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GE'OMETRÍAS NO EUCLIDIAt\l·AS'..

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" Pri~era cdició~; junio de J 9,6 J-Ó, :. ' ',; ", •

.Scgunda-edición: mayo-de ~963 '• : '; ," • "'1 " • : t": I ' ",

Tercer.a. adícíén: ....enero de 1.966. .t :

Esta ledici~n h'a sido revisada por el autor

,@"1961:

, '};D,ITORIAL UN~~E~SIT ARIA DE ,BUENOS AIRES - Viamontc 640, Fultdada por la' UJljvt'rsicllld tic Buenos Aire»

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: Hecho 'el d~pósjto de ley. '.". .',IMPRESO EN LA ,AR,r.ENTINA - PRINTED IN ARGENT~A

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:)PR6LOGO

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«, A los pocos. años de la muerte de Alejandro Magno.. y todavía bajo el, eco.de .sus resonantes campañas militares, durante los años en que el primero de .los.Ptolomeos se esforzaba por convertir a Alejandría en el centro y depósito .de

z¡ • • ):oda la cultura del mundo civilizado, fue escrito un libro al que se dio, m~des-. :e

':· ..·?tamente, el nombre de Stoikbet« (Elementos). De su autor prácticamente no,,;;~::\...)e conocen.otros datos que el nombre: Euclides., .;'.: ".',';,;.;.:~\' En 'su tiempo pasaron casi desapercibidos .ambos, obra y autor. Sin embargo,'{:l:·.,::":~ori:el correr .de los siglos, el influjo de' Jos Elementos sobre la historia -de la"'.;.'~,f"hunl'anid:id {tÚ! mucho mayor que el de las victorias de Alejandro. De éstas no',:'; )iueda más: que'. el. recuerdo del guerrero que supo realizarlas, Aquéllos, en' cam:-,.', ¡ .bio,' han sido' ;el molde en que se ha estructurado toda la matemática, base-de

.. ']a ciencia y fundamento de ]a técnica que preside la civilización contemporánea.•. .~: En .10s .Blementos, ·toda la geornetria, reunión hasta entonces de reglas, .em- 1

.pírícas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva. Se con- ,~:"deiisatoda ella en unos pocos postulados, de Jos cuales deriva el restó, por'~sucesivos razonamientos lógICOS.Lo que antes era empírico se convierte en. obra

,. ,:,~deI,~(iiscl1rsoy.del. pensamiento; la razón suple, como instrumento, a los sentidos ...~ .'..~:~Elevada' la 'geometría a este nivel,' quedaba automáticamente al descubierto., .: :la 'posibilidad:~de muchas variantes; bastaba sustituir los postulados de partida, .·:,po(otros~· para tener nuevas geometrías. Fueron las llamadas, mas tarde, geo-

,met:r'ías no euclidianas, pero cuya existencia estaba implícita en la .misma obra'r'de<EucIides.· .1 :. .'

:., '.;. ~.fás propiamente, por costumbre se ha reservado el nombre d'e geom~t~í~~',. ·:.no'~'euc]idi:tnas"para las que conservan todos los postulados de Euclides menos

~un~ de ellos, el llamado postulado de las paralelas. Esto es 10 que hacemos. tam-.bién en la presente obra, Nuestro objeto no va a ser edificar toda lageometria.a partir de- los nuevos postulados, lo que puede verse en cualquiera de ··las"óbras indicadas en la bibliografía; Hemos preferido, tomando la cuestión' desde"'un" punto' de vista superior, aunque distinto del histórico, exponer con' detalledichas geometrías tal como aparecen encuadradas en el marco de la geometríaproyectiva, es decir, siguiendo el modelo dado para las mismas por Felix. KIein.

·5

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..' .' '-.,Ello .tiene' el iaconvenienee ..de-suponer' por parte dell~ctot ciertos conocinuea-. :.i· tos .de geometría psoyectiva, que para su comodidad hemos resumido en .los

'. capítulos IlI.y,IV, pero tiene la ventaja de sistematizar y poner de manifiesto_. : ... Ja.·,hitima estructura 'de las' geometrías no euclidianas, muchos de cuyos teorc-

.. .. mas saltan a ·la. vista' de manera inmediata, en este modelo.v , ';': ' ',';'La bibliografía mencionada' al final es un poco· extensa, con el objeto de que, .: '. 'pueda ser ·útil al Iector que desee proseguir o profundizar alguno de los puntos" 1,:' de.este capítulo .de la ci.encia.geométrica.

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1.1 .: Euclides. Poco' se' sabe con certeza'de 'la vida de Euclides, Según el testimonio deProclo, un matemático que vivió en Bizan-

"cio [enrre los años 410 y:485 de .nuestra era,"Euclides floreció durante el reinado de Pro-

I lomeo 1 [que murió en 283 a. C.J, 'pues es.citado por Arquímedes, que nació hacia fines.delreinado de ese soberano. Además, se' cuen-ta 'que un día Prolomeo preguntó a Euclides.si para aprender geometría existía un Camino

,má~ breve que el deIos Elementos, obteniendoI la respuesta. de que en geometría na existe. camino real. Euclides es, pues, posterior a Pla-tón: [428-348. :1. C. J y a sus discípulos [como,Aristóteles, 384-322 a. C.]" pero anterior a',Eratéstenes [aproximadamente 280-192 a. C.]y aiArquímcdes [287-2123. C.J.u, Debido a 'estas noticias es costumbre ubicara Euclides como habiendo vivido alrededor delaño' 3<>0,antes de nuestra era. Sin embargo, te-

, nie~do en cuenta que el comentario de .Proclofue: escrito más de setecientos' años después, y

: que se carece de referencias más directas, secomprende que algunos historiadores ponganen duda tal fecha y aun la existencia misma deEuclides, atribuyendo sus obras' ya sea a otromatemático griego,.·o 'a la labor conjunta de.una escuela qut! hábria pretendido compendiartodos los conocimientos matemáticos de 12'época.

Prescindiendo de la persona, real o hipoté-,

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.' , ,,'. ,·;:u'~:::~:~. ¡: <;:~:,:i' i.~':¡/; '.1.2.. Los Elementos, Los: iElemenfos;'de" .

Euclides 'for;nan ',un :COh)U~td-de ::0 'Jlbro{de;;~::,'.dicados a Jos fundamentos y .aJ.ije!sairol1o~:J6~';<'..gíco y sistemático, de'Ja-:geometría;;Es;Ii abrí};',cumbre de la 'matemática':'g'riega:' Durante si;;'r'~':\gIos ha sido el texto' obligado': de géometría e.:t,:.': .todas las escuelas. Es etprimer ~bro:d(funda:"/::. 'mentación geométrica~:y SÜ, ;estilo ,y~'ord¿na~..·:"ción fueron los moldesa los 'que.se ájustaron~·:. :'todas las 'obras posteriores de' matem:hica. ~,".' :;) :

No se 'trata, :e'n.absolutor(ie:''\Jri;¡'maiiu~I·::i '.práctico o de un 'co~junto' de:.;egl~s úti]'~s!<jul,puedan' servir' para" ctllttilár lo' ,.me'Jir~ .al:: es~¡:"tilo .de los docuinentos'·~egipdó's '·o¡babil6rticós'.:: ,-de .épocas'arit~riores; Sc"trata de',uná 'estr,li'ctlJra'?,' ,

,.).lógica que' responde', ex:ic~a'fnerite,''~l, cQ'rl¿~'pi()"!,:;',. de Platón' de la' geometda:I,~.·C(;mé;:!si','Sé'Hati.ra!:::;de alguna finalidad ~'prádj'd;fIó~\'ge6m¿tds~\~'.h:ibl~n: siempre ·:~e'~cita~i~~;.,~~.~l.~#gár/J~alg~~~;;i:':¿,;',' .:

. gar, cuando en verdad la CleÍlCla':s'e,cuItlva!con,?:::~:;,.:;el único. fin 'de ~onoce~r.t~','!:'(1{epüblicti~'rLibio~:¡¡,:\':_Vil 527) "."" .',:,;~,;,'~'.;'l·,',,-!: j"f' I,',I;"¡, ',';' ,!,¡:J..,¡:.',!.",

, s s , . .; "~~:;~'i~r~" t;'r~:·i;;'lo~o.:>f~·;!:i~ '; -í{~J~::' ... Las bases de que parte,Eublldes"para:¡c<hfl-,:'¡:;" .

car su geoméerla-son: las"definidories/lós':pb's~\! -:':tuIado~'y las río~iones,~comuI:ies.~'·:,'{':,.::~!~~~:i·(IJ'~I"'··

, Las definici01tes ~on:,veirititr'é.s;,·akcótri,ie~zd;·~::': ''. . :. .' .¡o,: o: .:: '0';0 ~ t:::'~:.~o

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aunque luego en el texto se van introduciendootras más, hasta un total de ciento dieciocho.Con ellas se-intenta dar nombre a los elemen-tos con loscuales se va' a construir la georne-tría., Citaremos algunas como ejemplo.

, I PU1t.io'~s"lo que no: tiene parees., 'L.íne~ es una' longitud sin anchura., Recta es aquella Ünea que, yace igualmente

respecto de todos sus puntos.Superficie es lo que tiene únicamente longl-

rud y :anchura.Plano es la superficie igualmente situada

respecto, de sus .recras, ",Ángulo' es lainclinación 'entre dos líneas de

, ,_un plano, las .cuales se encuentran y no estánen línea, recta. ,ISi las dos líneas que contienen

" ' el á~g~lo son rectas, el' ángulo se llama recti-,l' i '. lneQ." .... 0..: I

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,: Rectas" perpen,dic1dares: si una recta formacon otra' ángulos adyacentes iguales, cada uno,de estos ángulos es, recto y .las rectas se lla-

, ~a~ perpendiculares, ',:', ;~'R,ec't~s,-p'aralelai ~on:'aquellas que", estando.en 'un mismo .plano,' no se encuentran al pro-:'long~r1~s:' indefinidamente en am bas direc-' ,, clones ,:': : : ~, "1" i ',,' ',j,' , " , "

.: '. ', . ;:.: .. .:.'; ;~.~.:'~. ~ :'.' '''. .:: : No "es 'nuestro objeto detenernos en poner, dc':m~r;ifies'to"lo's inconvenientes y 'la incon-

o • I .: ;" ... t O' ~ ¡ .' ' •

sistencia' 4é: )~~~pr~er~~: definiciones ~nterio-; res. Responden al afán" que la autoridad de1;:4cli~e~hizo,p~~du¡:,ár durante siglos, de defi- '

I nirlo' todo," lndursó'lás nociones primitivas de, l~~':--c~'al~s'"l{ary::~q~e,:i;~~ti'ren cualquier cons-I tr~cc~óp; lógi~~::)¡''q~~, ~opueden def~r~e en:

,~i"t~~l?i.~~~:~,~~rlPPP.!~~~i~n )a~ .construccrones',': aXl9.matlcas'm\)d~rnas, el'punto y la recta, por::: ej~h-tp,lq;'sc'iiití-9~~c~1?-c~mc;>'elementos que sa-'.:, tisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen, 'po'~" s~s .propiedades '(yer Hilbert [25]).'

'Siguen después estos cinco .postulados:,..'! !"". •. " •• ;.i "e ,' '_ •

: ",:,1.; Desde cualquier punto (J cualquier otrose,:p-,ted_etraza_~,::~n,arecta. ,,

, ::",II..:Toda r~~tili~itada puede prolongarse, ltziefinidamCJ1.tC.en la, misma direccián:

_III.: Con cualquier centro y cualquier r,adio

8

.. SI! ,lmcda trazar un« circun [ercncia.~V. Todos/os ángulos rectos S01/. iguales en-

tre si. ' ,V. Si u1fa'recta, al cortar a otras dos, [or-

ma de un nusmo lado ángulC?s internos me-nores que dos rectos, esas dos rectas prolO1:ga-das indefinidtlmente Sf cortan del lado en queestá,t los á1tg1tlos,menores que dos rectos.

Finalmente, Euclides sienta unas cuantasnociones constates (llamadas por algunos auto-res axiomas) cuyo número es variable segúnlos textos Ilegados hasta nosotros, pero, entrelas cuales se encuentran siempre las siguientes.

l. Cosas iguales a 1enamisma cosa, S01t igua-les entre sí.

2, Sj¡ a cosas iguales ;e le~ agregan cosas,iguale.!, las sumas son igll,ales. j

I3. Si de coses.iguales se quitan cosas igua- '

les, los restos ron iguales. ' "4- (ó 7 según- los textos). Cosas que se pIte-

de» mperpOl1-arúlt.0a otra S01J' iguales. é',~'tre sí. ' , ,

5 (u 8 según los textos)'. El todo es mayorque la parte. ',:

De estas nociones comunes interesa señalarla cuarta. En efecto, 'la idea de superposiciónlleva implícita la de un movimiento que rIle-ve una figura (o cosa) sobre otra, y, preci-samente, la manera de llevar 'una figura sobre'otra,' para .decidir acerca de su igualdad, es una "de las caracterfsticas esenciales de, cada geo-

, metría: Es decir, ya Euclides, aun expresán-dolo en forma vaga, vislumbró que, en geo-,

, mecría, para definir la igualdad hace .falta, definir el 'movimiento queperrnite. llevar unafigura sobre otra, punto de vista que fue ~m:;.pliamente discutido, por Helmholtz 'y que,además, constituye la base de la definición dela geometría según Kleín.

Tratándose de figuras, en vez de "igualdad" "se, acostumbra utilizar la palabra "congruen-cia", precisamente para indicar que' puede JIc-varse una de.ellas a coincidir con la otra. '

Con los cinco postulados anteriores y lasnociones comunes citadas se intenta edificar

~

'I~1I

toda la geometría. A la luz .de la crl tica mo-. derna, el sistema presenta varios defectos. No'. figura, por ejemplo, aunque es usado con fre-

cuencia, el postulado de la continuidad, queen la forma dada por Dedekind se enuncia:

. Si los puntos de 1tna ~ecta están' divididosen dos clases, de manera Q1tClos de la primeraclase precedan a todos los de .14 segunda, en-tonces existe 1m P1tnto, y sólo 1tná, que separa.a ambas clases, es decir, que sigue a todos los

, de la primera y precede a todos los de la se...gUtida., También .esusado, sin qu~ sea postulado ex-plíciramenee, el hecho de que un p.,unto de unarecta divide a ésta en dos partes "separadas, o

.de que una' recta de un plano. divide a ésteen dos regiones, así como el siguiente postu~Jado de Arqulmedes, que en realidad es con-secuencia del de la continuidad, y que ·luego'resultó fundamental para la construcciónaxiomática rigurosa 'de la geometría: '

, Dadas dos magnit1tdes entre las cuales estándefinidas la nema y la 'relación de mayor a me-nor, tal-como para segmentos o ángulos, exis-te siempre 1m múltiplo. de la primera que esmayor que la segunda. '

Sin estos postulados, u otros equivalentes,pueden señalárseles varias fallas lógicas a losElementos. Por ejemplo, 'ya en su primer pro-.blerna, que consiste en la"construcción de untriángulo equilátero de lado dado, al hacer laconstrucción lrabitual de trazar dos circunfe-rencias, de radio igual al lado dado, por losextremos de un, segmento de la misma longi-tud (lo que puede hacerse por el postulado JI) ,no queda demostrado que dichas circunferen-cías deban cortarse.

Sin embargo, todos los defectos que puedenseñalarse resultan insignificantes comparadoscon el mérito extraordinario. de haber cons-truido una ciencia deductiva a partir del cú-mulo de conocimientos dispersos, en su mayo-ría empíricos, que constituían la matemáticaanterior a la griega. Además, el hecho de se-ñalar' como postulado. al quinto de ellos, que.dio origen a tantos estudios y discusiones du-'rante más de veinte siglos, demuestra una in-

"

tuición genial acerca de uno de los puntos cla-ves del pensamiento geométrico l.

'1 ' .: ,

1.3.' El postulado V o postulado :de'.I~~1paralelas, 'De los cinco postulados del-sisre-'.ma de Euclides, los cuatro primeros traduceñ':''propiedades más o menos evi den tes. para' nues-, -.tra intuición geométrica¡ Elrnériro' consiste ,en,:haber sabido seleccionar,' de entre el sinnúmero' ~de tales propiedades, una: Cantidad redúcidí-" .sima de ellas que fuera. suficiente. paraeons- 'truir la geometría. El postulado: Y,i en cambio; "llama la atención, y ello desde.el principio ....por ..su mayor- complicación' 'y ·po.r-~c~recer"·de la'evidencia intuitiva de'.que gozan:':los :.·demás;·.'Es probable que al' mismo Euclides" no 'se; le.'escapara esta diferencia y. procurase.ven tódasu obra, evitar lo más'. posible leste 'postuladoj"que aplica por primera vez' para .demostrar .la:proposición 29 del Libro 1,' a+saber: 'una recta'

,que corta a dos paralelas/oriria:~'con: e~IaS:}~·~";.gulos alternos internos igú'áIcs;:~¿'~respd~die.n.:':"tes iguales; e inrerioresdé un: mismolado ..·su,,,:~plernentaríos, Este esfuerzo Ide: Euclides' por.'evitar el uso de su postulado V, mientras 'pue'-',de, y por construir la ·g~ome~i:íii.con indepen-

"dencia del mismo, .justifica !Ia .muy .repetidafiase de que Euclides fue el ..primer geómetrano euclidiano, o bien," que ;Ji "geometrí« noeu~lidiana nació negan-do su paternidad, ; v- ,';.

Hay que observar que en algunos. marius-critos el postulado de las paralelas" aparececorno axioma Xl (algunas nociones comunespasan a ser' postul ados ),. 'Así :se lo mencionatambién en algunos trabajos 'posteriores, 'por'ejemplo en los de J. Bolyaí. 'Siguiendo la cos-tumbre gener:t]"que:históric~mente parece serla más exacta, nosotros seguiremos llamándolo .

.postulado V" " :~, I .' •

La primera idea, que prevaleció por' más deveinte siglos, fue la de querer "demostrar" este

1 Más detalles sobre Euclides y' su obra pueden verseen las clásicas obras de Heath. [1] .y. Enriques ,[2] •.:ls¡ como en la Historia de la matemática de Rey Pas-tor y Babini [20J. y muchos pU,ntos de vista, or'igi- .nales acerca del valor de los Elementos como modelode construcción matemática, en el interesante libro deB. Levi titulado Leyendo a E~clidis [3J.,

9

.'.

postulado. Los sucesivos ensayos. de demostra-, ción 'no' dieron: otro .resultado que llevarlo a. otr~s':'formas equivalentes, aunque a 'vecés de, apariencia If.luy: distinta de la del enunciado

original -,,V~os a mencionar .algunas. de estasequivalencias, algunas.de las cuales presuponen

" q~c,:,las",¡;~ct~~..so~ J;lO cerradas, condición' ésta': que .antes se consideraba, implícita en el postu-,', Iado)I,'(ycr;·2!1).:~:' ",: , ',., ... l" ' " l' ,',' " 't!.na'·~en4encia, queafloré.repetidas veces, ,

Consi~te-en 'modificar la, definición de rectas ., p~al~~i':S~iúp.~u~lides: son.aquellas que 'Uno,,:~':'ie~c~é~t:rap rp'ol' I~~~:que se prolonguen".'~f;~a.:a$í"ab~ert~..1a, posibilidad de que existanr~~ª~ ,~sintó~ca~~i~s;:de~ir, rectas que, como

'·09l~f~\~~,I~:!ú'p,é.r~ola;y:s~s,asíntotas, nunca',se./;e~cll,~1.1~~en;r'pc;tQ·,:que¡SIn 'embargo no, se

':~~~~e~~ll;,eq'ujdf~,~a~~es~,;:~~<?que su dista~cia ' ,11~g~e;,~,,:ha~e,r~e:l~~n,pequeña como se qwera,

, ',;sin- reducirse ¡~p~c;a¡,i;~efo. Si, explícitamente. : Sf!)?,d~y'e: esta posibilidad, el postulado de las

paralelas-puede ,c{~mostrar~. Es decir, se lepuede' ciar la forma siguiente, debida a Posido-ni~:'(~igló J'a~'C.)~, ,! ' :'. .,

: Vi.! Dos r~ctas -p'aTalelasS01l- equidistantes." Mu~:análoga.~sila forma dada al postul~dodeIasparalelas 'por C. Clavius (1537-1612):" .. i ! 1: .. ' ", .,V2. ,Si tTCS:P1m.~OSestán de un mismo lado

de U11arc_ctll,y e_q1l-idist,!nde ella, los tres PU1,.-los 'pertenecen a una misma recta.

I ,". I • • ~

: Esté .enuaciado equivale a, pedir que ellu-gad'gcométri~o (I,e;10'$ puntos equidistantes deu;Darecta' (de' un' xpismo lado de ella) sea ~trarecta. ' :. Procl~,::el' matemático bizantino al q-ue se

deben q~~.'pocas ;~~t,i~i,~s"que: sobre.' E~clidesse..conocen, y los 'ppmeros comentarios sobrelos 'Elementos, se 'apoya' en la siguiente' propo-

,.:,' • tI ..... ' ,=: ,t': ':', '. ,1' La obra' de, Proclo. se #tula' Comenterio ,d Libro 1 'iJe 'los "Elemento's'~ 'dc 'EúéJiJes. Desde principios del.siglo xvi ~ hicieron va~w edícíoaes latinas, de esta obra,una eJe eUas, dirigida! por, G.;Friedlein y pub]icada porTe~bner, (,[.eipzig,' 187J).:.rComo versiones modernashay;ila 'alema~a, de 'P. Leander ,Schonberg, con comen-tarios'de M. Steckc(194$);y la !r~ncesa de Paul verBeecke, en: 1948 1 (Collection.lde: trauvaux de J'Acadé-mie lnternazionale d'Histoire.des Scicnces, n9 1, Brujas(BéJ¡;i~a): : ¡,': :': '

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10

, .sición (que atribuye a Aristóteles y toma como:evidente): ]a distancia entre dos puntos: dedos rectas que se cortan puede hacerse .rangrande como se quiera. prolongando¡ suficien-

, temente las dos rectas. A partir' de esteIema,que vale, siempre que las rectas se consideren "líneas no cerradas, el postulado V equivale a

Va. Si U11arecta encuentre a una de Jos pa.ralelas, encuentra necesariamente a la otra;

¡'

también puede enunciarse de estos modos: ',~f ,vl. Por U1,. PU11to exterior a una recta: se ,: puede trazar 1!na y solo una paralclil a dicha.

recta;' ,Va". Dos rectas paralelas a, U'Ila tercera, son:

siempre paralelas entre 'sí.La f~rrna Va' es la más comúnmente utili-

zada. enIa actualidad en los textos, de' geome-tría, y se atribuye generalmente al matemá-tico inglés John Playfair (1748~1818) .

D

, • I

Del mismo tipo, aunque muy postenor, es-la forma a que lo reduce A.' M. Legendrc.(1752-18H),asaqer: " ;

V,. Por U1t punto cualquiera, 101Tl4doen. 'el ., interior de UtJ ángulo, se puede siempre trazar,tli'ta recia q!'-e encuentre a los dos lados, ~cl.tÍ1Jgulo. j ,

'C De rodole muy diferente, pero ?C ~ra~ im-portancia, conceptual, es la forma slgwe,nte da-da por J. Wallis (1616-1703): :

i,I

. ·Yrs. Dado un triángtllo' cualquiem existesiempre uno semejante de magnitud arbitrari«:

:Es decir, la ~xistencia de triángulos seme-jantes: es caracrerístico de la geometría eucli-diana. En las geometrías no euclidianas, si dostriángulos tienen sus ángulos iguales, son con-gruentes (es decir, se pueden. superponer),pues el tamaño de un triángulo: queda deter-minado por sus ángulos, como ocurre con Jostriángulos esféricos. .

iEs interesante el razonamiento de Wallis. para demostrar la equivalencia de las formasy y y ¡J. Sean las rectas AB 'y. CD que forman

. Jos ángulos a y ~ con la secante AH (fig. 1).Supongamos que a +~< 180°. TraslademosAB hasta CBl de .modo que se conserve el án-gulo a que forma con AH. Siendo u < 180° _.- (3, la recta CBl caerá dentro del ánguloDCH. Por. consiguiente, durante la traslaciónhabrá un punto A' en que la recta ·A'B' cor-tará a CD~ Si P es el punto de: intersección,se. tiene el rridngulo A'CP. Si se puede 'cons-truir un triángulo' semejante al A'CP cuyolado sea AC, el punto' homólogo del P seráel. de encuentro de .AB y CD·; es decir, estasrectas se cortan, lo que. prueba l~ vigencia delpostulado de las paralelas. Que. éste implicaVlI es evidente. ..

:WalHs opina que su forma VIS del postuladoes:]a más próxima al pensamiento de Euclides,puesto que el postulado' III establece la exis-tencia de. circunferencias semejantes, y parece'nátural el paso sucesivo' de postular la existen-cia .de figuras semejantes también para otrasfiguras .geométr~cas. . '. .

';Otra orientación, que hace ver bajo un nue-vo aspecto la incidencia del postulado de lasparalelas sobre teoremas geométricos al pare-cer muy distintos, es la iniciada por el jesuita

. G: Saccheri (1667-1733) Y seguida posterior-in.ente po~ J. H. Lambert. (1728-1777) yA. M. Legendre (1752-183'3), según la cual sedemuestra' que _dicho. postulado. es equivalenteal; siguientes. .

:Va. La suma de los lÍ1!gulos';'nteriores d~ untiiángttlo es ig1lal a dos 'rectos,

Saccheri llega a este resultado a tra vés de

v( v ~)d

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: . -. . .. .':~<.. ¡;; :¡.::(;.i.'~ :'!:...!.;.{ b :·Ü::~::¡:..:::,·:.una .figura de la que-hace müy.~frecuehtéluSo~ :.(llamada c1tadrilátero}.de·;Sacc.heri;·~v.er::,.~~)1·'" .Sea AH 'un segmentó::'arbit~aHo; 'perpéndi~7 .larmente a él se torri'an.·'(JOs::segmentos;AD·,;_ ~.=BC, y se forma':'::eF'cu~drilátéro :;iABCD .

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(fig. 2). Sin eluso del.pósrüladó V se demues-tra 'fácilmente 1que el ángulO C es igUal :alD•.. 'Caben entonces tres casos, según que esteári-gulo sea recto,' agúd.b ru-,obtusó. :S~ d~niti'esir~ .que siempre se está ~.il el-mismo .caso;·cüales~ ,qu..iera·:qúe-sean las dimehsicnesde.lá' i"asé'\~B:y de los segmentos igúales !A.p. y BC~t ~pái¿";'. ."cen así tres posjbilidade(·qtJe."p~eden ~óm~rse' .como hipótesis: la del ~ángulo .recto, ,la !del, .

. :íngulo obtuso, y la';del. ángulo ~agi1do,¡'según . .. ! .10 sea él ángulo e= D:: Saccheri demúes~á :..;' .

que" el postulado' de lás paralelas eqUi~.aIe"~~~b..;..: ... hipótesis del .ángulo:, recto,!.' i:·.trata)~ego~;,(Je·~." . '.!

probar que las otrasJ~'pótel;isJlévan'!~ ~n::á.~:';::;~.surdo. Para la hipóteSis del áriguloobtusO cOn~;¡':1sigue demostrar que::¡ellá' to'ndúce;:a::;.Ia:l·(:6n~::< ~.clusión .de -que-Ias rect'a.s :son:..,-:.fini~as~lo;,,~ue:;.~;;;;:l..

. toma como el abSüi-dCi'deseadd,'y.:por·lo):in.tc(:·' l.,excluye "tál p~si~ilid~d,~J~'E~·:i;,.~a~bi?,\.~¡~ar~~~~......i'hipótesis d~1!~~ID110Ja;~.~?t:D~·.:~??~1~~i}I>~~~r..,.,; ¡:

a cont~ad~Ccló,n A ~l~.n~~:i ~~~l~~v~~~~~~'.h~a!:::l. .i. contradicción no eX1ste.~y..es .¡preclsamen~e; la :'.. (.búsqueda de l~:mismá.~~o:~qu~;~.~~ría·.~~~.~.~~d~l:.:. I

. '. . . ..,:> 1 "~~i+::~¡ ·1.l:!;L-¡:'~ : !}}.! ~:' ¡!l. ,I••,*~?.:i.'. ". .:I1 Basta llevar el cuadrilátero fObre SI rnasmo..dc,rna..... ..;

.' fiera que la base resulte: mvertida·::. (es decir.tq·ti~~;:A::.:! ;'!

coincida con B v:viceve'rs2H¡q~ed:indó Jo'~dc"s:(:~idri",:.: rIáteros del rnisrn'o' lado con. respécto ::a!·!aJ;2se. ÁB!.lpoi. :.el postulado IV, J~ 'snnjrrecta ·AD.i.coinéi~i· :;coll!:BC. ..y la Be con AD.:Siendo;.además, ;jguales los segmentos .AD y De, el cuadrilátád coinCidirá. consigo Iornlstno" enposiciÓn invertida Y. por 10;t:1n~o,.el ángulo le :coiald.:dir.á con el. D. ." '.. :;'. '.: '1. l: .."..

: .'. ~. . . 11

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' ...

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cír, .unr siglo 'más .tarde, al descubrimiento de'las geometrías no euclidianas. .. ·'N~ es"difíci( demostrar que las tres hipó-tesis, (del ángulo recto, obtuso o agudo) equi-valenrespéctivamente a suponer que la sumade los ángulos interiores de un triángulo es

. igual, mayoro menor que dos rectos.. Finalmente, es intéresante la forma obtenida

r por Gauss (carta a~. Bolyai en 1799 [18]):, Vr. Existen tridngtdos de área tat) grande

. como se.quiera.' ':.; :: Si '~eadmite esta proposición, el postulado V

también: puede demostrarse. .. ·.Hemo~, dado varias formas diferentes delpostulado de .Ias paralelas, Se podrían citar to-davía otras 111as.rodas ellas fueron cnconrra-das durante las tentativas de "demostrar" di-.cho .postulado.' ·Et' resultado. fue "siempre la ."~~stitQci6n .del' mismo por otro equivalente,de enunciado: más: o menos. simple, o más omenos evidente. :Así se fue llegando al. con-vencimiento de' q~e .se trataba 'efectivamenrede 'un verdadero postulado -no de un teore-

# • I •

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: ., 1':' l· ", s

, :.,2:1.' Las ~bras"de Gaues, Lohachevsky yBo)yai.; Si el ·po~t~.la40·V, en la forma. dadapor~Euchdes u ot,ra 'equivalente, es un verd~

·.dero·postulado, eI'hecho qe negarlo, aceptando'105 aemas~' no: deb~· co:nd~cir a contradiccionaIguna~ Es~a f~e:la ~d.ea¡·q~e:maduró en la pri-mera.:mitad de1:s.iglo XIX; 'y' que: dio por re-

'" , 'I . "' ...s~lt~A~'I~Ln~fixA~~~t.0;i,dc,.,las."g~o~etrías nocu,~hRl~n~~,es·;de~~.J;""l;de.·.la.s:·geol?etnasen que

. el:,ppg'pla'd9 :V¡: .deJ.~uc~des .deja de ser válido.,}C~fl1o~:t.oda.Ii~e~',:q~e.;.l~eg.aa 'la ~adu~ez e.nun determinado momento de la historia, di-cha~'~g~omet~ías" .ii.ó'·puede~ atribuirse 'total-

.~:ente: a 'u?a sola' p~rsona:. Fueron gestadas porla obrade todos los matemáticos anteriores que

) "

12

-rna que pudiera demostrarse con el s~lo uso delos postulados precedentes-, y que, por '10

tanto, iban a· ser inútiles todas las tentativas'de demostración.

·En este sentido, Wolfang Bolyai '(1775-1856) 1 escrihia a su hijo Johann, uno de los

'creadores de la geometría no euclidiana [21]:"Te ruego que no intentes tú también lucharcon la teoría de las líneas paralelas. Perderías-el tiempo y 'sus teoremas quedarían sin de-mostrar. Estas-impenetrables tinieblas puedenderribar a miles de torres como Newron. Nun-ca se aclararán en la Tierra; y el desdichadogénero humano nunca poseerá en el mundonada completo, ni aun en la geometría. Estoconstituye una grande y eterna herida en nualma."

1 Como suele. acostumbrarse, utilizamos la versiónalemana de los nombres de los Bolyai, padre e hijo. Pararespetar la forma húngara, en la que el nombre sigueal apellido, en algunos libros Wolfang Bolyai aparececomo Bclyai Farkas, y su hijo Joh:mn como Bolyai]ános. '" .

CAPiTULO II, .

LAS GEOMETRtAS.'NO EUCLIDIANAS

intentaron ver claro ·el.significado del famosopostulado, y cosechadas simultáneamente porvarios matemáticos, entre' los cuales, y cornomás significativos, se cita siempre al gran rna-temático alemán Karl Friedrich Gauss (17.77,~1855) , al ruso Nikolai 1vanovich Lobachevsky(1793-1856) y al húngaro Johann Bolyai(180f-1860). . ;

En realidad, los únicos que publicaron du-rante su vida los resultados obtenidos fueronlos dos últimos, pues Gauss, prillceps matbe-maticorum, ya coronado ,de fama por 'otrasinvestigaciones, temió siempre que las .relati-vas a la recria de las paralelas fueran conside-radas por sus contemporáneos como div:aga-'

i.!,,¡

cienes i~sensatas d~l orden de la cuadratura delcírculo o del movimiento continuo. 'Por eso;a pesar de. que reconoció el mérito de talestrabajos y los' alentó, y en cartas privadas dio'noticias acerca de sus propias investigaciones,'no quiso. publicar nada durante su vida "portemor algriterío de los beocios" (carta ¡l Bes-se1 en 1829 [18]). .

'Los primeros trabajos de Lobachevsky da-tan de ·1826 (memoria presentada a la Uni-versidad de Kazán y cuyo manuscrito se haperdido), siguiendo después varias publicacio-ne~,entre'1830 Y 1840, fecha es~a última enque aparecen-sus famosas lnuestigaciones geo--métricas sobre la teoría de -las paralelas, obraescrita en 'alemán [19]. .. -Los trabajos de Bolyai empiezan alrededorde 1823, según cartas a su padre \Volfang y á

· .otros amigos, pero su publicación se retrasa· h:ista 1832, en que aparecen como apéndice del· primer tomo de un libro de su padre [14. y~15J. .'

:Tanto Lobachevsky como Bolyai ponen enestos trabajos las bases de la geometría y dé latrigonometría no euclidianas. Bolyai se dedicaespecialmente a distinguir las 'proposicionesgeométricas que necesitan el' postulado de Eu-clides de aquellas que son independientes delmismo, a las que Ilarna propiedades absolu-tas o absolutamente verdaderas. Lobachevsky·.construye más decididamente la geometría no'eucliaiana, al negar de entrada el postulaCIO'Vy suponer, en cambio, que por un' unto ex-~erlOr a una recta pasa más e una' para cIa.

. 2.2. Las geometrías no euclfdfanas; 'De-jandó de lado' el desarrollo histórico, así cornola difícil tarea de distinguir a quién pertenececada una dé las ideas que forman la geome-tría no euclidiana _'_'y que se encuentran muyentremezcladas en las obras de. Lobachevsky,Bolyai y otros autores de su. época, comoF. C. Schweikart (1780-1859) y F. A. Tauri-nus .(1794~ J 874) -, vamos a presentarlas talcomo quedaron una vez' pulidas y sedimen-tadas. .Un .estudio histCSrico·y .bibliográficopuede verse en el libro de Boncla [5].~ Sea una recta.,. == AB y un punto P exte- .. .'

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'. l' I ,1, '

. : ' !. ;•.,; ,;~.:' • .v.' 'l..: ';~'::" ~~ .

rior a ella (fig. 3) . .Torriernos-Irn pUri~o:'cu:áI-:'~.'quiera M sobre r, ...Y.:·'~dnsldéff'J:nos)Ja::1:'re~fa.\:"a'=='PM. Supongamos.quejelpüaro ·M. 'se ;müe':':~.:ve sobre r;alejándose~infinit'imerité;',.~i:'anto:lía:.(· .cía un lado como hacia' el:otfo)pueddl'pieiéÍl;.;, ..:::tarse tres casos··· ...¡ ....;:.;':'ii.;i. "if;li,~n¡¡': I."{';;'·. !i.¡.' :::.~¡~:.:>.:

l. ·'E~ste 'u~~' únic;~';:~¿~ic~¿íi~M¿')~d~!;I~:~~~~·>'. '.ta variable a, en la cuál rio:c6tia: ··¿'r. Estai.\ínica·. '.

. posición límite: será. hlJ'pai-alela~p'o'r'!p,a,Jr:~~s-> .'ta mas 'en el caso euéÜdiá'hd¡¡por.' P)p(zs~·."ülúz' ' . '.sola paralela. . '.. ~.. : \·:i:·,·;!r:.>-¡:::¡;~~T::: ,:,,;:~,U;<}f~ ::'. 2. Cualquiera·quei·s'ea·· ..la f~ctalq~ej~a~~:~Brt ..P, siempre corta'a r:Jpor. ~.;:nopasa~ning1inapara/el~. GQ_f) ~t ~J.. i.(l);\~\;;~.J.;,;·j . :·d.:+.r~;...:~;:,;:,

. 3. Existen dos' posiciones'Hmiee,' EE'/'i FF_~":.:para las rectas secantes; .soil!las·corresporiaidl-.~·"tes a los dos sentidos en':que:.M· puedc[aléjarse: .'\ !., I , .

:(1. ()' I \i,'J'.'¡ t.ir: :r·I!,{~~!'J'·I.·t':..::·.'¡:<:':·i·II.:t ••:·4.r~:·"",,< .•." ~.~ . ~(. : ...,.;f.':i'fJ {):'L'~'!':: i;, il.~L~r;r'j·F'::'

E ! ., ~+/~'; ,¡..,~~ f:'f..: .::.t'.~ t\h:;f,,: .:"'. +

. :.~, "~'::.1 ;./:.;,'; ... ~. ;I'~!,i; f~;~ l' +>• ;':'l -;O •• .: 1 i'~\;..': 'v.. ; .•1 •• :." f\ ..'(tot···· ~...

• o: '!: :i .. e-i: :~:! ~ .s : l !~¡I t":. '1..¡ l'p .....r , ¡J".... . "'¡¡.I¡I··~¡··h,:!·.

~.'\.).,~t·:.. '·...:1, ,::, .;:'t:;.J,:' \./:.r~Lf..';,~.:)I!. > • Ir.! t: ',l. Jo 1. . '.. ". l"':~ l' • i •

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A :...•: :::F:} !:;;: 1, ;¡"r!r1!~i;;'··infinitamente. Las .recras que, pasan.ipor ,'P ¡;y.:.están comprendidas en el ángulo FPE, ó>rtatá'n_á r: serán secantes .. ¡Las' -que .;pasan :):ór ~~P..comprendidas en el' áriguló . EPF~, :novcor-tarán a r: serán no',.s-eéantC's•.~Las .EE' i" FP' ,'.de. s~a:ración entre ainbos~.!!Eos de ;:rectas,\ se1I!.ri1alLPara]!las._Fs decir,. en este' caso:' ,por..eUU11-to P' paran .dos;:p!!.ra~~!as a :!',~'in]Iñitas'

tes.: '. J • • • • • • • • , .' ,. .no secan es,. . . t'i ;:~...; ~!.~.;.,.. ' :.;~·i·f~'·'.',.\:,:",. (Obsérvese 'que .lasrectas¡ no] secantes, tes-.'

pon den .también a.la definición- ~e rectas ··para-.:lelas dadas por·.Euclides. (ver::l.2 h·sin émbar:"; .go, las posiciones límites tienen .Cierta.spropie~"'dades particulares 'que hacen convCtiient~ con-:

. .' 13:.',

. i ..'.

. ".. '.: .....':.~':", . .' .

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: ... :.... ; : :.", t. '.

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• • • .... ,¡ ';; I !':", .,: ,servar' sólo p~ra t ellas' el nombre de paralelas,para 'a,sí-"distüiguírl.as de las no secances.}: ' ,~-Los .casos 2 y _:3 ¡corresponden a las geome-

idas ~o,euclidianas, Ilamadas, respectivamente,elJptiq( e" bjpl_rb61~clI.,,:': ':,

.... : •••...•.. ;: ;"f .

':,2.3. L~geomctria:no' eu~lidiana elíptica., ',La, ,ge~mecda':'elíptica,; .es la. que resulta de, "su~.ti~uir,el postulado: de: las paralelas por el. siguiente: ' ,:¡ ,"', " ,

Por, un 'punto exterior, a ,,,na recia "O plisaninguna p'arIlJela.es decir. todas las recias qm:pasan !por 'un pt¡.n!o extcrior a otra cortan aes/a última. ' ., : ','

':Consi,deremos (~ig~,j) 'la recta HP p~rpcn-dicul,!~ a,.r,p()r."u~,:punto H.de la misma y laLL'_ perpendicular.a: PH', por el punto P. Sea

.M1 'el, punto' en q~e LL' corta a r. 'Según elpostulado 1 de Euclides ,(inte~pret~do en 'elsentido de que· por. .dos puntos pas~ una solarecta) ,:'el punto Ml~·debe,ser único, y' el mismotanto si M'se aleja':hacia la. derecha como ha-cia la izquierda. La"recta r·resulta a~í cerrada

. y, p'or .10 tanto, ~init~.:E~'dedr: _ .,.' .E".n:la 'geomctrla ~eli plica las ;eclas son ce-

rr -.las ", (.'. ':r .) '. ,aa:,:.' ~{¡"_i', j'. ' ': . '. ' ,

No _pued~decirse que sean U!~m!t~das",puesto 'que no ,tienen ,p..?~~s ~onde empieceno' terminen; por lo tanto no ~ay estricta con-tradicción, con el postulado n. Sin embargo,"i~plíci~amenie se :.hil~~a::,entendido siemprequevlas rectas ',dc;b~an)~er'¡abiertas e infinitas.De ~qui ;que :la conclusión 'de .que debían ser

-cerradas "se¡estimase:"un'aicontradicción con elpostulado P',":Y Ja'~ge0n1.e~.r,í~elíptica no 'fueracQ:'lsider~d~,'eli u,n:pr4tcipio~ ',', ' : '.f..:'Li:;· cometría~elí i~~a,es' l;t'geometría: sobrela-~superficie esférica cuan, o se 'conSl eran co--mo rectas :13, circ;unferencias 'má~mas., 5ola-menté¡h~y ..que, c~':lye~j.r~'para evitar que dosrecta~\se .cortcn>en ~dQs.':puntos..diferenres, quélos p~Úttos'~Jia1fzciralmenté 'opuestos .sea.n 1msolo pi¡.n~o•.:En' ,reiio~es 's~fident~mente limi-

_t~da~:'para-que ;~Q:ha~~,e~::~~as.'puntos diame-tr~lmente'opuestos~'la identidad, entre la geo-metria: 'sobre la esfera y 'la: geometría ,t:Ií ptíca,

, escompleta .. Se tiene-así el:.'primer'ejem~lo d~~.I . ,

;"

, .geometría en que no se cumple el postulado V. ,'Por tratarse de un ejemplo muy familiar, esmuy útil para comprender algunos hechos quea primera vista parecen paradójicos. Por ejem-'plo, el resultado de Wallis, de' que no. puedehaber figurassemejantes en una geometría noeuclidiana, se cumple evidentemente sobre laesfera, donde un triángulo queda, determinadocompletamente por sus ángulos. También, sise considera el lugar geométrico de los puntosequidistantes .de una Circunferencia máxima(recta de la geometría elí ptica) , resulta unacircunferencia menor, que ya .no es una recta;se comprende así el postulado V2 de Clavíus.

Con esta íntcrpreeacién de la geometría'elíptica es fácil deducir todas sus propiedades, '.por 10 que no vale la pena detenerse en ella.Así: la suma de los,ángulos de un triángulo e:s'mayor que dos rectos, el área de un triánguloes proporcional: a su exceso esférico, en uncuadrilátero de Saccheri se cumple la hipótesisdel ángulo .obtuso, etcétera. , . .

Ánálogament~, la' trigonometría correspon-diente a la geometría elíptica coincide con latrigonometría esférica. . ',' l. ,

A: veces se considera también como' geome-tría no euclidiana a la geometría esférica pro":'píamente dicha, es decir, la: geometría sobre

- la esfera 'sin la' identificación de los puntosdiametralmente opuestos. En este caso el pos-tulado 1debe, entenderse en el sentido de quepor dos puntos 'pasa por lo menos una recta. Le" (O/O/'

Como la idea de estudiar la geometría so-brc una .superficie determinada --en el casoactual, la esfera=--" tomando 'como rectas lasgeodésicas.o curvas de longitud 'mínima 'entre"dos de sus pimtos (suficientemente pr6ximos):es de B. Riem:mn'(1826-1866), a las geome-'trías elíptica y esférica se las suele llamar"geometr'ias no euclidianas de Riemann.

. 2.4.. La geometría DO euclidiana ~iper.;bólica. El -caso 3 de 2.2 corresponde a lageometzia 'no euclidiana propiamente dicha.,Es la' geometría desarrollada por Gauss, Loba-;chevsky y Bolyai, a la que K1ein dio, el nom- ~bre de geometría hiperbólica. En ella las rec-:tas son abiertas é ilimitadas. Se cumplen los

.'. cuatro primeros postulados de Euclides y dejade cumplirse el quinto, el cual se sustituye 'por'e] siguiente: .

Por un unto exterior a una. recta pasanos paralelas, que separan as infinitas rectas"

no 'secantes de las i"finitas secantes. . .. La posibilidad de esta geometría deriva de'

que, sin contradecir los primeros postulados,puede haber rectas que no se corten .(por le.ta~to, paralelas según Euclides) y cuya dis-tancia mutua sea variable, llegando a ser tan

.pequeña .como se quiera. De esta manera lasparalelas .EE' y FF',. de la figura 3, resultanr~ctas Uasintóticas" a la ,. e:AB, a la cual seacercan jnfinitamente sin llegar ':l. cortarla. EJ

· ángulo a =HPE = HPF se llama tÍ1,gulo deparalelismo y depende de la distancia d =·PH -.En! 'la geometría euclidiana es' siempre a =='90°; en la no euclidiana, a varía desde cero,'para d infinito, hasta 90 o, para Jtendiendoa cero (ver 6.4). .

De esta geometrla .nos vamos a ocupar con-detalle enIos 'capítulos.V, VI y VIt Adelan-.:ternos únicamente que, en ella, la suma' de losángulos de un triángulo es menpr que' dos rec-·tos y que, por lo tanto, corresponde a 'la hi-pótesís del ángulo' agudo de Saccheri,, .

. 2.5. Geomelría y r:ealidad. Es curiosoobservar cómo Jos creadores de ~a geometríanoleuclidiana de la primera mitad del siglo XIX,·"a pesar 'de su obra. capital, parece que se hu-bi~ran alejado del concepto plaeóníco que pre-side los Elementos de Euclides y hubiesen re-trocedido, vol '¡iendo a considerar la 'geometría

.como una ciencia destinada a medir las cosas· de; la Tierra. En 'efecto, al vislumbrar la po-sibilidad. de' .gcometrías distintas de la euclidía-naJ en lugar de adquirir el convencimiento de

·que el postulado Vera Indemostrable y .que,· " . .. ., ,. . , ...en; consecuencia, existían otras' geometrrasigualmente verdaderas, mostraron una cons-''tante preocupación por averiguar, por vía ex- ';

, perimental, cuál era' la "verdadera" geometría,es ;decir, cuál -era la geometría' válida en lanaturaleza 1. ... !

· 1 Henri Pomcué La' recllazado la posibilidad de d~-cidir, por medio de 12 experiencia, cu~1 es 12 "verda-

. El mejor método .que., a. uno .se Ie ocurré. " . ;pensar, para ello, consiste enmedir la. ~ma di;-·:::' :los ángulos de un triángUloky';comproba:r<Si' ~.:,.:'ella .es igual, maYor,:!o'hnenof ..4u~. dos: rectos::, ..i:'-< :El primer ¡ensayo .Io- hkó'jGarlssf Diidie'n(lo':lof :,;.....:') ;ángulos deJo ttiáóguldUormá~o'ipor:·lis1ciiná5: ;.;.:::~;:de los montes .Broc~eili~Hoherihagen?'e·~Iiisel~;: /!";'i: ;,berg,. triángulo cuYosrlaClós;.:ñüdeilivaHd·t:dé!·. ;:~.:', .cenas- de .kü6métros~~EI :,;.reSüItad~:frleX(¡üé'.la\ '\r:::;J_ .suma diferíade i180~·¡en:~~'dllitidadés-_'ínhY'i.pe~·:-.::.:~~.!queñas; atribuibles a erroies ,de'obSérVáCión.~~r -.!. '!' l" Estos: errores,'] irievi~ábles,,¡,poi1..~p:recis·as¿.;q~e.:} . i.·

!;ea~:las mediciones¡ hacen:! C¡ueTmediante':.tesu·:"f ,¡. I

tipo de experiendas;tno!·lseá:·~pOsibI~~)'aeCidir· ·..i:·· .;cuál: es la geometría' ~eal· 'déla>;'n'arutaIeza;:;~a~:;, :lo sumo ~irven r..para;;.JIegarti:dla>,cohélu'Si6h:. -':;'.: ;de que'·· para' los uso~(:'cornehtes'" de·'¡.J,!,s"Ciéñ¡; -v, :. (.

, I • ¡.. .cías e~'periine:ntales,dai:':geome~d2! 'eucliáiaD:l: :'.,:::::.::es perfectamente .'válida. ~l.r,:a$·¡~.'no·:· iéuclidi;i::':.'~:< :'nas tienen interés pu'rámente'!'té6rico"cu2n'dó"s'e .:,.;;'considera' que' conocer: es :~l::.:úniéo'fui 'de )2- .: :geomeería, pero. tienen valOr.!~sCi~ éórrto.1geo..;'·. ;metrlas para: medir', ~út~bse:rya'r' :los¡.~fenorrie~·.: . :nos naturales,' Para' 'elIó':'la:'eüélidiana: 'es ·~Súfí.;.. -~.. ' ..ciente, y es,.también·1Ia ..·rit~sfprác'tid~~pdr je:r' .:.la más' simple y,la más 'ada'pdda:'a1 la!intuici~n~~·~!'.

Es-explicable :c¡ue··ásr:Sea':·Los'-'postuI~dos.'eD:':1 .qúe 'se basa una geometría fSei:'elig~nJ,lo::)nás -evidentes: posible pai:bla" intUiCión;;'Pero.~ésta' . '.es producto de la obserV:ici6n 'de·la natUraleza .,por los sentidos.' Por:·;Jo;"tiiiito~;.alinerios"tÍÜen!.::.)¡·' .tras. nos mantenga'm~s :én: eltord.en dé:magiii~:; .' .: J

'. tud "'apreciable poi' .Iós! senti(Jos;~.Ja:géometiía. i; .euclidiana sed .la niás acorde':con'la: naturaleia~ .:" .por -ser el p~stuladóiide;:E~¿lides\~~If.inásJefi~ ::~,.denre : para ·.Ja.¡.'in~ció~~l;p~a:F.~~s~~~Zp~ede .~..ocurrir' al trarar .fenómenos :cuyo·I.¡:orden~.;de::.magnitud sea' muy' diferente tdel. qué.'~apredárt. :directamente los sentidos,::!coino;distahcias es.:. . .".telares '0 diámetros de !paiticulás ··.ele~tntalés. :,:.;...

.. : .','::> .:'.:··n¡j;:::);:t:,(,~·,(\-:··;·~;ij.tr:~t.¡;{;~:'. ,den" geometru. Mis aun,.-sostlene que"el'problema en.;. ~'..i cuece de sentido, .ja'·q-uei·unaTgeómetrí2·'no es ·iñit.. .o menos fI~rJaJml ,ino m~s;o 'irienos.:é&moJtI.:para:.Ser .aplicada a .,un:. cierto :~~mundo".·Pua :el nuéstro~' este .::carácter es poseído pOr.Ja ¡geometdá :~did¡:aDa.'i..C:Ver ~.H. Poiitc2r~, ÚI' rimeltl y 111hipóltsis (trad.:'esp'~j, Es- 'ipasa-Carpe Art., coleeci9it'" Austr2l,' 1'''', I cap' .. UI,'IV y.Y.) .: : .. : ! . .... ".:.. ;!!.

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Enesros casos podría ser que la intuición fa-:llara Y' que o~~as:geomcCrías fueran más apro-piadas, .de 'la misma manera como para gran-des velocidades, superiores a las observadasdirecramente por los sentidos, deja de ser exac ...tao la mecánica newtoniana (la más evidentepara la intuición) ..y debe ser sustituida por la'einsreiniana.' . :..,.

Desde el 'punt,o -de vista de la matemáti~a.pura, en cambio, todas .las geometrías tienenigual valor.: Son' estructuras matemáticas dis-tintas: pero :igual.n:iente valederas, cuyo inte-

. rés p.u~4e variar según.la aplicación que se les

.: encuentre, Paralos, usosde la práctica, la geo-metr:.í~·.euclidja~~ es .l~.:qu~·mejor se adapta.En cambio, paraciertos capítulos de la mate-má rica.pura (te~rí~ de, funciones automorfas)ode la físi~a reéricaj'teoría de la relatividad).

.: .IQS 'esquemas de las geomerrlas no euclidianas,. son más apropiádos~;' "'~.:, : .:"· ..!{:;:ri· i..1;.. ' ¡)":':¡::i',::.¡ -.1:!. ",' '.:. ::~:;2,,~,,¡;N.ue~lr.:Q.:p~og~~a •. Lobachevsky y.' Bolyaijdesarrollaron su geometría por vía .ele-;. ~,ent:~l~,;Pres~~Ad~~nd~·::d.e~.po~.tul~do V O. sus- ..: ·tltuY~l?golo,r por. ¡otro; :.pero siguiendo un ca-.. mino; ~~álogo'. al .de-Ios Elementos, }tegaron a1': mp.cho,s.res~l..t~40sinteresantes de la geometría.., y;?~;ig~npmetría: -9-0. euclidianas, Al no encon-'.:.,.trar contradicción. e~: sus razonamientos, He-', . gaban :a la. convicción de- que. el postulado de

Euclides; era, yc:r~ad~ra~ente un postulado,puesto ;que su. negación no conducía a resul-tadosl contrad~ictorios. S1n .embargo, esto era

. nada ,más que una' convicción, no una demos-tración, puesto' que'. quedaba la duda de si laco_!!tradicciónEareEe!:_ía ~ algúE_~ev~ reo- .rema .. As~, , en . ciertos' momentos; el mismoBolyai. creyó, p~r un exxor de cálculo, haberllegado' a: una contradicción y, por 10 tanto,haber "demostrado" el postulado de Euclides(ver Bonola [5,' pág. :ll.~J)~ .: .

-,: ,~a 'prueba ..de;:1.~ indemostrabilidad del p~.s-rulado de.Euclides no, fue' dada hasta' más tar-

.·de; por: caminos.diversos.: Primero por Beltra-'ini·.(1835.-1900r,.en·I~68,. según una direc-'~.' '~ : ;:.< :.' .¡ :',:. ..: .' . .

, 16

! .

ción de la que hablaremos más adelante (8~2),y luego porF, Klein (1849-1925) en una me-moria famosa [36], en la cual sistema tizó las,

. geometrías no euclidianas desde el punto devista de la geometría proyectiva, construyen-do modelos con los cuales se podían obtenertodos los teoremas de las mismas. Llegó inclusomás lejos que Lobachevsky y Bolyai y, sobretodo, demostró que nunca se encontraría con-tradicción en sus razonamientos, puesto queello conducida a una contradicción en el rno-delo, el cual estaba construido' a partir de lageometría euclidiana. 'Es decir, demostraba ~uesi hubiera contradicción en la geofl1etría~ noeuclidiana, también la habría, por ta1),to, en laeuclidiana. ' -

i

Nuestroobjeto es exponer con cierto detalleesta iri terpretación proyectiva de las geome-trías no euclidianas. Creemos que es la mejormanera de lograr una visión global de su jes~tructura y de comprender la esencia de ;susprincipales teoremas. Ello obliga a manejaral ..gunos conocimientos de geometría proyectiva

.que, para no tener que hacer continua referen-da a textos sobre la materia, vamos a resumir, -, Ien los capítulos In y IV. '

No vamosa hacer la construcción axio~á-tica de la geometría desde el principio.· Si-guiendo el camino de Euclides, pero con todas'las correcciones y añadidos exigidos por la crí-tica moderna, 'esta construcción fue iniciadapor M. Pasch (1843-1930)' y terminada con'

: la obra magistral de D. Hilbert (1862-1943) ... titulada Fune/amentos de la geometría [25],fuente insustituible a este respecto. Dichaconstrucción' puede verse en cualquiera de loslibros modernos dedicados a las geometrías noeuclidianas, por ejemplo en los excelentes dellaldus [4], Coxeter [8] o Norden [11].

Admitiremos, sin formularlos explícitamen-te, los postulados con los cuales se edifica rigu-rosamente la geometría proyectiva, y que pue-den verse en la obra de Enriques [23] o enilade Rey Pastor [26]. .

I '

2'. ',,:' "" .

./

-Las nociones de 'geometría proyectiva quevamos a presentar pueden verse con mayor'detalle en cualquiera de los' textos menciona-dos en la bibliografía. Las exp~qemos breve-mente en este capítulo y en el siguiente paratenerlas a mano y para refrescar. la memoria'de¡ lector. La exposición será un poco concisay algunas demostraciones tan solo serán. es-bozadas. -.

I 'I ;

. 3.1. El plano proyectivo. DEFINICIÓN 1.Se )lama Plano euclidiano al plano de la geo-'metría euclidiana, es decir, al plano que uti-,liza 'Euclides en sus Elementos; Y. para el cualvalen todos los postulados establecidos en .Iosmismos •.Es el plano ordinario' de la geometría·.elemental, . . .' .

.. ' En el plano euclidiano es cierto que' "dos'puntos deterrnínan.una recta". En cambio no '.lo 'es la propiedad dual 1: "dos rectas determi-':nah un punto", puesto que, si bien' cuando .lasrectas se cortan, puede decirse .que dererrm ..Ja·nsu"!punto de intersección, cuando son' paralelasno: determinan ningún punto. Para obviar estafalta de' simetría o. 'dualidad, resulta cómodoampliarel plano' con nuevos puntos; Ilamadosp'll'!1tostmpropios o puntos del injinito, que se-

. rán' aquellos.determinados por rectas paralelas."

i Propiedades duales (en el pl:mo) son las que seobtienen un:i de la otra 'permut':Il'~doentre sí 1:1, pala-bras "punto" y "recta" y umbién las expresiones "re¡;-t:1 que une" (dos pUl1tos) e "incersecc:i6n" (de dosrectas). . . . .

Como los axiomas usuales. de la geometría proyecdvadel' plano son duales, dado 'un teorema su expresióndual t3mbién será un lcor~ma.

. _ .. , .. :.:< ··<¡:t:.:·:,,! .. !}l.'j' .;f~; J>':' .. , ,',.' J'''' ...»Óc vÓ. ",H." ..',' ,ll,···,ti·,

DEFINICIÓN 2...ConveÍlci'emos'efl deCir:qúe.·toda recta' .del pl~n("';dcfhie' ¡ün~'punt¡;~¡l1;lmj~:>~.:pio J el cual es' el' niistno"'pa¡,~.;todas' .la~¡ reéta~ .'"paralelas, .y dístin to' .pára, 'rectas_' no 'iaraleJas/ -

Por :consiguiente, ...dar un'' p'únto';' impropio,equivale a dar una' recta.o ~ea~JUna,di.i-ecci6n-:', "'~'nel plano.' Dos:rectas .:paral~Ús:d:~t~rrninan·, :'.

. . '.. .,' l .• " .._.. • "

el mismo 'punto ·.iinp!opio !:[(equivrilef~,.a:;:declr·.:;..'que tienen la' misma ~direcCi~n)~::eori' 'este ;'con.:.(:' ,';venio, elenunciado ·.,~dó~:::rectas(¡itermin~n iin i: ,!..

t, !', .: • •• .,'. ',' •• t !,," • , k.' , ·..r 1: .: .. " .){ ",: I ,í·': .",punto" nene valtdez:'lgen~ral~:,~,L;J.':.::ií:~~S;:;;VÚ:!I~i'.:¡'., . 'Puesto .que: en' el'cas&',de;d'ó~:rebtas:;ii~'p.:t:ii::1 ..... .;

'lelas el:pun too q ue' detérmin~n :ies' Su ,~jiltersec~:~:i,,¡,. ;.ción (que. p~~te:'lece:'~"~~Dib~¡s)}'t~ml)i'éit':'ert!~r~'!. : :caso de.punt:os.imprdpios·sé:~ice~:;~.r;~c5modi-- -,:, ',' ...dad de Ienguaje, que':elIos ··:·peiteileciñ~~;/a~b': . ',recta que Jos ¿eterm~a1 :Dc·!esu'Jrian·era;:hda.:.1'-:::.' i

:reéta' tiene .'un pun.tQ~;imp:ropio:W.1:sOJo~:ij~~~:~r:J;~.~:~...!'.con junto de los ptiiltos<in'ipropios!::).'iieJie::rii{:j¡t~,:) I

útiic6 puríto ~.omú.ií:::~to~-::ttiálquier:::·1;~¿tá::; (fél. .)":. :i.' t'plano,. Y. como' esta rpro'i,je~~~:eh: .er{c:rso··oe; ':'1.. ', .. : '.

. puntos propios," dJraéteriz'aFi{ ~~~:r~ctas;~se':.::' ..conviene en 'decir: ¿¡'de ·:10$ 'ífu'iÍtos .mípi·opios:.:. '

. forman' una' recta; .1lárnadi.,:iecld· ;mproPia:;o. :¡. :d 1 . f" 1e ' 1.....,.. ,,:.. ¡_,; ; ., " '... :. s . ¡l, .. - , .recta e In 11/.110 de .ptano.. :>d'f· , ::,,:.; ;.;; .

.' . '. . l', ':/:.:.,.....j' . -, \.',"': ;.!".' ' ..\ '; .. '. .DEFINICIÓN 3. s~·~llama:¡j,lano': pioyec'Hvo '.~' .

al-plano euclidiano ampliado·..:cOll..los, ptinib·s. ': .•• .: . . ~ :.' ". '1 1; .: ~::. ,lmprOpIO!. : l.,: .. ;:" .:\ '

• " l. l' , • ¡, •.:. J ,1 ~,"\,.' ,':',

Una imagen muy:íitil ;·~ellpláno·.proye:c'tÍ'vo :.:,.:se obtiene' de ]a. maner,a: sig~iente·:.:Seá,::e~·:'pla~·'. :'no 3t Y. un.:pun·to exteriór·:(r!(fig::.4)'~·;Consi- .... 'deremos el conjunto ~de las rectas :y' pla.nds del .espacio que pas'an por ~O (se llama '1'ailiación ide vértice O) •.Se .tiene: .;'::' :. ," ..,.,.::.!. ;.~;, ?t·;~ ...

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,:,;' ",J.,~ :t,!d;(l~jónr,de, vértice o 'comtituye tcn«; repT~se~~,!c~Ó_n,¡á.e_1'pl~~o 'Pro_yictivo, con ell. convento de¡: 114?n.ar:.,~¡rp.1~n!os" a las rectas de la~,ra'4ia~ió1"-y,~,rTectas" {I' los' pla1Jos de la misma., .' _'i • ,1_ ..j', ; _ .• ," 1, ',' ,. '; • ,~ • ' _

;.:" .E:n 'efecto;' alcortar con e~ plano n; a cada. ": recta a .que,cortea 'n le corresponde el punto A,,.~ de int~.rsecd6n,¡ y 'a cada plano (a,b) determi-"::'nad.o por ,dos,.re~tas'-la, recta 'AB determinada:.p~r'l<?s::puntos:: correspondientes. Los puntos

. .impropios de n corresponden a las rectas dela radiación contenidas en el plano n', paralelo

,a ~.:f\ .rectas paralelas de n les corresponde una._-:misma ::~ecta.paralela ,que pasa por' O, conté- ,

:n~da:en'el plano' n',o "sea.,:un solo "punto" im-.propio: .~~ recta ·~mp.ropia,correspon~e a rt'. La ''radiación de (.vértice ,:0;, excluido el plano n', ,-consrítuye 'un,a .representacién del plano eucli-diano: J;" '.¡ "', ',:::, ,',: .;' .': . '

, ;""'!, Obsei~~~e' que ';al definir el plano proyectivo ,.. nc_>se 'hace '~~~ que, introducir los elementos, .Impropios como' una "manera cómoda de uni-

:ficar .cniJnciados;': pero con' ello no se alteran ..Ics' postuladosjque .:relacionan los elementos

, . pun~o y 'recta' de':la~'ge9~etr_ía euclidiana. El, .1'),~;: .~, ,;' ".' : : ~. ' :. ::,,\: : ( ,' l;;: ~6,

,": ", ..... ~.. .' .. ,., ,,------

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, ~'~',3;;; ·l.~:/'. ::1 ,:':',~'~~,:.¡:, :;:;;;: e:: ':,. : ,:"po~t~1ado V equivale. 'ar'la afirmación de 'que", .' ';"1 '.' ;, • , '. • '., • ,0(' ~ ... '

'~:':l~:ip':ln~o.Pfop¡p¡,Y,',::?J;lO impropio determinan,·;.?n~,.sola~··reGta,rprop'~sición 'válida en el plano,::l>roy'ectivo.Es decir, la. geometría' proyectiva\... ." : i' , • -..: ,

'.~~,."1 '~':'. ~_•: • I I .'

...~)$,.,.,',. ~;f\'¡ '~.,,: •

.•• .r ... : -:~,,~;.: :::• 'o'

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'se edifica' con los mismos. elementos de la geo-metría euclidiana}. aquélla podría estudiarsepor entero .dentro del marco de esta última,tan solo complicando los enunciados. Esta 'ob-servación es muy importante desde el pqntode vista de la -fundamentación de la geometría.Según ella, al construir la geometría proyec-tiva no podrá encontrarse en ningún momentocontradicción lógica si,no la hay en la geome-tría euclidiana .

3.2. Razón doble de cuatro puntos:' 8U

invariancia por proyección y seceión, DE-FINICIÓN 4. Dadós cuatro puntos s~bre unamisma recta r, y un cierto orde~! ~,B,C,D

,r

A D

FIGURA 1

,entre "ellos -indepe'ndierlte del orden en queestán dados sobre r (fig. J) -, se llama raz6ndoble o raZÓ11, ottarmóllÍca de los mismos. ~ la'expresión I .

i.. AC AD

(ABCD) =-:-, ., 'BC! RD

(1 )

El primer miembro es u~a not~ción. EI;'se:·"::'.gundo es un 'cociente de razones entre ,seg-mentos, los ~uales deben tomarse .orienrados,es decir, teniendo en cuenta, que, 'por ejemplo,es AC =- CA. La razón, doble depende idelorden en 'que se toman los cuatro püntos:, Secomprue~an, por ejemplo, las .relaciones ;

1 1.(ABCD) = (ÁBDC) = '(RAC;D) =~'.= (BADC) = 1- (ACBD) '=

= 1- (DBCA). (2)r, , ••

Debido a 'estas relaciones, de las 24 razonesdobles que se pueden formar con los 4 pun-tos de una cuaterna, al variar el orden de: losmismos, solamente 6 tienen valores diferentes.

Si sobre la recta r' está definido un sistemade abscisas; -o sea, un origen O y un punto

, , .

un:idad U de manera que cada punto X estédeterminado por su abscisa x (distancia a O

.rnédida con la unidad OU), llamando a, b, ey U, ~ las abscisas de los cuatro puntos, la ra-

'. zóh doble (1) se escribe también,1 ' .'

,;(ABCD), = (abed) =.I '

,! e-a·1·f

d-ad'-be-b

." ~, .

, ' .(A, veces, para evitar alguna posible' confu-sióh, pondremos también ,(a,b,é ,d)' en lugar

',del (abed).)' " ", 'La expresión mediante las abscisas de los,cu'atro puntos tiene la ventaja-de que permitedefinir la razón 'doble 'aun ,para puntos ima-

.ginarios, es,decir, para puntos de abscisa 'imagi-naHa; se la llama también razón .doble de los'cuatro números a, b, e y d. ;

La importancia 'del concepto ,de razón doblederiva de la propiedad fundamental siguiente:

, . Supongamos' q~e la, cuaterna A,B,C,D de r, se 'proyecta sobre otra recta r' desde un pun-

to'fP (fig. 6); sean A', B', C' y D~'los puntosproyectados. Vale enton~es que' (ABCD) =,,=t(A'B'C'D'). ./'. ,

En efecto, llamando ahora (1,' b, e 'y da las rectas proyectantes.vy representando por,ar :(APC) el-área del triángulo APC, y análo-gamente para Iós demás 'triángu'Ios, se tiene:

:2 ar (APC) =PA.PC.sen (ae) =AC.h2 ar (BPC) =PB.PC.se~ (be) '= BC.h,

donde h es la 'distancia de Par. De aquí. AC _ PA sen (ae). BC - PB . sen (be)' .

Procediendo análogamente con' los triángu-Jos,APD y BPD, para Jo cual basta cambiar epor D y e por d en las fórmulas anteriores,resulta

, , AD PA sen (ad)--_--.BD PB sen (bd).

Dividiendo las dos últimas igualdades, re-sulti '

(ABCD) =' sen (ae) . se'n (dd), 'sen (be) . sen, (bd) . (4)

"

..

(3 )

, " ,;.' , ~:...19,t., .;

'., .

..0",

. '" " .

. ,".

: . z.6n.:·dobi~'.J;'··~u:atro'rectas de u~. h~z, dadas. pór~SUt ec'ua.~joneS,'es ,jgwil ¡j la TIlz6n, doble'

I ' .,., ,

, ~f:~1J.~'coefic~c1!teS'angulares." ," :'~ i t ", ;:: j .:' i',: ! •. ;. \"j": •

, ",·3.4., Cuaternas.arménicas, D.EF1NICIÓN 7.o • o •• '. ..If !:, ....

", S~:dice ·,''l,ue.'cuatro puntos' .alineados A, B,, C Y:]) forman' ana' c:ua/~rna'ar1nónjca"cuan-,do;Su,razó~ doble vale -1, 'o sea, (ABCD)'= .

, =·...-1. .

" "

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: ,0j~+' • '. Ir; I '1~l.

.., ",

..' . ," e:~.:~:', . .' • '.~ : ';') 1:"!

" FIGUIlA 7

•," : ~,.'. ' .' • I.,' ." t • ~• ' :: • .:1.,-.' •• ' ! ' .. ~ '.

" " )'j:':U~aconfjguracló~':fundamental que da Iu- ,'; "ga,r a'.'cua·~ernis::~rnlon:ica~es la-de la figura ~t

.,,~llamada 'cullári'lllr#ce! completo. Un" cuadri-.',' .vértic.e'..es'un conjunto"d4! 4 puntos,' como los

:',M..:N~' p y Q.,..~elos cuales nohaya tres sobre'.una misma recta'.::Las 6 rectas que' unen estospuntos entre si, dosa ,40s, se llaman lados del

, 20

cuadri vértice ..(en la figura son MP, MN,: MQ,NP, NQ y'.I~Q). Los puntos en que se coreandos lados, .y que no son vértices, se Ílaman

, puntos diagonales (el A, el B, y el ..f.l).' Valeel siguiente: ,

,TEC?REMA 2. Sobre las recias qlJ.e unen dos. pmllos diagonales de U11 cuadrivértice ~om-

pleto, estos puntas y los de interseccián C011-

los otros dos lados forman un« cuatern« 'ar-montea.

Así, en la. figura 7 son armónicas las, cua-'ternas A,B,C;D; H,B,F,E y H,A,K,L. Demos-'tremos,. porejemplo, que 10 es Á,B,C,D. Apli-cando el teorema 1 'a la proyección de A,B,C,Ddesdc·M sobre la recta PD, se tiene (ABCD) == (PQH_D) y. proyectandodesde N sobre larectaprimitiva, (PQHD) = (BACD). Por lotanto será.' (ABCD): (BACD), 'o sea,.lla-

, mando x á' esta razón doble,' según (2). es.:X = l/x, o sea xl!= 1; pero 'no puede serx -:- 1 .si los cuatro puntos son distintos 1,' lue-go, será x = _' 1, Io que prueba el teorema.

En 'una' "cuaterna armónica,', por' ser(ABCD), = (RACD) = (ABDC), en cada

r

B D I

1

1,1uno de' los pares A,B 'y C,D. d~..la cuaterna

pueden permutarse- los elementos entre' sí., Además,' siendo negativa la razón .doble, .de

1 En efecto, según (3), si x= 1 es (c-a)(d- b) ='(J - a) (e - b) o' sea,' haciendo operaciones

"y simplificando; (a-b) (c-il) = o, 10 que obliga, ':l' que:o bien A .coincida con D, o bien e coincida con D,

~1) se deduce que los dos pares deben sepa-.rarse (es decir, si C es interior afsegme~to AB; .el punto D debe ser exterior, y reciproca-mente). Por esto se dice que son pares que seseparan armónicamente. Tamb~é~ se dice q~e .cada punto de un par es elconjugado armo-:'nico delotro, respecto del par restante. .

Es interesante el caso ·en que el punto Dse aleja hacia el infinito. En este caso, siendolirn] (AD/BD) =']jm .[ (AB +BD)/BD] === lim (1 +AB/BD) = 1,· se' obtiene AC ==='7- Be, es; decir, C: es .el..punto .~edio .deAB~ Por 10 tanto:

'TE9REMA '3. El ámj1tgado ~~móniCo 1 JelfrllntO improPio respecto' del par: A,B es el'pultto medio del segmento AB..

·1 .

M

'.

1

.¡• 1

.: .A.'j,

:.c'FICURA 8

.l. ..' ·Géométricamf.nte (figt 8) este teorema se .

puede .enunci1r:.,tEOREMA: 3'. Si se.1men los vértices. d~ la ba-

se dc'1en triángulo con los pt/.ntos'en que 1maparalela a ella .corta a.los otros lados~ el pun'to '.de 'intérsección' eStá sobré 'la mediana corres- .poit.diente 'al ter~er vértice.:', .

l·3.5. Teorema ·fundame~lal. Suponga-

mos dos reétas r y. r', y ll;na correspondenciabiuní'voca entre sus puntos tal que·.a ~oda cua-

~,.';JI:f .,;tdl:i~j,J:i('terna arménica, (ABCD), :, -;;-.1;,.; deq¡rVlei,"""~': ¡';.haga' corresp ondér .":ú~a'~':(ltiater";l.l arm6~i¿~~~¿'~}~;::'

• • ,,' ,_ , .... 1 ¡

(A'B;C'D':) :..:..._"_.f.~de:Lr.;~se~\'dice;'quet'la;~;có~I\:,;f.,+.rresp6ndencia'" co~s¿í-+~;J~};~~~terrias ¡~irri6~i;!~,'.:(:,:... V'1 :", ..fl, I ' ",V 1,\,¡.~ ."""j .1 ~\ "; J¡:III~"1 ¡ ~'rr,I,t,,:!'\ llt~t .k':\.caso a e.ientonces.e "SigUlente; teorema,', un,,:;\)"I~':'!':d· .' l.d ""d";';"':i .\I ..".'··~.~tt:J,<1'.... ~';Jr'I¡'l¡rll~ ..1'.'I':';"menta e Stau t·, ''h\'J'~\ '01'1 ,';:"1, • l' .. ~, l' í'ió ..., .,.. :. .'";~f:1.\?""1'; lWh .~.~:},.: k'f':;''-''· :v1•·•·. ¡W" .•:_;,: (.

. . - ::~.' .:::.. ',".'~; ':.~~r'l~~~~,•.?t<:, ~ :. :. t: ~:I I :. "';/:.1~i~~~:.~~~~~~i:J j :::'. s'' -, :.~;. :. j', ',S"~fi~¡~!'~-)'.~'.1 ~J:;¡;.:P\:. ¡:: j~r~··:IlN-;t!Hf.'::;:.j:o . 1- ,.'. 'l' "'¡ ¡ ,.," "'. ~Ii" , ..... •. . -.: .;.... ;. ;ll¡:l.·~f'\.'f;·i'.,;;.: r, ~..'! 1'1·',,;'I;I·¡,:, ~~'. 'T~'"• 'o • .~",' • :'.:/:.~ .; \': ; J.¡:,i.~' ~~_.<.Ittj~:"~:~." :..t;

:.' • ",. .1 \ \r'·i~.ll..'-, "~'" ""'.' ~It"'(~f1 It1,.1··; ,:. ': • ~·.I :":!·~t)~t:,~,~·!i#J.~~.:~·;:,~!k::i!t!;}~! ~t·:"!:

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.~:tE.. J·:i-~,1~r..: ;:" .

S¡"• • '-!..

TEOREMA 4-.'Si un'a correspotidencjá: ·bil¡n~::'.·.' ..' .,' .VOCII' entre .Jos piinto('iJe':;aos;:recliss f'.r,,·1~¡aer :':.:'~, .pláno proyectÍ'llO¡ con'seN;~·.las~Cu'?:leNÚIs.~~fmó~:;;.;';";: ;-,.'nicas, .conserva. lil11;biln; 'los ;1í'1I1drh" dl~ las (,1-4:..t > '~"'. J!. :

.' iones dobles de dujfe-;J1i;¡s:;~ÍJálei(j11¡er~~¡~/rIjfX~~i:·.:¡i:\'.;·¡: i.· '.La·~déni~s·~~~ti6~}~~'~~~f.F&k~~f~¡~~~:~~~~:'j~i.i~~?~t;)~:~-tila '.pe·na h:icerl~ p:ues'~st;~uY;im'po~tllDte'Je'¡:ins!f;r):.:;;i'~·r

· '.. .'" . "i"" 1\ ', • .i "",.' ""d..1 "'j'¡j: "'íi"~~W"J '. .•trUctlva~: ;i' :,! ·r;··!';'~::il;;~,~fLY,lf/f:~J;;··r[..:t~'!.I·;il;~i:~q?:!·,;!:~\.:·i:::Tomemos rn·.cada·;u'na~de;;nis}reCta's~.un¡;·sis;.t;:-:: .: ::.

te~a" ae~ábscis'as~:'de' !riláIi~'t:f{qti~1"c;ad~J.plflít8~:;:(:1. ~::~ ~ .;:;quede' deterrhina'clo';' pof~,~ri~'riúfri¿io1·r~ar:frSU~.;k;:l- ;r

b • ·Se··· O·I·l'~··••.I:~·.""(·'t{..: ""'r'¡I'·OJ·)'''!'!·Urr·<¡-<·I~¡:I:(i¡:t·:·I:·~a SClsa.; an ';e:. 0"g~.~l' ¡ aOSClsa.: 'h ,;'.e ) /.h';' .~punto unidad "'(abscis~··.J)'ly¡:D!el~,pun:tó~imt·~:~;',::..;:,:.. !.~prop~o .0; del ii1finito\:;(ábscisa' '1:00 >t~/de::~.fE:;;.:~:.:!. :'~"Las mismas Jetras, :·i.'c()n'·:; tildes,' .¡hldidtán!¡Hot,: .";.;:, !;~puntos coiresp'oridieh~es':'bri:ir'¡:se&ún.Iak~rr~·s~:i:.',:"'.:.:':

·pondencia dada; ..estbs" ¡püriios·.:rio~.;.sii~n}yen:.:: .::;..',.;."general, los puntos .órig~ri~.:li.riidád:e.imprbj,io':: '.''. de r', pero' por .dos pioyecCioneS'~(,~veruentéf~ :siempre sé·pup.dcdlevár"~/LJ:~yiL~ sdl)r~'btñ{' ;:recta 1'1' de manera que ..co~cidan con 1M ¡hiri!::··: .. : .

'. .,.. . ~.. .," ~. ~ :·i:·· .~...' ,.'

.:" .21:.

...... '.

· '. . ::-"'.,::.:".: ~:'

..:

~,

tos' ~~ :a~~·cis~sO, T ~ 00 'de esta última. En'efccto';"si Ol:'y' Ul"son los puntos de abscisasO.Y 1; 'de ri (fig, 9), basta tomar dos puntoscualesquiera So.'y Sl' robre la recta 010'; los

" .puncos·H.:"(intersección de SoU' y SlUl) yE "(intersección. de SoL' con la' paralela a n

, -por Si). determinan' la recta e. Proyectando r''. s~bre:e,.desdc: So, y luego e sobre n, desde SI,.:' se' tienen 'las, dos .proyecciones mencionadas..;. Estas dos proyecciones de centros So y S~ de-· terminan una correspondencia biunívoca en-

tre r~~,.y 1), .qu~. conserva las razones doblesy, por.lo 'tant0/sé ~eridrá también .una corres-'pondenciabiunívocaentre r y TI que conserva

· . la's cuaternas armónicas, y que hace corres-',' pender al origen,' al,.punto unidad y al punto

.impropio- de. r,¡ los-puntos 'análogos de rr. Es::decir, .llarnando x a la abscisa variable de los

'¡' .: puntos, 'de r~'xl:;a la del punto correspondiente'de 'ri, ;y f á 'b: correspondencia entre ambasrectasvo sea·'f(x) =Xl, se' cumple .

1(0) =.0, . '/(i)' , 1, f(oo) = ec , ' (5)

Queremos demostrar que de estas condicio-nes; y: del hecho de c<?I?-s~rvarselas cuaternasarmónicas; se deduce que es ." l. r :; , : ' " ~ . ' ' I

· :;.....,.¡.,¡ :.. , 1., ¡':-:'j !fx):=x. (6).:' Si .esro :es -cierto, los 'puntos homólogos der: y~.ri,tendr4n abscisas iguales, y por lo. tantolas razones! dobles, de cuaternas correspondien-tes tambié~ serán iguales; y, como las razones 'dobles .de cuaternas homólogas de n y r' tarn-bi~J? son ·igul.!.es,,;qu~dará demostrado el teo-rema,":' s •• ", •

;' ,La; .~uatern~· ~,y;V:z (x + y),oo es. armóni-.. ca; : 'Por lo, ta,nto '. también lo será la de los, elementos transformados, de donde resulta.

( '1,~,x ~ ~:')~ ': [f(x) + f(y) l. (7). !. ., '. '.\~ ,:. ~

·.De.~quí;·haCiendo.y -:- üy sustituyendo, acontin~ac~qn;)~: por 2x, resulta .

¡:: ;.: .' ·:.;'2f(x) = f(2x) (8jI '!:":.' . o', : ;1' , r , .,

, :y:~por''1o canto; escribiendo (7) para los valo- .. res: duplos' de 'las variables y aplicando (8)

l. • ! ' ,

,....; . /(x+,y) -: fex) + f(y) '(9)..

22,:; . I.i .

que para x + y = O da

f (-' -x) = -1(x) . ¡(lO)

. Teniendo ahora en cuenta que. la cuaterna. '- x,+ x,1,x2 también es armónica, y que por

Id tanto también lo' será la cuaterna transfor-mada, aplicando (3) a esta última resulta .

f (x2) = [f (x) ] 2 . : e 11 ),. y de aquí, poniendo x +y en 'vez de x yaplicando .(9) y (11),

·/(xy) = f(x) f(y).' ;(12)Es decir, (9) y (12) prueban que toda C07

rrespondencia que cumple las condiciones (5)Y conserva las cuaternas armónicas, conservatambién la suma y el producto (se 'dice que fes un auto1!/'Qrfismo) . Para llegar a e 6) obser-vemos que, siendo f (1) = 1, de la aplicación

. sucesiva de . (9) resulta fe 1n) =.1fJ" .para m .entero. Poniendo x = m e y = 11/m en e 12),resulta f(1t/m)'= f(n)/f(m) =n/pt, es de-cir, (6) vale para números racionales. Faltaver que vale también para números realescualesquiera,

Poniendo en (11) Yx en lugar de x, re-sulta f(x).= [/(yx) ]'2, y por Jo tanto para'x > 0, puesto que la raíz existe, f(x) es uncuadrado; .por 10' tanto, suponiendo siempre'que las variables son reales, resulta que siX; > O es f (x). > O de donde, aplicando (9) y(110); se deduce que si x-y> 0, es f(x)--f(y) >"0. .

Supongamos ahora que para un valor x nofuera f (x) = x sino f (x) = r, y supongamosque r > X. Se podría elegir un número ra-

.cional a·tal que x < a < r y, entonces, sien-do a'-x> 0, ser,ía fea) -f(x) > o. Perof (a) = a (por ser a racional) y f (x) = r .(porhipótesis); por 10 tanto sería a- r> O,con trariamen te a la desigualdad supuesta:'X < a < r. En forma análoga, también se llegaa una contradicción suponiendo que r..< x,Esto prueba que debe ser siempre f (x) =X.

como se quería demostrar.

I

II

~.6. Puntuales proyeetivas y perspect!-. vas. . DEFINJCIÓN 8. Si una recta se consi-

.,

I

dera como conjunto de. sus puntos, no comodemento, se llama p1tn~1tal.:' DEFINICIÓN 9. Se llama proyectividad en-

tre dos puntuales a toda .correspondenciabiunívoca enrre sus puntos, que conserve lascuaternas armónicas. . .:: Según el teorem~ :tu~aam¡mtaI de Staudt se

conservarán también las. razones dobles decuaternas cualesquiera. De-aquí se deduce quela proyectividnd queda 'determinada por tres'puntos A,. B -" e de la puntual r, y sus. corres-

I,:; ,

FJGUnA 10

,pondienres A', B~Y C' de r', puesto que, para

. cualquier otro par X,X' de puntos homólogos,debe ser (ABCX) = (AIB'e'X'), lo que per-mite determinar X' dado X. Por '10 tanto:

: 'TEOREMA 5. Una proyecti";Úad entre dosp'u.nt1Iale,s queda determinada 'por tres parestll' iJlllllos homólogos.

1 De aquí~I " ..: (1) Si el punto común a dos puntuales pro"

yectivas es homólogo de sí mismo, H === H'(lig. lO)', las rectas AA', BB',·ee', ... , queunen puntos homólogos, concurren en un pun"to O. En e:fecto, si O es el punto 'en que secortan AA' y BB', proyectan,do desde él laptlntuál r sobre r', se obtendrá.una correspon-:clencia proyectiva en la cual ('A,A'), (B,B')

.~.

r'

.. ,

y (H,H')' son ~ares,'de:pUri:t~s'homólo:gb~;i~or'lo tanto, no puede s'ú¡otra':;qiiejIa: proy~ctivi.;!·

. . dad dada. Resumien"dd;·¡Je.:tienei~;·:(::j.¡~!::ji~:)I: ....... '. ':' , ~ .' '1"': ,,~.; J':I'~P~;~i~\'.~Ij;: '1,:, ~.::. !,~:,:,j~~';.1:t·'" \ ":

. DE~INjCIÓ~. ~,,~.:.~~~~~>Si!C~~.~.lq~~}:~n·:n:~'p:a~:.•. re~ de punt~s. homologos. dei:do~;punt:uales:.p.~o-::,·:·:i.. yectivas ·.pasani:por~,~n;~,;~isiho.:1.pt.irift6~(Ias':~p·u.n¿';.:..:

1 11' P 'P···'t· .. I,./ •• '1'. ··¡i··:",~·:t 1',,· ,.tua es se aman ers ce, wasl;-if.i'I··: :·:i!..f~H:..:'!! '1'¡.i'·¡·!· :'.• .,L'!I.,.I I .~'\',\.. s., ~.;It.t· :\i! ~,1"<;' . i l'

TE'OREM~' 6:' ·pd~~.;qitJ.yj~;;;~p¡;niií;l~;;'¡fO?·-yectiuas sean }Jersp?cüJit;;'es .fie'césár¡o~:y·;süf¡-·; , .'cien te' que S1t P1tntO' COffl:1Í~ 'sea; h011ú51ogoí de':.; .~í mismo. :'! ", ': ~:·.ri:·f\1~~:·!·l::'~~:~¡~{:(.'.;t.(':.:'.:

b) 'Sustituyendo 'los' p'untos por sUs·.coordé..;:;.'.nadas; la rehcióri"';;(itBGX);·= (A'irc'x') ;permite despejar' x' "endun¿ión de' x~:re~ulta':n-:'.do una expresión de: la fórrria": . :-.; .;',:"':;;:'.. '

: ":'l' .¿i;r+: !~(;.:~; '.'.:';":::;:'~:'~'"x' =.. '1"'.' . "!~;',: .",'(13)

: i,.··yx +;b:.~.. ;· !~. ,.1 :~,:,' .'<' ..' • ti , i:: r·:;· .:,<!~~ ;1',' ;=\ -.

donde a, ~, y y a son "dertas :constá~tes que": .dependen de las..abscisas de;'AJ 13 y"e y' dé7•.sus .homólogos A', B'. Y C'," y:.que cumplen 1:1'~on·.:.·dición a~-~y#O:; .. '.'.;":;;. : .'1,:::. :·¡'.i·,::.

La expresión (13); ~~.llama. ectill~ión :de·:ja.:.pro'yectiviJad. .: .,: ¡r ..... :, .';', .: .. '::. :.(1 .. ' ;,.: ..

Si .las puntuales=son :sup~~phesta~j.~~Ir';'se llaman puntos 1enidos :1 los' homólogos desl :mismos .. Para determinarlosj-bastárá !-,hacer-' : .X' =x en (13), resultarido ;'úna' ecuáci6n;¡.de;: .'segundo' grado. Por í, lo':·:tahtó/ ,:presC=in-aie'i1'eJo.(.... :.del caso de la identidiid;·ln';¡lue: ¿:idal rpttRt'o.··;'· ;.;coincide consu homólogo, ptied~n o'dir.rit'tiésj~ ;'.; , .casos" :." r·l'~/(}·,·~i'"T·:I·(!:·,f·: ."!',j- ¡t,+:~·.'.'ft,··:·!,',;·'·: ¡:

.' :,. ,!;'" ~~:-i .d I :':~ "i:' !. ,'1, ,~"·:i,'r~i"1:;,,\ ..'~¡"I·, "

La proyectividad'[tiene .(:Jo·s{puntoS';¡'unidos:..: .. se llama hipérbólicilt::·:·I~!: p·:,'h;:.: :,:~r,:::;·V·\::;f> .

La proyecrivídad ~i~~~··tiA.sb'ló·!p~ri~tJ;liMd~::;;·J.11 'p b"l' ·-~·:".:I:·¡"·I· ''''.: -'\:~':;:;I(";; .ií¡ ,1'," -,'se ama ara o lea.';, ;:'-,: :.;.....;':(.. !~':~~;:':.:I\'li::H~,.,~.;,: :La proyectividad {'cárecel(le:punt~(iiili,dós~r:: ::;I le .' .. ¡,.". I 1" •• ,~, ., •••• I·l..·~t~'~··"-~·., *¡.... "'." (l.,"(réa es) : .se llaína J e Iptictl. ,¡;:,.:~·r:'l"I :~;{j';;.'l';~!Y:':jt\F!,\/" {:=.

. . :·.¡,(~'~·.(·'·.:II,l'L¡~.;·':.!'fl;t( I~·¡I.,-¡l(.' ,.'. ,", .- .• , !;,:~I ¡:~¡!;;:!~::)'.;,:,~~.,':~'.~\'~.::'::':~¡~::;::¡~~:';'.f{~'::':'" '"

3.7. InvoluClono'i·.;Sean·r=::=r'r:,dos'puntua-.. ,,',les 'proyectivas :'supe¡!püestii~;rISupóngamb'(.'qU'e·<.:~ ;'.;:al punto 1- le '·cori:~pondir:tI:!.0-.~~::E.n,~~e~~t.aJ.~·?a A', conSIderado como) punto. :de' r;de corres- ':;:'".

. ponderá otro punto A~'.:CU'ando' Ai~-:eseI:mjs" ,:'mo A primitivo, se:dice' que A.y A'~'se' éorres-ponden doble·mente.~-::.: .,'. ~ ':. ¡... ;', ~:.. ¡~... ~ - .

.', '.~,., '_ .~.:.' ...' .

, : .: . :', .::? 0,.

i' .. :.::DEFINI~ióN 1.1. Una proycctividad entre

puntuales !~uP'!!rpuestas en la cual todos los .:puntos 'se corresponden' doblemente; se llama .

· #m!oltición~ Los: p':l~~s .homólogos de una in-, volucj~n .se llaman' conjugii4os. ' . ' .· ','.J:Eq~M~..{. E1~·.·~~~ proye.ctillidai basta

, qtU_"1i:n'jiarde, pti.ntos:se correspondet» 'doble-¡" 'l1i~1fte'paTaque-ta1!'J.bién se corresponda doble-':'.mente i'C1lf11quier. otro:' par' de P1J.tJtOS homó-

logos. '.' ". :.: ... '. .!. •

\ 'lo " 1, I : 0,. ,

..... En icfecro rUVAA') =·(UVA'A); luego. : . (AA'~B.') .' (,4'4B'B") , ~ invirtiendo .los'.' dos pares de Iasegunda razón doble, por (2),'.. 'resulta" (AA'BB') ~ (AA'B"B'), y por lo

· .tanto: B" ea -R. " .;.. ~ i ". . .

· TEOREMA' li.:;Si ....fI,~~ . inlloluciólt tiene dos· plltltos: .Jt1(-idos: V y .v, y A y A' S011 dos

puntos.~coniugados: cualesquier», la cuaternaU,V,A:~A'·es'nr1~tÓnjca.:>, '. , .!" ' •

· . .En.efecto, ' (q:VAA~) ~- (UV A' A); luego,.el valor de esta razón 1doble. es - l. .'.'i~·~~ua~ió~' de "'la' proyectívidad (13)· se

, puede escribir-en laforma yxx' + o~'-f!.x-_',~=O. Para .que .represenee una involución

· p,ebe seo!-'.simétrica -respecto de x,x'-, y P9f 10",.tanto debe se.r.~~:,. ~~.:'Es· decir,.la ecuación, g-e~ér;il;(lel~:~.nv,ol,u~ión'·resulta .yxx'+ b (x +..,~+x~y-. - ~_,.AJ ~~e~'ás, ,l~ .condición al)-:-.' 7.,~y~O" quc.hernosivísto qJJe es necesana::para que la ecuación (1~) represente. una pro-: y~ctividad, .en .el. caso: de u,n~ involucién se.reduce 'a b2 +~y =F O. Oe aquí resulta que ~a· involución' no.p~ede:se.r;:'parabólica, puesto que'la ¡~ccuició~" Yx2.+ 2ox.-~= o', que da' losI pp~t~s unidos ~e.l.a.:~yól~ción, debería .~~ne~'una raíz doble' y ,por Io .tant~ conduciría a'10.2'+ A' O ";,, , .u ....y = . ..: " ;

: 'Si' s:e~elig~~1,sis,t~~~A~.coordenadas de ma-.,nera' que al.puntó' origen x = O le corresponda

,:;~l:{p'u~t~ ~pt.~p'io :,~!.=,oo·~e-?tonces 'en l~":ecuación de ;la' in:v:olución,deberá ser o = o. Si

. ":~dé~á~!se hacé¡'~p~c~d4- :el punto unidad con', ,t,. 'f~t: !'l :,1, j':" J ~ ~t !o¡,. tt \.:" ,.....'_'_,' ,..-,._

. :.·'::·é'lpcin'~q~v'~/y9":é~~,~t~~-~/y;de modo que,..}el >.)·r'adicando¡:"seat pOS~t1VO,, resulta, que la:.;~~~~~i6nde ~n~,involu~ión siempre puede po-:' :ners~ 'e~' la ¡forma:: simple 'xx' + 1 = O, si la.. ..'" . :; ~ ...: '.~, :. .

1.' •

, ~. ':.

',:24 ;.~'.. :.' . :

!:.

involución es elíptica, y en la xx' - 1 =O, si.es hiperbólica': ' .

En el caso hiperbólico, la ecuación de la in-'volución puede ponerse en otra forma tcdavíamás simpl~, eligiendo el sistema de coordena-das de manera que los puntos 'Unidos sean elorigen y el-punto del infinito. En este caso, lasraíces de l~ ecuación yr + -Zbx - ~ = O, que- 'da' los' puntos unidos, deben ser o e 00;; estoobliga a que sea ~ = O Y Y = 0, quedando laecuación de 'la involución en-la: forma simple'x + x' = o.. Esta forma sirve para establecerrápidamente una relación impQrta~te entre un

. '. par de puntos cualesquiera A y B "y sus con-jugados A' y B'. ,Si se indican .las abscisas de

. b ' b" + '. estos puntos con a, ,11 Y " por ser a a == O Y b + b' = 0, resulta

. Ca + b):!(ABR'A') = (a,b~-b,-a) = Aab

Por otra,: parte, representando 'por U y- Va los puntos unidos de la involución (cuyascoordenadas en el sistema .clegido son O e .(0)..es

, a(UV4B) = (O,oo,a,b) =-¡;

b.(UVBA) =-.''a

. Resulta asir la importante Identidad

4(ABB'A') = (UV.~) ++ (UV~A) + 2• (14)

que liga' los puntos unidos U y V de una.In-volución con dos pares A,A' y B,B' de pun-tos conjugados cualesquiera.

3.S: Proyccuvídad cnlre haces de ~ec·las. Toda correspondencia entre las rectasde dos haces re reduce oí una correspondenciaentre puntuales cortando cada haz con ~narecta. Si la corresponden~ia subordinada entredichas puntuales es una 'proyeccividad, se diráque 'los dos haces son proyectivos. Si los' hacesi~n superpuestos (tiene1l ~~ mism? vértice)y la sección da una in volución, se dice que losdos haces est~~ en involución. De esta ma~era

j-:1.

I¡ ,~ r

codo 10 dicho en los apartados precedentes valepar~ haces. En particular; si dos haces proyec .."tan] los puntos de una misma recta, como losde,cent'ro A y,B de li figura 1't, resultan pro-yecHvos. En 'este caso se,dice,' además, que son

,perlpcctivos, yIa recta cuyos puntos, se pro-yedan se llama eje de perspectividad. Delmismo modo que para las puntuales. la con-

" áición necesaria ,y suficiente para que dos ha-res! proyectivos, sean perspectivos, es que larecia que une S1lS vértices ·sea'unida.

i ," .3.9. Homografíus o colineaciones. DE-FI:NICIÓN 12. Se llama homografla o colinea-ción entre dos planos, distintos ,o superpues-tos,' a toda 'correspondencia -biunívoca entre ..sus :puntos, tal que a puntos' alineados corres-pondan puntos alineados., :', '

, ,'pados cuatro puntos alineados' A., B, e y;'D, [qúc formen una cuaterna' armónica, ob-i 5er~:lndo la construcción del tuadrivértice1 completo (fig. 7) resulta que lbS, puntos ho- ~mólogos A', B', e' y' D' ocuparán posición

'!;1!!

;-l,,1

",, I

a

B

b

"i P,GURA 11 '1, I

1} del d"." Ietéana oga respecto ecua' rrvértrce eomp etotransformado (por corresponderse los puntosalineados) y por lo tanto forma~án tambiénltn~cuaterna armónica. De aquí-y del teore-ma fundamental de, Staudt resulta:

,1

TEOREMA 9. Las razones dobles de cuatro'.o"

, I

• 'J •• . 'j·i" ,

: '.....

, "

.' ~,La :p.t;pyectividad.':así obtenida es única,', puesto que. si :hu biese. otra, por el teorema 10 ', ella subordinaría .entre los haces de vértices 11, yA" ~~~proyectividad, que no puede' ser otraqu'r l~,'considerada,' por.rener con ella tres pa-res: de.rrectas ..homólogas comunes. Lo mismoentre los '¡lac,e~de 'Vértices B y B'. '

':',.; ,::(Finahncnte~ si P estuviera' sobre la recta AB,',,' ;,'"t9~~r~~mcis e y:IJ como 'v6rtices de los ha-" :' ces, Queda 'así demostrado el teorema 11.

o .: :'1 : '~:.; !v- ~ : : :.,'. : • .

, : ,_,).lO'~,Ho'~~g~~fí~8:particulares: ,'homo.: ,IogítÍ/: !', Cónsidere~Qs ¡ahora el caso de dos','': ' 'plán~~.'proyectivos superpuestos. Del recre-

, ma n,:anterior se: deduce: ' ', ': '¡ ," , ',1" , ' , " I '

" TEoKú.u, 12.,:qna,;'bomograji« entre, dos, ',pl~1JoSsuperpue.stos,,:que no sea la identidad,

110 p~ede tener cuatro puntos unidos tales que-tres de -ellos no .estén ,e1Zlinea recta.

Cabe, poz otra parre, el caso de más de trespuntos unidos ,que estén alineados. En' este'caso" la proyectividad subordinada sobre larecta que_.los contiene.' por tener, tres puntosunidos.será la identidad, es decir, la homogra-.fía ,tendrá: toda].una 'recta de pu1,ltos. unidos.

" '" DEF~NIc~ÓN"l~. ;Una hómografía con una:,:rect,arde puntosunidos -sellama bomologla. La'.~~ct,a~.~T,~~~~r~~ed7,Ja: bomologia. .

., , J~"rEO~EMA::n,;" T9dajJomología ',tiene ,tam-, ':-pUn u~haz ~:de!recias unidas. El' vértice del, ;.mism(i~es un purzto ;un~do que se llama' centro

.; ., 'de la Aomologr'f;' y q1i:epuede o no' pertenecer. ::al ,eje! .¡ , ,- ; Jr'y JI; ;:. ¡"', " ' '

:;:, :'~1iP~~osÚ~c~~~~'Se~~ A ~ A' dos puntos ho-: ,;.mólogos' distintos, sea 'N el punto en que la. ,'re~c:a:AA~ corra. al, eje,..e. Por ser, ,N 'E!S N' la

, recta -a = N A' .coincide con su homóloga ti' =, :N'A.', o sea~;cs',u:na'~ecta unida. Lo mismo'\~ale pa~a cualquier. erro-par de puntos homó-

, ,logos:,:B,B'~ Luego, hay infinitas rectas unidas., .Como la intersección' de rectas 'unidas es un,;'p~~to:u~Úlo;'pa~a;qu~ no haya cuatro de ellos.. tales que nunca' [eres: estén en línea recta, to-

.. da~' esas rectas .deben formar un haz (en caso:.contrario, .tomando dos puntos unidos no per-,"tenecien:tes al éje, ,y dos' puntos de este eje noalineados con .ellos, se tendrían cuatro puntos

26

unidos, 'sin;, estar ninguna terna de ellos ~n lí-nea recta). El vértice de este haz es el centrode la. homología. Queda' probado, de, paso, elsiguiente " : '

TEOREMA: 14,. En una bomologia, las rectasque unen pares de puntos homólogos pasanpor el centro. " ~

Tambié~ esimportante el, TEOREMA 15. U11abomologla queda deter-minada por, el centro, el eje y ~n, par de pun-tos bomologos,

En efecto, sean O, e y (A,A') los datos,(fig, 13). Basta ver que con estos datos sepue-de construir, el homólogo B' de cualquier, otro'punto dado; B. Para ello observemos ,que:

FIGURA 13

e

== M'

ti) B' debe estar sobre la recta OB (teor, 14);b) la recta AM tiene por homóloga a A'M',que podemos trazar; por 10 tanto B', que debeestar sobre la recta A'M', será la intersección

, de 'esta recta con OB.·En la figura 13, si consideramos las .rec-

tas' OA y OB como secciones del .haz(M : O,N,A,A') 1, según el teorema 1 resulta

1 Con esta "Jo~aci6n ~dicamos el haz de rect~s devértice M al cua'l-pertenecen las cuatro rectas MO. MN.MA y MA'. ' ,

, ,í

, (ON AA') = (OEBB'),- y por' 10 tanto estarazón doble es la misma para cualquier par depuntos homólogos. Es decir:

TEOREMA 16. En una bomologla, la razóndoble de la cuaterna formada por dos puntos

- bdmálogos, por el centro y por ;el punto, enqne la recia que losune corta al, eje, es cons-tanteo

La' constante así obtenida se llama razón~

'1

:4.1. Las cónicas. Las cónic:ls son la elip-se, la hipérbola y la parábola de' la geometríaelemental. La circunferencia eS'.'también una

'cónica: es una elipse particular. Se pueden.definir de varias maneras. Una. de las más in-tu'jtivas 'y también de las m:ls,'::t'ntigu:.ts, puesse!remonta a Apolonío (siglo III a. C.), con-siite en consideradas como secciones planasdd un cono de revolución completo. Según 1::1posición del plano con el cual: se corta, sebti de I 1,. d 'o nene una U otra e as tres' especres e co- ,

nj~as. Así, si el plano que es paralelo al dadoy pasa por el vértice O es exterior al cono, la 'sección es una elipse; si es secante, una hipér-bola; y ~ies tangente,' una parábola.

¡Analíticamente las cónicas están represen-t:idas por' ecu,lciones de segundo' grado en lasdos coordenadas cartesianas, x e ;y, del plano.E~ decir, son' las, curvas más simples despuésde: las rectas, representadas por' ~cuaciones deprimer grado. Tal vez por es~o las cónicasso'n' curvas que 'aparecen con· frecuencia enla: naturaleza: las trayectorias de los planetaso ;de los satélites, y las, de los proyectiles en ,e]

,V:lcío, son cónicas.

• j '.; !', :,,',.:....' ••::

• , :'.,: I '. :.' '! ~.'. ,¡, :":: '~. ~:t;~'.:. ,:dela bomologla. Si li~razón vale .:-1~:la::'ho:;,j, '

mología se llama' armOn'ica. ¡\;,,'; ,/, !", , ':r~,¡ ió}',',:'ir:'· ', ,. .' '\'" lo', 1,

. Es evidente el ·teorem~l'·redproco:·.:IDa~os,:·'un .punto O, '1.marectii :ei' Y. .itn.:,valoro.áJnslan,-:: , .te, k, la: cOTresponden~i(i,iq1ee':!¡ú('áda;'fi'Útito:A(I, ':,del 'plano)e, l:útce.!:co_rréspond.e¡'k~I,.tJ1l1t~oo·A':,k :'::',alineado -con- o,::y'A~':Iy'#alqüe[t·;(ON.A.(A.~),'-..::..~t>";~.:.,=k (siendo N el pun~¿/'de:inierseC'ci6n.'de:.OÁ:~;;":,~!con e), :es 1m,1 homologíaj deie,n~r(jL(j, I'éié.::~:,;'~::"::': "j

~ razón k. . .;.' r:JI liI1Ii; 'i!;;¡.j¡;.¡l¡::!j.:, '1"':) -: I ~';:,l'-"CAPiTU:t·O IV. i.::., ":1' ,:

: : ",: ":,,:,,::>i !·:~H,./;.In-;;:!. i~~?¡ir :lf,':-:,; .!! '. \ 1, ,V."'.·' "1 '··:·.··I~·i,~i. ! .'t P"¡' I/~':'': i~¡J ,1."~" ,,1 ~. r

. ..,\ ' '. '... l..' ,:. l.. '~"': ,,;,~. '~J ,.,:".:,: J .": ~ ').

GEQMETRíA'~PROYEC~IVA(~¡;':;'~;T, 1" , j" I o '. 'J I "1' 'j, ", p'.- • ".. ' ..'fi,·I",,_lI: •.••. r!1'1/ ' , I":L\:;~l .~.\ J~~~'l.~~ ••, ..... !~

.' : • í ': ; •• ' ; ", ';-:!':.; \j. , ; ~!,'s:·:i:'r"¡.l'. ~~~~.:;~;.1~), ;,'.;rr.: LAS, C(;NICAS~··<.':,:,: ~

. . . .•.. iT:! ;'¡: imÜ,"Ji U1!.iJt~;:(:, , ' ', .. ' ;·,:'jh:.,,! : -':1 t/'I', ,:' ~ I I:~'~l::,:':;/.<J, L

Para .nuestro ' objeto',:: rtécesitamos ':una ;:de'fi~!,l~~i·;'~nición más.complicadai(básadaj,eiÍ; lós,:COíic~p~ir·::<:;:tos de geometría proyeetivaf:;que; :vimos/.eri:t~lb ~/,!.;capí tuja precedente~:Es·;lai,sigiiierite':.:¿éfínici6h)i- ':;,¡; 'f:d 'S . , -t, ,,;., ..... :! .,:.,.' '.~',.~·~lot:'·I·_"·~,..e temeré , '~,ho '-l.,) I'~~,,,>,, ''''. ·"",,:_f~'P" »1'1"\" -¡ e

•• + ": :'.}'" ,\y:I:::!" l.'~·.L~{,';1" ~II::~"!..;f:~~,~'.~~::'t~".;I'.:;:~.:;. :D~FINJCIÓN : 1. Se ~'llairi:i~'lé6nica~~attlugát;;~,:::-:

geométrico .de ' los ,;pútltos:' aéÜri·te.ri~ccio:nra~':;:':);:Jirectas homólogas de :dos'~hac:¿~!;proyectivos(de~¡.-¡; f.:un mismo planb, 'que~¡no!sei¿,;perspeétivós:lo~;;,;',;¡ L

si la ·c·6nica así 'defigfd~;hg~¡ti'J~~'ptliitós:ilW~.l)! ",:' :propios, 'se Ilama'elip¡e;'si:,~ierie:dos,}iipér/iol#;!;; :':, !'

• • I " 1 'o' p= ;"h.'! ;b' 1 :'i',;:~\t,):, ¡ :,"f '·,\7 ~" ,.J.!. ~!.:!.~"',f~·t\,:.. 1 iY SI nene uno so o,' ara o a..\,';,;, I , -:'~: .11, (:': ::;f;¡/~> ',:; ,Si A y B son, IJs:::;:.'Vér·dcé~, '.de"~'1ds::~'llaces}".';. j,;

(fig. 14), conviene' ObSerVar ,qtie'~:i la:recta,}1B? ...considerada': cómo' irech{: del-haz: A":liNd:fr&s:::::,!,"..i:;ponderá: una dertá 1rect'a:.:BB"~·,;'y·lpor}iO,tanto;;" .de acuerdo con,Ja·defiiiición¡,,'el pun'to"B¡íperL> ,tenece ,-a;la 'cónica: :Adeniásj{:lá; rect:i}BB~trt¿(,:"':' 'tiene otro pun to que:'~'perteheic~ :'.a::;:Iá;~lconiC:i::~~:_<' o¡,ces la·ta~gente' en,B. A~álóga'~'érite';,:el~'puhto~'iA~.'~c,4

• ¡ . '¡>"l' ,.1'", ¡ ',,':.l·., , ", Hji', "I,·.~,~I.,,¡t.r;P·ili"";' o, •• " .'.' l. ·'·f,"!· '.: :I.~!ril,:" :1·"f"·,i;(ViI'!·'J,,!\UJI~\ 'll'l!"{~~~·~ ..j.I·J' :"1

• 1,' Si Íos' h:l~es, sori,'p~1SP~~~!fo!;~I:e!I::~,ugg~~eo,~;éi:°[~c~:'~:J.; 1,

, se compone M'dos, ~ec~ris,~.iel:,~J~.~~.e:~erspect~~J~a~l ~),~~.),¡I : :, ;;::y la recta que 'une los 'vértIces ;de)os .'dosfnaces"~po~,,.: :'trat:lrse de una:l'ecu'unida¡':En ~stc\cuo·se'rdice,:ita~·ve'.l;:·.:'¡'oces, que se trata de un2.'é'ÓniC'a_átgentrirJa:'! ..;~'.}l) "W!'!;~:! :,

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pert~nec~ ',también a la cónica' y la tangente,en él es la recta homóloga de la BA consideradacomo, 'recta. del haz: B> '.:Si r es una recta que no pasa por A nipor B,

" I~s :p,unt~stdc::cl,la que.pertenecen a, la cónica; .serán 'los puntos: unidos de la proyectividad

" " 'obtenida sobre, dicha, recta como sección de loso', •• ~ '. ':4 : . i . ,,, ., ,... . .

",:,', " t, ,', '1 '1"", r : .• ¡ ! l .. ,

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DFIGURA 14,

'1

haces proyectívos generadores de la cónica.'Por lo tanto: una recta: p1feáe tener, con. una:_Cónica,.áQs",uno,~()'n_Í1J.gúnpunto común, lla-.'n.ztitzáose respectiya11J.e~~tesecante~"l!1ngente, oexterior ti la có#lca. ;. ..',', , ";:iPa:ra,q~e)a;4~finición de Steiner tenga va-:

.lor,' hay: que: demostrar que los vértices A y IJdec'; los I 'haces proyeccivos generadores, .no sonpuntos excepcionales, !'sino que proyectandolos purtos , de. .~~a cónica desde. dos, cuales-:quiera :dC?.su~ p~nto,s. se.obtienen siempre haces

'., proycctivos. i '. ,:_,.í .. ,;: ¡"::' .. ..;',,;.,, I •.... • l. ...;. I .Ó: ': .', _.

'·.:~,:J~e1lJ.o,stracjó#,~.Sean ,E y H .otros dos pun-tos-fijos. de 1.a·cónica, .desde ·105' cuales vamosíl'r proyectarla (fig ..: 15): Si 'M'y N son otrosdos-puntos, al 'cortar: los haces proyectivos de oo'

.vértice~' A yiB: respectivamente porIas ..rectas"NE;,y :1;lH.,i:re~uJtall.~puntuales :perspectivas, (puesto-que .sonproyectivas y el punto N es. homólogo de: sí mismo):. cuyo centro de pers-

p~cti~idad es¡,~lp~nt~""l~,':dela figura. Si chora:sup~nem,os que' Ni describe ,la cónica, los haces'de vértices .fJ. ,y H proyectan las puntuales queP y Q describensobre MA y MB, respectiva-

- 1.. "

28;:l'

mente. Pero estas puntuales son perspectivas,siendo M -su punto unido y' R el centro,. de

,perspectiv:idad (intersección de las rectas ''PQ'y AH, que unen pares de puntos homólogos);por 10 tanto sus proyecciones desde E y' Hresultan proyectivas, como 'se queda: dé":'mostrar.

4·.2. Teoremas de .Pasced y de Brian.chon, La anterior demostración tiene laventaja de que, al mismo tiempo, si se obs~rv~en la figura 15 el hexágono AJ:rfBENH in-cripto en la cónica 1, resulta demostrado elsiguiente

TEOREMA' .DE PASCAL. Los tres puntos enque se encuentran los pares de lados opuestos.de 1m bexágono inscripto en-una cánica, está"en, linea recta.

A

FIGURA 15

Vale también el siguiente teorema .dual: .TEOl\EMA DE BRIANCHON. Las tres rectas

que unen los paTes de vértices opuestos de 'unhexágono circunscripto a 1/.114 cónica, C01U:U-

Tren en 1/.11- Ptt1ltO (fig, ,16)'. :Estos teoremas. siguen siendo válidos en los

1 Obsérvese que el hex:ígono' no tiene,que: ser nccc:-'sariamente convexo como "en la geometría elemental;puede ser estrellado, como el AMBENli'dc,1a fig. IS.La definición' general es la siguiente: un Ihexágono esun conjunto de seis puntos dados en un cierro orden;las rectas que unen puntos consecutivos. en el ordendado, son los lados del hexágono. '

l·

casos límite en que los hexágonos se reducena pentágonos, cuadriláteros o triángulos, porcoincidir algunos de los vértices, en el caso dePascal, o algunas de 'las tangentes, en el deBrianchon ..,.

. '4.3. D~lerminnción de eónleas. ''TEORE-

MA 1. Una cánica queda deÚrmiitada por cin-ca' pmztos de -los. cuales no bey« nunca tressobre -una misma recta.

En efecto, sean A, B, C, D y 'E los puntos'dados (fig. 14). Tornando dos. .de ellos, porejemplo A Y' B, como vértices, los pares, ~e

'rectas (AC,BC), (AD,BD) y,:(AE~BE) défi-nen una proyectividad entre los haces de vér-tices A Y B~ Si C, D Y E no están en lín~arecta, esta proyectividad no es una perspecti-vidad y, por 10 'tanto, define url¡:l cónica 'quepasa por los Cinco puntos dados '. ~ ,

COROLARIO 1. Una cónica queil« determi-nad« por cuatro puntos, tres ~e Jos cuales 1tOestén nunca en línea recta, y la!.tangente el]11110 de ellos. .

,II,

...' ,.. I __

'..J.._q_---o;--------~'1 ,, "./ ..., ...,...

FIGURA "16

. .' 'iCOR.OLARIO 2. Una cónica queda deiermi-

nada por tres pun;tos, -no alineados, yle: tan-.gentes en dos, de, ellos.

En ambos C:lSOSbasta' considerar las tan-gentes 'como' posiciones límite d~ rectas. queurien dos puntos que han coincidido. Por ejem-plo, ~~ el caso segundo, si los puntos son A, By 'C Y las tangentes en los dos primeros son

, ., 141

,1

.~.

jo

. . .: l. '. ,:1 :. : í;. : ~ .;

. a y b ,(Hg. 17), la córiica" queda 'derermlnsda . .i por los haces' proye~·tivds· idéP.véttices ,'A «»:en los cuales' (AC;BC)}r{ii;BAj~';i (AB;b) ,i~'n": d h . 'l'" " "j";">0 : , .. ···I·I~.,,,·'pares e rectas omo ogas, :·I~<;.. r . , ~,;.r:.¡...',i

: ' .. : ',' ,; '1,:. ,U},~~;:;,J~~~~:E'~'::.;~~·H+r~·;~,l .:

4.4. Polartdad- ..eu·t ]8S conicns~ rSeil" Q .una cónica, y p' uii~p·t·nto :~~rpland::que+-.ho 'pertenece a ella. Sean í A' Y-l B ¡los. puntos, .deintersección de la cóniéa.¡·corl:'una secante' quepase por P, y consideré'mos el punto 'p"/con- ..'

..' ':.' : ¡ ,., •

eFJGURA,. 17 " ... -., :

, .

jugado armónico d~.'P' respect~ del' par A,B(fig. 18) ..,AI variar ·la Isecante que pasa por.P,

o se demuestra 'lile P' describelunarectá, lo cual'permiteformularIa siguiente '(i ; •. > ¡ :: ',i;;,, DEFINICIÓN ,2. Se'"JIarlta polar' de' ~h:pu~-)

to P,'respecto de u,pa'cónica;Q,:;a'!a·recta quecontiene Jos puntos conjugados arménicos'de'P"

, respecto. de los pares de .puntos en que Secantes ''por P cortan a la cónica,' ti;' :":~;'(i,:;,,; ." "¡~, ;~: f;, ,:.{i,"

El p~n·~o.1>'s'e'Ilam¡a:p~lo¡d~'isu,recita pol~r~." Si la polar de' p! ¿~rtáiar·"Q·!:eD ,·u~,.purito ::;

M, 1~recta PM nopuede' tener 'otró',p~nto':cb<:' .mún con' Q; por ]o!taiitoj:es\t'~hgeritéa~Q~~Es,:~'·'· .. "decir: la polar 'de unipimto eHa:,re·cta;:i¡üe:úne··~'!.:,', '!¡

los puntos de. contacto'.de Ias:!ta:ngenteshi~ila";': ."cónica trazadas' por-rel: puriiói'" Suptiesto~'qiie . :existan. . ", :,:. ~:IJ:;~~:;:. !:'!; f '7;:' ,{~ H,:· ) .:~.:

Si la polar es tangente a :1(c6riica';''el 'polo:.debe estar sobre ella' 'y, -además, .de Lacuerdo ,con la definición, no puede ser otro puntó que'¡

,,:,:. ' 29,

, ~"', ..,,,'

. .' ,

1, j :" i

0,'. :", I"0° ••• ':,

~id~:conracto, Estoconduce, in versamente, á'definir corno 'polar~s .de los puntos. de una'cénica:' a 'las', ,tangentt~s respectivas en dichospuntos. ',', . ! , '

;To,da,c~nica;,divide'al plano en dos regiones:'la; de los ¡puntos desde ,los cuales se puedentra~ar 't~n~enF~~ a .la cónica y la de aquéllos

p

FIGURA 18

.~ .. f . i:. .:.; .d·' ,,: ., :.' ;.::'-, desd~ 'los cuales.esco no, es posible; los prime-'.' ros' se :Uaman':ex'teriores· y los' segundos inte-,.:rjó~e$..;En .tér~n?~:'deh~olo y polar esta divi-.sión conduce.a la' siguiente ' ,'~"'~,D~I:INICI6~"3::Lo; puntos del 'plano nopertenecientes] a. Ia cónica se clasifican en ex~

: teriores e interiorú;según que .su polar sea se-cante o exterior: a la cónica.", "', ¡,:'.:

,:';'Dé la, defin'idón .de polar se deduce inrne-.diatarnente quelaspolares de íos puntos de una

· .recta, pasan .por -el poloideTa misma (por_ejemplo, ~a .polar"de p' (fi~. 18) debe pasar.P~F P,~conjugado,arI?,ónico de pI. respecto del

¡ •par A;B). En consecuencia, para hallar el.polo, ..qt;, una recta bastará .trazar las polares de dos· ~e:~s 'puntos/ y, el- punto de intersección será· el.'polo. buscado. ' ;:; .. ' .' . . .,-'.~'.Teniendo en'cuenta las propiedades del cua-· drivértice completo (ver 3.4) y la definición" .

30.1

,>1 "

de polar, :se deduce que para un punto P y supolar P tiene lugar la configuración de lafigura 19.

De ella se 3.e'duce que, trazando por P dos. secantes PAB y PAlB ...cualesquiera, se verifi-ca: a) Los pares de rectas (ABl,BAt) y,(AA1,BBi). se cortan sobr-e p, 10 cual da unmétodo par~ la construcción de la polar, tanto

. para los puntos. interiores como para los ex-teriores; b) Las tangentes en A y B, o en Al

FJGURA 19

y Be, se cor~an también sobre' p; e) La polardeR es r-tPS y la de.S es s===PR; el trián':gulo PRS, que tiene cada lado como polardel vértice "opuesto, se llama autopolar res-pecto de la cónica Q; una cónica tiene infini-tos triángulos auropolares, '

.,

.~.'.w· -,

;'f:; ".: : ,:·.4'.5. Elementos . conjugados. DEFINI-'"l .,.....Ó6N 4. Dos puntos P .y P' tales que cada unoti. ;.. pertenece a .1a polar del otro, 'se llaman con-.::. ,'. jüg~dos. .' , . .> . v , : '·,Dtialmente: dos rectas p y p' tales que cada.,. .una' pasa por el polo de la otra, se llaman con-

. Id11/.gaas.. .'f •

i

~l;

p.

Q'

FIGURA 20 '¡'J. 1·1 . . '.'

~ea'p una recta dada y P su por? (fig. 19):'Dado un punto R de p, su conjugado-sobre pserá el punto en que esta recta corta a la po-lar i, de R. Manteniendo fijos dos puntos Ay B,' de Q y alineados con P, ~l rariar R so-bre! p el punto Al describirá .la·: cónica; loshaces que proyectan este punto 4,esde :A y Bsedn proyectivos, y como' S y 't!.. describenrespectivamente las .secciones de~i:estos hacescorl .p, resulta que.' R' y S describen también

· puntuales proyectivas. Además S y.R se corres-'pondén doblemente, pues si S es conjugado deR también R,lo es de S; Por 10 tanto: ..

• o : • ./t

. TEOREMA' 2. La correspondenciá entre ptm-tos ¡conjugados, de tena recta. dada yno tan gen-

· te' iz la' cónica)' es 1ma im/olucidn: ~e . llamainvolución de puntos conjugados. i . ' .. 'l· . . . '.

· .Los puntos unidos de esta involución, con-jugados 'de sí mismos,' son '105. puntos en 'que

.la recta' dada corta 'a' la cónica. Si la recta esexterior, la involución de puntos conjugadoses eHptica. . '. .!. .:

Dualmen te, se verifica:• " o ,"

TEOREMA 2'. La correspondencia entre rec-laJicon;1egndas de ·un haz dad o (/le vértice no

• o i .,ii

'-0 o

I

. ;"

P'

i :

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r

.'

., '

........ ' .. '.

..:::.4,.7•. ~ó~ografi~~ que 'transforman una.. :' c6nica en .otra •.: .Supongamos definida una"

• L •

homografía o colineación entre dos planos J(

.y .n',·que::pueden ser distintos o coincidentes.. . S.e~p..A·y.1J dos .haccs proyectivos de J(. Co-mo las homografías subordinan proyectivida-des -entre.formas homólogas, los haces trans-formados: A'. y,. E', serán respectivamente pro-

'. ycctivos 'con .los ·jf y:.B; en consecuencia, se-'. rán proyectivos :.e~tr~ ·sí. Por otra parte, los

;h~ce~_4.y' lJ. engendran unacónica Q y, por la.honi'~graf.ía. dada, alos puntos' de Q les cotxes-

: e , ~", I I. I :'.,

D

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¡'" ·1I , .

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1: .. '!!..,.;. { .¡';'. ~.: ~;.: "".1 !: . :.;

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l' • • II ! .

: '.~. . ; ': :' ~ :.~ .1' .: • ~.' . .!····~po~de~ánlos .pup.tos .~~ que se cortan.Ias rec-

. :f. ';.).;:.tas;homóloga~.;de.1os:hacesproyectivos A' y B',:: ::¡t:·csdéCir, lo's:·p¿~tosJ.de'otra··cónica Q'. Se tiene

. 1- t· , : ...•. "1 ."

'. l. 'por ·10 tanto:,d .sigulente", e ,'.; r '.' • ';. .? • ;.... :, . 1, '. ,- •••••• ' ,

'!' ¡.¡: 4ii'TEoREúA:'1: Las:;ho,""ografías transformanI '. ¡. :".# ~. . .' . . , • . ~ ~.. . . .':"':(~"CQnlcas'en: contcss;'» : '., .-", ,;. ;;/:-'1' .,' .f' .. '. . I : .1. ., '.' • o •

,.:' /~.i~¡:Re~:¡p·ro'ca~ente'::;dadasdos cónicas cuales~. <':..:::~q\l~e~.{Q·Y:Q~enIosplanos ¡t.y ¡t', ¿existirán'!., ; ~;homografí,as:·.~l~'.t ":ú(~ que transformen. Q

",: ::'·'en..Q'?::Vamos.a 'demostrar' que sí,' y aun que~:,::;;'háy infinitas :de .'ellas"': . '. . . . ..~.''~'.:}~f~~m.e~9,~·::;~~r~9:~~~~.·p!-:1ntos.c~~~esquiera;,:.;.:::i.!?By,'c r;,s~b.~fQ)iO.~~~Sv~s,también cuales-: ':, q~.era,:.4:,..!3 .:y¡G.'.:.,se.~ ~,~l punto de en~uen-

. .' .tro' de.las tangentes~a\Q en: A' y 'B, 'y P' el de; ;:·i·,~~cu~.ntro·¡de:ll~s..jtanientes·:··a Q' .en A" y B'eÓ, '('[l'g' ¡-20)··1· ;:"1 '1 ~;;'IJ~'':''':'' 1 . '" '.. ¡.. .1 .' i -,_'o, :.:, !~ I/~" -; \.! '

: ::..;~t'¡~Segúnelteorema .1l:·deI'capítulo Ilf existe:"l·'\i~~ho~ogr#í~ ~ntrejn' y 're' que tiene como

; " : " . " ,; '. .~:: .< .'

,. . . ;,, ..

. _".

e'

FIGUIlA, 22

'puntos homólogos A, D,e y' P y A', il"~C'y P'. Esta homografía, por el teorema 3. trans-forma Q.cn otra cónica, 1;1cual debe pasar porA', B' Y e', y tener por tangentes en A': y B'las rectas- P'A' y P'E', respectivamente. Enconsecuencia, por el corolario 2 del teorema 1,esta cónica no puede ser otra que Q'. Es decir»

. TEOREMÁ .1-. Dadas dos cánice: Q'y Q',existen itzfillitas bomograjlas que. transfor-man Q m: Q'. Cada una de estas hOlliografíasqueda determinada dando tres puntos de, Q ysus /~fs homólo g?S de Q'. :¡ .

Obsérvese' también que si. P.. Y '"P sp~ unpunto y su 'polar respecto de Q, los elementostransformados, P' y r. por una' homografíaque transforme Q en Q', serán también poloy polar. respecto de Q'; basta recordar la; de- .finición de.'polar y la propiedad de las horno-grafías de conservar las cuaternas' armónicas,Por lo tanto: . :

.1

TEoREMÁ 5. Et/. 'toda ho~/z.ograf¡a qi~ tr~1tS-.forme la cóni'ca Q en ,a··Q', a elementos conju-'gados respecto de Q les corresponden elel1~e.n-tos c01sju_gados respecto de Q'. .,

Para másadelanre 'va a ser de importanciael siguiente t ". • ¡:

- " . I •TEOREMA·.S Sean dos cénicas Q y Q', 1. en .

S1& interior 'dos puntos P y P' JI -dos semirrec-tas a y a' qU( pasan por ellos. En estas co~di-dones existen'sélo dos homografías q11e tr/ms-[orman Q cjz 'Q', P e1Z P' Y.II en a' (fig, 2.1).

tre l~s puntos' de Q y los .d~ (ji se ia llamapro'ycctividad.entre dos cpnic~$.~j. ) ..'¡' r :! .

Según el teorema 4, una proyectívidad entre'dos cónicas queda definida por "tres .parés·;de .puntos homólogos •. ~¡.....;.¡ .¡: .1:·.',.-:1 :',!',.'~.

Es interesante' el casó' 'de' cónicas. superpues-, :..tas Q E:!! Q' (fig:.:.22y;~Entonh~s~)hs:.pares~dl :rectas (AB',A' B).; ~(AC' ,A'e) tir (BC' ;E'eY,::,.'¡":

~'. .:~ . '.';';.:1 ::,1 .. ":;~~'::¡, : '\~:i.';:;-,j( >..", ; , . I ,.... j .. '" Jj f. 'j'

-. '; "i ~ J '::Vr : :':rt¡f·!'t~·::.l.: (:. l ,'o ," •. l' ~'I 1,1.:;. j ..

. ' .: ': ·:.,:.r:·!i :~(): ¡' ; ..;+ ;.! ':~H':'; ,---~~::~~~~;;::~::~~~~====::::::::::::==~~';.". i.. "o •••

En efecto, sea M el punto eri que a cortaa Q, y N el punto en que lo hace su prolon-gación; sea A el polo .de a. Indiquemos conlas inismas letras, ..con tildes, los puntos co-rrespondientes en el' plano de Q'. LlamemosE y 'p. a los puntos 'en que AP corta a Q,y H Y L a aquellos 'en que A'P' corta a Q'.La homografía que transforma A,M,N,E en

,

. FICURA 2,)

,A',M',N';H y. la que transforl~la A..,M,N,Een ':A',M',N',L cumplen las condiciones delenunciado y son las únicas posibles, puestoque cualquier otra que también 'cumpliera .dichas condiciones tendría como homólogos alos' puntos empleados para determinar una delas'idos hómografias, y cuatro pares de' puntoshomólogos definen' una y sólo una homografía.

:. . . t .. 4.8. Proycctividad entre cóni~a8•. DEFI-

.: NlelÓN 5. Si dos cónicas Q y Q' s~ .correspon-den en una homografia definida entre susplanos, a la correspondencia subordinada en-

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••• ,' : 1, , '. 1: •

(AD',A'D), .... , que :unen' pares de.puntó,,homólogos .de manera: cruzada, .Y Ique .se:Jla.:·'rnan paru de. ~ectas aiód"das,.se cortan .sobre "una misma recta e .Ilamada' eje de colineadón~'-. En: efecto, los .haces·.·:(Ai Bi::,D,.;· ..·.f '''¡::(A':' B',C',D,'; ..:.;,) . 'son 'proyécñvos,' ·por.,ser. .. 'homólogos 'en la:·.hómografía".d.ada;.·por ~tra,;, .parte, . (A: B,C,D, ~....) ': y." ('A': B,C,D, .... r;' "" .'al igual" que : los .haces ¡::(A': :B',Ci,p', ~'.'.r·'.'.y (A: B',C',D', .... )-;'son:.tambiéh.p·royec:tivos, , ..

. por proyectar puntos de'· úhá {cónica' -dcsde :....I dos puntos A y. A' de.lamisma¡ en:conseCilen-'. cia (A' BC·D·) (A 'B'C'D' :. )'.': , , ,... . y. :'", t , '. ;7-e ..

• 1 '.,33

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.....

· ';:'·:;~~i.t;~·~~.;p.~9Ye~tivosentre sí.' Además son. .perspectivos por ser A' A y AA' rectas homó-.

:¡oga·~;..el ~eje.:deperspectividad es el eje de colí-,' neación, e. Que .sobre este eje se 'corta también-el p~r (!3C',B'C), y análogamente cualquier-otro par de rectas asociadas, resulta del teoremade Pascal-aplicado al, hexágono AC'BA'CB'., , Los plintos de intersección -del eje e con lacónica son los puntos unidos de la proyectivi-dad •.Porlo tanto, si e es secante será híperbó- ,lica, si es t~ngente será parabólica, y si es ex- .

, rerior sera elíptica.' , '. St, la proyecrívídad sobre Q es una' involu-. ,, ción, para cada. dos pares, (A,A') ..¡ ,( ~,B')'de pu~~os, homólogos, no solamente AB'· y

" I

A'B son 'rectas asociadas, sino que también loson AB y,,A'B', las cuales, por lo .tanto, se cor-tarán también sobre e (fig. 2~). En conse-cuencia, como se deduce de la figura, las rec-tas AA' y DB' se cortan en el polo E de e y lomismo ocurrirá, en. consecuencia, para ~todaslas rectas AA', BB', CC', DD~,•.. Es decir:

TEOREMA 7. Si 'U11aproyectividad sobre 'Una'Có1¡Ícaes U11-ainvoluc_ió1¡' (es decir, los puutoshomólogos 'se corresponden doblemente}, lasrectas que 1men pares de PU1¡.tos homólogospaSa11-por un pmt.to fijo qll.e es el polo deleje de colineación.

Este p~nto se llama centro o polo de la in-volución. ' '

CAPiTULO V

GEOME'rRtA NO ,EUCLIDIANA llIPERBÓLICA:

'l. PROPIEDADES GRAFICAS

, '.s.i. El ~od.elo ;royecliv~' del plano no.euclidiano.' Con-Ias 'nociones anteriores de

". o. .: o o.'.'_geometría proyecuva, vamos a constrair un"·,m~.delode geometrfa plana en.Ia cual no valeel postulada .v.de 'Euclides) valiendo, en cam-

,, .bio .Ios cuatro: primeros .. EI modelo "va a co-. rresponder a: ,la' .geometría hiperbólica o deLobachevsky-Bolya,i,' que ya. ~iin~s que. era la

, :má~',,jnt~r¿sa~te;' 'pues;' en" ella' Ias rectas son',abiertas e ilimitadas. Deberemos definírr ,

I .0' o' • o • 1 1; f: ~. '.:' : ..', ,'.':<a). ;J~l:pla~~ ,.~.o:~euclidiano,con lospuntos

, . y' rectas "del mismo, '.! ,;:' .". ".,.' • " '. o : ,~... o" 1 • ,,:.... •

.' :..::b)~L?l·.jg':1aldad.o .congruencia de figuras .• # '.' !•. .;. f ~ . • f. . ' ' . .

· " :.H';.:,: ~~fa',ésto ;,\Í}t:iplo ;,Se:-,adopta, en esencia, la, ","bmisma..definici6n de.Euclides: dos figuras son. : ',.::ig'~~il~scua'~doj éxist~ 'un movhru~nto que Ue-o· j"_ • • ... ,' ~." t " _ . :

s \v.a una.de ellas a:_'~incid¡r con- la' otra,' Debe-{'r~mo~,'p~r..1({!tantO'~.'-,definir también qué, se

':~"é,n:ticñde.por. ~: "movimiento", .'.' . ,:, ,~:',:S~a'Q una-elipsefija del plano. Se llamará

• -:: , o • '., • !.

'J-4-,,: ...... • !.

• !. ,

" ':.· .·

la CÓ1t-ÍCa_ absoluta o, simplemente, el absolutodel "plano. Si en vez' de una elipse se tomara.Una hipérbola o una parábola, todo lo ·quesigue valdría igualmente, pero es más intui-tivo razona~ sobre ..,~na elipse, por tener estacurva todos sus' puntos, a distancia ·finita ..Incluso, para concretar más las ideas, se podríatomar una' 'r,lipse especial, por ejemplo, unacircunferencia. '" '. ,

"

DEFINICIÓN 1. El plano de la geometría noeuclidiana' será el' Interior del absoluto. Lospuntos y la:i 'rectas son 'los mismos elementosde la geometría ordinaria; pera las rectas se-

, "toman reducidas a la parte de ellas que es .inre-rior al absoluto.' ;

Es indispensable obs~rvar que se consideraúnicamentf"el interior de Q, es decir, se ex-cluyen los .:puntos exteriores y también lospuntos de (2. Esto hace que el plano no eucli-dia.no sea ilidt,itado, puesto que no tiene Íimite ,

J, contorno perteneciente al mismo. La recta,AB,: por ejemplo, no tiene puntos "terminales;puesto que los A y B de la cónica ya no per- ,tenecen al plano no euclidiano ni, ,por lo tan-to, a la recta (fíg. 24). '

, '"

'5:2. Los movímíentos del plan~ no euelí-'diaDo. Para cualquier geometría: es funda-,

mental el concepto de igualdad o congruenciade figuras. La definición misma de ángulo

"recto o la de rectas perpendiculares se apoyanen la igualdad de dos ángulos adyacentes.

, En .la .geornetrfa euclidiana, dos figuras' son'iguales cuando pueden hacerse, coincidir. me-

, diante un movimiento, entendiendo por taluna'trans{ormación del plano euclidiano en símisino, que conserva: todas las distancias entresus puntos '(distancias entendidas en el senti-'do de la geometría, elemental). , !

, Para el modelo de geometría no euclidianaque: estarnos considerando, los movimientosvan; a ser más complicados., ';, '

DEFINICIÓN 2. Se llam~ movlmiento delplano no euclidi~no a toda homografía del,

, plano en sí mismo que deje Invariante la có-nica absoluta. , j,

II:i"

.i.

QFIGuRA 24

riEFrNICl6N 3. Dos figuras se dirán iguales'o congruentes, cuando exista' un movimiento,que; rransforme una: en 'la otra. . ': ,

En este capítulo, al hablar de ~ovjmientosentenderemos siempre que se trata de moví-'mientos no euclidianos, de acuerdo: con la de- '

" finición precedente; , ; .. Son .interesantes los movimientos 'cuyas ho-mografías correspondientes .son- Nomologías.En este caso, puesto que en las homografías

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'",' , ' de Q o exteriores -a 'esta 'cónica no' pertenecen;, ",,:.>~:plano' Pd.' ~~c~~~p~;:Los-llamaremos, "CO~10.I ,,'.v • " ~s;::costumbre,' 'puntos "ideales" ..· Igualmente,'

.' . r,:..- : las !.e~ta,sltangentes 'o: exteriores á ,Q se llama-,:' : ránrectas. "ideales", '

• .' J . . 1" .r r:·. ".", .\:;,~. : ·.::~·5.3.:··~g:~~:~:':'~ec~o8·. ~ceptan40 'Jit mis-:::'~:: : m~;,d,dintci~,n, de ·,Euclides, se llama ángulo? ,'..,recro.a cada' uno. de dos adyacentes' iguales ..::;". ,..~as r~cta~ que los 'forman se llaman, perpen-:;,~, . diculares.. ,:. . ' , , , ,

, "Dadas dos rectas' a ~ A1A2 y b ~:BIB2 que ''.se cortan en P, queremos ver qué .condición-deben cumplir, para que sean 'perpendiculares(~ig~27). Para ello debe existir un movimíen-

'.'

',:'

.:," .i FIGURA 26

.:''.'t~~:du~ su~e:p'~~'g~',el' áng~;o d .,'i3¡pAi con~,'i,'··, ~,;: ' .:B_lP ~!l~ I~:,fual,:,sólo es posible: ,S'¡:.4· y b son" :·'·rectas 'unidas; obiensi« y b se transforman",,' "una 'en la 'otra.'.' ,> '.. , '

: ",:::,En 'el prim~~"caso,-::el movimiento debe te-. (.: 'ner.':a~Bl' y P:.unidós Y"'debe :transformar Al,',:" ' en~~A;:.(A¡ _:;~~') ..'Si ~l Y P son unidos, como;: ' :,.~_ta:~biénQ Io!'~~::resuIta unido 1J2: Por lo. taI_l-

'. tó.la'recta'b es todade.puntos unidos; se 'trata. .deluna ho'mol~gta 'de eje b;"El centro de, esta

,:'",;hoil-i~logíaesel polo fi, de b: CoIrlo Al' y A2','.,' ":son :hqmólogos; -la recea. a, ,que los u.ne" debe

" ' p.~sar' por' 'B.: Es decir, ~a :y, b son rectas con ju- .'. . ':gadas.» ' .:,,:1 ,,:.)~:;. !:. {:. ': '''~f.; .'. ":~'.; .' \ '" ,"-:. :·¡';.';En~·el'segundo caso, el, movimiento debe

'.;.l;aCe~··que: A~.,¿:!3:i ;"Bl~A2 ',y, corno P es" ,'unido, también ,A!! ~ B2 Y B2 --,)o Al. Es decir,_~"sobre Q se tiene ~n'a proyectividad en, l~,:cual" )os'puntos Al, '81,' A!!, y"B2 se transforman res-

•• H" ., ,'. •

.~. " ., ' ... 3.6

':J ••

pectivamenre en los BI, A2, B2 Y Al. La .recta ,a no es el" eje de colineación de esta proyec-tividad (puesto que Al y A2 no son unidos},per.o las rectas asociadas AIA2 y BIBl (= tan-gente' en Bi] Y Alib y' B2B2 (= tangente' e;ll ,

FIGURA 27

'B2) deben' cortarse sobre dicho eje (ver 1.8).Por 10 tantq a:=¡ AIA2 pasa p~r el pupto de'encuentro' de las tangentes en BI y, B2,..que es ,el polo de b. Luego/también en este caso, a yb son rectas conjugadasrespecro de Q.. " "

El recíproco es inmediato, pues si a y b son:conjugadas, la simetría de eje b transforma el .ángulo ~ en el a, o-sea, los dos ángulos adya-centes son 'iguales; y, por lo tanto, rectos. .

I

FIGURA 28

Se tiene' así demostrado el siguienteTEOREMA 1-. En;1 modelo que estamos:con--

, . >. siderando, 'la condición necesaria y suficiente, '. para.qu~ dos, rectas 'sean perpendicular«: es que

s~an cf!njugadas respecto del absoiuto 'Q. '. . .: '

"

. 't·, >¡ '!:,¡.~- ¡ :.':..:;_¡..!.;::::; :!;:> ..• :, r' ~ ,. '. '. '1 i '..'!' •

F,cuRA" . .... . . , : J:".:;! 1: '~,;; ,i'tt¡,i;;' 1L·:Él postulado 1.se cumple evidentemente, ma .5. delcapitulo IV)ttambiéh·.I¡ ·reid.qüé /('.:

puesto que dos" puntos cualesquiera, interio- contiene ·a.'b_ coincidiÍ'á:;c~ri-I~'::'q\Íe ·c(in'tierie·...>;:::::: ..res a,~una cónica Q;pueden unirse. con un seg- a b' y deIos: dos rnoviiniehto$\ui1ó¡··ae"léIlos".::,;;:-'.'·:~!mento totalmente contenido' en. ¡el' interior .1lev; b sobre b'¡ Por'~10':ta~tó;':si~bdo .~üp~rp:o(~r~:;'t~:·:·.:·.:

. de Q. . , (. nibles por un'moviiniento,:·lds.(fós'·'ángulos tec:i·~:t\;i:.;:,·~ !.... ·EI postulado Ir también se cumple. Úebe-.. tos ,son iguales, : "':: :~¡'i :t':!';~YJ:tH~¡!M.:I·.:.·~;íi\I:':!l'nJ·t~~·:::~:~~~;:·~·.f

; . . t . ".~ ..,' g! -r"'I' ;j, f·I,~·::;."rl·;~~I:~¡.?~·::-.;., :. Imos·tener en cuen a nuevamente que, no per- .-: ''', ¡: '. lt. r.~~..¡., r':'¡',:) t,:U~~}.../;'; '.' ;l. doI ,. Q 1 1 lid' . ..,", , I'B' \ ' . 1':" ¡'.:¡I''''. :. .•tenecien o a cornea a p ano no euc rano, ._', " :;' í ':'.; ¡. l.;, "ji; : ;'" ... ;.,". :

las. ~eétas son ilimitadas, es decir, ..'cualquiera· '.' ¡.i:,:· ...;;.: !..,).;"·,1 ...·. ~, ~·~n,l·t!,rr~~.;r.·,·f. ~.~ .:' -:que .sea el extremo de un segmento interior P .. ¡ ",\,(,l'r':"I; .\ ,.H :'1 ': ". ! '., !',

I ~~t;;:~:;~r;:e:::::::.:,:::/::.r .: ""·'.I~> ;; .;.';;': ::':.'}.~;;;fi'i;'.!-un segmento AB (radio) y un punto O (cen- r : :', 'H ';' .:, : }., ,,;

;:~b:b;:ed~';::;u=:;:~~:odojt~P~~ ;,';.;; :1;j;:'.:,:(fíg; 28):; al variar a el punto H describirá la .: '. , "circunferencia del enunciado. Para ello basta , '. :,-,,"t- -: ;.:;:: ... :; ; . ;.

~~~s~~~: s:~ir~e::~n;:~~~on~reenel1:~B ~o~~~ , '..FJ~~~~.,3~. '.; i:.·;;; ¡. ;':';{::.,:,:/~.~.;'.,'.la semirrecta a (según el teorema 6 del capí- 5.5~ El quinto. p08·iulado~;. :EI .postula-: .'tulo;IV sabemos que hay.dos de estos moví- .do V, en cambio; ha-.dejado decurnplirse, Enmientes}; el transformado de B I(que es el ef~cto, por .un p~n,to P leit~.ri~r_;.a1.a'~ecta ~~.mismo para cualquiera 'de estos dos}novimien- (fig. JO) pasan: ti) lasrectas interiores/al an- ..tos) será el pun ro H buscado... gulo Al> B que cortan a lá i'edá: r ==:I.AB (rec-'

El postulado IV también se ·cumple. En' tas sccantesy ; b) las.:iectas:.interibres al án':'·efecto,' dados dos ángulos rectos de vértices .gulo APB' que. no .cortan a !r~ {rectas' n'op.y:P', formados respectivamente por los pa- secantes'['; c) .Ias rectas, AA~· y'BB~ .que 'sepa~'

f res dé semirrectas a,b y a',b'. (fig, ~9), por el ran ambas clases .de rectas y tampo.co. corcan'

" ';• '. 4 f . : .

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, ... , ..37

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2~'r#!! pero que son: límites' de rectas secantes". ',( rectas paralelas a r). .. '. :-!. Estamos, .por consiguiente, en el caso 3 de,):2, correspondiente a la 'geometría no -eucli-, diana' hiperbólica. ,,', ; El .ángulo APD, es, el doble del ángulo de

.. T '!'I . :para~~liS11l0,:.ángulo; que no debe medirse en• .... O".

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: "q;:t0'.)H~~~.r~~~9~.~a.f~agpi~,dsobre, el plano del ~-;: ;~!;~~~~;¡}~~uJW'r;[~~.;,~,~:~)!,;tt~~~~la;:~u,~verem~s mas

I!¡,U':;¡::~ ',~,adelante.' 1'1, .1/"I':"'!I: ',' !". ' 1,; • ..... 'f ~...,"\ ) ,? "J. " ~1.,¡;1"1 ;'~" ':jo";" t!O I - o.'~ .::n:i1t.;rn.¿~·'íD"r¡:,:; )'<r." ,"~'o '11 ::.!" 'l'''ü,);¡::", ;:,:.:o,. , •

· ';.".)J!i~;'5:di:! ..!;.'.C :res~~,~a;e "<,:VI.:,, .: '1 \,..o~;-;><¡':;'!i!,.J·¡",,:!~,.:·:.l,t,¡;i!l'lii.l~,.,..,~i'!:'~¡~~!l"" ' .,'.. '.

· /i>~~!~;.~~~Wi:T.EoilEM:~~2~(En:el:;tn.odeloque estamos con-o (: ." >......"'\~ ... , ..... :, ,.~ :"i;~;"'11 ·::"l.·~'·¿,•• ,J!;' I ,. , " ,

\ ·$"'~~'i~~~4e.r.II!'J..p';',rec.t'!APllra,lellls:'S011 'las que 'se 'COT-: ;'~!::''';'!l:!f ) r'" ,_J_ l' ¡:!"b" 1"t' "Q '; ,,':,~~";..~J;';,'La",:so~er,e.,.',~ s!J 1f o.::; .' ....•. '.' J

: ':?;\,},~'1i}~i~\j'~~'tifi~~:~¡~ifiiI;~ar'po: ~~oo del í~finito':-".i ",1'~"~ JI r' i' o ,o I ,~~ • • l' ,

· }~:\:'~.r~~~f.l,ano.,n~if~~~.~a~~ a.los puntos de Q.~,})f'v':':i~';:í:"r·:: ~:, ! l ~¡..~¡:'f.~!,j :i~v;:.. \ ;:~O;¡_.'I"'.:: '1

,'~;r::rf:"::¡~.~.: P~,cra,s ,p~oplC~d~desde la geome-I ..;,/'~(aDO el.lclidján.a;:¡ !'De-Io anterior se dedu-

,.: t.' ,. !. J l' ," • "j I '., 1 1 ' , .. l. I ~

, . .'~i~n:~Ü\tit~Qiata'{l1.~nte'algunas propiedades sim-.' ':,¡:'ples¡::que .cons'titÜyé~ilosprimeros teoremas de, .' ttl"J o I I " ' ',1 ...•. 1 d o hi 1

,', :";:,:~,}.;!~e~mc~r!~~'.!}o.ley~~.,ia~a ,·~c.rbó ica.. " ~",j ,.,.,.. '.... J' ", ~ f '{ '. o ••

-,'ti, i2~~~!,1~:~PoT·un.p'unt((.f!. 'pa~a una,y sólo una"peT-:-,",::.'>'·:::p'endiCülar'~'1~n~.iccta" dada, r: ",,;, ""'ffJ' "";':, ; ',':''1'':1·:;1', i...·_,;·,',:..· ,,,¡ < , .' '

. ':':';:Aitj,~,sJ~rec~~jqp..~:'9.J?<~~~n elpolo ~,de r. ", " ,If',·l,.""'{ ~ ". ,.., r"·, ,~'", "'.~ " "

. o;:,jl ,9¡~~J2/.Dos 'recias 'no":secantes admiten siempre':::::i<r.;~~:.,~perp;n4ic.'Ul~r.'~o1fl.ún~"Rectasparalelas o':.i, ,)s,~~a~tes izo á1~ifen.':pe:pendic~lar común.

J;:¡~!~L, , ; ." "f t , e:f, ,2?1::

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, ' ,o" "

Si a y b son no secantes, su intersección' esun pun to '<ideal" El I exterior a Q (fig.:, 3l) •La polar p de H. es la perpendicular común.Si a y b son secantes o paralelas, su intersec-ción. II es .interior o pertenece a Q; por lotanto ¡U polar h es exterior, o sea, no perte-nece al plano no euclidiano •

¡.. I

1,. ~

, ' '" 1: ..

3. Dos semirrectas 1# y b admiten 'siemPre1ma paraÚll,! común. .j

Es la recta r que une los puntos en que ISy b cortan al absoluto (fig, 32). Si 11 Y b sonparalelas, cualquier. recta que pasa' por el pun-to en que cortan a Q es paralela a amba~.

FIGURA 32

I ,,!, ', 4. El átlgulo de paralelismo es menor; que

un recto, .: . J

Sea 'la recta r = AB. y el punto P (fig. 33)'.Si R es el polo de· r, la perpendicular por P.

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:i r ·~s.1arecta h == PR, y el .ingu!o' de parale-lismo es a =RP A. .El polo H de h. perte- :nece :1 r y es exterior a Q, por '10, tanto

,a <, áng RP H = 1 recto; de acuerdb coñ el':l., enunciado'. ' , )í:' , '

Esta' propiedad, es conocida con el nombre, de axioma de Lobachevsky. '

T~mbién es cierto que todo ángulo a me-nor que un recto es ángulo de paralelismo de

.cierto punto ~ y una recta r. Basta observarque/en la figura 33~dados P, h yaquedan de-ternlinados H y A, y por lo tanto también

. la recta r ==H A.5) Dos pares 'de rectas paralelt1$ son siempre

congruentes,S¿an los pares 4,b y a',b' (fig. 34). Según el

teorema 4, del capítulo IV, existe un movi-miento que transforma M en M~~A en A'y B ;en B', 'el .cual lleva, el par a,b -a coincidircon 'el a',b'. ',

. !5.7. Construcciones eleznentales, 1.Pun-

to -rhedio de un segmento. Dado un segmentoAB ¡de la recta r {fig. 35), para hallar eloün'to 'medio M se une el polo' .R de r c.....nA y! con B. Se obtienen. así los puntos C, D,E, yl F; las rectas CF y DE se cQrtan en el

r 'punto medio M buscado.Eh .efecto, A y' B resultan simétricos res-

péceb de la recta p . RM, es decir,:.hómólogosen la homología de eje p y centro"P' que trans;"forma a Q en sí, mismá, Por lo tarl~o. los seg':'

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: '.: '1

• ' ,1 ',' ¡ :.': ': " ,,!,·,:~jt",~entos'MA y MÍJ so~ 'rup~rpÓ@bles,;es d~éh-;¡:~'::'.

, 'son iguales. Esto quiere décirí, que ,M. '-es·,fer··:,'. "".punto 'medio de AB. :;¡ ~".;;":.! ,1:-:');" i );. ,,:;: ;'< f'",.,-

•••.•• !. .. • /,;. J~~- .;',: 'Il':~';""-. ";.....) ¡v' ::',u,;' •" ',:::'Z': Bisectriz ilé ,,1Ú; "ángülo.l"lAÍiáloga'mente~" ¡=,• .' ., l,' , ,

si 'se"Sup~nl;n dada~; las:::ie~~as¡;,,~D~:,;~q;,,<iu~;~.i~',"'se cortan en M, se pueden' ..construir: los pun-, '-( '.'tos R y"p, las rectas pe:RM' y·c.;r' ,PM' so.o::_;,.y:·, ,, 1:., . .,:,",rt

las bisectrices de los án'guIa,s :idyacentés EMe; l' ., y EMP, respectivamente- Obsérveseqúe Ia:bi,:{:;:' ,: "sectriz de'EMC,: por ejemplo, éstá'también Idé:::",'(}', "terminada' por los puntOs·'E 1. 'L'" de :.mt~rStc4.;~:t.'ci6n de 'las tangentes ett E ..''y :C, y~:en'~F,'y; DV.+::: , .

. ... u: '" j' ,1, ,l· " 1',,'" .respectivamente.' ,·:.I>;'i:.~·",::.I'~,I,;~¡";'; :'i'·.·.':f::;',":·,, , bi "~';'I ,'~:" To, 1, I • " '1 .. ~I'p(~'J.j~1H. '0'"

. ODs~rve~e.ta~ .l~~!~~e)·:~ri'tre!u tl~~Ic~n~,~::"':":,:;""Jugadas; es.decir; la~ ~~~.~c!tr~~~s".~,el.d?,~,~n~~~H;~'~:'::"los ady~c~~te~,. son /p;~~~~ndi~~~,~~s::ent~e¡:~S1~'J:nl"::;::':como' debla ser ',,';'" '1" .. l.,! ,1",,: 1";'!' ¡'ll;, "'11 'J/,,~,. ',:1, ¡", 1

• ':,' ,'" >,1 l. '1' 1" ,... '1 r,' .. ,s",:. v: ..." :, \. ,¡.' .', "1 '"","'~' ,}"', ;,') ,~, '\" 1,1',""" "I"\"~~1'¡¡< ",,,l "" .... ' I " 1," ',: I t' f" ',. ,',.' , ... :t.. ".

3-. Mediatrlces,);isedrices y :iiltúra(m j,ílnE't;, ,!,,? ,triángulo. Llamando me'di~t_rii de:un' segmento;~:~~~'" !AB 1, di J ,," , ' .¡. . ," di ' ·,1' "~'" ,a' a perpenc cu ar¡:en¡;su'¡punto me oi:o~~;!::;:',,''.:sea, a la recta ';RM en'Ja 'figura:jJ)';l'y i'coriside~U¡:~·.:~, ¡rando la,:sime'tría:.de ej~:::RM.::cíU~:II~va'A rsO:~;~¿.. ¡bre B, remIta que;, al;;)gidl.i.que /en'.·ell ca'ro)t ":.: ;euclidiano, la mediatrizde 'un: ség:nento"~es~.eJ)');:<·~:' ,[

, lugar geométrico, dé los,puntos-que' equidist':i'o';,;C:~ !de los extremos ...: ' .. (:;, ¡.:j ,;',',:,¡:;.!, ,'~, i '¡;l,.:t/~;:' ··í

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.¡ FIGURA' 34'·. : !:,: ' " . " ,,: ,: ;,. -, \ J; .': ;: i ! ~~;,

. ',';' '1.,;'.", '.:' i, .. ' I • '.' •

Análogamente,. llamándo distancia"de '':¡o ::,(_ "punto :i una recta': al segmento de' perpendjcú-';;:;.' \lar comprendido ;'en'tre;'el, 'punto. y,: ,la" reda, ,"; ':",resulta: la bisectriz "dejún: árigulo' es 'el luga(,.;",.geométrico de' los puntos "que équidjsran, de ~,:"los lados, del mismo. ,~.:'; [", ': ",:; :!':-.:'¡ ';

De estas dos propiedades resultan~ igúaI q~e ;';:~.'. . . . .' '.' .... '. '.::~;' ~.,,' :::'.'

.! -39",' ' .

. .,': , . :o,' .•••.•

",':

, ,

. ,....... ",

rn la geometría euclidiana elemental, los si-.guientes: ' ", TEOREMA). Las mediatrices de Ífn triángu-

lo concurren. en un, punto.

,,-

... ,'

"

, TEOREMA''4. Las bisectrices interiores de U11

'tr~áng1l10concurret» .en un punto. '

,M

,r

. ,'.

....:.:~i.'~>:¡'1:

• ! I .

·'·,;¡i .,' :

, '

-".0 ,¡ ';' ,.: ::·r··; .:!. , ~',',,!;

, ,

En realidad puede ocurrir que 'el punto encuestión s~a uidea11~ (exterior a Q). Más,exacto es ~nunciar los teoremas anteriores di- 'ciendo 'que,' si dos. mediatrices (o bisectrices) ,

R

FIGURA 31

concurren, en un punto, también' la terceramedia triz ,,(o bisectriz) pasa, por el mismo.

Ambos teoremas pueden también demos-trarse directamente, como 'teoremas de geo-metría proyectiva. En particular, es muy no-table la siguiente observación de Coxeter [8].

Sea el triángulo ABC (~ig. 36). Prolon-gando sus lados hasta cortar a Q tenemos lospuntos Al, t12, BI, Bz, CI y C2. La bisectrizdel ángulo ;t' es la recta que une los pl;1ntosM y S donde: se 'cortan las tangentes en BI y CIy en B2 y e; Análogamente, se tienen las bi-sectrices TN' del ángulo' By RU del.ángulo C.El hecho de que estas tres bisectrices concu-rran en un punto equivale, por lo tanto, al he-cho de que 'las rectas que unen los vértices,opuestos del hexágono MNR5TU circunscrip- ,'to a Q' concurren en un punto. Es decir: elteorema de' geometria no euclidiana de ~quelas tres bisectrices de un triángu.lo concurren

.en un punto, equivale al teorema de Brian-cbon de la geometría proyec#va ordinaria.

II

'l

. . 1'.1' fU : iT! ~';:¡N;:,'punto. Es decir, .se 'trata deí ~~gfue'ÍJte;t€oie~(~:[~::;:':;<'::de' geometría proyectiva:tJas';'rece:ls :qü¿: tlrlcn ~~!;'.'.:.vértices homólogos ,;.de\!dós~tÍiá.rikulbs'ytoáj\.f~·,¡;::\,i,:,,:gados f .respecto ,;de-:'unii' cónica~.!,pasan. p~r.~:Uíiy._':. ':~mismo' punto (fig':-'37P:"1 'I::t',k·, '::~;'.;,r,,'(¡:<'¡¡'¡·i: •. :

• • • • l.:' l' ~'.',"1'1: ~:!):~.,:,!/..1:~\~··:1+:'~-r'~':i:~r''''ii~'JJ~:::~,¡;1:'':'~:Demostración! Sea"M ,.'el!puri ta ~de~:inie~sec·;:,i.':; ..;-

cién ,de AC y )rC~~ y~N~,eI;.dé!A~C,y, B:C'.')~,a;::::.;:.,polar de M es 111 ~ ~B~.:.(uniói.( del -polo /11 \" ,de B'C" r ~el polo' B~,~dfAF)Ly l;....~~..~;~~s·;:~n ~ HA (siendo H els polo] de':A'C,. o' sea',el ". .:punto -de intersecCió'n,tde:.BC:,:Y'·:A'B~)~:C6r:' , .

. tando con li. réctá 'Be el: ha'z, de' las polares: ...de .los- puntos de B'C~¡.resulia·;{B'C'MNr ..:.......~.= (CBLH).: ~roYe·cta:ndo;la:pHrneia 'cuate;-,

.na desde C..¡ la segunda·!desde.B'ire·Suliaii',ha- ~ .ces proyectivos, Y' ··por'·')Io "iáJiito' los ··puntos.. .'o (CC'.B'B) 2,' A(CM"B~L)! y::A'(CN.B~H)·': ;están en línea recta. ,:'(3;8 h ¡lo.~:cual·p'rÚet)a"el ¡' ';

teorema '. ~ ;:' ~', o ..... : • I :',~".:¡;:' .

, ". ,'~,.: : .~~!._;.:~;L:~:':'~:>:-. ; U\f;~:"5.8. Cuadriláteros' de.Sabéhe¡'i~':',;y~ .de:" '_'

finirno~' anteriormeriie'i lo.'q' tJtt·se,,'eriti~~cié·~po~'. ,1 .,) ., _.t •

un cuadrilátero. de; Sacched:' ¡ Se ¡'trata~de': :url .cuadrilátero·:ABG~ .én er;c~al,1CE ;y"Di(Jon',:. ,:

. . ': ~.,; T,:,; ki;.¡;:'_;·': ;<I·ti;;}iÜ··'1 Dos triángulos se .Ilam:ui; conjugados:;cu:uido':~lós:,

vértice. de uno '~on los pÓlos 'de .los lados del otro .. r;'.;·~.;.• • • '. : : •• 'IJ 1'· >

. 2, La' notación. 'O(CC'; B'B) ¡.Gidica qu~'::d~¡'~;::el.'punto-de intersección 'de' las rect:as CC', y B'B:'! J". ,g:,: ' .

'\: ! . -; ~';" 1· ; . I .>. .1 i::' .:;.~::'., ,';' .. I / •. ~ :. :.~. .'I!:~'.: .

¡\:.'; -: :::.~, .,':..'!::: :': '; :'.,,:00, •

iTambién vale el siguiente.1

" TEO~MA 5. Las alturas de' Un ·tr!ángulo .coitc1trren en un punto. ."., . Sea el triángulo !lBC. Si l~s polos de los

.Iados AB, ,BC 'y CA son respectivamente e',A':y D', el teorema equivale a demostrar que,las; rectas AA', BB~ Y CC' concurren en un

: '1"

I . ':: :. ,

... ¡:i

," .. ! !1,< ": '! .

,1,

s- I

i,

~ :",. ~.", .

• • 1'1 •

',.L

"

FIGURA 37

41

, '......

, "p~~pt:~dicuJ~resa la base AB y los segment~s, .Ao y 'pe son, iguales -entre si (fíg, '38) •

':,TEouMA 6.: EtI un; cuadrilátero de Saccberi'Ia"mediatriz dé la base es ta~bién mediatriz

, de~lado opUesto.' Además, los ángulos opues-,'..to~ a 1/1 base:son ,jgu~le~ entre sí.

• .' r- :. • ••• ", ."

l' D N e'1 ,

" .. : m,': l.

, "

"':. :' A ":. , • I .~ :,'

M,, ';),.t' , ~ ;

! " '!,',', FIGUU. 38

~j • ! ' . ,.: ~! . .. : ., I • ': .' •

, , " En !cfectc;>,'por la' simetría respecto de la. :J\'\cdiatriz 11/0 de la base AB. resulta que A pasa

a, B r;por ser .íguales los ángulos rectos (en,~este'~a"soA y)3):y ser BC , 'AD, también C.pasa :;a:D~'Por, consiguiente, si N es el punto'.en.quees corta.a CD, resulta NC=ND"osea;"Nres ,~l,punto medio de CD., Además, el

" ángulo C coincide con el D, y los ángulos ad-yacentes en N: por ser superponibles, resultan

, icctos, Jo que' pru~ba" el enunciado. ': 1,' .vamos a .~p~car esta propiedad a la obten-, ~ió~ pe otra', referente a triángulos, que será, útil en ]0 sucesivo, ' " , " '

, '

A

.1. ~'.

1 'l.

-:. '.:

I ,

: FIGURA 39a

Sea un trjáng~lo, ABC (fig, 39a 6 39b) .Consideremos la.' recta" h == MN que une los", .. " r

42,':

puntos medios de las, lados AB y AC, y seanAA', !3B' y, CC' las perpendiculares él h,desdeA, B, y C, respectivamente. Los triángulosAA'N y CC'N .son congruentes; en efecto,siendo igualesl los ángulos opuestos por el vét-rice 1, por un movimiento sepuede llevar NAa coincidir ¿oh NC y, al mismo tiempo, la' se-mirrecta N A' con la NC'. Entonces, como porC sólo pasa una perpendicular a esta semirrec-ta, resulta que C' y A' coinciden, o sea;' lostriángulos, 4A'N y CC'N quedan superpues-tos. De aquí CC' = AA'. Por un razonamien-to análogo 'resulta que' los triángulos BB'My AA'M también son congruentes y, por 10tanto, BB':::;:: AA'. '

En consecuencia' BB' ~ CC', 10 que nosdice que B'9',BC es un cuadrilátero de Sac-

A

FIGURA 3!1b

cheri de base i;B'e'. Por 10 tanto, según, .el.tecrema 6, la mediatríz de B'e' lo es tambiénde .Be, lo cual $e puede enunciar:

TEOREMA. 7. La mcáiatriz de un lado de1m triá1lg1&loes' perpendicular a la recta queune los p1mtos medios de los lados opuestos.

Este teorema .va a permitir demostrar el si-guiente: .,

TEOREMA 8. 'Las tres medianas de U11 triá1l-'gulo concurren en un punto.

1 Esto surge de ',que uno cualquiera de los ángulosadyacentes a los: opuestos 'por el vértice es suplernen-rario de cada uno de éstos, y ángulo$. que tieneu el

'mismo suplemento 'son iguales.

,I

"

. .,.. i.: 'Y Lit: .: ¡r;t;f~:\, :. • '1'7 -.r{\ .. J I , ..b.,(.¡ . '-. J JI'1,(I.J~·'f'I·:;·l\:'<'~;· j.

,de manera -'que;. el :'punto .;,m\edio,.i:,del'¡':I1a'dó}~'~lf:re==' AB 'coincida con::O 'r(fig"'~r40,\~'~,Ehtob:ées'~:';;};:;1:'

I • &;,j. _,1 0.:1, -Ór '/ ... ,1"0, •

O' se~á ,también ,~I,~puD,to,~~edib';:~e':;aB.ise~',!{H:;':la métrica eúdidiiria '~Órdina!ia~~I!i¡meOiátriz.'f;~!:¡/~"dé AB "sed' 'el, alártteJ(tcÓñj(íg~á'do''f~~,;'dé:..,lt!I:Si;ifjJF,:,N 'y,: P' ,son, los' 1)\into~1rrredi~s:::~~~:,jfC'~~[~;BC;~;;i,~;:}:;;:,segú'n 'et teor{!IIl'ai.la; r~a:a':'N~~tes"'pérpJ'ndic{l~:F?<,'

'lar a 2,,' '( es 'decir; ,pas~!:po~:,ierl~pBlo¡id~',.~'fqtíe",'~)~I:\~,::::i:,el punto,; del Iinfinito :;:a(~:y~::()!leal~;en ;:;eillido ~f¡:::.:<euclidiano, 'es parilélá;:a"AB.TLi~concúrrenéia'? ;,' '=:de las tres medianas 'en :ün :p~rfto::esFPó~po p;,' :':'"tanto, una consecuencia del teorema'3' deFéa'::¡:',::;'¡ ,, 1 111' 1'-", : l' j J t· r:~'· . ·.I,I~, •puuro ru. I """."'! I,í ,j:, , /.' ':" ! j;~':"i::,'i', :,\Hemos visto así v:tdas ~'ro'piédades'del;tri:in:- e ~,¡..

gulo que valen 10 mismo. en"]ai:geometH'i: no :':::, '!'

:'euclidiana que 'en Ia. euclidiaiial:,.HaY:,,:muéhas':'~;:::otras propiedadespará.lás, que:_esto"no 'ocúrre;{:'; ""

'Por ejemplo,' no: es"cierhÓiu~"kl'ptiiito:dé{eri:':~:(';:cuentro "de las medianas!;-divid:i::.a::Jas'nusma:f ' ',:'en lá razón 1IZ. Tari1poc~ 'texiste én 'geometrIa .: 1 ;::-

no euclidiana ti :recta,:¡de'~Ehler, .es, 'decir;: los'.' "-puntos de encuentro ,de"llasaltu'ras; de las me-"., ';';:diatrices y de lás médiana~j :noiestán 'en ,linea, ,': ':recta; ello ocurre si:1. ~ol()si el'rriángulo es Isós-: : ',celes. Ver, -al 'respectó~: Baldus:, [4, ,pág.i f02 t~,",¡

. . ':: ",: i,"\ L,i,: ¡li:!{~:,:,;,:': " ' ..' ;.,;'CAPITULO, VI <,:,>". .i,"

" . - ",~: !, ..:,,~:' S;';:~\(),:tJ'Ht~!~ti)::~~~:'j'GEOMETRIA NO EUCLIDIANA: HIPERBÓLICA:" :;:"';: :

, ¡ i,,¡,,:-':; ;.0'1, '; '1 :-: f,~~¡:; \:,/~:!;;,¡t1 ,::

U. ANGULOS Y: DISTANCIAs>,

. . . ;, i': r: i ti;: i 'H- ):::iJt ...to de intersección de AD~:y)C,' M;,;elipdntO:;::~ ",'medio de' AB, N el polo 'de',PM' y :5,' d::'polo' ~::',::'de BC (fig. 41). 'Por estarJa: rectii:"P.B::deF: ",mismo lado qué N; respe'cto:':i la -recta' PM; ,es S interior al segmento BN':i; por,!lo tanto, .-puesto que CB 'y es son rconjugadás,-,rerulta -. '.

, • ' • ,,! ..... 'it", .'," .1 recto = árig BCS ,<'áng BCN~": ':" ,r "":,

y de aquí .' _:' ",' :':'~'::',';.:.,/; ; ;':"::".'~,

áng BCD = 2 rectos 7.- áng ~CN.,~"1 :r~~,t~;:, 'que es lo' que 'se quería demost~ar.' .", '

. yamos a demostrarlo utilizando un artificioque sirve también para otros casos análogos:""'Consiste en llevar, por un movimiento, la fi-.

i, :¡

¡,1

j"

I¡ -i

FIcúaA .010

gura que se trata: de estudiar ta .unr, posiciónconveniente. En el C!l,SO actual, ,si O es d cen-tró, de Q, vamos :l llevar el tri~ngul0 dado

"

;6.1. Sumo de 108 ángulos in:teriorcs deun triángulo. Vamos a, demostrar el .si-guiente

~LE..,\{A. En todo cuadrilátero ae Saccberi la¡

suma de los ángtllos interiores es menor que4 'rectos.

!Como ya sabemos que los ángulos de labase son rectos y que los opuestos a ella soniguales (ver 5.8), bastará demostrar que cadauno de estos últimos es menor que un recto.

.Sea el cuadrilátero ABCD y sean l' el pun-

43 '

. ",

" .00': o,'.

. ": . . ', .

" '

.:' ';',TEOR.EMA''.!; E" todo' triániz!.lo la.sum« de ,, " los 'á1!gulos'i~teriorcs es menor que 'dos rectos.

o; Sea d, t~ifongul,?"ABC de las figuras 39a Ó',':, 3,9~. C~~ laconstrucción en ella indicada (ver" l. l!(4~mo~trarci,?.I),(le! teor~~a.~ del capítulo V),, ;',por ser, congruentes los triángulos AA'M y

,::, : 'I?B.'!d, a.~í,c~molos AA'N y ~C'N, resulta que: :; la' suma' de los' ángulos, del triángulo 'ABC es.: I :"~~üal,a' l~,suma ,d~.Ios ángulos 'B'BC y 9'CB.

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".'~'';-'~:'~:r·:~o..;.: !'.,. , o

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" :;'-' "i:" -. .~. :- .. i ':: ' .~. I i .'

, : :, ~" :', ~,: : I

, "',\,En.el-cuadrilátero' deSaccheri BIrC'e los'án-, \:'g~~~~ren',:w..,:Y' C(~on ~¡:cc:ros;por lo tanto, se-

,':',gún'el lema'ante'no! ';:f. ',I',',! :.'. . ~~. ." ,;. 1.... ". 1-,'; '; J • t'.: ...

~,"JiA:+:B + C -"án' 'B'BC +.......... l' . '1 g. -

; ::''¡)''::~:i'.,:,1',' :,( ~:, '!.:'-4-I,án'g''CCB < 2 rectos,.: ..•:'~,t.,4t.[:..J,." J·i ,,'~i .;, l,:'::'T~'o:q~é'd~mue;t~:él~e~un~iado. .. ": ~ ;:-::' t~'! .~·-,~i. :':1 ~, ro' i - .' ,;. ,

,\:V'Go~OLAlUo.l;'!La,:suma 't/-elos ángulos de 'rz"',cua~r~f~~ol fS ~11!~~or:q_u_t4 rectos.

" ..En! efecto,; basta :,d~scomponer el cuadrilá-, tero en' dos triángulos mediante una diagonn],

o ' demanera que la suma de los ángulos de aquélresulte igual a. la: suma de Ios ángulos de estos

•• 'o" -': I : , :

44'

....

; I

I !

dos últimos' (fig. 42).',El corolario v~le t~m •bién, de manera evidente, para cuadriláteroscruzados corno el de la figura 43. ;

tÓ, COROLA~IO 2. Si dos triángulos tienen losáll,g~los igu41es, son congruentes, .

,Sean ABC y A'B'C'. Superponiendolos °fon-,. gulos A y A', si los triángulos no coincidiesen

, ",y prescindiéramos de la parte común, queda-

, I

N

¡

ría un cuadrilátero, convexo, o cruzado, cuyasuma de ángulos sería, indicando con una solaletra el ángulo interior del triángulo corres-pondiente, en la, figura 44, ":

(2 rectos .; iJ') + (2 rectos r- C'), ++ B + C=,4 rectos,'

o bien. en la figura 45,o

(2 rectos -, B') + (2 rectos - C) ++ B + C' =4 rectos'

contra el corolario 1. Se 'puede, por 10 tanto,enunciar el

. TEOREMA 2. En la 'g~omelría 110 euclidianahijJerbólica no puede haber trióng?¡.[os, y por·

r .Ió tanto tampopo lig1lras más generales, q1te;. sea,!,-scmejantes sin ser congruen~es;

Esta es la' conclusión a la que' llegó WaIlis,de que el postulado de Euclides es equivalentea la existencia de triángulos semejantes nocongruentes (ver 1.~y.

..Por. otra parte,. se comprueba' inmed~~tai

mente la identidad ¡ , r; ,. .

(UVAC) '= (UYAB) : (uVBC); , .: -,1 I ',1 t •• ' '.: ..

la cual, poniendo (lJVBC) =,;(y·..CUVAC)·...:..:,.= Z, se escribe z =iy~mientras que'.Ias·¡dis7 .'. . '. !.; .~.;·:r.. ~';:'·:1 > r·.

o, • l.,' '.I ..! I .~ I

I • !", ~".! '; ~.' :'.

6.2. Distancia entre dos puntos. Se rra-:tá de definir la' distancia entre dos puntos Ay.B,. o sea, la' longitud .de un segmento dado .A:B.

.. "~o Las condiciones que se exigen a' la distancia-son:

a) Inv.arianda por movimientos. Es decir,segmentos congruentes deben' tener igual lon-.gitud. -

- b) Aditividad. Es decir, 'si A,.'B y C estánen :línea recta, debe verificarse AC =AB ++BC.

FICUl\A 42 .

Sean U y V los puntos en q'!le la recta'ABcorta n~absoluto Q, puntos que quedan biendeterminados -por el A y elB (fig. 46). Lacondición a) se 'cumple tomando como ..dís-rancia AB una función cualquiera 'cp,.a valo-res reales, de la razón doble (UVAB) = x,puesto que los movimientos conservan' las ra-zonc~ dobles. Pongamos AH =q':~~).:

¡ . ,..

': ; .. í~.' ..;

,; .

. ¡

. "

FIGURA .Ü. I ~

•••• ;. • t"

uncias respectivas' son AC '..(p (%) = <p (xy) ,AB = q>(x) y Be _.:.'.q,(y). Para 'que se:cum-pla la condición b) debe verificarse la relación

. '. :cp(xy) , q>.<x)·-·+;~6)·' "::'. '(1.>-"" I •

para todo valor de x y de y. Ésto exige, ~_:poniendo que. la función q> sea continua, que

'cp(x) =klog:x, siendo-áunaconstante arbi-• l' . ,;.' .

trarra • , . . ..'Por' costumbre 'se toma Ji:_ Yz, y 'por lo'

tanto se adopta la siguiente' :,DEFINICIÓN l. La' distancia ~ntre d~s pun- .

tos. A y B está dada po.r la expresión; !',

AB.= Yz Iog (gVAB) ", (2)siendo U.y V los puntos en 'que la re~ta·:.ABcorta al absoluto'.

Esta distancia es, salvo' un .factor constante,'

1 La soluci6h de la ·ecuación. funcional •.( 1) es in-.'mediata si se supone que cp es derivable,' B:ura observar;que, derivando respecto de x, por función de .funcién, eí.·

" ".,,<p'(xy) .:....cp'(x)~. '.':. :" '.' '0' •

Haciendo" = l/x y poniendo <p'(i)·= k, resulta",lp'(x) = k/x, de donde <P,= k log x + a, siendo a. una' , .constante de' Integración. Sustituyendo'. esta expresión.en (1) resulta que debe ser (1= O.

.....

, ,- --. ..... '-,

, ," '.' . :',:... ',:

" '

la única que, satisfac~.1as,condiciones a) y b},,'Observemo~ dos propiedades jnmediatas de

~s~a distanc~a:, '1. ',Si B~A, es (UVAA) = 1, Y por lo,

tanto la 'l~ngi,tud del segmento nulo es cero.corno debe ser. .:

, 2. Si B'~ende ~ V,!a raz6~ doble (UVAB)tiende a cero. y por lo tanto la distancia ABtiende a_; ex}.' Análogamente, si B tiende a U.(UVA.B) tiende a infinito, y por ,lo tanto ABtambién. Es decir, cualquiera que sea A sudistancia ~ JoS puntos de Q vale siempre .: eo,

FIGURA 44

Es~o j~stifica n'~evamente que a los puntosde Q se les llame "puntos del Infinito" delplano. no euclidiano .hiperbólico. .!

_9tra expresión importante de la, 'distancia'4B ,seobtiene observando que la definición decoseno .hipcrbélico está dada, para AB,. por la

,relación' ,, \ cosh 1113 ' ~ [exp AB +exp (-, AB)]

,donde exp indic'a la función exponencial (el, número e elevado al argumento indicado). Se-'

gún (2) esta ~;x:presión,se puede escribir'" cosh AB = .~«UVAB)'1/2 + (UVBA) 1/2]

de donde ,. '

, c~slé AB = Y.í[:nIVAB) + (UVBA) + 2]."1 ,,1 "

'..Teniendo en cuenta la _relación (14) delcapítulo HI, resulta que si A' y B' son los pun-

,tos conjugados de A y B, respecto de Q, sobre

. ,

la recta ~, el coseno ~p~rb6lico de Ja distan'-da AB está dado por la sencilla f6rmula .

<)?~hAB = (ABB' A') 1/2 • (3 )

B

: "

A=A' e C'

,FIGURA 45

6.3. Ángulode dos rectas. A la definí-ciÓn de ángulo entre dos rectas que se cortanen un punto P sele exigen las mismas condi-ciones a) ,y b) del apartado .anterior, Por lotanto, para tener una expresión invariante pormovimientos necesitamos poder formar, conlas dos rectas 'dadas y elementos de Q, una ra-zón doble. Pata ello observemos que por P pa-san las dos 'tangentes 11- y V a Q (imaginariaspor ser P interior a Q), y por lo tanto podemosformar la razón doble (uvab). La única com-plicación es que ah?:fa las dos tangentes son

Q

imaginarias. Este es un inconveniente gravedesde el punto de vista geométrico' puro. Encambio, desde el punto de vista analítico, de-cir que u y v:son imaginarias significa única-

, mente que los coeficientes de sus ~cuaclOnes

... " .~'; .,lo son, y como la. razón .doble de cuatro rectasde un haz es igual a la razón doble de sus coefi-

•. dentes angulares (ver 3.3) ,. el. hecho de. quelos de 'JI, y o ~ea'n imaginarios no' ~s .ningúninconveniente, puesto que se sabe. operar connúmeros complejos.. Por consiguiente, de manera completamen-

te análoga a. 'la del caso de la distancia. entredos .punros, se llega a. la conclusión de 'que elángulo entre dos rectas debe definirse median-·te la expresión '. .

i . (a,h). = k log (uvah) :. . .

siendo '11. y v las tangentes al absoluto por elvértice P.

-En este caso la constante k puededetermi-narse si se impone la condición de que el án-'guló recto debe valer .1t/2. En efecto, elígien-'do convenientemente los ejes coordenados, sepuede conseguir .que la ecuación que liga los

.coeficientes angulares, in y m', de dos rectasperpendiculares (homólogas enIa involuciónde [rectas conjugadas respecto de Q), seamm:' + 1 =O (3.7). Las tangentes son enton-ces ;jlas rectas unidas de esta' involución, o sea,

.las rectas de coeficientes angulares + i Y - i.Si a y b son rectas perpendiculares, sus coefi-cientes angulares m4 y mbcumplen la condición'. I .

...,nomb+1=0.". '; ,

~or otra part~m~-i

.C~,· i,-i,mo,mb) . ----I mo+i mb+i

_ mom''b-i(mb-mai + 1moh'6 + i(mb-' mo) + 1

1

.. i

o: bien, teniendo en cuenta (4), .

(+ i,-i, m4~~b) =-1.

Por consiguiente es (l1,h) = kIog (--1)' ycomo log (- 1) = 1(;.. si debe ser (lI,h) =.=ir/2, resulta k = 1/2;. : .

'Queda 'así, como expresión del 'ángulo dedos rectas . '.

,.~mo aplicación, observemos que si 11 y: b¡ .

: ,. . ' .. . ; . 1'," I .' .~. ~'" i

son paralelas, las rectas. u i.·v.coinciden j(:o~í:Já..,tangente. a Q en t(punto' '(úriiC6) del;·Ül!i:!.:~;y:;nito de 'a.y b, o sea;u a.v~.¡Delaqi1í· (u1Íáb)~_:_:;~""-:-1 ypor 10 tinto··'(a;h).· Ó,.és·,decir~~'elá~~':i;.gulo entre dos rectas paraléla's :es .iguál' a :cer~~/ : '.como' debe ser. .' ':/' ::.. '..¡':¡~;. ;''-;'1 !.j:;i:.~ ¡'

N.' ::'j:~.'.::. '.·.·,·.;i.:~. . .·.·.',~I~~.•.•·.·.I:,!·::.:,;, .):.; ':~\.J. . . <.r' ~¡~;/:ii:::f

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: Sea R el polo de r, F el polo de la normal m,y E·.el, polo' de la' paralela a;::::; PA a r por P.Según (6),'poniendo',n';::::;PF y a'==PE es

cos2 a!::::, (maa'm'). (SNEF)o, bien, por proyección desde A 'sobre m,

c~~~a = (SPRM) •Por otra parte, en la recta m los pares P,S y

'. M,R son conjugados y, entonces, por (3) es, cos~2d-:-'(PMRS) ='(PMSR)-l=

=[1- (PSMR) I"=[1- (SPRM) r1=, " = (1-cos2 ar1. jo

o sea,sen a = cosh'" d.

De aquí se deduce, cos a = tgh d, y' por Jotanto

l-cos atga/2=----sen- a= cosh 'ti - senh d = e_-d,

que' 'es la expresión, ya encontrada por .Lo-bachevsky, que liga el ángulo de paralelismo,

, correspondierite a un 'punto P y a una recta T,

con la distancia entre ambos ·e1ementos.

CAPíTULO VII

"GEOMETRíA NO EUCLIDIANA mPERBóLICA:

, .' ,

, ,

IIl. AREAS, y CURVAS ESPEClfAiES

':7;1~,~rea' d~l 'Irián'gWo., Volvamos de ' Introduzcamos ahora la siguiente':nuevo .a la .construcción. de las figuras 39a y DEFINICIÓN 1. Se, llama detecto', de, un'39b,' según 1a cual cadalado BC' de un trián- triángulo a la diferencia entre 2 rectos y la'gulo ABC determina u:U cuadrilátero de Sac- suma de sus ángulos interiores. "cheri .BB'C'C" con los: ángulos rectos en B', ' " , .

. y:c.~.A estos cuadriláteros, (uno para, cada lado' TEOREMA' 1'. Dos triángulos con igual 'de-'del.triéngulo) 10;5 Ilamarernos cuadriláteros.de [ecto son equ~valent~s·..Saccheri asociados al~tri,ángu'lo ABe.' : Sean los triángulos ABC y AlBICl, .con la'",De las propiedadesde 5.8 y del razonamien- construcción de la figura 39a ó 39b. Para la

, to hecho púa la 'demo'scráción del teorema 1 demostración se consideran dos casos::del capírulo ' VI, -se deducen' los siguientes • - a), Los dos triángulos tienen un lado 'igual.-lemas;' ': ,'," Sea BC:::; BICI. ', ' :,~,L~Á .I. Cada ~1Z0, de los ángulos agudos, Los, cuadriláteros de Sáccheri de los dos,~e;u'n:·cuadrilá.teTo,',d~Saccberi asociado, a u~ triángulos 'correspondienres a estos' lados' .sontrhjngulo,'es jgu~l 'a la mitad de la sumade los, .congruentes, pues llevando BC sobre BIC~, y,~ng~ll!s<del ,triángl,t~o.:" ,::' , -: '. "" " " teniendo los 'dos triángulos ig~al~ defecto,' las,

,",j ;LEMA' 2. :Tod(),:tr¡41~gulo,,es equivalente a' direcciones de los lados CC' y e1Cl" (lo mismo;,~~/quie.ra de. s~ts'¡:cuadriláteros' de Saccheri que las deBBr y BlBl') coincidirán. También::asociados. ' . ,T",¡,;, '" '; : i',' , " '.' ' , ' , los pun tos E' y Bl' ,y los C~ Y CI' deberán:,\ Por, :~quiv~ien~'e\~:,e~tien'de que tienen la . coincidir, puesto que 'en caso 'contrario ~~n~

','ini~~airea, es, decir,' 'que' pueden descompo- " driarnos un' cuadrilátero B'C'Cx'Bl' con cua-:..',ners,e en partes' respectivamente congr~entes. '~ró ángulos rectos. PO:1" lo' tanto, ~iendo e~ui-

••• I

"

-Ó, :.

valen tes 'Jos 40s cuadriláteros de Saccherí, por. el lema 2 también .lo serán los triángulos departida. .'

¡

b) Todos .Ios lados son desiguales. Supon-gamos, por ejemplo, AlGl > AG.

Al'

. FICURA 48

Será ~AlCl > ~AC > CC'. Por lo tantose puede tomar CNl = ~AICl de manera queNl 'esté sobre B~~, y prolongar el segmentootro tanto; se tiene así CAl' =CIAl (fig. 48).El triángulo G.A..lB tiene el mismo cuadrilá-t-ro de Saccheri'BC<;::'B' que el triángulo ABC,

.'puesto que por ser Al' Al" =ce' (por laigualdad de los triángulos CC'Nl y NIAt' Al")y por se,r ce' = BB', resulta Al' Al" =·BB'.Por lo tanto los triángulos 'Al'Al"M.y BB'Mson iguales, y por' consiguiente BM -:-MAl.

FleURA 49

De aquí se deduce que el triángulo AlEetiene igual defecto que el ABe y por lo tanto,por hipótesis; que el AlBlci. Corno, además,

ciene un lado i~~l concada -uno de ellos, pbi "el. .caso a) resulta probado: el- 'teorema," •. 7j~~;\··

El teorema l'nos: dice,!que~·;·ebáre:l··.de ';Uri '}~triángulo es solamente fim'ción :dé"Su ·de:fe¿to.~;~':.Ilamémosla F-(b J~Descomponiendo uii:~t~áii-t·:gulo en otros dos inediante·.'uri:l~haitS~ersál:·,cualqiiiera, -el ..defedo.:"del ItriingiIlo' :süini ,~és:'la suma' de los"defe'c'tos~b~'y- ~~I de '105 'trián~~ l.

los parciales, y como la·'nlism~~.cendición di· .aditividadse cumple 'para las are:as, resulta quela función F debe cumplir ·la: condición; .:

"). . l.,,· . :... I .

F (bl +b2)'= F'(bl)'+ P'(~2) •. (1)Esta ecuación funcional '~ieh~'pos: solución.

única (suponiendo: qué.' P seli'::contintia) :. ..'.. F (b) =';b ./:'. ". I·.~ (2)': .

• ••••• , 'o'. ',11, . • • -,'

siendo e una constante' que se elige' de 'un~ vez'

.para siempre' l. '. . :.:.....{:_:;·..:::(;I:... ;' '" .:'_'·::I'", • " o',

.. lB .: '1

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I'~ ••! . ',; '. ;*.

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FleURA' so ',,'• " I..... ; i ...

• I .

Se tiene así el importante .; 1:'. '. '. ~ : ," .: ,.

TEOREMA 2. El área.de un triángulo es pro-'porcional a SlI. dejecto. . i..'.

La fó~ula (2) Ji hemos demostrado para:'.triángulos que .tienen los tres;vértices propios ..Ella vale también, poi' pas~ al límite, paratriángulos con uno o más vértices impropios,en cuyo caso los ángulos correspondiences, porser ángulos formados. por. rectas' paralelas, 501'1:

nulos. Se tiene así :.': ~'..;' . '..•COROLARIO 1. El irelJ. da; :1tn triángülo.:.. . . '. e:

. .1 ¿ ecuación fut1cjoni (1) 'se ~~~for~:\. ~n¡1~:'(1)'.

del capítulo VI poi' el cambio ci~,variables ~ = !og.x, .-con ]0 cual la Joluc:ión (2) resulta' de b allí. encon-uada.. " .' . : .' .,' '.:"

49

. : . '

.,.~'". "

' ....." . . . .."ABe, con' el: vériic«, C. improPio .(fig. 49).

·:'!a.le".F==:c.(n:-, A-, B). .. :,COROLAllIO:·2.· 'El:: área ti" un' triánguloA'B'e'; C01I los. dos vértices B' y e' impro-

. pios (fig ...49), vale P=·c(1t-A').·/C~R.Pr.;~IC?'·j; :.Er- área de Ull tTiá~gulo

ABe, ~o11.1C?stres. vértices improPios (fig. 50),.vale F == ~JJ" '1 ';' I . . .

..

FIGURA 11.v,

/.1 • I •

En los tres casos hemos puesto 1t en lugarde dos rectos, 10 'que puede hacerse tomando launidad de medida de ángulos de manera queel ángulo recto mida 1t/i (ver 6.~). .

" .. Obsérvese que. 'CTC es el máximo valor quepuede tomar el área de 'un triángulo. Es de-cir: e» ge01;letrí~ hiper(Jólifa no hay triángu-los de. área infinitamen~e grand«, "

".TaIllPoco·los· hayen ¡la geometría elíptica,puesto que todo.el plano elíptico es finito' (c~-

.mo.se deduce de ~u:interpretación corno la su-perficie de una esfera, 'ver 2.3). Por consi-guiente' se puede enunciar, con Gauss, que el·P.9stula4o de las p~ralelas es equivalente a ad-m~tir la existencia .:tl:e triángulos de. área tangrande como se quier«. '. . .

Aunque todos, los..triángulos sean' de área. finita,' todo·.e(:p'lano. hiperbólico es 'de área'infinita (a "diferencia 'del plano elíptico). Enefecto, consideremos por un punto. O' rectasque formen cnúe sí un ángulo a == 2TC/n; ellasdeterminan el-polígono A1A2.Aa... An de vér-tices.impropios (fig. ~l). EJ.'área de este polí-

.gono ..es .F -. e (te -. . ayñ -:- TCC ( 1~-2) , quetiende a~infinirocou n..

'V.' .

50

-'.

Nota. La sel1-cilÍafórmula (2) para el área del trián~'gulo no es fácilmente generalizable a mú dimensiones.El volumen del tetraedro no puede expresarse, en geo-metría ·no euclidiana, mediante funcionés simples de suselementos. Su estudio, que empezó con 'el mismo: 10-'bachevsky, y la generalización a más de tres dimen-siones, han dad? lugar a numerosos trabajos. Uno re-ciente, que contiene abundante bibliografía', es el deBóhrn PO). _

7.2. «;::urv.asespecíales, En el plano' hi-perbólico se suelen considerar ciertas curvasespccial~s que vamos a mencionar a c~)ntitiua-'

.ción, cuyas. propiedades resultan' muy' com-prensibles a partir de su interpretación p~o-yectiva.

. . I. ,l. Ciclo '0. Circunferencia. Es el lugar geo-

métrico de 195 puntos que equidistan de otrofijo, llamado centro.

FIGURA 52

Sea el punto A y consideremos,' sobre larecta m que pasa por él, el punto M tal que(UVAM) tenga un valor constante dado, 10 I

cual equivale a decir que el segmento AMtiene una longitud dada (fig. 52). Si a es lapolar de A, y H es su punto de interseccióncon m, al girar tn alrededor. de ·A man-teniéndose (UV AM) constante, ~\l.ro,piéllse

.'.

mantendrá constante (AVUM) , , y como(AHVU) ,= -. 1y.por lo tanto' (AVHU) == 2, también 'será constante el producto(AVHU) . (AVUM) = (AVHM). En con-secuencia resulta' constante la razón doble,(AHVM). Esto nos dice (3.1 O,' al final), quela curva descripta por M es-la homológica de..

FIGUllA f3

Q' respecto de la.homología de "centro A, eje ay razón (ARUM) ~Es decirven' el modelo pro-yectivo de la geometría hiper~ólica, los ciclosestán representados por elipses transformadasdel absoluto según l!l homología especificada.

, .,2. Curva de distancia o hiperciclo~ Es el lu-

,gar .gcornétrico de los puntos que equidistande una recta dada; . ",'

Con 'las mismas not~ciones anteriores, perosuponiendo ahora que A es exterior y la rectaa secante a Q, por ser (UV1vIA) constante y(UVAR) =:- 1, el producto de estas razo-nes dobles, o sea (UVMH) , también seráconstante. Es decir, al girar 111- alrededor de Ase, mantiene constante la distancia MH, y Mdescribe' una curva de distancia: (fig. 53). Por ..0 tanto, según' el resultado anterior se tiene:las curvas de' distancia de una recta. a estánrepresentadas por cónicas homológicas de Q

, respecto de la.homología de eje, 4.Y centro en

su polo A, o sea, cónicas bitangentes a, Q end . .,, sus puntos e mterseCCIon ,con '4. ",},:'..1 ; .:

Esto prueba 'que,. en geometría híperbéliéa;las curvas de distancia no :sÓn:.rectas.~Précisa-mente, como.ya. se .ob~e.rV6!,'antes (v:e~',;1.3hpostular que Ios puntos ,;equidistantes :d.Lun~'recta y situados de un mismo' lado .de:ella: es~tán sobre otra recta,' equivale a admitir-el pos-tulado de Euclides. 1" ': : ",;'. : ., 'j: ,; ~<,>::.

j~Curva limite u,'oridclo. -Es ,toda :trayfc-,toria 'ortogonal 1 a un haz,de':rectas,paralelas."

Corresponde 'al caso e~' qu~',:et'punto A'pei:tenece a Q. Por paso al Ilmite, en' el .modeloproyectivo '(fig,' 54r¡: lás 'curVas 'esta n repre...:sentadas, ,por, cónicas -homológícas 'al'abs'Ohito.respecto de la homología' de' -centro "A,i:eje:coincidente, conIa ta'ngeii~e"J en este-punto,'.Son, por lo tanto,' cónicas' 'que tienen 'con ~Q,cuatro 'puntos comunesconfundidos en,'A;~r:as'" ",rectas que pasan por A se llaman diámetros 'del'oricíclo. : i:¡ , : ' ":'! ' '1 ',oo, ,:;~.

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FICURA. ,.04 ,1

, ,', " I ',', ' ,

Un oricicIo queda determinado poi:~ p,wi~"to límite A y uno' de sus puntos M. Dado' otro 'oricíclo determinado 'por, los, puntos ariálogosA' y M' existe. siempre ,m],:movimiento :quetransforma A en A"y M .en ,M'. Por lo tanto':'dos oriciclos cualesquierason congruentes;' "

• • '. • I • • • .' y'

1 S~ dice que ~a curva es ,un~: tr~y~tOria 'ortogo:''nal a las rectas de un haz' cuando eorea á, eltas' rectasortogonalrn.:nte. ' , ",: ,1:. I

, ' ....... :' ~.Estc,11~(:ho:~e~rD.ite'definir, en geometzia, hiperbólica, ~~ unidad absoluta de Ioagitud,..-,1h,st¡¡, '~nside~ ~1'arco de oricielo compren-, ~~; entre 'l;Jñ:,p'u~~:M:y el punto N' corres-, pendiente al' diámco:o paralelo a la tangente~n"'~f;(fig" ~4):Estos-arcos son siempre con-

, gruentes,'pues'si'MN"y'Mt.Nl. son dos de ellos,, correspcndíentes respectivamente a los puntos+ límites A,y Al, basta considerar el movimiento.:.quelleva 4- a ,Al y .M.a Ml; entonces los ori-:cidos ~respec~yo~.}~oinciden y, dad~.la' cons-

<trucción, también. N coincidid con NI.,: .j.I:' (: ..:~¡ ': :<,'L..:':'~ ', ..,', ., ," ,, " ",7.3. ¡Sobre lit Unidad de medida. Tanta

• ,'. • I ""'. ',-,>. ; •.

,~~) :J01 :;gcomc~.t~':,,~~,di~a, como en la no, .~.cli&apa,: los':ángulcs, tienen una. unidad na-~~., de medi~: ~,á.D~o .recto.: En efecto,~ ambas geometrías, .Ias .dcfinicicnes de án-

, iu.Io~, adyacentes. 'r' .d~Igualded entre, ellos" :.:-:-d,Cfiniciones;q~e entrañan la, de ángulo rec-

to-- son consecuencias inmediatas' de los con-" ,cePto.s' de recta,' ánguJ.9, Y congruencia entrefiguras, -sin necesidad de otros convenios. ''. No ocurre ~onli.m.;t~ con la .unidad de Iongi-rud, En la geometríaeuclidiana, por existir fi-guras sen1ejantes",:no~.,«;S 'posible definir una

,unidad. Je" Iongitud .con carácter absoluto apartir de Jos, ~~ma~_fundamentales. Si rodaslas figuras' cuyo :es.tudio "es el objeto de Ia'geometría se, suSti~ye.n por otras semejantes,más grandes 'o ni;isTpequeñas, todo el sistema;-lógico permanece. Invarianre, Por, esto, paradefinir: una unidad' 'de; medida para' la:.~IDngi~tudcs,:'h~y, que 1recurrir a -Ia experiencia. Elmetro, ya. 'se~que se 10 defina' como la diez-.millonésima parte :del-Cuadrante de meridiano,terrestre, o como la Iongimd .del metro patrónde/platino iridiado qu~ :se ,co~serva en París, essiempre, una, definición "experimental", ajenaa': la'~gcómetría como 'Ciencia del pensamiento.: Es, distinta ID 'que' ocurre en las geometrías

', no.euclidianas. No existiendo en' ellas figuras.' semejáritcs, basraráldefinir 'una figura cual-

quiera por sus propiedades angulares para 'po-der. ;t\?~ar una' 'de/sus' magnitudes Iongítudi-~~~~",c~mo unidad absoluta de medida. En la.geometría "díptica, siendo las rectas finitas rde igual Ióngirud, .se puede tomar ésta como

fZ

unidad absoluta. En la, geometría .hiperbólicala unida? de Iongirud pued~ ser, 'por ejemplo:a) La dis~ancla correspondiente, a un ángulo

, de paralelismo dado; b) el cateto de un trián-gulo rectángulo isósceles cuyos ángulos agudostengan un valor dado (menor de 45 °); e) Elarco de oríciclo comprendido entre uno de suspuntos y el extremo del diámetro paralelo a la 'tangente en dicho punto. ,

Para las áreas ocurre la misma, cosa. En geo-metría euclidiana la unidad es un cuadradode lado igual. a la unidad de longitud y, por 10tanto, .sín conocer previamente ésta, no sepuede definir la unidad de área. En cambio, enla geometría no euclidiana el área de cualquierfigura, definida a partir de sus ángulos Q deuna longitud absoluta como las, vistas, puedeservir corno unidad absoluta de área. En lageometría elíptica puede ser el ~rea de un'triángulo trirrcctángulo, En la geometría hi-perbólica puede ser, por ejemplo:' a) El áreade un cuadrilátero de Saccheri de hase iguala los lados Iarerales, y cuyos ángulos agudostengan un valor dado (menor de,900); b) Elárea de un triángulo equilátero cuyos ángulostengan un valor dado (menor de 60°); e) El'

'área del sector de oricielo de Iongitud iguala la unidad. ', , La' unidad !de longitud, una vez elegida,sirve para determinar la constante k dé la'fórmula de la distancia (ver 6.2), y l~ unidadde área sirve para hacer 10 propio 'con la cons'-tante e de (2) del capítulo. VII. No .habría

, ningún inconveniente en mantener desvincu-:Iadas entre s:í:ambas constantes. Sin embargo,se acostumbra a relacionarlas suponiendo quepara' figuras, infinitesimales la expresión delárea-debe coincidir con la euclidiana. Por ejern-

i plo, una vez elegida la ..unidad de.Iongítud, la:',unidad de' á.r;e~se elige de, manera tal que elárea s, de un, triángulo rectángulo isósceles, decatetos iguales ~ una longitud 'a, satisfaga la . I

relaciónIim ,(2s/~) -:- '1, para ti rendiendo acero (Coxeter [8, pág. -242]), que es la rela-ción que vale en el caso euclidiano. '

Vemos, pues" que las geometrías no eucli-dianas tienen la propiedad de poseer un mayor

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grado de',determinación que la euclidiana. Estojustifica la, frase de Gauss :en una carta ~Taurino en 1824 [18, pág. 187]: "Algunss

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veces he expresado el -deseo.de que la' georne-tría euclidiana' no fuese la verdadera, pues' aSítendríamos una medida absoluta" priori:'¡, ::":1.'

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•~. .,: .:. Ir' Jo ·t·. ~. . r, "CAPíTULO 'vm-

OTROS MODELOS PARA IJAS GEOME'OUAS NO 'EuéLIDIANA.S ,• t '. .', " ~. • :; ~~ .) 1':.. i .:::t L

. l. . . • : ~",", ! !o,, r'

8.1.. Interpretación proyeetíva de la geo-'metría no euelídiana elíptieá, Como yaobservamos antes (2.3), .el mejor modelo parala geometría no euclidiana elíptica 10 consti-tuye la geometría ordinaria sobre la esfera,con el convenio de considerar Ios puntos -dia-metralmente opuestos como un solo punto, ylas circunferencias máximas como rectas.'

Sin embargo, también cabe dar a esta geo-metríu un modelo proyectivo al; estilo del es-tudiado con detalle para la geometría hiper-bólica, .Se tiene:

La geometria ell l"ica es la geometría, sobretodo el plano proyectiuo en el, cual: a) lospunto» y las rectas son los mismos de la geo-rnetrl« pmyectivt1j b] los movimientos son laspomografias que dejan ,invarianle tena 'Cónicaima ginaria (absolttto Q del planp).

Por la condición a),. como 'dos rectas delplano proyectivo tienen siempre un punto co-mún (propio o .impropio ), resulta que no secumple el postulado de EucIj~e$, sino qué: PQrun punto exterior a una recta no pasa nin-guna paralela. Las rectas son, aparentemente,infinitas, pero por tener un solo punto impro-pio resultan líneas cerradas, y' ~demás, con lamétrica análoga :1 la del caso hiperbólico (6.2),que aquí debe tomarse de acuerdo con b),resultan de. longitud finita. ': #

Una cónica imaginaria puede definirse ana-lítica. o sintéticamente. Desde el punto de vista3n~'í{tico se trata de una Curva cuya ecuaciónes de segundo grado y carece de Runtos reales,por ejemplo X2 + y2 + 1 = O. -Si se hace el

Ir," .!

• '.\ " !';", ¡ ,l.;,,; ..'' 1', :

estudio del Capítulo IV analíticamente" no' .hayapenas diferencia entre el'caso-real y el imagi.:,'nano. 'Por ejemplo, los conceptos de. polo" Y ¡

.polar, que aPí juegan.un papel fundamental,'se estudian, por medio desusecuacíoaes, exac-'amente delmismo modosi la cónica es iinagi-'naria, _ - ' . ( , ::; , : ',... .r . L !'.!. :":,,.:

Si se quiere proceder sintéticamente J:¡aYi.ql:Íe'partir. del concepto de polarúlatl, como co-.rrespondencia biunlvoca .entre .puntos y ~t2.S.:del plano, tál que a-puntos alineados les corres-:penden rectas de un haz. Entonces los puntos .

,que pertenecen :1 su polar constituyen ¡-:-por.definición- una cónica, que puede ser, real

, o imaginada, aun siendo la poIaridad.una;éo-rrespondencia siempre real Así procede, porejemplo, Enriques (23J. ;"(,'I '; ¡' '.' ; .

Desde este punto de vista,- la. ,mayoría delos razonamientos del: capítulo' V;. sigjten' ,va-,Hendo, y dan n'$uli:ado~ .de' .ta, geometría 'elip~.tica. Respecto de las:·d.ist3nCias y, heisJ13:Y.·que .observare /1)' la distanciá'; está dada:,porla misma fórmula. del,6.2~·.sól~_que:;uora U:'y V son puntos iirutgt'lanos (cuYaS,"~oordé::""nadas se obtienen buscando los puntos: de'· ,"intersección de la recta AB. con 1:i cóDicá 'ab- .soluta}, y pam que la distancia' sea .real laconstante 1(.. debe ser imaginaria; ':b) , conesto, la fórmula para. Iavdistancia entre-dospuntos toma exactamente [a-misma fOnn3'quela (5) del capítulo VI parael ángulo dedosrectas, de manera que la dualidad se 'manifiestatambién en la medida; la longitud de.la rectaresulta finita, así como lo' es la-medida del.án-gúlo completo (el formado por todas :w' rec-

'_"-.

"

tas que pasan. por un punto); e) la suma delos, ángulos de .un triángulo es mayor que dosrectos y el área del mismo, está dada por lafórmula .F=c(A+B+C-x), que es labien conocida 'de los triángulos esféricos, yque difiere de la, ..del caso hiperbólico única-mente en que el 'defecto del triángulo es sus-

· '~twdp' por: el exceso:

.. ~?,',2~:,.Otros .'mo~cl08 para la geometría, 110::euclidiana hiperbólica. Así como la

geometría elíptica, ademá~ del modelo proyec-tivo, tiene el de la geometría sobre la esfera,

'se puede pensarsi existirá alguna superficie del· espacio ordinario :tal! que, con convenciones· adecuadas, la geometría sobre ella coincida' con

la geometría plana hiperbólica. 'La primeracondición es saber qué curvas de. la superficieharán el papel de rect-as, y la contestación es

. naruralr las rectas serán lás' geodésicas de la su-· perficíe,' o sea/ las curvas que (por lo menospara puntos. próximos)' ~e.~n Ias de longitudmínima entre .rodas las' qu~ tengan Jos mis-

,mos extremos, 'Recordemos qu~, en el caso dela geometría elíptíca, las circunferencias rnáxi--rnas. son, efectivamente, las geodésicas de laesfera.' ",:' ..' .· , El problema: así planteado fue resuelto porBeltrami [29],"~1. demosrrar que' la geometríaplana hiperbólica coincide con la geometría so-'b'~~',:un:as. supe~~iSies.·:,,espeCiales l1am~das "de

..curvatura constante.negativa", El ejemplo mássi~ple de 'estas:;~up'~rficies" pero no el único,es' el' de la llamada 'pseudoesfera, que es la su-pe!~icie ~obtenidapor :re:volu~i6n, alrededor del.eje J, de la curva Ilamada tractriz, cuya ecua-ción es ..' '!'.;', . f ','.. .. :--;.' .

;~" ±,' [v~-'~~~íoga+ V:2

_X2

].

.~, ~: " ;" . .. siendo" una constante ·tal 'que precisamente, la.curvatura.de la superficie.'es'-1/a2•

J .Esta superficie tiene el inconveniente de te-ner. una curva singular (la circunferencia AA'dela fig. 5.5). Habría'sido muy deseable tener~ mano una superficie de curvatura constante

: negativa de extensión infinita (análogamente

54

, -al . plano) y sin singularidades, pero Hilbert .demostró que tal 'superficie no existe 'en elespacio ordinario [ 35]. En cambio' existe, 'yBieberbach dio un ejemplo, en un espacio deinfinitas dimensiones [33].

Sin embargo, para zonas limitadas, la geo-metría sobrev la pseudoesfera coincide con la'de Lobachevsky-Bolyai, Un estudio detalladoen esta dirección puede verse en el libro de

y

A':I x

1

I

Schilling [1.3] ..Como su estudio 'se hace a par-'tir de la geoinerria euclidiana del espacio detres dimensiones que contiene aIa pseudoes-fera, resulta jarnbién demostrado ppr este, ca-mino que la' geometría hiperbólica no puedecontener contradicción si no la tiene la geome-tría euclidiana, Más aún, puesto que se pro-

, cede analíticamente, no puede haber contra-dicción si no la hay en la geometría analítica,es decir, al fin de. cuentas, si no.lahay en laaritmética. Esta fue la demostración de Bel-trami, en 1868, de' la índemostrabílidad ¡, del'postulado de' Euclides. . .

Resulta así que la geometría elíptica es la:de la superficie esférica (para zonas limita-das) ; superficie cuya curvatura (llamada cur-

¡

I,·11

vatura de Gauss) vale l/r' (si' la esfera tieneradio .a) ,.~Sdecir, es constante y positiva. Lageométrla 'hiperbólica es, en cambio, la geo-metría sobre las superficies. de curvatura_. l/ro Analíticamente, la diferencia entreambas superficies,' en cuanto a su comporta-mien to in trínseco, independiente del espacio .enque están contenidas, consiste en que si el ra-

. dio de la esfera es a, el de la pseudoesfera es ia, .para que la curvatura resulte,' para ambas,Igual a la inversa del cuadrado del radio. Seexplica así la observación importante de Lam-bert de que la geometría hiPerbólica coincidecon la geometria de la esfera beyo' radio es' launidad imaginaria i =Y :.l~. .Esta observación es-futiy u-til 'para construir ,.'toda la trigonorneería hiperbólica a partir' dela. trigonometría esférica ordinaria. Bastará,en efecto, dejar en -rodas sus fórmulas los án-gulos sin modificación y, en cambio, sustituirlos lados por su cociente por'í (radio de la'esfera), teniendo luego en cuenta que para.volver al campo real se pueden introducir las.funciones hiperbólicas en virtud de las rela-Clone:! .

a .sen - =.-1 senh tii

acos -. =cosh ti ;

1

de las cuales se pueden deducir las restantesfunciones trigonométricas. ~

Por ejemplo, las dos relaciones clásicas. "del. seno" y "del coseno" de los tr~ángulos esfé-ricos:

senasenA

sen bsenB

sen csehC '

'cos ti -:- cos b cos e + sen b sen e cos A ,se transforman, para la rrigonometr!a hiper-bólica, e~

senh a senh b senh c

sen A . sen B sen Ccosh a .' cosh b cosh e - senh b senh e cos A .

De aquí'se pueden d~ducir t~das la-sférmu-las de la trigonometría hiperbólica (ver, porejemplo, Norden [11], Coxeter [8], Lieb-'.mann [10]). ,

. f

8.3~El modelo de Pohicaré. . Desdé" elpunto de vista geométrico,' pa~a estudiar unasuperficie de curvatura-constante y' neg~tivi'

.es cómodo disponer "de un:'umapa" o repre-sentación de la misma sobre i.e1,plall'o;¡'o'.,sobreuna parte de éste. En 'esta represenrsciénconviene que las geodésicas·;·(rectas. de)a·.géo~.metría hiperbólica y .'paSen:: ~ :ser' curvas' "4tn~ples, por' ejemplo red¡s.: (j';'circunJereridas~ , .Una representación'. muy' útil, 'que' af inismotiempo constituye un modelo interesante .dela geometría hiperb6lica; es 'la dada por ,IPoiÍt-caré en 1882 [37J.· .. ;.: : :." i;· ....

Para estudiar esta'; representación- c~~~i~~esuponer en el plano 'un par: de ejesortogona-"lesx e y, y representar cada puntopor elaé-mero complejo z=x+'iy.iEntonces, 'Ias!ca-racterísticas de' la representación' 'd~ Poínéaréson:

l. El plano' hiperbólico esd constituido por:el semiplano euclidiano y > O~ :

y

x

u v

FIGURA 16'.'.

", .2. Los puntos son los misri1ó~del plano. Las

rectas son las semicircunferencias cúyo -cen-tro está sobre el eje' x'y, como caso limite, las.rectas perpendiculares': al eJe·x. '.". . ..

. l' .. I i;' '.: n .

3. Los movimientos sonlas transfo~mación~

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, .'. ('1).' .'.

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.con la condición de ser a, b, 'C' y á reales; yad-, be> O.' ,,,','Con estos convenios, es fácil comprobar

, "que:: " ' ,....: a) ,Una, 'recta queda determinada por dos

, ' '" ,puntos, ,., ..:',i.': b) Como ét': ej~' x 1~6 pertenece al plano

'hiperbólico, las rectas :50n ilimitadas, (no tic-'nen extremos).

j_ :.

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u e v,.FIGURA 17

, e) Dada una, recta r~UV ..¡ un punto A.que no pertenece; a" ella (lig. ) 6), las' rectasque pasan ,'por '{1.' pueden ser secantes, .no se-cantes..« {como.caso límite entre ellas. ya quepor: A: pasan :Ia~",.dos' rectas AV 'y AV)paralelas. El ángulo;U AVes el doble del án--gulo de paralelis~o';:', ' ,',"'á) Como 1~ funcíón '(1), que relaciona z

, ' 'con' z',.es analítica, da' una representación con-'forme' (es decir, :que conserva 'los ángulos),

.. ' "del semiplano y .>..:0'sobre', sí mismo. Es decir:los.movimiento; conservanlos ángulos (en el

, ..~!!~ti~~-euclidiaao) ...E~~ significa, que en e!,.w?d~!.():der.~in~~~é~19~\ángulosestán dados en:~?-verdadera magnitud. ,Naturalrnente, se tra-ta 'de .ángulos' entre circunferencias, que hayqu,e,medir por el de.las tangentes alas mismas.Por; ejemployIas rectas perpendiculares estánrepresentadas por semicircunferencias ortogo-'~!lalescon su centro en eleje x. De aquí se de-

56,

duccn todas las propiedades sobre rectas per-,pendiculares del plano hiperbólico. ;,

e) .Para, medir distancias ~ puesto que losmovimientos están dados por la ecuaciónj 1),que es la de una proycctividad entre las: va-

, riables complejas z y z', se conservan las ra-zones dobles y, por lo tanto, los mismos argu-mentos de s.z conducen a que la distancia' en-tre dos, puntos A y B esté dada' por la ex-presión ' '

x ..1D= klog CUVAB) . , ,(2)La razón doble entre los cuatro puntos U,

V, A y B hay que entenderla corno la razóndoble de Íos.números complejos que los repre-

FIGURA >9'

senran. Llamando ,u y v a las abscisas de u y V(números reales) , r al radio de la semicircun-ferencia que contiene a A y B, Y (l y'p a losángulos v CA y VeR, si C' es la abscisa del cen-tro C, recordando la fórmula general '

r

e" = cos x + i sen x ,las abscisas de U, V, A y B serán (fig. 57)':

r&= e - r , , v == e + ra == e + reia , b == e + 1'ellJ •

Por Jo tanto, aplicando (3) "del Cap. IIIresulta

(UV AB) == e~a+ 1 : e~P~ ==e'" - 1 erl! - 1

== tg eP/2) : tg (a/~)y en consecuencia

AH = /dog [tg (~/2 tg ~(aí2)]."De aquí se deduce, por ejemplo, que AU ==

=+ co, AV =- co, es decir, el eje x per-tenece al infinito" del plano, puesto que cual-q~ier punto está a una distancia infinita delrmsmo.

FIGURA 60

, I

1"

f) Las circunferencias '"no euclidianas decentro 0, por ser trayectorias ortogonales ~las circunferencias de centro sobre el eje" xque pasan por 0, resultan también circunfe-rencias ordinarias, aunque" no de centro ,0(fíg, 58). " " : : ": : '

Los oricidos son circunferencias tangentesal eje x (fig. 59). , " : ,!", ; ';

Los hiperciclos son' circunferencias q~,ecór-tan al eje x (fíg. 60): ' ' :"! J' !" '

g) "Es un ejercicio interesante construir "to- 'da la geometría hiperbólica a partir (le 'estemodelo de Poincaré. Pueden 'demostrarse 'con"él todas" las propiedades de los' capítulos 'Va VII, las cuales dan" lugar, tomadas a la" iD;::.versa, a propiedades de los .sisternas de: círcu-los del plano euclidiano. ': '1:: .."":,",

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57

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, I APl):NDICE

INFLUENCIA DE LAS GEOMETRtAS NO EUCLIDIANAS, ,

'EN LA FUNDAMENTACIúNY DESARROLLO DE LA GEOMETRtA

. '...

... !

El' descubrimiento de 'las geometrías noeuclidianas fue" para la matemática; uno de

,)os principales del siglo XIX. Tanto por el des-cubrimiento en sí, que terminó con los traba-jos y discusiones de más de dos milenios acercade la dernosrrabilidad o no del postulado deEuclides, como ,por 'las consecuencias que tuvoen la fundamentación y desarrollo de la geo-metría-y aun de otras ramas de la matemática." Con las geometrías no euclidianas, sistemaslógicos elaborados por el pensamiento con com-pleta independencia de la experiencia, se re-cuperaba el sentido platónico de la geometríay se volvía a lo que la obra de Euclides signi-ficó para 'el pensamiento.matemático. Seter-minó con la idea, de la geometría como Cien-

" cia 'del espacio o' de la realidad circundante,ideaqueaún el propio Gauss parecía sustentarcuando en I~17 escribía, en una carta a 01-bers '[18, pág. 177]: "Talvez en otra vidatengamos otros puntos de vista sobre la esen-

, cía .del espacio, que ahora nos son inasequibles.Mientras tanto, la, geometría no debería corn-

"pararse con laarirmética, que existe puramentea 'priori, sino, niás bien, ser, colocada en el'mismo plano qu~ .la mecánica."

Por otra parte, elhecho de ,obtener tan vas-to-campo de novedades con solo sustituir unpostulado por otro" despertó, por, un, lado, laidea de axiomatizar -todas las ramas de la ma-ccmátj~:l, analizando a fo~do sus principios

, 58

,básicos, y por 'otro, la afición al juego de sus-tituir postulados y obtener, así, una gran va-riedad de geometrías, muchas de ellas sin inte-rés intrínseco, pero siempre útiles para com-prender mejor las bases sobre las que descansala geometría. ,

Al primer respecto cabe señalar que fue, 'efectivamente, en la segunda mitad del si-glo XIX cuando tuvo lugar la gran revisión dela matemática desde el punto de vista del ri-gor. Conceptos usados tradicionalmente fue-ron por primera vez enunciados con claridady puestos en' el lugar que como postulado oteorema les correspondía. Ejemplo típico es elpostulado de la continuidad y la consecuentedefinición de lQS núm~¡:os reales por Dedekind.

Respecto de la fundamentación rigurosa dela geometría, el máximo exponente fue la obraFundamentos ~ie la geometría de Hilbert, dela cual existen 'numerosas ediciones y una tra-ducción castellana [25], y que puede consi-derarse como la réplica moderna de los Ele-mm tos de Euclides. Se trata de una construc-ción axiomática con todas las exigencias .delrigor lógico. Para cada axioma se prueba sujndependencia y su compatibilidad con los de-más, de manera que ya no cabe una nuevacontroversia como la suscitada por el postuladode las paralelas;

La demostración de la independencia obliga-del mismo' modo que las geometrías no

·í

II

J.¡

euclidianas sirvieron para demostrar la inde-pendencia del postulado V respecto de los de-

,más- a construir en cada caso una geometría, en la cual se niega el postulado o axioma, encuestión, manteniendo los restantes, Nacen así,

, -como ya dijimos, geometrías muy diversas:Por ejemplo, si no se, admite el postulado de

, Arquímedes, se obtienen las geometrías no ar-quimedianas, de las cuales hizo un estudiopro-fundo M. Dehn [34]. Siendo el postulado deArquímedes tan "natural" para la intuición,se comprende que, al no exigirsu cumplimien-to, la geometría, que resulta .puede presentaraspectos muy chocantes. Por ejemplo, puede'ocurrir que por un punto exterior a una rectapasen infinitas rectas no secantes y que, sinembargo, -la suma de los ángulos de un trián-gulo sea mayor que 'dos rectos. '

También se puede construir una geometría,no pitagórica, en la cual no valga, ni para fi-guras infinitesimales,' el teorema de Pitágoras.En ella cabe la posibilidad de, que dos' trián-gulos rectángulos tengan catetos iguales y dis-tinta hipotenusa, '

En ciertas construcciones axiomáticas debetornarse corno axioma el comúnmente Ila~a-do teorema de Desargues, a saber: si en dostriángulos los lados homólogos se cortan enpuntos de una recta, las rectas que unen vér-tices homólogos concurren en un punto. Si nose acepta este axioma se tienen las geometrías.no argueslanas. .

El teorema de Pappus ...Pascal (en un hexá-gono inscripto en dos rectas, con los vérticesalternativamente en 'una y otra, los puntosen que se cortan Ios pares' de lados opuestosestán en línea recta) también debe tomarsecomo postulado si no se acepta 'el de la conti-nuidad. Su no admisión conduce a las geome-trías no pascalianas, '

Todas estas geometr ías, y otras varias quese podría mencionar, han sido estudiadas condetalle. Su construcción debe hacerse casisiempre analíticamente, pues la intuición geo-métrica deja de' ser útil. Así, los puntos sonlas ternas de 'elementos de un cierto cuerpo denúmeros (ternas que constituyen las coorde-nadas homogéneas del punto) y las rectas son

las ecuaciones lineales entre :ellas, también, concoeficientes del cuerpo.rSi este cuerpo es muygeneral; se', obtienen, geometrías raras~~;Porejemplo, sí es finitcvresultanlas 'geometríás'filnitas, con' un número finito de, puntos y' de' ,rectas. Si no es conmutativo, no se cumple el,teorema de Pappus y resulta' una geometría nopascalíana. En esta, dirección, para llegar a lasgeometrías ordinarias (euclidianas o no) de-be admitirse: a) la conmutarividád del cuerpo; "b) su continuidad (que ,puede enunciarse' así:10$ elementos del cuerpo forman un espado'topológico conexo y localmente compacto}.Con estas condiciones, L. S.. Pontriaguin ,hademostrado que el cuerpo de la geometría pro- .yectiva debe ser elde 'los números reales o el,de los complejos [38]. "

Aparte de esta influencia sobre la funda-mentación, el ambiente -matemático creado',a raíz de los estudi~s: sobre las diversas geome-trías posibles motivó un gran-florecimiento deideas nuevas, que a' su vez repercutieron en eldesarrollo, de la geometria.' La posibilidad 'degeometrías' distintas 'de .Ia 'tradicional 'planteóel problema de las relaciones 'entre el espació ylas 'figuras en él con tenidas; y con ello: el 'pro-blema de los movimientos de' figuras, la defi-,'nición de movimiento -como transformación,del espacio en sí mismo, la idea' de grupo demovimientos, etcétera. ". ,: .. ' '"

El fracaso de la intuición, lejos de reducir el ;campo de la geometría fue 'un acicate parasuprogreso. Riemann abre horizontes 'inmensos'al definir el espacio como conjunto 'de' puntosdados por sus coordenadas: y con una "rné-trica", que, puede ser muy general, para medir,la distancia: entre dos de ellos o la longitud 'de"una curva' [39]. Se encuentra que la$ geome-"'trías no euclidianas son las 'correspondientes aespacios muy particulares ,(los de curvatura 'constante), caracterizados por la "libre movi-lidad", en ellos, de las figuras. Se entra de estamanera en la llamada: geornetrfa. de 'los espa- ':dos de Riernann, base 'de:,toda'la geometría,moderna y punto de partida de 'gran' númerode generalizaciones. ':', , '

Como es común en la historia de la matemá-

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. tic;:a,.por suerte para. ella, la conclusión del mi-lenario ..enigma 'del postulado de Euclides nofuco un; 'punto:'final"sino más bien.ipunto departida de' otras investigaciones y de nuevos. .'. .

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60

problemas que' aparecieron, como nueva albo-rada, justo al cerrarse el crepúsculo del Iumí-noso día que amaneció COIl Euclides. allá· en

. .Alejandría" tres siglos antes de nuestra era.

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.íNDICE "~....0,' ", "., . !.

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II, ,!. ,

PR6LOGO 5

CAPíTULO I. .Los Elementos de Euclides1.1. Euclides, 7; ,}.2. Los Elementos, 7; 1.3.:E~ postulado',V o postuladode las 'paralelas, ~.

7

I

i. :

CAPÍiu!o Il: "Las geometrías no euclidianas.1

2.1.. Las obras de Gauss, Lobschevsky y Bolyai. 12; 2.2. Las geometría,' ..no euclidianas, I.}; 2.3. La geom etr]a.no euclidiana elíptica, '104;,2.4'•.1a· "geometría' no euclidiana hiperbólica, 14; 2.f. Geometría' y, reaJid~d,;H;" ;'2.6. Nuestro' programa, 16. '" .. , "

.1 I '

CAPÍTULO 111.

,. . . -.'' ..t: ..:',:'.:.r' ¡ "

Geometría proyectiva: I. El plano proyectivo ~ysus ti-anl-':formaciones . . '. . ,,' .:'. ' . . .. '. . .. 17· . ",

".

3.1. El plano proyectivo, 17; 3:2. R.azÓn doble de cuatro ~~~'i~s:'~ui in-;. variancia 'por proyección y SeCCiQD,18; j~J. Rai~n doble de cuatro ree-.

ras, 19; 3.4. Cuaternas annónicas, 20, l~f. Teoeema .fundameiúal~'·,21; i j'

.J 1.6. Puntuales proyectivas y. perspectivas, 22;, 3.7. Involución,' 2-3; ~J;8.:.'\Proyectividad entre haces de rectas, 24; '.9. Homografias O :coline~Cio- ;. nes, 21; 3.10. Homografias particularesr Jiomologla,.26.· ,

" ', .

. ~..: ,,'.; I ~

!i.,)!

_.

CAPÍTULO IV. Geometría proyectiva: n. Las cónicas 27

4.1. Lar cónicas, 27; 4.2. Teoremas de Pascal y de Brianchon, 28; 04.1.Determinación de cónicas, 29; 4.4. Poluidad en las cónicas, 29; 4.". Ele- ' .. 'mentes conjugados, 31; 4.6. Elementos notables de uña' cónica, 31; :4.7. Homograflss que rransforman una cónica en otra; 32; 4.8. Pro- :

, yectividad entre cónicas, H. .' ..

CAPÍTULO V. Geometría no euclidiana hiperbólica: 1. Propiedades gráficas H·

,.,1. El modelo proyectivo del .plano no euclidiano, 34; f:2. Los 'movi- :mientes del plano .no euclidiano, 35; 1.3. Ángulos rectos, 36; 1.4.. Loscuatro primeros postulados de Euclides, 37; 5.5. El quinto postulado, 37; .1.6: Primeras propiedades de la, geometría no euclidiana. 38; 5,7. Cons- ..trueciones -elemenrales, 39; 5.8. Cuadriláteros de Saccherí, 41.

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CAPiTuLQ VI: Geometría no euclidiana hiperbólica: n. Ángulos y dis-tancias 43

. .6.1. Suma' de los ángulos interiores de un triángulo, 43; 6.2. Distanciaentre dos puntos, 45; 6.3. Ángulo de dos rectas, :46; 6.4. Ángulo de

',. ' ..' par.;Iclismo,. 47. .

GAl?ÍTULO VII. GeomccrIa no euclidiana hiperbólica: IIl. Árcas y curvas.espccialcs . 48

7.1. Área del triángulo. ·4~; 7.2:' Curvas especiales, 50; 7.3. Sobre la'unidad de medida, 52.

).

",

CAPÍTULO VIII. Otros modelos para las geometrías 110 euclidianas' . 53

8.1. Incerprctaciónproyecriva de la geometría no euclidiana cliprica, 53;3.2. Otros modelos para la gccmerríc no euclidiana hiperbólica, 54;8.3. El modelo de Poincaré, H.

"

ApÉNDICE. Influencia de las geometrías no euclidianas en la fund:lnlcnt:t-ción y desarrollo de la geomctria . . . . . . . . . 58

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se .ae a 116 dcj ro p r im.i rel 25 de enero de 19GGen 'los' talleres 'grMicos deLA PRENSA Mi:m~A! ARGENTINAJunín 8'15 • Buenos Aires

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