geometria homotecia

7/25/2019 Geometria Homotecia

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CAPTULO III

Para ni ,...,3,2,1= se defne el conjunto de n-tuplas ordenadas en la orma IR n

{ ( ) = in aaaa /,...,, 21 IR }

Para el caso n=2, se obtiene IR 2 { ( ) = 121 /, aaa IR 2a IR } , asociando pares

ordenados del plano cartesiano, que a su vez representan puntos en el plano IR2.

Distancia entre dos puntos.

Dado dos puntos en el plano cartesiano, tal que ),(),( 2211 yxByxA == , la distancia entre

stos se obtiene aplicando el teorema de Pitoras! ),( BAd ( ) ( ) 212

2

12 yyxx +=

"implifcadamente anotada pordBAd =),(

#jemplo! en el rfco, podemos notar queAcorresponde a

las coordenadas rectanulares $%,%& en tanto Bes $',(&.)a distancia entreA * B ser!

|d| =41 2

512+

|d| ='

Punto Medio

Dado dos puntos 21,PP en el plano cartesiano, la relaci+n que defne el punto medio

( )mmM yxP ,= se obtiene por semejanza de trinulos. #n este caso la mitad de la ipotenusa es

proporcional a la mitad de cada cateto, esto es 2 21

2112

xxxxx m

xx

m

+=+=

en orma

anloa se obtiene 221 yyym +=


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#n el ejemplo anterior, el punto medio es!

=

++=2

5,3

2

41,

2

15MP

VECTORES

De la defnici+n de espacio vectorial, tenemos que IRn$IR , , &es un espacio vectorial sobre

IR . )os elementos de IRn se llaman vectores. Distintos tipos de unciones pueden serconsideradas como vectores, tal es el caso de los polinomios. #n otras reas del conocimiento

tambin se usa la denominaci+n de /vector0, por ejemplo, en salud p1blica al /mosquitohembra portadora del dengue0 se le llama vector. "on vectores en sica la / fuerza0 * la/velocidad0, entre otros.

#n el caso de IR2$IR , , &los vectores sern pares ordenados identifcados en la orma v =( )21,vv , en los que es posible determinar la e3istencia de!

- 4anitud o m+dulo! correspondiente a la lonitud del vector, o entre los puntos que looriina.

- Direcci+n! correspondiente al rado de inclinaci+n, pendiente o nulo del vector.- "entido! es la orientaci+n que considera un punto de inicio $orien& * otro punto e3tremo

$fnal&.

Notacin. #n orma equivalente se pueden usar las notaciones! v = AB en dondeAes el

punto inicial *Bes el punto fnal.

Adicin su!a" resta# de $ectores

)a /rela del paraleloramo0 para los vectores A* B , se realiza constru*endo un paraleloramo *

trazando la diaonal D = BA+ para la

obtenci+n del vector respectivo.


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Despejando el parmetro en ambas variables, se obtiene! 2

0

1

0

v

yy

v

xx =

=

de la cual seobtiene la ecuaci+n $punto-pendiente& que oriina a la ecuaci+n principal de la recta con eldesarrollo!

2

0

1

0

v

yy

v

xx =

= 0

0

1

2

xx

yy

v

v

=, siendo 1

2

v

vm =

la pendiente de la recta, resulta

( )00 xxmyy = la cual se reduce a la orma simplifcada! nmxy += siendo n elcoefciente de posici+n, es decir, cuando x =

E'presar %a ecuacin $ectoria% de %a recta en ecuacin principa%.

n punto de la recta es $%,'& * el vector director es la pendiente, lueo 5

2=m


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)as furas obtenidas son semejantes a la oriinal.

E)e!p%o. 6onstruir un trinulo por omotecia, con raz+n

k= 2, a partir del trinulo ormado por los vrtices P$-2, ;&9 $(,2&9 A$%,2&.

"oluci+n! aplicando la raz+n a todas las coordenadas seobtienen P$-(, :&9 $E, (&9 A$2,(&.

Fotemos que cuando la raz+n de omotecia es neativa,la fura se invierte.

6uando las razones comprenden valores entre -%G rG% e3clu*endo el cero, la fura sereduce.

@omotecia neativa con centro de omotecia enel interior de la fura.

Por ser furas semejantes, la raz+n de omotecia se obtiene con la raz+n entre dos ladosom+loos.

)a fura oriinal corresponde al trianulo BH6,en tanto la fura omottica es BIHI6I

#l semento BI6I= (104)2+(2(1 ))2 =

45#l semento B6= (64 )2+(0(1))2 =

5


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Construir un tri*n+u%o se!e)ante por ,o!otecia ap%icando e% teore!a de T,a%es.

Dado el trinulo BH6, construir por omotecia el trinulo semejante con raz+n 52=r

"e fja el centro de omotecia.6on una recta au3iliar se fjan '

sementosen la pro*ecci+n de un vrtice.#leir 2 unidades desde el centro

C, * posicionar el vrtice om+loo.


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>na orma de reordenar la presentaci+n de este requerimiento es denominado /sistema de

ecuaciones simultneas0 * se escribe en la orma!0

0

222

111

=++=++

cbyax

cbyax

#n este caso un sistemade ecuaciones simultneas de primer rado con dos variables.

Para resolver este sistema e3isten diversos mtodos, a continuaci+n, alunos de ellos!

%& M/todo de sustitucin0"e despejaxen una ecuaci+n * se sustitu*e en la otra, resultandouna ecuaci+n con una variable.

2& M/todo de reduccin! "e iualan los coefcientes de una variable, * se aplica la adici+n$suma o resta& se1n convena, resultando una ecuaci+n de primer rado en una variable.

;& M/todo de i+ua%acin0 "e despeja una de las inc+nitas en ambas ecuaciones, * seiualan las e3presiones, obteniendo una ecuaci+n de primer rado con una inc+nita.

#stos tres casos remiten el desarrollo a la soluci+n de una ecuaci+n de primer rado con una

inc+nita.

#3isten otras ormas de resolver un sistema de ecuaciones de primer rado!

(& Por la rela de 6ramer! requiere conocimientos de /determinantes0

'& #l mtodo de Caus-Lordan! requiere conocimientos de matrices.

:& Por intersecci+n rfca en el plano cartesiano

Acti$idades Did*cticas.Pro-%e!a%. 6onstruir un trinulo en el plano cartesiano, con la intersecci+n de tresrectas. )os datos para la construcci+n se presentan en la siuiente tabla!

Puntos EcuacinVectoria%

Ecuacinprincipa%

$2,& 9 $-%,;&$x! "&=$-

;,%&M$',-%&"# x(

Procedi!iento

a& Dibujar el trinulo.b& 6ompletar la tabla.Preuntas complementarias!

i& 56ules son las medidas del trinulo ormado7ii& 5"e cumple el teorema de Pitoras7iii& 56unto es el permetro * rea de la fura7

"oluci+n!


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a# Di-u)ar e% tri*n+u%o. "e1n datos de la tabla, con los puntos $2,& * $-%,;&, trazamos la

recta 1L

De la ecuaci+n vectorial tenemos $-;,%&9 * con M = % obtenemos el punto $2,&.

Arazamos la recta 2L

6on la ecuaci+n principal tenemos los /ceros0 $, (& * $-(, &. Nbtenemos la recta 3L

-# Co!p%etar %a ta-%a. 6on los puntos de las rectas!


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;# 6alcular el rea de cada tamaRo de papel 5u puede concluir7

A 0= ,TTT m2

A 1= ,(TT m2

A 2= ,2(T m2A 3= ,%2( m2

A 4= ,:2 m2

#l rea disminu*e a la mitad cada vez que bajamos de ormato.

Pro-%e!a 2. Dado el siuiente sistema de ecuaciones!yx

bycax

253 ==

6alcular los valores de a! b *c, para que el sistema tena!%& Unica soluci+n2& "oluciones infnitas.

;& Finuna soluci+n.

"oluci+n! el tipo de soluci+n depende de las pendientes * los coefcientes deposici+n.

Pendientes! b

am

=1

2

32

=m

6. de posici+n! b

cn =1

2

52 =n

%& #3iste soluci+n 1nica si las pendientes son distintas! ba 32

2& Aiene infnitas soluciones si las pendientes son iuales, * los 6. de posici+n soniuales!

bcba 5232 ==

;& "in soluci+n $soluci+n vaca& si las pendientes son iuales * los 6. de posici+ndistintos!

bcba 5232 =

Pro-%e!a 6. )a siuiente imaen corresponde a una fura ractal conocida como eltrinulo de "ierpinsVi. #ste trinulo, est ormado por trinulos cada vez ms pequeRos quese pueden construir, a partir de cualquier trinulo dado con los puntos medios.


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a& Sndica el centro de omotecia * la raz+n que se aplica al ABC para obtener

AMI

b& 6alcula el rea del ABC , * el rea del GHO , con la siuiente +rmula!Qrea = S( Sa )(Sb )(Sc ) , donde " es el semiperimetro en tanto a!b *cson los lados del trinulo $+rmula de @er+n&.5u se puede concluir7

"oluci+n!a# Indica e% centro de ,o!otecia & %a ra


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4

6

4==

ABGH

935,1

4==

BCOG

96,1

4==

ACGH

"emipermetro de los trinulos!

( ) 89,82

39,54,66

2

29416

++=

++=ABCS

( ) 225,22

6,135,15,1=

++=GOHS

Qreas de los trinulos!

Qrea( ) ( ) ( ) 006,1539,589,84,689,8689,889,8 ==ABC

Qrea( )( ) ( ) 9,06,1225,235,1225,25,1225,2225,2 =GOH

6onclusi+n! el rea del ABC es supera en, apro3imadamente, %' veces al rea

del GOH .


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E)ercicios propuestos0

%& Dado la siuiente fura, encontrar el centro de omotecia, calcular sus coordenadas

rectanulares * su raz+n de omotecia, entre el PRQ para obtener KLN

2& #n una luca bestial entre moscas * araRas intervienen (2 cabezas * 2J: patas. 5cuntoslucadores aba de cada clase7 $recuerde que una mosca tiene : patas * una araRa Epatas&. Plantear el sistema de ecuaciones * resulvalo.

;& @allar la ecuaci+n vectorial * principal de la recta que pasa por P=(2,3) * tiene como

vector de direcci+n d=(2,3)

(& #n la ranja se an envasado ; litros de lece en %2 botellas de dos * cinco litros.

56untas botellas de cada clase se an utilizado7

56untos litros en total se an envasado encada tipo de botellas7

'& #ncuentra el valor dekpara que la distancia deA#$-2, '& aB#$k, ;& sea iual a '.

:& Nbtena la ecuaci+n vectorial * la ecuaci+n principal de la recta que!

Pasa por $%, -J& * es paralela a la recta4

1

2+=

y

x

J& "e dan las ecuaciones

+=

5

3,

4

3)4,3( P

9 845:1 = xyL 9 3245:2 = xyL

5"e puede afrmar que el punto )8,18(=A pertenece a7!a& P * 1L

b& 1L * 2L

c& 2L * P

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