Geometria Plana: Elementos de geometria plana Introduo

A Geometria est apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definies e teoremas, sendo que essas definies e postulados so usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos so aceitos sem demonstrao, isto , voc deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prtica!

A Geometria permite que faamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ngulos, mdias, centros de gravidade de objetos, etc.Algumas definies

Polgono: uma figura plana formada por trs ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta so denominados lados do polgono.Os pontos de interseco so denominados vrtices do polgono. A regio interior ao polgono muitas vezes tratada como se fosse o prprio polgono

Polgono convexo: um polgono construdo de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficaro no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polgono convexo, ento todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estar inteiramente contido no polgono. Polgono No. de lados Polgono No. de lados Tringulo 3 Quadriltero 4 Pentgono 5 Hexgono 6 Heptgono 7 Octgono 8 Enegono 9 Decgono 10

Undecgono

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Dodecgono

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Polgono no convexo: Um polgono dito no convexo se dados dois pontos do polgono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que esto fora do polgono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ngulos so congruentes quando tm as mesmas medidas.

Paralelogramo: um quadriltero cujos lados opostos so paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo: 1. Os lados opostos so congruentes; 2. Os ngulos opostos so congruentes; 3. A soma de dois ngulos consecutivos vale 180o; 4. As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ngulo de 90o. Retngulo: um paralelogramo com quatro ngulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: um paralelogramo que ao mesmo tempo um losango e um retngulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e tambm quatro ngulos retos. Trapzio: Quadriltero que s possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos mdios dos lados no paralelos de um trapzio paralelo s bases e o seu comprimento a mdia aritmtica das somas das medidas das bases maior e menor do trapzio.

Trapzio issceles: Trapzio cujos lados no paralelos so congruentes. Neste caso, existem dois ngulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadriltero obtido pela retirada de um tringulo issceles menor superior (amarelo) do tringulo issceles maior. "Pipa" ou "papagaio": um quadriltero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos no so congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais so perpendiculares e que os ngulos opostos ligados pela diagonal menor so congruentes.Geometria Plana: Um tringulo equiltero

Problema: Construir um tringulo equiltero ABC no plano cartesiano sabendose que existe um ponto P que est distante 7 unidades de A, 6 unidades de B e 8 unidades de C e ao final obter a sua rea.

Soluo: Embora a soluo esteja apresentada na sequncia, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolv-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este um problema simples na sua proposio mas envolve muita matemtica para a sua resoluo. Vamos supor que exista um tringulo equiltero com lado de comprimento igual a u unidades. Podemos construir este tringulo com os vrtices nos pontos A=(0,0), B=(u,0) e C=(u/2,u.R[3]/2) do plano cartesiano. Aqui R[z] significa a raiz quadrada de z>0. Pela informao do problema, existe um ponto P=(v,w) localizado a distncias 7, 6 e 8 unidades, respectivamente dos vrtices A, B e C do tringulo. Em funo da frmula da distncia entre dois pontos no plano, podemos escrever: (Eq1) v + w = 49 (Eq2) (v-u) + w = 36 (Eq3) (v-u/2) + (w-u.R[3]/2) = 64 Subtraindo membro a membro as equaes Eq1 e Eq2, obtemos o valor de v em funo de u: v = (u + 13/u)/2 Ao substituir este valor v na Eq2, obteremos duas respostas para w: w' = R[170-169/u-u]/2 w" = -R[170-169/u-u]/2 Substituindo agora v e w na Eq3, obteremos uma equao biquadrada na varivel u: u4 -149 u + 589 = 0 Tomando u=x, obteremos uma equao do 2o. grau:

x -149 x + 589 = 0 Resolvendo esta equao e voltando s variveis originais u, obtemos quatro respostas: u1=12.0389427, u2=-12.0389427, u3 = 2.01590146, u4=-2.01590146 Em princpio, eu esperava obter apenas uma soluo com u positivo! Para cada resposta obtida para u, obtemos valores correspondentes para v e para w, assim temos quatro respostas: [u1,v1,w1]=[ 12.03894270, 6.559385873,2.444270233] [u2,v2,w2]=[-12.03894270,-6.559385873,2.444270230] [u3,v3,w3]=[ 2.01590146, 4.232314683,5.575617670]

[u4,v4,w4]=[ -2.01590146,-4.232314683,5.575617670] Com um pouco de cuidado e muito clculo, observamos que [u1,v1,w1] e [u4,v4,w4] satisfazem ao problema, mas [u2,v2,w2] e [u3,v3,w3] no satisfazem ( estas so denominadas solues estranhas ao problema). Podemos agora construir os dois primeiros tringulos para esta situao: Tringulo 1: (primeiro quadrante) A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,18.05841405), P=(6.559385873,2.444270233) Tringulo 2: (segundo quadrante) A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.007950073,1.745821876) P=(-4.232314683,5.57561767) Usando um pouco a imaginao, possvel observar que existem tambm dois outros tringulos simtricos em relao ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A nica diferena que as coordenadas de w devem mudar de sinal.

Tringulo 3: (Terceiro quadrante) A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.0079501,-1.7458219) P=(-4.2323147,-5.5756177) Tringulo 4: (quarto quadrante) A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,-18.05841405) P=(6.559385873,-2.444270233) Em qualquer das 4 situaes, a rea do tringulo dada pela frmula rea = a.b.sen(U)/2, onde U o ngulo formado pelos lados de medidas a e b.

Assim, a rea do tringulo de rea maior ser A(maior) = 62.75919017 e a rea do tringulo de rea menor ser A(menor) = 1,759702435. Passatempo: Para voc aprender um pouco mais de Geometria, observe o desenho ao lado e calcule o valor de h, apenas com as informaes contidas no desenho.

O dobro da medida h corresponde mdia harmnica entre os nmeros 8 e 10, assim, voc tem uma representao geomtrica para a mdia harmnica entre dois segmentos!Geometria Plana: ngulos em um tringulo Issceles

Problema: Dado o tringulo issceles com base horizontal CF, de modo que o ngulo oposto ao segmento CF tenha A=20 graus. A partir de C trace um segmento de reta que forma um ngulo de 60 graus com o segmento CF at encontrar o lado oposto ao ngulo C no ponto D. A partir de F trace um outro segmento de reta que forma um ngulo de 50 graus com o segmento CF at tocar o lado oposto ao ngulo F no ponto B. Ligue os pontos B e D. Qual a medida do ngulo y correspondente ao ngulo ABD? Observao: Todos os detalhes desta construo podem ser vistas no desenho, em anexo. Soluo: Apresentamos uma soluo no trivial do Prof. Matias (Dep. de Matemtica da Universidade Est.de Londrina-PR) para o problema de encontrar um certo ngulo num tringulo issceles, a partir de algumas informaes dadas. Esta soluo construtiva e objetiva demonstrar que os tringulos ABD e CBE (sombreados em amarelo no desenho) so semelhantes. Tal fato seguir em virtude de ambos possurem ngulos de 20 graus e os dois lados que formam tais ngulos serem proporcionais. Usaremos a notao mais simples sen(WZ) para o seno de WZ graus.

Procedimento: 1. Tome p=m(AC) e b=m(CF), onde m(XY) a medida do segmento XY. 2. Fazendo uso da Lei dos senos sobre o tringulo ACD, temos:

AD AC P = = sen(20) sen(140) sen(140) 3. Como sen(140)=sen(40)=2sen(20)cos(20), ento: CE = b sen(50) sen(70)

4. e o segmento AD pode ser escrito em funo de p como: AD = p p = 2 cos(20) 2 sen(70)

5. Usando a Lei dos senos sobre o tringulo ABF, obtemos: AB p = sen(30) sen(130) 6. Como sen(130)=sen(50) e sen(30)=1/2, o segmento AB pode ser escrito em funo de p como: AB = p 2 sen(50)

7. Usando a Lei dos senos sobre o tringulo BCE, obtemos: CE BC = sen(50) sen(110) 8. Como os ngulos CBF e CFB tm medidas iguais a 50, o tringulo BCF issceles, assim m(BC)=b. 9. Como sen(110)=sen(70), segue que: CE b = sen(50) sen(70) 10. Dessa forma, podemos escrever a medida do segmento CE em funo de b como: CE = 11. Observamos que: AD = p p e AB = 2 sen(70) 2 sen(50) b sen(50) sen(70)

12. Com a diviso de AD por AB obtemos o mesmo valor numrico que a diviso de CE por b, o que significa que: AD AB13.

=

CE b

=

CE BC

A ltima proporo garante que os segmentos AD e AB so proporcionais aos segmentos CE e BC, pois formam o ngulo de BAD de 20 graus no tringulo BAD e o ngulo BCE de 20 no tringulo BCE, garantindo que os tringulos ABD e CBE so semelhantes. Como m(CBE)=50 e m(ABD)=y e como os ngulos CBE e ABD so congruentes, segue que y=50 graus. Logo, o ngulo ADB mede 110 e o ngulo BDC mede 30, o que garante que o ngulo BDF mede 70 graus. O resto fcil!

14.

Comentrio: Talvez existam outras solues mais simples para este problema, mas esta muito bonita. Caso conhea outra forma para a resoluo do problema, voc poder enviar-me que eu publicarei em minha Home Page, dando o crdito ao "resolvedor".

Geometria Plana: Crculo, Circunferncia e Arcos Importncia da circunferncia Circunferncia e Crculo Pontos interiores e exteriores Raio, corda e dimetro Posies de reta e circunferncia Propried. de secantes e tangentes Circunferncias e tangentes Polgonos circunscritos Arco de circunf. e ngulo central Propriedades de arcos e cordas Polg.inscritos na circunferncia ngulos inscritos ngulo semi-inscrito e arco capaz Cordas e segmentos

A importncia da circunferncia

A circunferncia possui caractersticas no comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a nica figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posio aparente. tambm a nica figura que simtrica em relao a um nmero infinito de eixos de simetria. A circunferncia importante em praticamente todas as reas do conhecimento

como nas Engenharias, Matemtica, Fsica, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e tambm muito utilizado na indstria e bastante utilizada nas residncias das pessoas.Circunferncia e Crculo

Circunferncia: A circunferncia o lugar geomtrico de todos os pontos de um plano que esto localizados a uma mesma distncia r de um ponto fixo denominado o centro da circunferncia. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicaes.

Crculo: (ou disco) o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distncia a um ponto fixo O menor ou igual que uma distncia r dada. Quando a distncia nula, o crculo se reduz a um ponto. O crculo a reunio da circunferncia com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No grfico acima, a circunferncia a linha de cor verde-escuro que envolve a regio verde, enquanto o crculo toda a regio pintada de verde reunida com a circunferncia.Pontos interiores de um crculo e exteriores a um crculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um crculo so os pontos do crculo que no esto na circunferncia.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um crculo so os pontos localizados fora do crculo.Raio, corda e dimetro

Raio: Raio de uma circunferncia (ou de um crculo) um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferncia e a outra extremidade num ponto

qualquer da circunferncia. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC so raios.

Corda: Corda de uma circunferncia um segmento de reta cujas extremidades pertencem circunferncia. Na figura, os segmentos de reta AC e DE so cordas. Dimetro: Dimetro de uma circunferncia (ou de um crculo) uma corda que passa pelo centro da circunferncia. Observamos que o dimetro a maior corda da circunferncia. Na figura, o segmento de reta AC um dimetro.Posies relativas de uma reta e uma circunferncia

Reta secante: Uma reta secante a uma circunferncia se essa reta intercepta a circunferncia em dois pontos quaisquer, podemos dizer tambm que a reta que contm uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferncia uma reta que intercepta a circunferncia em um nico ponto P. Este ponto conhecido como ponto de tangncia ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P o ponto de tangncia e a reta que passa pelos pontos E e F uma reta tangente circunferncia.

Observaes: 1. Raios e dimetros so nomes de segmentos de retas mas s vezes so tambm usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON o raio da circunferncia, mas usual dizer que o raio ON da circunferncia mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.

2. Tangentes e secantes so nomes de retas, mas tambm so usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente circunferncia que passa pelos pontos P e Q mas tambm pode ser o segmento de reta tangente circunferncia que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contm a corda BC e tambm pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta s, secante a uma circunferncia de centro O, intercepta a circunferncia em dois pontos distintos A e B e se M o ponto mdio da corda AB, ento o segmento de reta OM perpendicular reta secante s.

2. Se uma reta s, secante a uma circunferncia de centro O, intercepta a circunferncia em dois pontos distintos A e B, a perpendicular reta s que passa pelo centro O da circunferncia, passa tambm pelo ponto mdio da corda AB.

3. Seja OP um raio de uma circunferncia, onde O o centro e P um ponto da circunferncia. Toda reta perpendicular ao raio OP tangente circunferncia no ponto de tangncia P.

4. Toda reta tangente a uma circunferncia perpendicular ao raio no ponto de tangncia.Posies relativas de duas circunferncias

Reta tangente comum: Uma reta que tangente a duas circunferncias ao mesmo tempo denominada uma tangente comum. H duas possveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. Tangente comum interna Tangente comum externa

Ao traar uma reta ligando os centros de duas circunferncias no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangncia, um em cada circunferncia, esto no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangncia, um em cada circunferncia, esto em semiplanos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. Circunferncias internas: Uma circunferncia C1 interna a uma circunferncia C2, se todos os pontos do crculo C1 esto contidos no crculo C2. Uma circunferncia externa outra se todos os seus pontos so pontos externos outra.

Circunferncias concntricas: Duas ou mais circunferncias com o mesmo centro mas com raios diferentes so circunferncias concntricas. Circunferncias tangentes: Duas circunferncias que esto no mesmo plano, so tangentes uma outra, se elas so tangentes mesma reta no mesmo ponto de tangncia. Circunf. tangentes externas Circunf. tangentes internas

As circunferncias so tangentes externas uma outra se os seus centros esto em lados opostos da reta tangente comum e elas so tangentes internas uma outra se os seus centros esto do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferncias secantes: so aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se AP e BP so segmentos de reta tangentes circunferncia nos ponto A e B, ento esses segmentos AP e BP so congruentes.Polgonos circunscritos

Polgono circunscrito a uma circunferncia o que possui seus lados tangentes circunferncia. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferncia est inscrita no polgono. Quadriltero circunscrito Tringulo circunscrito

Propriedade dos quadrilteros circunscritos: Se um quadriltero circunscrito a uma circunferncia, a soma de dois lados opostos igual a soma dos outros dois lados.Arco de circunferncia e ngulo central

Seja a circunferncia de centro O traada ao lado. Pela definio de circunferncia temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferncia so segmentos congruentes.

Circunferncias congruentes: So circunferncias que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e no a um nmero.

ngulo central: Em uma circunferncia, o ngulo central aquele cujo vrtice coincide com o centro da circunferncia. Na figura, o ngulo a um ngulo central. Se numa circunferncia de centro O, um ngulo central determina um arco AB, dizemos que AB o arco correspondente ao ngulo AB.

Arco menor: um arco que rene dois pontos da circunferncia que no so extremos de um dimetro e todos os pontos da circunferncia que esto dentro do ngulo central cujos lados contm os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior: um arco que liga dois pontos da circunferncia que no so extremos de um dimetro e todos os pontos da circunferncia que esto fora do ngulo central cujos lados contm os dois pontos. Na figura a parte azul o arco maior, o ponto D est no arco maior ADB enquanto o ponto C no est no arco maior mas est no arco menor AB, assim frequentemente usado trs letras para representar o arco maior.

Semicircunferncia: um arco obtido pela reunio dos pontos extremos de um dimetro com todos os pontos da circunferncia que esto em um dos lados do dimetro. O arco RTS uma semicircunferncia da circunferncia de centro P e o arco RUS outra.

Observaes: Em uma circunferncia dada, temos que:1.

A medida do arco menor a medida do ngulo central correspondente a m(AB) e a medida do arco maior 360 graus menos a medida do arco menor m(AB).

2. A medida da semicircunferncia 180 graus ou Pi radianos. 3. Em circunferncias congruentes ou em uma simples circunferncia, arcos que possuem medidas iguais so arcos congruentes.

4.

Em uma circunferncia, se um ponto E est entre os pontos D e F, que so extremidades de um arco menor, ento: m(DE) +m(EF)=m(DF). Se o ponto E est entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF). Apenas esta ltima relao faz sentido para as duas ltimas figuras apresentadas.

5.

Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de uma circunferncia um segmento de reta que une dois pontos da circunferncia. Se os extremos de uma corda no so extremos de um dimetro eles so extremos de dois arcos de circunferncia sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando no for especificada, a expresso arco de uma corda se referir ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observaes 1. Se um ponto X est em um arco AB e o arco AX congruente ao arco XB, o ponto X o ponto mdio do arco AB. Alm disso, qualquer segmento de reta que contm o ponto X um segmento bissetor do arco AB. O ponto mdio do arco no o centro do arco, o centro do arco o centro da circunferncia que contm o arco. 2. Para obter a distncia de um ponto O a uma reta r, traamos uma reta perpendicular reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseo dessas duas retas o ponto que determinar um extremo do segmento OT cuja medida representa a distncia entre o ponto e a reta. 3. Em uma mesma circunferncia ou em circunferncias congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situao 1). 4. Um dimetro que perpendicular a uma corda bissetor da corda e tambm de seus dois arcos. (Situao 2). 5. Em uma mesma circunferncia ou em circunferncias congruentes, cordas que possuem a mesma distncia do centro so congruentes. (Situao 3). Situao 1 Situao 2 Situao 3

Polgonos inscritos na circunferncia

Um polgono inscrito em uma circunferncia se cada vrtice do polgono um ponto da circunferncia e neste caso dizemos que a circunferncia circunscrita ao polgono.

Propriedade dos quadrilteros inscritos: Se um quadriltero est inscrito em uma circunferncia ento os ngulos opostos so suplementares, isto a soma dos ngulos opostos 180 graus e a soma de todos os quatro ngulos 360 graus. + = 180 graus + = 180 graus + + + = 360 grausngulos inscritos

ngulo inscrito: relativo a uma circunferncia um ngulo com o vrtice na circunferncia e os lados secantes a ela. Na figura esquerda abaixo, o ngulo AVB inscrito e AB o arco correspondente.

Medida do ngulo inscrito: A medida de um ngulo inscrito em uma circunferncia igual metade da respectiva medida do ngulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto : m = n/2 = (1/2) m(AB)

ngulo reto inscrito na circunferncia: O arco correspondente a um ngulo reto inscrito em uma circunferncia a semi-circunferncia. Se um tringulo inscrito numa semi-circunferncia tem um lado igual ao dimetro, ento ele um tringulo retngulo e esse dimetro a hipotenusa do tringulo.ngulo semi-inscrito e arco capaz

ngulo semi-inscrito: ngulo semi-inscrito ou ngulo de segmento um ngulo que possui um dos lados tangente circunferncia, o outro lado secante circunferncia e o vrtice na circunferncia. Este ngulo determina um arco (menor) sobre a circunferncia. No grfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ngulo semi-inscrito BAC o arco AXB onde X um ponto sobre o arco.

Observao: A medida do ngulo semi-inscrito a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ngulo BC igual a metade da medida do arco AXB.

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ngulo k, perguntase: Qual o lugar geomtrico de todos os pontos do plano que contm os vrtices dos ngulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ngulos congruentes ao ngulo k? Este lugar geomtrico um arco de circunferncia denominado arco capaz.

Construo do arco capaz com rgua e compasso: 1. Traar um segmento de reta AB; 2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ngulo congruente a k (mesma medida que o ngulo k); 3. Traar uma reta p perpendicular reta t passando pelo ponto A; 4. Determinar o ponto mdio M do segmento AB; 5. Traar a reta mediatriz m ao segmento AB; 6. Obter o ponto O que a interseo entre a reta p e a mediatriz m.

7. Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traar o arco de circunferncia localizado acima do segmento AB. 8. O arco que aparece em vermelho no grfico ao lado o arco capaz. Observao: Todo ngulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B so congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB sempre visto sob o mesmo ngulo de viso se o vrtice deste ngulo est localizado no arco capaz. Na figura abaixo esquerda, os ngulos que passam por A e B e tm vrtices em V1, V2, V3, ..., so todos congruentes (a mesma medida).

Na figura acima direita, o arco capaz relativo ao ngulo semi-inscrito m de vrtice em A o arco AVB. Se n ngulo central ento a medida de m o dobro da medida de n, isto : m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)Outras propriedades com cordas e segmentos

Agora apresentaremos alguns resultados que fazem a conexo entre segmentos e cordas, que no so evidentes primeira vista. Se a reta AB tangente circunferncia no ponto B ento o segmento AB o segmento tangente de A at a circunferncia. Se a reta RT uma reta secante que intercepta a circunferncia em S e T e R um ponto exterior a circunferncia, ento RT um segmento secante e RS a parte externa do segmento secante. Na sequncia, usaremos a notao (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em funo das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentao de materiais de Matemtica.

Cordas interceptando dentro da circunferncia: Se duas cordas de uma mesma circunferncia se interceptam em um ponto P dentro da circunferncia, ento o produto das medidas das duas partes de uma corda igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

(AP).(PB) = (CP).(PD) Potncia de ponto (1): A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferncia, tem-se que (PA).(PB) constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) denominado a potncia do ponto P em relao a esta circunferncia. Secantes interceptando fora da circunferncia: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferncia que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferncia. Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferncia, ento o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD. (PA).(PB)=(PC).(PD) Potncia de ponto (2): Se P um ponto fixo fora da circunferncia, o produto (PA).(PB) constante qualquer que seja a reta secante circunferncia passando por P. Este produto (PA).(PB) tambm denominado a potncia do ponto P em relao circunferncia. Secante e tangente interceptando fora da circunferncia: Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferncia se interceptam em um ponto P fora da circunferncia, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangncia circunferncia, ento o quadrado da medida do segmento tangente PT igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB. (PT)2 = (PA).(PB) Exemplo: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD tendo interseo no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) = 14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Desse modo, (PD).(PC)=(PA).(PB) e podemos escrever que x(14-

x)=58, de onde segue que x-14x+40=0. Resolvendo esta equao do segundo grau, obtemos: x=4 ou x=10, o que significa que se uma das partes do segmento medir 4cm, a outra medir 10cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD maior que o segmento PC e conclumos que (PD)=10cm e (PC)=4cm.Geometria Plana: reas de regies poligonais Tringulo e regio triangular O conceito de regio poligonal Unidade de rea rea do retngulo rea do quadrado rea do paralelogramo rea do tringulo Comparando reas de tringulos rea do losango rea do trapzio Polgonos regulares Elementos de um polgono reas de polgonos regulares Comparando reas de polgonos

Tringulo e regio triangular

No desenho abaixo, o tringulo ABC a reunio dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunio de todos os pontos localizados no tringulo e tambm dentro do tringulo chamada uma regio triangular. A regio triangular ABC limitada pelo tringulo ABC. Os pontos dos lados do tringulo ABC bem como os pontos do interior do tringulo ABC so pontos da regio triangular. Tringulo ABC Regio triangular ABC

Duas ou mais regies triangulares no so sobrepostas, se a interseo vazia, um ponto ou um segmento de reta. Cada uma das regies planas abaixo a reunio de trs regies triangulares no sobrepostas.

O conceito de regio poligonal

Uma regio poligonal a reunio de um nmero finito de regies triangulares no-sobrepostas e coplanares (esto no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regies poligonais. Observe que uma regio triangular

por si mesmo uma regio poligonal e alm disso uma regio poligonal pode conter "buracos".

Uma regio poligonal pode ser decomposta em vrias regies triangulares e isto pode ser feito de vrias maneiras

Duas ou mais regies poligonais so no-sobrepostas quando a interseo de duas regies quaisquer, vazia, um conjunto finito de pontos, um segmento de reta ou um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de rea de regies poligonais depende de alguns conceitos primitivos: 1. A cada regio poligonal corresponde um nico nmero real positivo chamado rea. 2. Se dois tringulos so congruentes ento as regies limitadas por eles possuem a mesma rea. 3. Se uma regio poligonal a reunio de n regies poligonais nosobrepostas ento sua rea a soma das reas das n-regies. Observao: Para facilitar o estudo de regies poligonais, adotaremos as seguintes prticas: a. Os desenhos de regies poligonais sero sombreadas apenas quando houver possibilidade de confuso entre o polgono e a regio. b. Usaremos expresses como a rea do tringulo ABC e a rea do retngulo RSTU no lugar de expresses como a rea da regio triangular ABC e a rea da regio limitada pelo retngulo RSTU. Exemplo: A rea da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposio da regio poligonal em regies triangulares.

Aps isto, realizamos as somas dessas reas triangulares. rea(ABCDEFX)=rea(XAB)+rea(XBC)+...+rea(XEF)Unidade de rea

Para a unidade de medida de rea, traamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centmetro, o quilmetro, etc.

rea do Retngulo

A figura ao lado mostra o retngulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retngulo e os segmentos verticais, dividem o retngulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de rea.

A rea do retngulo ABCD a soma das reas destes seis quadrados. O nmero de unidades de rea do retngulo coincide com o obtido pelo produto do nmero de unidades do comprimento da base AB pelo nmero de unidades da altura BC. O lado do retngulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a rea A do retngulo o produto da medida da base b pela medida da altura h.

A=bhrea do quadrado

Um quadrado um caso particular de retngulo cuja medida da base igual medida da altura. A rea do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma. Esta a razo pela qual a segunda potncia do nmero x, indicada por x, tem o nome de quadrado de x e a rea A do quadrado obtida pelo quadrado da medida do lado x. A = x Exemplo: Obter a rea do retngulo cujo comprimento da base 8 unidades e o comprimento da altura 5 unidades. A = bh A = (8u)x(5u) = 40u No clculo de reas em situaes reais, usamos medidas de comprimento em funo de alguma certa unidade como: metro, centmetro, quilmetro, etc...

Exemplo: Para calcular a rea de um retngulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a rea em metros quadrados ou qualquer outra unidade de rea. 1. Transformando as medidas em metros Como h=2m e b=120cm=1,20m, a rea ser obtida atravs de: A = bh A = (1,20m)(2m) = 2,40m 2. Transformando as medidas em centmetros Como h=2m=200cm e b=120cm, a rea do retngulo ser dada por: A = bh A = (120cm)(200cm) = 24000cmrea do Paralelogramo

Combinando os processos para obteno de reas de tringulos congruentes com aqueles de reas de retngulos podemos obter a rea do paralelogramo. Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente o segmento perpendicular reta que contm a base at o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo. No paralelogramo ABCD abaixo esquerda, os segmentos verticais tracejados so congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relao base AB.

No paralelogramo RSTV acima direita, os dois segmentos tracejados so congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relao base RV. A rea A do paralelogramo obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto , A=bh.Demonstrao da frmularea do Tringulo

A rea de um tringulo a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto , A=b.h/2.Demonstrao da frmula

Exemplo: Mostraremos que a rea do tringulo equiltero cujo lado mede s dada por A=sR[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitgoras, escrevemos h=s-(s/2) para obter h=(3/4)s garantindo que h=R[3]s/2.

Como a rea de um tringulo dada por A=b.h/2, ento segue que: A = s R[3] s/2 = R[3] s Observao: Tringulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma rea.Comparao de reas entre tringulos semelhantes

Conhecendo-se a razo entre medidas correspondentes quaisquer de dois tringulos semelhantes, possvel obter a razo entre as reas desses tringulos.

Propriedade: A razo entre as reas de dois tringulos semelhantes igual ao quadrado da razo entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. rea de ABC = rea de RSTrea do losango

a r

=

b s

=

c t

O losango um paralelogramo e a sua rea tambm igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A rea do losango o semi-produto das medidas das diagonais, isto , A=(d1d2)/2. Demonstrao da frmularea do trapzio

Em um trapzio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A rea A do trapzio o produto da mdia aritmtica entre as medidas das bases pela medida da altura, isto , A=(b1+b2).h/2.Polgonos regulares

Um polgono regular aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ngulos congruentes. Existem duas circunferncias associadas a um polgono regular.

Circunferncia circunscrita: Em um polgono regular com n lados, podemos construir uma circunferncia circunscrita (por fora), que uma circunferncia que passa em todos os vrtices do polgono e que contm o polgono em seu interior.

Circunferncia inscrita: Em um polgono regular com n lados, podemos colocar uma circunferncia inscrita (por dentro), isto , uma circunferncia que passa tangenciando todos os lados do polgono e que est contida no polgono.Elementos de um polgono regular1. 2. 3. 4.

Centro do polgono o centro comum s circunferncias inscrita e circunscrita. Raio da circunferncia circunscrita a distncia do centro do polgono at um dos vrtices. Raio da circunferncia inscrita o aptema do polgono, isto , a distncia do centro do polgono ao ponto mdio de um dos lados. ngulo central o ngulo cujo vrtice o centro do polgono e cujos lados contm vrtices consecutivos do polgono.

5.

Aptema: OM, Aptema: OX, Raios: OA,OF Raios: OR,OT ngulo central: AOF ngulo central: ROT Medida do ngulo central de um polgono com n lados dada por 360/n graus. Por exemplo, o ngulo central de um hexgono regular mede 60 graus e o ngulo central de um pentgono regular mede 360/5=72 graus.

reas de polgonos regulares

Traando segmentos de reta ligando o centro do polgono regular a cada um dos vrtices desse polgono de n-lados, iremos decompor este polgono em n tringulos congruentes.

Assim, a frmula para o clculo da rea da regio poligonal regular ser dada pela metade do produto da medida do aptema a pelo permetro P, isto :

A = a Permetro / 2Demonstrao da frmula

Comparando reas entre polgonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentgonos irregulares semelhantes. Dos vrtices correspondentes A e L traamos diagonais decompondo cada pentgono em trs tringulos.

Os pares de tringulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente atravs da medio de seus ngulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja vlida para polgonos semelhantes com n lados.

Observao: Se dois polgonos so semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo nmero de tringulos e cada tringulo semelhante ao tringulo que ocupa a posio correspondente no outro polgono.

Este fato e o teorema sobre razo entre reas de tringulos semelhantes so usados para demonstrar o seguinte teorema sobre reas de polgonos semelhantes.

Teorema: A razo entre reas de dois polgonos semelhantes igual ao quadrado da razo entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

rea de ABCDE... s t = = rea de A'B'C'D'E'... (s') (t')Geometria Plana: reas de regies circulares O crculo como limite de regies Permetro do crculo Relaes associadas ao permetro rea do Crculo Arcos Setor circular Segmento circular Curiosidades sobre o nmero Pi

O crculo como o limite de regies poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos trs regies poligonais regulares inscritas em crculos congruentes.

Quando aumenta o nmero de lados do polgono inscrito observamos que tamb aumenta: 1. O aptema, aproximando-se do raio do cculo como um limite. 2. O permetro, aproximando-se da circunferncia do crculo como um limite. 3. A rea, aproximando-se da rea do crculo como um limite. Neste trabalho no possvel apresentar uma definio precisa de limite e sem ela no podemos construir uma expresso matemtica para o clculo do permetro ou da rea de uma regio poligonal regular inscrita num crculo. A idia de limite nos permite aproximar o permetro da circunferncia pelo permetro do polgono regular inscrito nessa circunferncia, medida que o nmero de lados do polgono aumenta. O mesmo ocorre com o clculo da rea do crculo, pois medida que o nmero de lados da regio poligonal inscrita aumenta, as reas dessas regies se aproximam da rea do crculo. Este tambm um processo atravs de limites.Permetro do crculo e da circunferncia

Permetro da circunferncia de um crculo o valor limite da sequncia dos permetros dos polgonos regulares inscritos de n lados na circunferncia medida que o nmero n de lados aumenta indefinidamente.

rea do crculo o valor limite da sequncia das reas das regies poligonais regulares inscritas no crculo quando o nmero n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.Relaes associadas ao permetro

1. Com base nestas duas definies temos um importante resultado sobre a relao existente entre o permetro e o dimetro da circunferncia: A razo entre o permetro e o dimetro de uma circunferncia uma constante 2. Sejam duas circunferncias de dimetros D1 e D2, com permetros P1 e P2, respectivamente. A razo entre os permetros P1 e P2 igual razo entre os dimetros D1 e D2. Como o dimetro o dobro do raio, ento, o mesmo ocorre para a razo entre os raios r1 e r2. A1 D1 = = A2 D23.

r1 r2

Para todo crculo (e tambm circunferncia), a razo entre o permetro e o dimetro uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que um nmero irracional (no pode ser escrito como a diviso de dois nmeros inteiros). Uma aproximao para Pi com 10 dgitos decimais : = 3,1415926536....

rea do crculo

rea de um crculo de raio r o limite das reas das regies poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o dimetro D=2r. As frmulas para a rea do crculo so: rea = r = D

Proporo com reas: Sejam dois crculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, reas A1 e A2 e dimetros D1 e D2. A razo entre as reas desses dois crculos a mesma que a razo entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus dimetros. A1 (D1) (r1) = = A2 (D2) (r2)Arcos

O comprimento de um arco genrico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vrios pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e tambm n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.

A idia aqui tomar um nmero n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais s medidas dos segmentos. O comprimento de um arco AB de uma circunferncia de raio r o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente. Um arco completo de circunferncia corresponde a um ngulo que mede 360 graus=2 radianos. Se o raio da circunferncia for r, o permetro da circunferncia coincidir com o comprimento do arco da mesma e dado por: Permetro da circunferncia = 2 r Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferncia de raio r e m a medida do ngulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por: Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais frmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de trs simples e diretas. Se o ngulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos: 360 graus 2 Pi r m logo comprimento do arco AB = m r / 180 graus Comprimento de AB

Se o ngulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos: 2 Pi rad 2 Pi r m assim Comprimento do arco AB = r m radianosSetor circular

rad comprimento de AB

Setor circular uma regio limitada por dois raios e um arco do crculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informaes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. OACB um setor circular OADB um setor circular r o raio de cada um dos setores ACB o arco do setor OACB ADB o arco do setor OADB. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a rea do setor circular OACB ser dada por: rea do setor circular OACB = r m/360 = m r

Basta usar regras de trs simples e diretas. Se o ngulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos: 360 graus rea do crculo m logo rea(setor OACB) = Pi r m / 360 Se o ngulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos: 2 Pi rad rea do crculo m rad rea setor OACB graus rea do setor OACB

assim rea(setor OACB) = m r radianosSegmento circular

Segmento circular uma regio limitada por uma corda e um arco do crculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A rea do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a rea do tringulo AOB da rea do setor OACB. rea(segmento) = rea(setor OACB) - rea(tringulo AOB) A rea do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a rea do segmento ACB da rea do crculo ou somando a rea do tringulo AOB rea do setor OADB.

Curiosidades sobre o nmero Pi

1. Na Bblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem: 2."Fez tambm o mar de fundio; era redondo 3.e media dez cvados duma borda outra, cinco 4.cvados de altura e trinta de circunferncia." sugerindo que os construtores da casa de Salomo usavam o valor 3 para a razo entre o dimetro e o comprimento da circunferncia. 5. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razo entre o dimetro e o comprimento da circunferncia estava entre 3+1/7 e 3+10/71. 6. O smbolo usado para a razo entre o dimetro e o comprimento da circunferncia somente foi introduzido no sculo XVIII.

O valor de correto com 10 dgitos decimais foi usado no clculo do comprimento da linha do Equador terrestre. 8. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, impossvel construir um segmento de comprimento Pi atravs de rgua e compasso. 9. O nmero exerce um papel muito importante na Matemtica e nas cincias, predominantemente quando determinamos permetros, reas, centros de gravidade, informaes sobre segmentos e setores circulares e elpticos, inclusive em clculos de navegao, etc. 10. Com o uso de computadores, j foi realizado o clculo do valor exato de com mais de cem mil dgitos decimais.7.

Detalhes sobre o clculo de Pi: De modo anlogo ao resultado obtido atravs do limite de polgonos regulares inscritos tambm podemos aproximar o permetro e a rea do crculo de raio r, pelo valor limite de polgonos regulares circunscritos no crculo quando o nmero de lados desse cresce arbitrariamente. Permetro polgono inscrito < 2r < Permetro polgono circunscrito 2r

Tais relaes esto na tabela com dados sobre o polgono regular dado: Nmero de lados Permetro do polgono Permetro do polgono do polgono inscrito dividido por 2r circunscrito dividido por 2r 6 3,00000 3,46411 12 3,10582 3,21540 24 3,13262 3,15967 48 3,13935 3,14609 96 3,14103 3,14272 192 3,14145 3,14188 256 3,14151 3,14175 512 3,14157 3,14163 1024 3,14159 3,14160 Observe na tabela que quanto maior o nmero de lados de cada polgono mais dgitos decimais coincidem para obter o valor do nmero Pi, tanto para os polgonos inscritos como para os circunscritos. Com um polgono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (lenta) para obter o nmero Pi, :

A forma mais rpida que conhecemos para obter Pi, :

obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.Geometria Plana: Exerccios de reas de regies poligonais

Notaes: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm=centmetro quadrado.

1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regies poligonais em tringulos.

2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual ser relao entre as reas dos paralelogramos?

3. A razo entre as medidas dos lados de dois quadrados 1:3. Qual a razo entre as reas desses dois quadrados?

4. possvel obter a rea de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?

5. possvel obter a rea de um losango cujo lado mede 10 cm?

6. Qual a rea de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm?

7. Calcular a rea de cada quadriltero indicado abaixo: a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b. Quadrado com permetro 12cm. c. Retngulo com comprimento 3cm e permetro 10cm. d. Quadrado com permetro 12R[3]cm.

8. Um dos lados de um retngulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a rea deste retngulo seja equivalente rea do retngulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?

9. Se um retngulo possui o comprimento igual ao quntuplo da largura e a rea igual a 80 cm, quais so as medidas de seus lados?

10. Nos tens abaixo, indicamos uma mudana na medida de um dos lados. Que mudana deveremos realizar na medida do outro lado do retngulo para que a rea deste permanea constante? a. A base multiplicada por 3; b. A altura dividida por 2; c. A base aumentada 25%; d. A base diminuda 25%.

11. d.

Calcular a rea de um retngulo cujo lado mede s e a diagonal mede

12. Um tringulo retngulo tem um ngulo de 30 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa indicada por a.

13. Um tringulo retngulo tem um ngulo de 45 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa indicada por a.

14. Obter a rea de um paralelogramo conhecendo-se o ngulo =30 graus e cada um dos dados abaixo:

a. b. c. d.

AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm AB = 10 cm e AD = 6 cm AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm

15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um tringulo retngulo issceles em cima. Se um dos catetos do tringulo mede 7 metros, qual a rea frontal desta casa?

16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um tringulo retngulo issceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m, calcular a rea frontal desta casa.

17. O lado de um tringulo equiltero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro tringulo equiltero T2 que possui o: a. dobro da rea de T1?

b. triplo da rea de T1? c. qudruplo da rea de T1?

18. Os nmeros em cada linha na tabela abaixo, referem-se s medidas de um tringulo, onde so conhecidas duas informaes dentre: Base, Altura e rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando. Base (cm) (a) (b) (c) (d)19.

Altura (cm) 5 3R[3] 6

5 2R[3]

rea (cm) 10 12 12

20. Os nmeros em cada linha na tabela abaixo referem-se s medidas de um trapzio, onde b1 e b2 so as bases, h a altura e A a rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando. b1 (cm) 10 5 1/2 5R[2] b2 (cm) 6 3 5 1/3 3R[2] h (cm) 4 3 1 A (cm) 24 12 4R[6]

(a) (b) (c) (d) (e)21.

22. Calcular a medida do lado de um tringulo equiltero com a rea igual a 9 R[3] unidades de rea.

23. Um fazendeiro possua um terreno no formato de um tringulo equiltero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma rea triangular issceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a rea que o fazendeiro possua e qual a nova rea?

24. Um trapzio issceles com bases medindo 12 cm e 16 cm est inscrito em uma circunferncia de raio 10 cm. Calcular a rea do trapzio, se o centro da circunferncia est no interior do trapzio.

25. Um trapzio issceles com bases medindo 12 cm e 16 cm est inscrito em uma circunferncia de raio 10 cm. Calcular a rea do trapzio, se o centro da circunferncia no est no interior do trapzio.

26. Calcular a rea do trapzio issceles, cujo desenho est na figura ao lado, se todos os seus lados so tangentes circunferncia e as medidas so dadas em cm.

27. No plano coordenado, os vrtices de um paralelogramo so os pontos A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a rea do paralelogramo ABCD.

28. Na figura representando o tringulo PQR, o segmento TS paralelo ao segmento PQ. Calcular a razo entre a rea do tringulo RTS e a rea do trapzio PQST, sob as seguintes condies: a. RT=1 cm, RP=2 cm b. RT=2 cm, TP=3 cm c. TS=2 cm, PQ=3 cm d. TS=R[3] cm, PQ=2 cm

Dica: Obter a razo entre as reas dos tringulos PQR e TSR.

29. por: a. b. c. d.

Calcular a rea de um tringulo equiltero cujas medidas so dadas Lado = 6 cm Aptema = 3 cm Raio = 6 cm Permetro de medida t cm

30. por: a. b. c. d.

Calcular a rea de um hexgono regular cujas medidas so dadas Lado = 4 cm Aptema = 2R[3] cm Raio = 6 cm Permetro = t cm

31. ABC um tringulo retngulo com ngulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual a rea do quadrado de lado AC?

32. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que so usadas em Geometria: a. aptema b. hipotenusa c. cateto d. abscissa e. ordenada f. afastamento g. cota

33. Os nmeros em cada linha da tabela abaixo referem-se s medidas do polgono regular indicado, onde L o lado, a o aptema, p o permetro e A a rea. Complete a tabela com os dados que esto faltando. 1 Tringulo Pentgono Hexgono octgono Decgono34.

L (cm) a (cm) p (cm) 2 R[3] k 4 k t k 40

A (cm)

40k

35. Os lados correspondentes de dois pentgonos semelhantes esto na razo 1:2. Qual a razo entre as suas reas? Qual a razo entre os seus permetros?

36. Dois hexgonos semelhantes possuem reas iguais a 36 cm e 64 cm, respectivamente. Qual a razo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexgono)?

37. Dois pentgonos semelhantes possuem reas iguais a 50 cm e 100 cm, respectivamente. Qual a razo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentgono)?

38. No tringulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual dever ser a medida do lado de um quadrado com rea igual rea do tringulo ABC?

39. A rea de um polgono de n lados 25/4 da rea de um outro polgono semelhante com n lados. Qual a razo entre os permetros dos dois polgonos?

40. Os pontos X, Y e Z so os pontos mdios dos lados de um tringulo ABC. Qual a razo entre a rea do tringulo ABC e do tringulo XYZ?

41. O lado menor de um polgono de rea igual a 196 cm mede 4 cm. Calcular a rea de um polgono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm.

42. Os lados de um quadriltero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadriltero semelhante a este com rea 9 vezes maior.

43. Qual a razo entre as reas de dois tringulos equilteros, sabendo-se que um deles est inscrito em uma circunferncia de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferncia?

44. Na figura ao lado D e E so, respectivamente, os pontos mdios dos lados do tringulo AC e BC. Qual a razo entre as reas dos tringulos DEC e ABC?

45. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferncia de raio r e o outro em uma circunferncia de mesmo raio. Qual a relao existente entre suas reas?

46. Um hexgono regular inscrito em uma circunferncia de raio r e um segundo hexgono regular circunscrito na mesma circunferncia. Se a soma das reas dos dois hexgonos 56 R[3] u.a, qual o raio da circunferncia?

47. O quadriltero ABCD um retngulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual a razo entre a rea do tringulo CEF e a rea do retngulo?

48. O retngulo ABCD tem rea 105 m. Qual a medida do lado do quadrado EFGC?

49. De um quadrado cujo lado recortados tringulos retngulos cantos de modo que o octgono como mostra a figura ao lado. do octgono?Geometria Plana: Exerccios resolvidos de reas de regies circulares

mede 8 cm, so issceles nos quatro formado seja regular Qual a medida do lado

R[x]=raiz quadrada de x>0, pi=3,1415926535..., u.a.=unidade de rea, m(AB)=medida do segmento AB e m (ABC)=medida do ngulo ABC.

1. Qual o comprimento da circunferncia de raio igual a: 2.a.r=5cm b.r=3,5cm c.r=3kcm d.r=a/2cm

3. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrer uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

4. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distncia de 66 metros.

5. Dado um quadrado de permetro 4L, obter: (a) O raio da circunferncia inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferncia circunscrita ao quadrado.

6. No R, uma circunferncia tem centro no passa pelo ponto (5,-3). Qual o da circunferncia?

ponto (2,1) e comprimento

7. Calcular a rea do crculo conhecendo-se o raio r ou o dimetro d. 8.a.r=3cm b.d=3kR[2]cm c.r=2R[3]cm d.d=9cm

9. Calcular a rea da regio limitada por duas circunferncias concntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.

10. Se os permetros de dois crculos so proporcionais razo 2:3, qual a razo entre as reas desses crculos?

11. Qual a rea do crculo circunscrito em um tringulo equiltero cujo lado mede 18 cm?

12. Se a razo entre as reas de dois crculos 3:1, qual a rea do crculo menor se a rea do crculo maior 27pi cm?

13. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua rea removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual a largura desta borda?

14. Um tringulo equiltero de permetro igual a 18 cm est inscrito em uma circunferncia. Calcular a rea da regio externa ao tringulo que est dentro da circunferncia.

15. Mostre que no hexgono regular o raio e o lado so congruentes, isto , tm a mesma medida.

16. Considere um hexgono regular cuja rea 48R[3]cm. Calcular a razo entre as reas dos crculos inscrito e circunscrito.

17. Dado um hexgono regular com rea 48kR[3]cm. Calcular a razo entre as reas dos crculos inscrito e circunscrito.

18. As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual a rea do crculo inscrito neste losango?

19. Na figura ao lado, calcular a rea e o permetro do setor circular se o raio da circunferncia mede 12cm e o arco 60 graus.

20. Dada uma circunferncia cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A rea do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A rea do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

21. Seja um tringulo equiltero cujo lado mede 2a. Ao traar arcos de circunferncias de raio a, centrados nos trs vrtices do tringulo, obtemos a regio colorida como a da figura ao lado. Calcular a rea desta regio.

22. Sobre cada cateto de um tringulo retngulo traamos uma semicircunferncia

de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das reas das lnulas (pintadas de azul e verde) igual a rea do tringulo.

23. Semicircunferncias so traados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a rea das quatro ptalas pintadas na figura ao lado.

24. Semicircunferncias so traados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a rea da regio pintada na figura ao lado.

25. Dois crculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, esto lado a lado, como mostra a figura. Qual a medida da menor correia de couro que contorna os dois crculos?

26. Duas circunferncias de centros O e O' tm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t uma tangente comum s duas circunferncias nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB.

27. Calcular a rea da regio colorida, sabendo-se que cada semicrculo possui o dimetro igual ao raio do crculo imediatamente maior.

Geometria Plana: Geometria Analtica Plana Eixos coordenados Distncia entre pontos Ponto mdio de um segmento Retas no plano cartesiano Equao reduzida da reta Retas paralelas e perpendiculares Equao geral da reta Distncia de ponto a reta rea de um tringulo Circunferncias no plano Relaes importantes no plano Sees cnicas

Eixos Coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal ser denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical ser denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano so indicados na forma P=(x,y) onde x ser a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distncia entre as duas retas verticais indicadas no grfico e y a distncia entre as duas retas horizontais indicadas no grfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regies denominadas quadrantes. Quadrante sinal de x sinal de y Ponto no tem no tem (0,0) Primeiro + + (2,4) Segundo + (-4,2) Terceiro Quarto (-3,-7) quadrante quadrante Terceiro Quarto + (7,-2) Segundo Primeiro quadrante quadranteDistncia entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitgoras: Em um tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa a igual soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto , a2=b2+c2.

Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distncia entre P e Q, traando as projees destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um tringulo retngulo e usando o Teorema de Pitgoras.

O segmento PQ a hipotenusa do tringulo retngulo PQR, o segmento PR um cateto e o segmento QR o outro cateto, logo: [d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2 Como: [d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2 e [d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2 ento

Exemplos: A distncia entre P=(2,3) e Q=(5,12)

A distncia entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) dada por:

Ponto mdio de um segmento

Aplicao: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Mdio M=(xm,ym) que est localizado entre P e Q.

O ponto mdio obtido com o uso da mdia aritmtica, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas. xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2

Observao: O centro de gravidade de um tringulo plano cujas coordenadas dos vrtices so A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), : G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )Retas no plano cartesiano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma nica reta que passa por esses pontos. Para a determinao da equao de uma reta existe a necessidade de duas informaes e dois conceitos importantes so: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos o nmero real

Significado geomtrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta o valor da tangente do ngulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ngulo est no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular positivo e se o ngulo est no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular negativo.

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinao de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular negativo e o mdulo deste maior que o mdulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Se o coeficiente angular nulo, a reta horizontal.

Coeficiente linear de uma reta: a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta vertical ela no possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta horizontal, o seu coeficiente angular nulo e a equao desta reta dada por y=b, ordenada do ponto onde est reta corta o eixo OY.Equao reduzida da reta

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, ento poderemos obter a equao da reta atravs de sua equao reduzida dada por: y=kx+w Exemplos 1. Se k=5 e w=-4, ento a reta dada por y=5x-4. 2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x. 3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, dada por: y - yo = k (x - xo) Exemplos 1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, ento a equao da reta y=8(x-1)+5. 2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, ento a sua equao dada por: y=-x.

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) no esto alinhados verticalmente, podemos obter a equao da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano so paralelas se ambas so verticais ou se tm os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos 1. x=3 e x=7 so retas paralelas. 2. As retas y=34 e y=0 so paralelas. 3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 so paralelas. Retas perpendiculares: Duas retas no plano so perpendiculares se uma delas horizontal e a outra vertical, ou, se elas tm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.

Exemplos 1. As retas y=x+3 e y=-x+12 so perpendiculares, pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1. 2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 so perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"=-1.Equao geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equao geral: ax+by+c=0 Exemplos 1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0. 2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0. 3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.Distncia de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.

A distncia d=d(P,r) do ponto P reta r pode ser obtida pela frmula abaixo:

Exemplo: A distncia de (0,0) reta 5x+12y+25=0 :

rea de um tringulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a rea do tringulo cujos vrtices so estes trs pontos, bastando para isto determinar a medida da base do tringulo que a distncia entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do tringulo que a distncia de (x 1,y1) reta que contm os outros dois pontos. Como o processo bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fcil de memorizar. A rea do tringulo dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expresso:

Exemplo: A rea do tringulo cujos vrtices so (1,2), (3,4) e (9,2) igual a 8, pois:

Colinearidade de 3 pontos no plano: Trs pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) so colineares se pertencem mesma reta. Um processo simples sugere que estes trs pontos formem um tringulo de rea nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) so colineares pois:

Circunferncias no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferncia com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, o lugar geomtrico de todos os pontos (x,y) deste plano que esto localizados mesma distncia r do centro (a,b).

A equao desta circunferncia dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Disco circular a regio que contm a circunferncia e todos os pontos contidos no interior da circunferncia.

Exemplo: A equao da circunferncia com centro em (2,3) e raio igual a 8 : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 82

A equao da circunferncia com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma cannica da circunferncia e dada por: x2 + y2 = r2

Equao geral da circunferncia: Dada a equao (x-a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferncia: x2 + y2 + A x + B y + C = 0 Exemplo: A equao geral da circunferncia com centro em (2,3) e raio r=8 : x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0

Equao da circunferncia com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferncia e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence circunferncia, pode-se obter o raio da mesma atravs da distncia entre O e Q e se utilizar a equao normal da circunferncia para se obter a sua equao.

Exemplo: A circunferncia centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que: r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146 logo, a sua equao dada por: (x-3)2 + (y-5)2 = 146

Equao da circunferncia que passa por 3 pontos: Quando conhecemos trs pontos da circunferncia, podemos utilizar a equao geral da circunferncia para obter os coeficientes A, B e C atravs de um sistema linear com 3 equaes e 3 incgnitas.

Exemplo: Seja uma circunferncia que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equao geral da circunferncia: x2 + y2 + A x + B y + C = 0

substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema: (-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0 ( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0 (-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0 que pode ser simplificado na forma: -2 A + 1 B + 1 C = -5 1A+4B+1C= 5 -3 A + 2 B + 1 C = 13 e atravs da Regra de Cramer, podemos obter: A= ,B= ,C=

assim a equao geral desta circunferncia : x2 + y2 + ( )x + ( )y + ( ) = 0Relaes importantes no plano cartesiano

Uma relao em um plano qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relaes, do ponto de vista prtico, so as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parbolas, circunferncias, elipses, hiprboles. Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regies planas com as prprias regies. Iremos colorir algumas regies fechadas para dar mais destaque s curvas que as contm, que so as relaes matemticas.

Circunferncia e Elipse

Parbola e HiprboleSees cnicas

Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas atravs de sees (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseo do cone com um plano apropriado. Se o plano for :1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

horizontal e passar pelo vrtice do cone, teremos apenas um ponto. vertical e passar pelo vrtice do cone, teremos duas retas concorrentes. horizontal e passar fora do vrtice, teremos uma circunferncia. tangente ao cone, teremos uma reta. vertical e passar fora do vrtice, teremos uma hiprbole. paralelo linha geratriz do cone, teremos uma parbola. inclinado, teremos uma elipse.

Equaes de algumas sees cnicas Nome -------------Ponto Reta Parbola Circunferncia Elipse Hiprbole Duas retas Equao ------------x+y=0 y=kx+w y=ax+bx+c x+y=r x/a+y/b=1 x/a-y/b=1 x/a-y/b=0

Geometria Plana: Frmula de Heron: rea de regio triangular rea de uma regio triangular

Teorema: Se um tringulo possui os lados medindo a, b e c e o seu permetro indicado por 2p=a+b+c, ento a rea da regio triangular ser dada por A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)] onde R[x] a notao para a raiz quadrada de x>0.

Demonstrao: Seja o tringulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c tm projees ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a.

Tomando h como a medida da altura do tringulo, relativa ao lado a, segue que a rea da regio triangular ser dada por A=a.h/2. Temos a formao de mais dois pequenos tringulos retngulos e com eles, podemos extrair as trs relaes: b=m+h, c=n+h, a=m+n Subtraindo membro a membro a 2a. relao da 1a. e usando a 3a., obtemos: b-c = m-n = (m+n)(m-n) = a(m-n) assim m + n = a m - n = (b-c)/a Somando e subtraindo membro a membro, estas ltimas expresses, segue que: m = (a+b-c)/2a

n = (a+c-b)/2a Como a+b+c=2p, aparecem as trs expresses: a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c) a+c-b = a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b) b+c-a = a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a) Temos ento que 4ah = 4a(b-m) = 4a(b+m)(b-m) = 4a[b+(a+b-c)/2ab)][b-(a+b-c)/2ab)] = (2ab+a+b-c)(2ab-a-b+c) = [(a+b)-c][c-(a-b)] = (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c) = 16p(p-a)(p-b)(p-c) Como A=a.h/2, ento A = (1/4)a h = p(p-a)(p-b)(p-c) Extraindo a raiz quadrada, obtemos: A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)] Exemplo: Para obter a rea da regio triangular cujos lados medem 35cm, 45cm e 50cm, basta tomar a=35, b=45, c=50, para obter 2p=35+45+50 e desse modo segue que p=65. Assim: A = R[65(65-35)(65-45)(65-50)] = R[585000] = 764,85cmClculo on-line da rea de uma regio triangular

Para calcular a rea da regio triangular com lados a, b e c, entre com medidas positivas nas caixas prprias e clique no boto REA. a=

b=

c=

Limpar os dados

Geometria Espacial: Elementos de Geometria Espacial Introduo Geom. espacial Planos e retas Posies de pontos, retas e planos Posies de retas e planos Distncia de um ponto a um plano Posies entre planos

Introduo

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliao da Geometria plana (euclidiana) e trata dos mtodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relao entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, so: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ngulos e superfcies. Os principais tipos de clculos que podemos realizar so: comprimentos de curvas, reas de superfcies e volumes de regies slidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais sero aceitos sem definio.Planos e retas

Um plano um subconjunto do espao R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Duas retas (segmentos de reta) no espao R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas. Retas paralelas: Duas retas so paralelas se elas no possuem interseo e esto em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas so concorrentes se elas tm um ponto em comum. As retas perpendiculares so retas concorrentes que formam entre si um ngulo reto.

Retas reversas: Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseo com a outra e elas no so paralelas. Isto significa que elas esto em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no cho de uma casa e uma reta s, no paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posies de pontos, retas e planos

Um plano no espao R3 pode ser determinado por qualquer uma das situaes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta). Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que no contm o ponto. Um ponto e um segmento de reta que no contm o ponto. Duas retas paralelas que no se sobrepe. Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe. Duas retas concorrentes. Dois segmentos de reta concorrentes.

Posies de retas e planos

H duas relaes importantes, relacionando uma reta e um plano no espao R3. Reta paralela a um plano: Uma reta r paralela a um plano no espao R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que paralela reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta perpendicular a um plano no espao R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades perpendicular reta.Distncia de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distncia do ponto ao plano a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade o ponto P e a outra extremidade o ponto que a interseo entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distncia nula.Posies entre planos1. 2. 3.

Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma reta. Planos paralelos no espao R3 so planos que no tem interseo. Diedro: Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

4.

5.

ngulo diedral: ngulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90 graus).Geometria Espacial: A noo de Espao

O que espao? Sistema cartesiano R3 Outros sistemas de localizao Sistema de Coordenadas Polares Sistema de Coordenadas Cilndricas

Sistema de Coordenadas Esfricas Um Sistema Geogrfico Sistema cartesiano R4 Uma idia sobre o Rn Exerccios de criatividade

O que espao?

O que o espao? Reconhecemos e usamos o espao, mas se algum perguntar o que o espao, muitos iro ter dificuldades em explicar. Na verdade, mais fcil explicar o que se pode fazer com este ente primitivo que no tem definio para ns.

"Na casa de meu Pai h muitas moradas; se no fosse assim, eu vo-lo teria dito; vou preparar-vos lugar." Joo 14:2, A Bblia Sagrada

Uma primeira tentativa para explicar isto, dizer que tudo o que nos envolve e o local onde podemos nos mover para a frente, para o lado e para cima. Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta ento conhecer as trs direes para identificar a posio relativa que ocupamos. Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado e para cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nestas direes, logo necessitamos conhecer uma origem para o sistema e identificar este ponto como (0,0,0) pois esperamos que ele esteja localizado a uma distncia num ponto de referncia para todos os outros pontos.

O Sistema Cartesiano tridimensional

Um procedimento matemtico simples tomar um ponto genrico como: P=(x,y,z) onde x indicar a quantidade deslocada na direo positiva do eixo que contem os deslocamentos para frente, y indicar a quantidade deslocada na direo positiva do eixo que contem os deslocamentos para o lado e z indicar a quantidade deslocada na direo positiva do eixo que contem os deslocamentos para cima. Para facilitar as coisas do ponto de vista matemtico, iremos denominar tais direes por: Eixo OX, Eixo OY e Eixo OZ. O sistema tridimensional o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z), sendo que ordem no pode ser mudada sob pena de nos deslocarmos para outro lugar. A palavra cartesiano se deve a Ren Descartes, conhecido como cartesius. x recebe o nome deabscissa, y o nome de afastamento e z o nome de cota.

Exemplo: Se um indivduo est no centro da cidade em uma posio O=(0,0,0) e quer andar para a frente 3

quadras, depois andar para o lado 5 quadras e depois subir at o 10o. andar de um prdio a posio final do mesmo aps o percurso ser o ponto P=(3,5,10) e podemos observar que as unidades no so necessariamente as mesmas. Se este mesmo indivduo se deslocasse para a posio final P=(3,10,5), certamente chegaria a um lugar diferente.

Outros sistemas de localizao

Existem outras formas de localizao no espao tridimensional como o caso do sistema de coordenadas cilndricas, sistema de coordenadas esfricas, dentre outros. Particularmente importantes so os sistemas de corrdenadas no plano. O sistema cartesiano plano um caso particular do sistema cartesiano espacial tridimensional, mas existe um outro sistema muito importante que o sistema de coordenadas polares.O Sistema de Coordenadas Polares (R2)

Vamos considerar agora um mundo plano onde os pontos so indicados por P=(x,y). No sistema bidimensional a medida x recebe o nome de abscissa e a medida y recebe o nome de ordenada. Existe um sistema que considera uma linha bsica horizontal de referncia, por exemplo, o Eixo OX indicado positivamente e outra forma de indicar um ponto P=(x,y). Consideremos que a distncia da origem O=(0,0) ao ponto P=(x,y) seja indicada por r e que o ngulo formado entre o segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente seja indicado por t. Neste caso o ngulo dever ser um parmetro tal que 0