geometria espacial de posição · 2016-03-02 · a projeção de um ponto sobre um plano é o...
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Professor: Jarbas
A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano.
a
r
P
P’
A projeção ortogonal de uma reta s sobre um plano pode ser uma reta s’ ou um ponto.
a
Q s
s'
P
P’ Q’ P a
Q s
s' P’
Q’
a
s
P’
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano.
A B
C D
A’
D’ C’
B’
a
Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero.
Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero.
A B A = B
P
P’
r
Dados um ponto P e um plano a, a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre a. Caso P pertença ao plano a, dizemos que a distância entre eles é zero.
Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.
a P’
s
t
P
a P’
s
t
P
r
d
d
Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro.
a
b
P
P’
Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra.
P
P’
r
s
d
A medida do ângulo entre uma reta R e um plano P é igual à medida
do ângulo α formado pela reta R e a sua projeção ortogonal sobre o
plano.
Como é medido o ângulo entre uma reta e um plano ?
EXEMPLOS:
1) A distância de um ponto P a um plano α é 10 cm e sua projeção ortogonal P’ sobre α é o centro de um círculo contido nesse plano. Calcule o raio da circunferência , sabendo que a distância de P a qualquer Ponto da circunferência vale 8 cm.
2) Calcule a distância de um ponto P a um plano α, sabendo que uma reta r passa por P formando 30° com esse plano e que a distância de P ao ponto de intersecção A de r com α vale 16 cm.