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Prof.ssa Angela Donatiello

GEOMETRIA EUCLIDEA O RAZIONALE


Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire ‘misura della terra’), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dell’utilità pratica. Se l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine della geometria dev’essere diverso da quello del ’fisico’, basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio).


La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di Euclide.


GEOMETRIA

INTUITIVA RAZIONALE

OSSERVAZIONIPROVE

TENTATIVIESPERIENZE

DEFINIZIONIASSIOMIoPOSTULATI

ENTIeCONCETTIPRIMITIVI


GEOMETRIAINTUITIVA

GEOMETRIARAZIONALE


Considerata la fama degli ‘Elementi’ e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria d’Egitto, nell’accademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile.


Concetti e enti primitivi

Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari

Assiomi o postulati

Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo.


I TEOREMI

I Teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai Postulati o da altri Teoremi. La dimostrazione di un Teorema è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (IPOTESI), fa giungere ad una nuova affermazione (TESI).

Se …(IPOTESI), allora … (TESI)

I Teoremi che sono l’immediata conseguenza di Teoremi più importanti vengono detti COROLLARI


Come mai il metodo ipotetico deduttivo si sviluppa presso i Greci e non presso gli Egiziani?

Nelle poleis democratiche del VI e V secolo a.C. i politici devono conquistars il favore del popolo per essere eletti. Nascono dunque la Retorica (Arte della Persuasione) e la Logica (Arte del Discorso). La prima fa leva anche sulle reazioni emotive e psicologiche, mentre la seconda si basa solo su argomentazioni di carattere rigorosamente razionale. Nella civiltà dell’Antico Egitto il Faraone deteneva il potere, non vi erano elezioni democratiche, per cui non nacque neanche l’esigenza di sviluppare un metodo dimostrativo matematico.


L’IMPORTANZA DEI TEOREMI


Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di : COMPATIBILITA’ (non devono contraddirsi l’uno con l’altro) INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro)


INOLTRE: Ø Su una retta ci sono almeno due punti

Ø Per ogni retta di un piano, esiste almeno un punto, nel

piano, che non appartiene ad essa.


L’ORDINAMENTO SULLA RETTA La retta : Ø È un insieme

ordinato di punti; Ø Non esiste né

un primo, né un ultimo punto;

Ø Fra due punti esiste sempre almeno un altro punto

Retta orientata

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