1. GEOMETRA DESCRIPTIVA

2. ES PROPIEDAD Queda prohibida la reproduccin to- talo parcial de esta obra, sin previo consentimiento, por escrito, del autor. Fernando !zquierdo AsensiGEOMETRIA DESCRIPTIVAISBN: 84-922109-5-8Depsito Legal: M-23.691-2000Preimpresin: Montytexto, S.L.Santa Felicidad, 26 - 28017 MadridImprime: CLM - Eduardo Marconi, 3.Polg. Ind. Coden. Fuenlabrada (Madrid)Distribuye: Editorial ParaninfoMagallanes, 25 - 28015 Madrid 3. FERNANDO IZQUIERDO ASENSIDoctor Ingeniero de Construccin. Ex-Profesor Titular dela Escuela Tcnica Superior de Arquitectura de MadridGEOMETRA DESCRIPTIVA VIGSIMA CUARTA EDICIN TOTALMENTE REVISADADeclarada de Utilidad Pblica por el Ministeriode Educacin y Ciencia, por Orden del 10 de Abrilde 1978.Recomendada en diversos Centros y Escuelas Tc-nicas y Superiores de Arquitectura e Ingeniera, deEspaa e Hispanoamrica. 4. PRLOGO Esta obra est dedicada a aquellos alumnos que, La eficacia de este mtodo ha sido confirmada porsin tener grandes conocimientos de Geometra mtri- las numerosas ediciones publicadas y por haber sidoca, han de iniciar el estudio de la Geometra Descrip-recomendada la obra en gran nmero de Escuelas ytiva. Centros Superiores y Tcnicos de Enseanza. Por ello hemos intentado exponer, de la maneraPara corresponder a tan favorable acogida, a par-ms clara posible, la obtencin de las diversas pro-tir de la 5a edicin, se hicieron sucesivas ampliacionesyecciones de un cuerpo en los cuatro sistemas depara abarcar las materias incluidas en los actualesrepresentacin, as como la de su perspectiva caballe-programas de estudio. Se incluyeron nuevos captulosra y cnica, no habindose regateado esfuerzo algunode sombras, proyeccin central, gnomnica y reloj depara que el estudiante pueda comprender las teoras y sol y otros, se ampliaron considerablemente como losrazonamientos por complicados que puedan parecer. de interseccin de superficies, proyeccin axonomtri- Las normas generales que resumen, a grandes ras- ca ortogonal y perpectiva caballera y cnica.gos, el mtodo de enseanza adoptado son:Tambin se adopt una nueva notacin ms clara e a) Basar los razonamientos en los teoremas ele-intuitiva que la anterior y se utiliz la numeracinmentales de Geometra mtrica, explicando stos pre-decimal en captulos, prrafos y figuras, por conside-viamente por si el alumno los desconocierararla ms prctica y sencilla. b) Razonar los ejercicios (resolvindolos previa- En la 2r edicin se incluyeron: poliedros regularesmente en el espacio) y deducir el mtodo a seguir que convexos, conjugados y semirregulares: prismas yluego ha de aplicarse en cualquier sistema de repre-antiprismas regulares y perspectivas de circunferenciasentacin.y esfera. c) Indicar una serie de reglas generales para resol-Para simplificar el mtodo de enseanza, en lasver problemas de modo mecnico, evitando as razo-veintitrs primeras ediciones no se utilizaron propie-namientos innecesarios. dades de Geometra proyectiva pero la experiencia de d) Utilizar figuras que permitan ver las proyeccio-tantos aos de profesorado aconseja incluir, aunquenes de los elementos geomtricos y sus posiciones ensea someramente, las relaciones homolgicas y afinesel espacio. entre formas planas, proyecciones y abatimientos con7 5. GEOMETRA DESCRIPTIVA las que tan fcil y elegantemente se resuelven muchas poslcln, tirada y encuadernacin de esta edicin. cuestiones. Tambin quiero hacer constar que este trabajo noEsta es la innovacin principal de la actual edi-hubiera visto la luz, de no haber estado alentado ycin, caracterizada adems por su distinto formato,apoyado por los que dentro y fuera de Espaa, hanmayor tamao de pgina y aumento del nmero de adquirido o recomendado mi obra.figuras. Tambin se ha revisado totalmente la obra; se Al hacer patente tan valiosas ayudas, solo pretendohan reducido o simplificado materias y razonamientos reconocer la gran deuda de gratitud con ellos contra-y se han incluido algunas ampliaciones sobre propie- da y expresar a todos, profesores, alumnos y colabo-dades de lneas y superficies; axonometra ortogonal radores, mi ms expresivas gracias.y oblicua; perspectiva oblicua y frontal (caballera ymilitar); mtodo perspectivo de Reile y de planta yvista separadas; perspectiva de terrenos, etc. F. IZQUIERDOSera una ingratitud por mi parte no citar a los quecon tanto inters y pericia han colaborado en la com-8 6. NOTACIONES YABREVIATURAS Para evitar toda indeterminacin o confusin entrePunto de corte de la recta r y el plano a: [r, a].elementos geomtricos y proyecciones, hemos utilizado, Recta de interseccin de los planos a y /3: [a, /3].lo mismo que en ni G. D. S. y A, la notacin siguiente:Plano determinado por el punto A y la recta r: [A, r]. Plano definido por dos rectas a y m que se cortan: [a, m].1. Elementos geomtricos del espacio Los puntos se representan con maysculas: A, B, M, 2. Planos de proyeccinP, ... Las rectas y lneas, con minsculas: a, b, n, r, t, ...Para distinguirlos de otros planos, se les designa por Los planos, con minsculas griegas: a, ~, y, ...su inicial en mayscula. El horizontal, por H; el vertical Los cuerpos y superficies, con maysculas griegas:(primer vertical), por V, y el segundo vertical, por W.~, L, n, ... (o latinas, si no hubiera posibilidad de con-Si el plano de proyeccin es arbitrario, se represen-fusin). ta por la letra n, lo mismo que en cnica. El elemento definido por otros, se representa comosigue: 9 7. GEOMETRA DESCRIPTIVA h Fig. a.3. Proyecciones de punto y recta (Fig. a) Anlogamente, las trazas h(J.-v(J. de un plano a, por la letra del plano de proyeccin en minscula, y la griega a) En proyeccin didrica, con las mismas letras del del plano, como subndice.elemento del espacio, afectada del subndice 1, 2 3,segn se trate de la proyeccin sobre el horizontal,vertical o segundo vertical, respectivamente. Las pro- 5. Lneas de referenciayecciones de un punto A son, por tanto, Al y A 2 , Y las Lnea de tierra, en didrica: LT.de una recta r, r l Y r z. Proyecciones de los ejes X, y, Z, en axonomtrica: Para indicar que A o r estn dados por sus proyec-X, Y,Z.ciones, se emplea tambin la notacin == y se escribeProyecciones de los ejes X, y, Z, en caballera: X, Y, Z.as: A == A I -A 2 , r == r l -r2 Por tanto, es lo mismo decir: Lnea de tierra y horizonte en perspectiva lineal: t y h.punto A que punto A I -A 2 ; recta r o recta rl-rz, etc. b) En proyeccin axonomtrica, el punto A se pro- 6. Coincidencia de elementosyecta sobre los planos coordenados en Al A 2 Y A3 , Ylas proyecciones respectivas de estos cuatro puntos En geometra proyectiva o con elementos del espa-son: A, A " A; Y A;, procedindose anlogamente en cio, la coincidencia de puntos, rectas o planos secnica.representa por la notacin == y en proyecciones, con dicha notacin o con guin. Ejemplos: Puntos o rectas coincidentes: A == B == e, r == s == t. Puntos y proyeccio-4. Trazas de recta y plano, con un plano denes coincidentes: Hr-A-B H ==A ==B. proyeccin Por ser puntual la traza de una recta, se la designa7. Abreviaturas utilizadascon la letra del plano de proyeccin de que se trate, yn/G.D. = nuestra Geometra Descriptiva.la letra de la recta, como subndice. As, H" es la trazaolE. deG.D.= nuestros Ejercicios de Geometrahorizontal de la recta r, y sus proyecciones quedan Descripiva.tambin definidas, puesto que la horizontal coincide n/D.T. = nuestro Dibujo Tcnico (Editorialcon H r , Y la vertical est en LT (lnea de tierra). Anaya).10 8. 1. FORMAS GEOMTRICAS.PROYECCiN Y SECCiN1.1. Elementos geomtricosofundamentales son (Fig. 1.1):a) La serie rectilnea o conjunto de los infinitos Los conceptos primarios o elementos fundamenta-les de la geometra son el punto, la recta y el plano.De aqu, el fracaso de cuantos intentos se han realiza-do para definirlos, a pesar de la facilidad con la quelos imaginamos o materializamos. El plano lo identificamos, por abstraccin, con lasuperficie del agua tranquila de un estanque; la recta,con un rayo de luz y el punto, con la interseccin dedos rectas. A BI Ie oIr I E I(a) Serie rectilnea. (b) Haz de rectas. (e) Haz de planos.1.2. Formas geomtricas. Clasificacin Fig. ..-Formas de a categora. Se llama figura geomtrica a cualquier conjuntodeterminado de elementos (puntos, rectas, planos) ais- puntos A, B. e, ... , (Fig. a) de una recta r (baselados o relacionados entre s. Ejemplo: el segmento, elde la serie). Son figuras de esta forma: el seg-polgono, la pirmide, etc.mento o cualquier conjunto de puntos de r. Formas geomtricas son los conjuntos continuos deb) El haz de rectas, haz de rayos o radiacin planainfinitos elementos (puntos, rectas, planos) en los que(Fig. b). Es el conjunto de las infinitas rectas a,pueda contenerse cualquier figura. El concepto deb, e, ... de un plano (base del haz) que pasan porforma es, por tanto, ms general que el de figura. un punto V (vrtice o centro). Son figuras deEjemplo: todas las figuras planas (segmentos, ngulos, estas formas el ngulo y el haz de rayos o semi-polgonos, curvas planas, etc.) pertenecen a la formarayos, en nmero finito.plana. Las formas se clasifican en tres grupos: c) El haz de planos o conjuntos de los infinitos pla- 1.0 FORMAS DE PRIMERA CATEGORA.- nos (Fig. c) que pasan por una recta a (arista delConstituidas por elementos de una sola especie (slo haz). Son figuras de esta forma: el ngulo diedropuntos o slo rectas o slo planos). Las ms sencillas y el haz de planos aislados o en nmero finito.11 9. GEOMETRA DESCRIPTIVAd ~c9 a Fig. 1.3.-Punto impropio de direccin d. (a) Forma plana.(b) Radiacin.Fig. 1.2.-Formas de 2 a categora. 2. FORMAS DE SEGUNDA CATEGORA.Constituidas por elementos de dos especies (puntos yrectas o rectas y planos). Las fundamentales son (Fig.Fig. 1.4.-Plano determinado porFig. 1.5.-Interseccin de dos1.2): un punto propio y dos impropios. rectas impropias (orientacio- a) La forma plana o conjunto de todos los puntos ynes de planos).rectas de un plano (Fig. a). Son figuras de estaforma: la serie rectilnea, el haz de rectas y todaslas figuras planas (lneas planas, polgonos, etc.)- Dos rectas coplanarias, no coincidentes, se cortan b) La radiacin o conjunto de las infinitas rectas y en un punto (propio o impropio).planos (Fig. b) que pasan por un punto V (vrti- - La recta determinada por un punto A y otroce de la radiacin). Son figuras de esta forma: elimpropio, de direccin d, es la paralela a d, traza-haz de rectas, el de planos, las superficies cni-da por A.cas y piramidales, etc.2. RECTA IMPROPIA. Es la orientacin de un 3. FORMA DE TERCERA CATEGORAplano, y queda definida por dos direcciones o puntosConstituida por el conjunto de los infinitos puntos, impropios M~y N~ (Fig. 1.4). Las paralelas r y s a lasrectas y planos del espacio. Son figuras de esta forma:direcciones de M~ y N~, trazadas por un punto A,los poliedros, las superficies curvas y regladas y, en determinan un plano a. Haciendo lo mismo con otrosgeneral, todas las figuras geomtricas, incluyendo las puntos del espacio, obtendramos nuevos planos para-formas anteriores. lelos entre s, es decir, con la misma orientacin.Los puntos impropios (direcciones) de las rectas r, s, ... , del haz de vrtice A y base a estn contenidos en1.3. Elementos impropios la recta impropia r~ == M ~ N ~ (orientacin) del plano a. Por tanto: Los conceptos de punto, recta y plano, definidos en - Dos planos, no coincidentes, se cortan segn unaGeometra Mtrica, se generalizan en Proyectiva, al recta (propia o impropia).admitir la existencia de los elementos impropios o del - Un plano queda determinado por un punto A yinfinito. una orientacin (recta impropia M~ NJ 1.0 PUNTO IMPROPIO. El concepto de direccin 3. PLANO IMPROPIO. Es el conjunto de los pun-es intuitivo y se representa por una flecha d o portos impropios y rectas impropias del espacio. En efec-cualquiera de sus paralelas a, b, c, ... (Fig. 1.3) luegoto, dos planos no coincidentes a y 13 (Fig. 1.5) se cor-si stas tienen comn la direccin d, podemos definirtan, segn una recta i cuyo punto impropio 1 perteneceel punto impropio como la direccin de una recta. Pora las rectas impropias de a y 13, es decir:tanto:Dos rectas impropias (orientaciones de a y 13) se - Las rectas paralelas tienen un punto impropio cortan segn un punto impropio (direccin de i) ycomn. determinan el plano impropio, comn a todas.12 10. 1. FORMAS GEOMTRICAS. PROYECCiN Y SECCiN1.4. Operaciones proyectivas. Proyeccin Las operaciones fundamentales de la Geometra y SeccinProyectiva son proyectar y cortar (Fig. 1.6) Y son lasutilizadas en Descriptiva para representar las figuras. a) PROYECCIN DESDE UN PUNTO a) SECCIN POR UN PLANO Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VACortar una recta a por un plano lE es hallar la ;;;: a, llamada recta proyectante. interseccin o traza lEa de a con lE. Proyectar una recta r desde un punto Ves trazar elCortar un plano a por otroIr es hallar la intersec- plano a;;;: [V, r] determinado por V y r, llamadocin o traza Ira de a con lE. plano proyectante. Cortar una figura formada por planos y rectas, porProyectar un figura formada por puntos y rectas un plano Ir es hallar las trazas de dichas rectas y pla- desde V, es trazar las rectas y planos que V determi-nos con Ir. La forma plana formada por las trazas se na con los puntos y rectas de la figura. La radiacinllama seccin y Ir, plano secante o plano seccin. formada es la proyeccin o perspectiva de la figura y V. el centro de proyeccin.Fig. 1.6. - Proyeccin desde un punto V y seccin por un plano a. Fig. 1. 7. - Proyeccin cnica de punto y recta. b) finalmente: Proyectar una figura sobre un plano r del plano [O,r], proyectante de r, con a.es lo mismo que cortar la proyeccin por dicho plano. Para hallarla, basta unir las proyecciones e y D de Si el centro de proyeccin es propio, la proyeccindos puntos e y D de r. Si la recta pasa por 0, como lase llama cnica o central y si es impropio, paralela ot, su proyeccin se reduce al punto t.cilndrica. Esta ltima se vidide en ortogonal u obli-La proyeccin de una curva AeD (Fig. 1.8), desdecua, segn que la direccin de proyeccin sea normal0, sobre a, es la traza AeD del cono proyectante deu oblicua respecto al plano de proyeccin.la curva, con a. Las generatrices del cono son las pro-yectantes de los puntos A, B, T, ... , Y sus trazas A, B,T, ... , los puntos de la curva proyeccin.Las propiedades ms importantes de la proyeccin1.5. Proyeccin cnica. Propiedades cnica, deducidas de lo expuesto, son: a) Si una recta o una superficie es proyectante, La proyeccin de un punto A del espacio (Fig. 1.7),todos sus puntos se proyectan sobre su traza con eldesde un punto 0, sobre un plano a es (nm. 1,4-b) la plano de proyeccin a. Tal sucede con la recta t, elinterseccin o traza A del rayo proyectante OA con a.plano [i. r] (Fig. 1.7) o el cono proyectante de laLa proyeccin de una recta r es la interseccin o traza curvaAeD (Fig. 1.8). 13 11. GEOMETRA DESCRIPTIVA ",1.pO,, .,,,,,, Fig. 1.8.-Proyeccin de una curva Fig. 1.9.-Proyeccin de rectas Fig. 1. JO. - Proyeccin de rectasy de la tangente de ella.que se cortan. paralelas. J,o /1"///II!/ 11, b) Si dosms rectas r y s (Fig. 1.9) se cortan en O,,,,/IIIII1/ I Iun punto A, sus proyecciones r y s pasan por la pro-,," " IIyeccin A de A puesto que si A pertenece a r y s, Aha de pertenecer a r y SI Lo mismo sucede con doscurvas o con recta y curva.c) Si dos o ms rectas r y s (Fig. 1.10) son parale-las, de direccin 1 (no dibujada), sus proyecciones r ys concurren en la proyeccin F de 1 (siendo OF para-lela a la direccin 1) y si r y s son tambin paralelas aa, r y S son paralelas a ellas. Ambas propiedades sededucen fcilmente de la anterior. j) Si una recta r (Fig. 1.8) es tangente a una curvaACD en ul.Punto T, su proyeccin r es tambin tan-gente a ACD en la proyeccin T de T, puesto que siel extremo B de la secante s == BT .recorre la curva,aproximndose a T, B recorrer ACD, aproximn- Fig. 1.1 l.-Proyeccin de un cuadrado.dose a T y en el lmite, cuando B tienda a confundirsecon T y s se convierta en la tangente r (n 14,2), Btender a conlundirse con T y s se convertir en latangente a ACD en T.1.6. Invariantes de la proyeccin cnicaAl proyectar el cuadrado ABCD (Fig. 1.11), desdeO, sobre el plano a, se obtiene el cuadrilteroABCD lo que demuestra que han desaparecido laspropiedades caractersticas del cuadrado, tales comola igualdad y magnitud de sus ngulos, y el paralelis-mo, perpendicularidad e igualdad de sus lados.Fig. 1.12. -Ordenacin y separacin de puntos en proyeccin cnica. En la figura 1.12, tambin se observa que la ordena-cin y separacin de los puntos A, B Y C es distinta dela de sus proyecciones A, B Y C~ decr, que B, porLas propiedades geomtricas de una figura que seejemplo, es interior al segmento_A C (separa a A y C) conservan al proyectarla se llaman invariantes proyec-mientras que B es exterior a AC. tivos. En proyeccin cnica no son invariantes, como14 12. 1. FORMAS GEOMTRICAS. PROYECCiN Y SECCiNhemos visto, el paralelismo, la perpendicularidad, la ciones y a partir de stas, resolver los problemas deigualdad, la semejanza o la separacin y ordenacin los elementos del espacio, utilizando slo construccio-puntual, ni magnitudes como: longitudes, ngulos, nes de Geometra plana. Esta reduccin del espacio alreas, etc. plano se consigue, proyectando las figuras sobre el Los invariantes o propiedades geomtricas que se plano de la pizarra o del dibujo.conservan son: la incidencia (estar en o pasar por), Los sistemas de representacin utilizados eninterseccin y tangencia y dentro de las proyectivas, laDescriptiva son:razn doble, la polaridad, etc.Sistema didrico, de doble proyeccin o de Monge.,,, Sistema acotado. Sistema axonomtrico y Sistema cnico o central.e,,~"" , "e.A"el[ Fig. 1.13.-Proyeccin cilndrica de una figura, de planoparalelo al de proyeccin.1.7. Proyeccin cilndrica Los invariantes de esta proyeccin son los citadosen cnica ms los debidos al paralelismo de los rayosFig. 1.14.-Proyeccin cilndrica de un cuadrado.proyectantes que son: el paralelismo, la separacin yordenacin puntual, y la razn simple de tres puntos.As, en la figura 1.13, la proyeccin cilndrica de unafigura de plano paralelo al de proyeccin es otra iguala ella, puesto que las secciones cilndricas (prismti-En los tres primeros sistemas, se utiliza la proyec-cas) de planos paralelos son iguales y en la figura cin cilndrica y en el cnico, la proyeccin cnica o1.14, la proyeccin del cuadrado ABCD sobre a, en lacentral. De ah, su nombre.direccin de las flechas, es el paralelgramo ABCD,La condicin fundamental que debe reunir todo sis-puesto que siendo paralelos los planos proyectantes detema de representacin es la reversibilidad, es decir,los pares de lados paralelos, sus trazas con a, tambin que dada una figura espacial, pueda siempre obtenerselo sern. sus proyecciones sobre un plano e, inversamente, quedadas las proyecciones, pueda determinarse la posi-cin espacial de cualquier punto de la figura.1.8. Objeto de la Geometra Descriptiva. Para completar el estudio de las proyecciones, a Sistemas de representacin continuacin se exponen las relaciones que existenentre formas planas, proyecciones y abatimientos, deLa Geometra Descriptiva permite representar sobrefrecuente uso en todos los sistemas, por la facilidad yun plano las figuras del espacio, por medio de proyec-elegancia con que se resuelven muchos problemas. 15 13. 2. RELACIONES ENTRE FORMAS PLANAS, PROYECCIONES Y ABATIMIENTOS2.1. Homologa entre forma planaEn la homologa espacial, si los puntos homlogos y proyeccinestn alienados con el centro V, las rectas homlogas se cortan en el eje t a , Y a la inversa. a) Una forma F de plano a (Fig. 2.1) Y su proyec-cin F, desde un punto V, sobre un plano Ir, son sec-ciones planas de la radiacin de vrtice V y se llamanhomolgicas. Se caracterizan porque cada punto A ysu proyeccin A (puntos homlogos) estn alineadosFig. 2.2.-Afinidad entre formaFig. 2.3.-Afinidad entre forma plana y su proyeccin cilndrica. plana y su proyeccin ortogonal.El punto I de F, homlogo del impropio e de F, se llama punto lmite de F y la recta l~ de F, hom- loga de la recta impropia de a es la recta lmite de Ir. Anlogamente, el homlogo J de J~ es punto lmite de a, y 1es la recta lmite de a.b) Si el centro de proyeccin V (Figs. 2.2 y 2.3) es Fig. 2.1. - Homologa entre forma plana y su proyeccin cnica. impropio de direccin d (proyeccin cilndrica), la homologa se llama homologa afn o, simplemente,con el vrtice V (centro de homologa) y las rectasafinidad, de eje ta Y direccin de afinidad d. En la afi-homlogas AB y AB; AC y AC; ... se cortan en pun-nidad no existen puntos lmites ni rectas lmites, pues-tos de la interseccin ta de a y Ir (eje de homologa)to que si A, por ejemplo, es impropio, la recta AAJ esque es una recta de puntos dobles. impropia y corta a Ir en un punto impropio AJ.16 14. 2. RELACIONES ENTRE FORMAS PLANAS, PROYECCIONES Y ABATIMIENTOS2.2 Afinidad entre forma plana y2.3. Producto de dos homologasabatimiento o giro de eje comn a) Abatir un plano a sobre otro n (Fig. 2.4) es girar Si una forma F de -.E!.ano a de la que slo se hael plano a alrededor de su charnela o traza ta de a y n dibujado el segmento AB (Fig. 2.5), se proyecta desdehasta hacerlo coincidir con n. En este abatimientodos puntos distintos O] y O2 sobre un plano n, las pro-(Fig. a), las rectas A(A), B(B), ... , etc. que unen cada yecciones F] y F 2 se corresponden en una homologapunto con su abatimiento, son normales al bisector f3 plana (homologa producto) de centro O, (traza dedel diedro an, lo que demuestra que el abatimientoOP2 con n) y eje e (traza de a con n).(F) es una proyeccin cilndrica de F sobre n, segn En efecto, el plano [A, Al A 2 ] definido por los rayosla direccin d normal al bisector f3, luego (nm. 2, I-b) proyectantes 0IAI y OzA2 de A corta a n, segn la recta =F Y (F) son afines de eje ta [a,n] y direccin de afi-AA2 que pasa por 0, luego los pares de puntos A], A 2;nidad d, normal al bisector del diedro an.B I , B 2 ; ... ; estarn alineados con O (centro de la homo-loga). Por otra parte, el eje e es comn a las homo-logas de centro O] y O 2 , luego si AB corta a e, en 1,sus homlogas AIB] y A 2B 2 tambin concurrirn en l.De aqu, que podamos enunciar: Si dos radiaciones O] y O 2 , proyectantes de unaforma de plano a, son cortadas por un plano n, las"- ..... ..... "- .......... Fig. 2.S.-Producto de homologas de eje comn.secciones FI Y F 2 se corresponden en una homologaFig. 2.4.-Afinidad entre forma plana y su abatimiento.plana (homologa producto), de centro 0= [OP2,7t] yeje e = [a, n].Si 01 u O2 es impropio, F] y F 2 son homolgicas. Si La afinidad ser de direccin d o dI segn el senti-01 Y O2 son impropios (o la recta OP2 es paralela ado del abatimiento. Si a es normal a n (Fig. b), d for- 7t), FI Y F2 son afines.mar 45 con a y n. b) Como el abatimiento es un giro, podemos enun-ciar con ms generalidad: Si una forma plana r se 2.4. Homologa entre proyeccin ydeduce de otra F por el giro de sta, alrededor de unabatimiento de una forma planaeje e complanario con ella, F y r son afines de eje ey direccin de afinidad d, normal al bisector del die- a) Si proyectamos una forma F de plano a (Fig.dro formado por los planos de F y r.2.6), desde V, sobre el plano n (cuadro), en F, y aba-17 15. GEOMETRA DESCRIPTIVAtimos luego F sobre n, en (F), F Y (F) se correspon- b) En proyeccin cilndrica (Fig. 2.7) V Y (V) sonden en la homologa producto de dos homologas impropios, de direcciones dp y da Y la homologa seconocidas, de eje comn ta == fa, nI; la de F y F, de transforma en una afinidad. Por tanto:centro V, (nm. 1,9) y la de F y (F), de centro impro-pio VI de direccin da normal al bisector del diedroa,n (nm. 2.2). Fig. 2.7.-Afinidad entre proyeccin cilndrica yabatimiento de formas planas.La proyeccin cilndrica F y el abatimiento (F) de una forma plana F de plano ex, sobre un plano n, se corresponden en una afinidad de eje ta == fa, nI y direccin de afinidad dada por la recta A (A) que una la proyeccin y el abatimiento de un punto A de F. Fig. 2.6.-Homologa entre proyeccin cnica y abatimientode formas planas. El centro de la homologa producto es (nm. 2,3) latraza O de W (paralela a da) con n y coincide con elabatimiento (V) de V, alrededor de la, sobre n, por ser Fig. 2.8.-Afinidad entre proyeccin ortogonal y abatimientoa paralelo a a y W paralelo a da. Por tanto:de formas planas. En proyeccin cnica, la imagen F y el abatimien-to (F) de una forma F de plano ex, sobre el cuadro n,se corresponden en una homologa de plano n, eje ta ==fa, nI y centro O == (V) (abatimiento de V sobre elcuadro, alrededor de l~). Las rectas lmites de F y (F)son l~ y el abatimiento (1) == (d) de la lnea de desvane-En proyeccin ortogonal (Fig. 2.8), la direccin decimiento 1 == d de a, respectivamente. afinidad A (A) es normal a ta (afinidad ortogonal).18 16. 2. RELACIONES ENTRE FORMAS PLANAS, PROYECCIONES Y ABATIMIENTOS2.5. Proyeccin de una homologa entre formas planasSi proyectamos una forma de plano a (Fig. 2.9),desde un punto O, sobre un plano a, las formas a ya se corresponden (nm. 2,1) en una homologa decentro O y eje t == [a, a] y al proyectar todo desdeotro punto V, sobre un plano n, los pares de puntos Ay A; B Y B; oo.; alineados con O, se proyectan segnpuntos AJ y AJ ; BJ y BJ ; oo.; alineados con la proyec-cin OJ de O. Anlogamente, las rectas r == AB Y r == AB, concu-rrentes en un punto 1 de t, se proyectan segn rectas rJ== AJBJ Y rJ == AJ BJ, concurrentes en la proyeccin 11de 1 y lo mismo suceder si V y O son propios oimpropios. Por tanto: La proyeccin de una homologa entre dos formas Fig. 2.9.-Proyeccin de una homologa.planas distintas, de centro O y eje t == [a, a J, desdeun punto V (propio o impropio) sobre un plano n, esEn general, si se proyecta una afinidad desde unotra homologa cuyo centro y eje son las proyeccionespunto V, propio o impropio, la proyeccin es homo-OJ y tJ de O y t, respectivamente. loga o afinidad, respectivamente. 19 17. , l. SISTEMA DIEDRICOA. GENERALIDADES 3. PUNTO Y RECTA3.1. Generalidades sobre la pizarra de pared, se abatira el horizontal sobre el vertical, en sentido contrario al anterior, obte- En este sistema se utilizan dos planos de proyec- nindose en ambos casos proyecciones idnticas.cin, perpendiculares entre s (Fig. 3.1-a), colocadosen posicin horizontal y vertical, por lo que se llamanplano horizontal o primer plano y plano vertical osegundo plano de proyeccin y se designan con las @ ",-.,CDletras HOTel Y V o Te2 , respectvamente. Su intersec-,IrIcin, llamada lnea de tierra, se designa por sus ini-ciales LT (en maysculas) y se representa con un trazoT len cada extremo. Los planos de proyeccin dividen al espacio encuatro regiones, diedros o cuadrantes (numerados de I IIa IV) y la lnea de tierra divide a cada plano, en dos ./ psemiplanos. El observador se supone colocado en el Qft_/primer diedro luego sern vistos los puntos situados(b)(a)en el primer cuadrante y en los semiplanos que lo for-man (horizontal anterior y vertical superior). Fig. 3. l.-Planos de proyeccin. La figuras se representan, proyectndolas ortogo-nalmente sobre cada plano de proyeccin y abatiendo En el dibujo (Fig. b) slo aparece, como nica refe-luego uno sobre el otro para obtener un solo plano,rencia, la lnea de tierra con sus trazos extremos, pres-coincidente con el del dibujo. Si estamos dibujando en cindindose de las letras L y T, por no ser necesarias.una mesa (papel horizontal), se abate el vertical sobreEl semiplano inferior que contiene los trazos es elel horizontal, en el sentido de la flecha y si dibujamos horizontal anterior y el otro, el vertical superior.20 18. 3. PUNTO Y RECTA Fig. 3.3.-Puntos en distintos cuadrantes.A2 twA3Fig. 3.4.-Puntos en los planos0---------9 de proyeccin I Bo IhII IId proyeccin viene dada por la distancia de la proyec-cin de nombre contrario a LT. b) A veces se utiliza un tercer plano de proyeccin,normal a H y V, (plano de perfil) que se designa por WFig.3.2.-Representacin del punto. o 1[3 El punto A se proyecta ortogonalmente sobre l,en A3 (proyeccin tercera) y luego, se abate el planosobre el vertical, girndolo alrededor de su traza tw con V. La proyeccin AJ describir un arco de 90, de cen-tro Bo Y radio BoA3 = d, hasta situarse en la prolonga-cin de A2BOFig. 3.5.-Puntos en los bisectores.Dadas A, A 2 Y tw (figura inferior), podemos hallarA J , trazando A 2B o , paralela a LT, y tomando sobre ella,3.2. Representacin del punto a partir de B o, B oAJ = AoA, como se ve en la figura.El punto A se designa por la notacin A == A-A 2 o slo a) Para representar un punto A del primer cuadran- por sus proyecciones A-A 2 o A2-AJ.te, por ejemplo, (Fig. 3.2) se le proyecta ortogonal-c) Segn que el punto est encima, en o debajo delmente sobre los planos H y V, en A y A 2. Estas pro- plano horizontal (Fig. 3.3), su proyeccin verticalyecciones se llaman proyeccin horizontal y vertical yestar encima, en o debajo de LT, y anlogamentese designan con los subndices 1 y 2, respectivamente.suceder con la otra proyeccn. De esto se deduce: El plano [AAA 2] determinado por las proyectantesLos puntos del primero o tercer cuadrante tienenAA y AA 2 (normales a H y V) es normal a LT, losus proyecciones a distinto lado de LT, y su proyec-mismo que sus trazas AoA y AoA2 luego, al abatir V cin vertical, encima o debajo de LT segn que seasobre H, A 2 describir un arco de 90 y coincidir con del o o 3. Los del 2 o 4 cuadrante tienen sus pro-la prolongacin de AAo. La recta AA 2 (lnea de refe- yecciones al mismo lado de LT, encima, si es del 2 orencia) se representa de puntos o trazos (figura infe-debajo, si es del 4.rior) y ha de ser normal a LT.Los situados en H o V (Fig. 3.4) tienen su proyec- Inversamente, si AA 2 es normal a LT, al deshacer elcin vertical u horizontal, respectivamente, en LT y sigiro del plano V, las proyectantes AA y AA determi-pertenece a LT, sus proyecciones tambin.nan, al cortarse, un punto nico. La altura o distancia d) Finalmente, si pertenecen a los planos bisectoresh = AA de A al plano horizontal se llama cota delf3 y f32 (primero y segundo bisector), equidistan de Hpunto y su distancia d = AA 2 al vertical, alejamiento, y V (Fig. 3.5), luego sus proyecciones equidistan dey siendo AA = AAo Y AA 2 = AAD> podemos enun- LT y estn a distinto lado de ella o son coincidentes,ciar de un modo general:segn que pertenezcan a f3 o f32 respectivamente. La distancia de un punto a uno de los planos de(Ver nms. 2,1 a 2,8 de n/E. de G.D.).21 19. GEOMETRA DESCRIPTIVA3.3. Representacin de la rectaAnlogamente, para hallar Vr se prolonga r hasta que corte a LT y por este punto se traza la normal a Una recta r (Fig. 3.6) queda definida por sus pro-LT hasta que corte a r2 en V,..,yecciones ortogonales r y r2 sobre los planos de pro-yeccin (proyeccin horizontal y vertical de r). Siviene dada por dos puntos A y B de ella, se hallan sus1 VJr~, "proyecciones A, A 2 Y B, B 2, siendo r == AB Y r2 ==A 2B 2 L ... ~... T,,II: ,, I: ,, _ ... _i ... ~..,.h-"-"H"" M.-M. Fig. 3.7. - Trazas de una recta.H H,r B) Trazas con los bisectores. Aplicando un razona- miento anlogo a los puntos del bisector (nm. 3,2-d), se deduce: Fig. 3.6.-Representacin de la recta.Las proyecciones de la traza N de r con el primer bisector (Fig. 3.7) son las intersecciones de cada pro-Al abatir V sobre H, r 2 puede tomar cualquier posi- yeccin con la simtrica de la otra, respecto a LT. Lacin. Inversamente, cualquier par de rectas r y r 2 pue-traza M con el segundo bisector es la interseccin deden ser proyecciones de una recta r del espacio ya r Y r2que, al desabatir V, los planos proyectantes de r Y r2se cortan, segn una recta nica r. Se excepta el casode ser r Y r2 incidentes y normales a LT (recta de per- 3.5. Partes vistas y ocultasfil), quedando la recta indeterminada, a no ser que seconozcan dos puntos de ella.La parte vista de una recta r (Fig. 3.8-a) es la situa- da en el primer cuadrante y est limitada por los semi- planos vistos (horizontal anterior y vertical superior),3.4. Puntos notables de una rectasiendo vistas las trazas Hr Y Vr situadas en ellos. Por tanto (Figs. a y b): Por ser la incidencia un invariante proyectivo (nm. - Si las dos trazas son vistas, es visto el segmento1,6), si un punto A pertenece a una recta r (Fig. 3.6), HrV,..sus proyecciones A y A 2 pertenecen a r Y r2 respecti-, - Si slo es vista una traza Vs es vista la semirectavamente. Inversamente, si B y B 2 pertenecen a r Y r2,de origen Vs que no contiene a H s respectivamente, B pertenece a r. Los puntos ms- Si ninguna traza es vista, la recta 1es oculta.notables son: Las partes vista se dibujan de trazo continuo y las a) Traza horizontal Hr y vertical V,.. Son las inter- ocultas, de trazos o puntos.secciones de r con H y V. La horizontal Hr pertenece aH, luego su proyeccin vertical H2r pertenecer a LT ya r2 , es decir, ser la interseccin de r2 Y LT. Por tanto: 3.6. Posiciones de la recta Para hallar la traza horizontal Hr de r (Fig. 3.7), seprolonga r2 hasta su interseccin con LT y por este En la parte superior de las figuras 3.9 y 3.10 se hanpunto, se traza la normal a LT hasta que corte a r, endibujado distintas posiciones de una recta r y en laHr == H,.. Las proyecciones de Hr no son necesarias inferior, sus proyecciones. De ellas se deduce:porque Hr coincide con Hr Y H 2r con LT, por lo que- Si r es horizontal (paralela a H), r 2 es paralela aslo se representa por H,..LT (Fig. 3.9).22 20. 3. PUNTO Y RECTA~f : l. l , ! T I ) // H,(b) Fig. 3.8.-Partes vistas y ocultas de una recta.V,", II r2 Vr--