 a32 a33

∣∣∣∣∣∣K2 =

∣∣∣∣ a00 a01a10 a11

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a02a20 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a00 a03a30 a33

∣∣∣∣(10.3)

sunt semiinvarianti ortogonali ai functiei polinomiale g.

Observatia 10.1. Daca functia polinomiala g : P → R nu contine variabila z cand spatiul P este

raportat la reperul cartezian ortonormat R = (O,→i ,→j ,→k ), atunci ∆ = 0 iar K1 este un invariant

ortogonal. De asemenea daca g nu contine variabilele y, z, atunci ∆ = K1 = 0 iar K2 este uninvariant ortogonal.



Intr-adevar, daca g(M) = a00 + 2a10x + 2a20y + a11x2 + 2a12xy + a22y2, atunci

K1 = δ =

∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02a10 a11 a12a20 a21 a22

∣∣∣∣∣∣ (10.4)

este invariant ortogonal al conicei {g(M) = 0z = 0.

Fie R′ = (O′,→i′,→j′,→k′) un alt reper cartezian ortonormat, unde O′(α, β, γ). Valoarea lui

K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R la reperul R1 = (O1,→i ,→j ,→k ), unde O1(α, β, 0),

deoarece K1 este un invariant ortogonal al conicei{g(M) = 0z = 0.

De asemenea valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R1 la reperul

R2 = (O′,→i ,→j ,→k ) deoarece forma functiei polinomiale g nu se schimba prin aceasta trecere.

In sfarsit, valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R2 la reperul R′ deoareceK1 este un semiinvariant ortogonal al functiei g. Analog se arata ca semiinvariantul K2 esteun invariant ortogonal daca functia polinomiala g nu contine variabilele y, z.

10.2 Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ın treivariabile

Teorema 10.3. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala g are unadin formele urmatoare:

1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + λ3z′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;

2. λ1x′′2 + λ2y′′2 ±√− ∆

I1z′′ daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ 6= 0;

3. λ1x′′2 + λ2y′′2 + K1I1

daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ = 0;

4. I2x′′2 + 2√−K1

I2y′′ daca δ = 0, I1 = 0, K1 6= 0;

5. I2x′′2 + K2I2

daca δ = 0, I1 = 0, K1 = 0.

Matricea T din demonstratia teoremei 10.3 fiind ortogonala det T ∈ {−1, 1}. De obicei

vectorii→i′,→j′,→k′

sunt astfel alesi ıncat det T = 1, adica bazele [→i ,→j ,→k ] si [

→i′,→j′,→k′] sa fie

la fel orientate. Data fiind o functie polinomiala de gradul doi g : P → R, un invariant or-togonal al lui g se numeste si invariant ortogonal al cuadricei g−1(0). Observam de asemeneaun semiinvariant ortogonal al lui g se numeste si semiinvariant ortogonal al cuadricei g−1(0).

Teorema 10.4. (Teorema de clasificare a cuadricelor) Data fiind cuadrica

Q : a00 +2a10x + 2a20y + 2a30z+2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+a11x2 + 2a22y2 + a33z2 = 0

exista un reper cartezian ortonormat convenabil ales astfel ıncat ecuatia acesteia sa aiba una dinformele urmatoare:



1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + λ3z′′2 + ∆δ = 0, daca δ 6= 0;

2. λ1x′′2 + λ2y′′2 ±√− ∆

I1z′′ = 0 daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ 6= 0;

3. λ1x′′2 + λ2y′′2 + K1I1

= 0 daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ = 0;

4. I2x′′2 + 2√−K1

I2y′′ = 0 daca δ = 0, I1 = 0, K1 6= 0;

5. I2x′′2 + K2I2

= 0 daca δ = 0, I1 = 0, K1 = 0.

r′ r i (Semi)invarianti Denumirea cuadricei ecuatia canonica4 3 3 ∆ > 0 elipsoid imaginar

∆ < 0 elipsoid real λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + ∆δ = 0

2 ∆ > 0 hiperboloid cu o panza∆ < 0 hiperboloid cu doua panze

2 2 paraboloid eliptic λ1x2 + λ2y2 ±√− ∆

I1z = 0

1 parabolid hiperbolic3 3 3 punct dublu λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 = 0

2 con2 2 K1 I1 > 0 cilindru eliptic imaginar

K1 I1 < 0 cilindru eliptic real λ1x2 + λ2y2 + K1I1

= 01 cilindru hiperbolic

1 1 cilindru parabolic I2x2 + 2√−K1

I2y = 0

2 2 2 dreapta dubla λ1x2 + λ2y2 = 01 pereche de plane secante

1 1 K2 > 0 pereche vida de planeK2 < 0 pereche de plane paralele I2x2 + K2

I2= 0

1 1 1 plan dublu x2 = 0

10.3 Probleme

Sa se studieze natura cuadricelor, sa se aduca la forma redusa si sa se reprezinte ın spatiultridimensional cuadricele:

1. Q1 : 335− 216x + 8y + 20z + 4yz + 36x2 + 8y2 + 5z2 = 0;

2. Q2 : x2 + 3y2 + 4yz− 6x + 8y + 8 = 0;

3. Q3 : 2y2 + 4xy− 8xz− 4yz + 6x− 5 = 0;

4. Q4 : x2 + y2 − z2 − 4xy− 4xz− 6x = 0.

Solutie. Vom trata aici doar punctele (2) si (3), celelalte tratandu-se analog.(2) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste cuadrica Q2 si cu R

reperul cartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y, z) fata de R,atunci f (M) = x2 + 3y2 + 4yz− 6x + 8y + 8 si deci

[ f ]R =

1 0 00 3 20 2 0

si [[ f ]]R =

8 −3 4 0−3 1 0 0

4 0 3 20 0 2 0



de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 3 20 2 0

∣∣∣∣∣∣ = −4 si ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣8 −3 4 0−3 1 0 0

4 0 3 20 0 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2

∣∣∣∣∣∣8 −3 4−3 1 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣ = −4∣∣∣∣ 8 −3−3 1

∣∣∣∣ = 4.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣∣∣1− λ 0 0

0 3− λ 20 2 −λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −λ(1− λ)(3− λ)− 4(1− λ) = 0

⇔ (1− λ)(−3λ + λ2 − 4) = 0⇔ (λ− 1)(λ + 1)(λ− 4) = 0.

Prin urmare ecuatia canonica a cuadricei Q2 este

x′′2 − y′′2 + 4z′′2 = 1⇔ x′′2 − y′′2 +z′′2(12

)2 = 1 (10.5)

si ea reprezinta un hiperboloid cu o panza9.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 1 este solutia generala a sistemului 1− 1 0 0

0 3− 1 20 2 −1

uvw

=

000

⇔ {2v + 2w = 02v− w = 0 ⇔ v = w = 0.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ1 = 1 este e1 = i(1, 0, 0).Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = −1 este solutia generala a sistemului 1 + 1 0 0

0 3 + 1 20 2 1

uvw

=

000

⇔

2u = 04v + 2w = 02v + w = 0

⇔ u = 0 & w = −2v.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este e2 =1√5

j− 2√5

k.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 4 este solutia generala a sistemului 1− 4 0 00 3− 4 20 2 −4

uvw

=

000

⇔−3u = 0−v + 2w = 02v− 4w = 0

⇔ u = 0 & v = 2w.

Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = 4 este e3 =2√5

j +1√5

k.

Matricea ortogonala a primei schimbari de coordonate este

T =

1 0 0

01√5

2√5

0 − 2√5

1√5

iar schimbarea de coordonate este

x = x′

y =1√5

y′ +2√5

z′

z = − 2√5

y′ +1√5

z′.

9Aici se ıncheie studiul naturii cuadricei Q2. Consideratiile ulterioare au ın vedere reprezentarea sa.



Fata de reperul R′ = (O, e1, e2, e3) functia f are forma

f (M) = 8 + [−6 8 0]

1 0 0

01√5

2√5

0 − 2√5

1√5

x′

y′

z′

+ x′2 − y′2 + 4z′2

= 8− 6x′ +8√5

y′ +16√

5z′ ++x′2 − y′2 + 4z′2

= x′2 − 6x′ + 9− 9−(

y′2 − 8√5

y′ +165

)+

165

+ 4(

z′2 +4√5

z′ +165

)− 16

5+ 8

= (x′ − 3)2 −(

y− 4√5

)2

+

(z′ +

2√5

)2

− 1.

A doua schimbare de coordonate estex′′ = x′ − 3

y′′ = y′ − 4√5

z′′ = z′ +2√5

,

iar originea reperului fata de care functia are forma redusa are coordonatele

x′′ = 0y′′ = 0z′′ = 0,

⇔

x′ = 3

y′ =4√5

z′ = − 2√5

⇔

x = 3

y =1√5

4√5

+2√5

(− 2√

5

)z = − 2√

54√5

+1√5

(− 2√

5

) ⇔

x = 3y = 0z = −2

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperulinitial R, coordonatele (3, 0, 2). Fata de reperul R′ = (O′.e1, e2, e3) cuadrica Q2 are ecuatia(10.5). Amintim faptul ca originea O′ a reperului R′ coincide cu centrul hiperboloidului cuo panza Q2 si deci coordonatele sale se pot gasi si rezolvand sistemul liniar.

fx = 0fy = 0fz = 0.



(3) Notam cu f functia polinomiala de gradul doi care defineste cuadrica Q3 si cu R reperulcartezian initial. Daca M este un punct din spatiu de coordonate (x, y, z) fata de R, atuncif (M) = 2y2 + 4xy− 8xz− 4yz + 6x− 5 si deci

[ f ]R =

0 2 −42 2 −2−4 −2 0

si [[ f ]]R =

−5 3 0 0

3 0 2 −40 2 2 −20 −4 −2 0

de unde rezulta ca

δ =

∣∣∣∣∣∣0 2 −42 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣ = 16 + 16− 32 = 0,

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣−5 3 0 0

3 0 2 −40 2 2 −20 −4 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −5

∣∣∣∣∣∣0 2 −42 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣∣∣3 0 02 2 −2−4 −2 0

∣∣∣∣∣∣= −5(16 + 16− 32)− 3 · 3 · (−4) = 36,

I1 =

∣∣∣∣ 0 22 2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 0 −4−4 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 −2−2 0

∣∣∣∣ = −4− 16− 4 = −24.

Valorile proprii ale matricii [ f ]R sunt radacinile polinomului sau caracteristic, adica∣∣∣∣∣∣−λ 2 −42 2− λ −2−4 −2 −λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ2(2− λ) + 16 + 16− 16(2− λ) + 4λ + 4λ = 0

⇔ λ2(2− λ) + 32− 3 + 16λ + 8λ = 0⇔ λ(λ2 − 2λ− 24 = 0⇔ λ1 = 6, λ2 = −4, λ3 = 0.

Prin urmare ecuatia canonica a cuadricei Q3 este

6x′′2 − 4y′′2 ± 2

√− 36−24

z′′ = 0⇔ 6x′′2 − 4y′′2 ±√

6z′′ = 0

si ea reprezinta un paraboloid hiperbolic10.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 6 este solutia generala a sistemului −6 2 −42 2− 6 −2−4 −2 −6

uvw

=

000

⇔−6u + 2v− 4w = 0+2u− 4v− 2w = 0−4u− 2v− 6w = 0

⇔{

u = 2v + wv = −w ⇔ u = v = −w.


i +1√3

j− 1√3

k.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −4 este solutia generala a sistemului 4 2 −42 2 + 4 −2−4 −2 4

uvw

=

000

⇔

4u + 2v− 4w = 02u + 6v− 2w = 0−4u− 2v + 4w = 0

⇔{

v = −2u + 2wu− 6u + 6w− w = 0 ⇔

{u = wv = 0.

10Aici se ıncheie studiul naturii cuadricei Q3. Consideratiile ulterioare au ın vedere reprezentarea sa.



Asadar, un vector propriu asociat valorii proprii λ2 = −4 este e2 =1√2

i +1√2

k.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = −4 este solutia generala a sistemului 0 2 −42 2 −2−4 −2 0

uvw

=

000

⇔

2v− 4w = 02u + 2v− 2w = 0−4u− 2v = 0

⇔ v = −2u = 2w.


i− 2√6

j− 1√6

k.

Matricea ortogonala a primei schimbari de coordonate este

T =

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

− 1√3

1√2− 1√

6

iar schimbarea de coordonate este:

x =1√3

x′ +1√2

y′ +1√6

z′

y =1√3

x′ − 2√6

z′

z = − 1√3

x′ +1√2

y′ − 1√6

z′.

Fata de reperul R′ = (O, e1, e2, e3) functia f are forma

f (M) = 8 + [6 0 0]

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

− 1√3

1√2− 1√

6

x′

y′

z′

+ 6x′2 − 4y′2

= −5 + 6

(x′√

3+

y′√2+

z′√6

′)+ 6x′2 − 4y′2

= 6(

x′2 + 21

2√

3x′ +

112

)− 1

2− 4

(y′2 − 2

34√

2y′ +

932

)+

98+√

6z′ − 5

= 6(

x′ +1

2√

3

)2

− 4(

y′ − 34√

2

)2

+√

6(

z′ − 358√

6

).

A doua schimbare de coordonate estex′′ = x′ +

12√

3y′′ = y′ − 3

4√

2z′′ = z′ − 35

8√

6,



iar originea reperului fata de care functia are forma redusa are coordonatele

x′′ = 0y′′ = 0z′′ = 0,

⇔

x′ = − 1

2√

3y′ =

34√

2z′ =

358√

6

⇔

x = − 1√3

12√

3+

1√2

34√

2+

1√6

358√

6y = − 1√

31

2√

3− 2√

635

8√

6z =

1√3

12√

3+

1√2

34√

2− 1√

635

8√

6

⇔

x =34

y = −3924

z = −38

,

adica originea O′ a reperului fata de care functia f are forma redusa are, fata de reperul

initial R, coordonatele(

34

,−3924

,−38

). Fata de acest reper paraboloidul hiperbolic Q3 are

ecuatia6x′′2 − 4y′′2 +

√6z′′ = 0.

11 Saptamana 11. Morfisme liniare si aplicatii afine

Definitia 11.1. Fie (X,→X, ϕ), (Y,

→Y , ψ) doua spatii afine si f : X −→ Y.

1. Aplicatia f se numeste morfism liniar daca f transforma varietatile liniare ale lui X ınvarietati liniare ale lui Y, adica L ∈ A(X) =⇒ f (L) ∈ A(Y).

2. f se numeste aplicatie afina sau morfism afin daca exista o aplicatie liniara f ′ :→X−→

→Y ,

numita urma sau aplicatia liniara tangenta, astfel ıncat−−−−−−−−−→f (M) f (N)= f ′(

−→MN) pentru orice

puncte M, N ∈ X.

Propozitia 11.1. Date fiind punctele A ∈ X si B ∈ Y si o aplicatie liniara t :→X−→

→Y, exista o unica

aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (A) = B si f ′ = t.

Corolarul 11.2. Date fiind reperul afin R = (A0, A1, . . . , An) al lui X si sistemul de puncte{B0, B1, . . . , Bn} ın spatiul Y, exista o unica aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (Ai) = Bi

pentru i = 0, 1, . . . , n.

Propozitia 11.3. Fie f : X −→ Y o aplicatie afina si L o varietate liniara nevida ın X. Atunci f (L)

este o varietate afina ın Y si−→f (L)= f ′(

→L). Prin urmare aplicatiile afine sunt morfisme afine.

Reciproca propozitiei 11.3 nu este adevarata, adica nu orice morfism liniar este aplicatieafina. De exemplu surjectiile f : R −→ R sunt toate morfisme liniare, ın vreme ce poli-noamele p : R −→ R de gradul unu sunt singurele aplicatii afine, asa cum vom vedea maitarziu.



Corolarul 11.4. Aplicatiile afine transforma varietati liniare paralele ın varietati liniare paralele.

Observatia 11.1. O aplicatie afina f : X −→ Y transforma orice baricentru M al unui sistemde puncte A1, . . . , Am ın baricentrul sistemului f (A1), . . . , f (Am) cu aceleasi ponderi. Intr-

adevar, daca M =m

∑i=1

λi Ai cum

∑i=1

λi = 1 si O ∈ X, atunci avem succesiv

−−−−−−−−→f (O) f (M) = f ′(

−→OM) = f ′

(m

∑i=1

λi−→

OAi

)=

m

∑i=1

λi f ′(−→

OAi)

=m

∑i=1

λi

−−−−−−−−→f (O) f (Ai),

fapt care justifica afirmatia.

11.1 Ecuatiile unei aplicatii afine

Propozitia 11.5. Daca spatiile afine X, Y sunt finit dimensionale si R = (O, b), R′ = (O′, b′) suntrepere carteziene ale lui X respectiv Y, iar f : X −→ Y este o aplicatie afina, atunci pentru oriceM ∈ X avem [ f (M)]

R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]R′ .

Daca [ f ′]bb′ = (aij), [ f (O)]R′ = (bi) si

[M]R =

x1...xn

, [ f (M)]R′ =

x′1...x′n

,

atunci formula [ f (M)]R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]

R′ se scrie astfel

x′i =n

∑j=1

aij xj + bi, i = 1, . . . , m.

11.2 Imaginile inverse ale unei aplicatii afine. Teorema dimensiunii

Propozitia 11.6. Imaginea inversa f−1(N) a oricarui punct N ∈ f (X) printr-o aplicatie afinaf : X −→ Y este o varietate liniara al carei spatiu director coincide cu ker f ′.

Corolarul 11.7. Daca N, N′ ∈ f (X), atunci varietatile liniare f−1(N) si f−1(N′) sunt paralele siau aceeasi dimensiune cu ker f ′.

Teorema 11.8. (Teorema dimensiunii pentru aplicatii afine) Daca X, Y sunt spatii afine finit dimen-sionale si f : X −→ Y este o aplicatie afina, iar N ∈ f (X), atunci

dim(X) = dim f (X) + dim f−1(N).

Daca f , g : X −→ X sunt doua endomorfisme afine ale spatiului afin X, atunci f ◦ g :X −→ X este un nou endomorfism liniar al X si ( f ◦ g)′ = f ′ ◦ g′. De asemea aplicatiaidentica a lui X este o un automorfism afin al lui X si (idX)

′ = id→X

. Demonstratia acestor

fapte este lasata ın seama cititorului. Prin urmare multimea Enda f (X) a endomorfismelor

afine ale lui X formeaza, asemenea multimii endomorfismelor liniare End(→X) ale lui

→X un



monoid. Elementele unitate ale celor doua monoide sunt aplicatiile identice ale spatiilor

X respectiv→X. Mai mult multimea Auta f (X) a automorfismelor afine ale lui X formeaza

un submonoid al lui Enda f (X) care este grup ın raport cu operatia indusa. Amintim ca

multimea Aut(→X) a automorfismelor liniare ale lui

→X este un submonoid al monoidului

End(→X) care este de fapt un grup fata de operatia indusa. Mai mult, avem urmatoarea

Propozitia 11.9. Corespondeta care asociaza endomorfismului afin f : X −→ X urma sa f ′ :→X−→

→X

este un morfism unitar al monoidului endomorfismelor lui X pe monoidul aplicatiilor liniare alespatiului

→X. Acest morfism nu este inversabil si transforma grupul automorfismelor afine ale lui X

ın grupul automorfismelor liniare ale lui→X.

11.3 Translatia

Definitia 11.2. Se numeste translatie orice endomorfism liniar t : X −→ X al unui spatiu afin

X cu proprietatea ca t′ = id→X

, adica−−−−−→

t(A)t(B)=−→AB, pentru orice A, B ∈ X, sau, echivalent

−−−−→At(A)=

−−→Bt(B) pentru orice A, B ∈ X.

Observatia 11.2. 1. Multimea T(X) a translatiilor unui spatiu afin X formeaza un sub-grup normal al grupului automorfismelor afine ale lui X, numit grupul translatiilor luiX. Intr-adevar, T(X) este nucleul restrictiei morfismului evidentiat de Propozitia 11.9,la grupul automorfismelor afine ale lui X.

2. Pentru A, B ∈ X, exista o unica translatie t : X −→ X astfel ıncat t(A) = B.

Propozitia 11.10. Daca X este un spatiu afin, atunci corespondenta T(X) −→→X, t 7−→

−−−−→At(A) este

izomorfism al grupului (T(X), ◦) pe grupul (→X,+).

Acest izomorfism ne permite sa definim pe grupul translatiilor lui X o unica structurade spatiu vectorial peste K astfel ıncat izomorfismul de grupuri din Propozitia 11.10 sa fieun izomorfism de spatii vectoriale. Acesta se defineste astfel: daca c ∈ K si t, t1, t2 ∈ T(X),atunci translatiile ct si t1 + t2 se definesc prin relatiile

−−−−→A(ct)(A)= c

−−−−→At(A) si

−−−−−−−→A(t1 + t2)(A)=

−−−−−−−→A(t1 ◦ t2)(A) .

11.4 Subspatii invariante

Definitia 11.3. O varietate liniara Y a spatiului afin X se numeste invarianta fata de un en-domorfism f al lui X daca f (Y) ⊆ Y. Varietatile liniare 0-dimensionale invariante fata deendomorfismul f se numesc puncte fixe ale lui f .

Obsevam ca A ∈ X este punct fix al endomorfismului liniar f : X → X daca si numaidaca f (A) = A.

Propozitia 11.11. Multimea punctelor fixe ale unui endomorfism f : X → X este un subspatiu afinal lui X.



11.5 Omotetii

Definitia 11.4. Se numeste omotetie a spatiului afin X orice automorfism liniar h : X → X

cu proprietatea ca h′ :→X→

→X este o omotetie a spatiului vectorial

→X, adica

−−−−−−−−−→h(A)h(B)= r

−→AB,

unde r este raportul omotetiei h′.

Fata de un reper cartezian R = (O, b), ecuatiile omotetiei sunt de forma

yi = rxi + ai, i = 1, . . . , n,

unde n = dim(X).

Propozitia 11.12. O omotetie cu raportul diferit de 1 are un singur punct fix numit centrul omotetiei.

11.6 Probleme

1. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este injectiva daca si numai daca urma sa

f ′ :→X−→

→Y este injectiva.

2. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este surjectiva daca si numai daca urma sa

f ′ :→X−→

→Y este surjectiva.

3. Daca f : X −→ Y este o aplicatie afina si Z este un subspatiu afin al lui Y, sa se arateca imaginea invers f−1(Z) este un subspatiu afin al lui X si, atunci cand f−1(Z) 6= ∅,

avem−−−−−−−→f−1(Z) = ( f ′)−1(

−→Z ).

4. Fie X un spatiu afin raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) si Y un plan afinraportat la reperul cartezian R′ = (O′, e′1, e′2). Se considera aplicatia afina f : X −→ Ycare transforma punctele A0(0, 1, 0), A1(0, 1, 1), A2(1, 1, 1), A3(0, 0, 1) respectiv ın puncteleA′0(1, 2), A′1(2, 0), A′2(4,−1), A′3(5,−1). Sa se determine ecuatiile lui f fata de repereleR si R′. Sa se determine dreptele planului Y a caror imagini inverse prin f sunt planeparalele cu dreapta de ecuatii x1 = x2 = x3.

5. In spatiul afin 3-dimensional X raportat la un reper cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele A1(2, 0, 0), A2(0, 0, 1), A3(1, 1,−1), A′1(0,−2,−2), A′2(4, 4, 5) si A′3(−3,−3,−5).Fie f : X −→ X aplicatia afina pentru care f (Ai) = A′i, i = 1, 2, 3 si f (O) = O′(2, 2, 2).

(a) Sa se scrie ecuatiile lui f ;

(b) Sa se determine f (d), unde{

x = zy = 0 .

(c) Sa se arate ca f este involutiva.

(d) Sa se determine multimea punctelor fixe ale lui f .

6. Intr-un spatiul afin 5-dimensional X se considera reperul afin (A0, A1, A2, A3, A4, A5),reperul cartezian asociat R si endomorfismul afin f : X −→ X definit de relatiile

f (A0) = A1, f (A1) = A2, f (A2) = A0, f (A3) = A4, f (A4) = A5, f (A5) = A3.

(a) Sa se scrie ecuatiile lui f fata de reperul cartezian R asociat reperulu afin dat.



(b) Sa se determine ecuatiile si dimensiunea varietatii afine

Ff = {M ∈ X | f (M) = M}.

(c) Aratati ca f este bijectiva si determinati ordinul lui f ın grupul permutarilor luiX.

7. Daca X este un spatiu afin doi dimensional si f : X −→ X este o aplicatie afina astfelıncat Tr( f ′) = 0, aratati ca f ◦ f este o omotetie sau o aplicatie constanta.

8. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X, sa se arate ca f are cel putin unpunct fix.

9. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X care are un punct fix unic, sa searate ca id→

X+ f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)o−1 = 0, unde o = ord( f ).

10. Daca X este un spatiu afin n-dimensional peste un corp de caracteristica ≥ n + 2 si(A0, A1, . . . , An) un reper afin al lui X, sa se arate

id→X+ f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)n = 0

unde f : X −→ X este aplicatia afina bijectiva definita prin

f (A0) = A1, f (A1) = A2, · · · , f (An−1) = An, f (An) = A0.

11. Fie f1, . . . , fr : X −→ Y (r ≥ 2) aplicatii afine si α1, . . . , αr ∈ K, α1 + · · ·+ αr = 1. Sa searate ca aplicatia f := α1 f1 + · · ·+ αr fr : X −→ Y, f (M) = α1 f1(M) + · · ·+ αr fr(M)este o aplicatie afina.



12 Saptamana 12. Proiectii si simetrii

12.1 Proiectii. Ecuatiile proiectiilor

Definitia 12.1. Se numete proiectie a spatiului afin X orice endomorfism liniar p : X → Xcare verifica relatia p2 = p.

Propozitia 12.1. Orice proiectie p : X → X are puncte fixe. Mai exact punctele imaginii Im(p) suntpunctele fixe ale lui p. Urma p′ este o proiectie a spatiului vectorial

→X. Reciproc, un endomorfism

liniar f : X → X care are cel putin un punct fix O ∈ X si a carui urma f ′ este o proiectie vectoriala,este el ınsusi o proiectie.

Demonstratie. Daca p este proiectie, atunci evident Fp = Im(p) si urma p′ este o proiectievectoriala. Invers, daca urma f ′ este o proiectie vectoriala si A este un punct fix al lui f ,atunci pentru orice punct M ∈ X avem

−−−−−−−−−−−−−→f 2(A) f 2(M) = f ′2(

−−−→AM )⇐⇒

−−−−−−−→A f 2(M)=

−−−→AM⇐⇒ f 2(M) = M.

Propozitia 12.2. Orice morfism liniar f : X → Y se poate obtine compunand o proiectie p : X → Xcu un morfism liniar injectiv g : Im(p)→ Y.

Ecuatiile proiectiilor

Fie X un spatiu afin n-dimensional si p : X → X o proiectie. Consideram reperul afinA0, . . . , Am a subspatiului afin p(X), iar ın imaginea inversa p−1(A0) consideram reperulafin A0, Am+1, . . . , An (amintim ca dim p(X) + dim p−1(A0) = dim X. Deoarece p esteproiectie rezulta usor ca (A0, . . . , An) este un reper afin al lui X. Fata de reperul cartezianasociat R, ecuatiile proiectiei p sunt

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = 0, . . . , yn = 0.

Intr-adevar

p′(−→

A0Ai) =−−−−−−−−→

p(A0)p(Ai)=−−−−−−−−→A0p(Ai)=

{ −−−→A0Ai daca i ∈ {1, . . . , m}0 daca i ∈ {m+1, . . . , n},

adica

[p′]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

,



unde b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

]. Asadar, relatia [p(M)]R=[p′]b[M]R + [A0]R este echivalenta

cu relatia

y1y2...ymym+1...yn

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

x1x2...xmxm+1...xn

+

00...00...0

si care ne conduce la ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = 0, . . . , yn = 0.

12.2 Simetrii. Ecuatiile simetriilor

Definitia 12.2. Se numeste simetrie a spatiului afin X orice endomorfism afin involutiv s :X −→ X, adica s ◦ s = idX .

Propozitia 12.3. Daca char(K) 6= 2, atunci orice simetrie s : X −→ X are puncte fixe.

Demonstratie. Observam ca baricentrul 12 M + 1

2 s(M) este punct fix al simetriei s pentru oriceM ∈ X. Intr-adevar, avem succesiv:

s(

12

M +12

s(M)

)=

12

s(M) +12

s (s(M)) =12

s(M) +12

M.

Multimea punctelor fixe Fs se numeste axa simetriei s : X −→ X.

Observatia 12.1. Urma s′ a unei simetrii s : X −→ X este o simetrie a spatiului→X.

Teorema 12.4. (Teorema de legatura dintre simetrii si proiectii afine) Daca s : X −→ X este osimetrie a spatiului

→X (char(K) 6= 2), atunci aplicatia p : X −→ X definita prin p(M) = 1

2 M +12 s(M) este o proiecie. Reciproc, daca p : X −→ X este o proiectie atunci s : X −→ X, s(M) =2p(M)−M este o simetrie.

Demonstratie. Observam ca−−−−−−−−−→p(M)p(N)=

14

( −→MN +

−−−−−→Ms(N) +

−−−−−→s(M)N +

−−−−−−−−−→s(M)s(N)

).

Pe de alta parte egalitatea−−−−−→Ms(N) +

−−−−−→s(M)N=

−→MN +

−−−−−−−−−→s(M)s(N) este echivalenta cu

−−−−−→Ns(N) +

−−−−−→s(N)N= 0. Asadar

−−−−−−−−−→p(M)p(N)=

12

( −→MN +

−−−−−−−−−→s(M)s(N)

)=

(12

idX +12

s′)(−→

MN).

Aceasta arata ca p este un endomorfism afin si p′ = 12(idX + s′). Pe de alta parte p (p(M)) =

12 p(M) + 1

2 s (p(M)) = p(M), ıntrucat s (p(M)) = 12 s(M) + 1

2 s (s(M)) = 12 s(M) + 1

2 M =p(M). Asadar p este o proiectie. Reciproc, presupunand ca p este o proiectie, se poate arata,folosind argumente similare, ca s este involutiva si deci o simetrie.



Simetria s : X −→ X si proiectia asociata p au aceeasi varietate de puncte fixe Fs = Fp =

Im(p) numita axa simetriei s. Directia proiectiei p, adica spatiul director al fibrelor p−1(A),A ∈ Im(p), se numeste directia lui s.

Ecuatiile simetriilor

Consideram un reper afin A0, . . . , Am al subspatiului afin Fs = Fp = Im(p), iar ın imag-inea inversa p−1(A0) consideram reperul afin A0, Am+1, . . . , An (amintim ca dim p(X) +dim p−1(A0) = dim X). Deoarece ps este proiectie rezulta c(A0, . . . , An) este un reper afin al

lui X. Fata de baza b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

], reprezenaterea matriceala a lui p′s este

[p′s]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.

Deoarece p(M) = 12 M + 1

2 s(M) pentru orice M ∈ X deducem ca

[s(M)]R=2[ps(M)]R− [MR = 2([p′]b[M]R + [A0]R)− [M]R = (2[p′]b − In)[M]R,

relatie care este echivalenta cu

y1y2...ymym+1...yn

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

x1x2...xmxm+1...xn

si care ne conduce la ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn = −xn.

12.3 Translatiile ca produse de simetrii

Propozitia 12.5. Produsul a doua simetrii ale lui X care au aceeasi directie si ale caror axe suntvarietati liniare paralele (evident de aceeasi dimensiune) este o translatie.

Demonstratie. Fie s1, s2 simetrii ındeplinind conditiile enuntului si ps1 , ps2 proiectiile asociate.Asadar p−1

s1(ps1(M)) = p−1

s2(ps2(M)) pentru orice M ∈ X si

−−−−−→Imps1 =

−−−−−→Imps2⇐⇒ Fix(p′s1

) = Im(p′s1) = Im(p′s2

) = Fix(p′s2).

Consideram un reper afin A0, . . . , Am al subspatiului afin Fs1 = Fps1= Im(ps1), iar

ın imaginea inversa p−1s1

(A0) consideram reperul afin A0, Am+1, . . . , An. Deoarece ps este



proiectie rezulta ca (A0, . . . , An) este un reper afin al lui X. Fata de baza b =

[−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0An

],

reprezenaterea matriceala a lui p′s1este

[p′s1]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.

Observam ca s1 = 2ps1 − idX si deci

[s′1]b = 2[ps1 ]b − In =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

.

Deoarece−−−−→Imps1=

−−−−→Imps2 si A0, . . . , Am este un reper afin al subspatiului afin Fs1 = Fps1

=

Im(ps1) deducem ca−−−−→A0Ai∈

−−−−→Imps1= Im(p′s1

) = Fix(p′s2),

adica p′s2(−−−−→A0Ai) =

−−−−→A0Ai pentru 1 ≤ i ≤ m. Deoarece A0, Am+1, . . . , An este un reper afin

al imaginii inverse p−1s1

(A0) = p−1s1

(ps1(A0)) = p−1s2

(ps1(A0)) deducem ca p′s2(−−−−→A0Ai) = 0

pentru m + 1 ≤ i ≤ n, adica

[p′s2]b =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · 0

.

si deci

[s′2]b = 2[ps2 ]b − In =

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

.



Asadar

[(s2 ◦ s1)′]b = [s′2 ◦ s′1]b = [s′2]b[s

′1]b

=

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

1 0 · · · 0 0 · · · 00 1 · · · 0 0 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 1 0 · · · 00 0 · · · 0 −1 · · · 0...

... . . . ...... . . . ...

0 0 · · · 0 0 · · · −1

= In,

fapt care arata ca (s2 ◦ s1)′ = idX, adica este s2 ◦ s1 este, ıntr-adevar, o translatie.

Propozitia 12.6. Orice translatie t a spatiului afin X se poate reprezenta ca un produs de douasimetrii ıntre care una poate fi aleasa arbitrar dintre simetriile ale caror directie contine directia lui t.

Demonstratie. Fie s o simetrie a carei directie contine directia lui t si consideram un reper afin(A0, . . . , An) astfel ıncat (A0, . . . , Am) este un reper al lui Fs = Fps = Im(ps) si (A0, Am+1, . . . , An)

este un reper afin al unei preimagini p−1(A0) si t(A0) = An. Fata de acest reper, ecuatiilelui t sunt yi = xi, i = 1, . . . , n − 1 si yn = xn + 1, iar ecuatiile lui s fata de (A0, . . . , An)sunt y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn = −yn. Prin urmare automorfismul afinr = s ◦ t are ecuatiile

y1 = x1, . . . , ym = xm, ym+1 = −xm+1, . . . , yn−1 = −yn−1, yn = −xn − 1.

Asadar r este o simetrie deorece r2 = idX , dupa cum se poate usor verifica. Rezolvandecuatia r = s ◦ t ın raport cu t obtinem t = s ◦ r.

12.4 Probleme

Consideram o dreapta

d :x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

si un plan π : Ax + By + Cz + D = 0 care nu sunt paralelel, adica

Ap + Bq + Cr 6= 0.

Pentru aceste date definim proiectia pπ,d : P −→ π a spatiului P pe planul π paralela cu d,a carei valoare pπ,d(M) ın M ∈ P este punctul de intersectie dintre π si dreapta prin M careeste paratela cu d.

Definim, de asemenea, simetria sπ,d : P −→ π a spatiului P fata de planul π paralela cud a carei valoare sπ,d(M) ın M ∈ P este simetricul punctului M fata de pπ,d(M) the symmetryof P with respect to π parallel to d.

1. Daca R = (O, b) este reperul cartezian fata de care ecuatia unei drepte d este

(d)x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r



si a planului (π) neparalel cu (d) este (π) Ax + By + Cz + D = 0, aratati ca

[pπ,d(M)]R =1

Ap + Bq + Cr

Bq + Cr −Bp −Cp−Aq Ap + Cr −Cq−Ar −Br Ap + Bq

[M]R−D

Ap + Bq + Cr[→d ]b,

unde→d (p, q, r) este un vector director a dreptei (d).

2. Daca R = (O, b) este reperul cartezian fata de care ecuatia unei drepte d este

(d)x− x0

p=

y− y0

q=

z− z0

r

si a planului (π) neparalel cu (d) este (π) Ax + By + Cz + D = 0, aratati ca

(Ap+Bq+Cr)[sπ,d(M)]R=

−Ap+Bq+Cr −2Bp −2Cp−2Aq Ap−Bq+Cr −2Cq−2Ar −2Br Ap+Bq−Cr

[M]R−2D[→d ]b,

(12.1)unde

→d (p, q, r) este un vector director a dreptei (d).

3. Aratati ca

(a)−−−−−−−−−−−−−−−→pπ,d(M)pπ,d(N)= p(

−→MN), pentru orice M, N ∈ V , unde p : V −→ V este trans-

formarea liniara a carei reprezentare matriceala este

[p]b =1

Ap + Bq + Cr

Bq + Cr −Bp −Cp−Aq Ap + Cr −Cq−Ar −Br Ap + Bq

.

(b)−−−−−−−−−−−−−−−→sπ,d(M)sπ,d(N)= s(

−→MN), pentru orice M, N ∈ V , unde s : V −→ V este transfor-

marea liniara a carei reprezentare matriceala este

[s]b =1

Ap + Bq + Cr

−Ap + Bq + Cr −2Bp −2Cp−2Aq Ap− Bq + Cr −2Cq−2Ar −2Br Ap + Bq− Cr

.

4. Aratati ca doua drepte paralele sunt proiectate, de catre o proiectie pπ,d, ın doua drepteparalele sau ın doua puncte.

5. Aratati ca doua drepte paralele sunt transformate, de catre o proiectie sπ,d, ın douadrepte paralele.

12.5 Apendix. Proiectii si simetrii vectoriale

12.5.1 Proiectii vectoriale

O clasa importanta de endomorfisme ale unui spatiu vectorial V este constituita de proiectiilelui V. Fie A si B doua spatii suplimentare ale lui V. Orice vector X ∈ V se poate scrie ın modunic sub forma a+ b cu a ∈ A si b ∈ B. Aplicatia pA,B : V −→ V, definita prin pA,B(a+ b) = a



pentru orice a ∈ A si orice b ∈ B este o aplicatie liniara a lui V ın el ınsusi, un endomorfism.Intr-adevar, daca xi = ai + bi, cu ai ∈ A si bi ∈ B, i = {1, 2}, atunci

pA,B(x1 + x2) = pA,B((a1 + a2) + (b1 + b2))= a1 + a2 = pA,B(x1) + p(x2)

si pA,B(λx1) = pA,B(λa1 + λb1) = λa1 = λpA,B(x1) pentru orice λ ∈ C. Observam ca pentruorice x ∈ V, p(x) = x daca si numai daca x ∈ A. Intr-adevar, putem scrie, ın mod unicx = a + b cu a ∈ A, b ∈ B. Prin definitia lui pA,B avem pA,B(x) = a. Egalitatea pA,B(x) = xdaca si numai daca b = 0, adica daca si numai daca x = a ∈ A. Aplicatia liniara pA,B ,pA,B(a + b) = a se numete proiectia lui V pe A paralela cu B. Sa presupunem ambii membri aiegalitatii pA,B(a + b) = a, endomorfismului pA,B :

p2A,B

(a + b) = pA,B(a) = a = pA,B(a + b).

Astfel, proiectia pA,B are proprietatea ca pentru orice x ∈ V, avem relatia p2A,B

(x) = pA,B(x);prin urmare p2

A,B= pA,B , pA,B este idempotent.

Reciproc, are loc

Teorema 12.7. Un endomorfism f ∈ L(V, V), care ındeplineste conditia f 2 = f este o proiectie alui V.

Demonstratie. Intr-adevar, sa punem A = Im( f ) si B = ker( f ). Orice vector x ∈ V satisfaceegalitatea x = f (x) + (x− f (x)), Obsevam ca x− f (x) ∈ ker( f ). Intr-adevar,

f (x) ∈ f (v) = A, f (x− f (x)) = f (x)− f 2(x) = f (x)− f (x) = 0,

deci x− f (x) ∈ B. Astfel V = A + B. Observam apoi ca daca y apartine intersectiei A ∩ B,atunci f (y) = 0 si exista x ∈ V, astfel ıncat y = f (x). Rezulta

0 = f (y) = f ( f (x)) = f 2(x) = f (x) = y.

Prin urmare A∩ B = 0v. Acest lucru ınseamna ca suma A + B este directa, adica compo-nentele f (x) si (x− f (x)) ale lui x ın A, respectiv ın B sunt unic determinate.

Asadar aplicatia idempotenta f este de fapt proiectiaspatiului V pe A := Im( f ) de-a lungul lui B := ker( f ), adica f = pIm( f ),ker( f ) . Orice

baza (e1, ..., er) a lui A = Im( f ) si orice baza (er+1, ..., en) a lui B = ker( f ), luate ımpreunaformeaza o baza R = (e1, ..., en) a lui V; fata de aceasta baza, ecuatiile lui f sunt:

f (ei) = ei, 1 ≤ i ≤ r, f (ej) = 0, r + 1 ≤ j ≤ n.

Matricea lui f fata de aceasta baza are forma

1 · · · 0 0 · · · 0... . . . ...

......

0 · · · 1 0 · · · 00 · · · 0 0 · · · 0...

...... . . . ...

0 · · · 0 0 · · · 0



12.5.2 Simetrii vectoriale

Strans legate de proiectiile unui spatiu vectorial, sunt involutiile (de ordinul 2), ale lui V, sausimetriile lui V.

Definitia 12.3. Se numeste involutie a unui spatiu vectorial V un endomorfism σ al lui V careverifica ecuatia σ2 = 1v (aplicatia identica).

Legatura dintre involutiile si proiectiile lui V este data de

Teorema 12.8. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Atunci endomorfismul p : V −→ V este o proiectie daca si numai daca σ = 2p− 1v, este oinvolutie.

Demonstratie. Prin calcul direct, din relatia

σ2 = 4p2 − 4p + 1v,

deducem ca p2 = p⇒ σ2 = 1v. Reciproc, daca σ2 = 1v, atunci 4(p2− p) = 0. Asadar, pentruorice x ∈ V avem 4(p2(x)− p(x)) = 0 si deoarece char(K) 6= 2, rezulta p2(x)− p(x) = 0, deunde rezulta p2 = p.

Daca p este o proiectie pe subspatiul A de-a lungul subspatiului B, atunci A se numesteaxa, iar B directia simetriei σ = 2p− 1v.�

Corolarul 12.9. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Fie p : V −→ V o proiectie a lui V si σ = 2p− 1v involutia asociata si fie x un vector din V:urmatoarele conditii sunt echivalente:

1. x = p(x),

2. x = σ(x).

De asemenea sunt echivalente:

1. p(x) = 0,

2. σ(x) = −x.

Corolarul 12.10. Presupunem ca spatiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristica diferitade 2. Fie p : V −→ V o proiectie a lui V si σ = 2p− 1v involutia asociata. O baza (e1, ..., er) asubspatiului vectorial A := Im(p), ımpreuna cu o baza (er+1, ..., en) a subspatiului B := ker(p) neda o baza (e1, ..., en) a spatiului vectorial V pentru care σ(ei) = ei, 1 ≤ i ≤ r, σ(ej) = −ej, r + 1 ≤j ≤ n unde σ = 2p− 1v. Asadar reprezentarea matriceaa a lui σ fata de aceasta baza are forma

1 · · · · · · · · · · · · 0... . . . ...... 1

...... −1

...... . . . ...0 · · · · · · · · · · · · −1



Teorema 12.11. Orice aplicatie liniara f : V −→ W poate fi obtinuta compunand o proiectiep : V −→ p(V) cu o aplicatie liniara injectiva g : p(V) −→W.

Demonstatie. Fie U un subspatiu suplimentar al lui ker( f ) ın V, adica V = ker( f )⊕U.Restrictia lui f la U, g = f |U este o aplicatie injectiva, caci x ∈ U, g(x) = 0W implica x ∈U ∩ ker f = 0V . Descompunerea unica a elementului x ∈ V,

x = y + z, cu y ∈ ker( f ), z ∈ U,

defineste o proiectia lui V pe U paralela cu ker( f ), adica

pU,ker( f ) : V −→ V, p(x) = z.

Din egalitatilef (x) = f (y) + f (z) = f (z) = f (p(x)) = g(p(x)),

care au loc pentru orice x ∈ V, deducem ca f = g ◦ p.�

13 Saptamana 13. Izometriile spatiului afin euclidian

13.1 Definitii si rezultate preliminare

Definitia 13.1. Produsul scalar pe spatiul vectorial euclidian E, este o forma biliniara, si-metrica, pozitiv definita; prin urmare nedegenerata. Un spatiu vectorial real E, finit dimen-sional, pe care s-a definit un produs scalar, se numeste spatiu vectorial euclidian. Doi vectorix si y dintr-un spatiu vectorial euclidian E se numesc ortogonali (perpendiculari) daca sinumai daca (x, y) = 0.

Vom noata cu E un spatiu euclidian n-dimensional dotat cu un produs scalar (·, ·).

Definitia 13.2. O aplicatie liniara f : E→ E, se numeste izometrie daca

( f (a), f (b)) = (a, b), ∀a, b ∈ E. (13.1)

Rezulta usor ca o izometrie este o aplicatie injectiva, deoarece

f (a) = 0⇒ (a, a) = 0⇒ a = 0E,

adica ker f = 0E.

Teorema 13.1. O aplicatie liniara f : E −→ E este o izometrie daca si numai daca || f (x)|| = ||x||pentru orice vector x ∈ E.

Corolarul 13.2. Singurele izometrii liniare ale lui R sunt functia identica idR

si functia f : R→ R,f (x) = −x.

Este clar ca izometriile spatiului vectorial euclidian n−dimensional E, formeaza un sub-grup al grupului Aut(E) al automorfismelor liniare ale lui E. Acest subgrup, notat cu O(E),se numeste grupul ortogonal al lui E.

Consideram o baza B = [e1, . . . , E] ortonormata a lui E, adica (ei, ej) = δij, si izomorfis-mul de grup ϕB : Aut(E) −→ GL(Rn), definit prin f 7→ [ f ]B, pentru orice f ∈ Aut(E).�



Propozitia 13.3. Imaginea prin ϕB a grupului O(E) coincide cu grupul matricelor ortogonale

O(n) := {A ∈ GL(Rn) : A · AT = In}.

Daca f ∈ O(E), atunci det( f ) = det[ f ]B = ±1. In cazul det( f ) = 1, f se numeste izometriepozitiva sau directa, iar ın cazul det( f ) = −1, f se numeste negativa sau inversa. Este clar caizometriile pozitive formeaza un subgrup SO(E) ın O(E), numit grupul ortogonal special al luiE.

Propozitia 13.4. Presupunand ca spatiul E este orientat, izometriile pozitive pastreaza, iar celenegative schimba orientarea oricarei baze.

Intr-adevar, stim ca doua baze apartin aceleiasi orientari, daca si numai daca matriceatrecerii are determinantul > 0. Fie B = (e1, ..., en) o baza ın E si f (B) = ( f (e1), ..., f (en))imaginea ei prin izometria f . Propozitia rezulta din faptul ca matricea trecerii de la B laf (B) coincide cu [ f ]B.

Sa vedem acum care izometrii sunt involutive. O simetrie cu axa A si directia B senumeste simetrie ortogonala, daca B = A⊥ := {b ∈ E : (a, b) = 0, ∀a ∈ A}.

Teorema 13.5. Orice izometrie involutiva este o simetrie ortogonala, si reciproc, orice simetrie or-togonala este o izometrie involutiva.

Propozitia 13.6. Fie U un subspatiu al lui E, g ∈ O(U), h ∈ O(U⊥). Atunci exista o singuraizometrie f ∈ O(E) care prelungeste pe g si h, adica f |U = g, f |U⊥ = h.

Definitia 13.3. Fie V un spatiu vectorial netrivial. Un subspatiu al lui V, diferit de V, senumeste propriu. Un subspatiu propriu maximal se numeste hiperplan vectorial.

Daca dim V = n, atunci hiperplanele sale vectoriale sunt subspatiile vectoriale ale lui Vde dimensiune n− 1. Existenta hiperplanelor ın spatiile infinit dimensionale se bazeaza peurmatoarea proprietate de schimb:

Teorema 13.7. Pentru orice subspatiu propriu X al lui V exista cel putin un hiperplan vectorial,care-l contine.

Corolarul 13.8. O izometrie a spatiului euclidian E care fixeaza vectorii unui hiperplan H, estetransformarea identica sau simetria ortogonala fata de H.

Propozitia 13.9. Daca a, b ∈ E si ||a|| = ||b||, atunci exista o simetrie ortogonala fata de unhiperplan care transforma pe a ın b.

Propozitia 13.10. Fie a un vector nenul ın E si H = 〈a〉⊥. Orice simetrie ortogonala σ, definitaın H, fata de un hiperplan H1 al lui H, poate fi prelungita la o simetrie ortogonala s a lui E, fata dehiperplanul H1 + 〈a〉.

13.2 Teorema Cartan-Dieudonne

Teorema 13.11. Orice izometrie a lui E poate fi reprezentata ca un produs de cel mult n simetriiortogonale fata de hiperplane.

Demonstratie. Prin inductie dupa n = dim(E). Pentru n = 1 afirmatia este evidenta.Presupunem afirmatia adevarata pentru n− 1. Fie f ∈ O(E) si fie a si b vectori din E, cu

||a|| = ||b||, f (a) = b si s simetria ortogonala cu axa 〈a− b〉⊥ si directia 〈a− b〉.



Deoarece a + b ∈ 〈a− b〉⊥, si scriind

b =b + a

2+

b− a2

deducem:

s(b) = s(

b + a2

+b− a

2

)=

b + a2− b− a

2=

b + a− b + a2

=2a2

= a.

Atunci(s ◦ f )(a) = s(b) = a.

Rezulta ca 〈a〉 si 〈a〉⊥ = H sunt doua subspatii invariante pentru s ◦ f . Aplicand ipoteza deinductie izometriei (s ◦ f )|H, aceasta se scrie ca:

σ1 ◦ ... ◦ σr, r ≤ n− 1,

unde σi ∈ O(H), este o simetrie ortogonala fata de un hiperplan Hi al lui H. Fie si sime-tria fata de hiperplanul Hi + 〈a〉 al lui E, care prelungeste simetria ortogonala σi ∈ O(H).Restrictia lui s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 la H este idH. Intr-adevar

(s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1)|H = (s ◦ f )|H ◦ (sr ◦ ... ◦ s1)|H = σ1 ◦ ... ◦ σr ◦ σr ◦ ... ◦ σ1 = idH.

Asadar, conform corolarului 13.8, izometria s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 este fie identitatea idE fiesimetria ortogonala s′ cu axa H. Intrucat simetriile s1, . . . , sr si s ◦ f fixeaza a, rezulta caizometria s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 fixeaza a, adica s ◦ f ◦ sr ◦ ... ◦ s1 nu poate fi simetria ortogonala s′

de axa H, ci doar identitatea lui E. Asadar f = s ◦ s1 ◦ ... ◦ sr.

14 Saptamana 14. Perpendicularitate si distante

Definitia 14.1. Spatiul afin real n-dimensional En se numeste euclidian daca spatiul vectorial

asociat E =−→En este un spatiu euclidian.

Definitia 14.2. Varietatiele liniare (subspatiile afine) L1 si L2 ale lui En se zic perpendiculare sise scrie L1 ⊥ L2 daca D(L1) ⊆ D(L2)

⊥ sau D(L1) ⊇ D(L2)⊥.

In cazul dim L1 + dim L2 = n observam ca varietatile liniare L1 si L2 sunt perpendiculare dacasi numai daca D(L1) = D(L2)

⊥. In acest caz varietatile L1 si L2 se zic normale.

Propozitia 14.1. Intersectia a doua varietati normale este un punct.

14.1 Distanta de la un punct la un hiperplan

Definitia 14.3. Se numeste distanta dintre punctele A, B ∈ En lungimea vectorului−→AB.

Aceasta se noteaza cu δ(A, B) sau |AB|. Prin urmare δ(A, B) = ||−→AB || = δ(B, A). Mai

mult functia δ : En × En −→ R este o metrica pe En.

Propozitia 14.2. In spatiul afin euclidian En se considera punctul P si hiperplanul H care nu continepunctul P. Pentru Q ∈ H urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Dreapta PQ este perpendiculara pe H (Q este piciorul perpendicularei din P pe H);



2. |PQ| = minM∈H

|PM|.

δ(P, Q) = minM∈H

|PM| se numeste distanta de la punctul P la hiperplanul H si se noteaza cu

δ(P, H). Presupunem ca spatiul afin euclidian En este raportat la un reper cartezian ortonormatR = (O, e1, . . . , E).

Propozitia 14.3. (Distanta de la un punct la un hiperplan) Distanta de la punctul P(p1, . . . , pn) ∈ Enla hiperplanul H : a1x1 + · · ·+ anxn + b = 0 este

δ(P, H) =|a1p1 + · · ·+ an pn + b|√

a21 + · · ·+ a2

n

.

Demonstratie. Ecuatiile perpendicularei pe H prin P suntx1 − p1

a1= · · · = xn − pn

an,

iar ecuatiile ei parametrice sunt xi = pi + tai, i = 1, . . . , n. Valoarea lui t pentru care

(p1 + ta1, . . . , pn + tan) ∈ H

estet = − a1p1 + · · ·+ an pn + b

a21 + · · ·+ a2

n.

Asadar coordonatele proiectiei ortogonale Q a punctului P pe hiperplanul H sunt

qi = pi − aia1p1 + · · ·+ an pn + b

a21 + · · ·+ a2

n,

adica

δ(P, H) = δ(P, Q) =

√n

∑i=1

(pi − qi)2

=|a1p1 + · · ·+ an pn + b|√

a21 + · · ·+ a2

n

.

14.2 Distanta de la un punct la o varietate liniara

Propozitia 14.4. Distanta de la punctul P ∈ En la varietatea liniara r-dimensionalla L care treceprin punctul A ∈ En si are spatiul director D(L) = 〈a1, . . . , ar〉11 este

δ(P, L) =

√√√√G(a1, . . . , ar,−→AP)

G(a1, . . . , ar),

unde

G(b1, . . . , bk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈b1, b1〉〈b1, b2〉 · · · 〈b1, bk〉〈b2, b1〉〈b2, b2〉 · · · 〈b2, bk〉

...... . . . ...

〈bk, b1〉〈bk, b2〉 · · · 〈bk, bk〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣este determinantul Gramm al vectorilor b1, . . . , bk ∈ E.

11Amintim ca 〈a1, . . . , ar〉 se mai noteaza si cu Span(a1, . . . , ar)



Demonstratie. Vom determina pozitia proiectiei ortogonale Q a lui P pe varietatea liniara L.

Daca D(L) 3−→AQ=

r

∑i=1

λiai, atunci conditia−→PQ⊥ aj, j = 1, . . . , r, avem 〈

r

∑i=1

λiai−−→AP, aj〉 = 0,

j = 1, . . . , r saur

∑i=1〈ai, aj〉λi = 〈

−→AP, aj〉, j = 1, . . . , r. (14.1)

Determinantul acestui sistem liniar este

G(a1, . . . , ar) =

∣∣∣∣∣∣∣〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉

... . . . ...〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉

∣∣∣∣∣∣∣ .

Deoarece 〈ai, aj〉 =r

∑i=1

aikajk, unde ai1, . . . , air sunt coordonatele vectorului ai fata de un

reper ortonormat al subspatiului vectorial D(L) si vectorii a1, . . . , ar sunt liniar independenti,deducem ca

G(a1, . . . , ar) =

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1r... . . . ...

ar1 · · · arr

∣∣∣∣∣∣∣2

> 0.

Mai departe avem succesiv:

δ(P, L)2 = ||−→PQ ||2 = ||

−→AQ −

−→AP ||2 =

=

⟨r

∑i=1

λiai−−→AP,

r

∑i=1

λjaj−−→AP

⟩=

r

∑j=1

[ r

∑i=1〈ai, aj〉λi

]λj − 2〈

−→AP,

r

∑i=1

λjaj〉+ 〈−→AP,

−→AP〉.

Folosind egalitatille (14.1), obtinem

δ(P, L)2 =r

∑j=1〈−→AP, aj〉λj − 2

⟨−→AP,

r

∑i=1

λjaj

⟩+ 〈−→AP,

−→AP〉

= −⟨−→AP,

r

∑i=1

λjaj

⟩+ 〈−→AP,

−→AP〉.

Asadar,r

∑i=1〈−→AP, aj〉λj = 〈

−→AP,

−→AP〉 − δ(P, L)2. (14.2)

Observam ca sistemul format din ecuatiile (14.1) si (14.2) este compatibil daca si numai daca



determinantu matricii sale extinse este nul adica avem:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉〈a1,−→AP〉

... . . . ...

〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉〈ar,−→AP〉

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉〈

−→AP,

−→AP〉 − δ(P, L)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉〈a1,−→AP〉

... . . . ...

〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉〈ar,−→AP〉

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉〈

−→AP,

−→AP〉

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈a1, a1〉 · · · 〈a1, ar〉 0

... . . . ...〈ar, a1〉 · · · 〈ar, ar〉 0

〈−→AP, a1〉 · · · 〈

−→AP, ar〉 δ(P, L)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

⇐⇒ G(a1, . . . , ar,−→AP)− G(a1, . . . , ar)δ(P, L)2 = 0,

de unde obtinem formula dorita.

References

[1] Galbura Gh., Rado, F., Geometrie, Editura didactica si pedagogica-Bucuresti, 1979.

[2] Jollisaint, P., Fonctions generatrices et relationes de recurrences, Presses Polytechniques et uni-versitaires romandes, 2015.

[3] Rado, F., Orban, B., Groze, V., Vasiu, A., Culegere de Probleme de Geometrie, Lit. Univ. ”Babes-Bolyai”, Cluj-Napoca, 1979.

[4] Yaglom, I., M., Boltyanskiı, V., G., Convex Figures, Holt Rinehart and Winstion, 1961.


geometrie aﬁna˘ - babeș-bolyai...

Documents