GEOMETRIA PLANA 1Geometra MtricaElementos geomtricos fundamentales.Punto, lnea y plano son los elementos geomtricos bsicos con los que podemos todas las figuras geomtricas, se denominanpropiossi pertenecen a un espacio finito eimpropiossi no. Los lmites de uncuerposon lassuperficies, de las superficies las lneas y de las lneas los puntos. Los planos tienen dos dimensiones, una dimensin las lneas y ninguna dimensin los puntos, que nicamente determinan un lugar.PuntoQueda definido por lainterseccin de dos lneas, se designa x, +, ., o (A).RectaLnea recta:sucesinde puntos sin principio ni final. Se denominasemirrectacuando tiene un origen concreto en un espacio finito ( A. S.) Se denominasegmentocuando est limitada por ambos lados. (A B). Lnea curva: Es una sucesin de puntos queno estn en la misma direccin.PlanoEst formado porinfinitas rectas,no tiene lmites,se designa con maysculay lo determinan2 rectas que se cortan,un punto y una recta no alineados,tres puntos o dos rectas paralelas.

Paralelismo. Definicin y trazadosRectas paralelasson aquellas que, estando en un mismo plano,no se cortan en un espacio finito, o se cortan en el infinito.Permanecenequidistantes. Se designan //.Axiomas1. Postulado deEuclides:por un punto exterior a una recta, slo puede trazarse una paralela a dicha recta. (Euclides fue un gemetra del Siglo tercero antes de Cristo.)2. Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre s.3. Una recta perpendicular a otra, lo es a todas sus paralelas.Trazado de rectas paralelas1. Trazar una paralela a una recta por un punto exterior.1ermtodo:desde un punto M cualquiera de la recta dada r, trazamos haciendo centro en l, un arco que pase por P y corte a la recta en dos puntos A y B. Transportamos la cuerda BP desde A y obtenemos C en el arco que unido con P nos proporciona la paralela pedida[1]. FIG.102 mtodo:trazamos unaperpendiculara R dada que pase por P dado, trazando otra perpendicular a la anterior por P tenemos la paralela buscada. FIG. 112. Paralela a una recta a una distancia dada.Porun punto cualquierade r trazamos una perpendicular sobre la que llevamos ladistanciadada obteniendo el punto A por donde trazamos unaperpendicularr que ser la paralela a la recta dada. FIG.12

Paralelismo. Figuras 9, 10 y 11Aplicaciones1. Divisin de un segmentoen un nmero cualquiera de partes iguales.2. Divisin de un segmento en un nmero cualquiera de partes proporcionales.3. Trazado de escalas grficas.4. Paralelogramos.5. Traslacin de figuras.Perpendicularidad.DefinicionDos rectas o dos planos son perpendiculares entre s cuando se cortan (o cruzan) formandongulo recto.Tambin se denominanortogonales o normales.Axiomas Por un punto de una rectapasa una sola perpendicular. Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta.Teoremas Recta perpendicular a un plano:Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en dicho plano, pasen o no por la interseccin recta-plano o pi de la perpendicular. FIG. 1. Teorema de las tres perpendiculares:Si dos rectas son perpendiculares entre s y una de ellas es paralela a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son tambin ortogonales. FIG. 2. Perpendicularidad entre planos:Para quedos planos sean perpendiculares entre s, es preciso que uno de ellos contenga una recta perpendicular al otro. FIG. 3.

Perpendicularidad. Figuras 1, 2 y 3MediatrizMediatriz de un segmento, es el lugar geomtrico[1]de los puntos de un plano queequidistande los extremos de dicho segmento.Divide al segmento en2 partes igualesy esperpendiculara ste.Se dibuja trazando por los extremos del segmento dos arcos de radio arbitrario pero mayor que la mitad del segmento, unidos los puntos C y D en donde los arcos segmento cortan, se obtiene la mediatriz[2].FIG. 4.Trazado de perpendiculares1. Perpendicular a una recta por un punto de ellaCon centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corta a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG.52. Perpendicular a una recta por un punto exteriorCon centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corte a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG.6

Perpendicularidad. Figuras 4, 5 y 63. Perpendicular a una semirrecta en su extremo1ermtodo:Basado en elteorema de Pitgoras:en todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si los catetos son de 3 y 4 unidades y la hipotenusa de 5, tenemos que32+ 42= 52, luego si trazamos desde el extremo de la semirrecta un arco de radio 4 cm, y a 3 cm de dicho extremo, en C otro arco de 5 cm, obtenemos el punto A de corte de ambos arcos que unido con el extremo P de la semirrecta nos proporciona la perpendicular buscada. Podemos observar que el tringulo ACP es efectivamente rectngulo.FIG. 7

Perpendicularidad. Figura 72 mtodo:Basado en la construccin del tringulo equiltero[3]. Con radio arbitrario pero fijo, trazamos arcos sucesivos, comenzando por P obtenemos A en r, con centro en A obtenemos B, desde B, C y desde B y C, D. Uniendo D y P obtenemos la perpendicular buscada. FIG. 83ermtodo:Basado en elarco capaz[4]. Desde un punto exterior C cualquiera, trazamos una circunferencia que pase por P, extremo de la semirrecta que corta a r en A, uniendo A y C obtenemos B en la circunferencia, unimos B y P, perpendicular buscada. FIG. 9

Perpendicularidad. Figura 8AplicacionesLas aplicaciones son numerosas, podemos poner como ejemplo: Divisin de un segmento en dos partes iguales. Trazado de una circunferencia que pase por 2 puntos. Trazado de una circunferencia que pase por 3 puntos no alineados. Distancias mnimas, entre punto y recta, punto y plano, rectas, recta y plano, planos.. Tangentes a la circunferencia (perpendiculares al radio). Trazado de ejes radicales. Medias proporcionales entre segmentos. Construccin de paralelogramos y tringulos rectngulos.

[1]Lugar geomtrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condicin comn.[2]Por la construccin realizada, C y D equidistan de A y B luego la recta que definen S, tambin equidista de A y B, pasa por tanto por su punto medio y es perpendicular a R.[3]Los puntos PAB determinan un tringulo equiltero por lo que sus ngulos son de 60, CPB son vrtices de otro tringulo equiltero. La perpendicular trazada es bisectriz del ngulo CPB, divide este ngulo en dos de 30 que sumado al contiguo de 60, BPA, dan como resultado los 90 del ngulo formado por el segmento PD y la semirrecta de origen en P.[4]B y A definen un dimetro de la circunferencia, el arco ACB es capaz de 90, todos los ngulos con su vrtice en l y extremos coincidentes con A y B son de 90, APB cumple esta condicin, luego los segmentos PB y PA son perpendiculares entre s.ngulos.DefinicinSi sobre un plano se consideran dos semirrectas de origen comn, el plano queda dividido en dos regiones denominadas ngulos. ngulo es por tanto la parte del plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn.Los lados del ngulo son las dos semirrectas, el vrtice, el origen comn de ambas.Se designan de tres formas: Por sus lados y vrtice, coronados por un sombrerete, en forma de acento circunflejo AB. Por su vrtice, con el sombrerete . Por letras griegas ,,. FIG. 13

ngulos. Figuras 13 y 14UnidadesLos ngulos se miden por los arcos que abarcan.Para establecer la unidad de medida, denominada grado, se divide un cuarto de circunferencia en un nmero determinado de partes iguales:1. Sistema Sexagesimal Si dividimos este cuarto de circunferencia en 90 partes. Es el sistema ms usual. La circunferencia completa tiene 360. Un grado se divide a su vez en 60 minutos (60), y estos en 60 segundos (60) por lo que un grado tiene 3600.2. Sistema Centesimal Si dividimos el cuarto de circunferencia en 100 partes. Un grado (1g) se divide a su vez, en este sistema, en 100 minutos (100m) y estos en 100 segundos (100s) por lo que un grado tiene 10000s. La circunferencia tiene 400gy el ngulo recto 100g.Tipos de ngulosLos ngulos pueden ser:1. Llanos: Si sus lados son dos semirrectas opuestas. Miden 180. FIG. 14.2. Convexos: Si son menores que un llano, se dividen en: Recto: Formado por dos rectas perpendiculares, mide 90. Agudo: Si es menor que un ngulo recto. Obtuso: Si es menor que un llano y mayor que un ngulo recto. FIG. 15.3. Cncavos: Si son mayores que un ngulo llano. FIG. 16.

Tipos de ngulos. Figuras 15 y 16Relaciones entre ngulosSegn la relacin existente entre los ngulos, se pueden establecer los siguientes tipos de ngulos:En funcin de la suma de ngulos. Complementarios: Dos ngulos son complementarios entre s cuando entre los dos suman 90 o forman un ngulo recto. Suplementarios: Dos ngulos son suplementarios entre s cuando entre los dos suman 180 o forman un ngulo llano. FIG. 17En funcin de la posicin de sus lados. Consecutivos: Dos ngulos son consecutivos cuando tienen un lado comn. Adyacentes: Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y sus lados no comunes forman un ngulo llano. Son adyacentes todos los suplementarios. FIG. 18

Relaciones entre ngulos. Figuras 17 y 18ngulos opuestos por el vrtice:Formados por dos rectas al cortarse, son iguales dos a dos. FIG. 19.Construcciones

ngulos opuestos por el vrtice. ngulo igual a otro. Figuras 19 y 201. Construccin de un ngulo igual a otro:Trazamos un arco de radio arbitrario y centro en el vrtice O, obtenemos A y B. Colocamos donde queramos transportar el ngulo una de las dos semirrectas, por ejemplo la OB y trazamos un arco de centro O y radio OB, sobre el arco y desde B trasladamos la distancia AB obteniendo A que uniremos con O. FIG.202. Suma de ngulos:Dados dos ngulos, trazamos arcos de igual radio en ambos y construimos uno sobre otro segn hemos visto. FIG. 21.3. Diferencia de ngulos. FIG. 22

Suma y diferencia de ngulos. Figuras 21 y 22BisectrizBisectriz de un ngulo. Es la recta que divide al ngulo en dos mitades o el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de los lados del ngulo. Construcciones:1ermtodo:Trazamos un arco con centro en el vrtice del ngulo y obtenemos A y B, calculando la mediatriz del segmento AB obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 23.2 mtodo:Trazamos dos arcos de diferente radio y centro en el vrtice del ngulo dado (concntricos), obtenemos AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortndose AD y BC en P, unimos P con O y obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 24. P equidista de los lados del ngulo pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos tringulos iguales (APC y BPD)3. Trazado de la bisectriz de un ngulo de vrtice desconocido:Trazamos paralelas r y s a los lados del ngulo hacia adentro y a igual distancia, la bisectriz de r y s de vrtice conocido es la misma que la del ngulo dado.FIG. 25.4. Bisectriz de un ngulo mixtilneo.Un ngulo mixtilneo es el formado entre un arco y una semirrecta.Para calcular su bisectriz, trazamos primero varios arcos concntricos y a igual distancia del arco dado trazando posteriormente rectas paralelas a la semirrecta del ngulo con distancias entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de interseccin de los arcos concntricos y rectas paralelas correspondientes (el primer arco concntrico con la primera recta paralela a la semirrecta y as sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una curva equidistante al arco y semirrecta originales simultneamente. FIG.26.

Bisectriz y divisin de un ngulo. Figuras 23, 24, 25, 26 y 27Divisin de ngulos1. Divisin del ngulo en un nmero par de partes iguales.Se trazan sucesivas bisectrices.2. Divisin del ngulo recto en tres partes iguales.Con centro en el vrtice O del ngulo dado, se traza un arco de radio arbitrario obteniendo A y B. Con centro en A y B trazamos dos arcos de igual radio, obteniendo sobre el primero los puntos C y D que unidos con O dividen en tres partes al ngulo[1]. FIG. 273. Divisin de un ngulo cualquiera en tres partes iguales.Este problema no tiene solucin geomtrica exacta, podemos resolverlo de un modo aproximado de la siguiente forma. Por el vrtice B del ngulo dado trazamos un arco de radio r arbitrario que determina A y C en los lados del ngulo y N en la prolongacin del lado BA. Situamos una recta pasando por C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia DE sea igual al radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada por B, define en el arco el punto F y este la tercera parte aproximada del ngulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedar dividido en tres partes. FIG. 28

Divisin de ngulos en 3 partes y en un nmero impar cualquiera de partes iguales. Figuras 28 y 294. Divisin de un ngulo en un nmero cualquiera de partes iguales:Para dividir el ngulo en un nmero de partes iguales n, con centro en el vrtice trazamos un arco de radio arbitrario y dividimos su rectificacin (segmento recto de longitud igual a la del arco dado) en el mismo nmero de partes.Dado el ngulo de vrtice O, trazamos el arco y obtenemos A y B, lo rectificamos llevando sobre la semirrecta opuesta a BO y a partir de W, punto de corte de la prolongacin del arco con dicha semirrecta, partes del radio del arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos hasta cortar en D a la perpendicular trazada por B al segmento OB. El segmento BD es la rectificacin del arco[2].Dividimos BD en n partes iguales (ej: 5) que unimos con C obteniendo las divisiones del arco y por tanto del ngulo. FIG. 29.

[1]AOC y BOD son tringulos equilteros y por tanto sus ngulos de 60. Restados al tringulo BOA nos quedan los ngulos BOC de 30 y DOA de 30 tambin, el restante, COD es por tanto de 30 tambin.[2]El mtodo de rectificacin visto, es vlido para ngulos iguales o menores de 90.

Rectificaciones de arcos y circunferencias.Rectificar un arco es hallar grficamente su longitud. Es til para obtener el desarrollo de un cono o un cilindro, o para dividir un ngulo en un nmero cualquiera de partes iguales,se emplean diversos mtodos en funcin del ngulo del arco dado:1. Rectificacin de ngulos iguales o menores de 90.Es el mtodo visto en laFIG. 29del tema dengulos.2. Rectificacin de la circunferencia completa.Sabemos que la longitud de la circunferencia de radio r es L = 2pr, p = 3.14 y 2r = dimetro, luego L = 3.14D = 3D + 0.14D=3D + D/7pues 0.14 = 1/7, para rectificarla colocaremos sobre una recta tres veces + 1/7 su dimetro. FIG. 30.

Rectificacin de la circunferencia. Figura 303. Rectificacin de ngulos mayores de 90 y menores de 180.Dividimos en dos partes el ngulo y rectificamos una de ellas que multiplicada por dos ser la rectificacin del arco dado. FIG. 31.Para dividir un ngulo a dividimos primero la mitad rectificada en la mitad de las partes exigidas (su arco a/2) y trasladamos sobre el arco dado dicha divisin. Si el nmero de partes es impar, dividimos en ese nmero de partes la mitad rectificada y su arco y las vamos trasladando al arco dado de dos en dos.4. Rectificacin de ngulos mayores de 180.Dado el ngulo obtuso a, calculamos la rectificacin del ngulo b diferencia entre a y el de la circunferencia completa (360), la rectificacin de a es la diferencia de las dos rectificaciones calculadas. FIG. 32.

Rectificacin de ngulos mayores de 90 y menores de 180. Figura 31Rectificacin inversa.La rectificacin inversa consiste en situar sobre una circunferencia definida, la longitud de un segmento dado y comprobar que ngulo queda as abarcado. Dado el segmento AB lo rectificaremos sobre la circunferencia dada de radio r. Para ello trazaremos una semirrecta normal al segmento dado por uno de sus extremos llevando sobre esta y a partir de su origen la magnitud del radio dado. Obtenemos de este modo el punto O, centro de la circunferencia dada que trazamos. La circunferencia corta a la semirrecta en el punto E desde donde trasladamos sobre la mencionada semirrecta partes del radio de la circunferencia y obtenemos el punto C.Unimos C con el extremo libre del segmento y obtenemos como consecuencia de la interseccin de este segmento con la circunferencia el punto W. Si el punto Y est situado dentro del cuadrante de la circunferencia ms cercano al segmento AB dado, el arco AY es la rectificacin inversa buscada pero si corta fuera de este cuadrante, como sucede en la ilustracin, el mtodo empleado no es vlido por lo que tendremos que realizar la misma operacin desde la mitad del segmento AB.

Rectificacin inversaObtendremos de este modo otro punto de interseccin, en el ejemplo el punto W, quedando definida la rectificacin inversa por el arco AY, doble del AW obtenido y que abarca al ngulo AOY. Si, por lo dicho, el punto W no resultase vlido, dividiramos el segmento AB en ms partes, multiplicando por ese mismo nmero de partes la magnitud del arco que obtengamos. Fig. 33

Se pueden sistematizar varios tipos de ngulos en base a la posicin relativa que stos adopten respecto de una circunferencia:

Tipos de ngulos de la circunferencia. Figuras 34, 35, 36 y 37ngulos de la circunferenciaA. ngulo centralEste ngulo tiene su vrtice en el centro de la circunferencia, su medida es la del arco de circunferencia que sus lados abarcan. AOB.FIG. 34.B. PerifricosSon los que tienen su vrtice en la circunferencia, se pueden distinguir:1. Inscrito:Vrtice A en la circunferencia y ambos lados secantes a la misma, BAC. Su valor es igual a la mitad del central comprendido entre sus lados BOC. (BAC = BOC/2).FIG. 35.2. Seminscrito:Vrtice A en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente, BAC. Su valor es igual a la mitad del arco de circunferencia comprendido entre sus lados[1](central AOC). (BAC = AOC/2).FIG. 36.3. Exinscrito:Vrtice A en la circunferencia y formado por una cuerda y la prolongacin de la otra, BAC. (Ambos lados secantes, uno interior o inscrito y el otro exterior). Su valor es 180 menos el valor del inscrito CAD. (BAC = 180-CAD).FIG. 37.

ngulos interior y exterior de la circunferencia. Figuras 38 y 39C. InterioresVrtice A en el interior de la circunferencia y lados secantes BAC. Su valor es la semisuma de los ngulos centrales comprendidos entre sus lados, BOC y DAE. (BAC = BOC/ 2 + DOE/2).FIG. 38.D. ExterioresVrtice A fuera de la circunferencia, lados secantes, CAE. Su valor es la semidiferencia de los centrales comprendidos entre sus lados, BOD y ECO. (CAE = BOD/2-ECO/2).FIG. 39.AplicacionesLa aplicacin ms extendida de los ngulos de la circunferencia es el arco capaz:Arco CapazArco capaz de un ngulo dado respecto de un segmento conocido, es ellugar geomtrico de las posiciones del vrtice del ngulo para que en cualquier momento quede el segmento sustendido entre sus lados.Por ejemplo, dibujemos el arco capaz de 60 para un segmento dado AB.Dibujamos el segmento dado y en un extremo, extremo A por ejemplo,dibujamos una semirrecta que forme con el segmento el ngulo dado(60 en el ejemplo).El arco capaz contiene siempre a los extremos del segmento dado y por tanto su centro debe estar sobre la mediatriz de AB,trazamos la mediatriz del segmento y una perpendicular a la semirrecta trazada. El centro del arco est, como comprobaremos, donde ambas se corten.Los ngulos dibujados con su vrtice en el arco capaz y cuyos lados pasen por A y B, medirn siempre 60.FIG. 40.

Arco Capaz. Figuras 40 y 41Justificacin:El arco capaz surge de la relacin entre un ngulo seminscrito