geometría técnica

ESCUELA DE EDUCACIÓN TÉCNICA N° 342"Dr. Luis Pasteur"

Asignatura: DIBUJO TÉCNICO

GEOMETRÍA TÉCNICA

Profesor: Victor R. Cardoso

2º y 3º Año Secundario

Año 2009

Dibujo Técnico - Procedimientos de Geometría técnica - Victor R. Cardoso

GEOMETRÍA TÉCNICA I

PERPENDICULARES

PERPENDICULAR A UN SEGMENTO EN SU PUNTO MEDIO (MEDIATRIZ) ___1. Dibujar el segmento AB dado.

2. Con centro en A se traza un arco de radio visiblemente mayor que la mitad de AB.

3. Con la misma abertura de compás y centro en B se traza otro arco que al intersectarse con el anterior determina los puntos 1 y 2.

4. Trazar la recta determinada por los puntos 1 y 2, que se denomina mediatriz del segmento AB y lo divide en dos partes iguales.

PERPENDICULAR A UN SEGMENTO EN UN PUNTO PERTENECIENTE A ÉL __1. Dibujar el segmento EF dado y ubicar el punto P perteneciente al mismo.

2. Haciendo centro en P y con una abertura cualquiera de compás, se traza una semicircunferencia que al intersectar al segmento EF determina los puntos 1 y 2.

3. Con centro en los puntos 1 y 2, y el mismo radio se trazan dos arcos que intersectan a la semicircunferencia en los puntos 3 y 4.

4. Con la misma medida de compás, se dibujan dos arcos que al cortarse ubican el punto 5.5. La recta que une 5 con P es la perpendicular pedida.

1


PERPENDICULAR EN EL EXTREMO DE UN SEGMENTO 1. Dibujar el segmento GH dado.

2. Con centro en el extremo H trazar un arco de circunferencia de radio cualquiera, queda así determinado el punto 1 sobre GH.

3. Con la misma abertura de compás y haciendo centro en 1 dibujar un arco, que ubica el punto 2 en la intersección con el arco antes trazado.

4. Con centro en el punto 2 e igual radio,se traza el arco que determina el punto 3.

5. Con centro en los puntos 2 y 3 respectivamente, se dibujan los arcos de igual radio, que al intersectarse ubican el punto 4.

6. Uniendo el punto 4 con H se obtiene la perpendicular pedida.

2


PERPENDICULAR A UN SEGMENTO DESDE UN PUNTO EXTERIOR

1. Dibujar el segmento AB dado, y ubicar el punto Q exterior al mismo.

2. Haciendo centro en Q trazar un arco de circunferencia que intersecte al segmento AB en los puntos 1 y 2.

3. Con centros en 1 y 2 respectivamente se dibujan dos arcos de igual radio que se intersectan en el punto 3.

4. Trazar la recta determinada por los puntos Q y 3, siendo ésta la perpendicular pedida.

3


PARALELAS

PARALELA A UNA RECTA POR UN PUNTO DADO

1. Dibujar la recta r y ubicar el punto S no perteneciente a la misma, siendo ambos dados.

2. Trazar una semicircunferencia con centro en cualquier punto de r, pero con la condición que pase por el punto s. Al intersectar a r determina los puntos 1 y 2.

3. Con radio 1S y haciendo centro en 2 se dibuja el arco que determina en la semicircunferencia el punto 3.

4. La recta que une S con 3, es la paralela a la recta r.

4


5


DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN NUEVE PARTES IGUALES ___1. Dibujar el segmento CD dado.

2. Trazar una semirrecta oblicua al segmento, cuyo origen coincida con uno de los extremos del mismo, por ejemplo el punto C.

3. Sobre la semirrecta, con el compás marcamos nueve divisiones C1', 1'2', 2'3', ...........,8'9', de longitud cualquiera pero iguales.

4. Unir el punto 9' con el extremo D.

5. Trazar las paralelas al segmento 9'D por los puntos 1', 2', 3', etc., que intersectan al segmento CD en los puntos 1, 2, 3, etc., correspondientes a las divisiones pedidas

6


ÁNGULOS

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

1. Dibujar el ángulo ABC dado.

2. Con centro en el vértice B y cualquier abertura de compás, trazar un arco de circunferencia que intersecta al segmento AB en el punto 1 y al segmento BC en el punto 2.

3. Haciendo centro en los puntos 1 y 2 respectivamente dibujar dos arcos de igual radio que se cortan determinando el punto 3.

4. La recta que une los puntos 3 y B es la bisectriz del ángulo dado.

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO EN CUATRO PARTES IGUALES

1. Dibujar el ángulo RST dado.

2. Con centro en el vértice S y cualquier abertura de compás trazar un arco de circunferencia que intersecta al segmento RS en el punto 1 y al segmento ST en el punto 2.

3. Haciendo centro en los puntos 1 y 2 respectivamente dibujar los arcos de igual radio que se cortan determinando el punto 3.

4. Trazar la recta que une los puntos S y 3 la que resulta ser la bisectriz del ángulo RST.

7


5. Aplicando el procedimiento conocido trazar la s bisectrices de los ángulos RS3 y 3ST, quedando así dividido el ángulo RST en cuatro ángulos iguales.

8


DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO EN TRES PARTES IGUALES

9


1. Dibujar el ángulo recto POQ, dado.

2. Con centro en O trazar un arco de circunferencia de radio cualquiera que interseca al segmento OP en el punto 1 y al OQ en el punto 2.

3. Con la misma abertura de compás y centro en 1 dibujar un arco que corta al anterior determinando el punto 3.

4. Repetir el procedimiento pero con centro en 2, obteniendo el punto 4.

5. Dibujar las semirrectas con origen en el punto O, y que contienen a los puntos 3 y 4. Queda así dividido el ángulo POQ en tres partes iguales.

10


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DE VÉRTICE INACCESIBLE

1. Dibujar las rectas AB y CD dadas que se cortan fuera de los límites de la hoja de dibujo.

2. Haciendo centro en los puntos O1 y O2 cualesquiera de las rectas dadas (preferentemente que no se hallen alineados sobre una vertical) y con cualquier abertura de compás trazar las dos semicircunferencias que al intersectar a las rectas dadas determinan los puntos 1 y 2, y también 3 y 4.

3. Con el mismo radio y centros en 1 y 2 dibujar los arcos que al cortar a la semicircunferencia definen los puntos 5 y 6.

4. Repetir el procedimiento con centros en 3 y 4, para hallar los puntos 7 y 8.

5. Dibujar las rectas definidas por 5-6 y 7-8 que determinan un ángulo.

6. Por el método conocido trazar la bisectriz del nuevo ángulo hallado, la que resulta ser también la del ángulo dado.

11


ÁNGULO IGUAL A OTRO DADO

1. Dibujar el ángulo XYZ dado.

2. Trazar una semirrecta horizontal cuyo origen designamos Y'.

3. Con centro en Y dibujar un arco de circunferencia de radio cualquiera que interseca a los lados del ángulo dado en los puntos 1 y 2.

4. Con la misma abertura de compás y centro en Y' trazar un arco que determina en la semirrecta el punto 1'.

5. Con radio 1-2 y haciendo centro en 1' describir un arco de circunferencia que se corta con el anterior en el punto 2'.

6. Dibujar la semirrecta de origen en Y' que contiene al punto 2'. Queda así definido un ángulo igual al dado.

.

12


ÁNGULO IGUAL A LA SUMA DE OTROS DOS DADOS

1. Dibujar los ángulos ABC y DEF dados.

2. Describir una semirrecta horizontal cuyo origen denominamos O.3. Haciendo centro en O se traza un arco con cualquier radio que corta a la semirrecta en el punto 1'.

4. Con la misma abertura de compás mediante un arco se determinan los puntos 1 y 2 en el ángulo ABC y los puntos 3 y 4 en el ángulo DEF.

5. Con centro en 1' y radio igual a 1-2 dibujar el arco que al intersectar el ya trazado ubica el punto 2'.

6. Se determina la abertura 3-4 y utilizando 2' como centro, por medio del arco se define en la intersección el punto 4'.

7. Trazar la semirrecta de origen O que contiene a 4', la que define el ángulo igual a la suma de los dos dados.Observación: Para el caso de la diferencia de ángulos, a partir de 2' el arco se traza en sentido contrario.

13


TRIÁNGULOS

TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL LADO (Utilizando compás)

1. Dibujar el lado AB dado.

2. Con centro en A y radio AB describir un arco de circunferencia.

3. Haciendo centro en el punto B y con el mismo radio AB trazar un arco que corte al anterior.

4. El punto de intersección es el vértice C del triángulo.5. Unir mediante líneas rectas A con C, y B con C para completar el triángulo equilátero pedido.

14

A B

C


TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL LADO (Utilizando escuadra)

1. Trazar el lado AB dado.

2. A partir del punto A y utilizando la regla T y escuadra de 60° dibujar una semirrecta que forme 60° con el lado dado.

3. Girar la escuadra para repetir el procedimiento y trazar una semirrecta de origen B hasta intersectar a la anterior en el punto C. Queda de esta manera completo el triángulo equilátero.

Observación: Si el lado AB estuviese inclinado, las semirrectas que determinan 60° se dibujan utilizando dos escuadras.

15

A B

C


TRIÁNGULO DADOS SUS TRES LADOS

1. Dados los tres lados AB, BC y AC trácese el lado AB.

2. Haciendo centro en A y con radio igual a AC dibujar un arco de circunferencia.

3. Con centro en B y radio BC describir un arco hasta intersectar el anterior en el punto C, que resulta ser el tercer vértice del triángulo.

4. Unir A con C, y B con C mediante segmentos de recta, completando el triángulo pedido.

16

A B

C

A C

B C


TRIÁNGULO RECTÁGULO DADOS SUS CATETOS

1. Dibujar el cateto AB dado.

2. Trazar por el extremo A la perpendicular r al lado AB.

3. Haciendo centro en A y con una abertura de compás igual al cateto AC dado, describir un arco de circunferencia que intersecte a la recta r, determinando así el vértice C.

4. Unir B con C para completar el triángulo pedido.

17

A B

CA C

r


TRIÁNGULO RECTÁNGULO DADOS UN CATETO Y LA HIPOTENUSA

1. Dibujar la hipotenusa AB dada.

2. Trazar la mediatriz del segmento AB y ubicar el punto medio M.

3. Haciendo centro en M y con radio MA describir la semicircunferencia de extremos A y B.

4. Con centro en B y radio igual al cateto BC trácese un arco que intersecte a la semicircunferencia. Dicho punto es el vértice C.

5. Uniendo A con C, y B con C hallamos el triángulo pedido.

18

A B

C

B C

CM


TRIÁNGULO ISÓSCELES DADOS SUS LADOS IGUALES Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO

1. Trazar el lado AB dado.

2. A partir del extremo B dibujar un ángulo igual al dado.

3. Haciendo centro en B y con radio BA, mediante un arco que intercepte a la semirrecta trazada determinamos el vértice C.

4. Unir A con C para completar el triángulo pedido.

CUADRILÁTEROS

CUADRADO DADO EL LADO (Utilizando escuadra)

19

A B

C

a

a


1. Dibujar el lado AB dado.

2. Por los puntos A y D trazar perpendiculares al lado AD.

3. Utilizando la escuadra de 45° ubicar el punto C en la intersección de la línea a 45° y la perpendicular que pasa por D.

4. Por el punto C dibujar la paralela a AD y completa el cuadrado.

CUADRADO DADA LA DIAGONAL (Utilizando escuadra)

20

A

B C

D


1. Dibujar la diagonal EG dada.

2. Utilizando la regla T y la escuadra de 45° trazar con extremo en G dos semirrectas que con la diagonal determinan ángulos de 45°.

3. Repetir el procedimiento en el extremo E hasta interceptar en F y H a las descriptas anteriormente, completándose así el cuadrado.

CUADRADO DADA LA DIAGONAL (Utilizando regla y compás)

21

E G

F

E


1. Trazar la diagonal IK dada.

2. Mediante la mediatriz, determinar el punto medio M.

3. Con centro en M y radio MK describir una circunferencia.

4. Ubicar los puntos J y l de intersección de la mediatriz con la circunferencia.

5. Unir los puntos I, J, K y L para lograr el cuadrado pedido.

22

I K

J

L

M


RECTÁNGULO DADOS LOS LADOS

1. Trazar el segmento MP de longitud igual al lado b del rectángulo.

2. Por el extremo P dibujar la perpendicular al segmento MP.

3. Con una abertura de compás igual a la longitud del lado a, y con centro en P, mediante un arco ubicamos el vértice O.

4. Haciendo centro en M y radio igual al lado a, describir un arco de circunferencia.

5. Con centro en O y una abertura de compás igual al lado b, trácese un arco hasta interceptar al anterior determinando el punto N.

6. Uniendo los puntos obtenidos se construye el rectángulo pedido.

23

M P

ON

a

b


ROMBO DADAS LAS DIAGONALES

24


1. Trazar la diagonal d1 dada, de extremos Q y S.

2. Dibujar la mediatriz del segmento QS ubicando el punto medio M.

3. Dividir en dos partes iguales la diagonal d2 dada.

4. Con centro en M y radio igual a la mitad de d2, mediante dos arcos de circunferencia determinamos los extremos R y T de la misma.

5. Unir los puntos Q y S con R y T obteniendo el rombo pedido.

25


RECTÁNGULO DADOS UNA DIAGONAL Y UN LADO

1. Trácese la diagonal UW dada.

2. Determinar por medio de la mediatriz el punto medio M.

3. Con centro en M y radio MU describir una circunferencia.

4. Haciendo centro en U y W y con una abertura de compás igual al lado I dado, trazar dos arcos que intersecten a la circunferencia, ubicando así los puntos V y X.

5. Unir los puntos U y W con V y X respectivamente para obtener el rectángulo pedido.

26

U

V

W

X

M

l


POLÍGONOS

PENTÁGONO REGULAR INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar la circunferencia de centro O dada y trazar los diámetros horizontal JK y vertical AL respectivamente, llamados ejes de la circunferencia.

2. Localizar el punto A de intersección del eje vertical con la circunferencia.

3. Ubicar mediante la mediatriz el punto medio del segmento OK.

4. Haciendo centro en M y con radio AM, trácese un arco hasta interceptar al diámetro horizontal, determinando allí el punto 1.

5. Con abertura de compás A1 y centro en A describir un arco que intercepte a la circunferencia, definiendo el punto B. El segmento AB es uno de los lados del pentágono.

6. Utilizando el compás con abertura igual a AB, con centro en B, trazar el arco que intersecta a la circunferencia ubicando el vértice C, y así sucesivamente transportamos sobre la misma la longitud del lado AB para definir los vértices restantes D y E.

7. Unir los vértices hallados para completar la construcción del pentágono.

27

A

B

C D

E

J KO M

L

1


HEXÁGONO REGULAR INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar la circunferencia de centro O dada.

2. Trazar un eje de la misma, por ejemplo el vertical, definiendo el diámetro AD.

3. Con centro en A y radio igual al de la circunferencia, describir un arco que la intersecte en dos puntos, B y F.

4. Repetir la operación anterior pero haciendo centro en D, se ubican así los puntos C y E.

5. Unir A, B, C, D, E, F y A para obtener el hexágono.

28

A

B

C

D

E

F

O


HEPTÁGONO REGULAR INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA

1. Trazar la circunferencia de centro O dada, con sus ejes, y localizar el punto A de intersección del eje vertical con la misma.

2. Haciendo centro en A y con radio igual al de la circunferencia trácese un arco que la intersecte en dos puntos, determinando 1 y 2.

3. Dibujar el segmento 1-2 que en su intersección con el diámetro vertical ubica el punto 3. La longitud del segmento 1-3 es la del lado del heptágono pedido.

4. Utilizar el compás y con una abertura 1-3 transportamos consecutivamente a partir de A dicha medida sobre la circunferencia, para ubicar los restantes vértices.

5. Unir dichos puntos para obtener el heptágono pedido.

29

A

B

C

D E

F

G

1 23

O


OCTÓGONO REGULAR INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar la circunferencia de centro O dada.

2. Trácense los diámetros perpendiculares AE y CG, quedan así determinados sobre la circunferencia cuatro vértices del octógono.

3. Dibujar las bisectrices de los ángulos rectos definidos por los diámetros antes trazados, con lo que se determinan sobre la circunferencia los otros cuatro vértices del octógono.

4. Unir consecutivamente los vértices hallados obteniéndose el polígono pedido.

30

A

B

C

D

E

F

G

H

O


POLÍGONO REGULAR INSCRIPTO – MÉTODO GENERALAplicación: ENEÁGONO

1. Dibujar la circunferencia de centro O dada y trazar sus ejes localizando el punto A de intersección del eje vertical con la misma.

2. Con el procedimiento conocido, dividir el diámetro vertical en tantas partes iguales como lados tenga el polígono a construir. (En nuestro ejemplo: nueve).

3. Numerar a partir de A, los extremos de los segmentos definidos: A1; 12; 23; etc.

4. Haciendo centro en uno de los extremos del diámetro dividido y con radio igual al mismo se traza un arco que intersecta a la prolongación del eje horizontal, determinando el punto V.

5. Dibujar la semirrecta de origen V que pasa por el punto 2 la que al intersectar a la circunferencia ubica el vértice B. El segmento AB es un lado del polígono pedido.

6. Con abertura de compás igual a AB, transportar consecutivamente a partir de B dicha medida sobre la circunferencia, para ubicar los vértices restantes.

7. Unir dichos puntos para lograr el polígono pedido.

31

AB

C

D

E F

G

H

I

VO

12345678

9


PENTÁGONO REGULAR DADO EL LADO Método PARTICULAR

1. Dibujar el lado FG dado y prolongar el mismo a partir de G.

2. Por el extremo G trazar la perpendicular al segmento FG.

3. Haciendo centro en G y con radio igual al lado FG describir un arco que interseca a la perpendicular determinando el punto 1.

4. Dibuje la mediatriz de FG para ubicar su punto medio M.

5. Con centro en M y abertura de compás M1 trácese un arco que interseca a la prolongación del lado FG definiendo el punto 2.

6. Con radio F2 y haciendo centro respectivamente en F y G describa dos arcos que se cortan ubicando el punto I, vértice superior del pentágono.

7. Con centro en i y radio igual al lado dado trácese dos arcos.8. Haciendo centro en F y G respectivamente e igual abertura de compás que la empleada anteriormente se dibujan dos arcos, que intersecan a los descriptos en la operación n°7 determinando los vértices H y J.

9. Unir consecutivamente los puntos G, H, I, J y F obteniendo el pentágono.

32

F G

H

I

J

M

1

2


POLÍGONO REGULAR DADO EL LADOMétodo General Aplicación: HEPTÁGONO

1. Dibujar el lado AB dado y trazar la mediatriz del mismo.

2. Con centro en B y radio AB describir un arco que interseca a la mediatriz definiendo el punto T.

3. Trácese el segmento BT y divídalo en seis partes iguales.

4. Transportar a partir de T, sobre la mediatriz segmentos de longitud igual a la sexta parte, del segmento BT. Así se determinan los puntos O1, O2, O3, ..., etc., Siendo éstos los respectivos centros de las circunferencias en las que se inscriben los polígonos regulares: heptágono, octógono, eneágono, etc. De lado AB. Observar que T es el centro de la circunferencia, en que se inscribe el hexágono.

5. Trazar la circunferencia con centro en O1 y con abertura de compás igual a AB, transportar dicha medida sobre la misma, para ubicar los restantes vértices.

6. Unir dichos puntos para lograr el heptágono pedido.

33

A B

C

D

E

F

G

M

TO1O2O3


HEXÁGONO REGULAR DADA LA DISTANCIA ENTRE VÉRTICES

1. Dibujar el segmento horizontal DG de longitud igual a la distancia dada entre los vértices.

2. Utilizando la regla T y la escuadra de 30° trazar las semirrectas de origen D que determinan ángulos de 30° con la horizontal.

3. Con la misma escuadra trácense las semirrectas de origen G que forman ángulos de 60° con la horizontal.

4. Ubicar los puntos H y F de intersección de las semirrectas dibujadas.

5. Repetir las operaciones n°2 y n°3 con origen G y D respectivamente definiendo los puntos I y E.

6. Unir consecutivamente los puntos D, E, F, G, H, I, y D para obtener el hexágono pedido.

34

D

E F

G

HI


HEXÁGONO REGULAR DADA LA DISTANCIA ENTRE LADOS OPUESTOS

1. Trazar una circunferencia de diámetro igual a la distancia dada, y cuyo centro coincide con el del hexágono pedido.

2. Utilizando una escuadra de 30° y regla T como se muestra en la figura, trácense las tangentes a la circunferencia que determinan los lados y vértices del polígono.

35

P

Q R

S

TU

O


TRANSFERENCIA POR EL MÉTODO DE INSCRIPCIÓN

1. Dibujar el polígono ABCDE dado y la nueva recta base.

2. Inscribir la figura en un rectángulo KLMN.

3. Transferir el rectángulo a la nueva recta base, tenemos así K1L1M1N1.

4. Utilizar el compás para transportar las distancias de cada uno de los vértices del rectángulo KLMN a los del polígono ABCDE dado, sobre el lado correspondiente al transferido, para ubicar la nueva posición A1B1C1D1E1 de los vértices del polígono.

36

A B

C

D

E

K L

MN

A1

B1L1

C1

M1D1

N1

E1

K1


TRANSFERENCIA POR EL MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

1. Dibujar el polígono ABCDE dado y la nueva recta base.

2. Dividirlo en tantos triángulos como lados tenga menos dos. (En nuestro ejemplo: 5-2=3).

3. Ubicar el lado AB en la posición pedida sobre la nueva recta base, así definimos A1B1.

4. Repitiendo, el procedimiento de la construcción de un triángulo, dados los tres lados, ya explicada, se dibuja cada uno, en su nueva posición determinando los restantes vértices C1 D1 y E1 del polígono transferido.

37

A B

C

D

E

A1

B1

C1

D1E1


CIRCUNFERENCIA

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

1. Ubicar tres puntos A, B y C cualesquiera, sobre la circunferencia dada.

2. Dibujar los segmentos AB y BC.

3. Trazar las mediatrices de los mismos.

4. Ubicar el punto O de intersección de ambas, el cual es el centro de la circunferencia dada.

38

A

B

CO


TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO DADO DE LA MISMAUtilizando dos escuadras

1. Dibujar la circunferencia dada y ubicar el punto P perteneciente a la misma.

2. Coloque una escuadra apoyada en otra escuadra, de modo que la hipotenusa de una de ellas esté alineada con el centro de la circunferencia y el punto P de tangencia.

3. Con la escuadra de apoyo sujeta en esa posición, girar la otra en un ángulo de 90° y deslícela a la posición que permita dibujar la tangente pedida.

39

O

P

t


DETERMINACIÓN DEL PUNTO MEDIO DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar el arco RS dado.

2. Unir los puntos R y S mediante el segmento de recta (cuerda del arco).

3. Trazar la mediatriz del segmento, la que al interceptar en el punto M, al arco dado lo divide en dos partes iguales.

40

O

R

S

M


CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS DADOS QUE NO ESTÁN EN UNA RECTA

1. Ubicar los puntos no alineados A, B y C dados.

2. Unir los puntos, de modo que determinen dos segmentos de recta, por ejemplo Ab y BC.

3. Trazar las mediatrices de los mismos.

4. Ubicar el punto O de intersección, el cual es el centro de la circunferencia pedida.

5. Dibujar la circunferencia con centro en O y radio OA

41

A

B

C

O


.

RECTIFICACIÓN DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar la circunferencia y la tangente a la misma en el punto R. Ubicar el punto P que determina el arco RP.

2. Trazar la recta determinada por los puntos R y P.

3. Determinar el punto medio M del segmento RP, mediante el trazado de la mediatriz.

4. Haciendo centro en R y con radio RM trazar un arco que intersecta a la recta en el punto 1.

5. Con centro en 1 y radio 1P dibujar un arco hasta que intersecte a la tangente, definiendo así el punto P’.6. La longitud del segmento RP’ es la longitud aproximada del arco RP.

42

R

P

M

O

1

P' t


TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO EXTERIOR DADO

1. Dibujar la circunferencia y ubicar el punto P dados.

2. Unir el punto P y el centro O con una línea recta.

3. Trazar la mediatriz del segmento PO, para determinar el punto medio M del mismo.

4. Haciendo centro en M y con radio MO trácese un arco que intersecta a la circunferencia en los puntos T1 y T2, siendo éstos los puntos de tangencia.

5. Dibujar las rectas que unen P con T1 y P con T2, siendo éstas las tangentes pedidas.

43

P

M

O

T1

T2


TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

1. Dibujar la circunferencia de centro O1 con radio R1 y la de centro O2 con radio R2 dadas.

2. Haciendo centro en O1 y con radio R = R1 - R2 describir una circunferencia.

3. Mediante el procedimiento explicado trazar las tangentes a la circunferencia de radio r que pasan por O2, determinando así los puntos 1 y 2.

4. Trácense las semirrectas de origen O1 que pasan por 1 y 2 respectivamente, las que intersecan a la circunferencia de radio R1 definiendo los puntos T1 y T2.

5. Dibujar las semirrectas de origen O2 respectivamente paralelas a OT1 y OT2 hasta intersectar a la circunferencia de centro O2 localizando allí los puntos T3 y T4.

6. Uniendo T1 con T3 y T2 con T4 obtenemos lasa rectas tangentes pedidas.

44

O1 O2

1

2

T1

T2

T3

T4


TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

45


1. Dibujar la circunferencia de centro O1 con radio R1 y la de centro O2 con radio R2 dadas.

2. Haciendo centro en O2 y con radio R = R1 + R2 describir una circunferencia.

3. Mediante el procedimiento explicado, trazar las tangentes a la circunferencia de radio R que pasan por O1 determinando así los puntos 1 y 2.

4. Trácense las semirrectas de origen O2 que pasan por 1 y 2 respectivamente, las que intersecan a la circunferencia de radio R2 definiendo los puntos T1 y T2.

5. Dibujar las semirrectas de origen O1 respectivamente paralelas a O2T1 y O2T2 hasta intersecar a la circunferencia de centro O1 localizando allí los puntos T3 y T4.

6. Uniendo T1 con T3 y T2 con T4 obtenemos las tangentes pedidas.

46


CIRCUNFERENCIA TANGENTE A TRES RECTAS

1. Dibujar las rectas a, b y c dadas.

2. Localizar los puntos A y B de intersección de las mismas.

3. Trazar las bisectrices de los ángulos de vértices A y B respectivamente.

4. Ubicar el punto O de intersección de las mismas.

5. Trace la perpendicular n a una de las rectas dadas, por ejemplo, la normal a la recta c, que pasa por O.

6. La intersección de n con c determina el punto T1 de tangencia con ella.

7. Haciendo centro en B y con radio BT1 describir un arco que interseca a la recta b, localizando allí el punto T2, de tangencia con la misma.

8. Con centro en A y con radio AT2 dibuje el arco que al cortar a la recta a define el punto T3 de tangencia con esa recta.

9. Haciendo centro en O y abertura de compás OT1 trazar la circunferencia pedida.

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO R, TANGENTES A OTRAS DOS

47

a

T3

A T2 b B

T1n

c

O


1. Dibujar la circunferencia de centro O1 con radio R1 y la de radio O2 con radio R2, dadas.

2. Haciendo centro en O1 y con radio R + R1 describir un arco.

3. Con centro en O2 y abertura de compás igual R + R2 trazar un arco que interseca al anterior, determinando los puntos O3 y O4.

4. Haciendo centro en O3 y O4, respectivamente y con radio R dibujar las dos circunferencias pedidas.

EMPALMES

EMPALMES DE DOS RECTAS CON ARCO DE RADIO R DADO

1. Dibujar las rectas a y b dadas.

2. Ubicar el punto C de intersección de las mismas.

3. Haciendo centro en C y con radio R igual al dado, describir un arco que las intersecte, definimos así los puntos T1 y T2 de empalme.

4. Con T1 y T2 como centros y apertura de compás igual a R trazar dos arcos que se cortan determinando el punto O.

5. Con centro en O y la misma abertura de compás dibujar el arco de empalme.

1. Dibujar las rectas a y b dadas.

2. A distancia igual a R de las mismas, trazar las respectivas paralelas.

3. Localizar el punto O de intersección de ambas.

4. Trácense las perpendiculares a las rectas dadas que pasan por O.

5. Ubicar los puntos T1 y T2 donde dichas normales cortan a a y b respectivamente.

6. Siendo éstos, los puntos de empalme.

48

O1

O2

O3 O4

a b

O

a

bC

T1

T2

a

b

O

T1

T2

O

a

b

T1T2


7. Con centro en O y radio OT1 dibuje el arco de empalme.

Observación: El procedimiento puede también utilizarse si las rectas a y b dadas forman un ángulo obtuso.

EMPALME DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA CON ARCO DE RADIO R DADO

1. Dibujar la recta s y el arco de circunferencia de radio R1 y centro en O1 dados.

2. A distancia igual a R trazar la paralela a la recta s.

3. Con centro en O1 y radio igual a R + R1 describir un arco que interseca a la paralela antes trazada, localizando allí el punto O.

4. Trace el segmento OO1 que corta al arco dado en el punto T1 de empalme.

5. Dibujar la perpendicular a la recta a que pasa por el punto O, la que al intersecarla determina el punto T2 de empalme.

6. Con centro en O y radio OT2 describa el arco de empalme.

1. Dibujar la recta s y el arco de circunferencia de radio R1 y centro O1 dados.

2. A distancia igual a R trazar la paralela a la recta s.

3. Con centro en O1 y radio igual a R1 – R describir un arco que interseca a la paralela antes trazada, localizando allí el punto O.

4. Trace la semirrecta de origen O1 que pasa por O intersecando al arco dado definiendo el punto T2 de empalme.

5. Dibujar la perpendicular a la recta s que pasa por el punto O, que al intersecarla determina el punto T1 de empalme.

6. Haciendo centro en O y abertura de compás OT1 describa el arco de empalme.

EMPALME DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA Y RECTA

1. Dibujar la recta a y el arco PQ de centro O1 y radio R1 dados.

2. Trazar la semirrecta de origen O1 que pase por P.

49

O1

T1

O

T2s

O

O1T1

T2

s

Q

O1

P

t

A

O

Ta

b


3. Describa en el punto P, la tangente T a la circunferencia que define el arco PQ.

4. Trace la bisectriz b del ángulo formado por a y t.

5. Ubicar el punto O en la intersección de la semirrecta O1P y la bisectriz b.

6. La perpendicular a la recta a, que pasa por O la interseca en el punto T de empalme.

7. Haciendo centro en O y con radio igual a OP dibuje el arco de empalme.

EMPALME DE SEGMENTO DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

1. Dibujar el segmento CD y el arco de circunferencia de radio R1 y centro O1 dados.

2. Por el extremo D trazar la recta perpendicular al segmento CD.

3. Sobre la normal descripta, ubicar el punto E de modo que DE = R1.

4. Trácense el segmento EO1 y su mediatriz m.

5. En el punto de intersección de la recta determinada por D y E, con la mediatriz m ubica el punto O.

6. El segmento OO1 interseca a la circunferencia en el punto T de empalme.

7. Haciendo centro en O y con radio OD dibuje

el arco de empalme.

EMPALME DE DOS CIRCUNFERENCIAS CON ARCO DE RADIO R DADO

1. Dibuja los arcos de circunferencia, de centros O1 y O2 con radios R1 y R2 respectivamente, dados.

2. Con centro en O1 y radio igual a R + R1 trácese un arco.

3. Haciendo centro en O2 y abertura de compás igual a R + R2 describa un arco que interseque al anterior determinando el punto O.

50

m

O1

T

O

DC

E

O1

O2T1

T2O


4. Trazar las semirrectas de origen O1 y O2 respectivamente que pasan por O y determinan los puntos de empalme T1 y T2 al intersecar los arcos dados.

5. Con centro en O y radio R dibuje el arco de empalme.

1. Dibujar los arcos de circunferencia de radios R1 y R2 con centros en O1 y O2 respectivamente, dados.

2. Con centro en O1 y radio igual a R1 – R trácese un arco.

3. Haciendo centro en O2 y abertura de compás igual a R2 + R describa un arco que interseque al anterior determinando el punto O.

4. Trazar las semirrectas de origen O1 y O2 respectivamente que pasan por O y determinan

los puntos T1 y T2 de empalme, al

intersecar a los arcos dados.


1. Dibuja los arcos de circunferencia de radios R1 y R2 con centros en O1 y O2 respectivamente, dados.

2. Con centro en O1 y radio igual a R – R1 trácese un arco.

3. Haciendo centro en O2 y abertura de compás igual a R – R2 describa un arco que interseque al anterior determinando el punto O.

4. Trazar las semirrectas de origen O que pasan por O1 y O2 respectivamente y determinan los puntos T1 y T2 de empalme al intersecar a los arcos dados. 5. Con centro en O y radio R dibuje el

arco de empalme.

EMPALME DE DOS CIRCUNFERENCIAS CON ARCO DE RADIO R DADO

1. Dibuja los arcos de circunferencia de radios R1 y R2 con centros en O1 y O2 respectivamente dados.

2. Con centro en O1 y radio R + R1 trácese un arco.

51

O1

O2

O

T1

T2

O1O2

T1

T2

O

O1 O2

O

T1

T2


3. Haciendo centro en O2 y abertura de compás igual a R – R2 describir un arco que intersecte al anterior determinando el punto O.

4. Trazar las semirrectas de origen O que pasan por O1 y O2 respectivamente que al

intersecar a los arcos dados definen los puntos T1 y T2 de empalme.


EMPALME DE SEGMENTOS PARALELOS CON DOS ARCOS

1. Dibuja los segmentos AB y CD dados.

2. Por el extremo B trace la perpendicular al segmento AB definiendo el punto X en la intersección con la prolongación de CD.

3. Haciendo centro en X y radio XC describir un arco que interseca a la perpendicular determinando el punto Y.

4. Trazar la mediatriz del segmento BY, prolongándola hasta cortar a la perpendicular a CD trazada por C, definiendo así los puntos O1 y O2.

5. Con centros en O1 y O2 y radios O2B y O1C trazan los arcos de empalme.

1. Dibuja los segmentos AB y CD dados.

2. Por el centro C trace la perpendicular a CD y transporte sobre la misma a partir de c una distancia igual al radio R seleccionado, ubicando el punto O1.

3. Unir con un segmento de recta los extremos B y C a empalmar.

4. Con centro en O1 y radio R describe un arco hasta intersectar en T a BC.

5. Trazar la mediatriz del segmento BT hasta intersecar en O2 a la perpendicular a AB trazada por B.

6. Haciendo centro en O2 y abertura de compás O2B trace el arco que completa el empalme.

Victor R. CardosoRosario, 3 de Septiembre de 2009

52

A B

CD

O1 O2

X

Y

T

A B

C D

O2T

O1


GEOMETRÍA TÉCNICA II

53


ÓVALOS

OVALO DADO EL EJE MENOR

1. Dibuje el eje AB dado.

2. Traza la mediatriz m del eje AB.

3. Determina los puntos O1 y O2 de intersección de la recta m con la circunferencia de centro O y diámetro AB.

4. Dibujar las semirrectas de origen en A y en B que contienen a los puntos O1 y O2 respectivamente, las que limitarán los arcos de circunferencias que constituyen el óvalo.

5. Trazar los arcos de circunferencias que tienen centros en los puntos A y B, de radio AB.

6. Con centros en O1 y O2 trazar los arcos de circunferencias que empalman con los dos ya trazados, completando el óvalo.

ÓVALO DADO EL EJE MAYOR

1. Dibuja el eje AB dado.

2. Divide el eje en tres segmentos iguales: AO1, O1O2 y O2B.

3. Traza las circunferencias con centro en O1 y O2 y radios iguales a O1A.

4. Ubica los puntos O3 y O4 de intersección de ambas.

5. Con origen en O2 y O4 dibujar las semirrectas que contienen a los puntos O1 y O2, las que limitan los arcos de circunferencias que componen el óvalo.

6. Con centros en O3 y O4 trazar los dos arcos de circunferencias que empalmen con los anteriores, completando el óvalo.

ÓVALO DADOS LOS DOS EJES

54

A

B

OO1 O2

m

A BO1 O2

O3

O4


1. Dibuja los ejes AB y CD dados.

2. Ubica el punto O de intersección de los ejes.

3. Localiza el punto F sobre el segmento AC, tal que CF = OA – OC. Luego trazar la mediatriz m de AF y ubicar los puntos O1 y O2 de intersección con las rectas que contienen a los ejes dados.

4. Con centros en O1 y O2 dibujar los arcos de circunferencias de radios O1A y O2C respectivamente, que componen el óvalo.

5. Los dos arcos de circunferencias que lo completan, tienen centros en los puntos O3 y O4, determinados por simetría.

Observar que las semirrectas de origen en O2 y O4 que contienen a O1 y O3 definen los puntos de empalme.

OVOIDE DADO EL EJE MENOR

1. Dibuja el eje CD dado.

2. Con centro en el punto medio O se traza la circunferencia de diámetro CD.

3. Traza la normal al eje dado que pasa por O e intercepta en O1 a la circunferencia.

4. Dibujar las semirrectas m y n de origen en C y D que contiene a O1.

5. Con centro en C y radio CD se traza a partir de D un arco de circunferencia hasta interceptar a m

6. Con centro en D y con el mismo radio trazar el arco de circunferencia a partir de C hasta interceptar a la semirrecta n.

7. Con centro en O1 dibujar el arco de circunferencia que empalme con los dos anteriores y completa el ovoide.

OVOIDE DADOS LOS DOS EJES

55

A B

C

D

Fm

O1

O2

O3

O4

O



2. Localiza el punto O de intersección de los dos ejes.

3. Se ubica sobre el segmento AD el punto F, tal que AF = OD – OA. Luego trazar la mediatriz m del segmento DF y localizar los puntos o1 y O2 de intersección con las rectas que contienen a los ejes dados.

4. Con centros en O1 y O2 dibujar los arcos de circunferencias de radios O1D y O2A respectivamente, que componen el ovoide.

5. Con centro en O traza la semicircunferencia de radio OA.

6. Con centro en el punto O3 simétrico de O2 y radio O3B se dibuja el arco de circunferencia que completa el ovoide.

Observar que las semirrectas de origen en O2 y O3 que contienen a O1 definen puntos de empalme.

OVOIDE DADO EL EJE MAYOR

56

C

A B

D

O1

O O2O3

m

F

1. Dibuja el eje AB dado con la medida indicada utilizando el tipo de línea F.

2. Dividimos el segmento AB en 6 partes iguales utilizando el método de la semirrecta oblicua con compás.

3. Numeramos cada punto desde el extremo B hacia arriba, (B, 1, 2, 3, 4, 5, A).

4. Por el punto 4 trazamos una línea perpendicular al eje AB.

5. Con centro en 4 y radio 4B trazamos un arco de circunferencia que corte a la línea perpendicular, determinando allí los puntos C y D.

6. Desde los puntos C y D trazamos dos semirrectas que contengan al punto 1.

7. Utilizando el centro 1 trazamos un arco de radio 1B entre las semirrectas, con el

centro 4, trazamos una semicircunferencia de radio 4ª por arriba de CD. Con los centros C y D unimos los arcos ya realizados completando así el ovoide pedido.

C

A B

D

O1

O O2O3

m

F

ELIPSES

MÉTODO DE LOS RADIOS VECTORES


2. Con centro en un extremo del eje menor y radio OA (semieje mayor) trazar un arco de circunferencia que intercepta al eje mayor en los puntos F1 y F2.

3. Marca puntos arbitrarios: 1; 2; 3; ....

4. Con centro en F1 y radio 1A traza dos arcos de circunferencia.

5. Con centro en F2 y radio 1B se trazan dos arcos de circunferencia, que al interceptarse con los dos anteriores determinan los puntos P1 y P2 de la elipse.

6. Con los puntos: 2; 3; ... se procede en forma similar, obteniendo otros puntos de la elipse, que permiten el trazado de la misma.

MÉTODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS

1. Con centro en el punto O, centro de la elipse, se trazan dos circunferencias de diámetros respectivamente iguales a los ejes dados.

2. Dibujar una recta que pase por O, y localizar los puntos X 1 e Y1 de intersección con las circunferencias.

3. Por X1 traza una recta paralela al eje mayor; por Y1 una recta paralela al eje menor.

4. El punto P1 de intersección de ambas rectas es un punto de la elipse.

5. Por razones prácticas conviene dividir las circunferencias en un número de partes iguales

y repetir el procedimiento, obteniendo otros

puntos de la elipse.

A B

C

D

F1 F2O

P1

P2

1 2 3

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

1. Dibuja el rectángulo RSTU circunscripto a la elipse.

2. Divide AO y OR en el mismo número de partes iguales y numerar los puntos a partir de A.

3. Dibuja las semirrectas de origen en C y que contienen a los puntos individualizados del segmento AR.

4. Trazar las semirrectas de origen en D, que contienen a los puntos numerados del segmento AC.

5. Los puntos de intersección de las semirrectas que contienen puntos numerados con el mismo dígito determinan puntos de un cuadrante de la elipse.

6. De forma análoga, o por simetría se

obtiene otros puntos de la curva.

R S

TU

A O B

C

D

1 2 3 4

1234

MÉTODO DE LA TIRA DE PAPEL

1. Sobre el borde recto de una tira de papel se marcan los puntos X, P e Y tales que XP = OC, e YP = OA.

2. Ubicar el punto X en la recta que contiene al eje mayor, y el punto Y en la recta a la que pertenece el eje menor. En esta situación el punto P determina un punto de la elipse.

3. Cambiando la posición de la tira de papel, pero conservando las condiciones dadas en el párrafo anterior, se determinan otros puntos de la elipse que permiten en trazado de la misma.

DETERMINACIÓN DE LOS EJES A PARTIR DE DIÁMETROS CONJUGADOSMétodo de RYTZ

1. Dibuja los diámetros conjugados TS y UV dados.

2. Por el punto O traza la normal n al diámetro TS.

3. Ubica sobre n el punto Q de modo que OQ = OT.

4. Se une U con Q, y con centro en el punto medio M y radio MO se dibuja un arco de circunferencia hasta interceptar la recta que contiene al segmento UQ, en los puntos X e Y.

5. Mediante rectas une X con O, e Y con O: son éstas las direcciones de los ejes mayor y menor respectivamente.

6. Limita dichos ejes: AB = 2.UY; CD = 2.UX.

A

D

C

O

Y

P

X

Y

n

Q

MU

B

X

SO

DV

A

T

C

7. Por alguno de los procedimientos conocidos se traza la elipse.

PARÁBOLA

MÉTODO DE LOS RADIOS VECTORESDados el foco y la directriz

1. Ubica el foco F y dibujar la recta d directriz de la parábola.

2. Por el punto f y perpendicular a la recta d traza el eje e de la parábola.

3. Localizar el punto Q donde el eje e intercepta a la directriz d.

4. Trazar la mediatriz del segmento QF, que en su intersección con el eje e define el vértice V de la parábola.

5. Sobre el eje e marca puntos arbitrariamente elegidos 1; 2; 3; ......

6. Por el punto 1 describe una recta n1 paralela a la directriz.

7. Con abertura de compás 1Q y haciendo centro en F, trácense arcos que al interceptar a la recta n1 determinan los puntos P y P’ pertenecientes a la parábola.

8. Repetir el procedimiento con los puntos 2; 3; ... para ubicar un número suficiente de puntos de la curva que permitan un trazado uniforme de la misma.

MÉTODO DE HACES PROYECTIVOSDados el eje, el vértice y un punto de la curva

1. Trazar el eje e, ubicar el vértice V y el punto de paso P dados.

2. Dibujar el rectángulo PQVR.

3. Dividir PQ y PR en el mismo número de partes iguales y numerar los puntos a partir de P.

4. Trazar las semirrectas de origen V que contienen a los puntos numerados del lado PQ.

5. Describir las rectas paralelas al eje e que contienen a los puntos individualizados del lado PR.

Q

d

V F 1 2 3 4

P

n1

e

6. Los puntos de intersección de las semirrectas con las rectas que contienen puntos numerados con el mismo dígito determinan puntos de la parábola.

7. Ubicar el punto P’ simétrico de P respecto del eje e, y repetir el procedimiento para completar el trazado.

MÉTODO DE LAS NORMALES AUXILIARESDados el eje, el vértice y un punto de la curva.

1. Trazar el eje e, ubicar el vértice v y el punto de paso P, dados.

2. Dibujar una recta r, paralela al eje e que pase por el punto P.

3. Describir la semirrecta de origen V que contiene al punto P.

4. Marcar sobre el eje puntos 1; 2; 3; ... arbitrariamente elegidos.

5. Por el punto 1 trazar la recta n1 perpendicular al eje, hasta intersecar a la recta r determinando el punto R.

6. Localizar el punto S de intersección de n1 con la semirrecta VP.

7. Con un segmento de recta unir V y R.

8. Por el punto S trazar una paralela al eje e, que en su intersección con RV determina un punto de la parábola.

9. Repetir el procedimiento con los puntos 2; 3; ... para ubicar, un número suficiente de puntos de la porción superior de la curva.

10. Ubicar P’ simétrico a P respecto del eje e y reiterar el método explicado.

MÉTODO DE LAS TANGENTESDadas dos tangentes y sus respectivos puntos de contacto

1. Trazar las tangentes t1 y t2, situar los puntos T1 y T2 de tangencia dados.

2. Ubicar el punto Q de intersección de las rectas t1 y t2.

3. Dividir los segmentos QT1 y QT2 en el mismo número de partes iguales, y numerar a partir de Q en distinto sentido.

4. Dibujar los segmentos que unen los puntos de igual numeración, los que resultan tangentes a la parábola, formando su envolvente pudiendo así efectuarse el trazado de la curva.

Q

5

4t1

3

2

1

T1

1'

2'

M=3'

4'

5'

T25

43

t22

1

5. La ubicación de los puntos de tangencia se tiene dividiendo el T1T2 en igual número de partes iguales que el de t1 y t2. Determinar el

punto medio M de T1T2. Las paralelas a QM trazadas por los puntos de la división efectuada

6. intersectan a las tangentes intermedias: 1-1; 2-2; ... definiendo puntos de la curva.

MÉTODO DE LAS TANGENTESDados el eje, el vértice y un punto de la curva

1. Dibujar el eje e, ubicar el vértice V y el punto de paso P dados.

2. Situar el punto P’ simétrico de P, respecto del eje e.

3. Trazar el segmento PP’ que al intersecar al eje e define el punto Q.

4. Sobre la prolongación de e marcar el punto V1 de modo que resulte QV = VV1.

5. Describir las rectas que unen el punto V1 con P y P’ las que resultan ser la tangentes a la parábola en dichos puntos.

6. Aplicar el procedimiento de las tangentes para el trazado de la curva pedida.

MÉTODO DE LAS TANGENTESDados dos puntos de la curva y la flecha

1. Ubicar los puntos A y B dados, y unirlos mediante un segmento de recta.

2. Localizar el punto medio M de AB.

3. Trazar por M una recta f de igual dirección que el eje de la parábola.

4. Marcar sobre la recta f el punto P de modo que la longitud del segmento MP coincida con la flecha dada.

5. Situar sobre la recta f el punto Q, tal que resulte PQ = MP.

6. Describir las rectas que unen el punto Q con A y B las que resultan ser las tangentes a la parábola en los puntos dados.

7. Aplicar el procedimiento de las tangentes para el trazado de la curva pedida.

e

Q PP'

V

V1

1

2

3

4

5

6 1

2

3

4

5

6

A

M

Bf

P

Q

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

DETERMINACIÓN DEL EJE, FOCO Y VÉRTICEDadas dos tangentes y sus respectivos puntos de contacto

1. Ubicar los puntos de tangencia T1 y T2; trazar las rectas tangentes t1 y t2 dadas.

2. Localizar el punto Q de intersección de las rectas t1 y t2.

3. Dibujar el segmento de recta T1T2.

4. Situar el punto medio M del segmento T1T2.

5. Trazar el segmento de recta que une el punto M con Q.

6. Describir una recta n perpendicular al segmento QM.

7. En la intersección de las rectas t1 y t2 con n se definen los puntos R y S.

8. Trácense por R y S las rectas paralelas a

t1 y t2 que al interceptarse determinan el punto U.

9. Dibujar la semirrecta de origen Q que contiene a U, al intersecar al segmento T1T2 determina el punto E.

10. Trazar la recta paralela a QM que pasa por el punto E, la que resulta ser el eje e pedido.

11. Trácense por el punto E rectas paralelas a t1 y t2, las que al intersecar a las tangentes dadas definen los puntos X e Y.

12. Por los puntos X e Y describe las rectas n1 y n2 perpendiculares a t1 y t2

T1

T2

M

Q

t1 t2

n

RS

U

E

e

XY

n1n2

F

V

respectivamente, las que se intersecan en el eje e determinando el foco F de la parábola.

13. El vértice V se ubica en la intersección del segmento XY con el eje e.

HIPÉRBOLA

MÉTODO DE LOS RADIOS VECTORESDados los focos y los vértices

1. Ubica los focos F1 y F2 y los vértices V1 y V2 dados definiendo el eje real e de la hipérbola.

2. Sobre el eje e, a partir de uno de los focos; por ejemplo F1; marca los puntos 1; 2; 3; ... arbitrariamente elegidos.

3. Con centro en F1 y abertura de compás 1V1 traza dos arcos, uno por encima y otro por debajo del eje e.

4. Haciendo centro en F2, repite la operación.

5. Con abertura de compás 1v2 y haciendo centro en F1 y F2 respectivamente, describe arcos que interceptan a los antes descriptos, determinando así puntos de la hipérbola pedida.

6. Repite el procedimiento indicado, con los puntos 2; 3; ... hasta localizar

un números de puntos que permitan el trazado uniforme de la curva.

7. Para el trazado de las asíntotas proceda de la siguiente manera: Con centro en el punto O, centro de la hipérbola y radio OF1 dibuje la circunferencia.

8. Trácense las perpendiculares al eje e por los puntos V1 y V2 las que al interceptar a la circunferencia determinan los puntos que definen las rectas a1 y a2, asíntotas de la hipérbola.

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

1. Ubica el punto P de paso y traza las asíntotas a1 y a2, localizando el punto O de intersección.

2. Traza las rectas n1 y n2 que pasan por P y son respectivamente perpendiculares a las rectas a1 y a2.

3. Sobre la recta n1 marca puntos 1; 2; 3; ... arbitrariamente elegidos.

4. Trácense las semirrectas de origen O que contienen a los puntos 1; 2; 3; ...respectivamente.

5. Ubicar los puntos 1; 2; 3; ... de intersección de las semirrectas descriptas con la recta n2.

6. Por los puntos identificados de la recta n1 dibujar las perpendiculares a ella.

7. Por los puntos determinados en la recta n2 trace las normales a esa recta.

8. Localice los correspondientes puntos P1; P2; ... de intersección de dichas normales

siendo éstos puntos de una de las ramas de la hipérbola pedida.

MÉTODO DE HACES PROYECTIVOSDados los vértices y un punto de la curva

1. Ubicar los vértices V1, V2 y el punto de paso P dado.

2. Dibujar el rectángulo PQV1R.

3. Divida PQ y PR en el mismo número de partes iguales y numere los puntos a partir de P.

4. Trace las semirrectas de origen V1 que contienen a los puntos numerados del lado PQ.

5. Describa las semirrectas de origen V2 que contienen a los puntos individualizados del lado PR.6. os puntos de intersección de las semirrectas que contienen los puntos

numerados con el mismo dígito determinan puntos de la hipérbola.

7. Ubique el punto P’ simétrico de P respecto del eje e, y repita el método para completar el trazado de una de las ramas de la hipérbola.

MÉTODO DE LAS NORMALES AUXILIARESDados los vértices y un punto de la curva

1. Ubique el punto de paso P y los vértices V1, V2 dados.

2. Describa el eje real e de la hipérbola.

P

O

a2

a1

n1

n2

e

2' 1'

P1P2

12

V1 V2

QP

R

1 2 3

1

2

3

3'

2'

1'

P' 1' 2' 3'

e

3. Dibuje las semirrectas que pasan por P y con origen en V1 y V2 respectivamente.

4. Marque sobre el eje e puntos 1; 2; 3; ... arbitrariamente elegidos.

5. Por el punto 1 trace la recta n1 perpendicular al eje e, hasta intersecar a la semirrecta V2P determinando el punto R.

6. Localice el punto S de intersección de n1 con la semirrecta V1P.

7. Mediante un segmento de recta una R y V1

8. Trace el segmento SV2, que al intersecar al RV1 define un punto de la hipérbola.

9. Repita el procedimiento con los puntos 2; 3; ... para ubicar un número suficiente de puntos de la curva.

10. Ubique el punto P’ simétrico respecto del eje e, y reitere el procedimiento anterior para

completar el trazado de una de las ramas de la hipérbola.

TANGENTES

TANGENTE EN UN PUNTO P DE LA CURVA

1. Ubique el punto P dado.

2. Con abertura de compás igual al semi-eje mayor y haciendo centro en uno de los vértices el eje menor describa un arco que al interceptar al eje mayor localiza los focos F1 y F2 de la elipse dada.

3. Trace los radios vectores F1P y F2P prolongando uno de ellos, por ejemplo F2P.

4. Dibuje la recta t, bisectriz del ángulo de vértice P y cuyos lados son el radio vector F1P

y la prolongación de F2P, la que resulta ser la tangente pedida.

V1 V2

P

e

R

S

n1

1 2

P'

F1 F2

P

t

TANGENTES DESDE UN PUNTO P EXTERIOR DE LA CURVA

1. Ubique los focos F1 y F2 de la elipse y el punto exterior P dado.2. Mediante un segmento de recta, una P con uno de los focos; por ejemplo F2 y determinar el punto medio M del PF2.

3. Describa la circunferencia de centro M y radio MP.

4. Trace la circunferencia de centro en O centro de la elipse y radio igual al semi-eje mayor de la misma.

5. Localice los puntos R y S de intersección de ambas circunferencias.

6. Trácense las rectas t1 y t2 que unen P con R y P con S respectivamente, siendo éstas las tangentes pedidas.

7. Dibuje los segmentos OR y OS.

8. Describa las rectas que pasan por F1 y son

paralelas a OR y OS las que al intersecar respectivamente a t1 y t2 definen los puntos de tangencia T1 y T2.

F1 O F2

R

S

P

M

t1

t2

T2T1

TANGENTES PARALELAS A UNA DIRECCIÓN

1. Dibuje la recta s de dirección dada.

2. Ubique los focos F1 y F2 de la elipse.

3. Por uno de los focos, por ejemplo F1 trace la recta n perpendicular a la recta s.

4. Trace la circunferencia de centro en O, centro de la elipse y radio igual al semi-eje mayor de la misma.

5. Localice los puntos R y S de intersección de la recta n con la circunferencia descripta.

6. Trácense las rectas t1 y t2 paralelas a s, que pasan por R y S respectivamente, siendo éstas las tangentes pedidas.


8. Describa las rectas paralelas a OR y OS que pasan por F2, las que al intersecar

respectivamente a t1 y t2 definen los puntos de tangencia T1 y T2.


1. Ubique el punto P, el foco F y el eje e de la parábola dada.

2. Trace por P la recta r paralela al eje de la parábola.

3. Describa el segmento de recta que une el foco F con el punto dado P.

4. Dibuje la recta t, bisectriz del ángulo formado, la que resulta ser la tangente pedida.


F1 O F2

s

n

R

S

T1

T2

t2

t1

F e

Pr

t

1. Ubique el foco F y el eje e de la parábola dada.

2. Localice el punto P exterior dado.

3. Trace la recta d, directriz de la parábola.

4. Con centro en P, y radio igual a PF describa un arco que interseque a la directriz d definiendo los puntos R y S.

5. Dibuje la mediatriz respectiva de los segmentos FR y FS, dichas rectas t1 y t2 son las tangentes pedidas.

6. Trácense por R y S las rectas r1 y r2 paralelas al eje e las que intersecan a las rectas t1 y t2 determinando los puntos de tangencia T1 y T2.

TANGENTE PARALELA A UNA DIRECCION


2. Trace la directriz d y ubique el foco F de la parábola.

3. Por el punto F describa la recta n perpendicular a la recta s.

4. Localice el punto R de intersección de la directriz d, con la recta n.

5. Trace la mediatriz del segmento FR, la que resulta ser la recta t, tangente pedida.6. Por el punto R dibujar una paralela al eje e de la parábola, la que al intersecar a la recta t determina el punto T de tangencia.


d

V F e

P

R r1 T1

t1

Sr2

T2

t2

d

V F e

R T

n

s

1. Localice los focos F1 y F2 de la hipérbola y el punto P perteneciente a la misma.

2. Trace los radios vectores F1P y F2P correspondientes al punto dado.

3. Dibujar la recta t bisectriz del ángulo F1PF2 la que resulta ser la tangente pedida.


1. Localice los focos F1 y F2 de la hipérbola, y el punto exterior P.

2. Mediante un segmento de recta una P con uno de los focos, por ejemplo F2, y determine el punto medio M del segmento PF2.

3. Describa la circunferencia de centro M y radio MP.

4. Trace la circunferencia de centro O centro de la hipérbola, y radio OV1.

5. Localice los puntos R y S de intersección de ambas circunferencias.

6. Trácense las rectas t1 y t2 que unen P con R, y P con S respectivamente, siendo éstas las tangentes pedidas.


8. Describa las rectas que pasan por F1 y son paralelas a OR y OS, las que al intersecar respectivamente a t1 y t2 definen los puntos de tangencia T1 y T2.

F1 F2

P

t

F1 F2

SR

M

P

O

T1

t1

T2

t2

TANGENTES PARALELAS A UNA DIRECCIÓN


2. Ubique los focos F1 y F2 de la hipérbola.

3. Por uno de los focos, por ejemplo F2 trace la recta n perpendicular a la recta s.

4. Con centro en O, centro de la hipérbola y radio igual al semieje transverso, describa la circunferencia principal.

5. Localice los puntos R y S de intersección de la recta n con la circunferencia.

6. Trácense las rectas t1 y t2 paralelas a s, que pasan por R y S respectivamente, siendo éstas las tangentes pedidas.


8. Describa las rectas paralelas a OR y OS que pasan por F1, las que al intersecar respectivamente a t1 y t2 definen los puntos de tangencia T1 y T2.

CICLOIDE

1. Dibuje la circunferencia ruleta, y la recta base, identificando en el punto de tangencia la posición inicial del punto P, generador de la cicloide.

2. Describa sobre la recta base a partir de P, un segmento de longitud 2r, siendo r el radio de la circunferencia.

3. Divida la ruleta y el segmento de recta en el mismo número par de partes iguales, por ejemplo 12: identificando los puntos de la división.

4. Dibuje la paralela a la base que pasa por el centro O de la ruleta, llamada recta de centros instantáneos.

F1 F2O

T2

T1R

S

n

st2

t1

O O1 O5 O8

P1

2

3

4

56

7

8

9

10

111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P5

P8

5. Dibuje rectas perpendiculares a la directriz por los puntos de la división efectuada, localizando en la recta de centros instantáneos los puntos O1, ..., O5, ..., O8, ...; que definen las sucesivas posiciones del centro de la ruleta para esa división.

6. Por los centros de la división de la circunferencia trazar rectas paralelas a la base.

7. Haciendo centro en los centros instantáneos individualizados describa el arco de circunferencia, que representa la ruleta para ese instante de la rodadura, hasta intersecar a la recta trazada por la división correspondiente, determinando así 12 puntos pertenecientes a la cicloide.

8. Una dichos puntos mediante una curva uniforme, que resulta ser la cicloide pedida.

EPICICLOIDE

1. Dibuje las circunferencias ruleta y directriz, identificando en el punto de tangencia, la posición inicial del punto P, generador de la epicicloide.

2. Describa sobre la circunferencia base a partir de P, un arco que abarque el ángulo central = 360°/n, donde n = R/r, siendo R el radio de la directriz, y r el radio de la generatriz.

3. Divida la ruleta y el arco descripto, en el mismo número par de partes iguales, por ej. 12; identificando los puntos de la división.

4. Dibuje el arco concéntrico a la base que pasa por el centro O de la ruleta, llamado línea de centros instantáneos.

P1110

9

8

7

65 4

3

2

1O

O1

P4O4 O8 P8

12

34 5 6 7 8

910

11

12

O'

5. Dibuje las semirrectas de origen en el centro O’ de la directriz, que pasan por los puntos de la división efectuada en la base, localizando en la línea de centros instantáneos los puntos O1, ..., O4, ..., O8, ...; que definen las sucesivas posiciones del centro de la ruleta para dicha división.

6. Por los puntos de división de la circunferencia generatriz, trace arcos concéntricos a la circunferencia base.

7. Haciendo centro en los centros instantáneos individualizados describa el arco de circunferencia que representa la ruleta para ese instante de rodadura, hasta intersecar al arco trazado por la división correspondiente, determinando así 12 puntos pertenecientes a la epicicloide.

8. Una dichos puntos mediante una curva uniforme, que resulta ser la epicicloide pedida.

HIPOCICLOIDE

1. Dibuje las circunferencias ruleta y directriz, identificando en el punto de tangencia, la posición inicial del punto F, generador de la hipocicloide.

2. Describa sobre la circunferencia base, a partir de P, un arco que abarque el ángulo central = 360º / n, donde n = R / r, siendo R el radio de la directriz, y r el radio de la generatriz.

3. Divida la ruleta y el arco descripto en el mismo número par de partes iguales, por ejemplo 12; identificando los puntos de la división.

4. Dibuje el arco concéntrico a la base que pasa por el centro O de la ruleta, llamado línea de centros instantáneos.

P

1

23

45 6 7 8

910

11

12

23

4

5

678

9

10

11

OP5

P9

O5O9

O'

5. Dibuje las semirrectas de origen en el centro O` de la directriz que pasan por los puntos de la división efectuada en la base, localizando en la línea de centros instantáneos los puntos ..., O5, ..., O9, ...; que definen las sucesivas posiciones del centro de la ruleta para dicha división.

6. Por los puntos de división de la circunferencia generatriz, trace arcos concéntricos a la circunferencia base.

7. Haciendo centro en los centros instantáneos individualizados, describa el arco de circunferencia que representa la ruleta para ese instante de la rodadura hasta intersecar al arco trazado por la división correspondiente, determinando así 12 puntos pertenecientes a la hipocicloide.

8. Unir dichos puntos, mediante una curva uniforme que resulta ser la hipocicloide pedida.

Victor R. CardosoRosario, 3 de Septiembre de 2009

geometría técnica

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