A Geometria Descritiva

23-03-2011

Escola Secundária Antero de Quental

Professor: José Artur Cabral

Trabalho Realizado por:

Mariana Ivens Brandão

Índice

- Introdução………………………………………………………………………….. 2

- A Geometria………………………………………………………………………….3

- A Geometria Descritiva………………………………………………………….......4

- A Importância da Geometria Descritiva……………………………………………5

- Gaspard Monge……………………………………………………………………...6

- Sistemas de Projecção Ortogonal…………………………………………………..7

Sistema de Dupla Projecção Ortogonal…………………………….7 e 8

Sistema de Tripla Projecção Ortogonal………………………………8

Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal……………………….......8

o Método Europeu……………………………………………….9

o Método Americano……………………………………………10

- Conclusão……………………………………………………………………………..11

- Bibliografia……………………………………………………………………………12

Introdução

O Ensino da Geometria Descritiva, dentro dos cursos das Artes Visuais, tem o intuito de desenvolver a habilidade espacial dos alunos e, consequentemente, exercitar o hemisfério direito do cérebro. Mas, se pensarmos bem não é necessário ir para um curso de Artes Visuais para detectarmos a importância da Geometria Descritiva.

Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a ver. As figuras são planas, mas os objectos que se apresentam diante de nós, têm na realidade três dimensões. Isto parece-nos tão natural que nem pensamos na relação entre a tridimensionalidade e a bidimensionalidade. Assim, a ideia da geometria descritiva é notável e elegante pela sua simplicidade e neste trabalho irei falar de um pouco mais sobre a Geometria e a História que existe a volta desta ciência.

A Geometria

O nome Geometria em grego significa medida da terra.

(geos = terra; metron = medida)

Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados há muitos séculos antes de Cristo. Estes conhecimentos foram principalmente desenvolvidos por egípcios e gregos. A geometria foi criada para lidarmos e compreendermos formas da natureza e até do universo. Esta é uma parte da matemática que nasceu das necessidades e das observações do Homem e lida com as propriedades do espaço.

A ideia da geometria começou a ser utilizada no Egipto devido às cheias do rio Nilo que inundavam todos os campos de plantação destruindo completamente as cercas e alagando as plantações. Quando as águas voltavam ao seu normal, a população tinha que delimitar novamente as terras e aí começaram a utilizar técnicas baseando-se em registos das cheias passadas, descobrindo várias propriedades da geometria. As provas mais antigas do conhecimento da geometria no Egipto são as construções das pirâmides e dos templos mas foram contudo os gregos que começaram a estudar a

geometria usando um raciocínio lógico. Estes acreditavam que existiam cinco corpos elementares, o fogo, o ar, a água, a terra e o cosmo e relacionavam esses cinco corpos elementares com cinco sólidos: o tetraedro ao fogo, o hexaedro à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmo. Platão e os seus seguidores estudaram esses sólidos até à exaustão e permitiram que todos chegássemos e aprendêssemos aos conhecimentos de hoje.

Dentro da geometria existem três diferentes áreas, a Geometria Plana, a Geometria Espacial e a Geometria Descritiva, a qual irei falar mais aprofundadamente. A Geometria Plana é aquela que usamos para medir terras, para fazer as plantas de casas, prédios, monumentos, calcular distâncias e áreas. A Geometria Espacial é responsável pelo cálculo do volume de sólidos geométricos como prismas, pirâmides, cones, cilindros ou esferas e também pelos estudos das estruturas das figuras espaciais. A Geometria Descritiva é responsável por representar formas tridimensionais (os sólidos) em planos bidimensionais.

A Geometria Descritiva

A Geometria Descritiva surgiu no século XVIII e é um ramo da Matemática que tem como objectivo representar no plano as figuras do espaço, ou seja, representar objectos de três dimensões num plano bidimensional. Esta ajuda-nos a perceber o que nos rodeia resolvendo problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objecto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objecto representado.

Gaspar Monge, criador da Geometria Descritiva, definiu-a como tendo "por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões", não sendo esta mais do que um sistema de dupla projecção ortogonal.

É preciso apenas esclarecer que Geometria Descritiva e Desenho Técnico não são a mesma coisa. A Geometria Descritiva é a ciência e o Desenho Técnico é a técnica, ou seja, à Geometria Descritiva cabe resolver os problemas de difícil visualização e perceber como o vamos aplicar, ao Desenho Técnico cabe aplicá-los e construir no papel aquilo que visualizamos.

A Importância da Geometria Descritiva

A geometria descritiva é muito importante do ponto de vista tecnológico. O esquema de Monge, usando a representação de sólidos em superfícies planas por meio de projecções que nos mostram as verdadeiras grandezas, (as projecções horizontais e frontais) facilita a visualização dos objectos no espaço.

Por exemplo, se quisermos fazer um corte numa superfície metálica, é bem mais fácil respeitarmos o método ensinado por Monge (Sistema de Dupla Projecção Ortogonal) do que tentarmos fazê-lo baseando-nos num simples desenho ou numa simples imagem que nos aparece na mente. Se nos basearmos no que apenas vemos,

esse suposto corte irá ter com certeza erros, ao contrário do que iria acontecer se utilizássemos o método de Monge. Logo, através da geometria descritiva não existem erros, toda a informação que o emissor quer transmitir está no papel e quando o receptor vê a informação não lhe escapa nada, o que faz com que não haja desperdícios e que a indústria se desenvolva muito devido à construção rigorosa das máquinas.

Gaspard Monge

Gaspard Monge, acima referido, nasceu em 1746 e faleceu em 1818 com 72 anos. Monge foi um grande matemático que criou uma nova “ciência”, Método de Monge ou Sistema de Dupla Projecção Ortogonal, que se baseava na representação de formas tridimensionais em planos bidimensionais. Esta descoberta só foi possível porque no final do século XVIII o Exército Francês já tinha

métodos de cálculo para determinar as melhores posições para escapar às invasões inimigas mas esses cálculos eram muito complicados e é aí que entra Monge. Ele inventou uma técnica bem mais simples para fazer a mesma coisa. Como estavam todos tão habituados a cálculos tão complicados só vieram dar valor à invenção de Monge mais tarde. Após ter feito um mapa de manobras militares, foi convidado a ingressar na escola militar onde desenvolveu e aperfeiçoou a sua técnica para que nenhum inimigo conseguisse invadir o país. Ao perceberem o quão genial o novo método era, os militares mantiveram-no em segredo por 15 anos, ensinando-o apenas a futuros engenheiros militares. Em 1794, em plena Revolução Francesa, Monge finalmente divulgou a sua invenção em escolas civis de Paris, ocupando um lugar definitivo na História da Geometria Descritiva e, por conseguinte, no desenho técnico e na construção mecânica. Monge representou um verdadeiro achado pois pegou numa parede e num chão e transformou-os em planos onde se passaram a projectar objectos de infinitos tamanhos. Foi assim que a parede e o chão passaram a definir espaços que ficaram conhecidos como quadrantes e hoje em dia como diedros.

Sistemas de Projecção Ortogonal

Os Sistemas de Projecção Ortogonais são conjuntos de regras que identificam no espaço um determinado número de referenciais e

que permitem a representação de um determinado número de projecções.

Todos os sistemas de projecções ortogonais têm na sua constituição:

Objecto; Plano de projecção; Centro de projecção situado no infinito; Rectas projectantes paralelas entre sí e ortogonais aos

plano de projecção.

São as diversas relações entre estes 4 elementos que nos permitem dizer que estamos perante um sistema de dupla, tripla ou múltipla projecção ortogonal.

Sistema de Dupla Projecção Ortogonal

Como já foi referido, Gaspar Monge criou o Sistema de Dupla Projecção Ortogonal e este baseia-se em dois planos, um horizontal e outro vertical que se intersectam no espaço na perpendicular. A intersecção destes dois planos denominados de Plano Frontal de Projecção (φ) e de Plano Horizontal de Projecção (ν) formam uma recta e no papel uma linha à qual, hoje em dia, se dá o nome de eixo x. Estes planos dividem o espaço em 4 partes às quais denominamos de diedros, numerados, no exemplo que se segue, ao contrário do sentido do ponteiro do relógio.

Plano Frontal de Projecção

1º Diedro

2º Diedro Eixo x

3º Diedro Plano Horizontal de Projecção

4º Diedro

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Este método de representação facilita a execução dos traçados e faz com que estes sejam mais rigorosos na resolução de problemas no espaço. Apesar disso, é mais difícil ver as imagens na nossa cabeça e por vezes pode-se revelar insuficiente apenas termos dois planos de projecção, mas no geral, é o sistema mais utilizado.

Sistema de Tripla Projecção Ortogonal

Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, Gino Loria desenvolveu um sistema que continha um terceiro plano de projecção, perpendicular aos planos horizontal e frontal ao qual chamou de Plano Lateral (π) (um plano de perfil) para uma melhor localização dos objectos no espaço. O Plano Lateral fornecerá uma terceira projecção do objecto.

Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal

Para além do sistema de dupla projecção e o de tripla projecção, o que utilizamos mais é a projecção hexaédrica, com 6 planos de projecção. O Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal consiste na adição de quatro planos de projecção aos frontal e horizontal que já conhecemos. O conjunto dos 6 planos de projecção envolvem o objecto por completo formando um paralelepipedo ou um cubo. Se pensarmos bem, conseguimos concluir que o máximo de projecções que podemos representar são 6 pois são as 6 diferentes posições que o desenhador pode estar em relação ao objecto. Estas projecções são em geral designadas por vistas e temos dois métodos de projecção dentro do Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal, Método Europeu e Método Americano. A principal diferença entre os dois métodos de projecção é a relação entre o observador, o objecto e os planos de projecção.

Método Europeu

No Método Europeu temos que visualizar tudo ao contrário. Por exemplo: quando estamos a representar e falamos da vista da esquerda, temos na verdade de desenhá-la do lado direito e quando falamos da face superior temos que desenhá-la na parte inferior do papel e assim sucessivamente. Isto só acontece porque as resctas projectantes intersectam o objecto e projectam-se no plano oposto ao do objecto. Assim as vistas designam-se da seguinte maneira:

Vista frontal – representamos no centro; Vista de cima – representamos por baixo da vista frontal; Vista da esquerda – representamos do lado direito da vista

frontal; Vista da direita – representamos do lado esquerdo da vista

frontal; Vista de baixo – representamos por cima da vista frontal; Vista posterior – representamos do lado direito da vista da

esquerda.

Método Americano

No Método Americano quando estamos a representar as faces dos objectos, representamo-las tal como elas se encontram, ou seja, a vista da direita representa-se na direita e a vista da esquerda na esquerda. Isto acontece porque as rectas projectantes têm origem no objecto e dirigem-se para o plano mais próximo. Assim, as nossas vistas designam-se como:

- Vista de frente ou alçado – representamos no centro;- Vista de cima ou planta superior – representamos em cima da vista de frente;- Vista da esquerda ou perfil esquerdo – representamos à esquerda da vista de frente;- Vista da direita ou perfil direito – representamos á direita da vista de frente;- Vista de baixo ou planta inferior – representamos em baixo da vista de frente;- Vista de trás ou alçado posterior – representamos na sequência da vista direita ou da esquerda.

Conclusão

Pelo que pudemos observar, a Geometria é uma ciência que provém da Matemática, podendo dividir-se em três áreas das quais aprofundei a Geometria Descritiva, uma vez que é a disciplina que estou a estudar neste momento e porque é essencial para quem quer seguir Arquitectura, Engenharias ou Design de Produtos.

Este trabalho tem como principal objectivo estudar as origens da Geometria Descritiva e a importância desta nos nossos dias. Pretende também dar a conhecer a sua evolução e mostrar a base do seu raciocínio.

Foi interessante para mim realizá-lo pois permitiu-me aprofundar os meus conhecimentos sobre o que é e como surgiu a Geometria o que me faz olhar de maneira diferente para esta ciência no geral.

Bibliografia

Online:http://descritiva.no.sapo.pt/Monge.htmhttp://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_3t.phphttp://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_1t.phphttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_descritivahttp://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-plana.htmlhttp://www.prof2000.pt/users/marinap/ccdi/tpfinal/geometria.htmhttp://ncvlemos.sites.uol.com.br/geometria.htmlhttp://orium.homelinux.org/univ/cgi/slides/16%20-%20Projections1011a.pdfhttp://prof-kelly-geometria-plana.blogspot.com/2010/03/geometria-plana-introducao.htmlhttp://pt.scribd.com/doc/31109129/Sistema-da-Dupla-Projeccaohttp://sandramat.blogspot.com/2007/05/origem-da-geometria.html

Livros:SANTA RITA, José Fernando. Geometria Descritiva – A/B. Lisboa 2009: Texto Editores, LDA.