geometrically nonlinear composite shells with … · rheinisch-westfÄlische technische hochschule...
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Geometrically Nonlinear Composite Shells
with Integrated Piezoelectric Layers
S. Lentzen and R. Schmidt
Institute of General Mechanics, RWTH Aachen University
RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Contents:
• Nonlinear FOSD theory of shells
• Total Lagrangian formulation
• FE implementation
• Numerical examples
• Summary
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Nomenclature and Definition
Θ2
Θ3
Ω0
a1~a2~
Θ1
0
V21V10
1
V11
1
1
V21
0
V311V
C
C0
1
C2
V∆
a3~ ~
~
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Nonlinear FOSD theory of shells for small strains and
moderate rotation
Kinematic hypothesis: mV∼ = mV0
∼ + Θ3 mV1
∼
Assumptions:
• small strains εij = O(θ2) with θ2 1
• small rotations about the normal ωαβ = O(θ2)
• moderate rotations of the normal ωα3 = O(θ)
Green-Lagrange strain tensor:
εαβ =0εαβ +Θ3 1
εαβ +(
Θ3)
2 2εαβ
εα3 =0εα3 +Θ3 1
εα3
ε33 = 0
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Strain-Displacement Relations
Tangential strains:
0εαβ=
0θαβ +
1
2
0ϕα
0ϕβ
1εαβ=
1
2
(
1vα|β +
1vβ|α −bλ
α0ϕλβ −bλ
β0ϕλα +
0ϕα bλ
β1vλ +
0ϕβ bλ
α1vλ
)
2εαβ=
1
2
(
bλαbκ
β1vλ
1vκ − bλ
α1vλ|β −bλ
β1vλ|α
)
Transverse shear strains:0εα3=
1
2
(
0ϕα +
1vα +
1vλ 0
ϕλα
)
and1εα3=
1
2
1vλ 1
vλ|α
Linearised tangential strains:0θαβ=
12
(
0vα|β +
0vβ|α
)
− bαβ0v3
Linearised rotations:0ϕαβ=
0vα|β −bαβ
0v3 and
0ϕα=
0v3,α + bλ
α0vλ,
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Constitutive Relations
0D = [e] 0ε + [δ] 0E
0S = [c] 0ε − [e]T 0E
[e] = [d] [c]
[e]T = [c] [d]T
0S =
σ11
σ22
τ12
τ23
τ13
, 0ε =
ε11ε222ε122ε232ε13
, 0D =
D1
D2
D3
, 0E =
E1E2E3
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[c] =
c11 c12 c13 0 0c12 c22 c23 0 0c13 c23 c33 0 00 0 0 c44 c450 0 0 c45 c55
Elasticity Matrix
[d]T =
0 0 d310 0 d310 0 00 d15 0
d15 0 0
Piezoelectric Constant Matrix
[δ] =
δ11 0 00 δ22 00 0 δ33
Permittivity Matrix
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Total Lagrangian Formulation
Electric field:
tE∼ = −grad (φ) 0E∼ = −GRAD(φ) = FTtE∼ ⇒ 0Ei = tEi
C0
Ct
0dA
t dA
N~
n~
Electric displacement:
tq = limt∆A→0
∆Qt∆A
= tD∼ ·n∼ 0q = 0D∼ ·N∼ =tdA0dA
tq = J tD∼ ·n∼ = JF−1tD∼ ·N∼
0D∼ = JF−1tD∼ ⇒ 0Di = J tD
i
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State of Equilibrium
δWi = δWe
δWi =∫
0V
(
0δεT 0S − 0δET 0D)
0dV
δWe =∫
VρF iδVi dV +
∫
Aσ
σiδVi dAσ −∫
AQ
Diniδφ dAQ
Further Assumptions
• Electric field is only existent in transverse direction
⇒ 0E∼ = 0 0 E3
• Electric field is homogeneous between one electrode pair
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Incremental FE Formulation
δWi =
δq
δφ
T
·
[
] [
qφ
]
[
qφ
]T [
φφ
]
·
∆q
∆φ
+
i
i
[
]
= Incremental stiffness matrix[
qφ
]
= Electromechanical coupling matrix[
φφ
]
= Piezoelectric capacity matrix
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Bimorph Cantilever Beam
0 00.025 0.0250.05 0.050.075 0.0750.10
0.10
0.1100
0.2200
0.3
300
Deflection [ µm]
x [m]
AnalysisLab −TzouFEM −TzouMRT
Sensor Position [m]
Sensor Voltage [V]
Tzou et al. Piefort linear [1cm/0.025058N] MRT [1cm/0.025914N] MRT [0.96895cm/0.025058N]
F
1V
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Bimorph Clamped Beam
0 00.025 0.025
Deflection [
0.05
µm]
0.050.075 0.0750.1 0.1−500
−300 1
−1002
100
3
300
4
5
x [m]
Theory MRT no clampingMRT
Sensor Position [m]
Sensor Voltage [V]
Theory Linear [2mm/0.32133N]MRT [2mm/1.1843N] MRT [1.09mm/0.32133N]
F
200V
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Actuation and Sensing of a Hinged Beam
0 0.2 0.40
250
500
750
1000
non−dimensional deflection and stress [−]
actu
ator
vol
tage
[V]
linear mid−point deflectionMRT mid−point deflection
MRT mid−point deflection
σ
σ
xx
xx
|z=0
0.045
PVDF (0.028 mm)
Steel (0.2 mm)
PVDF (0.028 mm)10 mm
200 mm
vz0
/ H
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
12
34
56
78
910
Sen
sor
volta
ge [V
]
Sensor number
LinearMRT
.A
(EA)steel + (EA)
total x 105
piezo
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Shape Control of a Hinged Beam
00 0.050.05 0.10.1 0.150.15 0.2 0.2−0.04−0.02
00.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.14
coordinate x [m]
coor
dina
te y
[mm
]
0V 100V
coordinate x [m]
200V
coor
dina
te y
[mm
]
300V
400V
0V
500V
100V
200V
600V 300V
700V
400V
800V 500V
900V
600V
1000V
700V
800V
900V
1000V
MRTlinear
RH
EIN
ISC
H-
WE
ST
FÄ
LIS
CH
ET
EC
HN
ISC
HE
HO
CH
SC
HU
LE
AA
CH
EN
RH
EIN
ISC
H-
WE
ST
FÄ
LIS
CH
ET
EC
HN
ISC
HE
HO
CH
SC
HU
LE
AA
CH
EN
C-Blo
ck
Actuator
Ele
ctro
de; h
= 6
.5
m; E
= 7
00 M
Pa
17.5mm22mm
mm20
R =
14.
32 m
m
mm17.522mm
R =
13.
6 m
m
17.5 mm22 mm
R =
14.
9 m
m
Su
bstr
ate;
h =
25
m; E
= 1
900
MPa
µ
Subs
trat
e; h
= 2
5 m
; E =
650
0 M
Paµ
Piez
o; h
= 5
2 m
; E =
290
0 M
Paµ
Polin
g D
irec
tion;
d
= 2
.3E
−11
m/V
31µM
oska
lik&
Bre
i
The
ory
Exp
erim
ent
Pief
ort
Lin
ear
MR
T
Displacement (mm)
Displacement (mm)
Voltage (V)
Voltage (V)
Voltage (V)
Displacement (mm)
b)
c)
a)
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Static Stability Control
−2 0 2
2
4 6 8 10 12 14 160
5
10
Midpoint displacement [mm]
Increasing Applied Voltage
Load
p [1
000
N/m
]
15
20
25
Piezoelectric Layers
p
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Cantilever Piezolaminated Shell
−1 −0.75 −0.5 −0.25 00
250
80
500
90
750
100
1000
[302 S/0]T300/976
PZT G1195
PZT G1195
[30T300/976 /0]
PZT G1195
PZT G1195
Def
lect
ion
(w2/
a), T
wis
t (w
3−w 1)
/a
Kioua et alLee et alPresent
Radius of Curvature (R/a)10 706050403020
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
Twist
Deflection
Pres
sure
[N
/m2 ]
TwistDeflection
300 N/m2
Deflection (w2/a), Twist (w3−w1) x 100/a
Linear
MRT
pressure
100 V1
23
1
2 3
a
a
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RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Sensor Voltages of a Cantilever Piezolaminated Shell
at 300N/m2
Linear 300 N/m 2 Nonlinear 300 N/m2
250
200
150
100
50
0
180
140
100
60
20
RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
RHEINISCH-WESTFÄLISCHETECHNISCHEHOCHSCHULEAACHEN
Shape Control of a Cantilever Piezolaminated Shell
at 300N/m2
−0.2 −0.4−0.15 −0.2−0.1 0−0.05 0.20 0.40.05 0.60
0.8
250
1
500
0
750
250
1000
500
750
1000
Deflection (w2/a) Twist (w3−w1) x 100/a
LinearMRT
LinearMRT
Max
imum
app
lied
volta
ge
Max
imum
app
lied
volta
ge
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Summary
• A geometrically nonlinear finite piezolaminated shell element is
presented
• Special attention is given to the definition of the electric field
variables due to total Lagragian formulation
• Several numerical examples are shown and discussed in which the
geometrical nonlinear effect is profound